در این درسما روش هایی را برای حل سیستم در نظر خواهیم گرفت معادلات خطی. در درس ریاضیات عالی، سیستم های معادلات خطی باید هم به صورت تکالیف جداگانه حل شوند، مثلاً «حل سیستم با استفاده از فرمول های کرامر» و هم در مسیر حل مسائل دیگر. تقریباً در تمام شاخه های ریاضیات عالی باید با سیستم های معادلات خطی سر و کار داشت.

ابتدا کمی تئوری کلمه ریاضی "خطی" در این مورد به چه معناست؟ یعنی در معادلات سیستم همهمتغیرها گنجانده شده است در درجه اول: هیچ چیز فانتزی مانند و غیره که فقط شرکت کنندگان در المپیادهای ریاضی از آن خوشحال می شوند.

V ریاضیات بالاتربرای تعیین متغیرها، نه تنها از حروف آشنا از دوران کودکی استفاده می شود.
یک گزینه نسبتاً محبوب متغیرهایی با شاخص ها هستند: .
یا حروف ابتدایی الفبای لاتین، کوچک و بزرگ:
یافتن حروف یونانی چندان نادر نیست: - برای بسیاری از "آلفا، بتا، گاما" شناخته شده است. و همچنین مجموعه ای با شاخص ها، مثلاً با حرف "mu":

استفاده از یک یا آن مجموعه حروف بستگی به شاخه ای از ریاضیات عالی دارد که در آن با سیستم معادلات خطی روبرو هستیم. بنابراین، برای مثال، در سیستم های معادلات خطی که در حل انتگرال با آن مواجه می شوند، معادلات دیفرانسیلنشانه گذاری به طور سنتی استفاده می شود

اما مهم نیست که متغیرها چگونه تعیین می شوند، اصول، روش ها و روش های حل یک سیستم معادلات خطی از این تغییر نمی کند. بنابراین، اگر با چیز وحشتناکی مواجه شدید، عجله نکنید که کتاب مشکل را با ترس ببندید، در عوض، می توانید خورشید را بکشید، در عوض - یک پرنده، و در عوض - یک چهره (یک معلم). و به اندازه کافی عجیب، سیستم معادلات خطی با این نمادها نیز قابل حل است.

چیزی که من چنین پیش‌بینی دارم که مقاله بسیار طولانی خواهد بود، بنابراین فهرست کوچکی از مطالب. بنابراین، "توضیحات" متوالی به شرح زیر خواهد بود:

- حل سیستم معادلات خطی به روش جایگزینی (روش مدرسه);
حل سیستم به روش جمع (تفریق) معادلات سیستم;
– حل سیستم با فرمول های کرامر;
– حل سیستم با استفاده از ماتریس معکوس;
– حل سیستم به روش گاوس.

همه با سیستم های معادلات خطی درس ریاضی مدرسه آشنا هستند. در واقع ما با تکرار شروع می کنیم.

حل سیستم معادلات خطی به روش جایگزینی

این روش را می توان «روش مدرسه» یا روش حذف مجهولات نیز نامید. به بیان تصویری، می توان آن را "روش گاوس نیمه تمام" نیز نامید.

مثال 1

در اینجا ما یک سیستم دو معادله با دو مجهول داریم. توجه داشته باشید که عبارت های آزاد (اعداد 5 و 7) در سمت چپ معادله قرار دارند. به طور کلی، فرقی نمی‌کند کجا باشند، در سمت چپ یا راست، فقط در مسائل ریاضیات بالاتر اغلب به همین شکل قرار می‌گیرند. و چنین رکوردی نباید گیج کننده باشد، در صورت لزوم، سیستم را همیشه می توان "طبق معمول" نوشت:. فراموش نکنید که هنگام انتقال یک اصطلاح از قسمتی به قسمت دیگر، باید علامت آن را تغییر دهید.

حل یک سیستم معادلات خطی به چه معناست؟ حل یک سیستم معادلات به معنای یافتن مجموعه جواب های آن است. راه حل سیستم مجموعه ای از مقادیر تمام متغیرهای موجود در آن است، که هر معادله ای از سیستم را به یک برابری واقعی تبدیل می کند. علاوه بر این، سیستم می تواند باشد ناسازگار (راه حلی ندارم)خجالتی نباش، همینطور است تعریف کلی=) ما فقط یک مقدار "x" و یک مقدار "y" خواهیم داشت که هر معادله را با ما برآورده می کند.

یک روش گرافیکی برای حل سیستم وجود دارد که می توانید آن را در درس پیدا کنید. ساده ترین مشکلات با یک خط مستقیم. آنجا صحبت کردم حس هندسیسیستم های دو معادله خطی با دو مجهول. اما اکنون در حیاط عصر جبر است و اعداد - اعداد، اعمال - اعمال.

ما تصمیم گرفتیم: از معادله اول بیان می کنیم:
عبارت به دست آمده را با معادله دوم جایگزین می کنیم:

براکت ها را باز می کنیم، عبارت های مشابه را می دهیم و مقدار را پیدا می کنیم:

بعد، ما به یاد می آوریم که آنها از چه چیزی رقصیدند:
ما قبلاً ارزش را می دانیم، باید پیدا کنیم:

پاسخ:

پس از اینکه هر سیستم معادلات به هر شکلی حل شد، اکیداً توصیه می کنم بررسی کنید (به صورت شفاهی، روی پیش نویس یا ماشین حساب). خوشبختانه این کار به سرعت و به راحتی انجام می شود.

1) جواب یافت شده را در معادله اول جایگزین کنید:

- برابری صحیح به دست می آید.

2) جواب پیدا شده را در معادله دوم جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید.

یا به بیان ساده تر، "همه چیز به هم رسید"

روش حل در نظر گرفته شده تنها روش نیست؛ از معادله اول امکان بیان وجود داشت، اما نه.
می توانید برعکس - چیزی را از معادله دوم بیان کنید و آن را به معادله اول جایگزین کنید. ضمناً توجه داشته باشید که مضرترین راه از چهار راه بیان از معادله دوم است:

کسری به دست می آید، اما چرا؟ راه حل منطقی تری وجود دارد.

با این حال، در برخی موارد، کسری هنوز ضروری است. در این راستا توجه شما را به نحوه نوشتن عبارت جلب می کنم. نه به این صورت: و نه به هیچ وجه اینگونه: .

اگر در ریاضیات بالاتر با اعداد کسری سر و کار دارید، سعی کنید تمام محاسبات را در کسرهای نامناسب معمولی انجام دهید.

دقیقاً، نه یا!

کاما را فقط می توان گاهی اوقات استفاده کرد، به ویژه اگر - این پاسخ نهایی برای برخی از مشکلات است، و نیازی به انجام اقدامات بعدی با این شماره نیست.

احتمالاً بسیاری از خوانندگان فکر می کنند "چرا چنین توضیح مفصلی برای کلاس تصحیح و همه چیز روشن است". هیچ چیز از این دست، به نظر می رسد که این یک نمونه مدرسه ساده است، اما چقدر نتیجه گیری بسیار مهم! اینم یکی دیگه:

هر کاری باید تلاش کرد تا به منطقی ترین روش انجام شود.. اگر فقط به این دلیل که باعث صرفه جویی در زمان و اعصاب می شود و همچنین احتمال اشتباه را کاهش می دهد.

اگر در یک کار در ریاضیات عالی با سیستمی متشکل از دو معادله خطی با دو مجهول مواجه شدید، همیشه می توانید از روش جایگزینی استفاده کنید (مگر اینکه مشخص شود که سیستم باید با روش دیگری حل شود).
علاوه بر این، در برخی موارد، روش جایگزینی برای استفاده با تعداد بیشتری از متغیرها توصیه می شود.

مثال 2

حل یک سیستم معادلات خطی با سه مجهول

یک سیستم معادلات مشابه اغلب هنگام استفاده از روش به اصطلاح ضرایب نامعین، زمانی که انتگرال یک تابع کسری گویا را می‌یابیم، به وجود می‌آید. سیستم مورد نظر توسط من از آنجا گرفته شده است.

هنگام یافتن انتگرال - هدف به سرعتمقادیر ضرایب را پیدا کنید و با فرمول های کرامر، روش ماتریس معکوس و غیره پیچیده نباشید. بنابراین، در این مورد، روش جایگزینی مناسب است.

هنگامی که هر سیستم معادلات داده می شود، اول از همه مطلوب است که آن را پیدا کنید، اما آیا می توان به نحوی آن را بلافاصله ساده کرد؟ با تجزیه و تحلیل معادلات سیستم متوجه می شویم که معادله دوم سیستم را می توان بر 2 تقسیم کرد که این کار را انجام می دهیم:

ارجاع: علامت ریاضیبه معنی "از این به دنبال این است"، اغلب در دوره حل مشکلات استفاده می شود.

حالا معادلات را تجزیه و تحلیل می کنیم، باید مقداری متغیر را از طریق بقیه بیان کنیم. کدام معادله را انتخاب کنیم؟ احتمالاً قبلاً حدس زده اید که ساده ترین راه برای این منظور استفاده از اولین معادله سیستم است:

در اینجا، مهم نیست که کدام متغیر را بیان کنیم، می‌توان به خوبی بیان کرد یا .

بعد، عبارت را جایگزین معادلات دوم و سوم سیستم می کنیم:

پرانتزها را باز کنید و اصطلاحات مشابه را اضافه کنید:

معادله سوم را بر 2 تقسیم می کنیم:

از معادله دوم بیان می کنیم و معادله سوم را جایگزین می کنیم:

تقریباً همه چیز آماده است، از معادله سوم درمی یابیم:
از معادله دوم:
از معادله اول:

بررسی کنید: مقادیر یافت شده متغیرها را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین کنید:

1)
2)
3)

سمت راست معادلات مربوطه به دست می آید، بنابراین راه حل به درستی پیدا می شود.

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با 4 مجهول

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ آخر درس).

حل سیستم با جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم

در حل سیستم معادلات خطی، باید سعی شود از "روش مدرسه" استفاده نشود، بلکه از روش جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم استفاده شود. چرا؟ این باعث صرفه جویی در زمان می شود و محاسبات را ساده می کند، با این حال، اکنون واضح تر خواهد شد.

مثال 4

حل سیستم معادلات خطی:

من همان سیستم را مثال اول گرفتم.
با تجزیه و تحلیل سیستم معادلات، متوجه می شویم که ضرایب متغیر از نظر قدر مطلق یکسان و در علامت (-1 و 1) مخالف هستند. در این شرایط، معادلات را می توان ترم به ترم اضافه کرد:

اقدامات دایره شده با رنگ قرمز به صورت ذهنی انجام می شود.
همانطور که می بینید، در نتیجه جمع ترمی، متغیر را از دست داده ایم. این، در واقع، است ماهیت روش خلاص شدن از شر یکی از متغیرها است.

همانطور که از قضایای کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی، سه حالت ممکن است رخ دهد:

حالت اول: سیستم معادلات خطی یک راه حل منحصر به فرد دارد

(سیستم ثابت و قطعی است)

حالت دوم: سیستم معادلات خطی بی نهایت جواب دارد

(سیستم سازگار و نامعین است)

** ,

آن ها ضرایب مجهولات و جمله های آزاد متناسب هستند.

حالت سوم: سیستم معادلات خطی هیچ جوابی ندارد

(سیستم ناسازگار است)

پس سیستم مترمعادلات خطی با nمتغیرها نامیده می شود ناسازگاراگر راه حلی نداشته باشد و مفصلاگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم معادلات مشترکی که فقط یک جواب دارد نامیده می شود مسلم - قطعی، و بیش از یک نا معلوم.

نمونه هایی از حل سیستم های معادلات خطی به روش کرامر

اجازه دهید سیستم

.

بر اساس قضیه کرامر

………….
,

جایی که
-

شناسه سیستم تعیین‌کننده‌های باقی‌مانده با جایگزینی ستون با ضرایب متغیر مربوطه (ناشناخته) با اعضای آزاد به‌دست می‌آیند:

مثال 2

.

بنابراین، سیستم قطعی است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده ها را محاسبه می کنیم

با فرمول های کرامر در می یابیم:

بنابراین، (1؛ 0؛ -1) تنها راه حل برای سیستم است.

برای بررسی جواب سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از ماشین حساب آنلاین استفاده کنید. روش تعیین کنندهکرامر.

اگر هیچ متغیری در سیستم معادلات خطی در یک یا چند معادله وجود نداشته باشد، در تعیین کننده عناصر مربوط به آنها برابر با صفر است! این مثال بعدی است.

مثال 3حل سیستم معادلات خطی به روش کرامر:

.

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

با دقت به سیستم معادلات و تعیین کننده سیستم نگاه کنید و پاسخ این سوال را تکرار کنید که در کدام موارد یک یا چند عنصر از تعیین کننده برابر با صفر است. بنابراین، تعیین برابر با صفر نیست، بنابراین، سیستم معین است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده مجهولات را محاسبه می کنیم

با فرمول های کرامر در می یابیم:

بنابراین، راه حل سیستم (2; -1; 1) است.

6. سیستم عمومی خطی معادلات جبری. روش گاوس

همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریسی در مواردی که سیستم دارای راه حل های بی نهایت زیاد یا ناسازگار است نامناسب است. روش گاوس – قوی ترین و ابزار جهانیبرای یافتن راه حل برای هر سیستم معادلات خطی، که در هر موردما را به پاسخ سوق دهد! الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند. اگر روش‌های کرامر و ماتریس نیاز به دانش عوامل تعیین کننده دارند، در این صورت استفاده از روش گاوس فقط به دانش عملیات حسابی نیاز دارد که حتی برای دانش‌آموزان هم قابل دسترسی است. دبستان.

ابتدا دانش مربوط به سیستم های معادلات خطی را کمی نظام مند می کنیم. یک سیستم معادلات خطی می تواند:

1) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).

روش گاوس قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل است هرسیستم های معادلات خطی همانطور که به یاد داریم قانون کرامر و روش ماتریسدر مواردی که سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد یا ناسازگار است نامناسب هستند. روشی برای حذف متوالی مجهولات به هر حالما را به پاسخ سوق دهد! در این درس مجدداً روش گاوس را برای مورد شماره 1 (تنها راه حل سیستم) در نظر می گیریم، مقاله برای موقعیت های شماره 2-3 محفوظ است. توجه دارم که خود الگوریتم روش در هر سه مورد به یک شکل عمل می کند.

بازگشت به ساده ترین سیستماز درس چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟
و با استفاده از روش گاوسی حل کنید.

اولین قدم نوشتن است سیستم ماتریس توسعه یافته:
. ضرایب با چه اصولی ثبت می شود، فکر می کنم همه می توانند ببینند. خط عمودی داخل ماتریس هیچ معنای ریاضی ندارد - این فقط یک خط خطی برای سهولت طراحی است.

مرجع:توصیه می کنم به خاطر بسپارید مقرراتجبر خطی. ماتریس سیستمماتریسی است که فقط از ضرایبی برای مجهولات تشکیل شده است، در این مثال، ماتریس سیستم: . ماتریس سیستم توسعه یافتههمان ماتریس سیستم به اضافه ستونی از عبارات آزاد است، در این مورد: . هر یک از ماتریس ها را می توان برای اختصار به سادگی ماتریس نامید.

پس از نوشته شدن ماتریس توسعه یافته سیستم، لازم است اقداماتی با آن انجام شود که به آنها نیز گفته می شود. تحولات ابتدایی.

تحولات ابتدایی زیر وجود دارد:

1) رشته هایماتریس ها قابل تنظیم مجددمکان ها به عنوان مثال، در ماتریس مورد بررسی، می توانید با خیال راحت ردیف های اول و دوم را دوباره مرتب کنید:

2) اگر ماتریس حاوی (یا ظاهر شد) متناسب (مانند مورد خاصرشته ها یکسان هستند، سپس دنبال می شود حذفاز ماتریس، همه این ردیف ها به جز یک. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید . در این ماتریس، سه ردیف آخر متناسب هستند، بنابراین کافی است تنها یکی از آنها باقی بماند: .

3) اگر یک ردیف صفر در ماتریس در طول تبدیل ها ظاهر شد، پس از آن نیز می آید حذف. من رسم نمی کنم، البته، خط صفر خطی است که در آن فقط صفرها.

4) ردیف ماتریس می تواند باشد ضرب (تقسیم)برای هر شماره غیر صفر. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید. در اینجا توصیه می شود خط اول را بر -3 تقسیم کنید و خط دوم را در 2 ضرب کنید: . این عمل بسیار مفید است، زیرا تبدیل های بیشتر ماتریس را ساده می کند.

5) این دگرگونی بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع هیچ چیز پیچیده ای نیز وجود ندارد. به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است. ماتریس ما را از در نظر بگیرید مطالعه موردی: . ابتدا، من تحول را با جزئیات کامل شرح خواهم داد. ردیف اول را در -2 ضرب کنید: ، و به خط دوم، خط اول را ضرب در 2- می کنیم: . اکنون خط اول را می توان "بازگشت" به -2 تقسیم کرد: . همانطور که می بینید، خطی که اضافه شده است LI – تغییر نکرده است. همیشه ... هستخط تغییر کرده است که به آن اضافه شده است UT.

البته، در عمل، آنها با این جزئیات نقاشی نمی کنند، اما کوتاه تر می نویسند:

بار دیگر: به خط دوم ردیف اول ضرب در -2 را اضافه کرد. خط معمولاً به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس ضرب می شود، در حالی که دوره ذهنی محاسبات چیزی شبیه به این است:

من ماتریس را بازنویسی می کنم و ردیف اول را بازنویسی می کنم: »

اول ستون اول در زیر باید صفر بگیرم. بنابراین، واحد بالا را در -2: ضرب می کنم و اولین را به خط دوم اضافه می کنم: 2 + (-2) = 0. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

اکنون ستون دوم. بالای -1 برابر -2: . اولی را به خط دوم اضافه می کنم: 1 + 2 = 3. نتیجه را به خط دوم می نویسم: »

و ستون سوم. بالای -5 برابر -2: . خط اول را به خط دوم اضافه می کنم: -7 + 10 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

لطفاً به دقت در مورد این مثال فکر کنید و الگوریتم محاسبه ترتیبی را درک کنید، اگر این را درک می کنید، روش گاوس عملاً "در جیب شما" است. اما، البته، ما همچنان روی این تحول کار می کنیم.

تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند

! توجه: دستکاری در نظر گرفته شده است نمی تواند استفاده کند، اگر کاری به شما پیشنهاد می شود که در آن ماتریس ها "به خودی خود" داده می شوند. به عنوان مثال، با "کلاسیک" ماتریس هابه هیچ وجه نباید چیزی را در داخل ماتریس ها تنظیم مجدد کنید!

بیایید به سیستم خود برگردیم. او عملاً تکه تکه شده است.

اجازه دهید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم و استفاده کنیم تحولات ابتداییاو را به نمای پلکانی:

(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. و دوباره: چرا ردیف اول را در -2 ضرب می کنیم؟ برای به دست آوردن صفر در پایین، یعنی خلاص شدن از شر یک متغیر در خط دوم.

(2) ردیف دوم را بر 3 تقسیم کنید.

هدف از تحولات ابتدایی – تبدیل ماتریس به فرم مرحله ای: . در طراحی کار ، آنها مستقیماً "نردبان" را با یک مداد ساده بیرون می آورند و همچنین اعدادی را که روی "پله ها" قرار دارند دور می زنند. اصطلاح "نمای پلکانی" به خودی خود کاملاً نظری نیست، در علم و ادبیات آموزشیاغلب نامیده می شود نمای ذوزنقه اییا نمای مثلثی.

در نتیجه تحولات ابتدایی به دست آورده ایم معادلسیستم اصلی معادلات:

اکنون سیستم باید در جهت مخالف "پیچیده" شود - از پایین به بالا، این فرآیند نامیده می شود روش گاوس معکوس.

در معادله پایین، ما از قبل نتیجه نهایی را داریم: .

اولین معادله سیستم را در نظر بگیرید و از قبل آن را جایگزین کنید ارزش شناخته شده"یگ":

رایج ترین وضعیتی را در نظر بگیرید که روش گاوسی برای حل مورد نیاز است سهمعادلات خطی در سه مجهول

مثال 1

حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس:

بیایید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم:

اکنون من فوراً نتیجه ای را ترسیم می کنم که در طول راه حل به آن خواهیم رسید:

و تکرار می کنم، هدف ما این است که با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به شکل پلکانی برسانیم. از کجا باید اقدام کرد؟

ابتدا به عدد بالا سمت چپ نگاه کنید:

تقریباً همیشه باید اینجا باشد واحد. به طور کلی، -1 (و گاهی اوقات اعداد دیگر) نیز مناسب است، اما به نوعی به طور سنتی اتفاق می افتد که معمولا یک واحد در آنجا قرار می گیرد. چگونه یک واحد را سازماندهی کنیم؟ ما به ستون اول نگاه می کنیم - ما یک واحد تمام شده داریم! تبدیل اول: خط اول و سوم را عوض کنید:

اکنون خط اول تا پایان راه حل بدون تغییر باقی می ماند. حالا خوبه

واحد در بالا سمت چپ سازماندهی شده است. حالا باید در این مکان ها صفر بگیرید:

صفرها فقط با کمک یک تبدیل "سخت" به دست می آیند. ابتدا با خط دوم (2، -1، 3، 13) سروکار داریم. برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول چه باید کرد؟ نیاز به به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -2 ضرب می کنیم: (-2، -4، 2، -18). و ما به طور مداوم (دوباره ذهنی یا بر اساس پیش نویس) اضافه می کنیم، به خط دوم ما خط اول را که قبلاً در -2 ضرب شده است اضافه می کنیم:

نتیجه در خط دوم نوشته شده است:

به همین ترتیب با خط سوم (3، 2، -5، -1) سروکار داریم. برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول، شما نیاز دارید به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -3 ضرب می کنیم: (-3، -6، 3، -27). و به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه می کنیم:

نتیجه در خط سوم نوشته شده است:

در عمل، این اقدامات معمولاً به صورت شفاهی انجام می شود و در یک مرحله نوشته می شود:

نیازی نیست همه چیز را یکجا و همزمان بشمارید. ترتیب محاسبات و "درج" نتایج استوارو معمولاً به این صورت است: ابتدا خط اول را بازنویسی می کنیم و خودمان را آرام پف می کنیم - به طور مداوم و با دقت:


و من قبلاً سیر ذهنی خود محاسبات را در بالا در نظر گرفته ام.

در این مثال، انجام این کار آسان است، ما خط دوم را بر 5- تقسیم می کنیم (زیرا همه اعداد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر هستند). در همان زمان، خط سوم را بر 2- تقسیم می کنیم، زیرا هر چه عدد کوچکتر باشد، راه حل ساده تر است:

در مرحله نهایی تبدیل های ابتدایی، یک صفر دیگر باید در اینجا به دست آید:

برای این به خط سوم، خط دوم را در 2- ضرب می کنیم:


سعی کنید خودتان این عمل را تجزیه کنید - خط دوم را به صورت ذهنی در -2 ضرب کنید و جمع را انجام دهید.

آخرین عمل انجام شده مدل موی نتیجه است، خط سوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تبدیل های ابتدایی، یک سیستم اولیه معادل معادلات خطی به دست آمد:

سرد.

اکنون مسیر معکوس روش گاوسی وارد عمل می شود. معادلات از پایین به بالا "باز می شوند".

در معادله سوم، ما از قبل نتیجه نهایی را داریم:

به معادله دوم نگاه می کنیم: . معنای "ز" قبلاً شناخته شده است، بنابراین:

و در نهایت معادله اول: . «ی» و «ز» معلوم است، موضوع کوچک است:

پاسخ:

همانطور که بارها اشاره شده است، برای هر سیستم معادلات، بررسی راه حل یافت شده ممکن و ضروری است، خوشبختانه این کار دشوار و سریع نیست.

مثال 2

این یک مثال برای حل خود، نمونه اتمام و پاسخ در پایان درس است.

لازم به ذکر است که شما دوره عملممکن است با مسیر عمل من همخوانی نداشته باشد، و این یکی از ویژگی های روش گاوس است. اما پاسخ ها باید یکسان باشد!

مثال 3

یک سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل کنید

ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد ردیف ها هیچ چیز حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. من این کار را انجام دادم:
(1) به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و جمع سطر اول و دوم را انجام دادیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک"، که کاملا مناسب ما است. کسانی که می خواهند 1+ بگیرند می توانند یک حرکت اضافی انجام دهند: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

(2) ردیف اول ضرب در 5 به ردیف دوم اضافه شد و ردیف اول ضرب در 3 به ردیف سوم اضافه شد.

(3) خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به مکان دوم منتقل شد و بدین ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نظر را داشتیم.

(4) خط دوم ضرب در 2 به خط سوم اضافه شد.

(5) ردیف سوم بر 3 تقسیم شد.

یک علامت بد که نشان دهنده یک خطای محاسباتی است (کمتر یک اشتباه تایپی) یک نتیجه "بد" است. یعنی اگر چیزی مانند زیر بدست آوریم و بر این اساس ، پس با درجه احتمال بالایی می توان استدلال کرد که در جریان تحولات ابتدایی خطایی رخ داده است.

ما حرکت معکوس را شارژ می کنیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند". معکوس، یادآوری می کنم، از پایین به بالا کار می کند. بله، این یک هدیه است:

پاسخ: .

مثال 4

یک سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل کنید

این نمونه ای برای یک راه حل مستقل است، تا حدودی پیچیده تر است. اگر کسی گیج شود اشکالی ندارد. نمونه کامل حل و طراحی در پایان درس. راه حل شما ممکن است با من متفاوت باشد.

در قسمت آخر به برخی از ویژگی های الگوریتم گاوس می پردازیم.
اولین ویژگی این است که گاهی اوقات برخی از متغیرها در معادلات سیستم گم می شوند، به عنوان مثال:

چگونه ماتریس تقویت شده سیستم را به درستی بنویسیم؟ قبلاً در مورد این لحظه در درس صحبت کردم. قانون کرامر روش ماتریسی. در ماتریس توسعه یافته سیستم، صفر را به جای متغیرهای گم شده قرار می دهیم:

به هر حال، این یک مثال نسبتاً آسان است، زیرا قبلاً یک صفر در ستون اول وجود دارد و تبدیل‌های اولیه کمتری برای انجام وجود دارد.

ویژگی دوم این است. در تمام مثال‌های در نظر گرفته شده، ما ۱- یا ۱+ را روی «گام‌ها» قرار دادیم. ممکن است اعداد دیگری وجود داشته باشد؟ در برخی موارد می توانند. سیستم را در نظر بگیرید: .

در اینجا در سمت چپ "پله" ما یک دوش داریم. اما ما متوجه این واقعیت هستیم که تمام اعداد در ستون اول بر 2 بدون باقی مانده بخش پذیر هستند - و دو و شش دیگر. و دوسه در بالا سمت چپ مناسب ما خواهد بود! در مرحله اول، شما باید تبدیل های زیر را انجام دهید: خط اول ضرب در -1 را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. بنابراین ما به دست خواهیم آورد صفرهای مورد نیازدر ستون اول

یا مثال فرضی دیگری: . در اینجا، سه گانه در "پله" دوم نیز برای ما مناسب است، زیرا 12 (محلی که باید صفر را بدست آوریم) بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر است. لازم است تبدیل زیر را انجام دهید: به خط سوم، خط دوم را ضرب در -4 اضافه کنید، در نتیجه صفر مورد نیاز ما به دست می آید.

روش گاوس جهانی است، اما یک ویژگی وجود دارد. شما می توانید با اطمینان یاد بگیرید که چگونه سیستم ها را با روش های دیگر حل کنید (روش کرامر، روش ماتریس) به معنای واقعی کلمه از اولین بار - یک الگوریتم بسیار سفت و سخت وجود دارد. اما برای اینکه به روش گاوس اطمینان داشته باشید، باید "دست خود را پر کنید" و حداقل 5-10 سیستم را حل کنید. بنابراین، در ابتدا ممکن است سردرگمی، اشتباه در محاسبات وجود داشته باشد و هیچ چیز غیرعادی یا غم انگیزی در این وجود ندارد.

هوای بارانی پاییزی بیرون از پنجره .... بنابراین، برای همه بیشتر مثال پیچیدهبرای راه حل مستقل:

مثال 5

با روش گاوس حل کنید سیستم چهار نفرهمعادلات خطی در چهار مجهول

چنین کاری در عمل چندان نادر نیست. من فکر می کنم که حتی قوری که این صفحه را با جزئیات مطالعه کرده است، الگوریتم حل چنین سیستمی را به طور مستقیم درک می کند. اساساً یکسان است - فقط اقدام بیشتر.

مواردی که سیستم راه حلی نداشته باشد (ناسازگار) یا بی نهایت راه حل دارد در درس در نظر گرفته می شود. سیستم ها و سیستم های ناسازگار با راه حل مشترک . در آنجا می توانید الگوریتم در نظر گرفته شده روش گاوس را اصلاح کنید.

برایت ارزوی موفقیت میکنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل: بیایید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم و با کمک تبدیل های ابتدایی آن را به صورت پلکانی در آوریم.


تحولات ابتدایی را انجام داد:
(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1. توجه!در اینجا ممکن است وسوسه انگیز باشد که خط اول را از خط سوم کم کنید، من اکیداً تفریق را توصیه نمی کنم - خطر خطا به شدت افزایش می یابد. ما فقط تا می کنیم!
(2) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط دوم و سوم عوض شده است. توجه داشته باشیدکه در "پله ها" ما نه تنها با یک، بلکه با -1 راضی هستیم که حتی راحت تر است.
(3) به خط سوم، خط دوم را در 5 ضرب کنید.
(4) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط سوم بر 14 تقسیم شد.

حرکت معکوس:

پاسخ: .

مثال 4: راه حل: بیایید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم و با کمک تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای در آوریم:

تبدیل های انجام شده:
(1) خط دوم به خط اول اضافه شد. بنابراین، واحد مورد نظر در "پله" بالا سمت چپ سازماندهی شده است.
(2) ردیف اول ضرب در 7 به ردیف دوم اضافه شد و ردیف اول ضرب در 6 به ردیف سوم اضافه شد.

با "گام" دوم همه چیز بدتر است، "نامزدهای" آن اعداد 17 و 23 هستند و به یک یا -1 نیاز داریم. دگرگونی های (3) و (4) با هدف به دست آوردن واحد مورد نظر خواهد بود

(3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.
(4) خط سوم ضرب در 3- به خط دوم اضافه شد.
مورد لازم در مرحله دوم دریافت می شود .
(5) به خط سوم، دوم را در 6 ضرب می کنیم.

در داخل دروس روش گاوسو سیستم/سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترکدر نظر گرفتیم سیستم های ناهمگن معادلات خطی، جایی که عضو رایگان(که معمولا در سمت راست است) حداقل یکیمعادلات با صفر متفاوت بود.
و حالا، پس از یک گرم کردن خوب با رتبه ماتریسی، ما به صیقل دادن تکنیک ادامه خواهیم داد تحولات ابتداییبر روی سیستم همگن معادلات خطی.
با توجه به پاراگراف های اول، ممکن است مطالب خسته کننده و معمولی به نظر برسد، اما برداشت داده شدهفریبنده علاوه بر توسعه بیشتر تکنیک ها، اطلاعات جدید زیادی نیز وجود خواهد داشت، بنابراین لطفاً سعی کنید از مثال های این مقاله غافل نشوید.

روش گاوسی دارای تعدادی معایب است: تا زمانی که تمام تغییرات لازم در روش گاوسی انجام نشده باشد، نمی توان فهمید که آیا سیستم سازگار است یا خیر. روش گاوسی برای سیستم هایی با ضرایب حرفی مناسب نیست.

روش های دیگری را برای حل سیستم های معادلات خطی در نظر بگیرید. این روش ها از مفهوم رتبه یک ماتریس استفاده می کنند و حل هر سیستم مشترک را به حل سیستمی که قانون کرامر در مورد آن اعمال می شود کاهش می دهد.

مثال 1یک راه حل کلی پیدا کنید سیستم بعدیمعادلات خطی با استفاده از سیستم اساسی راه حل های سیستم همگن کاهش یافته و یک راه حل خاص از سیستم ناهمگن.

1. ماتریس درست می کنیم آو ماتریس تقویت شده سیستم (1)

2. سیستم را کاوش کنید (1) برای سازگاری برای انجام این کار، رتبه های ماتریس ها را پیدا می کنیم آو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">. اگر معلوم شد که سیستم (1) ناسازگار اگر ما آن را دریافت کنیم ، سپس این سیستم سازگار است و ما آن را حل خواهیم کرد. (مطالعه سازگاری بر اساس قضیه کرونکر-کاپلی است).

آ. ما پیدا می کنیم rA.

برای پیدا کردن rA، ما به طور متوالی مینورهای غیر صفر ترتیبات اول، دوم و غیره ماتریس را در نظر خواهیم گرفت. آو خردسالان اطراف آنها

M1=1≠0 (1 از گوشه سمت چپ بالای ماتریس گرفته شده است آ).

مرزبندی M1سطر دوم و ستون دوم این ماتریس. . ما به مرز ادامه می دهیم M1خط دوم و ستون سوم..gif" width="37" height="20 src=">. حالا مینور غیر صفر را حاشیه می کنیم. М2′مرتبه دوم.

ما داریم: (چون دو ستون اول یکسان هستند)

(چون خط دوم و سوم متناسب هستند).

ما آن را می بینیم rA=2، و مینور پایه ماتریس است آ.

ب ما پیدا می کنیم .

به اندازه کافی پایه جزئی М2′ماتریس ها آحاشیه با ستونی از اعضای آزاد و تمام خطوط (ما فقط آخرین خط را داریم).

. از این نتیجه می شود که М3′′مینور اصلی ماتریس باقی می ماند https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

زیرا М2′- مینور پایه ماتریس آسیستم های (2) ، پس این سیستم معادل سیستم است (3) ، از دو معادله اول سیستم تشکیل شده است (2) (برای М2′در دو ردیف اول ماتریس A قرار دارد.

(3)

از آنجایی که مینور اصلی https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> است. (4)

در این سیستم دو مجهول رایگان ( x2 و x4 ). بنابراین FSR سیستم های (4) از دو راه حل تشکیل شده است برای پیدا کردن آنها، مجهولات رایگان را به آنها اختصاص می دهیم (4) اول ارزش ها x2=1 , x4=0 ، و سپس - x2=0 , x4=1 .

در x2=1 , x4=0 ما گرفتیم:

.

این سیستم قبلاً دارد تنها چیزی راه حل (می توان آن را با قانون کرامر یا هر روش دیگری پیدا کرد). با کم کردن معادله اول از معادله دوم به دست می آید:

تصمیم او خواهد بود x1= -1 , x3=0 . با توجه به مقادیر x2 و x4 ، که داده ایم، اول را می گیریم تصمیم اساسیسیستم های (2) : .

حالا می گذاریم (4) x2=0 , x4=1 . ما گرفتیم:

.

ما این سیستم را با استفاده از قضیه کرامر حل می کنیم:

.

ما دومین راه حل اساسی سیستم را به دست می آوریم (2) : .

راه حل ها β1 , β2 و آرایش کنید FSR سیستم های (2) . سپس راه حل کلی آن خواهد بود

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1، 1، 0، 0)+С2(5، 0، 4، 1)=(-С1+5С2، С1، 4С2، С2)

اینجا C1 , C2 ثابت دلخواه هستند

4. یکی را پیدا کنید خصوصی راه حل سیستم ناهمگن(1) . همانطور که در پاراگراف است 3 ، به جای سیستم (1) سیستم معادل را در نظر بگیرید (5) ، از دو معادله اول سیستم تشکیل شده است (1) .

(5)

مجهولات رایگان را به سمت راست منتقل می کنیم x2و x4.

(6)

مجهولات مجانی بدهیم x2 و x4 مقادیر دلخواه، برای مثال، x2=2 , x4=1 و آنها را به آن وصل کنید (6) . بیایید سیستم را دریافت کنیم

این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (به دلیل تعیین کننده آن М2′0). با حل آن (با استفاده از قضیه کرامر یا روش گاوس)، به دست می آوریم x1=3 , x3=3 . با توجه به مقادیر مجهولات رایگان x2 و x4 ، ما گرفتیم راه حل خاص یک سیستم ناهمگن(1)α1=(3،2،3،1).

5. اکنون نوشتن باقی مانده است راه حل کلی α یک سیستم ناهمگن(1) : برابر است با جمع تصمیم خصوصیاین سیستم و راه حل کلی سیستم همگن کاهش یافته آن (2) :

α=α1+γ=(3، 2، 3، 1)+(‑С1+5С2، С1، 4С2، С2).

این یعنی: (7)

6. معاینه.برای بررسی اینکه آیا سیستم را به درستی حل کرده اید یا خیر (1) ، ما به یک راه حل کلی نیاز داریم (7) جایگزین در (1) . اگر هر معادله به یک هویت تبدیل شود ( C1 و C2 باید از بین برود)، سپس راه حل به درستی پیدا می شود.

جایگزین خواهیم کرد (7) به عنوان مثال، فقط در آخرین معادله سیستم (1) (ایکس1 + ایکس2 + ایکس3 ‑9 ایکس4 =‑1) .

دریافت می کنیم: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

جایی که -1=-1. ما هویت گرفتیم ما این کار را با تمام معادلات دیگر سیستم انجام می دهیم (1) .

اظهار نظر.تأیید معمولاً بسیار دشوار است. ما می توانیم "تأیید جزئی" زیر را توصیه کنیم: در راه حل کلی سیستم (1) مقادیری را به ثابت های دلخواه اختصاص دهید و راه حل خاص به دست آمده را فقط در معادلات حذف شده جایگزین کنید (یعنی در آن معادلات از (1) که شامل نمی شوند (5) ). اگر هویت پیدا کردید، پس به احتمال زیاد، راه حل سیستم (1) به درستی یافت شده است (اما چنین چکی تضمین کاملی از صحت نمی دهد!). به عنوان مثال، اگر در (7) قرار دادن C2=- 1 , C1=1، سپس به دست می آوریم: x1=-3، x2=3، x3=-1، x4=0. با جایگزینی آخرین معادله سیستم (1) داریم: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، یعنی –1=–1. ما هویت گرفتیم

مثال 2یک راه حل کلی برای یک سیستم معادلات خطی پیدا کنید (1) ، مجهولات اصلی را بر حسب مجهولات بیان می کند.

راه حل.همانطور که در مثال 1، ماتریس ها را بنویسید آو https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> از این ماتریس ها حالا فقط آن معادلات سیستم را باقی می گذاریم. (1) ، که ضرایب آن در این مینور اصلی قرار می گیرند (یعنی دو معادله اول را داریم) و سیستم متشکل از آنها را که معادل سیستم (1) است در نظر می گیریم.

اجازه دهید مجهولات آزاد را به سمت راست این معادلات منتقل کنیم.

سیستم (9) ما با استفاده از روش گاوسی با در نظر گرفتن قطعات مناسب به عنوان اعضای آزاد حل می کنیم.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

گزینه 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

گزینه 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

گزینه 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

گزینه 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

با این برنامه ریاضی می توانید یک سیستم دو معادله خطی را با دو متغیر به روش جایگزینی و روش جمع حل کنید.

این برنامه نه تنها پاسخ مسئله را می دهد، بلکه یک راه حل مفصل با توضیحاتی در مورد مراحل حل به دو روش ارائه می دهد: روش جایگزینی و روش جمع.

این برنامهممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی در آماده سازی مفید باشد کار کنترلو امتحانات، هنگام تست دانش قبل از امتحان، والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم خصوصی یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این مورد، شما همچنین می توانید از برنامه های ما با یک راه حل دقیق استفاده کنید.

به این ترتیب می توانید آموزش های خود و/یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید و در عین حال سطح تحصیلات در زمینه کارهایی که باید حل شوند افزایش می یابد.

قوانین ورود به معادلات

هر حرف لاتین می تواند به عنوان یک متغیر عمل کند.
به عنوان مثال: \(x، y، z، a، b، c، o، p، q \) و غیره.

هنگام وارد کردن معادلات می توانید از براکت استفاده کنید. در این حالت ابتدا معادلات ساده می شوند. معادلات پس از ساده سازی باید خطی باشند، یعنی. از شکل ax+by+c=0 با دقت ترتیب عناصر.
به عنوان مثال: 6x+1 = 5(x+y)+2

در معادلات می توانید نه تنها از اعداد صحیح، بلکه از اعداد کسری به صورت اعشاری و کسری معمولی نیز استفاده کنید.

قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
جزء صحیح و کسری کسرهای اعشاریرا می توان با یک نقطه یا یک کاما از هم جدا کرد.
به عنوان مثال: 2.1n + 3.5m = 55

قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.
مخرج نمی تواند منفی باشد.
هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
قسمت صحیح توسط یک آمپرسند از کسری جدا می شود: &

مثال ها.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7 (3.5p - 2&1/8q)

حل یک سیستم معادلات

مشخص شد که برخی از اسکریپت های مورد نیاز برای حل این کار بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

شما جاوا اسکریپت را در مرورگر خود غیرفعال کرده اید.
جاوا اسکریپت باید فعال باشد تا راه حل ظاهر شود.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند، درخواست شما در صف است.
پس از چند ثانیه، راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در مورد آن در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

حل سیستم معادلات خطی. روش تعویض

دنباله اقدامات هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با روش جایگزینی:
1) یک متغیر را از یک معادله سیستم بر حسب معادله دیگر بیان کنید.
2) به جای این متغیر، عبارت حاصل را در معادله دیگری از سیستم جایگزین کنید.

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \راست. $$

بیایید از معادله اول y تا x بیان کنیم: y = 7-3x. با جایگزینی عبارت 7-3x به جای y در معادله دوم، سیستم را بدست می آوریم:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \راست. $$

به راحتی می توان نشان داد که سیستم اول و دوم راه حل های یکسانی دارند. در سیستم دوم، معادله دوم فقط شامل یک متغیر است. بیایید این معادله را حل کنیم:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

با جایگزینی عدد 1 به جای x در معادله y=7-3x، مقدار مربوط به y را پیدا می کنیم:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

جفت (1;4) - راه حل سیستم

سیستم های معادلات در دو متغیر که جواب های یکسانی دارند نامیده می شوند معادل. سیستم هایی که راه حل ندارند نیز معادل محسوب می شوند.

حل سیستم معادلات خطی با جمع

روش دیگری را برای حل سیستم معادلات خطی در نظر بگیرید - روش جمع. هنگام حل سیستم ها به این روش و همچنین هنگام حل با روش جایگزینی، از یک سیستم معین به سیستم دیگری معادل آن عبور می کنیم که در آن یکی از معادلات فقط شامل یک متغیر است.

دنباله اقدامات هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با روش جمع:
1) معادلات سیستم را در ترم ضرب کنید، عوامل را طوری انتخاب کنید که ضرایب یکی از متغیرها به اعداد مخالف تبدیل شوند.
2) قسمت های چپ و راست معادلات سیستم را ترم به ترم اضافه کنید.
3) معادله حاصل را با یک متغیر حل کنید.
4) مقدار متناظر متغیر دوم را بیابید.

مثال. بیایید سیستم معادلات را حل کنیم:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

در معادلات این سیستم ضرایب y اعداد متضاد هستند. با جمع ترم به ترم قسمت های چپ و راست معادلات، معادله ای با یک متغیر 3x=33 به دست می آید. بیایید یکی از معادلات سیستم مثلا معادله اول را با معادله 3x=33 جایگزین کنیم. بیایید سیستم را دریافت کنیم
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

از معادله 3x=33 در می یابیم که x=11. با جایگزینی این مقدار x به معادله \(x-3y=38 \) معادله ای با متغیر y بدست می آوریم: \(11-3y=38 \). بیایید این معادله را حل کنیم:
\(-3y=27 \پیکان راست y=-9 \)

بنابراین، ما راه حل سیستم معادلات را با جمع کردن: \(x=11؛ y=-9 \) یا \((11; -9) \) پیدا کردیم.

با استفاده از این واقعیت که در معادلات سیستم ضرایب y اعداد متضاد هستند، حل آن را به حل یک سیستم معادل تقلیل دادیم (با جمع هر دو قسمت از هر یک از معادلات تقارن اصلی) که در آن یکی از معادلات فقط یک متغیر را شامل می شود.

کتاب ها (کتاب های درسی) چکیده آزمون های دولتی واحد و آزمون های OGE آنلاین بازی ها، پازل ها نمودار توابع فرهنگ لغت املای زبان روسی فرهنگ لغت عامیانه جوانان کاتالوگ مدارس روسی کاتالوگ مدارس متوسطه در روسیه کاتالوگ دانشگاه های روسیه فهرست وظایف

سیستم های معادلات به طور گسترده ای در صنعت اقتصادی در مدل سازی ریاضی استفاده می شود فرآیندهای مختلف. به عنوان مثال، هنگام حل مشکلات مدیریت تولید و برنامه ریزی، مسیرهای لجستیک (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادله نه تنها در زمینه ریاضیات، بلکه در فیزیک، شیمی و زیست شناسی، هنگام حل مسائل مربوط به یافتن اندازه جمعیت مورد استفاده قرار می گیرند.

سیستم معادلات خطی اصطلاحی است برای دو یا چند معادله با چندین متغیر که برای آنها باید یک جواب مشترک پیدا کرد. چنین دنباله ای از اعداد که برای آن همه معادلات به برابری های واقعی تبدیل می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax+by=c را خطی می گویند. عناوین x، y مجهولاتی هستند که مقدار آنها را باید پیدا کرد، b، a ضرایب متغیرها، c عبارت آزاد معادله است.
حل معادله با رسم نمودار آن مانند یک خط مستقیم به نظر می رسد که همه نقاط آن حل چند جمله ای هستند.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده ترین نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی با دو متغیر X و Y هستند.

F1(x,y) = 0 و F2(x,y) = 0 که در آن F1,2 توابع و (x,y) متغیرهای تابع هستند.

حل یک سیستم معادلات - به این معنی است که مقادیری (x,y) را پیدا کنید که سیستم برای آنها برابری واقعی می شود یا اینکه هیچ مقادیر مناسبی برای x و y وجود ندارد.

یک جفت مقدار (x, y) که به صورت مختصات نقطه ای نوشته می شود، راه حل یک سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا راه حلی وجود نداشته باشد، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند که سمت راست آنها برابر با صفر است. اگر قسمت سمت راست بعد از علامت "برابر" مقداری داشته باشد یا با یک تابع بیان شود، چنین سیستمی همگن نیست.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد، پس باید در مورد مثالی از یک سیستم معادلات خطی با سه متغیر یا بیشتر صحبت کنیم.

در مواجهه با سیستم‌ها، دانش‌آموزان تصور می‌کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهول‌ها منطبق باشد، اما اینطور نیست. تعداد معادلات در سیستم به متغیرها بستگی ندارد، ممکن است تعداد زیادی از آنها وجود داشته باشد.

روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل چنین سیستم هایی وجود ندارد، همه روش ها بر اساس حل های عددی هستند. V دوره مدرسهریاضیات به طور مفصل روش هایی مانند جایگشت، جمع جبری، جایگزینی، و همچنین روش گرافیکی و ماتریسی، حل با روش گاوس را توصیف می کند.

وظیفه اصلی در آموزش روش های حل، آموزش نحوه تجزیه و تحلیل صحیح سیستم و یافتن الگوریتم حل بهینه برای هر مثال است. نکته اصلی حفظ سیستمی از قوانین و اقدامات برای هر روش نیست، بلکه درک اصول به کارگیری یک روش خاص است.

حل نمونه سیستم های معادلات خطی کلاس هفتم برنامه مدرسه راهنماییبسیار ساده و با جزئیات زیاد توضیح داده شده است. در هر کتاب درسی ریاضی به این بخش توجه کافی شده است. حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی به روش گاوس و کرامر در اولین دوره های موسسات آموزش عالی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می گیرد.

حل سیستم ها به روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان مقدار یک متغیر از طریق متغیر دوم است. عبارت در معادله باقیمانده جایگزین می شود، سپس به یک شکل متغیر منفرد کاهش می یابد. این عمل بسته به تعداد مجهولات در سیستم تکرار می شود

بیایید یک سیستم معادلات خطی کلاس هفتم را با روش جایگزینی مثال بزنیم:

همانطور که از مثال مشاهده می شود، متغیر x از طریق F(X) = 7 + Y بیان شد. عبارت حاصل که به جای X در معادله دوم سیستم جایگزین شد، به بدست آوردن یک متغیر Y در معادله 2 کمک کرد. . راه حل این مثالمشکلی ایجاد نمی کند و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید. آخرین مرحله بررسی مقادیر دریافتی است.

همیشه نمی توان نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان متغیر بر حسب مجهول دوم برای محاسبات بیشتر بسیار دشوار خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 مجهول در سیستم وجود دارد، راه حل جایگزینی نیز غیرعملی است.

حل مثالی از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

حل با استفاده از جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل برای سیستم ها با روش جمع، جمع ترم به ترم و ضرب معادلات در اعداد مختلف انجام می شود. هدف نهایی عملیات ریاضی معادله ای با یک متغیر است.

کاربرد این روش نیاز به تمرین و مشاهده دارد. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جمع با تعداد متغیرهای 3 یا بیشتر آسان نیست. جمع جبری زمانی مفید است که معادلات شامل کسر و اعداد اعشاری باشد.

الگوریتم عمل حل:

1. دو طرف معادله را در یک عدد ضرب کنید. در نتیجه عملیات حسابی باید یکی از ضرایب متغیر برابر با 1 شود.
2. عبارت حاصل را ترم به ترم اضافه کنید و یکی از مجهولات را پیدا کنید.
3. مقدار حاصل را در معادله دوم سیستم جایگزین کنید تا متغیر باقیمانده را پیدا کنید.

روش حل با معرفی یک متغیر جدید

اگر سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای بیش از دو معادله نداشته باشد، می توان یک متغیر جدید معرفی کرد، تعداد مجهولات نیز نباید بیش از دو باشد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با معرفی یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید با توجه به مجهول وارد شده حل می شود و مقدار حاصل برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

از مثال می توان دریافت که با معرفی متغیر جدید t، می توان معادله 1 سیستم را به یک مثلث مربع استاندارد کاهش داد. شما می توانید یک چند جمله ای را با پیدا کردن ممیز حل کنید.

لازم است مقدار ممیز را با استفاده از فرمول معروف بدست آوریم: D = b2 - 4*a*c، که در آن D ممیز مورد نظر است، b، a، c ضرب کننده های چند جمله ای هستند. V مثال داده شده a=1، b=16، c=39، از این رو D=100. اگر تفکیک کننده بزرگتر از صفر باشد، دو راه حل وجود دارد: t = -b±√D / 2*a، اگر ممیز کمتر از صفر، پس فقط یک راه حل وجود دارد: x= -b / 2*a.

راه حل برای سیستم های به دست آمده با روش جمع یافت می شود.

یک روش بصری برای حل سیستم ها

مناسب برای سیستم های دارای 3 معادله. این روش شامل ترسیم نمودارهای هر معادله موجود در سیستم بر روی محور مختصات است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها راه حل کلی سیستم خواهد بود.

روش گرافیکی دارای تعدادی تفاوت ظریف است. چندین مثال از حل سیستم معادلات خطی را به صورت تصویری در نظر بگیرید.

همانطور که از مثال مشخص است، برای هر خط دو نقطه ساخته شد، مقادیر متغیر x به صورت دلخواه انتخاب شدند: 0 و 3. بر اساس مقادیر x، مقادیر y پیدا شد: 3 و 0. نقاط با مختصات (0، 3) و (3، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شدند.

مراحل باید برای معادله دوم تکرار شوند. نقطه تلاقی خطوط راه حل سیستم است.

در مثال زیر باید یک جواب گرافیکی برای سیستم معادلات خطی پیدا کرد: 0.5x-y+2=0 و 0.5x-y-1=0.

همانطور که از مثال مشخص است، سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی کنند.

سیستم‌های مثال‌های 2 و 3 مشابه هستند، اما وقتی ساخته می‌شوند، مشخص می‌شود که راه‌حل‌های آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان گفت که آیا سیستم راه حلی دارد یا خیر، همیشه باید یک نمودار ساخت.

ماتریس و انواع آن

ماتریس ها برای مخففسیستم های معادلات خطی یک جدول ماتریس نامیده می شود. نوع خاصپر از اعداد n*m دارای n - سطر و m - ستون است.

یک ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و سطرها برابر باشد. ماتریس-بردار یک ماتریس تک ستونی با تعداد بی نهایت ممکن سطر است. ماتریسی با واحدهایی در امتداد یکی از مورب ها و سایر عناصر صفر هویت نامیده می شود.

ماتریس معکوس چنین ماتریسی است که وقتی در آن ضرب شود ماتریس اصلی به واحد یک تبدیل می شود، چنین ماتریسی فقط برای مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل یک سیستم معادلات به یک ماتریس

در مورد سیستم معادلات، ضرایب و اعضای آزاد معادلات به صورت اعداد ماتریس نوشته می‌شوند، یک معادله یک ردیف از ماتریس است.

یک ردیف ماتریسی غیر صفر نامیده می شود اگر حداقل یک عنصر از سطر برابر با صفر نباشد. بنابراین، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد، باید به جای مجهول گمشده، صفر وارد شود.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشند. این بدان معنی است که ضرایب متغیر x را فقط می توان در یک ستون نوشت، برای مثال اولی، ضریب مجهول y - فقط در ستون دوم.

هنگام ضرب یک ماتریس، تمام عناصر ماتریس به صورت متوالی در یک عدد ضرب می شوند.

گزینه هایی برای یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / |K|، که در آن K -1 - ماتریس معکوسو |K| - تعیین کننده ماتریس |K| نباید برابر با صفر باشد، پس سیستم یک راه حل دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو در دو محاسبه می شود، فقط لازم است عناصر به صورت مورب در یکدیگر ضرب شوند. برای گزینه "سه در سه" فرمولی وجود دارد |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . می توانید از فرمول استفاده کنید یا می توانید به یاد داشته باشید که باید از هر سطر و هر ستون یک عنصر بگیرید تا شماره ستون و ردیف عناصر در محصول تکرار نشود.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی به روش ماتریسی

روش ماتریسی برای یافتن راه حل، کاهش نمادهای دست و پا گیر را در هنگام حل سیستم با مقدار زیادمتغیرها و معادلات

در مثال، a nm ضرایب معادلات است، ماتریس یک بردار است x n متغیرها و b n عبارت‌های آزاد هستند.

حل سیستم ها به روش گاوس

در ریاضیات عالی، روش گاوس همراه با روش کرامر مورد مطالعه قرار می گیرد و فرآیند یافتن راه حل برای سیستم ها، روش حل گاوس-کرامر نامیده می شود. از این روش ها برای یافتن متغیرهای سیستم هایی با تعداد معادلات خطی زیاد استفاده می شود.

روش گاوسی بسیار شبیه به راه حل های جایگزینی و جمع جبری است، اما سیستماتیک تر است. در دوره مدرسه از جواب گوسی برای سیستم های معادله 3 و 4 استفاده می شود. هدف از این روش، آوردن سیستم به شکل ذوزنقه معکوس است. مسیر تبدیلات جبریو جایگزینی مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم است. معادله دوم عبارتی است با 2 مجهول و 3 و 4 - با 3 و 4 متغیر.

پس از آوردن سیستم به شکل توصیف شده، راه حل بعدی به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

V کتاب های درسی مدرسهبرای درجه 7، نمونه ای از راه حل با روش گاوس به شرح زیر است:

همانطور که از مثال مشخص است، در مرحله (3) دو معادله 3x 3 -2x 4 =11 و 3x 3 +2x 4 =7 به دست آمد. حل هر یک از معادلات به شما امکان می دهد یکی از متغیرهای x n را پیدا کنید.

قضیه 5 که در متن به آن اشاره شده است می گوید که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی جایگزین شود، سیستم حاصل نیز معادل معادل اولیه خواهد بود.

درک روش گاوس برای دانش آموزان دشوار است دبیرستان، اما یکی از بیشتر است راه های جالببرای توسعه نبوغ کودکانی که در برنامه تحصیلی پیشرفته در کلاس های ریاضی و فیزیک ثبت نام کرده اند.

برای سهولت در ثبت محاسبات، مرسوم است که موارد زیر را انجام دهید:

ضرایب معادله و عبارات آزاد به صورت ماتریس نوشته می شوند که هر ردیف از ماتریس با یکی از معادلات سیستم مطابقت دارد. سمت چپ معادله را از سمت راست جدا می کند. اعداد رومی بیانگر تعداد معادلات در سیستم هستند.

ابتدا ماتریسی را می نویسند که با آن کار می کنند، سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از ردیف ها. ماتریس حاصل بعد از علامت "فلش" نوشته می شود و تا حصول نتیجه به انجام عملیات جبری لازم ادامه می دهد.

در نتیجه، ماتریسی باید به دست آید که در آن یکی از مورب ها 1 باشد و سایر ضرایب برابر با صفر باشند، یعنی ماتریس به یک شکل واحد کاهش می یابد. ما نباید محاسبات را با اعداد دو طرف معادله فراموش کنیم.

این علامت گذاری کمتر دست و پا گیر است و به شما امکان می دهد با فهرست کردن مجهولات متعدد حواس شما پرت نشود.

استفاده رایگان از هر روش راه حلی نیاز به دقت و مقدار مشخصی تجربه دارد. همه روش ها اعمال نمی شوند. برخی از راه‌های یافتن راه‌حل در حوزه خاصی از فعالیت‌های انسانی ارجحیت دارند، در حالی که برخی دیگر برای یادگیری وجود دارند.