حل سیستم های همگن معادلات خطی. مجموعه اساسی از راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید !!!

برای اینکه بفهمیم چیست سیستم تصمیم گیری اساسیمی توانید با کلیک کردن بر روی همان مثال، یک فیلم آموزشی ویدیویی مشاهده کنید. حالا بیایید به توصیف واقعی همه کارهای ضروری بپردازیم. این به شما کمک می کند تا ماهیت این موضوع را با جزئیات بیشتری درک کنید.

چگونه یک سیستم اساسی از راه حل های یک معادله خطی پیدا کنیم؟

برای مثال، سیستم معادلات خطی زیر را در نظر بگیرید:

بیایید برای این سیستم خطی معادلات راه حلی پیدا کنیم. برای شروع، ما لازم است ماتریس ضرایب سیستم یادداشت شود.

بیایید این ماتریس را به مثلثی تبدیل کنیم.سطر اول را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. و تمام عناصری که زیر $ a_ (11) $ هستند باید صفر شوند. برای ایجاد صفر به جای عنصر $ a_ (21) $، اولین را از خط دوم کم کنید و تفاوت را در خط دوم بنویسید. برای ایجاد صفر به جای عنصر $ a_ (31) $، اولین را از خط سوم کم کنید و تفاوت را در خط سوم بنویسید. برای ایجاد صفر به جای عنصر $ a_ (41) $، اولین ضرب در 2 را از خط چهارم کم کنید و تفاوت را در خط چهارم بنویسید. برای ایجاد صفر به جای عنصر $ a_ (31) $، اولین ضرب در 2 را از خط پنجم کم کنید و تفاوت را در خط پنجم بنویسید.

سطر اول و دوم را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. و تمام عناصری که زیر $ a_ (22) $ هستند باید صفر شوند. برای ایجاد صفر به جای عنصر $ a_ (32) $، دوم ضرب در 2 را از خط سوم کم کنید و تفاوت را در خط سوم بنویسید. برای ایجاد صفر به جای عنصر $ a_ (42) $، دوم ضرب در 2 را از خط چهارم کم کنید و تفاوت را در خط چهارم بنویسید. برای ایجاد صفر به جای عنصر $ a_ (52) $، دوم ضرب در 3 را از خط پنجم کم کنید و تفاوت را در خط پنجم بنویسید.

ما آن را می بینیم سه خط آخر یکسان استبنابراین، اگر سومی را از چهارم و پنجم کم کنید، آنها صفر می شوند.

با توجه به این ماتریس یک سیستم معادلات جدید بنویسید.

می بینیم که ما فقط سه معادله خطی مستقل و پنج مجهول داریم، بنابراین سیستم اساسی راه حل ها از دو بردار تشکیل شده است. پس ما شما باید دو مجهول آخر را به سمت راست منتقل کنید.

اکنون، شروع به بیان مجهولاتی می کنیم که در سمت چپ هستند از طریق مجهولاتی که در سمت راست هستند. از آخرین معادله شروع می کنیم، ابتدا x_3 $ را بیان می کنیم، سپس نتیجه به دست آمده را جایگزین معادله دوم می کنیم و x_2 $ را بیان می کنیم و سپس در معادله اول و در اینجا x_1 $ را بیان می کنیم. بنابراین، ما همه مجهولات سمت چپ را از طریق مجهولات سمت راست بیان می کنیم.

پس از آن، به جای $ x_4 $ و $ x_5 $، می‌توانیم هر عددی را جایگزین کنیم و x_1 $، $ x_2 $ و $ x_3 $ را پیدا کنیم. هر یک از این پنج عدد ریشه های سیستم معادلات اصلی ما خواهند بود. برای یافتن بردارهایی که در FSRباید 1 را به جای x_4 $ جایگزین کنیم و 0 را به جای x_5 $ جایگزین کنیم، x_1 $، $ x_2 $ و $ x_3 $ را پیدا کنیم، و سپس برعکس x_4 $ = 0 $ و x_5 $ = 1 $.

سیستم های معادلات خطی که در آنها تمام عبارات آزاد برابر با صفر هستند نامیده می شوند همگن :

هر سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا همیشه دارای آن است صفر (بدیهی ) راه حل. این سوال مطرح می شود که در چه شرایطی یک سیستم همگن راه حل غیرمعمولی خواهد داشت.

قضیه 5.2.یک سیستم همگن یک راه حل غیر ضروری دارد اگر و فقط اگر رتبه ماتریس اصلی کمتر از تعداد مجهولات آن باشد.

نتیجه... یک سیستم همگن مربعی یک راه حل غیر بدیهی دارد اگر و فقط اگر تعیین کننده ماتریس پایه سیستم برابر با صفر نباشد.

مثال 5.6.مقادیر پارامتر l را که سیستم برای آن راه حل های غیر ضروری دارد، تعیین کنید و این راه حل ها را پیدا کنید:

راه حل... هنگامی که تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر باشد، این سیستم یک راه حل غیر ضروری خواهد داشت:

بنابراین، زمانی که l = 3 یا l = 2 باشد، سیستم غیر ضروری است. برای l = 3، رتبه ماتریس اصلی سیستم 1 است. سپس فقط یک معادله را با فرض اینکه y=آو z=ب، ما گرفتیم x = b-a، یعنی

برای l = 2، رتبه ماتریس اصلی سیستم 2 است. سپس، مینور را به عنوان پایه انتخاب کنید:

ما یک سیستم ساده شده دریافت می کنیم

از این در می یابیم که x = z/4، y = z/ 2. با فرض اینکه z=4آ، ما گرفتیم

مجموعه تمام راه حل های یک سیستم همگن دارای اهمیت بسیار زیادی است ویژگی خطی : اگر ستون X 1 و X 2 - محلول های سیستم همگن AX = 0, سپس هر ترکیب خطی از آنهاآ ایکس 1 + ب ایکس 2 نیز راه حل این سیستم خواهد بود... در واقع، از آن زمان تبر 1 = 0 و تبر 2 = 0 ، سپس آ(آ ایکس 1 + ب ایکس 2) = الف تبر 1 + ب تبر 2 = a · 0 + b · 0 = 0. به دلیل این ویژگی است که اگر یک سیستم خطی بیش از یک جواب داشته باشد، بی نهایت از این راه حل ها وجود خواهد داشت.

ستون های مستقل خطی E 1 , E 2 , E kکه محلول های یک سیستم همگن هستند نامیده می شوند سیستم تصمیم گیری اساسی یک سیستم همگن از معادلات خطی، اگر جواب کلی این سیستم را بتوان به صورت ترکیب خطی از این ستون ها نوشت:

اگر یک سیستم همگن داشته باشد nمتغیرها و رتبه ماتریس اصلی سیستم است r، سپس ک = n-r.

مثال 5.7.برای سیستم معادلات خطی زیر یک سیستم اساسی از راه حل پیدا کنید:

راه حل... بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را پیدا کنیم:

بنابراین، مجموعه راه حل های این سیستم معادلات، یک زیرفضای خطی از ابعاد را تشکیل می دهد n - r= 5 - 2 = 3. به عنوان مینور پایه انتخاب کنید

.

سپس با رها کردن تنها معادلات اصلی (بقیه ترکیبی خطی از این معادلات) و متغیرهای اساسی (بقیه، به اصطلاح متغیرهای آزاد، به سمت راست حرکت می کنیم)، یک سیستم ساده شده از معادلات را دریافت می کنیم:

با فرض اینکه ایکس 3 = آ, ایکس 4 = ب, ایکس 5 = ج، ما پیدا می کنیم

, .

با فرض اینکه آ= 1, b = c= 0، ما اولین راه حل اساسی را دریافت می کنیم. با فرض اینکه ب= 1, a = c= 0، ما دومین راه حل اساسی را دریافت می کنیم. با فرض اینکه ج= 1, a = b= 0، سومین راه حل اساسی را دریافت می کنیم. در نتیجه، سیستم تصمیم گیری اساسی عادی شکل می گیرد

با استفاده از سیستم بنیادی می توان جواب کلی یک سیستم همگن را به شکل نوشت

ایکس = aE 1 + بودن 2 + cE 3. آ

اجازه دهید به برخی از خواص راه حل های سیستم ناهمگن معادلات خطی توجه کنیم AX = Bو رابطه آنها با سیستم معادلات همگن مربوطه AX = 0.

راه حل کلی یک سیستم ناهمگنبرابر است با مجموع جواب کلی سیستم همگن مربوطه AX = 0 و یک راه حل خاص دلخواه سیستم ناهمگن... در واقع، اجازه دهید Y 0 یک راه حل خاص دلخواه از یک سیستم ناهمگن است، به عنوان مثال. AY 0 = ب، و Y- راه حل کلی یک سیستم ناهمگن، به عنوان مثال. AY = B... با کم کردن یک برابری از برابری دیگر، به دست می آوریم
آ(Y-Y 0) = 0، یعنی. Y - Y 0 جواب کلی سیستم همگن مربوطه است تبر= 0. از این رو، Y - Y 0 = ایکس، یا Y = Y 0 + ایکس... Q.E.D.

اجازه دهید سیستم ناهمگن به شکل AX = B باشد 1 + ب 2 . سپس جواب کلی چنین سیستمی را می توان به صورت X = X نوشت 1 + ایکس 2 , جایی که AX 1 = ب 1 و AX 2 = ب 2. این ویژگی به طور کلی برای هر سیستم خطی (جبری، دیفرانسیل، تابعی و غیره) یک خاصیت جهانی را بیان می کند. در فیزیک به این خاصیت می گویند اصل برهم نهی، در مهندسی برق و رادیو - اصل همپوشانی... به عنوان مثال، در نظریه مدارهای الکتریکی خطی، جریان در هر مدار را می توان به صورت مجموع جبری جریان های ناشی از هر منبع انرژی به طور جداگانه به دست آورد.

سیستم همگن معادلات خطی در یک میدان

تعریف. یک سیستم اساسی از راه حل های سیستم معادلات (1) یک سیستم مستقل خطی غیر خالی از راه حل های آن است که بدنه خطی آن با مجموعه تمام راه حل های سیستم (1) منطبق است.

توجه داشته باشید که یک سیستم همگن از معادلات خطی که فقط یک جواب صفر دارد، هیچ سیستم اساسی از راه حل ها ندارد.

پیشنهاد 3.11. هر دو سیستم اساسی از راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی از همان تعداد راه حل تشکیل شده است.

اثبات در واقع، هر دو سیستم اساسی از راه حل های سیستم همگن معادلات (1) معادل و به طور خطی مستقل هستند. بنابراین، به موجب گزاره 1.12، رتبه های آنها برابر است. در نتیجه، تعداد راه‌حل‌های موجود در یک سیستم بنیادی برابر است با تعداد راه‌حل‌های موجود در هر سیستم اساسی دیگر.

اگر ماتریس پایه A سیستم همگن معادلات (1) صفر باشد، هر بردار از یک راه حل برای سیستم (1) است. در این مورد، هر مجموعه ای از بردارهای مستقل خطی از یک سیستم تصمیم گیری اساسی است. اگر رتبه ستون ماتریس A برابر باشد، سیستم (1) تنها یک راه حل دارد - صفر. بنابراین، در این حالت، سیستم معادلات (1) دارای یک سیستم اساسی از راه حل ها نیست.

قضیه 3.12. اگر رتبه ماتریس اصلی سیستم همگن معادلات خطی (1) کمتر از تعداد متغیرها باشد، سیستم (1) دارای یک سیستم اساسی از راه حل ها است که از راه حل ها تشکیل شده است.

اثبات اگر رتبه ماتریس اصلی A سیستم همگن (1) برابر با صفر یا باشد، در بالا نشان داده شد که قضیه صادق است. بنابراین، در زیر فرض می شود که با فرض، فرض می کنیم که اولین ستون های ماتریس A به صورت خطی مستقل هستند. در این حالت، ماتریس A از نظر ردیف معادل با ماتریس پلکانی کاهش یافته است و سیستم (1) معادل سیستم معادلات پلکانی کاهش یافته زیر است:

به راحتی می توان بررسی کرد که برای هر سیستم مقادیر متغیرهای آزاد سیستم (2) یک و تنها یک راه حل برای سیستم (2) و از این رو به سیستم (1) مطابقت دارد. به طور خاص، تنها حل صفر سیستم (2) و سیستم (1) با سیستم مقادیر صفر مطابقت دارد.

در سیستم (2) به یکی از متغیرهای آزاد مقداری برابر با 1 و به بقیه متغیرها صفر می دهیم. در نتیجه، جواب های سیستم معادلات (2) را به دست می آوریم که آنها را به صورت ردیف هایی از ماتریس C زیر می نویسیم:

سیستم ردیف این ماتریس به صورت خطی مستقل است. در واقع، برای هر مقیاسی از برابری

برابری به دنبال دارد

و بنابراین، برابری ها

اجازه دهید ثابت کنیم که گستره خطی سیستم ردیف های ماتریس C با مجموعه تمام راه حل های سیستم (1) منطبق است.

راه حل خودسرانه سیستم (1). سپس بردار

همچنین راه حلی برای سیستم (1) و

یک سیستم همگن همیشه سازگار است و یک راه حل بی اهمیت دارد
... برای اینکه یک راه حل غیر ضروری وجود داشته باشد، لازم است رتبه ماتریس باشد کمتر از تعداد مجهولات بود:

.

سیستم تصمیم گیری اساسی سیستم همگن
سیستم راه حل ها به شکل بردارهای ستونی نامیده می شود
که با مبنای شرعی مطابقت دارند، یعنی. مبنایی که در آن ثابت های دلخواه
به طور متناوب برابر با یک، در حالی که بقیه برابر با صفر هستند.

سپس راه حل کلی سیستم همگن به شکل زیر است:

جایی که
- ثابت های دلخواه به عبارت دیگر، یک راه حل کلی ترکیبی خطی از یک سیستم اساسی از راه حل ها است.

بنابراین، اگر مجهولات آزاد به طور متناوب مقدار واحد را با فرض صفر بودن بقیه مجهولات، از راه حل کلی به دست آوریم.

مثال... بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

بیایید قبول کنیم، سپس راه حل را به شکل زیر دریافت می کنیم:

اجازه دهید اکنون یک سیستم تصمیم گیری اساسی بسازیم:

.

راه حل کلی به شکل زیر نوشته می شود:

راه حل های یک سیستم معادلات خطی همگن دارای ویژگی های زیر هستند:

به عبارت دیگر، هر ترکیب خطی از راه حل ها برای یک سیستم همگن دوباره یک راه حل است.

حل سیستم معادلات خطی به روش گاوس

حل سیستم های معادلات خطی برای چندین قرن مورد توجه ریاضیدانان بوده است. اولین نتایج در قرن 18 به دست آمد. در سال 1750، جی کرامر (1704-1752) آثار خود را در مورد عوامل تعیین کننده ماتریس های مربع منتشر کرد و الگوریتمی را برای یافتن ماتریس معکوس پیشنهاد کرد. در سال 1809، گاوس یک روش حل جدید به نام روش حذف را معرفی کرد.

روش گاوس، یا روش حذف متوالی مجهولات، شامل این واقعیت است که با استفاده از تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادلات به یک سیستم معادل یک شکل گام به گام (یا مثلثی) کاهش می یابد. چنین سیستم هایی امکان یافتن متوالی همه مجهولات را در یک ترتیب خاص فراهم می کنند.

فرض کنید که در سیستم (1)
(که همیشه امکان پذیر است).

(1)

ضرب به نوبه خود معادله اول در به اصطلاح اعداد مناسب

و با جمع کردن حاصل ضرب با معادلات متناظر سیستم، یک سیستم معادل بدست می آید که در آن همه معادلات به جز معادلات اول فاقد مجهول خواهند بود. NS 1

(2)

اکنون معادله دوم سیستم (2) را با این فرض در اعداد مناسب ضرب می کنیم

,

و با اضافه کردن آن به موارد فرعی، متغیر را حذف می کنیم از تمام معادلات، با سوم شروع می شود.

ادامه این روند، پس از
مرحله ای که می گیریم:

(3)

اگر حداقل یکی از اعداد
برابر با صفر نیست، پس برابری متناظر ناسازگار است و سیستم (1) ناسازگار است. برعکس، برای هر سیستم شماره مشترک
برابر با صفر هستند. عدد چیزی جز رتبه ماتریس سیستم (1) نیست.

انتقال از سیستم (1) به (3) نامیده می شود دوره مستقیم روش گاوس و یافتن مجهولات از (3) - معکوس .

اظهار نظر : راحت تر است که تبدیل ها را نه با خود معادلات، بلکه با ماتریس توسعه یافته سیستم (1) انجام دهیم.

مثال... بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

.

بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم:

.

اولی را به خطوط 2،3،4، ضرب در (2-)، (-3)، (-2) اضافه کنید:

.

بیایید ردیف های 2 و 3 را در جای خود با هم عوض کنیم، سپس در ماتریس به دست آمده ردیف 2 را به ردیف 4 اضافه کنیم، ضرب در :

.

به ردیف 4 اضافه کنید ردیف 3 ضرب در
:

.

بدیهی است که
بنابراین سیستم سازگار است. از سیستم معادلات حاصل

راه حل را با جایگزینی معکوس پیدا می کنیم:

,
,
,
.

مثال 2.یافتن راه حل برای سیستم:

.

بدیهی است که سیستم ناسازگار است، زیرا
، آ
.

مزایای روش گاوس :

زمان کمتری نسبت به روش کرامر.

این بدون ابهام سازگاری سیستم را تعیین می کند و به شما امکان می دهد راه حلی پیدا کنید.

این امکان تعیین رتبه هر ماتریس را فراهم می کند.

ما به صیقل دادن تکنیک ادامه خواهیم داد تحولات ابتداییبر سیستم همگن معادلات خطی.
در پاراگراف های اول، مطالب ممکن است خسته کننده و معمولی به نظر برسند، اما این تصور فریبنده است. علاوه بر توسعه بیشتر تکنیک ها، اطلاعات جدید زیادی نیز وجود خواهد داشت، بنابراین لطفاً سعی کنید از مثال های این مقاله غافل نشوید.

سیستم همگن معادلات خطی چیست؟

پاسخ خود را نشان می دهد. سیستم معادلات خطی اگر جمله آزاد باشد همگن است از هرمعادلات سیستم برابر با صفر است. مثلا:

کاملا واضح است که یک سیستم همگن همیشه سازگار استیعنی همیشه راه حل دارد. و بالاتر از همه، به اصطلاح بدیهیراه حل ... Trivial برای کسانی که اصلاً معنی صفت را نمی فهمند به معنای بسپونتوف است. البته نه آکادمیک ولی قابل فهم =) ... چرا دور بوش بزنیم ببینیم این سیستم راه حل دیگه ای داره یا نه:

مثال 1

راه حل: برای حل یک سیستم همگن باید بنویسید ماتریس سیستمو با کمک دگرگونی های ابتدایی آن را به شکل گام به گام در می آورد. لطفاً توجه داشته باشید که نیازی به نوشتن نوار عمودی و ستون صفر اعضای رایگان در اینجا نیست - هر چه با صفرها انجام دهید، آنها صفر خواهند ماند:

(1) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. خط اول ضرب در -3 به خط سوم اضافه شد.

(2) خط دوم ضرب در -1 به خط سوم اضافه شد.

تقسیم ردیف سوم بر 3 چندان منطقی نیست.

در نتیجه تبدیل های اولیه، یک سیستم همگن معادل به دست آمد و با استفاده از سیر معکوس روش گاوس، به راحتی می توان تأیید کرد که راه حل منحصر به فرد است.

پاسخ:

اجازه دهید یک معیار واضح را تدوین کنیم: سیستم همگن معادلات خطی دارد تنها راه حل بی اهمیت، اگر رتبه ماتریس سیستم(در این مورد 3) برابر است با تعداد متغیرها (در این مورد - 3 عدد).

ما گیرنده رادیویی خود را گرم می کنیم و با موج دگرگونی های ابتدایی تنظیم می کنیم:

مثال 2

حل یک سیستم همگن از معادلات خطی

برای ادغام نهایی الگوریتم، بیایید کار نهایی را تجزیه و تحلیل کنیم:

مثال 7

یک سیستم همگن را حل کنید، پاسخ را به صورت برداری بنویسید.

راه حل: ماتریس سیستم را یادداشت می کنیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به صورت گام به گام در می آوریم:

(1) علامت سطر اول عوض شد. یک بار دیگر، توجه شما را به تکنیکی جلب می کنم که بارها با آن مواجه شده است، که به شما امکان می دهد تا عمل بعدی را به طور قابل توجهی ساده کنید.

(1) خط اول به خطوط 2 و 3 اضافه شد. خط اول ضرب در 2 به خط 4 اضافه شد.

(3) سه سطر آخر متناسب است، دو تا از آنها حذف شده است.

در نتیجه، یک ماتریس پله ای استاندارد به دست می آید و راه حل در امتداد مسیر خنثی شده ادامه می یابد:

- متغیرهای اساسی؛
- متغیرهای رایگان

بیایید متغیرهای پایه را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم. از معادله 2:

- جایگزین در معادله 1:

بنابراین راه حل کلی این است:

از آنجایی که در مثال در نظر گرفته شده سه متغیر آزاد وجود دارد، سیستم بنیادی شامل سه بردار است.

سه مقدار را جایگزین کنید حل کلی را وارد کنید و برداری را بدست آورید که مختصات آن هر معادله سیستم همگن را برآورده کند. و دوباره، تکرار می کنم که بررسی هر بردار حاصل بسیار مطلوب است - زمان زیادی نمی برد، اما صد درصد از خطاها صرفه جویی می کند.

برای یک سه گانه از ارزش ها بردار را پیدا کنید

و در نهایت، برای ترویکا بردار سوم را دریافت می کنیم:

پاسخ: ، جایی که

کسانی که می خواهند از مقادیر کسری اجتناب کنند، می توانند سه گانه را در نظر بگیرند و یک پاسخ معادل دریافت کنند:

صحبت از کسری. بیایید به ماتریس به دست آمده در مسئله نگاه کنیم و از خود یک سوال بپرسیم - آیا می توان راه حل بیشتر را ساده کرد؟ از این گذشته، در اینجا ابتدا متغیر پایه را از طریق کسری بیان کردیم، سپس از طریق کسری متغیر اساسی را بیان کردیم، و باید بگویم که این فرآیند آسان‌ترین و خوشایندترین فرآیند نبود.

راه حل دوم:

ایده این است که تلاش کنید سایر متغیرهای اساسی را انتخاب کنید... بیایید به ماتریس نگاه کنیم و به دو مورد در ستون سوم توجه کنیم. پس چرا یک صفر در بالا نمی گیریم؟ بیایید یک تغییر اساسی دیگر را انجام دهیم: