یک راه حل خصوصی از معادله دیفرانسیل را برای بررسی پیدا کنید. معادلات دیفرانسیل سفارش اول. نمونه هایی از راه حل ها. معادلات دیفرانسیل با متغیرهای جداسازی
معادلات دیفرانسیل سفارش اول. نمونه هایی از راه حل ها.
معادلات دیفرانسیل با متغیرهای جداسازی
معادلات دیفرانسیل (DU). این دو کلمه معمولا به وحشت متوسط \u200b\u200bمرد متوسط \u200b\u200bمنجر می شود. معادلات دیفرانسیل به نظر می رسد نمونه ای نمونه و دشوار به استاد و بسیاری از دانش آموزان است. uuuuuu ... معادلات دیفرانسیل، چگونه می توانم از طریق این همه؟!
چنین نظر و چنین خلق و خوی نادرست است، زیرا در واقع معادلات دیفرانسیل ساده و حتی هیجان انگیز هستند. آنچه شما باید بدانید و قادر به یادگیری برای حل معادلات دیفرانسیل هستید؟ برای موفقیت به مطالعه diffuses، شما باید قادر به ادغام خوب و تمایز. بهتر از موضوعات مورد مطالعه تابع مشتق شده از یک متغیر و جدایی ناپذیرراه را برای درک معادلات دیفرانسیل آسان تر خواهد کرد. من بیشتر می گویم اگر شما مهارت های ادغام بیشتر یا کمتر مناسب است، پس موضوع تقریبا تسلط است! انتگرال های بیشتر از انواع مختلف شما می توانید تصمیم بگیرید - بهتر است. چرا؟ ما باید بسیار ادغام کنیم. و تمایز همچنین بسیار توصیه می شود یاد بگیرید برای پیدا کردن
در 95٪ موارد، 3 نوع معادلات دیفرانسیل اول مرتبه در مقالات کنترل یافت می شوند: معادلات با متغیرهای جداسازیکه ما در این درس در نظر می گیریم؛ معادلات یکنواخت و معادلات ناهمگن خطی. مبتدیان برای مطالعه Diffuses من به شما توصیه می کنم که با درس های چنین دنباله ای آشنا شوید و پس از مطالعه دو مقاله اول، آن را برای تثبیت مهارت های خود را بر روی یک کارگاه اضافی آسیب نمی رساند - معادلات به همگن کاهش یافته است.
انواع کمی از معادلات دیفرانسیل وجود دارد: معادلات در تفاوت های کامل، معادلات برنولی و برخی دیگر. مهمترین دو گونه از دو گونه آخر معادلات در تفاوت های کامل، از آنجا که علاوه بر این Du من مواد جدید را در نظر می گیرم - ادغام خصوصی.
اگر فقط یک یا دو روز در سهام داشته باشیدT. برای آماده سازی فوق العاده وجود دارد البته در قالب PDF.
بنابراین، دستورالعمل ها قرار می گیرند - رفت:
ابتدا معادلات جبری معمولی را به یاد بیاورید. آنها شامل متغیرها و اعداد هستند. ساده ترین مثال :. منظور این معادلات معمول چیست؟ این بدان معنی است که پیدا کردن بسیاری از اعدادکه این معادله را برآورده می کند آسان است که ببیند معادله کودکان تنها ریشه دارد :. برای لمس، چک کنید، ما ریشه را در معادله ما جایگزین می کنیم:
- برابری مناسب به دست آمده است، به این معنی است که راه حل به درستی یافت می شود.
Diffures در مورد مشابه تنظیم شده است!
معادله دیفرانسیل سفارش اول به طور کلی شامل:
1) متغیر مستقل؛
2) متغیر وابسته (عملکرد)؛
3) اولین تابع مشتق شده :.
در برخی از معادلات سفارش اول، ممکن است هیچ "IX" یا (و) "Igrek" وجود نداشته باشد، اما ضروری نیست - مهم برای انجام در دو بود اولین مشتق، و نداشت مشتقات سفارشات بالاتر - و غیره
چه معنی؟حل معادله دیفرانسیل - این بدان معنی است که پیدا کردن بسیاری از تمام توابعکه این معادله را برآورده می کند چنین توابع زیادی اغلب فرم (- ثابت دائمی)، که نامیده می شود راه حل عمومی معادله دیفرانسیل.
مثال 1
معادله دیفرانسیل را حل کنید
مهمات کامل از کجا آغاز می شود تصمیم?
اول از همه، شما باید یک مشتق دیگر را به صورت دیگری بازنویسی کنید. من به یاد داشته باشم که بسیاری از شما احتمالا به نظر می رسید مسخره و غیر ضروری بود. در diffusers، دقیقا آن است!
در دومین کار، غیرممکن است متغیرهای تقسیم شده؟ منظور از تقسیم متغیرها چیست؟ تقریبا صحبت کردن در سمت چپ ما باید ترک کنیم فقط "Igrek"، ولی در قسمت راست سازمان دادن فقط "IKERS". جداسازی متغیرها با کمک "مدرسه" دستکاری ها انجام می شود: ارسال به براکت ها، انتقال اجزای اجزای بخشی به بخشی با تغییر علامت، انتقال ضیافت ها از قسمت به بخش بر اساس قانون قانون، و غیره
اختلافات و عامل کامل و شرکت کنندگان فعال در خصومت ها هستند. در مثال مثال، متغیرها به راحتی توسط انشعاب چند برابر تقسیم می شوند:
متغیرها جدا هستند در سمت چپ - تنها "جهل"، در قسمت راست - فقط "Xers".
مرحله بعد - ادغام معادله دیفرانسیل. همه چیز ساده است، با الهام از انتگرال ها در هر دو بخش:
البته، انتگرال باید گرفته شود. در این مورد، آنها جدول هستند:
همانطور که ما به یاد می آوریم، یک ثابت به هر ابتدایی نسبت داده می شود. در اینجا دو انتگرال وجود دارد، اما به اندازه کافی ثابت برای نوشتن یک بار (از آنجا که ثابت + ثابت هنوز هم برابر با یک ثابت دیگر است). در بیشتر موارد، آن را در سمت راست قرار می گیرد.
به شدت، پس از اتمام انتگرال، معادله دیفرانسیل حل شده است. تنها چیزی که ما "Igrek" از طریق "X" بیان نمی شود، یعنی تصمیم ارائه شده است در ضمنی فرم. راه حل معادله دیفرانسیل به صورت ضمنی نامیده می شود انتگرال مشترک معادله دیفرانسیل. یعنی این یک انتگرال مشترک است.
پاسخ در این فرم کاملا قابل قبول است، اما آیا گزینه ای بهتر وجود دارد؟ بیایید سعی کنیم تصمیم مشترک.
خواهش میکنم، به یاد داشته باشید اولین تکنیک فنیاین بسیار رایج است و اغلب در وظایف عملی استفاده می شود: اگر یک لگاریتم در سمت راست بعد از ادغام ظاهر شود، پس از آن ثابت در بسیاری از موارد (اما نه همیشه!) نیز توصیه می شود که تحت لگاریتم ثبت شود..
من، بجایسوابق معمولا نوشتن می کنند 
.
چرا شما به آن نیاز دارید؟ و به منظور ساده تر کردن "Igarek" آسان تر است. ما از ویژگی لگاریتم استفاده می کنیم 
. در این مورد:
در حال حاضر لگاریتم ها و ماژول ها را می توان حذف کرد:
تابع به صراحت نشان داده شده است. این یک راه حل عمومی است.
پاسخ: تصمیم مشترک: 
.
پاسخ های بسیاری از معادلات دیفرانسیل بسیار آسان است. در مورد ما، این به سادگی انجام می شود، راه حل را پیدا کرده و آن را تغییر دهید:
پس از آن، ما جایگزین و مشتق شده در معادله اصلی:
- برابری مناسب به دست می آید، به این معنی است که راه حل کلی معادله را به عنوان مورد نیاز برای بررسی قرار می دهد.
دادن مقادیر دائمی دائمی، شما می توانید به طور بی نهایت دریافت کنید راه حل های خصوصی معادله دیفرانسیل. واضح است که هر یک از توابع، و غیره معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.
گاهی اوقات یک تصمیم کلی نامیده می شود خانواده تابع. در این مثال، راه حل عمومی 
- این یک خانواده از توابع خطی است، یا به جای یک خانواده از تناسب مستقیم.
پس از جویدن دقیق از مثال اول، مناسب است که به چند سوال ساده لوحانه در مورد معادلات دیفرانسیل پاسخ دهید:
1) در این مثال، ما توانستیم متغیرها را تقسیم کنیم. آیا همیشه این کار را انجام می دهد؟ نه همیشه و حتی بیشتر، متغیرها نمی توانند تقسیم شوند. به عنوان مثال، در معادلات اول مرتبه اول همگنابتدا باید جایگزین کنید. به عنوان مثال، در سایر معادلات، به عنوان مثال، در یک معادله اول مرتبه خطی خطی، شما باید از تکنیک های مختلف و روش های مختلف برای پیدا کردن یک راه حل کلی استفاده کنید. معادلات با متغیرهای جداسازی، که ما در درس اول - ساده ترین نوع معادلات دیفرانسیل را در نظر می گیریم.
2) آیا همیشه ممکن است معادله دیفرانسیل را ادغام کند؟ نه همیشه این بسیار آسان است که یک معادله "برش" را که نمی تواند یکپارچه شود، ارائه شود، علاوه بر این، انتگرال های بی نظیر وجود دارد. اما چنین DU را می توان تقریبا با کمک روش های خاص حل کرد. Daelaber و Couchi تضمین ... ... UGH، Lurkmore.to Divecha خواندن، تقریبا اضافه شده "از آن نور."
3) در این مثال، ما یک راه حل به شکل یکپارچه مشترک داشتیم 
. آیا همیشه ممکن است از یکپارچه عمومی برای پیدا کردن یک راه حل کلی، یعنی بیان "ایگرک" به صراحت؟ نه همیشه مثلا: . خوب، چگونگی بیان "Igrek"؟! در چنین مواردی، پاسخ باید به عنوان یک انتگرال مشترک نوشته شود. علاوه بر این، گاهی اوقات شما می توانید یک تصمیم کلی پیدا کنید، اما آن را بسیار دست و پا گیر و دست و پا گیر نوشته شده است، که بهتر است پاسخ را به شکل یک انتگرال مشترک ترک کنید
4) ... شاید، در حالی که به اندازه کافی. در مثال اول، ما ملاقات کردیم یکی دیگر از نکات مهماما به منظور پوشش دادن "قتلس" بهمن اطلاعات جدید، من آن را تا زمان درس بعدی ترک خواهم کرد.
ما عجله نخواهیم کرد. یکی دیگر از عذاب ساده و یک تصمیم دیگر نمونه:
مثال 2
یک راه حل خصوصی از معادله دیفرانسیل را پیدا کنید که وضعیت اولیه را برآورده می کند
تصمیم: تحت شرایطی که باید پیدا کنید راه حل خصوصی DU رضایت بخش اولیه داده شده است. این سوال نیز نامیده می شود وظیفه کوشی.
ابتدا یک راه حل عمومی پیدا می کنیم. هیچ متغیر "x" در معادله وجود ندارد، اما نباید خجالت بکشد، اصلی ترین چیزی است که اولین مشتق در آن است.
باز کردن مشتق در فرم مناسب:
بدیهی است، متغیرها را می توان تقسیم کرد، پسران - چپ، دختران - راست:
ما معادله را ادغام می کنیم: 
انتگرال مشترک به دست آمده است. در اینجا من یک ثابت با یک ستاره ناگهانی رنگ کردم، این واقعیت این است که آن را به زودی به یک ثابت دیگر تبدیل خواهد شد.
در حال حاضر یکپارچه کلی را برای تبدیل به راه حل عمومی (اکسپرس "Igrek صریح) را امتحان کنید. ما مدرسه قدیمی، مهربانشی را به یاد می آوریم: 
. در این مورد:
ثابت در این شاخص به نحوی قابل توجه است، بنابراین معمولا از آسمان به زمین فرود می آید. اگر به طور دقیق، این اتفاق می افتد. با استفاده از اموال درجه، عملکرد را به صورت زیر بازنویسی کنید:
اگر این یک ثابت باشد، پس - همچنین برخی از ثابت، برای نامه خود را دوباره نشان می دهد:
به یاد داشته باشید تخریب ثابت - این تکنیک فنی دومکه اغلب در حل معادلات دیفرانسیل استفاده می شود.
بنابراین، راه حل عمومی :. چنین یک خانواده زیبا از توابع نمایشی است.
در مرحله نهایی شما نیاز به پیدا کردن یک راه حل خصوصی که شرایط اولیه مشخص را برآورده می کند. این نیز ساده است.
وظیفه چیست؟ نیاز به انتخاب که ارزش ثابت باید اجرا شود.
شما می توانید به طور متفاوتی ترتیب دهید، اما احتمالا این احتمالا چنین خواهد بود. به طور کلی، راه حل به جای "Iksa" ما صفر را جایگزین، و به جای "بازی" دو:
من،
نسخه استاندارد طراحی:
در حال حاضر در راه حل عمومی ما بنیاد پایه را جایگزین می کنیم:
- این تصمیم ویژه ای است که شما نیاز دارید.
پاسخ: راه حل خصوصی:
چک کنید بررسی یک راه حل خصوصی شامل دو مرحله است:
ابتدا باید چک کنید و اینکه آیا راه حل خاص به طور رسمی پیدا شده شرایط اولیه را برآورده می کند؟ به جای "Iksa" ما صفر را جایگزین می کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد:
- بله، Deuce واقعا به دست آمده است، به این معنی که شرایط اولیه انجام می شود.
مرحله دوم در حال حاضر آشنا است. ما راه حل خصوصی دریافت کردیم و یک مشتق را پیدا کردیم:
ما در معادله اصلی جایگزین می کنیم:
- برابری قابل اعتماد به دست آمده است.
نتیجه گیری: راه حل خصوصی درست است.
به نمونه های معنی دار تر بروید
مثال 3
معادله دیفرانسیل را حل کنید
تصمیم گیری: بازنویسی مشتق شده در فرم ما نیاز داریم: 
ما تخمین می زنیم که آیا ممکن است متغیرها را تقسیم کنیم؟ می توان. ما دومین دوره را به سمت راست با تغییر علامت حمل می کنیم: 
و پرتاب ضربات توسط حاکمیت نسبت: 
متغیرها جدا می شوند، هر دو بخش را ادغام می کنند: 
باید هشدار دهد، روز نزدیک است. اگر شما ضعیف آموخته اید انتگرال های نامعلوم، چند نمونه وجود دارد، آنها هیچ جایی برای رفتن دارند - شما باید آنها را در حال حاضر به کار خود را.
انتگرال سمت چپ آسان است برای پیدا کردن، با انتگرال از Kothannse، ما با تکنیک استاندارد که ما در درس در نظر گرفته شده است ادغام توابع مثلثاتی سال گذشته: 
در سمت راست، ما لگاریتم را معلوم کردیم، و با توجه به اولین توصیه فنی من، ثابت باید تحت لگاریتم ثبت شود.
حالا ما سعی می کنیم به طور کلی یکپارچه را ساده کنیم. از آنجایی که ما برخی از لگاریتم ها را داریم، کاملا امکان پذیر است (و لازم) برای خلاص شدن از شر آنها. از طريق خواص معروف حداکثر "بسته" لگاریتم. بیمار بسیار جزئیات: 
بسته بندی به پایان رسیده است تا بربری تشویق شود: 
آیا ممکن است "Igrek" را بیان کنید؟ می توان. ما باید هر دو قسمت را به مربع بسازیم.
اما لازم نیست این کار را انجام دهیم.
سومین شورای فنی: اگر برای به دست آوردن یک راه حل کلی، شما نیاز به افزایش یا استخراج ریشه ها، پس از آن در بیشتر موارد شما باید از این اقدامات خودداری کنید و به شکل یکپارچگی مشترک پاسخ دهید. واقعیت این است که تصمیم کلی فقط افتضاح خواهد شد - با ریشه های بزرگ، علائم و سایر سطل زباله.
بنابراین، پاسخ به شکل یکپارچگی مشترک می نویسد. یک تن خوب در نظر گرفته شده است که آن را در قالب ارائه می دهد، یعنی در بخش راست، در صورت امکان، تنها یک ثابت را ترک کنید. لازم نیست که این کار را انجام دهید، اما همیشه مفید است به استادان ؛-)
پاسخ: انتگرال عمومی:
! توجه داشته باشید: انتگرال کلی هر معادله را می توان تنها به راه نیاورد. بنابراین، اگر نتیجه شما با یک پاسخ پیش شناخته شده مطابقت نداشته باشد، این بدان معنا نیست که شما معادله را نادرست حل کردید.
انتگرال عمومی نیز به راحتی بررسی می شود، مهمترین چیز این است که بتوانید پیدا کنید مشتق شده از تابع مشخص شده به صورت ضمنی. تمایز پاسخ: 
ما هر دو شرایط را افزایش می دهیم: 
و تقسیم بر: 
معادله دیفرانسیل اولیه دقیقا به دست می آید، به این معنی است که انتگرال عمومی به درستی یافت می شود.
مثال 4
یک راه حل خصوصی از معادله دیفرانسیل را پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده می کند. بررسی را انجام دهید
این یک مثال برای یک راه حل مستقل است.
من به شما یادآوری می کنم که الگوریتم شامل دو مرحله است:
1) پیدا کردن یک راه حل کلی؛
2) پیدا کردن راه حل مورد نظر خصوصی.
چک نیز در دو مرحله انجام می شود (نمونه را به عنوان مثال 2 مراجعه کنید)، شما نیاز دارید:
1) اطمینان حاصل کنید که راه حل خصوصی پیدا شده شرایط اولیه را برآورده می کند؛
2) بررسی کنید که راه حل خصوصی در همه معادلات دیفرانسیل را برآورده می کند.
راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.
مثال 5
راه حل خصوصی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید 
رضایت شرایط اولیه. بررسی را انجام دهید
تصمیم گیری:ما ابتدا یک راه حل کلی را پیدا خواهیم کرد. معادله در حال حاضر شامل تمایز آماده است و به این معنی است که راه حل ساده شده است. ما متغیرها را به اشتراک می گذاریم: 
ما معادله را ادغام می کنیم: 
انتگرال چپ - جدولی، یکپارچه راست - گرفتن با جمع کردن یک تابع تحت نشانه دیفرانسیل:
یکپارچه عمومی دریافت کرد که آیا این امر غیرممکن است که یک راه حل کلی را بیان کند؟ می توان. لگاریتم ها را در هر دو قسمت روشن کنید. از آنجا که آنها مثبت هستند، پس از آن نشانه های ماژول غیر ضروری: 
(امیدوارم همه این تحول را درک کنند، چنین چیزهایی باید بدانند)
بنابراین، راه حل عمومی:
ما یک راه حل خصوصی پیدا خواهیم کرد که مطابق با شرایط اولیه مشخص شده است.
به طور کلی، راه حل به جای "Iksa" ما صفر را جایگزین، و به جای "بازی" لگاریتم دو: 
طراحی آشنا بیشتر:
ما مقدار یافت شده ثابت را در راه حل عمومی جایگزین می کنیم.
پاسخ: راه حل خصوصی:
بررسی: اول، بررسی کنید که آیا شرایط اولیه ساخته شده است:
- همه چیز خوب است.
در حال حاضر چک کنید، و آیا راه حل خاص به طور کلی به طور کلی معادله دیفرانسیل رضایت بخش است. یک مشتق را پیدا کنید:
ما به معادله اولیه نگاه می کنیم: 
- آن را در دیفرانسیل نشان داده شده است. دو راه برای بررسی وجود دارد. شما می توانید دیفرانسیل را از مشتق شده بیان کنید:
ما راه حل خصوصی پیدا شده و دیفرانسیل به دست آمده در معادله اصلی را جایگزین می کنیم 
: 
ما از هویت اصلی لگاریتمی استفاده می کنیم: 
برابری مناسب به دست می آید، به این معنی است که راه حل خصوصی به درستی یافت می شود.
راه دوم برای بررسی آینه ها و بیشتر عادت کرده است: از معادله 
بیان مشتق شده، برای این ما همه چیز را تقسیم می کنیم: 
و در Converted Du ما راه حل خصوصی دریافت شده و مشتق شده را جایگزین می کنیم. به عنوان یک نتیجه از ساده سازی، آن را نیز باید برابری واقعی باشد.
مثال 6
حل معادله دیفرانسیل نمایندگی در قالب یکپارچه مشترک.
این یک مثال برای یک راه حل مستقل، یک راه حل کامل و پاسخ در پایان درس است.
در حالی که حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای جداسازی چیست؟
1) همیشه واضح نیست (به ویژه "قوری") که متغیرها را می توان تقسیم کرد. یک مثال مشروط را در نظر بگیرید :. در اینجا شما باید چند برابر کننده برای براکت ها ایجاد کنید و ریشه ها را جدا کنید :. چگونه به عمل بیشتر - قابل درک.
2) مشکلات در ادغام خود. انتگرال ها اغلب ساده نیستند، و اگر در مهارت های پیدا کردن نقص وجود داشته باشد جدایی ناپذیر، با بسیاری از diffusers باید تنگ شود. علاوه بر این، کامپایلرهای مجموعه ها و روش ها با "یک بار یک معادله دیفرانسیل ساده" محبوب هستند، پس اجازه دهید انتگرال ها پیچیده تر باشند. "
3) تبدیل با ثابت. همانطور که همه اشاره کرد، با ثابت در معادلات دیفرانسیل، ممکن است کاملا به طور داوطلبانه درمان شود، و برخی از تحولات همیشه به تازه وارد قابل درک نیست. یکی دیگر از مثال شرطی را در نظر بگیرید: 
. توصیه می شود تمام شرایط را چند برابر کنید 2: 
. ثابت نتیجه نیز ثابت است که می تواند نشان داده شود: 
. بله، و از آنجا که لگاریتم به زودی درست است، توصیه می شود که ثابت را به صورت ثابت دیگری بازنویسی کنید: 
.
بدبختی این است که شاخص ها اغلب نگران کننده نیستند و از همان نامه استفاده می کنند. در نتیجه، تصمیم تصمیم گیری فرم زیر را می گیرد: 
چه نوع یهودی؟ بلافاصله اشتباهات! به شدت صحبت می کنند - بله با این حال، از نقطه نظر معنی دار - بدون خطا، چرا که به عنوان یک نتیجه از تبدیل ثابت متغیر، ثابت متغیر هنوز به دست آمده است.
یا مثال دیگری، فرض کنید که در طول راه حل معادله، یک انتگرال مشترک به دست آمد. چنین پاسخی به نظر می رسد زشت است، بنابراین هر یک از پایه ها توصیه می شود که علامت را تغییر دهید: 
. به طور رسمی، در اینجا دوباره یک خطا - حق باید ثبت شود. اما به طور غیر رسمی نشان می دهد که "منهای CE" همه ثابت است ( که با همان موفقیت هر معنایی را می گیرد!)بنابراین، برای قرار دادن "منهای" معنی ندارد و شما می توانید از همان نامه استفاده کنید.
من سعی خواهم کرد که از یک رویکرد بی دقتی اجتناب کنم، و هنوز هم شاخص های مختلفی از ثابت ها را در هنگام تبدیل آنها قرار می دهم.
مثال 7
حل معادله دیفرانسیل بررسی را انجام دهید
تصمیم گیری: این معادله اجازه جداسازی متغیرها را می دهد. ما متغیرها را به اشتراک می گذاریم: 
ما ادغام می کنیم: 
ثابت در اینجا لازم نیست که تحت لگاریتم تعیین شود، زیرا هیچ چیز از این کار نمی تواند کار کند.
پاسخ: انتگرال عمومی:
بررسی: تمایز پاسخ (تابع ضمنی): 
ما از شر فاکتورها خلاص می شویم، زیرا ما هر دو شرایط را در هر دوی ضمیمه می کنیم: 
معادله دیفرانسیل اولیه به دست آمد، به این معنی که انتگرال عمومی به درستی یافت می شود.
مثال 8
یک تصمیم خصوصی از DU پیدا کنید.
,
این یک مثال برای یک راه حل مستقل است. تنها نکته - یک انتگرال مشترک وجود دارد، و، به درستی، شما باید قادر به پیدا کردن یک راه حل خاص، اما انتگرال خصوصی. راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.
6.1 مفاهیم اساسی و تعاریف
هنگامی که حل مشکلات مختلف ریاضیات و فیزیک، زیست شناسی و پزشکی، اغلب ممکن است بلافاصله یک وابستگی عملکردی را در فرمول ایجاد کنید که متغیرهایی را که فرایند را تحت مطالعه توصیف می کنند، متصل می کند. همچنین لازم است از معادلات حاوی، به جز یک متغیر مستقل و یک تابع ناشناخته و مشتقات آن استفاده شود.
تعریف.معادله اتصال یک متغیر مستقل، یک تابع ناشناخته و مشتقات آن از سفارشات مختلف نامیده می شود دیفرانسیل.
تابع ناشناخته معمولا تعیین می شود y (x)یا به سادگی y،و مشتقات آن - y ", y "و غیره.
به عنوان مثال، تعیین های دیگر امکان پذیر است: اگر y.\u003d x (t) x "(t)، x" "(t)- مشتقات آن، و t.- متغیر مستقل
تعریف.اگر تابع به یک متغیر بستگی دارد، معادله دیفرانسیل عادی است. فرم عمومی معادله دیفرانسیل معمولی:
یا
کارکرد F.و f.ممکن است حاوی برخی از استدلال نباشد، اما به منظور معادلات دیفرانسیل، حضور مشتق شده است.
تعریف.منظور از معادله دیفرانسیلمنظور از مشتقات قدیمی تر شامل آن است.
مثلا، x 2 y "- y.\u003d 0، Y "+ گناه ایکس.\u003d 0 - اولین معادلات سفارش، و y "+ 2 y "+ 5 y.= ایکس.- معادله دوم سفارش.
هنگام حل معادلات دیفرانسیل، یک عملیات ادغام استفاده می شود که با ظاهر یک ثابت دلخواه همراه است. اگر عمل ادغام اعمال شود n.پس از آن، بدیهی است، در تصمیم گیری وجود خواهد داشت n.دائمی دلخواه
6.2 معادلات دیفرانسیل سفارش اول
فرم عمومی معادله دیفرانسیل اول سفارشتعیین شده توسط بیان
معادله ممکن است به صراحت نباشد ایکس.و y،اما لزوما شامل. "
اگر معادله را می توان به عنوان نوشته شده است
این یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول به دست می آید که نسبت به مشتق شده مجاز است.
تعریف.راه حل کلی معادله دیفرانسیل اول مرتبه اول (6.3) (یا (6.4)) انواع راه حل های مختلف است. 
جایی که از جانب- دائمی دلخواه
نمودار حل معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال
دادن یک دائمی دلخواه از جانبارزش های مختلف، شما می توانید راه حل های خصوصی دریافت کنید. بر روی سطح xoyراه حل عمومی یک خانواده از منحنی های انتگرال است که مربوط به هر راه حل خصوصی است.
اگر نقطه را تنظیم کنید a (x 0، y 0)،از طریق آن منحنی انتگرال باید برگزار شود، پس، به عنوان یک قانون، از انواع توابع 
شما می توانید یکی را اختصاص دهید - یک راه حل خاص.
تعریف.تصمیم خصوصیمعادله دیفرانسیل یک راه حل است که حاوی ثابت های دلخواه نیست.
اگر یک 
یک راه حل کلی پس از این شرایط است
می تواند دائمی پیدا شود از جانب.توزیع کردن شرایط آغازین.
وظیفه پیدا کردن یک راه حل خصوصی از معادله دیفرانسیل (6.3) یا (6.4) رضایت وضعیت اولیه 
برای 
به نام وظیفه کوشیآیا این کار همیشه یک راه حل دارد؟ پاسخ شامل قضیه زیر است.
قضیه کوشی(قضیه وجود و منحصر به فرد بودن تصمیم). فرض کنید در معادله دیفرانسیل y "= f (x، y)تابع f (x، y)و او
مشتق خصوصی 
تعریف شده و پیوسته در برخی از
منطقه د،حاوی یک نقطه 
سپس در منطقه D.وجود دارد
تنها راه حل معادله رضایت بخش اولیه 
برای 
قضیه کوشی استدلال می کند که در شرایط خاص منحنی انتگرال تک وجود دارد y.= f (x)،عبور از نقطه 
نقاطی که در آن شرایط قضیه برآورده نشده است
کوشی، نامیده می شود ویژهدر این نکات، تضعیف می شود f.(x، y) یا.
از طریق یک نقطه خاص، چند منحنی انتگرال یا هر یک.
تعریف.اگر تصمیم (6.3)، (6.4) در فرم یافت شد f.(x، y، ج)\u003d 0، نسبت به Y مجاز نیست، پس از آن نامیده می شود یکپارچه سازیمعادله دیفرانسیل.
قضیه کوشی تنها تضمین می کند که راه حل وجود دارد. از آنجا که هیچ روش واحد برای پیدا کردن یک راه حل وجود ندارد، ما تنها برخی از انواع معادلات دیفرانسیل درجه اول را در نظر خواهیم گرفت quadratures.
تعریف.معادله دیفرانسیل نامیده می شود قابل انعطاف در Quadraturesاگر یافته های آن به ادغام توابع کاهش یابد.
6.2.1 معادلات دیفرانسیل سفارش اول با متغیرهای جداسازی
تعریف.معادله دیفرانسیل سفارش اول معادله نامیده می شود متغیرهای تقسیم شده
سمت راست معادله (6.5) یک محصول از دو توابع است که هر کدام تنها به یک متغیر بستگی دارد.
به عنوان مثال، معادله 
معادله با جداسازی است
متغیرهای Misi 
معادله 
نمی توان به عنوان (6.5) ارسال کرد.
با توجه به این 
، بازنویسی (6.5) در فرم 
از این معادله، یک معادله دیفرانسیل را با متغیرهای جداگانه به دست می آوریم، که در آن توابع با اختلافات بسته به متغیر مربوطه وجود دارد:
یکپارچه سازی خاک ما داریم
جایی که c \u003d. C 2 - C 1 - دائمی دلخواه. بیان (6.6) یکپارچگی مشترک معادله (6.5) است.
به اشتراک گذاری هر دو بخش معادله (6.5)، ما می توانیم این راه حل ها را از دست بدهیم 
در واقع، اگر 
برای 
که 
بدیهی است، راه حل معادله (6.5).
مثال 1حل معادله راه حل را پیدا کنید
وضعیت: y.\u003d 6 O ایکس.= 2 (y(2) = 6).
تصمیم گیریجایگزین کردن تو "بر امدگی 
. هر دو بخش را چند برابر کنید
dX،از آنجا که با ادغام بیشتر نمی تواند باقی بماند dxدر نامزدی:
و سپس هر دو بخش را تقسیم کنید 
ما معادله را بدست می آوریم
که می تواند یکپارچه شود ما ادغام می کنیم: 
سپس 
؛ پتانسیل، ما y \u003d c را به دست می آوریم. (x + 1) -
راه حل.
با توجه به داده های اولیه، ما یک دائمی دلخواه را تعریف می کنیم، جایگزین آنها را به یک تصمیم کلی می کنیم
سرانجام دریافت y.\u003d 2 (X + 1) - یک راه حل خصوصی. برخی از نمونه های بیشتر از حل معادلات را با متغیرهای جداگانه در نظر بگیرید.
مثال 2یک راه حل برای معادله پیدا کنید 
تصمیم گیریبا توجه به این 
، گرفتن 
.
ادغام هر دو بخش از معادله، ما خواهیم داشت
از جانب 
مثال 3یک راه حل برای معادله پیدا کنید تصمیم گیریما هر دو بخشی از معادله را بر این عوامل تقسیم می کنیم، که به متغیر بستگی دارد، که متغیر تحت نشانه ای از دیفرانسیل، I.E. در 
و ادغام سپس ما دریافت می کنیم
و در نهایت
مثال 4یک راه حل برای معادله پیدا کنید
تصمیم گیریدانستن، تعقیب جدایش، جدایی
متغیرهای LIM سپس 
ادغام، دریافت کنید
اظهار نظر.در مثال های 1 و 2، عملکرد مورد نظر y.بیان شده به صراحت (راه حل عمومی). در مثال های 3 و 4 - به طور ضمنی (انتگرال مشترک). در آینده، فرم تصمیم گیری مشخص نخواهد شد.
مثال 5یک راه حل برای معادله پیدا کنید تصمیم گیری
مثال 6یک راه حل برای معادله پیدا کنید 
رضایت بخش
وضعیت y (e)= 1.
تصمیم گیریما یک معادله را در فرم بنویسیم 
ضرب هر بخش از معادله در dxو ما دریافت می کنیم
ادغام هر دو بخش از معادله (انتگرال در سمت راست دست در قطعات گرفته شده است)، ما دریافت می کنیم 
اما با شرایط y.\u003d 1 ایکس.= e.. سپس
جایگزینی مقادیر یافت شده از جانببه طور کلی راه حل:
بیان نتیجه یک راه حل خصوصی معادله دیفرانسیل نامیده می شود.
6.2.2 معادلات دیفرانسیل اول مرتبه اول یکنواخت
تعریف.اولین معادله دیفرانسیل سفارش نامیده می شود همگناگر آن را می توان به عنوان نماینده
اجازه دهید ما یک الگوریتم برای حل معادله همگن را ارائه دهیم.
1. آسان y.ما توابع جدید را معرفی می کنیم 
و بنابراین، 
2. شرایط عملکرد تومعادله (6.7) طول می کشد
i.E. جایگزینی یک معادله همگن را به معادله با متغیرهای جداگانه کاهش می دهد.
3. معادله (6.8)، ما برای اولین بار شما را پیدا می کنیم، و سپس y.\u003d UX
مثال 1حل معادله 
تصمیم گیریما یک معادله را در فرم بنویسیم
ما یک جایگزین را تولید می کنیم: 
سپس 
جایگزین کردن 
ضرب در DX: 
ما تقسیم می کنیم ایکس.و در 
سپس
ادغام هر دو بخش از معادله با توجه به متغیرهای مربوطه، ما خواهیم داشت
یا، بازگشت به متغیرهای قدیمی، در نهایت دریافت
مثال 2حل معادله 
تصمیم گیریبیایید 
سپس
ما هر دو بخش معادله را تقسیم می کنیم x 2: 
ما براکت ها را نشان خواهیم داد و اصطلاحات را تشویق خواهیم کرد:
تبدیل به متغیرهای قدیمی، ما به نتیجه نهایی خواهیم رسید:
مثال 3یک راه حل برای معادله پیدا کنید 
با توجه به این
تصمیم گیریانجام جایگزینی استاندارد 
دريافت كردن
یا 
یا
این بدان معنی است که یک راه حل خاص شکل دارد 
مثال 4 یک راه حل برای معادله پیدا کنید
تصمیم گیری
مثال 5یک راه حل برای معادله پیدا کنید 
تصمیم گیری
کار مستقل
راه حل معادلات دیفرانسیل را با متغیرهای جداسازی پیدا کنید (1-9).
یک راه حل برای معادلات دیفرانسیل همگن پیدا کنید (9-18).
6.2.3. برخی از برنامه های معادلات دیفرانسیل اول مرتبه اول
وظیفه در مورد پوسیدگی رادیواکتیو
نرخ تجزیه RA (رادیوم) در هر لحظه از زمان متناسب با جرم نقدی آن است. قانون تخریب رادیواکتیو RA را پیدا کنید، اگر مشخص شود که در لحظه اولیه نیز نیمه عمر RA نیز برابر با 1590 سال بود.
تصمیم گیریاجازه دهید RA در حال حاضر باشد ایکس.= x (t)g، و 
سپس میزان فروپاشی RA برابر است
تحت شرایط کار 
جایی که k.
ما در آخرین متغیرهای معادله جدا شده و یکپارچه سازی می کنیم
از جانب 
برای تعیین C.ما از شرایط اولیه استفاده می کنیم: زمانی که 
.
سپس 
و این بدان معنی است 
ضریب تناسب k.از شرایط اضافی تعیین کنید:
دارند
از اینجا 
و فرمول مورد نظر
مشکل تولید مثل باکتری ها
میزان تولید مثل باکتری ها متناسب با تعداد آنها است. در لحظه اولیه 100 باکتری وجود داشت. برای 3 ساعت، تعداد آنها دو برابر شده است. وابستگی تعداد باکتری ها را از زمان پیدا کنید. چند بار تعداد باکتری ها به مدت 9 ساعت افزایش می یابد؟
تصمیم گیریبیایید ایکس.- تعداد باکتری ها در آن زمان t.سپس، با توجه به شرایط، 
جایی که k.- ضریب تناسب
از اینجا 
از شرایطی که شناخته شده است 
. به این معنی
از شرایط اضافی 
. سپس
تابع: 
بنابراین برای t.= 9 ایکس.\u003d 800، به عنوان مثال، به مدت 9 ساعت، تعداد باکتری ها 8 بار افزایش یافت.
وظیفه افزایش مقدار آنزیم
در فرهنگ مخمر آبجو، سرعت آنزیم موجود متناسب با تعداد اولیه آن است ایکس.مقدار اولیه آنزیم آ.برای یک ساعت دو برابر شد پیدا کردن اعتیاد
x (t).
تصمیم گیریبا این شرایط، معادله دیفرانسیل فرآیند است 
از اینجا
ولی 
. به این معنی C.= آ.و سپس 
این نیز شناخته شده است 
از این رو،
6.3. معادلات دیفرانسیل سفارش دوم
6.3.1. مفاهیم اساسی
تعریف.معادله دوم مرتبه دومیک نسبت که یک متغیر مستقل را متصل می کند، عملکرد مورد نظر و مشتقات اول و دوم آن نامیده می شود.
در موارد خاص ممکن است هیچ X وجود نداشته باشد w.یا Y ". با این حال، معادله دوم مرتبه باید لزوما شامل شما باشد. در مورد کلی، معادله دیفرانسیل دوم مرتبه در فرم نوشته شده است:
یا، در صورت امکان، در فرم، نسبت به مشتق دوم حل شده است:
همانطور که در مورد معادله اول مرتبه، معادله دوم مرتبه ممکن است در راه حل های مشترک و خصوصی وجود داشته باشد. راه حل عمومی فرم دارد:
پیدا کردن یک راه حل خصوصی
تحت شرایط اولیه - پرسید
اعداد) نامیده می شود وظیفه کوشیبه طور هندسی، این به این معنی است که لازم است یک منحنی یکپارچه پیدا شود. w.= y (x)،عبور از یک نقطه مشخص شده 
و داشتن در این نقطه لمس کردن
لذت بردن از جهت محور مثبت گاوتنظیم. e 
(شکل 6.1). مشکل کوشی یک تصمیم واحد دارد اگر سمت راست معادله (6.10)، 
شورشی
rovena و مشتقات خصوصی مداوم y، تو "در برخی از محله های نقطه شروع
برای پیدا کردن ثابت 
شامل یک راه حل خاص، شما باید سیستم را حل کنید
شکل. 6.1منحنی انتگرال
تأسیس آموزش "دولت بلاروس
آکادمی کشاورزی "
گروه ریاضیات بالاتر
معادلات دیفرانسیل سفارش اول
چکیده سخنرانی برای دانش آموزان دانشکده حسابداری
فرم مکاتبات آموزش (NEPO)
گورکی، 2013.
معادلات دیفرانسیل سفارش اول
مفهوم معادله دیفرانسیل. راه حل های عمومی و خصوصی
هنگام مطالعه پدیده های مختلف، اغلب امکان پیدا کردن یک قانون نیست که به طور مستقیم یک متغیر مستقل و عملکرد مورد نظر را متصل می کند، اما شما می توانید یک پیوند بین عملکرد مورد نظر و مشتقات آن ایجاد کنید.
این نسبت که یک متغیر مستقل را متصل می کند، عملکرد مورد نظر و مشتقات آن نامیده می شود معادله دیفرانسیل :
اینجا ایکس. - متغیر مستقل y. - تابع مورد نظر 
- مشتقات تابع مورد نظر. در این مورد، در رابطه (1)، حداقل یک مشتق شده ضروری است.
منظور از معادله دیفرانسیل منظور از مشتقات قدیمی تر شامل معادله نامیده می شود.
معادله دیفرانسیل را در نظر بگیرید
.
(2)
بنابراین این معادله شامل یک مشتق اول سفارش تنها، پس از آن است معادله دیفرانسیل از نظم اول وجود دارد.
اگر معادله (2) را می توان نسبت به مشتقات حل کرد و به شکل آن بنویسید
,
(3)
این معادله یک معادله دیفرانسیل درجه اول به صورت عادی نامیده می شود.
در بسیاری از موارد، توصیه می شود معادله فرم را در نظر بگیرید
که نامیده می شود معادله دیفرانسیل اول مرتبه ثبت شده در فرم دیفرانسیل.
مانند 
، سپس معادله (3) را می توان به عنوان نوشته شده است 
یا 
کجا می تواند در نظر گرفته شود 
و 
. این بدان معنی است که معادله (3) به معادله تبدیل می شود (4).
بنویسید معادله (4) به عنوان 
. سپس 
,
,
کجا می تواند در نظر گرفته شود 
. معادله فرم (3) به دست آمد. بنابراین، معادلات (3) و (4) معادل هستند.
با حل معادله دیفرانسیل
(2) یا (3) هر تابع را نام برد 
کدام، زمانی که جایگزین آن در معادله (2) یا (3)، آن را به هویت تبدیل می کند:
یا 
.
فرآیند یافتن تمام راه حل های معادله دیفرانسیل آن نامیده می شود ادغام
، و برنامه ریزی 
معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال
این معادله
اگر راه حل معادله دیفرانسیل به صورت ضمنی به دست آید 
سپس آن را نامیده می شود انتگرال
این معادله دیفرانسیل
تصمیم عمومی
معادله دیفرانسیل اول سفارش یک خانواده از توابع فرم نامیده می شود 
بسته به ثابت دلخواه از جانبهر کدام یک راه حل برای این معادله دیفرانسیل در هر مقدار مجاز ثابت دائمی است از جانب. بنابراین، معادله دیفرانسیل دارای راه حل های بی شماری است.
تصمیم خصوصی
معادله دیفرانسیل یک راه حل است که از یک فرمول راه حل عمومی با ارزش خاصی از یک دائمی دلخواه به دست آمده است از جانب، شامل 
.
وظیفه کوشی و تفسیر هندسی آن
معادله (2) دارای راه حل های بی شماری است. به منظور جدا کردن یک راه حل از این مجموعه، که خصوصی است، شما باید از برخی شرایط اضافی بپرسید.
وظیفه پیدا کردن یک راه حل خصوصی از معادله (2) تحت شرایط مشخص شده نامیده می شود وظیفه کوشی . این وظیفه یکی از مهمترین معادلات دیفرانسیل در این نظریه است.
وظیفه کوشی به شرح زیر است: در میان تمام راه حل های معادله (2) چنین تصمیمی را پیدا کنید
که در آن تابع 
مقدار عددی داده شده را می گیرد 
اگر یک متغیر مستقل باشد
ایکس.
مقدار عددی داده شده را می گیرد 
.
,
,
(5)
جایی که D. - منطقه تعریف تابع 
.
مقدار 
به نام عملکرد اولیه تابع
، ولی
– مقدار اولیه یک متغیر مستقل
. شرایط (5) نامیده می شود شرایط آغازین
یا شرایط کوشی
.
از نقطه نظر هندسی، مشکل کوشی برای معادله دیفرانسیل (2) می تواند به صورت زیر فرموله شود: از بسیاری از منحنی های یکپارچه معادله (2)، یکی را انتخاب کنید که از طریق نقطه مشخص شده عبور می کند 
.
معادلات دیفرانسیل با متغیرهای جداسازی
یکی از ساده ترین معادلات دیفرانسیل، معادله دیفرانسیل اول درجه است که شامل تابع مورد نظر نیست:
.
(6)
با توجه به این 
، یک معادله را در فرم بنویسید 
یا 
. ادغام هر دو بخش از معادله آخر، ما دریافت می کنیم: 
یا
.
(7)
بنابراین، (7) یک راه حل کلی معادله (6) است.
مثال 1
. راه حل کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید 
.
تصمیم
. ما یک معادله را در فرم بنویسیم 
یا 
. ما هر دو بخش از معادله به دست آمده را ادغام می کنیم: 
,
. سرانجام نوشتن 
.
مثال 2
. یک راه حل برای معادله پیدا کنید 
با توجه به این 
.
تصمیم
. راه حل کلی معادله را پیدا کنید: 
,
,
,
. با شرایط 
,
. جایگزین یک راه حل عمومی: 
یا 
. مقدار یافت شده از یک جایگزین دائمی دلخواه در فرمول راه حل عمومی: 
. این یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل است که شرایط مشخص را برآورده می کند.
معادله
(8)
به نام معادله دیفرانسیل اولین مرتبه حاوی یک متغیر مستقل نیست
. ما آن را در فرم بنویسیم 
یا 
. ما هر دو بخش آخرين معادله را ادغام می کنیم: 
یا 
- راه حل عمومی معادله (8).
مثال
. یک معادله راه حل عمومی پیدا کنید 
.
تصمیم
. ما این معادله را در فرم بنویسیم: 
یا 
. سپس 
,
,
,
. به این ترتیب، 
- راه حل عمومی این معادله.
نمایش معادله
(9)
ادغام با استفاده از متغیرها. برای انجام این کار، معادله را در فرم بنویسید 
و سپس استفاده از عملیات ضرب و تقسیم آن را به این فرم به طوری که تنها عملکرد از h. و دیفرانسیل dx، و در بخش دوم - عملکرد از w. و دیفرانسیل dy. برای انجام این کار، هر دو بخش از معادله باید ضرب شود dx و تقسیم شده توسط 
. در نتیجه، معادله را به دست می آوریم
,
(10)
که در آن متغیرها h. و w. تقسیم شده. ما هر دو بخش معادله را ادغام می کنیم (10): 
. نسبت حاصل یکپارچه مشترک معادله (9) است.
مثال 3
. یکپارچه سازی معادله 
.
تصمیم
. ما معادله را تغییر می دهیم و متغیرها را تقسیم می کنیم: 
,
. ادغام: 
,
یا - انتگرال کلی این معادله. 
.
اجازه دهید معادله به شکل مشخص شده باشد
این معادله نامیده می شود معادله دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای جداسازی در فرم متقارن.
برای تقسیم متغیرها، هر دو بخشی از معادله تقسیم می شوند 
:
.
(12)
معادله حاصل نامیده می شود معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده . یکپارچه معادله (12):
.
(13)
نسبت (13) یکپارچه مشترک معادله دیفرانسیل (11) است.
مثال 4 . معادله دیفرانسیل را ادغام کنید.
تصمیم . ما یک معادله را در فرم بنویسیم
و ما هر دو بخش آن را تقسیم می کنیم 
,
. معادله حاصل: 
این معادله با متغیرهای جدا شده است. یکپارچه سازی آن:
,
,
,
. برابری دوم یکپارچه مشترک این معادله دیفرانسیل است.
مثال 5
. راه حل خصوصی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید 
وضعیت رضایت بخش 
.
تصمیم
. با توجه به این 
، یک معادله را در فرم بنویسید 
یا 
. ما متغیرها را تقسیم می کنیم: 
. ادغام این معادله: 
,
,
. نسبت به دست آمده یکپارچگی مشترک این معادله است. با شرایط 
. جایگزین در یکپارچگی مشترک و پیدا کردن از جانب:
,از جانب\u003d 1 سپس بیان 
این یک راه حل خصوصی این معادله دیفرانسیل ثبت شده در قالب یکپارچه خصوصی است.
معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول
معادله
(14)
به نام معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول
. تابع ناشناخته 
و مشتق آن در این معادله به صورت خطی، و توابع است 
و 
مداوم.
اگر یک 
، سپس معادله
(15)
به نام خطی همگن
. اگر یک 
، سپس معادله (14) نامیده می شود ناهمگن خطی
.
برای پیدا کردن یک راه حل معادله (14) معمولا استفاده می شود روش جایگزینی (Bernoulli) چه کسی جزء بعدی است؟
راه حل معادله (14) به عنوان یک محصول از دو توابع امضا خواهد شد.
,
(16)
جایی که 
و 
- برخی از توابع پیوسته جایگزین 
و مشتق شده 
در معادله (14):
تابع v. ما به گونه ای انتخاب خواهیم کرد که شرایط انجام شود 
. سپس 
. بنابراین، برای پیدا کردن یک راه حل معادله (14)، یک سیستم معادلات دیفرانسیل باید حل شود.
معادله اول سیستم یک معادله همگن خطی است و آن را با جداسازی متغیرها حل می کند: 
,
,
,
,
. به عنوان یک تابع 
شما می توانید یکی از راه حل های خاصی از یک معادله همگن، I.E. برای از جانب=1:
. جایگزینی به معادله دوم سیستم: 
یا 
.سپس 
. بنابراین، راه حل کلی معادله دیفرانسیل خطی اول، فرم را تشکیل می دهد 
.
مثال 6
. حل معادله 
.
تصمیم
. راه حل معادله به دنبال آن خواهد بود 
. سپس 
. جایگزین به معادله:
یا 
. تابع v. برابری را به گونه ای انتخاب کنید 
. سپس 
. ما اولین از این معادلات را با روش جداسازی متغیرها تصمیم می گیریم: 
,
,
,
,
. تابع v. جایگزین معادله دوم: 
,
,
,
. راه حل کلی این معادله است 
.
سوالات برای دانش خود کنترل
معادله دیفرانسیل نامیده می شود؟
منظور از معادله دیفرانسیل چیست؟
معادله دیفرانسیل معادله دیفرانسیل اول نامیده می شود؟
معادله دیفرانسیل اول سفارش چگونه در فرم دیفرانسیل ثبت می شود؟
چه راه حل معادله دیفرانسیل نامیده می شود؟
چه چیزی منحنی یکپارچه نامیده می شود؟
چه راه حل کلی یک معادله دیفرانسیل درجه اول نامیده می شود؟
چه راه حل خصوصی معادله دیفرانسیل نامیده می شود؟
مشکل کوشی برای یک فرمول معادله دیفرانسیل اول درجه اول چگونه است؟
تفسیر هندسی مشکل کوشی چیست؟
معادله دیفرانسیل با متغیرهای جداسازی در یک فرم متقارن چگونه است؟
معادله معادله دیفرانسیل خطی اول از دستور اول نامیده می شود؟
چه روش می تواند معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را حل کند و ماهیت این روش چیست؟
وظایف کار مستقل
حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای جداسازی:
ولی) 
؛ ب) 
;
که در) 
؛ د) 
.
2. حل معادلات دیفرانسیل خطی اول سفارش:
ولی) 
؛ ب) 
؛ که در) 
;
د) 
؛ e) 
.
معادله دیفرانسیل (DU)
- این معادله است
کجا - متغیرهای مستقل، Y - تابع و مشتقات خصوصی.
معادله دیفرانسیل معمولی - این معادله دیفرانسیل است که تنها یک متغیر مستقل دارد.
معادله دیفرانسیل در مشتقات خصوصی - این یک معادله دیفرانسیل است که دارای دو یا بیشتر متغیرهای مستقل است.
کلمات "عادی" و "در مشتقات خصوصی" ممکن است فرود، اگر روشن است که معادله در نظر گرفته شده است. در آینده، معادلات دیفرانسیل عادی در نظر گرفته می شود.
منظور از معادله دیفرانسیل - این دستور از مشتق شده قدیمی است.
در اینجا یک نمونه از اولین معادله سفارش است:
در اینجا یک نمونه از معادله سفارش چهارم است:
گاهی اوقات معادله دیفرانسیل اول مرتبه از طریق دیفرانسیل ثبت می شود:
در این مورد، متغیرها X و Y برابر هستند. به عبارت دیگر، یک متغیر مستقل می تواند هر دو x so و y باشد. در مورد اول، Y تابع از x است. در مورد دوم، X یک تابع از Y است. در صورت لزوم، ما می توانیم این معادله را به شکل که منجر به مشتق شده، به وضوح گنجانده شود، منجر شود.
به اشتراک گذاشتن این معادله در DX، ما دریافت خواهیم کرد:
.
از این رو، از این رو آن را دنبال می کند
.
تصمیم معادلات دیفرانسیل
مشتقات از توابع ابتدایی از طریق توابع ابتدایی بیان می شود. انتگرال از توابع ابتدایی اغلب از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شود. با معادلات دیفرانسیل، وضعیت حتی بدتر است. در نتیجه، راه حل را می توان به دست آورد:
- وابستگی صریح تابع از متغیر؛
تصمیم معادله دیفرانسیل - این تابع y \u003d u (ایکس)که تعریف شده است، n بار متفاوت است، و.
- وابستگی ضمنی به شکل معادله نوع φ (x، y) \u003d 0 یا سیستم معادلات؛
معادله دیفرانسیل انتگرال - این راه حل معادله دیفرانسیل است که دارای یک دیدگاه ضمنی است.
- وابستگی بیانگر از طریق توابع ابتدایی و انتگرال از آنها؛
تصمیم معادله دیفرانسیل در Quadratures - این یافته از یک راه حل در قالب ترکیبی از توابع ابتدایی و انتگرال از آنها است.
- راه حل ممکن است از طریق توابع ابتدایی بیان نشود.
از آنجا که راه حل معادلات دیفرانسیل به محاسبه انتگرال ها کاهش می یابد، راه حل شامل مجموعه ای از ثابت های C 1، C 2، C 3، ... C n است. تعداد دائمی برابر با نظم معادله. معادله دیفرانسیل خصوصی خصوصی - این یکپارچگی مشترک در مقادیر داده شده ثابت C 1، C 2، C 3، ...، C n است.
منابع:
v.V. Stepanov، دوره معادلات دیفرانسیل، "LCA"، 2015.
n.m. Gunter، R.O. Kuzmin، مجموعه وظایف در ریاضیات بالاتر، "LAN"، 2003.
