ماتریس گاوسی چهار معادله. روش گاوس برای حل ماتریس. حل سیستم معادلات خطی به روش گاوس

دو سیستم معادلات خطیاگر مجموعه تمام راه حل های آنها یکسان باشد، معادل می گویند.

تبدیل های اولیه سیستم معادلات عبارتند از:

حذف از سیستم معادلات بی اهمیت، یعنی. آنهایی که تمام ضرایب آنها برابر با صفر است.

ضرب هر معادله در یک عدد غیر صفر؛

جمع هر معادله i-ام هر معادله j-ام، ضرب در هر عدد.

متغیر x i در صورتی که این متغیر مجاز نباشد آزاد نامیده می شود و کل سیستم معادلات مجاز است.

قضیه. تبدیل های ابتدایی سیستم معادلات را به معادل تبدیل می کند.

منظور از روش گاوس تبدیل سیستم اصلی معادلات و بدست آوردن یک سیستم مجاز مجاز یا معادل ناسازگار است.

بنابراین، روش گاوس شامل مراحل زیر است:

معادله اول را در نظر بگیرید. اولین ضریب غیر صفر را انتخاب می کنیم و کل معادله را بر آن تقسیم می کنیم. معادله ای به دست می آوریم که در آن مقداری از متغیر x i با ضریب 1 وارد می شود.
این معادله را از بقیه کم کنید و آن را در اعداد ضرب کنید به طوری که ضرایب متغیر x i در معادلات باقیمانده صفر شود. ما سیستمی را دریافت می کنیم که با توجه به متغیر x i حل شده است و معادل سیستم اصلی است.
اگر معادلات جزئی بوجود آیند (به ندرت، اما این اتفاق می افتد؛ به عنوان مثال، 0 = 0)، ما آنها را از سیستم حذف می کنیم. در نتیجه، معادلات یک کمتر می شوند.
مراحل قبلی را بیش از n بار تکرار نمی کنیم که n تعداد معادلات سیستم است. هر بار که متغیر جدیدی را برای "پردازش" انتخاب می کنیم. اگر معادلات متضاد ایجاد شود (مثلاً 0 = 8)، سیستم ناسازگار است.

در نتیجه، پس از چند مرحله، یک سیستم مجاز (احتمالاً با متغیرهای آزاد) یا یک سیستم ناسازگار به دست می‌آوریم. سیستم های مجاز به دو حالت تقسیم می شوند:

تعداد متغیرها برابر با تعداد معادلات است. بنابراین سیستم تعریف شده است.
تعداد متغیرها تعداد بیشترمعادلات ما همه متغیرهای رایگان را در سمت راست جمع آوری می کنیم - فرمول هایی برای متغیرهای مجاز دریافت می کنیم. این فرمول ها در پاسخ نوشته شده است.

همین! سیستم معادلات خطی حل شد! این یک الگوریتم نسبتاً ساده است و برای تسلط بر آن، نیازی به تماس با معلم خصوصی در ریاضیات نیست. یک مثال را در نظر بگیرید:

وظیفه. حل سیستم معادلات:

شرح مراحل:

ما معادله اول را از معادله دوم و سوم کم می کنیم - متغیر مجاز x 1 را بدست می آوریم.
معادله دوم را در (-1) ضرب می کنیم و معادله سوم را بر (-3) تقسیم می کنیم - دو معادله بدست می آوریم که در آن متغیر x 2 با ضریب 1 وارد می شود.
معادله دوم را به معادله اول اضافه می کنیم و از معادله سوم کم می کنیم. بیایید متغیر مجاز x 2 را بدست آوریم.
در نهایت، معادله سوم را از معادله اول کم می کنیم - متغیر مجاز x 3 را دریافت می کنیم.
ما یک سیستم مجاز دریافت کرده ایم، پاسخ را یادداشت می کنیم.

جواب کلی سیستم مشترک معادلات خطی است سیستم جدید، که معادل اصلی است که در آن همه متغیرهای مجاز بر حسب متغیر آزاد بیان می شوند.

چه زمانی ممکن است مورد نیاز باشد تصمیم مشترک? اگر باید قدم های کمتری از k بردارید (k تعداد معادلات در کل است). با این حال، دلایلی که باعث می شود فرآیند در مرحله 1 به پایان برسد< k , может быть две:

پس از مرحله l -ام، سیستمی به دست می آید که دارای معادله ای با عدد (l + 1) نیست. در واقع، این خوب است، زیرا. سیستم حل شده به هر حال دریافت می شود - حتی چند قدم زودتر.
بعد از مرحله l معادله ای به دست می آید که در آن تمام ضرایب متغیرها برابر با صفر و ضریب آزاد با صفر متفاوت است. این یک معادله ناسازگار است، و بنابراین، سیستم ناسازگار است.

درک این نکته مهم است که ظهور یک معادله ناسازگار با روش گاوس دلیل کافی برای ناسازگاری است. در همان زمان، ما توجه می کنیم که در نتیجه گام l، معادلات بی اهمیت نمی توانند باقی بمانند - همه آنها به طور مستقیم در فرآیند حذف می شوند.

شرح مراحل:

معادله اول را 4 از دومی کم کنید. و همچنین اولین معادله را به معادله سوم اضافه کنید - متغیر مجاز x 1 را دریافت می کنیم.
معادله سوم را که در 2 ضرب می کنیم از دومی کم می کنیم - معادله متناقض 0 = -5 را به دست می آوریم.

بنابراین، سیستم ناسازگار است، زیرا یک معادله ناسازگار پیدا شده است.

وظیفه. بررسی سازگاری و یافتن راه حل کلی سیستم:

شرح مراحل:

معادله اول را از دومی (پس از ضرب در دو) و سومی کم می کنیم - متغیر مجاز x 1 را بدست می آوریم.
معادله دوم را از معادله سوم کم کنید. از آنجایی که همه ضرایب در این معادلات یکسان هستند، معادله سوم بی اهمیت می شود. در همان زمان، ما معادله دوم را در (-1) ضرب می کنیم.
معادله دوم را از معادله اول کم می کنیم - متغیر مجاز x 2 را بدست می آوریم. کل سیستم معادلات هم اکنون حل شده است.
از آنجایی که متغیرهای x 3 و x 4 آزاد هستند، برای بیان متغیرهای مجاز آنها را به سمت راست منتقل می کنیم. این پاسخ است.

بنابراین، سیستم مشترک و نامعین است، زیرا دو متغیر مجاز (x 1 و x 2) و دو متغیر آزاد (x 3 و x 4) وجود دارد.

اجازه دهید یک سیستم خطی معادلات جبری، که باید حل شود (مقادیر مجهول xi را پیدا کنید که هر معادله سیستم را به یک برابری تبدیل کند).

می دانیم که یک سیستم معادلات جبری خطی می تواند:

1) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.

همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریسی در مواردی که سیستم دارای راه حل های بی نهایت زیاد یا ناسازگار است نامناسب است. روش گاوس – قوی ترین و ابزار جهانیبرای یافتن راه حل برای هر سیستم معادلات خطی، که در هر موردما را به جواب سوق دهد! الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند. اگر روش‌های کرامر و ماتریس نیاز به دانش تعیین‌کننده‌ها دارند، در آن صورت استفاده از روش گاوس فقط به دانش عملیات حسابی نیاز دارد که حتی برای دانش‌آموزان مقطع ابتدایی نیز قابل دسترسی است.

تبدیل های ماتریس توسعه یافته ( این ماتریس سیستم است - ماتریسی که فقط از ضرایب مجهولات به اضافه ستونی از عبارت های آزاد تشکیل شده است.سیستم های معادلات جبری خطی در روش گاوس:

1) با trokyماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها

2) اگر ماتریس دارای (یا دارای) متناسب (مانند مورد خاصرشته ها یکسان هستند، سپس دنبال می شود حذفاز ماتریس، همه این ردیف ها به جز یک.

3) اگر در طول تبدیل ها یک ردیف صفر در ماتریس ظاهر شد، آن را نیز دنبال می کند حذف.

4) ردیف ماتریس می تواند ضرب (تقسیم)به هر عددی غیر از صفر

5) به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است.

در روش گاوس تحولات ابتداییحل سیستم معادلات را تغییر ندهید.

روش گاوس شامل دو مرحله است:

"حرکت مستقیم" - با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس توسعه یافته سیستم معادلات جبری خطی را به شکل پلکانی "مثلثی" بیاورید: عناصر ماتریس توسعه یافته که در زیر مورب اصلی قرار دارند برابر با صفر هستند (حرکت از بالا به پایین). ). به عنوان مثال، به این نوع:

برای این کار مراحل زیر را انجام دهید:

1) اجازه دهید اولین معادله یک سیستم معادلات جبری خطی را در نظر بگیریم و ضریب در x 1 برابر با K است. دوم، سوم و غیره. معادلات را به صورت زیر تبدیل می کنیم: هر معادله (ضرایب مجهولات، از جمله عبارات آزاد) را بر ضریب مجهول x 1 که در هر معادله است، تقسیم می کنیم و در K ضرب می کنیم. پس از آن، معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم. ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد). ما در x 1 در معادله دوم ضریب 0 را بدست می آوریم. از معادله تبدیل شده سوم معادله اول را کم می کنیم، بنابراین تا زمانی که تمام معادلات به جز اولی، با مجهول x 1 ضریب 0 نخواهند داشت.

2) به معادله بعدی بروید. اجازه دهید این معادله دوم باشد و ضریب x 2 برابر با M باشد. بنابراین، "زیر" مجهول x 2 در تمام معادلات صفر خواهد بود.

3) به معادله بعدی می رویم و همینطور ادامه می دهیم تا آخرین جمله آزاد مجهول و تبدیل شده باقی بماند.

"حرکت معکوس" روش گاوس به دست آوردن جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی است (حرکت "از پایین به بالا"). از آخرین معادله "پایین" یک راه حل اول به دست می آوریم - مجهول x n. برای انجام این کار، معادله ابتدایی A * x n \u003d B را حل می کنیم. در مثال بالا، x 3 \u003d 4. مقدار یافت شده را در معادله بعدی "بالا" جایگزین می کنیم و آن را با توجه به مجهول بعدی حل می کنیم. به عنوان مثال، x 2 - 4 \u003d 1، یعنی. x 2 \u003d 5. و به همین ترتیب تا زمانی که همه مجهولات را پیدا کنیم.

مثال.

ما سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل می کنیم، همانطور که برخی از نویسندگان توصیه می کنند:

ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد ردیف ها هیچ چیز حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. بیایید این کار را به این صورت انجام دهیم:
1 مرحله . به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و جمع سطر اول و دوم را انجام دادیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک"، که کاملا مناسب ما است. هرکسی که بخواهد 1+ بگیرد می‌تواند یک عمل اضافی انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

2 مرحله . سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

3 مرحله . خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به مکان دوم منتقل شد، بدین ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نظر را داشتیم.

4 مرحله . به خط سوم، خط دوم را در 2 ضرب کنید.

5 مرحله . خط سوم بر 3 تقسیم می شود.

نشانه ای که نشان دهنده خطا در محاسبات است (کمتر یک اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه (0 0 11 | 23) در زیر بدست آوریم، و بر این اساس، 11x 3 = 23، x 3 = 23/11، آنگاه با درجه احتمال بالایی می توانیم بگوییم که اشتباهی در دوره ابتدایی رخ داده است. تحولات

اجرا می کنیم سکته مغزی معکوسدر طراحی مثال‌ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی‌شود و معادلات «مستقیماً از ماتریس کاهش‌یافته» گرفته می‌شوند. به شما یادآوری می کنم که حرکت معکوس "از پایین به بالا" کار می کند. V این مثالهدیه دریافت کرد:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1، بنابراین x 1 + 3 - 1 \u003d 1، x 1 \u003d -1

پاسخ:x 1 \u003d -1، x 2 \u003d 3، x 3 \u003d 1.

بیایید همان سیستم را با استفاده از الگوریتم پیشنهادی حل کنیم. ما گرفتیم

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

معادله دوم را بر 5 و معادله سوم را بر 3 تقسیم کنید.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

معادله دوم و سوم را در 4 ضرب کنیم، به دست می آید:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

معادله اول را از معادله دوم و سوم کم کنیم، داریم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

معادله سوم را بر 0.64 تقسیم کنید:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

معادله سوم را در 0.4 ضرب کنید

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

معادله دوم را از معادله سوم کم کنید، ماتریس تقویت شده "پله ای" را دریافت می کنیم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

بنابراین، از آنجایی که یک خطا در فرآیند محاسبات انباشته شده است، x 3 \u003d 0.96 یا تقریباً 1 را دریافت می کنیم.

x 2 \u003d 3 و x 1 \u003d -1.

با حل به این صورت هرگز در محاسبات دچار سردرگمی نخواهید شد و با وجود اشتباهات محاسباتی به نتیجه خواهید رسید.

این روش برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی به راحتی قابل برنامه ریزی است و ویژگی های خاص ضرایب مجهولات را در نظر نمی گیرد، زیرا در عمل (در محاسبات اقتصادی و فنی) باید با ضرایب غیر صحیح سروکار داشت.

برایت ارزوی موفقیت میکنم! در کلاس می بینمت! معلم خصوصی

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک منبع الزامی است.

تعریف و توصیف روش گاوس

روش تبدیل گاوسی (همچنین به عنوان روش حذف متوالی متغیرهای مجهول از یک معادله یا ماتریس شناخته می شود) برای حل سیستم های معادلات خطی یک روش کلاسیک برای حل یک سیستم معادلات جبری (SLAE) است. همچنین از این روش کلاسیک برای حل مسائلی مانند به دست آوردن استفاده می شود ماتریس های معکوسو تعیین رتبه ماتریس.

تبدیل با استفاده از روش گاوس شامل ایجاد تغییرات متوالی کوچک (بنیادی) در سیستم معادلات جبری خطی است که منجر به حذف متغیرها از آن از بالا به پایین با تشکیل یک سیستم مثلثی جدید از معادلات می شود که معادل آن است. اصلی

تعریف 1

این بخش از محلول راه حل رو به جلو گاوسی نامیده می شود، زیرا کل فرآیند از بالا به پایین انجام می شود.

پس از آوردن سیستم معادلات اصلی به یک مثلثی، همه متغیرهای سیستم از پایین به بالا پیدا می شوند (یعنی اولین متغیرهای یافت شده دقیقاً در آخرین خطوط سیستم یا ماتریس قرار دارند). این قسمت از محلول به محلول گاوس معکوس نیز معروف است. الگوریتم آن به شرح زیر است: ابتدا متغیرهایی که به انتهای سیستم معادلات یا یک ماتریس نزدیک‌تر هستند محاسبه می‌شوند، سپس مقادیر به‌دست‌آمده در بالا جایگزین می‌شوند و بنابراین متغیر دیگری پیدا می‌شود و به همین ترتیب.

شرح الگوریتم روش گاوس

دنباله ای از اقدامات برای حل کلی سیستم معادلات با روش گاوس شامل اعمال متناوب ضربات رو به جلو و عقب به ماتریس بر اساس SLAE است. فرض کنید سیستم معادلات اصلی به شکل زیر باشد:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(موارد)$

برای حل SLAE به روش گاوس، لازم است که سیستم اولیه معادلات را به صورت ماتریس یادداشت کنید:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

ماتریس $A$ ماتریس اصلی نامیده می شود و نشان دهنده ضرایب متغیرهای نوشته شده به ترتیب است و $b$ ستون عبارت های آزاد آن نامیده می شود. ماتریس $A$ که از طریق خطی با ستونی از اعضای آزاد نوشته می شود، ماتریس تقویت شده نامیده می شود:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) و b_m \end(آرایه)$

حال، با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی بر روی سیستم معادلات (یا روی ماتریس، همانطور که راحت‌تر است)، لازم است آن را به شکل زیر در آوریم:

$\begin(موارد) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(موارد)$ (1)

ماتریسی که از ضرایب سیستم تبدیل شده معادله (1) به دست می آید، ماتریس پله ای نامیده می شود، ماتریس های گام معمولاً به این شکل هستند:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

این ماتریس ها با مجموعه ای از ویژگی های زیر مشخص می شوند:

تمام ردیف های صفر آن بعد از یک های غیرصفر آمده است
اگر برخی از ردیف های ماتریس با شاخص $k$ غیر صفر باشد، در این صورت صفرهای کمتری در ردیف قبلی همان ماتریس نسبت به این ردیف با شاخص $k$ وجود دارد.

پس از به دست آوردن ماتریس گام، لازم است متغیرهای به دست آمده را جایگزین معادلات باقی مانده (از انتها) کرده و مقادیر باقیمانده متغیرها را بدست آوریم.

قوانین اساسی و تبدیل های مجاز هنگام استفاده از روش گاوس

هنگام ساده سازی یک ماتریس یا یک سیستم معادلات با این روش، فقط باید از تبدیل های ابتدایی استفاده شود.

چنین تبدیل‌هایی عملیاتی هستند که می‌توان آن‌ها را بدون تغییر معنای ماتریس یا سیستم معادلات اعمال کرد:

جایگشت چند خط در مکان ها،
افزودن یا تفریق یک خط از ماتریس یک خط دیگر از آن،
ضرب یا تقسیم یک رشته در یک ثابت که برابر با صفر نیست،
خطی متشکل از تنها صفرها که در فرآیند محاسبه و ساده سازی سیستم به دست آمده است، باید حذف شود،
شما همچنین باید خطوط متناسب غیر ضروری را حذف کنید و برای سیستم تنها موردی را با ضرایب انتخاب کنید که برای محاسبات بیشتر مناسب تر و راحت تر است.

همه دگرگونی های ابتدایی برگشت پذیر هستند.

تجزیه و تحلیل سه مورد اصلی که هنگام حل معادلات خطی با استفاده از روش تبدیل ساده گاوسی ایجاد می شود.

هنگام استفاده از روش گاوس برای حل سیستم ها سه مورد وجود دارد:

وقتی سیستم ناهماهنگ است، یعنی هیچ راه حلی ندارد
سیستم معادلات دارای یک راه حل و تنها راه حل است و تعداد سطرها و ستون های غیر صفر در ماتریس با یکدیگر برابر است.
سیستم دارای یک شماره یا مجموعه است راه حل های ممکنو تعداد سطرهای آن از تعداد ستون ها کمتر است.

نتیجه راه حل با سیستم ناسازگار

برای این گزینه، هنگام حل معادله ماتریسیروش گاوسی با به دست آوردن خطی با عدم امکان تحقق برابری مشخص می شود. بنابراین، اگر حداقل یک برابری نادرست رخ دهد، سیستم های منتج و اصلی بدون توجه به معادلات دیگری که دارند، راه حلی ندارند. مثالی از یک ماتریس ناسازگار:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

یک برابری ارضا نشده در خط آخر ظاهر شد: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

سیستمی از معادلات که تنها یک راه حل دارد

داده های سیستم پس از کاهش به ماتریس پلکانی و حذف سطرهای صفر دارای تعداد سطر و ستون در ماتریس اصلی هستند. اینجا ساده ترین مثالچنین سیستمی:

$\begin(موارد) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end (موارد)$

بیایید آن را به شکل ماتریس بنویسیم:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

برای به صفر رساندن سلول اول ردیف دوم، ردیف بالا را در 2-$ ضرب می کنیم و از ردیف پایین ماتریس کم می کنیم و سطر بالایی را به شکل اصلی خود می گذاریم، در نتیجه موارد زیر را داریم. :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

این مثال را می توان به صورت یک سیستم نوشت:

$\begin(موارد) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \پایان (موارد)$

مقدار x$ زیر از معادله پایینی بیرون می آید: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. با جایگزینی این مقدار در معادله بالایی: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$، ما x_1$ = 1 \frac(2)(3)$ را دریافت می کنیم.

سیستمی با راه حل های ممکن

این سیستم با تعداد کمتری از ردیف های مهم نسبت به تعداد ستون های موجود در آن مشخص می شود (ردیف های ماتریس اصلی در نظر گرفته می شوند).

متغیرها در چنین سیستمی به دو نوع اساسی و رایگان تقسیم می شوند. هنگام تبدیل چنین سیستمی، متغیرهای اصلی موجود در آن باید قبل از علامت "=" در قسمت سمت چپ رها شوند و متغیرهای باقی مانده باید به سمت راست برابری منتقل شوند.

چنین سیستمی فقط یک راه حل کلی خاص دارد.

بیا یک نگاهی بیندازیم سیستم بعدیمعادلات:

$\begin(موارد) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end (موارد)$

بیایید آن را به شکل ماتریس بنویسیم:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

وظیفه ما یافتن یک راه حل کلی برای سیستم است. برای این ماتریس، متغیرهای اصلی $y_1$ و $y_3$ خواهند بود (برای $y_1$ - زیرا در وهله اول قرار دارد و در مورد $y_3$ - بعد از صفرها قرار دارد).

به عنوان متغیرهای پایه، ما دقیقاً آنهایی را انتخاب می کنیم که در ردیف اول برابر با صفر نیستند.

متغیرهای باقیمانده رایگان نامیده می شوند، از طریق آنها باید متغیرهای اساسی را بیان کنیم.

با استفاده از حرکت معکوس، سیستم را از پایین به بالا جدا می کنیم، برای این کار ابتدا $y_3$ را از خط پایین سیستم بیان می کنیم:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

اکنون $y_3$ بیان شده را در معادله بالایی سیستم $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ جایگزین می کنیم: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 دلار

$y_1$ را بر حسب متغیرهای رایگان $y_2$ و $y_4$ بیان می‌کنیم:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

تصمیم آماده است.

مثال 1

لجن را با روش گاوسی حل کنید. مثال ها. مثالی از حل یک سیستم معادلات خطی که با ماتریس 3 در 3 به روش گاوس ارائه شده است.

$\begin(موارد) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(موارد)$

ما سیستم خود را به شکل یک ماتریس افزوده می نویسیم:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

حال، برای راحتی و عملی بودن، باید ماتریس را طوری تبدیل کنیم که $1$ در گوشه بالای آخرین ستون باشد.

برای این کار باید خط وسط ضرب در $-1$ را به خط اول اضافه کنیم و خود خط وسط را همانطور که هست بنویسیم، معلوم می شود:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end (آرایه) $

سطرهای بالا و آخر را در -1$ ضرب کنید و ردیف آخر و وسط را عوض کنید:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

و خط آخر را 3 دلار تقسیم کنید:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end (array)$

ما سیستم معادلات زیر را معادل معادله اصلی بدست می آوریم:

$\begin(موارد) x_1 + x_2 - x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \پایان (موارد)$

از معادله بالا، $x_1$ را بیان می کنیم:

$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1$.

مثال 2

مثالی از حل یک سیستم تعریف شده با استفاده از ماتریس 4 در 4 با استفاده از روش گاوسی

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 و 37 \\ \end (آرایه)$.

در ابتدا، خطوط بالایی را که به دنبال آن می آیند عوض می کنیم تا 1 دلار در گوشه سمت چپ بالا به دست آوریم:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 و 37 \\ \end (آرایه)$.

حالا بیایید خط بالایی را در -2$ ضرب کنیم و به 2 و به 3 اضافه کنیم. به خط 4، ما خط 1 را، ضرب در $-3$ اضافه می کنیم:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 و 3 و -1 و 4 \\ \end(آرایه)$

حال به خط شماره 3، خط 2 را ضرب در 4 دلار و به خط 4، خط 2 را ضرب در 1- دلار اضافه می کنیم.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(آرایه)$

ردیف 2 را در $-1$ ضرب کنید، ردیف 4 را بر $3$ تقسیم کنید و ردیف 3 را جایگزین کنید.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 و 10 \\ \end (آرایه)$

حالا ماقبل آخر را ضربدر 5$ به خط آخر اضافه می کنیم.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 و 0 \\ \پایان (آرایه)$

ما سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم:

$\begin(موارد) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\ پایان (موارد)$

از آغاز قرن های 16-18، ریاضیدانان شروع به مطالعه شدید توابع کردند، که به لطف آن چیزهای زیادی در زندگی ما تغییر کرده است. فناوری کامپیوتر بدون این دانش به سادگی وجود نخواهد داشت. برای راه حل ها کارهای چالش برانگیزمعادلات خطی و توابع مفاهیم مختلف، قضایا و روش های حل ایجاد شد. یکی از این روش ها و تکنیک های جهانی و منطقی برای حل معادلات خطی و سیستم های آنها، روش گاوس بود. ماتریس ها، رتبه آنها، تعیین کننده - همه چیز را می توان بدون استفاده از عملیات پیچیده محاسبه کرد.

SLAU چیست

در ریاضیات، مفهوم SLAE وجود دارد - یک سیستم معادلات جبری خطی. او چه چیزی را نمایندگی می کند؟ این مجموعه ای از معادلات m با n مجهول مورد نیاز است که معمولاً به صورت x، y، z، یا x 1، x 2 ... x n یا نمادهای دیگر نشان داده می شود. با روش گاوس حل کنید این سیستم- به معنای یافتن تمام مجهولات مورد نیاز است. اگر سیستم داشته باشد همان تعدادمجهولات و معادلات، سپس آن را یک سیستم مرتبه n می نامند.

محبوب ترین روش ها برای حل SLAE

V موسسات آموزشیآموزش متوسطه در حال مطالعه تکنیک های مختلف برای حل چنین سیستم هایی هستند. اغلب این معادلات ساده، متشکل از دو مجهول است، بنابراین هر روش موجود برای یافتن پاسخ آنها زمان زیادی نمی برد. این می تواند مانند یک روش جایگزینی باشد، زمانی که معادله دیگری از یک معادله مشتق شده و به معادله اصلی جایگزین شود. یا ترم به عبارت تفریق و جمع. اما روش گاوس ساده ترین و جهانی ترین در نظر گرفته می شود. حل معادلات با هر تعداد مجهول را ممکن می سازد. چرا این تکنیک منطقی تلقی می شود؟ همه چیز ساده است. روش ماتریسی خوب است زیرا نیازی به چندین بار بازنویسی کاراکترهای غیر ضروری به شکل مجهول نیست، کافی است عملیات حسابی روی ضرایب انجام دهید - و نتیجه قابل اعتمادی خواهید گرفت.

SLAE ها در عمل در کجا استفاده می شوند؟

راه حل SLAE نقاط تقاطع خطوط روی نمودار توابع هستند. در عصر رایانه با فناوری پیشرفته ما، افرادی که از نزدیک در توسعه بازی ها و سایر برنامه ها درگیر هستند باید بدانند چگونه چنین سیستم هایی را حل کنند، چه چیزی را نشان می دهند و چگونه صحت نتیجه حاصل را بررسی کنند. اغلب، برنامه نویسان ماشین حساب های جبر خطی ویژه ای را توسعه می دهند، این شامل یک سیستم معادلات خطی است. روش گاوس به شما امکان می دهد تمام راه حل های موجود را محاسبه کنید. سایر فرمول ها و تکنیک های ساده شده نیز استفاده می شود.

معیار سازگاری SLAE

چنین سیستمی تنها در صورتی قابل حل است که سازگار باشد. برای وضوح، ما SLAE را به شکل Ax=b ارائه می کنیم. اگر rang(A) برابر rang(A,b) باشد راه حل دارد. در این حالت، (A,b) یک ماتریس فرم توسعه یافته است که می توان از ماتریس A با بازنویسی آن با عبارت آزاد آن را بدست آورد. به نظر می رسد که حل معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی بسیار آسان است.

شاید برخی از نمادها کاملاً واضح نباشد، بنابراین لازم است همه چیز را با یک مثال در نظر بگیریم. فرض کنید یک سیستم وجود دارد: x+y=1; 2x-3y=6. این فقط از دو معادله تشکیل شده است که در آنها 2 مجهول وجود دارد. سیستم تنها در صورتی راه حل خواهد داشت که رتبه ماتریس آن با رتبه ماتریس تقویت شده برابر باشد. رتبه چیست؟ این تعداد خطوط مستقل سیستم است. در مورد ما، رتبه ماتریس 2 است. ماتریس A شامل ضرایبی است که در نزدیکی مجهولات قرار دارند و ضرایب پشت علامت "=" نیز در ماتریس گسترش یافته قرار می گیرند.

چرا SLAE را می توان به شکل ماتریس نشان داد

بر اساس معیار سازگاری بر اساس قضیه اثبات شده کرونکر-کاپلی، سیستم معادلات جبری خطی را می توان به صورت ماتریسی نشان داد. با استفاده از روش آبشار گاوسی، می توانید ماتریس را حل کنید و تنها پاسخ قابل اعتماد برای کل سیستم را دریافت کنید. اگر رتبه یک ماتریس معمولی برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته آن باشد، اما کمتر از تعداد مجهولات باشد، آنگاه سیستم بی نهایت پاسخ دارد.

تبدیل های ماتریسی

قبل از رفتن به حل ماتریس ها، لازم است بدانیم چه اقداماتی را می توان روی عناصر آنها انجام داد. چندین تغییر اولیه وجود دارد:

با بازنویسی سیستم به شکل ماتریسی و انجام حل آن، می توان تمام عناصر سری را در یک ضریب ضرب کرد.
برای تبدیل یک ماتریس به فرم متعارف، می توان دو ردیف موازی را جایگزین کرد. شکل متعارف نشان می دهد که تمام عناصر ماتریس که در امتداد مورب اصلی قرار دارند یک می شوند و بقیه به صفر تبدیل می شوند.
عناصر مربوط به ردیف های موازی ماتریس را می توان یکی به دیگری اضافه کرد.

روش جردن-گاوس

ماهیت حل سیستم های معادلات خطی همگن و ناهمگن با روش گاوس، حذف تدریجی مجهولات است. فرض کنید سیستمی متشکل از دو معادله داریم که در آن دو مجهول وجود دارد. برای پیدا کردن آنها، باید سیستم را از نظر سازگاری بررسی کنید. معادله گاوسی بسیار ساده حل شده است. لازم است ضرایب واقع در نزدیکی هر مجهول را به صورت ماتریسی بنویسید. برای حل سیستم، باید ماتریس تقویت شده را بنویسید. اگر یکی از معادلات دارای تعداد مجهول کمتری باشد، باید به جای عنصر گمشده، «0» قرار داده شود. همه در ماتریس اعمال می شود روش های شناخته شدهتبدیل: ضرب، تقسیم بر یک عدد، اضافه کردن عناصر مربوط به سری به یکدیگر و موارد دیگر. به نظر می رسد که در هر ردیف لازم است یک متغیر با مقدار "1" بگذارید، بقیه باید به صفر کاهش یابد. برای درک دقیق تر، لازم است روش گاوس را با مثال در نظر بگیریم.

یک مثال ساده از حل یک سیستم 2x2

برای شروع، بیایید یک سیستم ساده از معادلات جبری را در نظر بگیریم که در آن 2 مجهول وجود خواهد داشت.

بیایید آن را در یک ماتریس تقویت شده بازنویسی کنیم.

برای حل این سیستم معادلات خطی، تنها دو عمل مورد نیاز است. ما باید ماتریس را به شکل متعارف برسانیم تا واحدهایی در امتداد مورب اصلی وجود داشته باشد. بنابراین، با ترجمه از فرم ماتریس به سیستم، معادلات 1x+0y=b1 و 0x+1y=b2 را بدست می آوریم، که در آن b1 و b2 پاسخ هایی هستند که در فرآیند حل به دست می آیند.

اولین مرحله در حل ماتریس تقویت شده به این صورت خواهد بود: ردیف اول باید در 7- ضرب شود و عناصر مربوطه را به ترتیب به ردیف دوم اضافه کنید تا از شر یک مجهول در معادله دوم خلاص شوید.
از آنجایی که حل معادلات به روش گاوس مستلزم رساندن ماتریس به شکل متعارف است، بنابراین لازم است همان عملیات را با معادله اول انجام دهیم و متغیر دوم را حذف کنیم. برای انجام این کار، خط دوم را از خط اول کم می کنیم و پاسخ لازم را می گیریم - محلول SLAE. یا همانطور که در شکل نشان داده شده است، ردیف دوم را در ضریب ۱- ضرب می کنیم و عناصر ردیف دوم را به ردیف اول اضافه می کنیم. این هم همینطور است.

همانطور که می بینید، سیستم ما با روش جردن-گاوس حل می شود. ما آن را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم: x=-5، y=7.

نمونه ای از حل SLAE 3x3

فرض کنید سیستم پیچیده تری از معادلات خطی داریم. روش گاوس امکان محاسبه پاسخ را حتی برای به ظاهر گیج کننده ترین سیستم فراهم می کند. بنابراین، برای کاوش بیشتر در روش محاسبه، می توانید به موارد بیشتری بروید مثال پیچیدهبا سه مجهول

مانند مثال قبلی، سیستم را به شکل یک ماتریس توسعه یافته بازنویسی می کنیم و شروع به آوردن آن به شکل متعارف می کنیم.

برای حل این سیستم، باید اقدامات بسیار بیشتری نسبت به مثال قبلی انجام دهید.

ابتدا باید در ستون اول یک عنصر واحد و بقیه صفر ایجاد کنید. برای این کار، معادله اول را در -1 ضرب کرده و معادله دوم را به آن اضافه کنید. مهم است که به یاد داشته باشید که ما خط اول را به شکل اصلی بازنویسی می کنیم، و دوم - در حال حاضر به شکل اصلاح شده.
سپس همان مجهول اول را از معادله سوم حذف می کنیم. برای این کار عناصر ردیف اول را در -2 ضرب می کنیم و به ردیف سوم اضافه می کنیم. اکنون خطوط اول و دوم به شکل اصلی خود بازنویسی می شوند، و سوم - در حال حاضر با تغییرات. همانطور که از نتیجه می بینید، اولین مورد را در ابتدای قطر اصلی ماتریس به دست آوردیم و بقیه صفر هستند. چند عمل دیگر، و سیستم معادلات با روش گاوس به طور قابل اعتماد حل خواهد شد.
اکنون باید عملیاتی را روی عناصر دیگر ردیف ها انجام دهید. مرحله سوم و چهارم را می توان در یکی ترکیب کرد. باید خطوط دوم و سوم را بر 1- تقسیم کنیم تا خطوط منفی روی مورب خلاص شویم. ما قبلاً خط سوم را به فرم مورد نیاز آورده ایم.
بعد، خط دوم را متعارف می کنیم. برای این کار عناصر ردیف سوم را در -3 ضرب می کنیم و به خط دوم ماتریس اضافه می کنیم. از نتیجه می توان دریافت که خط دوم نیز به شکل مورد نیاز ما کاهش می یابد. باقی مانده است که چند عملیات دیگر انجام دهیم و ضرایب مجهولات را از ردیف اول حذف کنیم.
برای اینکه از عنصر دوم ردیف 0 بدست آورید، باید ردیف سوم را در -3 ضرب کنید و به ردیف اول اضافه کنید.
مرحله تعیین کننده بعدی اضافه کردن به خط اول است عناصر لازمسطر دوم. بنابراین شکل متعارف ماتریس و بر این اساس، پاسخ را می گیریم.

همانطور که می بینید، حل معادلات با روش گاوس بسیار ساده است.

مثالی از حل یک سیستم معادلات 4*4

مقداری بیشتر سیستم های پیچیدهمعادلات را می توان با روش گاوسی حل کرد برنامه های کامپیوتری. لازم است ضرایب مجهولات را به سلول های خالی موجود هدایت کنید و برنامه نتیجه مورد نیاز را گام به گام محاسبه می کند و هر عمل را با جزئیات شرح می دهد.

در زیر شرح داده شده است آموزش گام به گامراه حل های این مثال

در مرحله اول ضرایب آزاد و اعداد مجهولات در سلول های خالی وارد می شوند. بنابراین، همان ماتریس تقویت شده ای را که با دست می نویسیم، دریافت می کنیم.

و تمام عملیات حسابی لازم برای رساندن ماتریس توسعه یافته به شکل متعارف انجام می شود. باید درک کرد که پاسخ به یک سیستم معادلات همیشه اعداد صحیح نیست. گاهی اوقات راه حل می تواند از اعداد کسری باشد.

بررسی صحت محلول

روش جردن-گاوس بررسی صحت نتیجه را فراهم می کند. برای اینکه بفهمید آیا ضرایب به درستی محاسبه شده اند، فقط باید نتیجه را با سیستم معادلات اصلی جایگزین کنید. سمت چپ معادله باید با سمت راست که پشت علامت تساوی است مطابقت داشته باشد. اگر پاسخ ها مطابقت ندارند، باید سیستم را دوباره محاسبه کنید یا سعی کنید روش دیگری را برای حل SLAE که برای شما شناخته شده است، مانند جایگزینی یا تفریق و جمع ترم به ترم اعمال کنید. بالاخره ریاضیات علمی است که دارد مقدار زیادیروش های مختلف راه حل اما به یاد داشته باشید: نتیجه باید همیشه یکسان باشد، مهم نیست از چه روش راه حلی استفاده کرده اید.

روش گاوس: رایج ترین خطاها در حل SLAE

در حین حل سیستم های خطی معادلات، اغلب خطاهایی رخ می دهد، مانند انتقال نادرست ضرایب به یک فرم ماتریسی. سیستم هایی وجود دارند که در آنها تعدادی مجهول در یکی از معادلات وجود ندارد، سپس با انتقال داده ها به ماتریس گسترش یافته، می توان آنها را از دست داد. در نتیجه، هنگام حل این سیستم، نتیجه ممکن است با واقعی مطابقت نداشته باشد.

یکی دیگر از اشتباهات اصلی می تواند نوشتن نادرست نتیجه نهایی باشد. باید به وضوح درک کرد که ضریب اول با اولین ناشناخته از سیستم، دوم - به دوم و غیره مطابقت دارد.

روش گاوس حل معادلات خطی را با جزئیات شرح می دهد. با تشکر از او، انجام عملیات لازم و یافتن نتیجه مناسب آسان است. علاوه بر این، این درمان جهانیبرای جستجوی پاسخ قابل اعتماد برای معادلات با هر پیچیدگی. شاید به همین دلیل است که اغلب در حل SLAE استفاده می شود.

موسسه آموزشی "ایالت بلاروس

فرهنگستان کشاورزی"

بخش ریاضیات بالاتر

رهنمودها

برای مطالعه موضوع "روش گاوس برای حل سیستم های خطی

معادلات» توسط دانشجویان دانشکده حسابداری فرم مکاتبه آموزش (NISPO)

گورکی، 2013

روش گاوس برای حل سیستم معادلات خطی

سیستم معادلات معادل

دو سیستم معادلات خطی در صورتی معادل نامیده می شوند که هر جواب یکی از آنها راه حل دیگری باشد. فرآیند حل یک سیستم معادلات خطی شامل تبدیل متوالی آن به یک سیستم معادل با استفاده از به اصطلاح است. تحولات ابتدایی ، که هستند:

1) جایگشت هر دو معادله سیستم.

2) ضرب هر دو قسمت هر معادله سیستم در یک عدد غیر صفر.

3) به هر معادله ای معادله دیگری را که در هر عددی ضرب می شود اضافه کنید.

4) حذف یک معادله متشکل از صفر، یعنی. معادلات نوع

حذف گاوسی

سیستم را در نظر بگیرید مترمعادلات خطی با nناشناخته:

ماهیت روش گاوس یا روش حذف متوالی مجهولات به شرح زیر است.

ابتدا با کمک تبدیل های ابتدایی، مجهول از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول حذف می شود. چنین تحولات سیستم نامیده می شود مرحله حذف گاوسی . مجهول نامیده می شود حل متغیر در اولین گام تحول ضریب نامیده می شود فاکتور وضوح ، معادله اول نامیده می شود حل معادله ، و ستون ضرایب در فعال کردن ستون .

هنگام انجام یک مرحله حذف گاوسی، باید از آن استفاده کنید قوانین زیر:

1) ضرایب و مدت آزاد معادله حل بدون تغییر باقی می مانند.

2) ضرایب ستون حل، واقع در زیر ضریب حل، به صفر تبدیل می شود.

3) سایر ضرایب و عبارات آزاد در مرحله اول طبق قانون مستطیل محاسبه می شود:

، جایی که من=2,3,…,متر; j=2,3,…,n.

ما در معادله دوم سیستم، تبدیل های مشابهی را انجام می دهیم. این منجر به سیستمی می شود که در آن مجهول در تمام معادلات به جز دو معادله اول حذف می شود. در نتیجه چنین تبدیل هایی بر روی هر یک از معادلات سیستم (سیر مستقیم روش گاوس)، سیستم اصلی به یک سیستم پله ای معادل یکی از انواع زیر کاهش می یابد.

روش گاوس معکوس

سیستم گام

این دارد نمای مثلثیو همه (من=1,2,…,n). چنین سیستمی راه حل منحصر به فردی دارد. مجهولات با شروع معادله آخر (معکوس روش گاوس) تعیین می شوند.

سیستم گام دارای فرم است

کجا، یعنی تعداد معادلات سیستم کمتر یا مساوی تعداد مجهولات است. این سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا آخرین معادله برای هیچ مقداری از متغیر برقرار نخواهد بود.

سیستم نمای پلکانی

بی نهایت راه حل دارد. از آخرین معادله مجهول بر حسب مجهولات بیان می شود . سپس به جای مجهول، بیان آن بر حسب مجهولات در معادله ماقبل آخر جایگزین می شود. . ادامه مسیر معکوس روش گاوس، مجهولات را می توان بر حسب مجهولات بیان کرد . در این مورد، ناشناخته تماس گرفت رایگان و می تواند هر مقدار و ناشناخته ای را بگیرد پایه ای.

هنگام حل سیستم ها در عمل، راحت است که همه تبدیل ها را نه با یک سیستم معادلات، بلکه با یک ماتریس گسترده از سیستم، متشکل از ضرایب مجهولات و ستونی از عبارت های آزاد، انجام دهیم.

مثال 1. حل یک سیستم معادلات

راه حل. اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بسازیم و تبدیلات اولیه را انجام دهیم:

در ماتریس توسعه یافته سیستم، عدد 3 (که مشخص شده است) ضریب وضوح، سطر اول ردیف وضوح و ستون اول ستون وضوح است. هنگام انتقال به ماتریس بعدی، ردیف حل تغییر نمی کند، تمام عناصر ستون حل زیر عنصر حل با صفر جایگزین می شوند. و تمام عناصر دیگر ماتریس طبق قانون چهار ضلعی دوباره محاسبه می شوند. به جای عنصر 4 در خط دوم می نویسیم ، به جای عنصر -3 در خط دوم نوشته می شود و غیره. بنابراین، ماتریس دوم به دست می آید. این ماتریس دارای عنصر حل کننده شماره 18 در ردیف دوم خواهد بود. برای تشکیل ماتریس بعدی (ماتریس سوم)، ردیف دوم را بدون تغییر رها می کنیم، در ستون زیر عنصر حل، صفر می نویسیم و دو عنصر باقی مانده را دوباره محاسبه می کنیم: به جای عدد 1، می نویسیم. و به جای عدد 16 می نویسیم.