حل ماتریس به روش معکوس آنلاین. روش ماتریسی آنلاین

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت و ساز ساختمان، و حتی ورزش استفاده می شود. انسان در زمان های قدیم از معادلات استفاده می کرد و از آن زمان به بعد کاربرد آنها افزایش یافته است. روش ماتریسی به شما امکان می دهد راه حل های SLAE (سیستم معادلات جبری خطی) با هر پیچیدگی را پیدا کنید. کل فرآیند حل SLAE به دو مرحله اصلی خلاصه می شود:

تعیین ماتریس معکوس بر اساس ماتریس اصلی:

ضرب ماتریس معکوس حاصل در بردار ستونی محلول ها.

فرض کنید یک SLAE به شکل زیر داده شده است:

\ [\ چپ \ (\ شروع (ماتریس) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \ پایان (ماتریس) \ سمت راست. \]

بیایید حل این معادله را با نوشتن ماتریس سیستم شروع کنیم:

ماتریس سمت راست:

بیایید ماتریس معکوس را تعریف کنیم. ماتریس مرتبه دوم را می توان به صورت زیر یافت: 1 - خود ماتریس باید غیر منحط باشد. 2 - عناصر آن که روی مورب اصلی قرار دارند با هم عوض می شوند و عناصر مورب کناری به علامت مخالف تبدیل می شوند و پس از آن عناصر به دست آمده را بر دترمینال ماتریس تقسیم می کنیم. ما گرفتیم:

\ [\ begin (pmatrix) 7 \\ 9 \ end (pmatrix) = \ begin (pmatrix) -11 \\ 31 \ end (pmatrix) \ Rightarrow \ begin (pmatrix) x_1 \\ x_2 \ end (pmatrix) = \ شروع (pmatrix) -11 \\ 31 \ end (pmatrix) \]

2 ماتریس در صورتی برابر در نظر گرفته می شوند که عناصر متناظر آنها برابر باشند. در نتیجه، ما پاسخ زیر را برای حل SLAE داریم:

کجا می توان سیستم معادلات را به روش ماتریسی به صورت آنلاین حل کرد؟

شما می توانید سیستم معادلات را در وب سایت ما حل کنید. یک حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله ای با هر پیچیدگی را به صورت آنلاین در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر هنوز سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید.

بگذارید یک ماتریس مربع از مرتبه n وجود داشته باشد

ماتریس A -1 نامیده می شود ماتریس معکوسبا توجه به ماتریس A، اگر A * A -1 = E، که در آن E ماتریس واحد مرتبه n است.

ماتریس واحد- چنین ماتریس مربعی، که در آن تمام عناصر در امتداد مورب اصلی که از گوشه سمت چپ بالا به گوشه سمت راست پایین می گذرد یک هستند و بقیه صفر هستند، به عنوان مثال:

ماتریس معکوسممکن است وجود داشته باشد فقط برای ماتریس های مربعآن ها برای آن ماتریس هایی با تعداد سطر و ستون یکسان.

قضیه شرط وجود ماتریس معکوس

برای اینکه یک ماتریس دارای ماتریس معکوس باشد، لازم و کافی است که غیر منحط باشد.

ماتریس A = (A1, A2, ... A n) نامیده می شود غیر منحطاگر بردارهای ستون به صورت خطی مستقل باشند. تعداد بردارهای ستون مستقل خطی یک ماتریس را رتبه ماتریس می گویند. بنابراین می توان گفت که برای وجود یک ماتریس معکوس، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با بعد آن باشد. r = n

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

1. ماتریس A را در جدول حل سیستم معادلات به روش گاوس بنویسید و در سمت راست (به جای سمت راست معادلات) ماتریس E را اختصاص دهید.
2. با استفاده از تبدیل جردن، ماتریس A را به ماتریسی متشکل از ستون های واحد کاهش دهید. در این حالت، لازم است همزمان ماتریس E را تبدیل کنیم.
3. در صورت لزوم، ردیف ها (معادلات) آخرین جدول را به گونه ای تنظیم کنید که در زیر ماتریس A جدول اصلی، ماتریس واحد E را بدست آوریم.
4. ماتریس معکوس A -1 را که در آخرین جدول زیر ماتریس E جدول اصلی قرار دارد، بنویسید.

مثال 1

برای ماتریس A، ماتریس معکوس A -1 را پیدا کنید

راه حل: ماتریس A را یادداشت می کنیم و در سمت راست ماتریس هویت E را اختصاص می دهیم. با استفاده از تبدیل های Jordan، ماتریس A را به ماتریس هویت E کاهش می دهیم. محاسبات در جدول 31.1 نشان داده شده است.

بیایید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی A و ماتریس معکوس A -1 بررسی کنیم.

در نتیجه ضرب ماتریس، ماتریس واحد به دست می آید. بنابراین محاسبات صحیح است.

پاسخ:

حل معادلات ماتریسی

معادلات ماتریسی می توانند به شکل زیر باشند:

AX = B، XA = B، AXB = C،

در جایی که A، B، C ماتریس های مشخص شده هستند، X ماتریس مورد نیاز است.

معادلات ماتریسی با ضرب معادله در ماتریس های معکوس آن حل می شوند.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن یک ماتریس از یک معادله، آن معادله را در سمت چپ ضرب کنید.

بنابراین، برای یافتن راه حل معادله، باید ماتریس معکوس را پیدا کنید و آن را در ماتریس سمت راست معادله ضرب کنید.

سایر معادلات نیز به همین ترتیب حل می شوند.

مثال 2

اگر معادله AX = B را حل کنید

راه حل: از آنجایی که معکوس ماتریس است (به مثال 1 مراجعه کنید)

روش ماتریسی در تحلیل اقتصادی

در کنار دیگران، آنها نیز کاربرد پیدا می کنند روش های ماتریسی... این روش ها بر اساس جبر خطی و ماتریس برداری هستند. چنین روش هایی برای تجزیه و تحلیل پدیده های پیچیده و چند بعدی اقتصادی استفاده می شود. بیشتر اوقات، این روش ها زمانی مورد استفاده قرار می گیرند که ارزیابی مقایسه ای از عملکرد سازمان ها و واحدهای ساختاری آنها ضروری باشد.

در فرآیند بکارگیری روش های تحلیل ماتریسی، مراحل مختلفی را می توان تشخیص داد.

در مرحله اولسیستمی از شاخص های اقتصادی تشکیل می شود و بر اساس آن ماتریسی از داده های اولیه تهیه می شود که جدولی است که در آن اعداد سیستم در خطوط جداگانه آن نشان داده شده است. (i = 1،2، ....، n)، و در امتداد ستون های عمودی - تعداد نشانگرها (j = 1،2، ....، m).

در مرحله دومبرای هر ستون عمودی، بزرگترین مقدار شاخص های موجود نشان داده می شود که به عنوان یک واحد در نظر گرفته می شود.

پس از آن، تمام مقادیر منعکس شده در این ستون بر بزرگترین مقدار تقسیم شده و ماتریسی از ضرایب استاندارد تشکیل می شود.

در مرحله سومتمام اجزای تشکیل دهنده ماتریس مربع هستند. اگر آنها اهمیت متفاوتی داشته باشند، به هر شاخص ماتریس یک فاکتور وزنی خاص اختصاص داده می شود ک... ارزش دومی با قضاوت متخصص تعیین می شود.

در آخرین مورد، مرحله چهارممقادیر یافت شده رتبه بندی R jبه ترتیب افزایش یا کاهش گروه بندی می شوند.

روش‌های ماتریسی مشخص شده باید به‌عنوان مثال در تحلیل مقایسه‌ای پروژه‌های سرمایه‌گذاری مختلف و همچنین در ارزیابی سایر شاخص‌های اقتصادی فعالیت‌های سازمان‌ها مورد استفاده قرار گیرد.

هدف خدمات... این ماشین حساب آنلاین مجهولات (x 1، x 2، ...، x n) را در سیستم معادلات محاسبه می کند. تصمیم اجرا می شود روش ماتریس معکوس... که در آن:

• تعیین کننده ماتریس A محاسبه می شود.
• ماتریس معکوس A -1 از طریق مکمل های جبری یافت می شود.
• یک الگوی راه حل در اکسل ایجاد می شود.

راه حل به طور مستقیم در وب سایت (آنلاین) انجام می شود و رایگان است. نتایج محاسبات در یک گزارش Word قالب بندی می شوند (به مثال طراحی مراجعه کنید).

دستورالعمل. برای بدست آوردن جواب به روش ماتریس معکوس، باید ابعاد ماتریس را مشخص کرد. سپس در یک کادر محاوره ای جدید، ماتریس A و بردار نتایج B را پر کنید.

تعداد متغیرها 2 3 4 5 6 7 8 9 10

حل معادلات ماتریس را نیز ببینید.

الگوریتم برای حل

1. تعیین کننده ماتریس A محاسبه می شود. اگر دترمینان صفر باشد، انتهای راه حل است. این سیستم بی نهایت راه حل دارد.
2. برای تعیین متفاوت از صفر، ماتریس معکوس A -1 از طریق متمم های جبری یافت می شود.
3. بردار حل X = (x 1, x 2, ..., x n) با ضرب ماتریس معکوس در بردار نتیجه B به دست می آید.

یک مثال. با روش ماتریسی راه حلی برای سیستم پیدا کنید. بیایید ماتریس را به صورت زیر بنویسیم:
مکمل های جبری

A 1,1 = (-1) 1 + 1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1 + 2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1 + 3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2 + 1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2 + 2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2 + 3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3 + 1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

X T = (1،0،1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
معاینه:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

در نظر گرفتن سیستم معادلات جبری خطی(SLAE) در خصوص nناشناس ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n :

این سیستم را به صورت "جمع شده" می توان به صورت زیر نوشت:

اس n i = 1 آ ij ایکس j = ب من ، i = 1،2، ...، n.

مطابق با قانون ضرب ماتریس، سیستم معادلات خطی در نظر گرفته شده را می توان در آن نوشت فرم ماتریسی تبر = ب، جایی که

, ,.

ماتریس آکه ستون های آن ضرایب مجهولات مربوطه و سطرها ضرایب مجهولات در معادله مربوطه نامیده می شود. ماتریس سیستم... ماتریس ستونی بکه عناصر آن سمت راست معادلات سیستم است، ماتریس سمت راست یا به سادگی نامیده می شود. سمت راست سیستم... ماتریس ستونی ایکس ، که عناصر آن مجهولات مجهول هستند، نامیده می شود راه حل سیستم.

سیستم معادلات جبری خطی که به شکل نوشته شده است تبر = ب، هست یک معادله ماتریسی.

اگر ماتریس سیستم غیر منحط، سپس دارای یک ماتریس معکوس و سپس حل سیستم است تبر = ببا فرمول داده می شود:

x = A -1 ب.

مثالحل سیستم روش ماتریسی

راه حلماتریس معکوس را برای ماتریس ضرایب سیستم پیدا کنید

بیایید تعیین کننده را محاسبه کنیم، در امتداد خط اول گسترش می یابد:

تا جایی که Δ ≠ 0 ، سپس آ -1 وجود دارد.

ماتریس معکوس به درستی پیدا شد.

بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

از این رو، ایکس 1 = 1، x 2 = 2، x 3 = 3 .

معاینه:

7. قضیه کرونکر-کاپلی در مورد سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی.

سیستم معادلات خطیبه نظر می رسد:

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2، (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + a mn x n = b m.

در اینجا a i j و b i (i =؛ j =) داده می شود و x j اعداد حقیقی مجهول هستند. با استفاده از مفهوم حاصلضرب ماتریس ها می توان سیستم (5.1) را به شکل زیر بازنویسی کرد:

که در آن A = (a i j) ماتریسی متشکل از ضرایب مجهولات سیستم (5.1) است که نامیده می شود. ماتریس سیستم، X = (x 1، x 2، ...، x n) T، B = (b 1، b 2، ...، b m) T بردارهای ستونی هستند که به ترتیب از مجهولات x j و عبارت های آزاد b i تشکیل شده اند.

مجموعه سفارش داده شده nاعداد حقیقی (c 1, c 2, ..., c n) نامیده می شود راه حل سیستم(5.1) اگر در نتیجه جایگزینی این اعداد به جای متغیرهای متناظر x 1، x 2، ...، x n، هر معادله سیستم به یک هویت حسابی تبدیل شود. به عبارت دیگر، اگر بردار C = (c 1, c 2, ..., c n) T وجود داشته باشد به طوری که AC  B.

سیستم (5.1) نامیده می شود مفصل،یا قابل حل،اگر او حداقل یک راه حل دارد. سیستم نامیده می شود ناسازگاریا نامحلولاگر راه حلی نداشته باشد

,

که با اختصاص ستون عبارات آزاد به ماتریس A از سمت راست تشکیل می شود، نامیده می شود ماتریس سیستم توسعه یافته

سوال سازگاری سیستم (5.1) با قضیه زیر حل می شود.

قضیه کرونکر-کاپلی ... سیستم معادلات خطی اگر و تنها در صورتی سازگار است که رتبه‌های ماتریس‌های A و A بر هم منطبق باشند، یعنی: r (A) = r (A) = r.

برای مجموعه M از راه حل های سیستم (5.1)، سه احتمال وجود دارد:

1) M =  (در این مورد، سیستم ناسازگار است).

2) M از یک عنصر تشکیل شده است، یعنی. سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (در این مورد، سیستم نامیده می شود معین);

3) M از بیش از یک عنصر تشکیل شده است (سپس سیستم فراخوانی می شود تعریف نشده). در حالت سوم، سیستم (5.1) تعداد بی نهایت جواب دارد.

سیستم تنها در صورتی که r (A) = n یک راه حل منحصر به فرد دارد. در این حالت، تعداد معادلات کمتر از تعداد مجهولات (mn) نیست. اگر m> n باشد، معادلات m-n پیامدهای دیگر هستند. اگر 0

برای حل یک سیستم دلخواه از معادلات خطی، باید بتوانید سیستم هایی را که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است حل کنید - به اصطلاح سیستم های نوع کرامر:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1،

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2، (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 + ... + a nn x n = b n.

سیستم های (5.3) به یکی از روش های زیر حل می شوند: 1) روش گاوس، یا روش حذف مجهولات. 2) طبق فرمول های کرامر؛ 3) به روش ماتریسی.

مثال 2.12... سیستم معادلات را بررسی کنید و در صورت سازگاری آن را حل کنید:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7،

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

راه حل.ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم:

 .

بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم. بدیهی است، برای مثال، مینور مرتبه دوم در گوشه سمت چپ بالا = 7  0; مینورهای مرتبه سوم حاوی آن برابر با صفر هستند:

در نتیجه، رتبه ماتریس اصلی سیستم 2 است، یعنی. r (A) = 2. برای محاسبه رتبه ماتریس توسعه یافته A، مینور مرزی را در نظر بگیرید.

از این رو، رتبه ماتریس توسعه یافته r (A) = 3 است. از آنجایی که r (A)  r (A)، سیستم ناسازگار است.

روش ماتریس معکوس یک مورد خاص است معادله ماتریسی

حل سیستم با روش ماتریسی

راه حل: اجازه دهید سیستم را به صورت ماتریسی بنویسیم و جواب سیستم را با فرمول پیدا کنیم (آخرین فرمول را ببینید)

ماتریس معکوس را با فرمول پیدا می کنیم:
، ماتریس جابجایی متمم های جبری عناصر متناظر ماتریس کجاست.

ابتدا به عامل تعیین کننده می پردازیم:

در اینجا واجد شرایط در خط اول گسترش یافته است.

توجه! اگر ماتریس معکوس وجود نداشته باشد و حل سیستم با روش ماتریسی غیرممکن باشد. در این حالت سیستم با روش حذف مجهولات (روش گاوس) حل می شود.

اکنون باید 9 مینور را محاسبه کرده و در ماتریس مینورها بنویسید

ارجاع:دانستن معنی دو زیرنویس در جبر خطی مفید است. رقم اول شماره خطی است که این عنصر در آن قرار دارد. رقم دوم تعداد ستونی است که این عنصر در آن قرار دارد:

یعنی یک زیرنویس دوتایی نشان می دهد که آیتم در ردیف اول، ستون سوم، و برای مثال، آیتم در ردیف 3، ستون 2 قرار دارد.

در مسیر حل، بهتر است محاسبه مینورها را به تفصیل شرح دهیم، اگرچه با کمی تجربه می توان آنها را به شفاهی با خطاها عادت داد.

ترتیب محاسبه مینورها اصلا مهم نیست، اینجا خط به خط آنها را از چپ به راست محاسبه کردم. محاسبه مینورها توسط ستون ها امکان پذیر بود (این حتی راحت تر است).

بدین ترتیب:

- ماتریس مینورهای عناصر مربوطه ماتریس.

- ماتریس متمم های جبری.

- ماتریس جابجا شده از مکمل های جبری.

تکرار می کنم مراحلی که انجام دادیم در درس به تفصیل تحلیل شد. چگونه معکوس یک ماتریس را پیدا کنم؟

حال برعکس ماتریس را می نویسیم:

در هیچ موردی ماتریس را وارد نمی کنیم، این محاسبات بعدی را به طور جدی پیچیده می کند... اگر تمام اعداد ماتریس بدون باقیمانده بر 60 بخش پذیر باشند، تقسیم باید انجام شود. اما در این مورد، وارد کردن یک منهای به ماتریس بسیار ضروری است؛ برعکس، محاسبات بعدی را ساده می کند.

باقی مانده است که ضرب ماتریس را انجام دهیم. شما می توانید نحوه ضرب ماتریس ها را در درس یاد بگیرید عملیات ماتریسی... اتفاقاً دقیقاً همان مثال در آنجا تحلیل می شود.

توجه داشته باشید که تقسیم بر 60 انجام شده است در آخرین مکان.
گاهی اوقات ممکن است به طور کامل تقسیم نشود، یعنی. ممکن است کسرهای "بد" ایجاد شود. در چنین مواردی چه باید کرد، قبلاً وقتی قانون کرامر را تجزیه و تحلیل کردیم، گفتم.

پاسخ:

مثال 12

سیستم را با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید.

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (نمونه ای از اتمام و پاسخ در پایان درس).

جهانی ترین راه برای حل سیستم است روش حذف مجهولات (روش گاوس)... توضیح ساده الگوریتم چندان آسان نیست، اما من سعی کردم!.

برایت ارزوی موفقیت میکنم!

پاسخ ها:

مثال 3:

مثال 6:

مثال 8: , ... می توانید نمونه راه حل این مثال را مشاهده یا دانلود کنید (لینک زیر).

مثال های 10، 12:

ما همچنان به بررسی سیستم های معادلات خطی ادامه می دهیم. این درس سومین درس در این موضوع است. اگر تصور مبهمی در مورد اینکه سیستم معادلات خطی به طور کلی چیست، احساس می کنید مانند یک قوری هستید، توصیه می کنم از اصول اولیه صفحه شروع کنید و مطالعه درس مفید است.

روش گاوس آسان است!چرا؟ یوهان کارل فردریش گاوس، ریاضیدان مشهور آلمانی در طول زندگی خود به عنوان بزرگترین ریاضیدان تمام دوران، نابغه و حتی لقب "پادشاه ریاضیات" شناخته شد. و همه چیز مبتکرانه، همانطور که می دانید، ساده است!به هر حال، نه تنها مکنده ها، بلکه نابغه ها نیز در ازای پول پول می گیرند - پرتره گاوس روی اسکناس 10 مارک آلمانی (قبل از معرفی یورو) بود و گاوس هنوز از روی تمبرهای پستی معمولی به طور مرموزی به آلمانی ها لبخند می زند.

روش گاوس از این نظر ساده است که دانش یک دانش آموز کلاس 5 برای تسلط بر آن کافی است. باید بتوانید جمع و ضرب کنید!تصادفی نیست که معلمان اغلب روش حذف متوالی مجهولات را در دروس انتخابی ریاضی مدرسه در نظر می گیرند. به طور متناقض، روش گاوس برای دانش آموزان سخت ترین است. جای تعجب نیست - کل نکته در روش شناسی است و من سعی خواهم کرد در مورد الگوریتم روش به شکل قابل دسترس به شما بگویم.

ابتدا اجازه دهید دانش در مورد سیستم های معادلات خطی را کمی نظام مند کنیم. یک سیستم معادلات خطی می تواند:

1) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).

روش گاوسی قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل است هرسیستم های معادلات خطی همانطور که به یاد داریم قانون کرامر و روش ماتریسدر مواردی که سیستم بی نهایت راه حل دارد یا ناسازگار است نامناسب است. و روش حذف متوالی مجهولات به هر حالما را به پاسخ می رساند! در این درس مجدداً روش گاوس را برای مورد شماره 1 (تنها راه حل سیستم) در نظر می گیریم، مقاله ای برای وضعیت نقاط شماره 2-3 در نظر گرفته شده است. توجه داشته باشید که الگوریتم خود روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند.

بیایید به ساده ترین سیستم از درس برگردیم چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟
و با روش گاوس حل کنید.

در مرحله اول باید بنویسید ماتریس سیستم توسعه یافته:
... ضرایب بر چه اساسی نوشته شده است، فکر می کنم همه می توانند ببینند. نوار عمودی داخل ماتریس هیچ معنای ریاضی ندارد - فقط یک خط زیر برای سهولت طراحی است.

ارجاع: توصیه می کنم به خاطر بسپاریدمقررات جبر خطی.ماتریس سیستم آیا ماتریسی فقط از ضرایب مجهول تشکیل شده است، در این مثال ماتریس سیستم: . ماتریس سیستم توسعه یافته - این همان ماتریس سیستم به اضافه یک ستون از اعضای آزاد است، در این مورد: ... هر یک از ماتریس ها را می توان برای اختصار به سادگی ماتریس نامید.

پس از ثبت سیستم ماتریس توسعه یافته، لازم است اقداماتی با آن انجام شود که به آن ها نیز گفته می شود تحولات ابتدایی.

دگرگونی های ابتدایی زیر وجود دارد:

1) رشته هایماتریس ها قابل تنظیم مجددمکان ها به عنوان مثال، در ماتریس مورد بررسی، می توانید بدون دردسر ردیف های اول و دوم را دوباره مرتب کنید:

2) اگر ماتریس حاوی (یا ظاهر می شود) ردیف های متناسب (به عنوان یک مورد خاص - یکسان) باشد، از آن پیروی می کند. حذفاز ماتریس همه این سطرها به جز یک. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید ... در این ماتریس، سه ردیف آخر متناسب هستند، بنابراین کافی است تنها یکی از آنها باقی بماند: .

3) اگر یک ردیف صفر در ماتریس در طول تبدیل ها ظاهر شد، پس از آن نیز می آید حذف... من رسم نمی کنم، البته، خط صفر خطی است که در آن فقط صفرها.

4) ردیف ماتریس می تواند باشد ضرب (تقسیم)با هر تعداد، غیر صفر... به عنوان مثال، یک ماتریس را در نظر بگیرید. در اینجا توصیه می شود خط اول را بر -3 تقسیم کنید و خط دوم را در 2 ضرب کنید: ... این عمل بسیار مفید است زیرا تبدیل ماتریس های بیشتر را ساده می کند.

5) این تحول سخت ترین است، اما در واقع هیچ چیز پیچیده ای نیز وجود ندارد. به یک ردیف از یک ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنیدغیر صفر ماتریس ما را از یک مثال عملی در نظر بگیرید:. ابتدا، تبدیل را با جزئیات کامل شرح می دهم. خط اول را در -2 ضرب کنید: ، و به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید: اکنون می توان خط اول را با -2: "بازگشت" تقسیم کرد. همانطور که می بینید، خطی که اضافه می کند لی – تغییر نکرده است. همیشه ... هستخط را به آن افزایش می دهد UT.

البته در عمل آنها با این جزئیات توضیح نمی دهند، اما کوتاهتر می نویسند:

بار دیگر: به خط دوم سطر اول ضرب در -2 را اضافه کرد... رشته معمولاً به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس ضرب می شود، در حالی که سیر ذهنی محاسبات چیزی شبیه به این است:

"بازنویسی ماتریس و بازنویسی خط اول:"

«ابتدا ستون اول. در پایین، باید صفر را دریافت کنم. بنابراین، واحد بالا را در -2: ضرب می کنم و اولین را به خط دوم اضافه می کنم: 2 + (–2) = 0. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

حالا برای ستون دوم. بالای –1 ضرب در –2:. اولی را به خط دوم اضافه می کنم: 1 + 2 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: "

و ستون سوم. بالای -5 ضرب در -2:. اولی را به خط دوم اضافه می کنم: -7 + 10 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

لطفاً این مثال را با دقت درک کنید و الگوریتم متوالی محاسبات را درک کنید، اگر این را فهمیدید، روش گاوس عملاً "در جیب شما" است. اما، البته، ما روی این تحول کار خواهیم کرد.

تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند

! توجه:دستکاری در نظر گرفته شده است نمی تواند استفاده کند، اگر کاری به شما پیشنهاد می شود که در آن ماتریس ها "به خودی خود" داده می شوند. به عنوان مثال، با "کلاسیک" اقدامات با ماتریسبه هیچ وجه نباید چیزی را در داخل ماتریس ها تنظیم مجدد کنید!

بیایید به سیستم خود برگردیم. تقریبا حل شده است.

ماتریس توسعه یافته سیستم را یادداشت می کنیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به کاهش می دهیم نمای پلکانی:

(1) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. راستی چرا خط اول را در 2- ضرب می کنیم؟ برای به دست آوردن صفر در پایین، یعنی خلاص شدن از شر یک متغیر در خط دوم.

(2) ردیف دوم را بر 3 تقسیم کنید.

هدف از تحولات ابتدایی– ماتریس را به شکل پلکانی بیاورید: ... در طراحی تکلیف، "نردبان" با یک مداد ساده مشخص شده است و اعدادی که روی "پله ها" قرار دارند دایره می شوند. اصطلاح "نوع مرحله" به خودی خود کاملاً نظری نیست؛ در ادبیات علمی و آموزشی اغلب به آن گفته می شود نمای ذوزنقه اییا نمای مثلثی.

در نتیجه تحولات ابتدایی به دست آوردیم معادلسیستم اصلی معادلات:

اکنون سیستم باید در جهت مخالف "باز شود" - از پایین به بالا، این فرآیند نامیده می شود روش گاوسی عقب مانده.

در معادله پایین، ما از قبل یک نتیجه آماده داریم:.

اجازه دهید اولین معادله سیستم را در نظر بگیریم و مقدار شناخته شده "بازی" را در آن جایگزین کنیم:

اجازه دهید رایج ترین حالت را در نظر بگیریم که روش گاوس نیاز به حل یک سیستم سه معادله خطی با سه مجهول دارد.

مثال 1

حل سیستم معادلات به روش گاوس:

بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم:

اکنون من فوراً نتیجه ای را ترسیم می کنم که در طول راه حل به آن خواهیم رسید:

و دوباره، هدف ما این است که با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی، ماتریس را به شکل پلکانی برسانیم. اکشن را از کجا شروع کنیم؟

ابتدا به عدد سمت چپ بالا نگاه می کنیم:

تقریباً همیشه باید اینجا باشد واحد... به طور کلی، -1 خوب خواهد بود (و گاهی اوقات اعداد دیگر)، اما به نوعی به طور سنتی اتفاق می افتد که واحد معمولاً در آنجا قرار می گیرد. چگونه یک واحد را سازماندهی کنیم؟ ما به ستون اول نگاه می کنیم - ما یک واحد آماده داریم! تبدیل اول: خط اول و سوم را عوض کنید:

اکنون خط اول تا پایان راه حل بدون تغییر باقی می ماند.... حالا خوبه

واحد در سمت چپ بالا سازماندهی شده است. حالا باید در این مکان ها صفر بگیرید:

ما صفرها را فقط با کمک تبدیل "سخت" بدست می آوریم. ابتدا با خط دوم (2، -1، 3، 13) سروکار داریم. برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول چه باید کرد؟ ضروری است به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید... به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -2 ضرب کنید: (-2، -4، 2، -18). و ما به طور مداوم (دوباره ذهنی یا بر اساس پیش نویس) اضافه می کنیم، به خط دوم ما خط اول را که قبلاً در -2 ضرب شده است اضافه می کنیم:

نتیجه را در خط دوم می نویسیم:

با خط سوم نیز به همین ترتیب برخورد می کنیم (3، 2، -5، -1). برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول، شما نیاز دارید به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید... به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -3 ضرب کنید: (–3، –6، 3، –27). و به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید:

نتیجه را در خط سوم می نویسیم:

در عمل، این اقدامات معمولاً به صورت شفاهی انجام می شود و در یک مرحله ثبت می شود:

لازم نیست همه چیز را یکجا و همزمان بشمارید... ترتیب محاسبات و "نوشتن" نتایج استوارو معمولاً اینگونه است: ابتدا خط اول را بازنویسی می کنیم و خودمان را به حیله گری پف می کنیم - SEQUENTIAL و با توجه:

و من قبلاً سیر ذهنی خود محاسبات را در بالا بررسی کرده ام.

در این مثال، انجام این کار آسان است، خط دوم بر 5- تقسیم می شود (زیرا همه اعداد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر هستند). در همان زمان، خط سوم را بر -2 تقسیم می کنیم، زیرا هرچه اعداد کوچکتر باشند، راه حل آسان تر است:

در مرحله نهایی تبدیل های ابتدایی، باید یک صفر دیگر را در اینجا بدست آورید:

برای این به خط سوم خط دوم را ضرب در 2- اضافه کنید:

سعی کنید خودتان این عمل را تجزیه کنید - به صورت ذهنی خط دوم را در -2 ضرب کنید و اضافه کنید.

آخرین عمل انجام شده مدل موی نتیجه است، خط سوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تبدیل های ابتدایی، یک سیستم اولیه معادل معادلات خطی به دست آمد:

سرد.

معکوس روش گاوسی اکنون وارد عمل می شود. معادلات از پایین به بالا "باز" ​​می شوند.

در معادله سوم، از قبل یک نتیجه آماده داریم:

ما به معادله دوم نگاه می کنیم:. معنای "ز" قبلاً شناخته شده است، بنابراین:

و در نهایت، معادله اول:. «ی» و «ز» معلوم است، موضوع کوچک است:

پاسخ:

همانطور که قبلاً بارها اشاره شده است، برای هر سیستم معادلات، بررسی راه حل یافت شده ممکن و ضروری است، خوشبختانه، آسان و سریع است.

مثال 2

این یک نمونه کار خودتان، یک نمونه نهایی و پاسخ در انتهای آموزش است.

لازم به ذکر است که شما دوره تصمیم گیریممکن است با مسیر تصمیم من مطابقت نداشته باشد، و این یکی از ویژگی های روش گاوس است... اما پاسخ ها باید یکسان باشد!

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با روش گاوسی

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. ما باید یک واحد آنجا داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین مرتب کردن مجدد ردیف ها چیزی را حل نمی کند. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. من این کار را کردم: (1) به خط اول خط دوم را ضرب در -1 اضافه کنید... یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را اضافه کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

حالا بالا سمت چپ -1 است که برای ما خوب است. هر کسی که بخواهد 1+ بگیرد می‌تواند یک حرکت اضافی بدن انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

(2) سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

(3) خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم را نیز تغییر دادیم و به مکان دوم منتقل کردیم، به این ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نیاز را داریم.

(4) ردیف دوم ضرب در 2 به ردیف سوم اضافه شد.

(5) خط سوم بر 3 تقسیم شد.

یک علامت بد که نشان دهنده خطا در محاسبات است (کمتر - یک اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر در قسمت پایین چیزی شبیه به آن داشته باشیم و بر این اساس، ، پس با درجه احتمال بالایی می توان استدلال کرد که در جریان تحولات ابتدایی اشتباهی رخ داده است.

ما حرکت معکوس را شارژ می کنیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند." به شما یادآوری می کنم که حرکت معکوس از پایین به بالا کار می کند:
بله، اینجا هدیه معلوم شد:

پاسخ: .

مثال 4

حل یک سیستم معادلات خطی با روش گاوسی

این نمونه ای برای یک راه حل مستقل است، تا حدودی پیچیده تر است. اگر کسی گیج شود اشکالی ندارد. حل کامل و طراحی نمونه در پایان آموزش. راه حل شما ممکن است با من متفاوت باشد.

در قسمت آخر به بررسی برخی از ویژگی های الگوریتم گاوس می پردازیم.
اولین ویژگی این است که گاهی اوقات برخی از متغیرها در معادلات سیستم گم می شوند، به عنوان مثال:

چگونه ماتریس سیستم توسعه یافته را به درستی بنویسیم؟ قبلاً در مورد این لحظه در درس صحبت کردم. قانون کرامر روش ماتریسی... در ماتریس توسعه یافته سیستم، به جای متغیرهای گمشده، صفر قرار می دهیم:

به هر حال، این یک مثال نسبتاً آسان است، زیرا قبلاً یک صفر در ستون اول وجود دارد و تبدیل‌های اولیه کمتری برای انجام وجود دارد.

ویژگی دوم به شرح زیر است. در تمام مثال‌های در نظر گرفته شده، ما ۱- یا ۱+ را روی «گام‌ها» قرار دادیم. آیا اعداد دیگری ممکن است وجود داشته باشد؟ در برخی موارد می توانند. سیستم را در نظر بگیرید: .

در اینجا، در سمت چپ "پله" ما دو داریم. اما ما متوجه این واقعیت هستیم که تمام اعداد در ستون اول بر 2 بدون باقی مانده بخش پذیر هستند - و دو و شش دیگر. و دوسه در بالا سمت چپ مناسب ما خواهد بود! در مرحله اول، شما باید تبدیل های زیر را انجام دهید: خط اول ضرب در -1 را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید. با این کار صفرهای مورد نظر در ستون اول به ما می رسد.

یا مثال شرطی دیگر: ... در اینجا سه ​​در "پله" دوم نیز برای ما مناسب است، زیرا 12 (محلی که باید صفر را بدست آوریم) بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر است. لازم است تبدیل زیر را انجام دهید: به خط سوم خط دوم ضرب در -4 را اضافه کنید که در نتیجه صفر مورد نیاز ما به دست می آید.

روش گاوس جهانی است، اما یک ویژگی وجود دارد. شما می توانید با اطمینان یاد بگیرید که چگونه سیستم ها را با روش های دیگر حل کنید (روش کرامر، روش ماتریس) به معنای واقعی کلمه اولین بار - یک الگوریتم بسیار سفت و سخت وجود دارد. اما برای اینکه به روش گاوس اطمینان داشته باشید، باید "دست خود را پر کنید" و حداقل 5-10 ده سیستم را حل کنید. بنابراین، در ابتدا، سردرگمی، اشتباه در محاسبات امکان پذیر است و هیچ چیز غیرعادی یا غم انگیزی در این وجود ندارد.

هوای بارانی پاییز در خارج از پنجره ... بنابراین، برای همه، یک مثال پیچیده تر برای یک راه حل مستقل:

مثال 5

سیستم 4 معادله خطی با چهار مجهول را با روش گاوس حل کنید.

چنین کاری در عمل چندان نادر نیست. من فکر می کنم حتی یک قوری که این صفحه را به طور کامل مطالعه کرده است، الگوریتم حل چنین سیستمی به طور مستقیم واضح است. اساساً همه چیز یکسان است - فقط اقدامات بیشتری وجود دارد.

مواردی که سیستم هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار) یا راه حل های بی نهایت زیادی دارد در درس در نظر گرفته می شود. سیستم ها و سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترک... الگوریتم در نظر گرفته شده روش گاوس نیز می تواند در آنجا ثابت شود.

برایت ارزوی موفقیت میکنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به صورت گام به گام در آوریم.

تبدیل های اولیه انجام شده:
(1) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. خط اول ضرب در -1 به خط سوم اضافه شد.توجه! در اینجا ممکن است وسوسه انگیز باشد که خط اول را از خط سوم کم کنید، من به شدت از تفریق منع می کنم - خطر خطا بسیار افزایش می یابد. فقط جمع کن!
(2) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط دوم و سوم عوض شد.توجه داشته باشید که در "پله ها" ما نه تنها از یک، بلکه به -1 راضی هستیم که حتی راحت تر است.
(3) ردیف دوم در 5 ضرب به ردیف سوم اضافه شد.
(4) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط سوم به 14 تقسیم شد.

معکوس:


پاسخ: .

مثال 4: ماتریس توسعه یافته سیستم را یادداشت می کنیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در می آوریم:

تبدیل های انجام شده:
(1) دومی به سطر اول اضافه شد. بنابراین، واحد مورد نظر در "پله" سمت چپ بالا سازماندهی شده است.
(2) سطر اول ضرب در 7 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 6 به سطر سوم اضافه شد.

مرحله دوم بدتر می شود ، "کاندیدا" برای آن اعداد 17 و 23 هستند و به یک یا -1 نیاز داریم. دگرگونی های (3) و (4) با هدف به دست آوردن واحد مورد نظر خواهد بود

(3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.
(4) خط سوم به خط دوم اضافه شد که در 3- ضرب شد.
مورد لازم در مرحله دوم دریافت می شود .
(5) خط دوم در 6 ضرب به خط سوم اضافه شد.
(6) خط دوم در -1 ضرب شد، خط سوم بر -83 تقسیم شد.واضح است که هواپیما به طور منحصر به فردی توسط سه نقطه مختلف تعیین می شود که روی یک خط مستقیم قرار ندارند. بنابراین، تعیین سه حرفی هواپیماها بسیار محبوب است - به عنوان مثال، با نقاط متعلق به آنها. .اگر اعضای رایگان