Neracionalus skaičių žymėjimas. Kas yra racionalieji ir iracionalieji skaičiai

Sveikieji skaičiai

Natūralūs skaičiai apibrėžiami kaip teigiami sveikieji skaičiai. Natūralūs skaičiai naudojami objektams skaičiuoti ir daugeliui kitų tikslų. Tai yra skaičiai:

Tai natūrali skaičių serija.
Ar nulis yra natūralusis skaičius? Ne, nulis nėra natūralusis skaičius.
Kiek yra natūraliųjų skaičių? Natūralių skaičių yra be galo daug.
Koks yra mažiausias natūralusis skaičius? Vienas yra mažiausias natūralusis skaičius.
Koks yra didžiausias natūralusis skaičius? To nurodyti neįmanoma, nes natūraliųjų skaičių yra be galo daug.

Natūraliųjų skaičių suma yra natūralusis skaičius. Taigi, natūraliųjų skaičių a ir b pridėjimas:

Natūraliųjų skaičių sandauga yra natūralusis skaičius. Taigi natūraliųjų skaičių a ir b sandauga:

c visada yra natūralusis skaičius.

Natūraliųjų skaičių skirtumas Natūralusis skaičius ne visada yra. Jei atimtasis yra didesnis nei atimtasis, tai natūraliųjų skaičių skirtumas yra natūralusis skaičius, kitu atveju jis nėra.

Natūraliųjų skaičių koeficientas Natūralusis skaičius ne visada yra. Jei natūraliems skaičiams a ir b

kur c yra natūralusis skaičius, tai reiškia, kad a visiškai dalijasi iš b. Šiame pavyzdyje a yra dividendas, b yra daliklis, c yra koeficientas.

Natūralaus skaičiaus daliklis yra natūralusis skaičius, iš kurio pirmasis skaičius dalijasi tolygiai.

Kiekvienas natūralusis skaičius dalijasi iš vieneto ir iš savęs.

Pirminiai natūralieji skaičiai dalijasi tik iš vieneto ir iš savęs. Čia norima visiškai padalinti. Pavyzdys, skaičiai 2; 3; 5; 7 dalijasi tik iš vieneto ir iš savęs. Tai pirminiai natūralieji skaičiai.

Vienetas nelaikomas pirminiu skaičiumi.

Skaičiai, kurie yra didesni už vieną ir nėra pirminiai, vadinami sudėtiniais skaičiais. Sudėtinių skaičių pavyzdžiai:

Vienetas nelaikomas sudėtiniu skaičiumi.

Natūraliųjų skaičių aibė yra vienetas, pirminiai skaičiai ir sudėtiniai skaičiai.

Natūraliųjų skaičių aibė žymima lotyniška raide N.

Natūraliųjų skaičių sudėties ir daugybos savybės:

papildymo poslinkio savybė

kombinacijos savybė pridėti

(a + b) + c = a + (b + c);

kelionių dauginimo savybė

kombinacijos daugybos savybė

(ab) c = a (bc);

daugybos pasiskirstymo savybė

A (b + c) = ab + ac;

Sveiki skaičiai

Sveikieji skaičiai yra natūralūs skaičiai, nulis ir natūraliųjų skaičių priešingybė.

Skaičiai, priešingi natūraliems skaičiams, yra neigiami sveikieji skaičiai, pavyzdžiui:

1; -2; -3; -4;...

Sveikųjų skaičių aibė žymima lotyniška raide Z.

Racionalūs numeriai

Racionalieji skaičiai yra sveikieji skaičiai ir trupmenos.

Bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip periodinę trupmeną. Pavyzdžiai:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Pavyzdžiai rodo, kad bet kuris sveikasis skaičius yra periodinė trupmena, kurios periodas lygus nuliui.

Bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip trupmeną m / n, kur m yra sveikas skaičius, n yra natūralusis skaičius. Tokios trupmenos pavidalu pavaizduokime skaičių 3, (6) iš ankstesnio pavyzdžio.

Suprasti skaičius, ypač natūraliuosius skaičius, yra vienas seniausių matematinių „įgūdžių“. Daugelis civilizacijų, net ir šiuolaikinės, dėl didelės reikšmės apibūdinant gamtą skaičiams priskyrė tam tikras mistines savybes. nors šiuolaikinis mokslas o matematika šių „stebuklingų“ savybių nepatvirtina, skaičių teorijos reikšmė neabejotina.

Istoriškai iš pradžių atsirado daug natūraliųjų skaičių, tada gana greitai jie buvo papildyti trupmenomis ir teigiamais neracionalūs skaičiai... Nuliniai ir neigiami skaičiai buvo įvesti po šių realiųjų skaičių aibės poaibių. Paskutinis rinkinys, kompleksinių skaičių aibė, atsirado tik tobulėjant šiuolaikiniam mokslui.

Šiuolaikinėje matematikoje skaičiai įvedami ne istorine tvarka, nors ir gana artima jai.

Natūralūs skaičiai $ \ mathbb (N) $

Natūraliųjų skaičių rinkinys dažnai žymimas kaip $ \ mathbb (N) = \ lbrace 1,2,3,4 ... \ rbrace $, ir dažnai yra nulis, kad žymėtų $ \ mathbb (N) _0 $.

$ \ mathbb (N) $, sudėties (+) ir daugybos ($ \ cdot $) operacijos su šias savybes bet kuriam $ a, b, c \ in \ mathbb (N) $:

1. $ a + b \ in \ mathbb (N) $, $ a \ cdot b \ in \ mathbb (N) $ aibė $ \ mathbb (N) $ uždaroma pagal sudėties ir daugybos operacijas
2. $ a + b = b + a $, $ a \ cdot b = b \ cdot a $ komutaciškumas
3. $ (a + b) + c = a + (b + c) $, $ (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) $ asociatyvumas
4. $ a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c $ paskirstymo
5. $ a \ cdot 1 = a $ yra neutralus daugybos elementas

Kadangi aibėje $ \ mathbb (N) $ yra neutralus daugybos, bet ne sudėties elementas, pridedant nulį prie šios aibės užtikrinama, kad joje bus neutralus sudėties elementas.

Be šių dviejų operacijų, rinkinyje $ \ mathbb (N) $ ryšiai "mažiau nei" ($

1. $ a b $ trichotomija
2.jei $ a \ leq b $ ir $ b \ leq a $, tai $ a = b $ antisimetrija
3.jei $ a \ leq b $ ir $ b \ leq c $, tai $ a \ leq c $ yra tranzityvumas
4.jei $ a \ leq b $, tai $ a + c \ leq b + c $
5.jei $ a \ leq b $, tada $ a \ cdot c \ leq b \ cdot c $

Sveikieji skaičiai $ \ mathbb (Z) $

Sveikųjų skaičių pavyzdžiai:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Išsprendus lygtį $ a + x = b $, kur $ a $ ir $ b $ yra žinomi natūralūs skaičiai, o $ x $ yra nežinomas natūralusis skaičius, reikia įvesti naują operaciją – atimtį (-). Jei yra natūralusis skaičius $ x $, kuris tenkina šią lygtį, tai $ x = b-a $. Tačiau ši konkreti lygtis nebūtinai turi sprendinį aibėje $ \ mathbb (N) $, todėl praktiniai sumetimai reikalauja išplėsti natūraliųjų skaičių aibę, kad būtų įtraukti tokios lygties sprendiniai. Dėl to įvedamas sveikųjų skaičių rinkinys: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $.

Kadangi $ \ mathbb (N) \ poaibis \ mathbb (Z) $, logiška manyti, kad anksčiau įvestos operacijos $ + $ ir $ \ cdot $ ir santykiai $ 1. $ 0 + a = a + 0 = a $ yra neutralus papildymų elementas
2. $ a + (- a) = (- a) + a = 0 $ yra priešingas skaičius $ -a $ $ a $

5 nuosavybė:
5. jei $ 0 \ leq a $ ir $ 0 \ leq b $, tada $ 0 \ leq a \ cdot b $

Aibė $ \ mathbb (Z) $ taip pat uždaroma atliekant atimties operaciją, tai yra, $ (\ forall a, b \ in \ mathbb (Z)) (a-b \ in \ mathbb (Z)) $.

Racionalieji skaičiai $ \ mathbb (Q) $

Pavyzdžiai racionalūs numeriai:
$ \ frac (1) (2), \ frac (4) (7), - \ frac (5) (8), \ frac (10) (20) ... $

Dabar apsvarstykite formos $ a \ cdot x = b $ lygtis, kur $ a $ ir $ b $ yra žinomi sveikieji skaičiai, o $ x $ nežinomas. Kad sprendimas būtų įmanomas, reikia įvesti padalijimo operaciją ($: $), o sprendimas įgauna formą $ x = b: a $, tai yra $ x = \ frac (b) (a) $ . Vėlgi, iškyla problema, kad $ x $ ne visada priklauso $ \ mathbb (Z) $, todėl sveikųjų skaičių rinkinys turi būti išplėstas. Taigi pristatome racionaliųjų skaičių $ \ mathbb (Q) $ aibę su elementais $ \ frac (p) (q) $, kur $ p \ in \ mathbb (Z) $ ir $ q \ in \ mathbb (N) $. Aibė $ \ mathbb (Z) $ yra poaibis, kuriame kiekvienas elementas yra $ q = 1 $, taigi $ \ mathbb (Z) \ poaibis \ mathbb (Q) $, o sudėties ir daugybos operacijos yra išplėstos į šią aibę pateikė laikantis taisyklių kurios išsaugo visas aukščiau nurodytas savybes rinkinyje $ \ mathbb (Q) $:
$ \ frac (p_1) (q_1) + \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot q_2 + p_2 \ cdot q_1) (q_1 \ cdot q_2) $
$ \ frac (p-1) (q_1) \ cdot \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot p_2) (q_1 \ cdot q_2) $

Padalijimas įvedamas taip:
$ \ frac (p_1) (q_1): \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1) (q_1) \ cdot \ frac (q_2) (p_2) $

Aibėje $ \ mathbb (Q) $ lygtis $ a \ cdot x = b $ turi unikalų kiekvieno $ a \ neq 0 $ sprendimą (dalyba iš nulio neapibrėžta). Tai reiškia, kad yra atvirkštinis $ \ frac (1) (a) $ arba $ a ^ (- 1) $:
$ (\ forall a \ in \ mathbb (Q) \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace) (\ egzistuoja \ frac (1) (a)) (a \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a) \ cdot a = a) $

Aibės $ \ mathbb (Q) $ eiliškumą galima išplėsti taip:
$ \ frac (p_1) (q_1)

Aibė $ \ mathbb (Q) $ turi vieną svarbią savybę: tarp bet kurių dviejų racionaliųjų skaičių yra be galo daug kitų racionalių skaičių, todėl, priešingai nei natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibėse, nėra dviejų gretimų racionaliųjų skaičių.

Iracionalūs skaičiai $ \ mathbb (I) $

Iracionaliųjų skaičių pavyzdžiai:
$0.333333...$
$ \ sqrt (2) \ maždaug 1,41422135 ... $
$ \ pi \ apytiksliai 3,1415926535 ... $

Atsižvelgiant į tai, kad tarp bet kurių dviejų racionaliųjų skaičių yra be galo daug kitų racionalių skaičių, nesunku padaryti klaidingą išvadą, kad racionaliųjų skaičių aibė yra tokia tanki, kad nereikia jos toliau plėsti. Net Pitagoras kažkada padarė tokią klaidą. Tačiau jau jo amžininkai paneigė šią išvadą, tirdami lygties $ x \ cdot x = 2 $ ($ x ^ 2 = 2 $) sprendinius racionaliųjų skaičių aibėje. Norint išspręsti tokią lygtį, reikia įvesti kvadratinės šaknies sąvoką, o tada šios lygties sprendinys turi formą $ x = \ sqrt (2) $. $ x ^ 2 = a $ tipo lygtis, kur $ a $ yra žinomas racionalusis skaičius, o $ x $ yra nežinomas, ne visada turi racionaliųjų skaičių aibės sprendimą, ir vėl atsiranda poreikis išplėsti rinkinį. Atsiranda neracionalių skaičių rinkinys, o tokie skaičiai kaip $ \ sqrt (2) $, $ \ sqrt (3) $, $ \ pi $ ... priklauso šiai aibei.

Realieji skaičiai $ \ mathbb (R) $

Racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibių sąjunga yra realiųjų skaičių aibė. Kadangi $ \ mathbb (Q) \ poaibis \ mathbb (R) $, vėlgi logiška manyti, kad įvestos aritmetinės operacijos ir ryšiai išlaiko savo savybes naujajame rinkinyje. Formalus to įrodymas yra labai sunkus, todėl minėtos aritmetinių operacijų ir santykių savybės realiųjų skaičių aibėje pateikiamos kaip aksiomos. Algebroje toks objektas vadinamas lauku, todėl sakoma, kad realiųjų skaičių aibė yra sutvarkytas laukas.

Kad realiųjų skaičių aibės apibrėžimas būtų išsamus, reikia įvesti papildomą aksiomą, išskiriančią aibes $ \ mathbb (Q) $ ir $ \ mathbb (R) $. Tarkime, kad $ S $ yra netuščias realiųjų skaičių aibės poaibis. Elementas $ b \ in \ mathbb (R) $ vadinamas viršutine aibės $ S $ riba, jei $ \ forall x \ in S $ yra teisinga $ x \ leq b $. Tada aibė $ S $ yra apribota aukščiau. Mažiausia viršutinė aibės $ S $ riba vadinama aukščiausia suma ir žymima $ \ sup S $. Panašiai įvedamos apatinės ribos, iš apačios apribotos aibės ir infinum $ \ inf S $ sąvokos. Trūkstamoji aksioma dabar suformuluota taip:

Bet kuris netuščias ir viršutinės ribos realiųjų skaičių aibės poaibis turi aukščiausią sumą.
Taip pat galite įrodyti, kad realiųjų skaičių laukas, apibrėžtas aukščiau nurodytu būdu, yra unikalus.

Sudėtiniai skaičiai $ \ mathbb (C) $

Kompleksinių skaičių pavyzdžiai:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$ 1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i ... $ kur $ i = \ sqrt (-1) $ arba $ i ^ 2 = -1 $

Kompleksinių skaičių aibė reiškia visas sutvarkytas realiųjų skaičių poras, ty $ \ mathbb (C) = \ mathbb (R) ^ 2 = \ mathbb (R) \ kartus \ mathbb (R) $, ant kurių pridedamas ir daugybos operacijos apibrėžiamos taip:
$ (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) $
$ (a, b) \ cdot (c, d) = (ac-bd, ad + bc) $

Yra keletas kompleksinių skaičių žymėjimo formų, iš kurių labiausiai paplitusi yra $ z = a + ib $, kur $ (a, b) $ yra realiųjų skaičių pora, o skaičius $ i = (0,1) $ vadinamas įsivaizduojamu vienetu.

Nesunku parodyti, kad $ i ^ 2 = -1 $. Aibės $ \ mathbb (R) $ išplėtimas iki aibės $ \ mathbb (C) $ leidžia mums apibrėžti Kvadratinė šaknis neigiamų skaičių, dėl kurių buvo įvestas kompleksinių skaičių rinkinys. Taip pat lengva parodyti, kad aibės $ \ mathbb (C) $ poaibis, apibrėžtas kaip $ \ mathbb (C) _0 = \ lbrace (a, 0) | a \ in \ mathbb (R) \ rbrace $, atitinka visas realiųjų skaičių aksiomas, taigi $ \ mathbb (C) _0 = \ mathbb (R) $ arba $ R \ poaibis \ mathbb (C) $.

Aibės $ \ mathbb (C) $ algebrinė struktūra, atsižvelgiant į sudėties ir daugybos operacijas, turi šias savybes:
1.sudėties ir daugybos pakeičiamumas
2.sudėties ir daugybos asociatyvumas
3. $ 0 + i0 $ - neutralus elementas papildymui
4. $ 1 + i0 $ - neutralus daugybos elementas
5.daugyba yra skirstomoji sudėjimo atžvilgiu
6. yra vienas atvirkštinis elementas tiek sudėti, tiek daugybai.

Daug neracionalių skaičių paprastai nurodoma didžiąja lotyniška raide I (\ displaystyle \ mathbb (I)) pusjuodžiu šriftu, be užpildymo. Šiuo būdu: I = R ∖ Q (\ ekrano stilius \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ pasvirasis brūkšnys \ mathbb (Q)), tai yra, neracionaliųjų skaičių aibė yra skirtumas tarp realiųjų ir racionaliųjų skaičių aibių.

Jau senovės matematikai žinojo apie neracionaliųjų skaičių, tiksliau atkarpų, neprilygstamų vienetinio ilgio atkarpai, egzistavimą: jie žinojo, pavyzdžiui, kvadrato įstrižainės ir kraštinės nesuderinamumą, o tai prilygsta kvadrato neracionalumui. numerį.

Kolegialus „YouTube“.

1 / 5
Neracionalūs yra:

Iracionalumo įrodymų pavyzdžiai

2 šaknis

Tarkime priešingai: 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2))) racionalus, tai yra, vaizduojamas kaip trupmena m n (\ displaystyle (\ frac (m) (n))), kur m (\ displaystyle m) yra sveikasis skaičius ir n (\ displaystyle n)- natūralusis skaičius.
Pastatykime tariamą lygybę kvadratu:
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ rodymo stilius (\ sqrt (2)) = (\ frac (m) (n)) \ rodyklė dešinėn 2 = (\ frac (m ^ (2) )) (n ^ (2))) \ Rodyklė dešinėn m ^ (2) = 2n ^ (2)).
Istorija

Antika

Iracionaliųjų skaičių sąvoką netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750 m. pr. Kr. – apie 690 m. pr. Kr.) suprato, kad tam tikrų natūraliųjų skaičių, tokių kaip 2 ir 61, kvadratinės šaknys negali būti aiškiai nurodytos. išreikštas [ ] .
Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas dažniausiai priskiriamas pitagoriečiui Hipasui Metapontui (apie 500 m. pr. Kr.). Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, o tai yra sveikasis skaičius kartų, įtrauktų į bet kurį segmentą. ] .
Tikslių duomenų apie tai, kokio skaičiaus neracionalumą įrodė Hipasas, nėra. Pasak legendos, jis jį rado tyrinėdamas pentagramos kraštinių ilgį. Todėl pagrįsta manyti, kad tai buvo aukso pjūvis [ ] .
Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakoma), tačiau, pasak legendų, jie nesuteikė Hipui pagarbos, kurios jis nusipelnė. Legenda byloja, kad Hipasas padarė atradimą plaukiodamas jūra ir buvo išmestas už borto kitų pitagoriečių „už tai, kad sukūrė visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti į sveikus skaičius ir jų ryšius“. Hipaso atradimas susidūrė su Pitagoro matematika rimta problema, sugriaunančią pagrindinę visos teorijos prielaidą, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra viena ir neatsiejama.

Racionalus skaičius- skaičius, pavaizduotas įprastine trupmena m / n, kur skaitiklis m yra sveikas skaičius, o vardiklis n yra natūralusis skaičius. Bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip periodinį begalinį skaičių dešimtainis... Racionaliųjų skaičių aibė žymima Q.

Jei tikrasis skaičius nėra racionalus, tada jis neracionalus skaičius... Dešimtainės trupmenos, išreiškiančios neracionalius skaičius, yra begalinės ir nėra periodinės. Iracionaliųjų skaičių aibė paprastai žymima didžiąja I raide.

Tikrasis skaičius vadinamas algebrinė jei tai yra kokio nors daugianario (nenulinio laipsnio) su racionaliais koeficientais šaknis. Vadinamas bet koks nealgebrinis skaičius transcendentinis.

Kai kurios savybės:
Sprendžiant uždavinius, patogu kartu su neracionaliuoju skaičiumi a + b√ c (kur a, b yra racionalieji skaičiai, c yra sveikasis skaičius, kuris nėra natūraliojo skaičiaus kvadratas), laikyti „konjuguotą“ skaičių a. - b√ c: jo suma ir sandauga su pirminiu - racionalieji skaičiai. Taigi a + b√ c ir a - b√ c yra šaknys kvadratinė lygtis su sveikaisiais koeficientais.

Problemos su sprendimais

1. Įrodykite tai

a) skaičius √ 7;

b) skaičius lg 80;

c) skaičius √ 2 + 3 √ 3;

yra neracionalu.

a) Tarkime, kad skaičius √ 7 yra racionalus. Tada yra kopirminiai p ir q tokie, kad √ 7 = p / q, iš kur gauname p 2 = 7q 2. Kadangi p ir q yra pirminiai, p yra 2, taigi p dalijasi iš 7. Tada p = 7k, kur k yra koks nors natūralusis skaičius. Taigi q 2 = 7k 2 = pk, o tai prieštarauja faktui, kad p ir q yra pirminiai.

Taigi, prielaida yra klaidinga, o tai reiškia, kad skaičius √ 7 yra neracionalus.

b) Tarkime, kad skaičius lg 80 yra racionalus. Tada egzistuoja tokie natūralieji skaičiai p ir q, kad lg 80 = p / q arba 10 p = 80 q, iš kur gauname 2 p – 4q = 5 q – p. Atsižvelgdami į tai, kad skaičiai 2 ir 5 yra pirminiai, matome, kad paskutinė lygybė galima tik esant p – 4q = 0 ir q – p = 0. Iš kur p = q = 0, o tai neįmanoma, nes p ir q yra pasirinktas natūralus.

Taigi, prielaida yra klaidinga, o tai reiškia, kad skaičius lg 80 yra neracionalus.

c) Šį skaičių pažymime x.

Tada (x - √ 2) 3 = 3 arba x 3 + 6x - 3 = √ 2 (3x 2 + 2). Pastatę šią lygtį kvadratu, nustatome, kad x turi tenkinti lygtį

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Tik skaičiai 1 ir –1 gali būti jo racionalios šaknys. Patikrinus matyti, kad 1 ir –1 nėra šaknys.

Taigi, pateiktas skaičius √ 2 + 3 √ 3 yra neracionalus.

2. Yra žinoma, kad skaičiai a, b, √ a –√ b,- racionalus. Įrodyk tai √ a ir √ b Taip pat yra racionalūs skaičiai.

Apsvarstykite produktą

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

Skaičius √ a + √ b, kuri lygi skaičių a - b ir santykiui √ a –√ b, yra racionalus, nes dviejų racionaliųjų skaičių dalijimosi koeficientas yra racionalusis skaičius. Dviejų racionaliųjų skaičių suma

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

- racionalusis skaičius, jų skirtumas,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

taip pat yra racionalus skaičius, jei reikia.

3. Įrodykite, kad yra teigiamų neracionalių skaičių a ir b, kurių skaičius a b yra natūralusis.

4. Ar yra racionalių skaičių a, b, c, d, tenkinančių lygybę?

(a + b √ 2) 2n + (c + d√ 2) 2n = 5 + 4√ 2,

kur n yra natūralusis skaičius?

Jei galioja sąlygoje pateikta lygybė, o skaičiai a, b, c, d yra racionalūs, tai lygybė galioja:

(a-b √ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n = 5 - 4√ 2.

Bet 5 - 4√ 2 (a - b√ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n> 0. Gautas prieštaravimas įrodo, kad pradinė lygybė neįmanoma.

Atsakymas: neegzistuoja.

5. Jei atkarpos, kurių ilgiai a, b, c sudaro trikampį, tai visiems n = 2, 3, 4,. ... ... atkarpos, kurių ilgiai n √ a, n √ b, n √ c taip pat sudaro trikampį. Įrodyk.

Jei atkarpos, kurių ilgiai a, b, c sudaro trikampį, tai trikampio nelygybė suteikia

Todėl turime

(n √ a + n √ b) n> a + b> c = (n √ c) n,

N √ a + n √ b> n √ c.

Likę trikampio nelygybės tikrinimo atvejai nagrinėjami panašiai, iš kur seka išvada.

6. Įrodykite, kad begalinė dešimtainė trupmena 0,1234567891011121314 ... (po kablelio iš eilės išrašomi visi natūralieji skaičiai) yra neracionalusis skaičius.

Kaip žinote, racionalūs skaičiai išreiškiami dešimtainėmis trupmenomis, kurių taškas prasideda nuo tam tikro ženklo. Todėl pakanka įrodyti, kad duotoji trupmena nėra periodinė iš jokio ženklo. Tarkime, kad taip nėra, o tam tikra seka T, susidedanti iš n skaitmenų, yra trupmenos periodas, prasidedantis nuo m-ojo skaitmens po kablelio. Akivaizdu, kad tarp skaitmenų po m-ojo simbolio yra vienetų, kurie skiriasi nuo nulio, todėl skaitmenų sekoje T yra nulinis skaitmuo. Tai reiškia, kad, pradedant nuo m-ojo skaitmens po kablelio, tarp bet kurių n skaitmenų iš eilės yra skaitmuo, kuris nėra nulis. Tačiau šios trupmenos dešimtainiame žymėjime turi būti skaičiaus 100 ... 0 = 10 k dešimtainis žymėjimas, kur k> m ir k> n. Akivaizdu, kad šis įrašas bus m-ojo skaitmens dešinėje ir jame yra daugiau nei n nulių iš eilės. Taigi gauname prieštaravimą, kuris užbaigia įrodymą.

7. Jums duota begalinė dešimtainė trupmena 0, a 1 a 2 .... Įrodykite, kad jo dešimtainio žymėjimo skaičiai gali būti pertvarkyti taip, kad gauta trupmena išreikštų racionalųjį skaičių.

Prisiminkite, kad trupmena išreiškia racionalųjį skaičių tada ir tik tada, kai jis yra periodinis, pradedant tam tikru ženklu. Skaičius nuo 0 iki 9 padalijame į dvi klases: į pirmąją klasę įtraukiame tuos skaičius, kurie pirminėje trupmenoje pasitaiko baigtinį skaičių kartų, į antrąją - tuos, kurie pasitaiko pradinėje trupmenoje. begalinis skaičius kartą. Pradėkime rašyti periodinę trupmeną, kurią galima gauti iš pradinės skaičių permutacijos. Pirmiausia po nulio ir kablelio atsitiktine tvarka užrašome visus skaičius iš pirmos klasės – kiekvieną tiek kartų, kiek pasitaiko pradinėje trupmenoje. Įrašyti pirmos klasės skaitmenys bus prieš tašką dešimtainės trupmenos trupmeninėje dalyje. Toliau tam tikra tvarka po vieną užrašome numerius iš antros klasės. Šį derinį paskelbsime tašku ir kartosime be galo daug kartų. Taigi išrašėme reikiamą periodinę trupmeną, kuri išreiškia kokį nors racionalųjį skaičių.

8. Įrodykite, kad kiekvienoje begalinėje dešimtainėje trupmenoje yra savavališko ilgio po kablelio seka, kuri trupmenos plėtime pasitaiko be galo daug kartų.

Tegu m yra savavališkas natūralusis skaičius. Duotą begalinę dešimtainę trupmeną padalinkime į segmentus, kurių kiekviename yra m skaitmenų. Tokių segmentų bus be galo daug. Kita vertus, yra tik 10 m skirtingų sistemų, susidedančių iš m skaitmenų, tai yra baigtinio skaičiaus. Vadinasi, bent viena iš šių sistemų čia turi būti kartojama be galo daug kartų.

komentuoti. Iracionaliesiems skaičiams √ 2, π arba e mes net nežinome, kuris skaitmuo kartojamas be galo daug kartų juos reprezentuojančiose begalinėse dešimtainėse trupmenose, nors kiekvienas iš šių skaičių, kaip galima lengvai įrodyti, turi bent du skirtingus tokius skaitmenis.

9. Elementariai įrodykite, kad lygties teigiama šaknis

yra neracionalu.

Jei x> 0, kairė lygties pusė didėja didėjant x, ir nesunku pastebėti, kad x = 1,5 ji yra mažesnė nei 10, o x = 1,6 - daugiau nei 10. Todėl vienintelė teigiama šaknis lygtis yra intervale (1,5 ; 1,6).

Šaknį rašome kaip neredukuojamą trupmeną p / q, kur p ir q yra keletas pirminių natūraliųjų skaičių. Tada, kai x = p / q, lygtis bus tokia:

p 5 + pq 4 = 10q 5,

iš kur išplaukia, kad p yra 10 daliklis, todėl p yra lygus vienam iš skaičių 1, 2, 5, 10. Tačiau, išrašydami trupmenas su skaitikliais 1, 2, 5, 10, iškart pastebime, kad nė vienas iš jie patenka į intervalą (1,5; 1,6).

Taigi, teigiama pradinės lygties šaknis negali būti pavaizduota kaip įprasta trupmena, o tai reiškia, kad tai yra neracionalus skaičius.

10. a) Ar plokštumoje yra trys taškai A, B ir C, kad bet kuriame taške X bent vienos atkarpų XA, XB ir XC ilgis būtų neracionalus?

b) Trikampio viršūnių koordinatės yra racionalios. Įrodykite, kad jo apskritimo centro koordinatės taip pat yra racionalios.

c) Ar yra tokia sfera, kurioje yra tiksliai vienas racionalus taškas? (Racionalusis taškas yra taškas, kuriame visos trys Dekarto koordinatės yra racionalieji skaičiai.)

a) Taip, jie tai daro. Tegu C yra atkarpos AB vidurio taškas. Tada XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. Jei skaičius AB 2 yra neracionalus, tai skaičiai XA, XB ir XC vienu metu negali būti racionalūs.

b) Tegu (a 1; b 1), (a 2; b 2) ir (a 3; b 3) yra trikampio viršūnių koordinates. Jo apskritimo centro koordinatės pateikiamos lygčių sistema:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 = (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 = (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Nesunku patikrinti, ar šios lygtys yra tiesinės, vadinasi, nagrinėjamos lygčių sistemos sprendimas yra racionalus.

c) Tokia sfera egzistuoja. Pavyzdžiui, sfera su lygtimi

(x – √ 2) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Taškas O su koordinatėmis (0; 0; 0) yra racionalus taškas, esantis šioje sferoje. Likę sferos taškai yra neracionalūs. Įrodykime tai.

Tarkime priešingai: tegul (x; y; z) yra racionalus rutulio taškas, kuris skiriasi nuo taško O. Akivaizdu, kad x skiriasi nuo 0, nes ties x = 0 yra unikalus sprendinys (0; 0). ; 0), kuri mūsų dabar nedomina. Išplėskime skliaustus ir išreikškime √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

kurios negali būti racionaliesiems x, y, z ir neracionaliems √ 2. Taigi, O (0; 0; 0) yra vienintelis racionalus taškas nagrinėjamoje sferoje.

Užduotys be sprendimų

1. Įrodykite, kad skaičius

\ [\ sqrt (10+ \ sqrt (24) + \ sqrt (40) + \ kv. (60)) \]

yra neracionalu.

2. Kuriems sveikiesiems skaičiams m ir n galioja lygybė (5 + 3√ 2) m = (3 + 5√ 2) n?

3. Ar yra toks skaičius a, kad skaičiai a - √ 3 ir 1 / a + √ 3 būtų sveikieji skaičiai?

4. Ar skaičiai 1, √ 2, 4 gali būti aritmetinės progresijos nariai (nebūtinai gretimi)?

5. Įrodykite, kad bet kuriam natūraliajam skaičiui n lygtis (x + y√3) 2n = 1 + √3 neturi racionaliųjų skaičių (x; y) sprendinių.

Iracionaliojo skaičiaus apibrėžimas

Neracionalūs yra skaičiai, kurie dešimtainiu žymėjimu yra begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos.

Taigi, pavyzdžiui, skaičiai, gauti ištraukus natūraliųjų skaičių kvadratinę šaknį, yra neracionalūs ir nėra natūraliųjų skaičių kvadratai. Tačiau ne visi neracionalieji skaičiai gaunami ištraukus kvadratines šaknis, nes skaičius pi, gautas dalijant, taip pat yra neracionalus, ir vargu ar jį gausite bandydami išgauti natūraliojo skaičiaus kvadratinę šaknį.

Iracionaliųjų skaičių savybės

Skirtingai nei skaičiai, rašomi begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis, tik neracionalūs skaičiai rašomi neperiodinėmis begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis.
Dviejų neneigiamų neracionalių skaičių suma gali būti racionalusis skaičius.
Iracionalieji skaičiai apibrėžia Dedekind dalis racionaliųjų skaičių aibėje, žemesnėje klasėje, kurios neturi daugiausiai didelis skaičius, o viršuje nėra mažesnio.
Bet koks tikras transcendentinis skaičius yra neracionalus.
Visi neracionalūs skaičiai yra arba algebriniai, arba transcendentiniai.
Tiesios linijos neracionaliųjų skaičių aibė yra tankiai supakuota, o tarp bet kurių dviejų visada yra iracionalusis skaičius.
Iracionaliųjų skaičių aibė yra begalinė, neskaičiuojama ir yra 2 kategorijos aibė.
Atliekant bet kokią aritmetinę operaciją su racionaliaisiais skaičiais, išskyrus dalijimą iš 0, rezultatas bus racionalus skaičius.
Pridedant racionalųjį skaičių prie neracionaliojo skaičiaus, rezultatas visada yra neracionalusis skaičius.
Sudėjus iracionaliuosius skaičius, galime gauti racionalųjį skaičių.
Iracionaliųjų skaičių aibė nėra lyginė.

Skaičiai nėra neracionalūs

Kartais sunku atsakyti į klausimą, ar skaičius yra neracionalus, ypač tais atvejais, kai skaičius yra dešimtainės trupmenos arba skaitinės išraiškos, šaknies ar logaritmo pavidalu.
Todėl nebus nereikalinga žinoti, kurie skaičiai nėra neracionalūs. Jei vadovausimės iracionaliųjų skaičių apibrėžimu, tai jau žinome, kad racionalieji skaičiai negali būti neracionalūs.
Neracionalūs skaičiai nėra:
Pirma, visi natūralieji skaičiai;
Antra, sveikieji skaičiai;
Trečia, paprastosios trupmenos;
Ketvirta, skirtingi mišrūs skaičiai;
Penkta, tai yra begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.
Be viso to, kas išdėstyta aukščiau, neracionalusis skaičius negali būti bet koks racionaliųjų skaičių derinys, kurį atlieka aritmetinių operacijų ženklai, pvz., +, -,,:, nes tokiu atveju taip pat bus dviejų racionaliųjų skaičių rezultatas. racionalus skaičius.
Dabar pažiūrėkime, kurie iš skaičių yra neracionalūs:

Ar žinote, kad egzistuoja fanų klubas, kuriame šio paslaptingo matematinio reiškinio gerbėjai ieško vis daugiau informacijos apie Pi, bandydami įminti jo paslaptį? Šio klubo nariu gali tapti bet kuris asmuo, mintinai žinantis tam tikrą pi skaičių po kablelio;
Ar žinojote, kad Vokietijoje, saugomoje UNESCO, yra Castadel Monte rūmai, kurių proporcijų dėka galima apskaičiuoti pi. Šiam numeriui karalius Frydrichas II skyrė ištisus rūmus.
Pasirodo, Pi buvo bandoma panaudoti statybose. Babelio bokštas... Tačiau mūsų labai apgailestaujame, kad tai lėmė projekto žlugimą, nes tuo metu tikslus pi vertės apskaičiavimas nebuvo pakankamai ištirtas.
Dainininkė Keith Bush savo naujame diske įrašė dainą pavadinimu „Pi“, kurioje skambėjo šimtas dvidešimt keturi numeriai iš garsiosios skaičių serijos 3, 141 ... ..

Neracionalus skaičių žymėjimas. Kas yra racionalieji ir iracionalieji skaičiai

Sveikieji skaičiai

Sveiki skaičiai

Racionalūs numeriai

Natūralūs skaičiai $ \ mathbb (N) $

Sveikieji skaičiai $ \ mathbb (Z) $

Racionalieji skaičiai $ \ mathbb (Q) $

Iracionalūs skaičiai $ \ mathbb (I) $

Realieji skaičiai $ \ mathbb (R) $

Sudėtiniai skaičiai $ \ mathbb (C) $

Kolegialus „YouTube“.

Iracionalumo įrodymų pavyzdžiai

2 šaknis

Istorija

Antika

Problemos su sprendimais

Užduotys be sprendimų

Iracionaliojo skaičiaus apibrėžimas

Iracionaliųjų skaičių savybės

Skaičiai nėra neracionalūs