نحوه حل معادلات مثلثاتی روشهای حل معادلات مثلثاتی

مستلزم آگاهی از فرمول های اصلی مثلثات - مجموع مربع های سینوس و کسینوس ، بیان مماس از طریق سینوس و کسینوس و سایر موارد است. برای کسانی که آنها را فراموش کرده اند یا نمی دانند ، توصیه می کنیم مقاله "" را بخوانید.
بنابراین اصلی فرمول های مثلثاتیما می دانیم که زمان استفاده از آنها فرا رسیده است. حل معادلات مثلثاتیبا رویکرد مناسب ، این یک فعالیت بسیار هیجان انگیز است ، مانند حل مکعب روبیک.

بر اساس نام خود ، واضح است که معادله مثلثاتی معادله ای است که در آن مجهول تحت علامت تابع مثلثاتی است.
به اصطلاح پروتوزوآ وجود دارد معادلات مثلثاتی... ظاهر آنها این است: sinx = a ، cos x = a ، tg x = a. در نظر گرفتن نحوه حل چنین معادلات مثلثاتی، برای وضوح ، ما از دایره مثلثاتی آشنا استفاده می کنیم.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

تخت x = a

هر معادله مثلثاتی در دو مرحله حل می شود: ما معادله را به ساده ترین شکل می رسانیم و سپس آن را به عنوان ساده ترین معادله مثلثاتی حل می کنیم.
7 روش اصلی وجود دارد که با استفاده از آنها معادلات مثلثاتی حل می شود.

1. روش جایگزینی و جایگزینی متغیر

حل معادله 2cos 2 (x + / 6) - 3sin ( / 3 - x) +1 = 0

با استفاده از فرمول های کاهش ، بدست می آوریم:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

برای سادگی cos (x + / 6) را با y جایگزین کنید و معادله درجه دوم معمول را بدست آورید:

2y 2 - 3y + 1 + 0

ریشه چه کسی y 1 = 1 ، y 2 = 1/2 است

حالا بیایید به ترتیب معکوس برویم

مقادیر y پیدا شده را جایگزین می کنیم و دو پاسخ دریافت می کنیم:

2. حل معادلات مثلثاتی از طریق فاکتورگیری

چگونه معادله sin x + cos x = 1 را حل کنیم؟

همه چیز را به سمت چپ حرکت دهید تا 0 در سمت راست باقی بماند:

sin x + cos x - 1 = 0

برای ساده سازی معادله از هویت های بالا استفاده می کنیم:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0

ما عامل سازی را انجام می دهیم:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2 سین (x / 2) * = 0

دو معادله بدست می آوریم

3. کاهش به یک معادله همگن

یک معادله از نظر سینوس و کسینوس همگن است اگر همه اصطلاحات آن نسبت به سینوس و کسینوس قدرت یکسانی از یک زاویه داشته باشند. برای حل معادله همگن ، مراحل زیر را انجام دهید:

الف) همه اعضای خود را به سمت چپ منتقل کنید ؛

ب) همه عوامل متداول را از پرانتز خارج کنید.

ج) همه عوامل و براکت ها را با 0 برابر می داند.

د) در براکت بدست می آید معادله همگنبه میزان کمتر ، به نوبه خود ، با سینوس یا کسینوس در بالاترین درجه تقسیم می شود.

ه) معادله حاصله را برای tg حل کنید.

معادله 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 را حل کنید

بیایید از فرمول sin 2 x + cos 2 x = 1 استفاده کنیم و دو مورد باز شده در سمت راست را از بین ببریم:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

تقسیم بر cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tg x را با y جایگزین کنید و یک معادله درجه دوم بدست آورید:

y 2 + 4y +3 = 0 ، که ریشه های آنها y 1 = 1 ، y 2 = 3 است

از اینجا دو راه حل برای معادله اصلی پیدا می کنیم:

x 2 = arctan 3 + k

4. حل معادلات با رفتن به نیم زاویه

معادله 3sin x - 5cos x = 7 را حل کنید

حرکت به x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

همه چیز را به چپ منتقل کنید:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

تقسیم بر cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

5. معرفی زاویه کمکی

برای در نظر گرفتن ، ما یک معادله از شکل را در نظر می گیریم: a sin x + b cos x = c ،

جایی که a ، b ، c برخی از ضرایب دلخواه هستند و x ناشناخته است.

هر دو طرف معادله را به موارد زیر تقسیم کنید:



در حال حاضر ضرایب معادله ، با توجه به فرمول های مثلثاتی ، دارای خواص sin و cos هستند ، یعنی: مدول آنها بیشتر از 1 نیست و مجموع مربع = 1. اجازه دهید آنها را به ترتیب به عنوان cos و sin نشان دهیم ، جایی که به اصطلاح زاویه کمکی سپس معادله شکل زیر را می گیرد:

cos * sin x + sin * cos x = С

یا گناه (x +) = C

راه حل این ساده ترین معادله مثلثاتی این است

x = (-1) k * arcsin С - + k ، جایی که



توجه داشته باشید که cos و sin به جای یکدیگر استفاده می شوند.

معادله گناه 3x را حل کنید - cos 3x = 1

در این معادله ، ضرایب عبارتند از:

a = ، b = -1 ، بنابراین هر دو طرف را بر = 2 تقسیم می کنیم

زیاد مسائل ریاضی، به ویژه مواردی که قبل از کلاس 10 رخ می دهد ، ترتیب اقدامات انجام شده که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. چنین وظایفی شامل ، برای مثال ، خطی و معادلات درجه دوم، نابرابری های خطی و درجه دوم ، معادلات کسری و معادلات که به درجه دوم کاهش می یابد. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از وظایف ذکر شده به شرح زیر است: لازم است مشخص شود که چه نوع مشکلی باید حل شود ، توالی لازم از اقدامات را به خاطر بسپاریم که منجر به نتیجه مطلوب می شود ، به عنوان مثال. پاسخ دهید ، و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مشکل خاص بستگی به این دارد که نوع معادله ای که باید حل شود به درستی تعیین شده است ، و توالی همه مراحل حل آن به درستی بازتولید شده است. البته در این مورد ، شما باید مهارت هایی را برای اجرا داشته باشید تحولات یکسانو محاسبه

با اوضاع متفاوت است معادلات مثلثاتیایجاد این حقیقت که معادله مثلثاتی است به هیچ وجه دشوار نیست. در تعیین توالی اقدامات که منجر به پاسخ صحیح می شود ، مشکلاتی بوجود می آید.

توسط ظاهرمعادله گاهی اوقات تعیین نوع آن مشکل است. و بدون آگاهی از نوع معادله ، تقریباً غیرممکن است که از بین ده ها فرمول مثلثاتی مناسب را انتخاب کنید.

برای حل معادله مثلثاتی ، باید سعی کنید:

1. همه توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. آوردن معادله به "توابع یکسان" ؛
3. ضلع سمت چپ معادله و غیره

در نظر گرفتن روشهای اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1یک تابع مثلثاتی را بر حسب اجزای شناخته شده بیان کنید.

گام 2.آرگومان یک تابع را با فرمولها بیابید:

cos x = a؛ x = ± arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a؛ x = (-1) n arcsin a + πn ، n Є Z.

tg x = a ؛ x = arctan a + πn ، n Є Z.

ctg x = a؛ x = arcctg a + πn ، n Є Z.

مرحله 3یافتن متغیر ناشناخته

مثال.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

راه حل.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn ، n Є Z ؛

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn ، n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn ، n Є Z ؛

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z ؛

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z.

پاسخ: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z.

II جایگزینی متغیر

طرح راه حل

مرحله 1با توجه به یکی از معادله ، معادله را به شکل جبری کاهش دهید توابع مثلثاتی.

گام 2.تابع حاصله را با متغیر t نشان دهید (در صورت لزوم ، محدودیت های t را اعمال کنید).

مرحله 3معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4جایگزینی معکوس انجام دهید.

مرحله 5ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

راه حل.

1) 2 (1 - گناه 2 (x / 2)) - 5 سین (x / 2) - 5 = 0 ؛

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) اجازه دهید sin (x / 2) = t ، جایی که | t | ≤ 1

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ؛

t = 1 یا e = -3/2 ، شرط | t | را برآورده نمی کند ≤ 1

4) گناه (x / 2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn ، n Є Z ؛

x = π + 4πn ، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn ، n Є Z.

سوم روش کاهش ترتیب معادله

طرح راه حل

مرحله 1جایگزین کردن معادله داده شدهخطی ، با استفاده از فرمول های کاهش درجه برای این:

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x) ؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x) ؛

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

گام 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4 ؛

3/2 cos 2x = 3/4 ؛

2x = ± π / 3 + 2πn ، n Є Z ؛

x = ± π / 6 + πn ، n Є Z.

پاسخ: x = ± π / 6 + πn ، n Є Z.

IV معادلات همگن

طرح راه حل

مرحله 1این معادله را به فرم بیاورید

a) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا در نظر داشته باشید

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2.هر دو طرف معادله را با تقسیم کنید

الف) cos x ≠ 0 ؛

ب) cos 2 x ≠ 0 ؛

و معادله tg x را بدست آورید:

a) a tg x + b = 0 ؛

ب) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.

مرحله 3معادله را با استفاده از روشهای شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0 ؛

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0 ؛

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) سپس tg x = t را بگذارید

t 2 + 3t - 4 = 0 ؛

t = 1 یا t = -4 ، بنابراین

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π / 4 + πn ، n Є Z ؛ از معادله دوم x = -arctg 4 + πk ، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn ، n Є Z ؛ x = -arctg 4 + πk ، k Є Z.

V. روش تبدیل معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1با استفاده از انواع فرمولهای مثلثاتی ، این معادله را به معادله حل شده با روشهای I ، II ، III ، IV برسانید.

گام 2.معادله بدست آمده را با روشهای شناخته شده حل کنید.

مثال.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

راه حل.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0 ؛

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) گناه 2x (2cos x + 1) = 0 ؛

گناه 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0 ؛

از معادله اول 2x = π / 2 + πn ، n Є Z ؛ از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π / 4 + πn / 2 ، n Є Z داریم ؛ از معادله دوم x = ± (π - π / 3) + 2πk ، k Є Z.

در نتیجه ، x = π / 4 + πn / 2 ، n Є Z ؛ x = ± 2π / 3 + 2πk ، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn / 2 ، n Є Z ؛ x = ± 2π / 3 + 2πk ، k Є Z.

مهارتها و مهارتهای حل معادلات مثلثاتی بسیار زیاد است مهم این است که توسعه آنها نیازمند تلاش های قابل توجهی است ، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل مربوط به استریومتری ، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط هستند. فرایند حل چنین مسائلی ، همانطور که گفته شد ، شامل دانش و مهارت های زیادی است که هنگام مطالعه عناصر مثلثات به دست می آید.

معادلات مثلثاتی در فرآیند آموزش ریاضیات و به طور کلی رشد شخصیت ، جایگاه مهمی را اشغال می کنند.

هنوز سوالی دارید؟ مطمئن نیستید که چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم -.
اولین درس رایگان است!

وبلاگ ، با کپی کامل یا جزئی از مطالب ، پیوند به منبع مورد نیاز است.

مفهوم حل معادلات مثلثاتی

• برای حل معادله مثلثاتی ، آن را به یک یا چند معادله مثلثاتی اساسی تبدیل کنید. حل معادله مثلثاتی در نهایت به حل چهار معادله مثلثاتی اساسی خلاصه می شود.

حل معادلات پایه مثلثاتی

• 4 نوع معادله مثلثاتی اساسی وجود دارد:
• گناه x = a؛ cos x = a
• tg x = a ؛ ctg x = a
• حل معادلات مثلثاتی اولیه شامل مشاهده موقعیت های مختلف x در دایره واحد و استفاده از یک جدول تبدیل (یا ماشین حساب) است.
• مثال 1. گناه x = 0.866. با استفاده از یک جدول تبدیل (یا ماشین حساب) ، پاسخ را دریافت می کنید: x = π / 3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: 2π / 3. به یاد داشته باشید: همه توابع مثلثاتی دوره ای هستند ، یعنی مقادیر آنها تکرار می شود. به عنوان مثال ، دوره ای بودن گناه x و cos x 2πn است ، و دوره تناوبی tg x و ctg x πn. بنابراین ، پاسخ به شرح زیر نوشته می شود:
• x1 = π / 3 + 2πn؛ x2 = 2π / 3 + 2πn.
• مثال 2.cos x = -1/2. با استفاده از یک جدول تبدیل (یا ماشین حساب) ، پاسخ را دریافت می کنید: x = 2π / 3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: -2π / 3.
• x1 = 2π / 3 + 2π؛ x2 = -2π / 3 + 2π.
• مثال 3.tg (x - π / 4) = 0.
• پاسخ: x = π / 4 + πn.
• مثال 4. ctg 2x = 1.732.
• پاسخ: x = π / 12 + πn.

تحولات مورد استفاده برای حل معادلات مثلثاتی

• برای تبدیل معادلات مثلثاتی ، استفاده کنید تحولات جبری(فاکتور سازی ، کاهش اصطلاحات همگن و غیره) و هویت های مثلثاتی.
• مثال 5. با استفاده از هویت های مثلثاتی ، معادله sin x + sin 2x + sin 3x = 0 به معادله 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 تبدیل می شود. بنابراین ، شما باید مسئله را حل کنید زیر معادلات مثلثاتی اساسی: cos x = 0؛ گناه (3x / 2) = 0 ؛ cos (x / 2) = 0.

• یافتن گوشه ها توسط ارزشهای شناخته شدهکارکرد.

  • قبل از یادگیری روشهای حل معادلات مثلثاتی ، باید نحوه پیدا کردن زاویه از مقادیر شناخته شده توابع را بیاموزید. این را می توان با استفاده از یک جدول تبدیل یا ماشین حساب انجام داد.
  • مثال: cos x = 0.732. ماشین حساب جواب x = 42.95 درجه را می دهد. دایره واحد زوایای اضافی خواهد داد که کسینوس آن نیز 0.732 است.

• محلول را روی دایره واحد کنار بگذارید.

  • می توانید راه حل های معادله مثلثاتی را بر روی دایره واحد موکول کنید. راه حل های معادله مثلثاتی بر روی دایره واحد راس یک چند ضلعی منظم است.
  • مثال: راه حل های x = π / 3 + πn / 2 در واحد واحد راس یک مربع است.
  • مثال: محلولهای x = π / 4 + πn / 3 در واحد واحد نشان دهنده راسهای یک شش ضلعی منظم است.

• روشهای حل معادلات مثلثاتی

  • اگر معادله تریگ داده شده فقط شامل یک تابع تریگ باشد ، آن معادله را به عنوان معادله تریگ اصلی حل کنید. اگر یک معادله معین شامل دو یا چند تابع مثلثاتی باشد ، 2 روش برای حل چنین معادله ای وجود دارد (بسته به احتمال تبدیل آن).
    • روش 1
  • این معادله را به معادله ای از شکل تبدیل کنید: f (x) * g (x) * h (x) = 0 ، که f (x) ، g (x) ، h (x) معادلات اصلی مثلثاتی هستند.
  • مثال 6.2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • راه حل. با استفاده از فرمول دو زاویه sin 2x = 2 * sin x * cos x ، sin 2x را جایگزین کنید.
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. حالا دو معادله مثلثاتی اساسی را حل کنید: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
  • مثال 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی ، این معادله را به معادله ای از شکل تبدیل کنید: cos 2x (2cos x + 1) = 0. حالا دو معادله مثلثاتی اساسی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
  • مثال 8. سین x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی ، این معادله را به معادله ای از شکل تبدیل کنید: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. اکنون دو معادله مثلثاتی اساسی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0 به
    • روش 2
  • معادله مثلثاتی داده شده را به معادله ای که فقط یک تابع مثلثاتی دارد ، تبدیل کنید. سپس این تابع مثلثاتی را با مواردی ناشناخته جایگزین کنید ، به عنوان مثال t (sin x = t ؛ cos x = t ؛ cos 2x = t ، tg x = t ؛ tg (x / 2) = t و غیره).
  • مثال 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • راه حل. در این معادله (cos ^ 2 x) را با (1 - sin ^ 2 x) (بر اساس هویت) جایگزین کنید. معادله تبدیل شده عبارت است از:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x را با t جایگزین کنید. این معادله اکنون به این شکل است: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. این یک معادله درجه دو با دو ریشه است: t1 = -1 و t2 = 9/5. ریشه دوم t2 محدوده مقادیر تابع را برآورده نمی کند (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • مثال 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
  • راه حل. tg x را با t جایگزین کنید. معادله اصلی را به صورت زیر بازنویسی کنید: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. حالا t را پیدا کرده و سپس x را برای t = tg x پیدا کنید.

زیاد مسائل ریاضی، به ویژه مواردی که قبل از کلاس 10 رخ می دهد ، ترتیب اقدامات انجام شده که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. چنین مسائلی شامل ، برای مثال ، معادلات خطی و درجه دوم ، نابرابری های خطی و درجه دوم ، معادلات کسری و معادلات است که به درجه دوم کاهش می یابد. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از کارهای ذکر شده به شرح زیر است: لازم است تعیین کنیم که چه نوع مشکلی باید حل شود ، توالی لازم از اقدامات را به خاطر بسپاریم که منجر به نتیجه مطلوب می شود ، به عنوان مثال. پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مشکل خاص بستگی به این دارد که نوع معادله ای که باید حل شود به درستی تعیین شده است ، و توالی همه مراحل حل آن به درستی بازتولید شده است. البته ، داشتن مهارت برای انجام تغییرات و محاسبات یکسان ضروری است.

با اوضاع متفاوت است معادلات مثلثاتیایجاد این حقیقت که معادله مثلثاتی است به هیچ وجه دشوار نیست. در تعیین توالی اقدامات که منجر به پاسخ صحیح می شود ، مشکلاتی بوجود می آید.

ظاهر یک معادله گاهی اوقات تعیین نوع آن دشوار است. و بدون آگاهی از نوع معادله ، تقریباً غیرممکن است که از بین ده ها فرمول مثلثاتی مناسب را انتخاب کنید.

برای حل معادله مثلثاتی ، باید سعی کنید:

1. همه توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. آوردن معادله به "توابع یکسان" ؛
3. ضلع سمت چپ معادله و غیره

در نظر گرفتن روشهای اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1یک تابع مثلثاتی را بر حسب اجزای شناخته شده بیان کنید.

گام 2.آرگومان یک تابع را با فرمولها بیابید:

cos x = a؛ x = ± arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a؛ x = (-1) n arcsin a + πn ، n Є Z.

tg x = a ؛ x = arctan a + πn ، n Є Z.

ctg x = a؛ x = arcctg a + πn ، n Є Z.

مرحله 3یافتن متغیر ناشناخته

مثال.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

راه حل.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn ، n Є Z ؛

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn ، n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn ، n Є Z ؛

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z ؛

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z.

پاسخ: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z.

II جایگزینی متغیر

طرح راه حل

مرحله 1با توجه به یکی از توابع مثلثاتی ، معادله را به شکل جبری بیاورید.

گام 2.تابع حاصله را با متغیر t نشان دهید (در صورت لزوم ، محدودیت های t را اعمال کنید).

مرحله 3معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4جایگزینی معکوس انجام دهید.

مرحله 5ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

راه حل.

1) 2 (1 - گناه 2 (x / 2)) - 5 سین (x / 2) - 5 = 0 ؛

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) اجازه دهید sin (x / 2) = t ، جایی که | t | ≤ 1

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ؛

t = 1 یا e = -3/2 ، شرط | t | را برآورده نمی کند ≤ 1

4) گناه (x / 2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn ، n Є Z ؛

x = π + 4πn ، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn ، n Є Z.

سوم روش کاهش ترتیب معادله

طرح راه حل

مرحله 1این معادله را با یک معادله خطی جایگزین کنید ، با استفاده از فرمول های کاهش درجه برای این:

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x) ؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x) ؛

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

گام 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4 ؛

3/2 cos 2x = 3/4 ؛

2x = ± π / 3 + 2πn ، n Є Z ؛

x = ± π / 6 + πn ، n Є Z.

پاسخ: x = ± π / 6 + πn ، n Є Z.

IV معادلات همگن

طرح راه حل

مرحله 1این معادله را به فرم بیاورید

a) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا در نظر داشته باشید

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2.هر دو طرف معادله را با تقسیم کنید

الف) cos x ≠ 0 ؛

ب) cos 2 x ≠ 0 ؛

و معادله tg x را بدست آورید:

a) a tg x + b = 0 ؛

ب) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.

مرحله 3معادله را با استفاده از روشهای شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0 ؛

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0 ؛

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) سپس tg x = t را بگذارید

t 2 + 3t - 4 = 0 ؛

t = 1 یا t = -4 ، بنابراین

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π / 4 + πn ، n Є Z ؛ از معادله دوم x = -arctg 4 + πk ، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn ، n Є Z ؛ x = -arctg 4 + πk ، k Є Z.

V. روش تبدیل معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1با استفاده از انواع فرمولهای مثلثاتی ، این معادله را به معادله حل شده با روشهای I ، II ، III ، IV برسانید.

گام 2.معادله بدست آمده را با روشهای شناخته شده حل کنید.

مثال.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

راه حل.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0 ؛

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) گناه 2x (2cos x + 1) = 0 ؛

گناه 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0 ؛

از معادله اول 2x = π / 2 + πn ، n Є Z ؛ از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π / 4 + πn / 2 ، n Є Z داریم ؛ از معادله دوم x = ± (π - π / 3) + 2πk ، k Є Z.

در نتیجه ، x = π / 4 + πn / 2 ، n Є Z ؛ x = ± 2π / 3 + 2πk ، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn / 2 ، n Є Z ؛ x = ± 2π / 3 + 2πk ، k Є Z.

مهارتها و مهارتهای حل معادلات مثلثاتی بسیار زیاد است مهم این است که توسعه آنها نیازمند تلاش های قابل توجهی است ، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل مربوط به استریومتری ، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط هستند. فرایند حل چنین مسائلی ، همانطور که گفته شد ، شامل دانش و مهارت های زیادی است که هنگام مطالعه عناصر مثلثات به دست می آید.

معادلات مثلثاتی در فرآیند آموزش ریاضیات و به طور کلی رشد شخصیت ، جایگاه مهمی را اشغال می کنند.

هنوز سوالی دارید؟ مطمئن نیستید که چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک از معلم - ثبت نام کنید.
اولین درس رایگان است!

سایت ، با کپی کامل یا جزئی از مطالب ، پیوند به منبع مورد نیاز است.

معادلات مثلثاتی ساده ترین موضوع نیست. دردناک آنها متنوع هستند.) به عنوان مثال ، مانند:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

و غیره...

اما این (و سایر هیولاهای مثلثاتی) دو ویژگی مشترک و الزامی دارند. اولین - شما باور نمی کنید - توابع مثلثاتی در معادلات وجود دارد.) دوم: همه عبارات با x یافت می شوند در داخل همین توابعو فقط آنجا! اگر x در هر جایی ظاهر شود خارج از،مثلا، sin2x + 3x = 3 ،این در حال حاضر یک معادله خواهد بود نوع مخلوط... چنین معادلاتی نیاز به رویکرد فردی دارد. ما آنها را در اینجا در نظر نخواهیم گرفت.

ما در این درس معادلات شیطانی را نیز حل نمی کنیم.) در اینجا به این موضوع می پردازیم ساده ترین معادلات مثلثاتیچرا؟ بله ، زیرا راه حل هر کداممعادلات مثلثاتی دارای دو مرحله هستند. در مرحله اول ، معادله شیطانی با استفاده از تحولات مختلف به یک معادله ساده کاهش می یابد. در حالت دوم ، این ساده ترین معادله حل شده است. راه دیگری نیست.

بنابراین ، اگر در مرحله دوم مشکل دارید ، مرحله اول چندان منطقی نیست.)

معادلات مثلثاتی اولیه چگونه هستند؟

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

اینجا ولی هر عددی را نشان می دهد هر کسی.

به هر حال ، در داخل تابع ممکن است x خالص وجود نداشته باشد ، اما نوعی عبارت ، مانند:

cos (3x + π / 3) = 1/2

و غیره. این امر زندگی را پیچیده می کند ، اما بر روش حل معادله مثلثاتی تأثیر نمی گذارد.

چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنیم؟

معادلات مثلثاتی را می توان به دو صورت حل کرد. راه اول: استفاده از منطق و دایره مثلثاتی. ما این مسیر را در اینجا در نظر خواهیم گرفت. راه دوم - استفاده از حافظه و فرمولها - در درس بعدی مورد بحث قرار می گیرد.

راه اول واضح ، قابل اعتماد و فراموش کردن آن دشوار است.) برای حل معادلات مثلثاتی ، نابرابری ها و انواع نمونه های غیر استاندارد استاندارد مفید است. منطق قوی تر از حافظه است!)

حل معادلات با استفاده از دایره مثلثاتی.

ما منطق ابتدایی و توانایی استفاده از دایره مثلثاتی را شامل می شود. نمیشه!؟ با این حال ... در مثلثات برای شما سخت است ...) اما مهم نیست. نگاهی به درس های "دایره مثلثاتی ...... چیست؟" و "شمارش زاویه بر روی یک دایره مثلثاتی". همه چیز آنجا ساده است. برخلاف آموزش ها ...)

اوه ، میدونی!؟ و حتی "کار عملی با دایره مثلثاتی" را تسلط داشت!؟ تبریک می گویم. این مبحث برای شما نزدیک و قابل درک خواهد بود.) آنچه به خصوص خوشایند است ، دایره مثلثاتی برای شما مهم نیست که کدام معادله را حل کنید. سینوس ، کسینوس ، مماس ، همجنس - همه چیز برای او یکی است. تنها یک اصل راه حل وجود دارد.

بنابراین ما از هر معادله مثلثاتی اولیه استفاده می کنیم. حداقل این:

cosx = 0.5

باید X رو پیدا کنم از نظر انسانی ، شما نیاز دارید زاویه (x) را پیدا کنید ، کسینوس آن 0.5 است.

چگونه قبلاً از دایره استفاده می کردیم؟ گوشه ای روی آن کشیدیم. در درجه یا رادیان. و بلافاصله مشاهده گردید توابع مثلثاتی این زاویه حالا برعکس عمل کنیم. بیایید کسینوس معادل 0.5 را روی دایره و بلافاصله رسم کنیم دیدن تزریق. تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است.) بله ، بله!

یک دایره بکشید و کسینوس 0.5 را مشخص کنید. البته در محور کسینوس. مثل این:

حالا بیایید زاویه ای را که این کسینوس به ما می دهد ترسیم کنیم. مکان نما را روی نقاشی (یا روی تصویر روی رایانه لوحی ضربه بزنید) حرکت دهید ، و دیدنهمین گوشه NS

کسینوس 0.5 چیست؟

x = π / 3

cos 60 درجه= cos ( π / 3) = 0,5

یک نفر با تردید می خندد ، بله ... آنها می گویند ، آیا ارزش این دور را داشت ، وقتی همه چیز در حال حاضر روشن است ... البته ، می توانید بخندید ...) اما واقعیت این است که این یک پاسخ اشتباه است. یا بهتر بگوییم ، کافی نیست. صاحب نظران دایره می فهمند که هنوز یکسری زوایا در اینجا وجود دارد که همچنین کسینوس معادل 0.5 را نشان می دهند.

اگر طرف متحرک OA را بچرخانید نوبت کامل، نقطه A به موقعیت اولیه خود باز می گردد. با همان کسینوس برابر با 0.5. آن ها زاویه تغییر خواهد کرد 360 درجه یا 2π رادیان ، و کسینوس نیستزاویه جدید 60 درجه + 360 درجه = 420 درجه نیز راه حل معادله ما خواهد بود

شما می توانید تعداد نامحدودی از چنین دورهای کامل را بچرخانید ... و همه این زوایای جدید راه حل معادله مثلثاتی ما خواهند بود. و همه آنها باید به نحوی در پاسخ نوشته شوند. همه چيز.در غیر این صورت ، تصمیم حساب نمی شود ، بله ...)

ریاضیات می داند چگونه این کار را به روشی ساده و زیبا انجام دهد. در یک پاسخ کوتاه بنویسید مجموعه ای بی پایانراه حل ها به نظر می رسد معادله ما چگونه است:

x = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

رمزگشایی خواهم کرد. هنوز بنویس معنی دارخوشایندتر از کشیدن احمقانه حروف اسرار آمیز است ، درست است؟)

π / 3 - این همان گوشه ای است که ما ارهروی دایره و شناخته شده استمطابق جدول کسینوس

2π یک انقلاب کامل در رادیان است.

n تعداد کامل است ، یعنی کلانقلاب. واضح است که n می تواند 0 ، 1 ، 2 ، 3 پوند و ... باشد. که نشان داده شده است یک یادداشت کوتاه:

n ∈ Z

n متعلق است ( ∈ ) به مجموعه اعداد صحیح ( Z ) به هر حال ، به جای نامه n ممکن است از حروف استفاده شود k ، m ، t و غیره.

این ورودی به این معنی است که می توانید هر کل را بگیرید n ... حداقل -3 ، حداقل 0 ، حداقل +55. آنچه شما می خواهید. اگر این عدد را به جواب وصل کنید ، زاویه خاصی به دست می آید که لزوماً راه حل معادله سخت ما خواهد بود.)

یا به عبارت دیگر ، x = π / 3 تنها ریشه مجموعه بی نهایت است. برای بدست آوردن ریشه های دیگر ، کافی است هر تعداد دور کامل را به π / 3 اضافه کنید ( n ) در رادیان آن ها 2π n رادیان

همه چيز؟ خیر من عمداً لذت را افزایش می دهم. برای یادآوری بهتر آن.) ما تنها بخشی از پاسخ های معادله خود را دریافت کردیم. من این قسمت اول راه حل را به شرح زیر می نویسم:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 1 - نه یک ریشه ، بلکه یک سری کامل ریشه است که به صورت کوتاه نوشته شده است.

اما زوایایی نیز وجود دارد که کسینوس 0.5 را نیز می دهند!

برگردیم به تصویر خود ، که برای نوشتن پاسخ استفاده شد. او آنجاست:

ماوس را روی تصویر ببرید و دیدنگوشه دیگری که همچنین کسینوس 0.5 را می دهد.به نظر شما با چه چیزی برابر است؟ مثلث ها یکسان هستند ... بله! برابر با گوشه است NS فقط در جهت منفی قرار می گیرد این گوشه است -NNS اما ما قبلاً x را کشف کرده ایم. π / 3 یا 60 درجه بنابراین ، ما می توانیم با خیال راحت بنویسیم:

x 2 = - π / 3

خوب ، و البته ، تمام زوایایی را که در نوبت کامل به دست می آیند ، اضافه کنید:

x 2 = - π / 3 + 2π n، n ∈ Z

حالا تمام شد.) در دایره مثلثاتی ، ما اره(البته که می فهمد)) همهزوایایی که کسینوس برابر با 0.5 دارند. و آنها این زوایا را به شکل ریاضی کوتاه نوشتند. پاسخ دو سری ریشه بی پایان ایجاد کرد:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n، n ∈ Z

این جواب درست است.

امید، اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتیاستفاده از دایره مشخص است روی حلقه کسینوس (سینوس ، مماس ، هم خط) را از معادله داده شده علامت گذاری می کنیم ، زوایای مربوط به آن را ترسیم می کنیم و پاسخ را یادداشت می کنیم.البته ، شما باید دریابید که ما چه نوع گوشه هایی هستیم ارهروی دایره گاهی اوقات آنقدرها هم واضح نیست. خوب ، همانطور که گفتم ، منطق در اینجا لازم است.)

به عنوان مثال ، بیایید یک معادله مثلثاتی دیگر را تجزیه و تحلیل کنیم:

لطفاً توجه داشته باشید که عدد 0.5 تنها عدد ممکن در معادلات نیست!) نوشتن آن برای من راحت تر از ریشه و کسر است.

ما بر اساس اصل کلی کار می کنیم. یک دایره بکشید ، علامت بزنید (البته در محور سینوسی!) 0.5. ما تمام زوایای مربوط به این سینوس را به یکباره ترسیم می کنیم. بیایید تصویر زیر را بدست آوریم:

ابتدا با زاویه برخورد کنید NS در سه ماهه اول ما جدول سینوس ها را به یاد می آوریم و مقدار این زاویه را تعیین می کنیم. این یک موضوع ساده است:

x = π / 6

ما نوبت های کامل را به خاطر می آوریم و با وجدان راحت اولین سری پاسخ ها را یادداشت می کنیم:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

نیمه تمام. اما اکنون باید تعریف کنیم گوشه دوم ...این حیله گرتر از کسینوس است ، بله ... اما منطق ما را نجات خواهد داد! نحوه تعیین زاویه دوم از طریق x؟ بله آسان! مثلث های موجود در تصویر یکسان و گوشه قرمز رنگ است NS برابر با زاویه NS ... فقط از زاویه π در جهت منفی شمارش می شود. بنابراین ، قرمز است.) و برای پاسخ ما نیاز به یک زاویه داریم که به درستی اندازه گیری شود ، از نیمه محور OX مثبت ، یعنی از زاویه 0 درجه

نشانگر را روی تصویر ببرید و همه چیز را ببینید. گوشه اول را حذف کردم تا تصویر پیچیده نشود. زاویه مورد علاقه ما (با رنگ سبز ترسیم شده) برابر خواهد بود با:

π - x

X ما آن را می شناسیم π / 6 ... بنابراین ، گوشه دوم خواهد بود:

π - π / 6 = 5π / 6

ما دوباره افزودن انقلاب های کامل را به خاطر می آوریم و سری دوم پاسخ ها را یادداشت می کنیم:

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

فقط همین. پاسخ کامل شامل دو سری ریشه است:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

معادلات مماس و همجنس را می توان با استفاده از همان اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتی به راحتی حل کرد. اگر ، البته ، می دانید که چگونه مماس و همرنگ را روی یک دایره مثلثاتی بکشید.

در مثالهای بالا ، از مقدار سینوس و کسینوس جدول: 0.5 استفاده کردم. آن ها یکی از معانی که دانش آموز می داند باید.حالا اجازه دهید قابلیت های خود را به همه ارزشهای دیگرتصمیم بگیرید ، پس تصمیم بگیرید!)

بنابراین ، فرض کنید ما باید این معادله مثلثاتی را حل کنیم:

در جداول کوتاه چنین ارزش کسینوس وجود ندارد. ما این حقیقت وحشتناک را با خونسردی نادیده می گیریم. یک دایره بکشید ، 2/3 را روی محور کسینوس علامت زده و زوایای مربوطه را ترسیم کنید. ما این تصویر را دریافت می کنیم.

بیایید آن را برای شروع ، با زاویه در سه ماهه اول مشخص کنیم. اگر می دانستم X برابر چیست ، آنها بلافاصله جواب را یادداشت می کردند! ما نمی دانیم ... شکست!؟ آرام! ریاضی در مشکلات خود را رها نمی کند! او برای این مورد آرکوزین ارائه کرد. نمیدانم؟ بیهوده دریابید ، خیلی راحت تر از آن چیزی است که فکر می کنید. در زیر این پیوند ، هیچ مدرکی در مورد "توابع معکوس مثلثی معکوس" وجود ندارد ... این در این مبحث اضافی است.

اگر در جریان هستید ، کافی است با خود بگویید: "X زاویه ای است که کسینوس آن 2/3 است". و بلافاصله ، صرفاً با تعریف arccosine ، می توانید بنویسید:

ما دورهای اضافی را به یاد می آوریم و با آرامش اولین سری ریشه های معادله مثلثاتی خود را یادداشت می کنیم:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n، n ∈ Z

سری دوم ریشه ها نیز تقریباً به طور خودکار برای زاویه دوم ثبت می شود. همه چیز یکسان است ، فقط x (arccos 2/3) با یک منفی خواهد بود:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n، n ∈ Z

و این همه! این جواب درست است. حتی راحت تر از مقادیر جدول. نیازی نیست چیزی را به خاطر بسپارید.) به هر حال ، بیشتر توجه می کند که این تصویر با محلول از طریق کسینوس معکوس در اصل ، با تصویر برای معادله cosx = 0.5 تفاوت ندارد.

دقیقا! اصل کلیبرای آن و به طور کلی! من به طور خاص دو تصویر تقریباً یکسان کشیدم. دایره زاویه را به ما نشان می دهد NS توسط کسینوس آن جدول کسینوس است یا نه - دایره نمی داند. این زاویه ، π / 3 ، یا چه نوع کسینوس معکوس است - این به خود ما بستگی دارد.

با سینوس ، همان آهنگ. مثلا:

دوباره دایره را بکشید ، سینوس را برابر 1/3 مشخص کنید ، گوشه ها را بکشید. تصویر به این شکل است:

دوباره ، تصویر تقریباً مشابه معادله است sinx = 0.5.باز هم ، در کوارتر اول از گوشه شروع کنید. اگر سینوس آن 1/3 باشد x چیست؟ مشکلی نیست!

بنابراین اولین بسته ریشه آماده است:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n، n ∈ Z

ما با گوشه دوم برخورد می کنیم. در مثال با مقدار جدول 0.5 ، این بود:

π - x

بنابراین در اینجا دقیقاً یکسان خواهد بود! فقط x متفاوت است ، arcsin 1/3. پس چی !؟ می توانید با خیال راحت دومین بسته ریشه را بنویسید:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n، n ∈ Z

این یک پاسخ کاملاً صحیح است. هر چند که چندان آشنا به نظر نمی رسد. اما امیدوارم قابل درک باشد.)

اینگونه است که معادلات مثلثاتی با استفاده از دایره حل می شود. این مسیر واضح و قابل درک است. این او است که در معادلات مثلثاتی با انتخاب ریشه ها در یک بازه معین ، در نابرابری های مثلثاتی صرفه جویی می کند - آنها عموماً تقریباً همیشه در یک حلقه حل می شوند. به طور خلاصه ، در هر کاری که کمی دشوارتر از کارهای استاندارد است.

بیایید دانش خود را در عمل به کار ببریم؟)

حل معادلات مثلثاتی:

در ابتدا ساده تر است ، درست از این درس.

حالا سخت تر.

نکته: این جایی است که شما باید روی دایره تأمل کنید. شخصاً.)

و اکنون آنها در ظاهر بی تکلف هستند ... به آنها موارد خاص نیز گفته می شود.

سینکس = 0

سینکس = 1

cosx = 0

cosx = -1

نکته: در اینجا شما باید در یک حلقه مشخص کنید که در آن دو سری پاسخ وجود دارد و کجا یک ... و چگونه ، به جای دو سری پاسخ ، یکی را بنویسید. بله ، به طوری که حتی یک ریشه از تعداد بی نهایت گم نشود!)

خوب ، موارد بسیار ساده):

سینکس = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

نکته: در اینجا باید بدانید آرکسین ، آرکسین چیست؟ مماس قوس ، هم قوسی قوس چیست؟ اکثر تعاریف ساده... اما لازم نیست مقادیر جدول را به خاطر بسپارید!)

البته پاسخ ها آشفته هستند):

x 1= arcsin0،3 + 2π n، n ∈ Z
x 2= π - arcsin0،3 + 2

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. درس را دوباره بخوانید. فقط متفکرانه(چنین وجود دارد کلمه منسوخ شده...) و پیوندها را دنبال کنید. پیوندهای اصلی درباره دایره است. بدون آن ، در مثلثات - مانند عبور از جاده با چشم بند. گاهی اوقات کار می کند.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال ، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کرده و سطح خود را دریابید. آزمایش اعتبارسنجی فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.