روش گاوس یک فرمول جهانی است. روش گاوسی را معکوس کنید

امروزه با روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی سروکار داریم. در مقاله قبلی که به حل همان SLAE ها با روش کرامر اختصاص داده شده است، می توانید در مورد اینکه اینها چه نوع سیستم هایی هستند، بخوانید. روش گاوس به دانش خاصی نیاز ندارد، فقط به دقت و ثبات نیاز است. علیرغم این واقعیت که از نظر ریاضیات، آمادگی مدرسه برای کاربرد آن کافی است، تسلط دانش آموزان به این روش اغلب باعث مشکلاتی می شود. در این مقاله سعی می کنیم آنها را باطل کنیم!

روش گاوس

م روش گاوس- همه کاره ترین روش برای حل SLAE ها (به جز سیستم های بسیار بزرگ). برخلاف آنچه قبلاً بحث شد، نه تنها برای سیستم هایی که یک راه حل دارند، بلکه برای سیستم هایی که تعداد بی نهایت راه حل دارند نیز مناسب است. در اینجا سه ​​احتمال وجود دارد.

1. سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر با صفر نیست).
2. این سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.
3. هیچ راه حلی وجود ندارد، سیستم ناسازگار است.

بنابراین، ما یک سیستم داریم (اجازه دهید یک راه حل داشته باشد)، و می خواهیم آن را با استفاده از روش گاوسی حل کنیم. چگونه کار می کند؟

روش گاوس شامل دو مرحله است - جلو و عقب.

تراورس رو به جلو روش گاوسی

ابتدا ماتریس توسعه یافته سیستم را یادداشت می کنیم. برای انجام این کار، ستونی از اعضای آزاد را به ماتریس اصلی اضافه کنید.

ماهیت کلی روش گاوس این است که یک ماتریس داده شده را با استفاده از تبدیل های ابتدایی به شکل پلکانی (یا به قول آنها مثلثی) بیاوریم. در این شکل، تنها باید یک صفر در زیر (یا بالاتر) قطر اصلی ماتریس وجود داشته باشد.

آنچه شما می توانید انجام دهید:

1. می‌توانید ردیف‌های ماتریس را در مکان‌هایی دوباره مرتب کنید.
2. اگر ماتریس شامل سطرهای یکسان (یا متناسب) باشد، می توانید همه آنها را به جز یکی حذف کنید.
3. شما می توانید یک رشته را در هر عددی ضرب یا تقسیم کنید (به جز صفر).
4. خطوط صفر حذف می شوند.
5. می توانید یک رشته ضرب شده در یک عدد غیر صفر را به یک رشته اضافه کنید.

روش گاوسی را معکوس کنید

بعد از اینکه سیستم را به این شکل تبدیل کردیم، یک ناشناخته Xn شناخته می شود، و شما می توانید تمام مجهولات باقیمانده را به ترتیب معکوس پیدا کنید، و به جای X های از قبل شناخته شده در معادلات سیستم، تا اولی.

هنگامی که اینترنت همیشه در دسترس است، می توانید سیستم معادلات را با استفاده از روش گاوسی حل کنید برخط.شما فقط باید ضرایب را به ماشین حساب آنلاین هدایت کنید. اما باید اعتراف کنید که درک این موضوع بسیار خوشایندتر است که این مثال توسط یک برنامه رایانه ای حل نشده است، بلکه توسط مغز خود شما حل شده است.

نمونه ای از حل سیستم معادلات به روش گاوس

و اکنون - یک مثال برای اینکه همه چیز واضح و قابل درک باشد. اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی داده شود، و باید آن را با روش گاوس حل کنید:

ابتدا بیایید ماتریس گسترش یافته را بنویسیم:

حالا اجازه دهید تغییراتی را انجام دهیم. به یاد داشته باشید که ما باید به یک ظاهر مثلثی برای ماتریس برسیم. ردیف اول را در (3) ضرب کنید. ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید. خط 2 را به 1 اضافه کنید و دریافت کنید:

سپس ردیف سوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:

ردیف اول را در (6) ضرب کنید. ردیف دوم را در (13) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

Voila - سیستم به فرم مناسب آورده شده است. یافتن مجهولات باقی مانده است:

سیستم در این مثال دارای یک راه حل واحد است. حل سیستم هایی با تعداد بی نهایت راه حل را در مقاله ای جداگانه بررسی خواهیم کرد. شاید در ابتدا ندانید که تبدیل ماتریس را از کجا شروع کنید، اما پس از تمرین مناسب با استفاده از روش گاوسی مانند آجیل روی SLAE کلیک کنید. و اگر ناگهان با SLAE مواجه شدید که خیلی سخت است، با نویسندگان ما تماس بگیرید! می توانید با گذاشتن درخواست در دوره مکاتبه ای. با هم هر مشکلی را حل خواهیم کرد!

از آغاز قرن های 16-18، ریاضیدانان شروع به مطالعه شدید توابع کردند، که به لطف آن چیزهای زیادی در زندگی ما تغییر کرده است. فناوری کامپیوتر بدون این دانش وجود نخواهد داشت. برای حل مسائل پیچیده، معادلات و توابع خطی، مفاهیم، ​​قضایا و تکنیک های حل مختلف ایجاد شده است. یکی از این روش ها و تکنیک های جهانی و منطقی برای حل معادلات خطی و سیستم های آنها، روش گاوس بود. ماتریس ها، رتبه آنها، عوامل تعیین کننده - همه چیز را می توان بدون استفاده از عملیات پیچیده محاسبه کرد.

SLAE چیست؟

در ریاضیات، مفهوم SLAE وجود دارد - یک سیستم معادلات جبری خطی. او چگونه است؟ این مجموعه ای از معادلات m با n کمیت مجهول مورد نیاز است که معمولاً به صورت x، y، z، یا x 1، x 2 ... x n یا نمادهای دیگر نشان داده می شود. حل این سیستم با روش گاوس به معنای یافتن همه مجهولات است. اگر سیستمی تعداد مجهولات و معادلات یکسانی داشته باشد، سیستم مرتبه n نامیده می شود.

محبوب ترین روش ها برای حل SLAE

در مؤسسات آموزشی آموزش متوسطه، روش های مختلفی برای حل چنین سیستم هایی در حال مطالعه است. اغلب اینها معادلات ساده ای هستند که از دو مجهول تشکیل شده اند، بنابراین هر روش موجود برای یافتن پاسخ آنها زمان زیادی نمی برد. این می تواند مانند یک روش جایگزینی باشد، زمانی که دیگری از یک معادله مشتق شده و به معادله اصلی جایگزین می شود. یا روش تفریق و جمع ترم به ترم. اما روش گاوسی ساده ترین و جهانی ترین در نظر گرفته می شود. حل معادلات با هر تعداد مجهول را ممکن می سازد. چرا این تکنیک خاص عقلانی تلقی می شود؟ ساده است. خوبی روش ماتریسی این است که نیازی به بازنویسی نمادهای غیر ضروری به صورت مجهول چندین بار نیست، کافی است عملیات حسابی روی ضرایب انجام دهید - و نتیجه قابل اعتمادی خواهید گرفت.

SLAE ها در کجا استفاده می شوند

راه حل SLAE نقاط تقاطع خطوط روی نمودار توابع است. در عصر رایانه با فناوری پیشرفته ما، افرادی که ارتباط نزدیکی با توسعه بازی ها و سایر برنامه ها دارند باید بدانند که چگونه چنین سیستم هایی را حل کنند، چه چیزی را نشان می دهند و چگونه صحت نتیجه را بررسی کنند. اغلب، برنامه نویسان برنامه های ویژه ای را برای محاسبه جبر خطی ایجاد می کنند، این شامل یک سیستم معادلات خطی است. روش گاوس به شما امکان می دهد تمام راه حل های موجود را محاسبه کنید. سایر فرمول ها و تکنیک های ساده شده نیز استفاده می شود.

معیار سازگاری برای SLAE

چنین سیستمی تنها در صورتی قابل حل است که سازگار باشد. برای وضوح، ما SLAE را به شکل Ax = b نشان می دهیم. اگر رنگ (A) برابر با (A, b) باشد راه حل دارد. در این حالت، (A, b) یک ماتریس توسعه یافته است که با بازنویسی ماتریس A با عبارت آزاد می توان آن را به دست آورد. به نظر می رسد که حل معادلات خطی با روش گاوس بسیار آسان است.

شاید برخی از نمادها کاملاً واضح نباشد، بنابراین لازم است همه چیز را با یک مثال در نظر بگیریم. فرض کنید یک سیستم وجود دارد: x + y = 1; 2x-3y = 6. این فقط از دو معادله تشکیل شده است که در آنها 2 مجهول هستند. سیستم تنها در صورتی راه حل خواهد داشت که رتبه ماتریس آن با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد. رتبه چیست؟ این تعداد خطوط مستقل در سیستم است. در مورد ما، رتبه ماتریس 2 است. ماتریس A شامل ضرایبی است که در نزدیکی مجهولات قرار دارند و ضرایب پشت علامت "=" نیز در ماتریس گسترش یافته گنجانده شده است.

چرا SLAE را می توان به شکل ماتریس نشان داد

بر اساس معیار سازگاری بر اساس قضیه اثبات شده کرونکر-کاپلی، سیستم معادلات جبری خطی را می توان به صورت ماتریسی نشان داد. با استفاده از روش گاوسی آبشاری، می توانید ماتریس را حل کنید و یک پاسخ قابل اعتماد برای کل سیستم دریافت کنید. اگر رتبه یک ماتریس معمولی برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته آن باشد، اما کمتر از تعداد مجهولات باشد، آنگاه سیستم بی نهایت پاسخ دارد.

تبدیل های ماتریسی

قبل از رفتن به حل ماتریس ها، باید بدانید که چه اقداماتی را می توان روی عناصر آنها انجام داد. چندین تغییر اولیه وجود دارد:

• با بازنویسی سیستم به شکل ماتریسی و پیاده سازی راه حل آن، می توان تمام عناصر سری را در یک ضریب ضرب کرد.
• برای تبدیل ماتریس به فرم متعارف، می توان دو ردیف موازی را با هم عوض کرد. شکل متعارف به این معنی است که تمام عناصر ماتریس که در مورب اصلی قرار دارند یک می شوند و بقیه به صفر تبدیل می شوند.
• عناصر مربوط به ردیف های موازی ماتریس را می توان به یکدیگر اضافه کرد.

روش جردن-گاوس

ماهیت حل سیستم های معادلات خطی همگن و ناهمگن با روش گاوس، حذف تدریجی مجهولات است. فرض کنید سیستمی از دو معادله داریم که در آن دو مجهول وجود دارد. برای پیدا کردن آنها، باید سیستم را از نظر سازگاری بررسی کنید. حل معادله گاوس بسیار ساده است. لازم است ضرایب واقع در نزدیکی هر مجهول را به صورت ماتریسی یادداشت کنید. برای حل سیستم، باید یک ماتریس توسعه یافته بنویسید. اگر یکی از معادلات دارای مجهولات کمتری باشد، باید "0" را به جای عنصر گمشده قرار داد. همه روش‌های تبدیل شناخته شده برای ماتریس اعمال می‌شوند: ضرب، تقسیم بر یک عدد، اضافه کردن عناصر مربوط به سری به یکدیگر و موارد دیگر. به نظر می رسد که در هر ردیف لازم است یک متغیر با مقدار "1" گذاشته شود، بقیه باید به شکل صفر آورده شوند. برای درک دقیق تر، لازم است روش گاوس را با مثال در نظر بگیریم.

یک مثال ساده از راه حل سیستم 2x2

برای شروع، بیایید یک سیستم ساده از معادلات جبری را در نظر بگیریم که در آن 2 مجهول وجود خواهد داشت.

بیایید آن را در یک ماتریس توسعه یافته بازنویسی کنیم.

برای حل این سیستم معادلات خطی، تنها دو عمل مورد نیاز است. ما باید ماتریس را به شکل متعارف برسانیم تا مواردی در مورب اصلی وجود داشته باشد. بنابراین، با انتقال از فرم ماتریس به سیستم، معادلات 1x + 0y = b1 و 0x + 1y = b2 را بدست می آوریم، که در آن b1 و b2 پاسخ هایی هستند که در فرآیند حل به دست می آیند.

1. اولین مرحله در حل ماتریس توسعه یافته به این صورت خواهد بود: ردیف اول باید در 7- ضرب شود و عناصر مربوطه باید به ترتیب به ردیف دوم اضافه شوند تا از شر یک مجهول در معادله دوم خلاص شویم.
2. از آنجایی که حل معادلات به روش گاوس مستلزم رساندن ماتریس به شکل متعارف است، بنابراین لازم است همان عملیات را با معادله اول انجام دهیم و متغیر دوم را حذف کنیم. برای انجام این کار، خط دوم را از خط اول کم کنید و پاسخ مورد نیاز - راه حل SLAE را دریافت کنید. یا همانطور که در شکل نشان داده شده است، ردیف دوم را در ضریب ۱- ضرب می کنیم و عناصر ردیف دوم را به ردیف اول اضافه می کنیم. این هم همینطور است.

همانطور که می بینید، سیستم ما با روش جردن-گاوس حل شد. ما آن را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم: x = -5، y = 7.

نمونه ای از حل SLAE 3x3

فرض کنید سیستم پیچیده تری از معادلات خطی داریم. روش گاوس محاسبه پاسخ را حتی برای به ظاهر گیج کننده ترین سیستم ممکن می سازد. بنابراین، برای عمیق‌تر کردن روش محاسبه، می‌توانید به یک مثال پیچیده‌تر با سه مجهول بروید.

مانند مثال قبلی، سیستم را به شکل یک ماتریس توسعه یافته بازنویسی می کنیم و شروع به آوردن آن به شکل متعارف می کنیم.

برای حل این سیستم، باید اقدامات بسیار بیشتری نسبت به مثال قبلی انجام دهید.

1. ابتدا باید یک عنصر واحد در ستون اول و بقیه صفرها را ایجاد کنید. برای این کار، معادله اول را در -1 ضرب کرده و معادله دوم را به آن اضافه کنید. مهم است که به یاد داشته باشید که ما خط اول را به شکل اصلی آن بازنویسی می کنیم و خط دوم - قبلاً تغییر کرده است.
2. سپس همان مجهول اول را از معادله سوم حذف می کنیم. برای این کار عناصر ردیف اول را در -2 ضرب کنید و به ردیف سوم اضافه کنید. اکنون خطوط اول و دوم به شکل اصلی خود بازنویسی می شوند و سوم - با تغییرات. همانطور که از نتیجه می بینید، اولین مورد را در ابتدای قطر اصلی ماتریس و بقیه صفرها را دریافت کردیم. چند مرحله دیگر، و سیستم معادلات با روش گاوس به طور قابل اعتماد حل خواهد شد.
3. اکنون لازم است عملیات روی سایر عناصر ردیف ها انجام شود. اقدامات سوم و چهارم را می توان در یکی ترکیب کرد. برای خلاص شدن از شر منهای مورب، باید ردیف های دوم و سوم را بر 1- تقسیم کنید. ما قبلاً خط سوم را به فرم مورد نیاز آورده ایم.
4. بعد، خط دوم را متعارف می کنیم. برای این کار عناصر ردیف سوم را در -3 ضرب می کنیم و به خط دوم ماتریس اضافه می کنیم. نتیجه نشان می دهد که خط دوم نیز به شکل مورد نیاز ما کاهش می یابد. باقی مانده است که چند عملیات دیگر انجام دهیم و ضرایب مجهولات را از ردیف اول حذف کنیم.
5. برای ایجاد 0 از عنصر دوم ردیف، باید ردیف سوم را در -3 ضرب کنید و به ردیف اول اضافه کنید.
6. مرحله تعیین کننده بعدی اضافه کردن عناصر ضروری ردیف دوم به ردیف اول خواهد بود. بنابراین شکل متعارف ماتریس و بر این اساس، پاسخ را می گیریم.

همانطور که می بینید، حل معادلات با روش گاوس بسیار ساده است.

مثالی از حل یک سیستم معادلات 4*4

برخی از سیستم های پیچیده تر معادلات را می توان با روش گاوسی با استفاده از برنامه های کامپیوتری حل کرد. لازم است ضرایب مجهولات را به سلول های خالی موجود هدایت کنید و خود برنامه گام به گام نتیجه مورد نیاز را محاسبه می کند و هر عمل را با جزئیات شرح می دهد.

در زیر یک دستورالعمل گام به گام برای حل چنین مثالی آورده شده است.

در اولین اقدام، ضرایب آزاد و اعداد مجهول در سلول های خالی وارد می شوند. بنابراین، همان ماتریس توسعه یافته ای را که با دست می نویسیم به دست می آوریم.

و تمام عملیات حسابی لازم برای رساندن ماتریس گسترش یافته به شکل متعارف انجام می شود. باید درک کرد که پاسخ به یک سیستم معادلات همیشه اعداد کامل نیست. گاهی اوقات راه حل می تواند اعداد کسری باشد.

بررسی صحت محلول

روش جردن-گاوس بررسی صحت نتیجه را فراهم می کند. برای اینکه بفهمید آیا ضرایب به درستی محاسبه شده اند، فقط باید نتیجه را با سیستم معادلات اصلی جایگزین کنید. سمت چپ معادله باید با سمت راست پشت علامت مساوی مطابقت داشته باشد. اگر پاسخ ها با هم مطابقت نداشتند، لازم است سیستم را مجدداً محاسبه کنید یا سعی کنید روش دیگری را که برای حل SLAEها برای شما شناخته شده است، مانند جایگزینی یا تفریق و جمع ترم به ترم در آن اعمال کنید. به هر حال، ریاضیات علمی است که تعداد زیادی روش حل مختلف دارد. اما به یاد داشته باشید: نتیجه باید همیشه یکسان باشد، مهم نیست از کدام روش راه حل استفاده کرده اید.

روش گاوس: رایج ترین اشتباهات هنگام حل SLAE

هنگام حل سیستم های خطی معادلات، خطاهایی مانند انتقال نادرست ضرایب به فرم ماتریس اغلب رخ می دهد. سیستم هایی وجود دارد که در آنها برخی از مجهولات در یکی از معادلات وجود ندارد، سپس با انتقال داده ها به یک ماتریس گسترش یافته، می توان آنها را از دست داد. در نتیجه، هنگام حل این سیستم، نتیجه ممکن است با واقعی مطابقت نداشته باشد.

یکی دیگر از اشتباهات اصلی می تواند نوشتن نادرست نتیجه نهایی باشد. لازم است به وضوح درک کنیم که ضریب اول با مجهول اول از سیستم، دوم به دوم و غیره مطابقت دارد.

روش گاوس حل معادلات خطی را به تفصیل شرح می دهد. با تشکر از او، انجام عملیات لازم و یافتن نتیجه صحیح آسان است. علاوه بر این، یک ابزار جهانی برای یافتن پاسخ قابل اعتماد برای معادلات با هر پیچیدگی است. شاید به همین دلیل است که اغلب هنگام حل SLAE از آن استفاده می شود.

ما همچنان به بررسی سیستم های معادلات خطی ادامه می دهیم. این درس سومین درس در این موضوع است. اگر تصور مبهمی در مورد اینکه سیستم معادلات خطی به طور کلی چیست، احساس می کنید مانند یک قوری هستید، توصیه می کنم از اصول اولیه صفحه شروع کنید و مطالعه درس مفید است.

روش گاوس آسان است!چرا؟ یوهان کارل فردریش گاوس، ریاضیدان مشهور آلمانی در طول زندگی خود به عنوان بزرگترین ریاضیدان تمام دوران، نابغه و حتی لقب "پادشاه ریاضیات" شناخته شد. و همه چیز مبتکرانه، همانطور که می دانید، ساده است!به هر حال، نه تنها لعنتی ها، بلکه نابغه ها نیز در ازای پول پول می گیرند - پرتره گاوس روی اسکناس 10 مارک آلمان (قبل از معرفی یورو) بود و گاوس هنوز از روی تمبرهای پستی معمولی به طور مرموزی به آلمانی ها لبخند می زند.

روش گاوس از این نظر ساده است که دانش یک دانش آموز کلاس 5 برای تسلط بر آن کافی است. باید بتوانید جمع و ضرب کنید!تصادفی نیست که معلمان اغلب روش حذف متوالی مجهولات را در دروس انتخابی ریاضی مدرسه در نظر می گیرند. به طور متناقض، روش گاوس برای دانش آموزان سخت ترین است. جای تعجب نیست - کل نکته در روش شناسی است و من سعی خواهم کرد در مورد الگوریتم روش به شکل قابل دسترس به شما بگویم.

ابتدا اجازه دهید دانش در مورد سیستم های معادلات خطی را کمی نظام مند کنیم. یک سیستم معادلات خطی می تواند:

1) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید. 2) بی نهایت راه حل داشته باشید. 3) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).

روش گاوسی قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل است هرسیستم های معادلات خطی همانطور که به یاد داریم قانون کرامر و روش ماتریسدر مواردی که سیستم بی نهایت راه حل دارد یا ناسازگار است نامناسب است. و روش حذف متوالی مجهولات به هر حالما را به پاسخ می رساند! در این درس مجدداً روش گاوس را برای مورد شماره 1 (تنها راه حل سیستم) در نظر می گیریم، مقاله ای برای وضعیت نقاط شماره 2-3 در نظر گرفته شده است. توجه داشته باشید که الگوریتم خود روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند.

بیایید به ساده ترین سیستم از درس برگردیم چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟و با روش گاوس حل کنید.

در مرحله اول باید بنویسید ماتریس سیستم توسعه یافته: ضرایب بر چه اساسی نوشته شده است، فکر می کنم همه می توانند ببینند. نوار عمودی داخل ماتریس هیچ معنای ریاضی ندارد - فقط یک خط زیر برای سهولت طراحی است.

مرجع : توصیه می کنم به خاطر بسپارید مقررات جبر خطی. ماتریس سیستم آیا ماتریسی فقط از ضرایب مجهول تشکیل شده است، در این مثال ماتریس سیستم: . ماتریس سیستم توسعه یافته - این همان ماتریس سیستم به اضافه یک ستون از اعضای آزاد است، در این مورد: ... هر یک از ماتریس ها را می توان برای اختصار به سادگی ماتریس نامید.

پس از مکتوب شدن ماتریس منبسط شده سیستم، لازم است اقداماتی با آن انجام شود که به آنها نیز گفته می شود. تحولات ابتدایی.

دگرگونی های ابتدایی زیر وجود دارد:

1) رشته هایماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها به عنوان مثال، در ماتریس مورد بررسی، می توانید بدون دردسر ردیف های اول و دوم را دوباره مرتب کنید:

2) اگر ماتریس حاوی (یا ظاهر می شود) ردیف های متناسب (به عنوان یک مورد خاص - همان) باشد، از آن پیروی می کند. حذفاز ماتریس همه این سطرها به جز یک. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید ... در این ماتریس، سه ردیف آخر متناسب هستند، بنابراین کافی است تنها یکی از آنها باقی بماند: .

3) اگر یک ردیف صفر در ماتریس در طول تبدیل ها ظاهر شد، پس از آن نیز می آید حذف... من رسم نمی کنم، البته، خط صفر خطی است که در آن فقط صفرها.

4) ردیف ماتریس می تواند باشد ضرب (تقسیم)با هر تعداد، غیر صفر... به عنوان مثال، یک ماتریس را در نظر بگیرید. در اینجا توصیه می شود خط اول را بر -3 تقسیم کنید و خط دوم را در 2 ضرب کنید: ... این عمل بسیار مفید است زیرا تبدیل ماتریس های بیشتر را ساده می کند.

5) این تحول سخت ترین است، اما در واقع هیچ چیز پیچیده ای نیز وجود ندارد. به یک ردیف از یک ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنیدغیر صفر ماتریس ما را از یک مثال عملی در نظر بگیرید:. ابتدا، تبدیل را با جزئیات کامل شرح می دهم. خط اول را در -2 ضرب کنید: ، و به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید: ... اکنون می توان خط اول را با -2: "بازگشت" تقسیم کرد. همانطور که می بینید، خطی که اضافه می کند لی – تغییر نکرده است. همیشه ... هستخط را به آن افزایش می دهد UT.

البته در عمل آنها با این جزئیات توضیح نمی دهند، اما کوتاهتر می نویسند: بار دیگر: به خط دوم سطر اول ضرب در -2 را اضافه کرد... رشته معمولاً به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس ضرب می شود، در حالی که سیر ذهنی محاسبات چیزی شبیه به این است:

من ماتریس را بازنویسی می کنم و خط اول را بازنویسی می کنم: »

«ابتدا ستون اول. در پایین، باید صفر را دریافت کنم. بنابراین، واحد بالا را در -2: ضرب می کنم و اولین را به خط دوم اضافه می کنم: 2 + (–2) = 0. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

حالا برای ستون دوم. بالای –1 ضرب در –2:. اولی را به خط دوم اضافه می کنم: 1 + 2 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

و ستون سوم. بالای -5 ضرب در -2:. اولی را به خط دوم اضافه می کنم: -7 + 10 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

لطفاً این مثال را با دقت درک کنید و الگوریتم محاسبه متوالی را درک کنید، اگر این را فهمیدید، روش گاوس عملاً "در جیب شما" است. اما، البته، ما روی این تحول کار خواهیم کرد.

تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند

! توجه: دستکاری در نظر گرفته شده است نمی تواند استفاده کند، اگر کاری به شما پیشنهاد می شود که در آن ماتریس ها "به خودی خود" داده می شوند. به عنوان مثال، با "کلاسیک" اقدامات با ماتریسبه هیچ وجه نباید چیزی را در داخل ماتریس ها تنظیم مجدد کنید! بیایید به سیستم خود برگردیم. او عملاً تکه تکه شده است.

ماتریس توسعه یافته سیستم را یادداشت می کنیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به کاهش می دهیم نمای پلکانی:

(1) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. و دوباره: چرا خط اول دقیقاً در -2 ضرب می شود؟ برای به دست آوردن صفر در پایین، یعنی خلاص شدن از شر یک متغیر در خط دوم.

(2) ردیف دوم را بر 3 تقسیم کنید.

هدف از تحولات ابتدایی – ماتریس را به شکل پلکانی بیاورید: ... در طراحی تکلیف، "نردبان" با یک مداد ساده مشخص شده است و اعدادی که روی "پله ها" قرار دارند دایره می شوند. اصطلاح "نوع مرحله" به خودی خود کاملاً نظری نیست؛ در ادبیات علمی و آموزشی اغلب به آن گفته می شود نمای ذوزنقه اییا نمای مثلثی.

در نتیجه تحولات ابتدایی به دست آوردیم معادلسیستم اصلی معادلات:

اکنون سیستم باید در جهت مخالف "باز شود" - از پایین به بالا، این فرآیند نامیده می شود روش گاوسی عقب مانده.

در معادله پایین، ما از قبل یک نتیجه آماده داریم:.

اجازه دهید اولین معادله سیستم را در نظر بگیریم و مقدار شناخته شده "بازی" را در آن جایگزین کنیم:

اجازه دهید رایج ترین حالت را در نظر بگیریم که روش گاوس نیاز به حل یک سیستم سه معادله خطی با سه مجهول دارد.

مثال 1

حل سیستم معادلات به روش گاوس:

بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم:

اکنون من فوراً نتیجه ای را ترسیم می کنم که در طول راه حل به آن خواهیم رسید: و دوباره، هدف ما این است که با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی، ماتریس را به شکل پلکانی برسانیم. اکشن را از کجا شروع کنیم؟

ابتدا به عدد سمت چپ بالا نگاه می کنیم: تقریباً همیشه باید اینجا باشد واحد... به طور کلی، -1 خوب خواهد بود (و گاهی اوقات اعداد دیگر)، اما به نوعی به طور سنتی اتفاق می افتد که واحد معمولاً در آنجا قرار می گیرد. چگونه یک واحد را سازماندهی کنیم؟ ما به ستون اول نگاه می کنیم - ما یک واحد آماده داریم! تبدیل اول: خط اول و سوم را عوض کنید:

اکنون خط اول تا پایان راه حل بدون تغییر باقی می ماند.... حالا خوبه

واحد در سمت چپ بالا سازماندهی شده است. حالا باید در این مکان ها صفر بگیرید:

ما صفرها را فقط با کمک تبدیل "سخت" بدست می آوریم. ابتدا با خط دوم (2، -1، 3، 13) سروکار داریم. برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول چه باید کرد؟ ضروری است به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید... به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -2 ضرب کنید: (-2، -4، 2، -18). و ما به طور مداوم (دوباره ذهنی یا بر اساس پیش نویس) اضافه می کنیم، به خط دوم ما خط اول را که قبلاً در -2 ضرب شده است اضافه می کنیم:

نتیجه را در خط دوم می نویسیم:

با خط سوم نیز به همین ترتیب برخورد می کنیم (3، 2، -5، -1). برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول، شما نیاز دارید به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید... به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -3 ضرب کنید: (–3، –6، 3، –27). و به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید:

نتیجه را در خط سوم می نویسیم:

در عمل، این اقدامات معمولاً به صورت شفاهی انجام می شود و در یک مرحله ثبت می شود:

لازم نیست همه چیز را یکجا و همزمان بشمارید... ترتیب محاسبات و "نوشتن" نتایج استوارو معمولاً اینگونه است: ابتدا خط اول را بازنویسی می کنیم و خودمان را به حیله گری پف می کنیم - SEQUENTIAL و با توجه:
و من قبلاً سیر ذهنی خود محاسبات را در بالا بررسی کرده ام.

در این مثال، انجام این کار آسان است، خط دوم بر 5- تقسیم می شود (زیرا همه اعداد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر هستند). در همان زمان، خط سوم را بر -2 تقسیم می کنیم، زیرا هرچه اعداد کوچکتر باشند، راه حل آسان تر است:

در مرحله نهایی تبدیل های ابتدایی، باید یک صفر دیگر را در اینجا بدست آورید:

برای این به خط سوم خط دوم را ضرب در 2- اضافه کنید:
سعی کنید خودتان این عمل را تجزیه کنید - به صورت ذهنی خط دوم را در -2 ضرب کنید و اضافه کنید.

آخرین عمل انجام شده مدل موی نتیجه است، خط سوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تبدیل های ابتدایی، یک سیستم اولیه معادل معادلات خطی به دست آمد: سرد.

معکوس روش گاوسی اکنون وارد عمل می شود. معادلات از پایین به بالا "باز" ​​می شوند.

در معادله سوم، از قبل یک نتیجه آماده داریم:

ما به معادله دوم نگاه می کنیم:. معنای "ز" قبلاً شناخته شده است، بنابراین:

و در نهایت، معادله اول:. «ی» و «ز» معلوم است، موضوع کوچک است:

پاسخ:

همانطور که قبلاً بارها اشاره شده است، برای هر سیستم معادلات، بررسی راه حل یافت شده ممکن و ضروری است، خوشبختانه، آسان و سریع است.

مثال 2

این یک نمونه کار خودتان، یک نمونه نهایی و پاسخ در انتهای آموزش است.

لازم به ذکر است که شما دوره تصمیم گیریممکن است با مسیر تصمیم من مطابقت نداشته باشد، و این یکی از ویژگی های روش گاوس است... اما پاسخ ها باید یکسان باشد!

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با روش گاوسی

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. ما باید یک واحد آنجا داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین مرتب کردن مجدد ردیف ها چیزی را حل نمی کند. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. من این کار را کردم: (1) به خط اول خط دوم را ضرب در -1 اضافه کنید... یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را اضافه کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک" است که برای ما خوب است. هر کسی که بخواهد 1+ بگیرد می‌تواند یک حرکت اضافی بدن انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

(2) سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

(3) خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم را نیز تغییر دادیم و به مکان دوم منتقل کردیم، به این ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نیاز را داریم.

(4) ردیف دوم، ضرب در 2، به خط سوم اضافه شد.

(5) خط سوم بر 3 تقسیم شد.

یک علامت بد که نشان دهنده خطا در محاسبات است (کمتر - یک اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر در قسمت پایین چیزی شبیه به آن داشته باشیم و بر این اساس، ، پس با درجه احتمال بالایی می توان استدلال کرد که در جریان تحولات ابتدایی اشتباهی رخ داده است.

ما حرکت معکوس را شارژ می کنیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند." به شما یادآوری می کنم حرکت معکوس از پایین به بالا کار می کند. بله، اینجا هدیه معلوم شد:

پاسخ: .

مثال 4

حل یک سیستم معادلات خطی با روش گاوسی

این نمونه ای برای یک راه حل مستقل است، تا حدودی پیچیده تر است. اگر کسی گیج شود اشکالی ندارد. حل کامل و طراحی نمونه در پایان آموزش. راه حل شما ممکن است با من متفاوت باشد.

در قسمت آخر به بررسی برخی از ویژگی های الگوریتم گاوس می پردازیم. اولین ویژگی این است که گاهی اوقات برخی از متغیرها در معادلات سیستم گم می شوند، به عنوان مثال: چگونه ماتریس سیستم توسعه یافته را به درستی بنویسیم؟ قبلاً در مورد این لحظه در درس صحبت کردم. قانون کرامر روش ماتریسی... در ماتریس توسعه یافته سیستم، به جای متغیرهای گمشده، صفر قرار می دهیم: به هر حال، این یک مثال نسبتاً آسان است، زیرا قبلاً یک صفر در ستون اول وجود دارد و تبدیل‌های اولیه کمتری برای انجام وجود دارد.

ویژگی دوم به شرح زیر است. در تمام مثال‌های در نظر گرفته شده، ما ۱- یا ۱+ را روی «گام‌ها» قرار دادیم. آیا اعداد دیگری ممکن است وجود داشته باشد؟ در برخی موارد می توانند. سیستم را در نظر بگیرید: .

در اینجا در سمت چپ "پله" ما دو داریم. اما ما متوجه این واقعیت هستیم که تمام اعداد در ستون اول بر 2 بدون باقی مانده بخش پذیر هستند - و دو و شش دیگر. و دوسه در بالا سمت چپ مناسب ما خواهد بود! در مرحله اول، شما باید تبدیل های زیر را انجام دهید: خط اول ضرب در -1 را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید. با این کار صفرهای مورد نظر در ستون اول به ما می رسد.

یا مثال شرطی دیگر: ... در اینجا سه ​​در "پله" دوم نیز برای ما مناسب است، زیرا 12 (محلی که باید صفر را بدست آوریم) بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر است. لازم است تبدیل زیر را انجام دهید: به خط سوم خط دوم ضرب در -4 را اضافه کنید که در نتیجه صفر مورد نیاز ما به دست می آید.

روش گاوس جهانی است، اما یک ویژگی وجود دارد. شما می توانید با اطمینان یاد بگیرید که چگونه سیستم ها را با روش های دیگر حل کنید (روش کرامر، روش ماتریس) به معنای واقعی کلمه اولین بار - یک الگوریتم بسیار سفت و سخت وجود دارد. اما برای اینکه به روش گاوس اطمینان داشته باشید، باید "دست خود را پر کنید" و حداقل 5-10 ده سیستم را حل کنید. بنابراین، در ابتدا، سردرگمی، اشتباه در محاسبات امکان پذیر است و هیچ چیز غیرعادی یا غم انگیزی در این وجود ندارد.

هوای بارانی پاییز در خارج از پنجره ... بنابراین، برای همه، یک مثال پیچیده تر برای یک راه حل مستقل:

مثال 5

سیستم 4 معادله خطی با چهار مجهول را با روش گاوس حل کنید.

چنین کاری در عمل چندان نادر نیست. من فکر می کنم حتی یک قوری که این صفحه را به طور کامل مطالعه کرده است، الگوریتم حل چنین سیستمی به طور مستقیم واضح است. اساساً همه چیز یکسان است - فقط اقدامات بیشتری وجود دارد.

مواردی که سیستم هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار) یا راه حل های بی نهایت زیادی دارد در درس در نظر گرفته می شود. سیستم ها و سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترک... الگوریتم در نظر گرفته شده روش گاوس نیز می تواند در آنجا ثابت شود.

برایت ارزوی موفقیت میکنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل : اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم.
تبدیل های اولیه انجام شده: (1) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. خط اول ضرب در -1 به خط سوم اضافه شد. توجه! در اینجا ممکن است وسوسه انگیز باشد که خط اول را از خط سوم کم کنید، من به شدت از تفریق منع می کنم - خطر خطا بسیار افزایش می یابد. فقط جمع کن! (2) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط دوم و سوم عوض شد. توجه داشته باشید که در "پله ها" ما نه تنها از یک، بلکه به -1 راضی هستیم که حتی راحت تر است. (3) ردیف دوم در 5 ضرب به ردیف سوم اضافه شد. (4) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط سوم به 14 تقسیم شد.

معکوس:

پاسخ : .

مثال 4: راه حل : اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

تبدیل های انجام شده: (1) دومی به سطر اول اضافه شد. بنابراین، واحد مورد نظر در "پله" سمت چپ بالا سازماندهی شده است. (2) سطر اول ضرب در 7 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 6 به سطر سوم اضافه شد.

مرحله دوم بدتر می شود ، "کاندیدا" برای آن اعداد 17 و 23 هستند و به یک یا -1 نیاز داریم. دگرگونی های (3) و (4) با هدف به دست آوردن واحد مورد نظر خواهد بود (3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1. (4) خط سوم به خط دوم اضافه شد که در 3- ضرب شد. مورد لازم در مرحله دوم دریافت می شود . (5) خط دوم در 6 ضرب به خط سوم اضافه شد. (6) خط دوم در -1 ضرب شد، خط سوم بر -83 تقسیم شد.

معکوس:

پاسخ :

مثال 5: راه حل : اجازه دهید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

تبدیل های انجام شده: (1) خط اول و دوم معکوس هستند. (2) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. خط اول ضرب در -2 به خط سوم اضافه شد. خط اول ضرب در -3 به خط چهارم اضافه شد. (3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در 4. خط دوم به خط چهارم اضافه شد، ضرب در -1. (4) علامت خط دوم تغییر کرد. خط چهارم به 3 تقسیم شد و به جای خط سوم قرار گرفت. (5) خط سوم ضرب در 5- به خط چهارم اضافه شد.

معکوس:

پاسخ :

در اینجا می توانید یک سیستم معادلات خطی را به صورت رایگان حل کنید روش گاوسی آنلایناندازه های بزرگ در اعداد مختلط با راه حل بسیار دقیق. ماشین حساب ما قادر است هر دو سیستم معین و نامعین معمول معادلات خطی را به روش گاوس که دارای تعداد بی نهایت راه حل است به صورت آنلاین حل کند. در این صورت، در پاسخ، وابستگی برخی از متغیرها را از طریق برخی دیگر، رایگان دریافت خواهید کرد. شما همچنین می توانید سیستم معادلات را برای سازگاری آنلاین با استفاده از راه حل گاوس بررسی کنید.

اندازه ماتریس: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 35 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 35 16 4 4 3 4 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 35 16 17 18 19 20 25 26 27 28 29 30 31 32 353 3 4 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

در مورد روش

هنگام حل یک سیستم معادلات خطی به صورت آنلاین به روش گاوس، مراحل زیر انجام می شود.

1. ماتریس گسترش یافته را یادداشت می کنیم.
2. در واقع راه حل به گام های رو به جلو و معکوس روش گاوس تقسیم می شود. سیر مستقیم روش گاوس را کاهش ماتریس به شکل پلکانی می گویند. معکوس روش گاوسی را کاهش ماتریس به شکل پلکانی ویژه می گویند. اما در عمل راحت‌تر است که فوراً آنچه را که در بالا و پایین عنصر مورد نظر قرار دارد صفر کنید. ماشین حساب ما دقیقاً از این روش استفاده می کند.
3. توجه به این نکته ضروری است که هنگام حل با روش گاوس، وجود حداقل یک ردیف صفر در ماتریس با سمت راست غیر صفر (ستون عبارت های آزاد) نشان دهنده ناسازگاری سیستم است. در این حالت هیچ راه حلی برای سیستم خطی وجود ندارد.

برای درک بهتر نحوه عملکرد گاوس به صورت آنلاین، هر مثالی را وارد کنید، "راه حل بسیار دقیق" را انتخاب کنید و راه حل آن را به صورت آنلاین ببینید.

تعریف و توصیف روش گاوسی

روش تبدیل گاوسی (همچنین به عنوان روش حذف متوالی متغیرهای مجهول از یک معادله یا ماتریس شناخته می شود) برای حل سیستم های معادلات خطی یک روش کلاسیک برای حل یک سیستم معادلات جبری (SLAE) است. همچنین از این روش کلاسیک برای حل مسائلی مانند بدست آوردن ماتریس معکوس و تعیین رتبه یک ماتریس استفاده می شود.

تبدیل با استفاده از روش گاوس شامل ایجاد تغییرات متوالی کوچک (بنیادی) در سیستم معادلات جبری خطی است که منجر به حذف متغیرها از آن از بالا به پایین با تشکیل یک سیستم مثلثی جدید از معادلات می شود که معادل آن است. اصلی

تعریف 1

این بخش از محلول، مسیر مستقیم راه حل گاوسی نامیده می شود، زیرا کل فرآیند از بالا به پایین انجام می شود.

پس از تقلیل سیستم معادلات اولیه به مثلثی، تمام متغیرهای سیستم از پایین به بالا پیدا می شوند (یعنی اولین متغیرهای یافت شده دقیقاً در آخرین خطوط سیستم یا ماتریس قرار دارند). این بخش از راه حل به عنوان معکوس گاوسی نیز شناخته می شود. الگوریتم او به این صورت است: ابتدا متغیرهایی که به انتهای سیستم معادلات یا ماتریس نزدیک‌تر هستند محاسبه می‌شوند، سپس مقادیر به‌دست‌آمده در بالا جایگزین می‌شوند و به این ترتیب یک متغیر دیگر پیدا می‌شود و به همین ترتیب.

شرح الگوریتم روش گاوسی

دنباله اقدامات برای حل کلی سیستم معادلات با روش گاوسی شامل اعمال متناوب حرکت رو به جلو و معکوس به ماتریس بر اساس SLAE است. فرض کنید سیستم معادلات اصلی به شکل زیر باشد:

$ \ شروع (موارد) a_ (11) \ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \ cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_ (m1) \ cdot x_1 + a_ (mn) \ cdot x_n = b_m \ پایان (موارد) $

برای حل SLAE به روش گاوسی، لازم است سیستم معادلات اصلی را به صورت ماتریس بنویسیم:

$ A = \ شروع (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\ \ vdots &… & \ vdots \\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \ پایان (pmatrix) $, $ b = \ شروع (pmatrix) b_1 \\ \ vdots \\ b_m \ پایان (pmatrix) $

ماتریس $ A $ ماتریس اصلی نامیده می شود و نشان دهنده ضرایب متغیرهای نوشته شده به ترتیب است و $ b $ ستون عبارت های آزاد آن نامیده می شود. ماتریس $ A $ که از طریق یک نوار با ستونی از عبارت های آزاد نوشته می شود، ماتریس توسعه یافته نامیده می شود:

$ A = \ شروع (آرایه) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\ \ vdots &… & \ vdots & ... \\ a_ (m1) &… & a_ ( mn) & b_m \ end (آرایه) $

اکنون لازم است با استفاده از تبدیل های ابتدایی بر روی سیستم معادلات (یا روی ماتریس، همانطور که راحت تر است)، آن را به شکل زیر در آوریم:

$ \ شروع (موارد) α_ (1j_ (1)) \ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_1 \\ α_ (2j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_2 \\ ... \\ α_ ( rj_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_r \\ 0 = β_ (r + 1) \\… \ \ 0 = β_m \ پایان (موارد) $ (1)

ماتریس به دست آمده از ضرایب سیستم تبدیل شده معادله (1) پله ای نامیده می شود، ماتریس های پلکانی معمولاً به این صورت هستند:

$ A = \ شروع (آرایه) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \ پایان (آرایه) $

این ماتریس ها با مجموعه ای از ویژگی های زیر مشخص می شوند:

1. تمام خطوط صفر آن پس از خطوط غیر صفر قرار دارند.
2. اگر برخی از ردیف های ماتریس با شماره $ k $ غیر صفر باشد، آنگاه ردیف قبلی همان ماتریس دارای صفرهای کمتری نسبت به این ردیف با شماره k $ است.

پس از به دست آوردن ماتریس پله ای، لازم است متغیرهای به دست آمده را جایگزین معادلات باقیمانده (از انتها) کرده و مقادیر باقیمانده متغیرها را بدست آوریم.

قوانین اساسی و تبدیل های مجاز هنگام استفاده از روش گاوسی

هنگام ساده سازی یک ماتریس یا یک سیستم معادلات با این روش، فقط باید از تبدیل های ابتدایی استفاده شود.

چنین تبدیل‌هایی عملیاتی در نظر گرفته می‌شوند که می‌توانند بدون تغییر معنای آن بر روی یک ماتریس یا سیستم معادلات اعمال شوند:

• تنظیم مجدد خطوط متعدد در مکان ها،
• اضافه یا کم کردن یک ردیف از ماتریس یک ردیف دیگر از همان،
• ضرب یا تقسیم یک خط در ثابتی که برابر با صفر نیست،
• خطی که فقط از صفرهایی که در فرآیند محاسبه و ساده سازی سیستم به دست آمده است، باید حذف شود،
• شما همچنین باید خطوط متناسب غیر ضروری را حذف کنید و برای محاسبات بیشتر سیستم را با ضرایب مناسب تر و راحت تر انتخاب کنید.

تمام تحولات ابتدایی برگشت پذیر هستند.

تجزیه و تحلیل سه مورد اصلی که هنگام حل معادلات خطی با استفاده از روش تبدیل ساده گاوسی به وجود می آیند.

هنگام استفاده از روش گاوسی برای حل سیستم ها سه مورد وجود دارد:

1. وقتی سیستم ناهماهنگ است، یعنی هیچ راه حلی ندارد
2. سیستم معادلات یک راه حل دارد و تنها جواب دارد و تعداد سطرها و ستون های غیر صفر در ماتریس با یکدیگر برابر است.
3. این سیستم تعداد معینی یا راه حل های ممکن زیادی دارد و تعداد سطرهای آن از تعداد ستون ها کمتر است.

نتیجه یک تصمیم با یک سیستم ناسازگار

برای این گزینه، هنگام حل یک معادله ماتریسی با روش گاوس، به دست آوردن خطی با عدم امکان تحقق برابری معمول است. بنابراین، اگر حداقل یک برابری نادرست رخ دهد، سیستم های منتج و اصلی بدون توجه به معادلات دیگری که دارند، راه حلی ندارند. مثالی از یک ماتریس ناسازگار:

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end (آرایه) $

یک برابری ارضا نشدنی در خط آخر ظاهر شد: $ 0 \ cdot x_ (31) + 0 \ cdot x_ (32) + 0 \ cdot x_ (33) = 1 $.

سیستمی از معادلات با تنها یک جواب

پس از کاهش به یک ماتریس پلکانی و حذف سطرهای با صفر، این سیستم ها دارای تعداد سطر و ستون در ماتریس اصلی هستند. در اینجا ساده ترین مثال از چنین سیستمی است:

$ \ شروع (موارد) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \ cdot x_1 + x_2 = -7 \ پایان (موارد) $

بیایید آن را به شکل ماتریس بنویسیم:

$ \ شروع (آرایه) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \ end (آرایه) $

برای به صفر رساندن سلول اول ردیف دوم، سطر بالا را در -2 دلار ضرب می کنیم و از ردیف پایین ماتریس کم می کنیم و ردیف بالایی را به شکل اصلی می گذاریم، در نتیجه به شکل زیر خواهیم داشت. :

$ \ شروع (آرایه) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \ end (آرایه) $

این مثال را می توان به صورت یک سیستم نوشت:

$ \ شروع (موارد) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \ cdot x_2 = 10 \ پایان (موارد) $

مقدار زیر $ x $ از معادله پایین خارج می شود: $ x_2 = 3 \ frac (1) (3) $. با جایگزینی این مقدار در معادله بالا: $ x_1 - 3 \ frac (1) (3) $، x_1 $ = 1 \ frac (2) (3) $ دریافت می کنیم.

سیستمی با راه حل های ممکن

این سیستم با تعداد کمتری از ردیف های مهم نسبت به تعداد ستون های موجود در آن مشخص می شود (ردیف های ماتریس اصلی در نظر گرفته می شوند).

متغیرها در چنین سیستمی به دو نوع اساسی و رایگان تقسیم می شوند. هنگام تبدیل چنین سیستمی، متغیرهای اصلی موجود در آن باید در ناحیه سمت چپ تا علامت "=" رها شوند و متغیرهای باقی مانده باید به سمت راست برابری منتقل شوند.

چنین سیستمی تنها راه حل کلی دارد.

بیایید سیستم معادلات زیر را تجزیه و تحلیل کنیم:

$ \ شروع (موارد) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ پایان (موارد) $

بیایید آن را به شکل ماتریس بنویسیم:

$ \ شروع (آرایه) (cccc | ج) 2 و 3 و 0 و 1 و 1 \\ 0 و 0 و 5 و 4 و 1 \\ \ پایان (آرایه) $

وظیفه ما یافتن یک راه حل کلی برای سیستم است. برای این ماتریس، متغیرهای اصلی $ y_1 $ و $ y_3 $ خواهند بود (برای $ y_1 $ - زیرا در وهله اول قرار دارد و در مورد $ y_3 $ - بعد از صفرها قرار دارد).

به عنوان متغیرهای اصلی، دقیقاً آنهایی را انتخاب می کنیم که اولین آنها در خط هستند که برابر با صفر نیستند.

متغیرهای باقیمانده رایگان نامیده می شوند، از طریق آنها باید متغیرهای اساسی را بیان کنیم.

با استفاده از حرکت معکوس، سیستم را از پایین به بالا تجزیه می کنیم، برای این کار ابتدا $ y_3 $ را از خط پایین سیستم بیان می کنیم:

$ 5y_3 - 4y_4 = 1 $

$ 5y_3 = 4y_4 + 1 $

$ y_3 = \ frac (4/5) y_4 + \ frac (1) (5) $.

اکنون در معادله بالای سیستم $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1 $، $ y_3 $ بیان شده را جایگزین می کنیم: $ 2y_1 + 3y_2 - (\ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5)) + y_4 = 1 دلار

$ y_1 $ را بر حسب متغیرهای رایگان $ y_2 $ و $ y_4 $ بیان می کنیم:

$ 2y_1 + 3y_2 - \ frac (4) (5) y_4 - \ frac (1) (5) + y_4 = 1 $

$ 2y_1 = 1 - 3y_2 + \ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5) - y_4 $

$ 2y_1 = -3y_2 - \ frac (1) (5) y_4 + \ frac (6) (5) $

$ y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6 $

محلول آماده است.

مثال 1

حل کردن لجن به روش گاوسی مثال ها. مثالی از حل یک سیستم معادلات خطی که با ماتریس 3 در 3 به روش گاوس ارائه شده است.

$ \ شروع (موارد) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \ پایان (موارد) $

بیایید سیستم خود را به شکل یک ماتریس توسعه یافته بنویسیم:

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (آرایه) $

اکنون، برای راحتی و عملی بودن، باید ماتریس را طوری تبدیل کنید که 1 دلار در گوشه بالای ستون انتهایی باشد.

برای انجام این کار، خط را از وسط، ضرب در -1 $ به خط اول اضافه کنید و خط وسط را همانطور که هست بنویسید، معلوم می شود:

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (آرایه) $

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ \ end (آرایه) $

خطوط بالا و آخر را در -1 دلار ضرب کنید و همچنین خطوط آخر و وسط را عوض کنید:

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ \ end (آرایه) $

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \ end (آرایه) $

و خط آخر را بر 3 دلار تقسیم کنید:

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ end (آرایه) $

ما سیستم معادلات زیر را بدست می آوریم که معادل معادلات اصلی است:

$ \ شروع (موارد) x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ پایان (موارد) $

از معادله بالا x_1 $ را بیان می کنیم:

x1 $ = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

مثال 2

مثالی از حل یک سیستم تعریف شده با استفاده از ماتریس 4 در 4 به روش گاوسی

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 و 37 \\ \ انتهای (آرایه) $.

در ابتدا، مکان‌های خطوط تحقیقاتی بالایی را در پشت آن تغییر می‌دهیم تا در گوشه سمت چپ بالا 1 دلار به دست آوریم:

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 و 37 \\ \ انتهای (آرایه) $.

حالا خط بالایی را در -2 دلار ضرب کنید و به 2 و 3 اضافه کنید. به خط چهارم، خط اول را ضرب در -3 دلار اضافه می کنیم:

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\ 0 & - 1 و 3 و -1 و 4 \\ \ انتهای (آرایه) $

اکنون به خط 3، خط 2 را ضرب در 4 دلار و به خط 4، خط 2 را ضرب در -1 دلار اضافه می کنیم.

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ انتهای (آرایه) $

ردیف 2 را در -1 دلار ضرب کنید و ردیف 4 را بر 3 دلار تقسیم کنید و ردیف 3 را جایگزین کنید.

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 و 10 \\ \ انتهای (آرایه) $

حالا ماقبل آخر را ضربدر -5 دلار به خط آخر اضافه کنید.

$ \ شروع (آرایه) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 و 0 \\ \ انتهای (آرایه) $

ما سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم:

$ \ شروع (موارد) m = 0 \\ g = 2 \\ y + m = 2 \\ x + 3y + 2g + m = 11 \ پایان (موارد) $