معادله خط مستقیمی که از دو می گذرد بسازید. معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد: مثال ها، راه حل ها

معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.
بردار جهت یک خط مستقیم است. بردار معمولی

خط مستقیم در هواپیما یکی از ساده ترین اشکال هندسی است که شما از کلاس های ابتدایی می شناسید و امروز یاد می گیریم که چگونه با استفاده از روش های هندسه تحلیلی با آن کنار بیاییم. برای تسلط بر مواد، باید بتوانید یک خط مستقیم بسازید. بدانید که از چه معادله ای برای تعریف یک خط مستقیم استفاده می شود، به ویژه خط مستقیمی که از مبدأ عبور می کند و خطوط مستقیم موازی با محورهای مختصات. این اطلاعات را می توان در دفترچه راهنما یافت نمودارها و خواص توابع ابتدایی، من آن را برای matan ایجاد کردم، اما بخش مربوط به تابع خطی بسیار موفق و دقیق بود. بنابراین قوری های عزیز ابتدا آنجا را گرم کنید. علاوه بر این، شما نیاز به دانش اولیه دارید بردارها، در غیر این صورت درک مطالب ناقص خواهد بود.

در این درس به روش هایی می پردازیم که از طریق آنها می توانید معادله یک خط مستقیم را در یک صفحه بنویسید. توصیه می کنم از مثال های عملی غافل نشوید (حتی اگر خیلی ساده به نظر برسد)، زیرا حقایق ابتدایی و مهم را در اختیار آنها قرار می دهم، تکنیک هایی که در آینده مورد نیاز خواهند بود، از جمله در سایر بخش های ریاضیات عالی.

چگونه معادله خط مستقیم را با شیب بنویسیم؟
چگونه؟
چگونه بردار جهت را با معادله کلی یک خط مستقیم پیدا کنیم؟
چگونه از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله خط مستقیم بسازیم؟

و شروع می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با شیب

شکل معروف "مدرسه" معادله خط مستقیم نامیده می شود معادله یک خط مستقیم با شیب... به عنوان مثال، اگر یک خط مستقیم با یک معادله داده شود، شیب آن برابر است با:. معنای هندسی این ضریب و اینکه مقدار آن بر محل خط مستقیم تأثیر می گذارد را در نظر بگیرید:

درس هندسه این را ثابت می کند شیب خط مستقیم است مماس یک زاویهبین جهت مثبت محورو این خط:، و زاویه در خلاف جهت عقربه های ساعت "باز شده" است.

برای اینکه نقاشی را به هم نریزم، گوشه هایی را فقط برای دو خط کشیدم. خط قرمز و شیب آن را در نظر بگیرید. مانند بالا: (زاویه "آلفا" با یک قوس سبز نشان داده شده است). برای خط "آبی" با شیب، برابری درست است (زاویه "بتا" با قوس قهوه ای نشان داده می شود). و اگر مماس زاویه مشخص باشد، در صورت لزوم، پیدا کردن آن آسان است و خود گوشهبا استفاده از تابع معکوس - متقاطع. همانطور که می گویند، یک جدول مثلثاتی یا ریز حساب در دست است. بدین ترتیب، شیب درجه شیب خط مستقیم به محور آبسیسا را مشخص می کند..

در این صورت موارد زیر امکان پذیر است:

1) اگر شیب منفی باشد:، خط، به طور کلی، از بالا به پایین می رود. به عنوان مثال خطوط مستقیم "آبی" و "زرشکی" در نقاشی هستند.

2) اگر شیب مثبت باشد: آنگاه خط از پایین به بالا می رود. به عنوان مثال خطوط "سیاه" و "قرمز" در نقاشی هستند.

3) اگر شیب صفر باشد: معادله شکل می گیرد و خط مستقیم مربوطه موازی با محور است. به عنوان مثال یک خط مستقیم "زرد" است.

4) برای یک خانواده از خطوط مستقیم موازی با محور (هیچ مثالی در نقاشی وجود ندارد، به جز خود محور)، شیب وجود ندارد (مماس 90 درجه تعریف نشده است).

هر چه شیب مدول بیشتر باشد، نمودار خط مستقیم تندتر است.

به عنوان مثال، دو خط را در نظر بگیرید. بنابراین، در اینجا، خط شیب تندتری دارد. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ماژول به شما امکان می دهد علامت را نادیده بگیرید، ما فقط به آن علاقه داریم ارزش های مطلقضرایب شیب

به نوبه خود، یک خط مستقیم تندتر از خطوط مستقیم است. .

برعکس: هرچه شیب مدول کمتر باشد، خط مستقیم صاف تر است.

برای مستقیم نابرابری درست است، بنابراین، خط مستقیم صاف تر است. سرسره بچه گانه، برای اینکه کبودی و برآمدگی روی خود نکارید.

چرا این مورد نیاز است؟

عذاب خود را طولانی کنید دانستن حقایق فوق به شما امکان می دهد فوراً اشتباهات خود را ببینید ، به ویژه خطاهای نمودار - اگر نقاشی معلوم شد "به وضوح چیزی اشتباه است". توصیه می شود که شما فورامشخص بود که مثلاً یک خط مستقیم بسیار شیب دار است و از پایین به بالا می رود و یک خط مستقیم بسیار کم عمق و نزدیک به محور است و از بالا به پایین می رود.

در مسائل هندسی، اغلب چندین خط مستقیم ظاهر می شود، بنابراین نشان دادن آنها به نحوی راحت است.

تعیین ها: خطوط مستقیم با حروف کوچک لاتین نشان داده می شوند:. یک گزینه محبوب، تعیین با همان حرف با زیرنویس های طبیعی است. به عنوان مثال، پنج خط مستقیمی که اکنون در نظر گرفتیم را می توان با نشان داد .

از آنجایی که هر خط مستقیم با دو نقطه مشخص می شود، می توان آن را با این نقاط نشان داد: و غیره. نماد به وضوح نشان می دهد که نقاط متعلق به یک خط مستقیم هستند.

زمان کمی گرم کردن:

چگونه معادله خط مستقیم را با شیب بنویسیم؟

اگر نقطه ای متعلق به یک خط مستقیم مشخص و شیب این خط مستقیم مشخص باشد، معادله این خط مستقیم با فرمول بیان می شود:

مثال 1

اگر معلوم است که نقطه متعلق به این خط مستقیم است، یک خط مستقیم را با یک شیب معادل کنید.

راه حل: معادله خط مستقیم با فرمول تهیه می شود ... در این مورد:

پاسخ:

معاینهابتدایی انجام می شود. ابتدا به معادله به دست آمده نگاه می کنیم و مطمئن می شویم که شیب ما در جای خود قرار دارد. دوم، مختصات نقطه باید این معادله را برآورده کند. بیایید آنها را در معادله جایگزین کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که نقطه معادله حاصل را برآورده می کند.

خروجی: معادله صحیح است.

یک مثال پیچیده تر برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 2

معادله یک خط مستقیم را بسازید، اگر معلوم شود که زاویه تمایل آن نسبت به جهت مثبت محور است و نقطه متعلق به این خط مستقیم است.

اگر مشکلی دارید، مطالب تئوری را دوباره بخوانید. دقیق تر، عملی تر، من بسیاری از شواهد را از دست داده ام.

آخرین زنگ به صدا درآمد، جشن فارغ التحصیلی خاموش شد و پشت دروازه مدرسه مادری ما، هندسه تحلیلی در واقع در انتظار ماست. شوخی ها تموم شد…. یا شاید آنها تازه شروع کرده اند =)

با نوستالژیک قلمی را برای آشنا تکان می دهیم و با معادله کلی یک خط مستقیم آشنا می شویم. از آنجایی که این مورد در هندسه تحلیلی کاربرد دارد:

معادله کلی خط مستقیم شکل دارد:، تعدادی اعداد کجا هستند. علاوه بر این، ضرایب همزمانبرابر با صفر نیستند، زیرا معادله معنای خود را از دست می دهد.

بیایید معادله شیب را کت و شلوار و کراوات بپوشیم. ابتدا، اجازه دهید همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم:

عبارت با "x" باید در وهله اول قرار گیرد:

اصولاً معادله قبلاً شکل دارد، اما طبق قوانین آداب ریاضی، ضریب جمله اول (در این مورد) باید مثبت باشد. تغییر علائم:

این ویژگی فنی را به خاطر بسپارید!ضریب اول را (بیشتر اوقات) مثبت می کنیم!

در هندسه تحلیلی، معادله یک خط مستقیم تقریباً همیشه به صورت کلی ارائه می شود. خوب، در صورت لزوم، آسان است که آن را با شیب به نمای "مدرسه" بیاورید (به جز خطوط مستقیم موازی با محور مختصات).

از خودمان بپرسیم که چیست؟ کافیآیا می دانید یک خط مستقیم بسازید؟ دو نقطه اما بیشتر در مورد این مورد دوران کودکی بعدا، در حال حاضر چوب با فلش قانون. هر خط مستقیم دارای یک شیب کاملاً مشخص است که "انطباق" با آن آسان است. بردار.

بردار موازی یک خط را بردار جهت این خط می گویند.... بدیهی است که هر خط مستقیمی دارای بی نهایت بردار جهت است و همه آنها خطی خواهند بود (هم جهت یا نه - مهم نیست).

من بردار جهت را به صورت زیر تعیین می کنم:.

اما یک بردار برای ایجاد یک خط مستقیم کافی نیست، بردار آزاد است و به هیچ نقطه ای از صفحه گره نمی خورد. بنابراین، دانستن نقطه ای که متعلق به خط مستقیم است نیز ضروری است.

چگونه یک خط مستقیم را از یک نقطه و یک بردار جهت برابر کنیم؟

اگر نقطه ای متعلق به یک خط مستقیم و بردار جهت این خط مستقیم مشخص باشد، معادله این خط مستقیم را می توان با فرمول تشکیل داد:

گاهی نامیده می شود معادله متعارف خط .

چه زمانی باید انجام داد یکی از مختصاتصفر است، نمونه های عملی را در زیر مشاهده خواهیم کرد. به هر حال، توجه کنید - هر دو به یکبارهمختصات نمی توانند برابر با صفر باشند، زیرا بردار صفر جهت خاصی را مشخص نمی کند.

مثال 3

یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت را برابر کنید

راه حل: معادله خط مستقیم با فرمول تهیه می شود. در این مورد:

با استفاده از خواص نسبت، از شر کسرها خلاص می شویم:

و معادله را به شکل کلی در می آوریم:

پاسخ:

ترسیم در چنین نمونه هایی، به عنوان یک قاعده، نیازی به انجام ندارد، اما برای درک:

در ترسیم، نقطه شروع، بردار جهت اصلی (می توان آن را از هر نقطه ای در صفحه کنار گذاشت) و خط ساخته شده را می بینیم. به هر حال، در بسیاری از موارد، ساخت یک خط مستقیم با استفاده از یک معادله با شیب راحت تر است. به راحتی می توان معادله خود را به شکل تبدیل کرد و به راحتی یک نقطه دیگر را برای ساخت یک خط مستقیم انتخاب کرد.

همانطور که در ابتدای این بخش ذکر شد، یک خط مستقیم دارای بردارهای جهت بی نهایت زیادی است و همه آنها خطی هستند. به عنوان مثال، من سه بردار از این قبیل ترسیم کردم: ... هر بردار جهت را انتخاب کنیم، نتیجه همیشه همان معادله خط مستقیم خواهد بود.

بیایید معادله یک خط مستقیم را در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت بسازیم:

نسبت را تعیین می کنیم:

هر دو ضلع را بر 2- تقسیم می کنیم و معادله آشنا به دست می آید:

علاقه مندان می توانند به طور مشابه بردارها را آزمایش کنند یا هر بردار خطی دیگری.

حالا بیایید مشکل معکوس را حل کنیم:

چگونه بردار جهت را با معادله کلی یک خط مستقیم پیدا کنیم؟

بسیار ساده:

اگر یک خط با یک معادله کلی در یک سیستم مختصات مستطیل شکل داده شود، آن بردار بردار جهت این خط است.

نمونه هایی از یافتن بردارهای جهت خطوط مستقیم:

این ادعا به ما امکان می دهد فقط یک بردار جهت دار را از یک مجموعه نامتناهی پیدا کنیم، اما به بیشتر نیاز نداریم. اگرچه در برخی موارد توصیه می شود مختصات بردارهای جهت را کاهش دهید:

بنابراین، معادله یک خط مستقیم را تعریف می کند که موازی با محور است و مختصات بردار جهت حاصل به راحتی بر 2- تقسیم می شود و دقیقاً بردار پایه را به عنوان بردار جهت می گیرد. منطقی است.

به طور مشابه، معادله یک خط مستقیم موازی با محور را مشخص می کند و با تقسیم مختصات بردار بر 5، ort را به عنوان بردار جهت به دست می آوریم.

حالا بیایید اجرا کنیم مثال 3 را بررسی کنید... مثال بالا رفت، پس به شما یادآوری می کنم که در آن معادله یک خط مستقیم را در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت ساخته ایم.

در ابتدا، با معادله خط مستقیم بردار جهت آن را بازیابی می کنیم: - همه چیز خوب است، ما بردار اصلی را به دست آوردیم (در برخی موارد، می تواند با بردار اصلی هم خط باشد، و این معمولاً از تناسب مختصات مربوطه به راحتی قابل مشاهده است).

دوما، مختصات نقطه باید معادله را برآورده کند. آنها را در معادله جایگزین می کنیم:

برابری صحیح به دست آمد که بسیار خوشحالیم.

خروجی: کار به درستی انجام شده است.

مثال 4

یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت را برابر کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. راه حل و پاسخ در پایان درس. بسیار توصیه می شود که مطابق الگوریتمی که در نظر گرفته شده است، بررسی کنید. همیشه (در صورت امکان) سعی کنید پیش نویس را بررسی کنید. احمقانه است که اشتباهاتی را مرتکب شویم که 100% قابل اجتناب باشند.

در صورتی که یکی از مختصات بردار جهت صفر باشد، آنها بسیار ساده عمل می کنند:

مثال 5

راه حل: فرمول کار نمی کند زیرا مخرج سمت راست صفر است. یک خروجی وجود دارد! با استفاده از خواص نسبت، فرمول را به شکل بازنویسی می کنیم و بقیه در امتداد یک شیار عمیق می چرخند:

پاسخ:

معاینه:

1) بردار جهت خط مستقیم را بازسازی کنید:
- بردار حاصل با بردار جهت اصلی هم خط است.

2) مختصات نقطه را در معادله جایگزین کنید:

برابری صحیح به دست می آید

خروجی: کار به درستی انجام شده است

این سوال پیش می‌آید، اگر یک نسخه جهانی وجود دارد که به هر حال کار می‌کند، چرا با فرمول زحمت بکشید؟ دو دلیل وجود دارد. اول، فرمول کسری خیلی بهتر به خاطر بسپارید... و ثانیاً عدم وجود فرمول جهانی این است خطر سردرگمی به طور قابل توجهی افزایش می یابدهنگام تعویض مختصات

مثال 6

یک خط مستقیم را در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت برابر کنید.

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید.

بیایید به دو نکته ای که در همه جا وجود دارد بازگردیم:

چگونه از دو نقطه معادله خط مستقیم بسازیم؟

اگر دو نقطه مشخص باشد، معادله یک خط مستقیم که از این نقاط می گذرد را می توان با فرمول جمع آوری کرد:

در واقع، این یک نوع فرمول است و دلیل آن این است: اگر دو نقطه مشخص باشد، بردار بردار جهت این خط خواهد بود. در درس وکتور برای آدمکما ساده ترین مسئله را در نظر گرفتیم - چگونه مختصات یک بردار را با دو نقطه پیدا کنیم. با توجه به این مشکل، مختصات بردار جهت:

توجه داشته باشید : نقاط را می توان "مبادله" کرد و از فرمول استفاده کرد ... چنین راه حلی معادل خواهد بود.

مثال 7

یک خط مستقیم را از دو نقطه برابر کنید .

راه حل: از فرمول استفاده می کنیم:

مخرج ها را شانه می کنیم:

و عرشه را به هم بزنید:

اکنون خلاص شدن از شر اعداد کسری راحت است. در این مورد، باید هر دو قسمت را در 6 ضرب کنید:

پرانتزها را باز می کنیم و معادله را به ذهن می آوریم:

پاسخ:

معاینهواضح است - مختصات نقاط اصلی باید معادله حاصل را برآورده کند:

1) مختصات نقطه را جایگزین کنید:

برابری واقعی

2) مختصات نقطه را جایگزین کنید:

برابری واقعی

خروجی: معادله خط مستقیم صحیح است.

اگر حداقل یکیاز نقاط معادله را برآورده نمی کند، به دنبال خطا باشید.

شایان ذکر است که تأیید گرافیکی در این مورد دشوار است، زیرا می توانید یک خط مستقیم بسازید و ببینید آیا نقاط به آن تعلق دارند یا خیر. ، نه چندان آسان

من همچنین به چند جنبه فنی راه حل اشاره خواهم کرد. شاید در این کار استفاده از فرمول آینه سودمندتر باشد و در همان نقاط معادله بسازید:

اینها کسرهای کوچکتر هستند. اگر بخواهید می توانید راه حل را تا انتها دنبال کنید و نتیجه همان معادله باشد.

نکته دوم این است که به پاسخ نهایی نگاه کنید و بفهمید که آیا می توان آن را بیشتر ساده کرد؟ به عنوان مثال، اگر معادله ای به دست آمد، توصیه می شود که آن را دو برابر کاهش دهید: - معادله همان خط مستقیم را تعیین می کند. با این حال، این در حال حاضر موضوع گفتگو در مورد آن است موقعیت نسبی خطوط مستقیم.

پس از دریافت پاسخ در مثال 7، در هر صورت، بررسی کردم که آیا همه ضرایب معادله بر 2، 3 یا 7 بخش پذیر هستند یا خیر. اگرچه، اغلب، چنین کاهش هایی حتی در حین حل نیز انجام می شود.

مثال 8

یک خط مستقیم بین نقاط را برابر کنید .

این مثالی برای یک راه حل مستقل است که به شما امکان می دهد تکنیک محاسبات را بهتر درک کرده و کار کنید.

مشابه پاراگراف قبل: اگر در فرمول یکی از مخرج ها (مختصات بردار جهت) ناپدید می شود، سپس آن را به صورت بازنویسی می کنیم. باز هم توجه کنید که او چقدر بی دست و پا و گیج کننده به نظر می رسد. من در ارائه مثال های عملی چندان منطقی نمی بینم، زیرا ما قبلاً چنین مشکلی را حل کرده ایم (نگاه کنید به شماره 5، 6).

بردار معمولی خط (بردار عادی)

چه چیزی طبیعی است؟ به عبارت ساده، یک نرمال یک عمود است. یعنی بردار عادی یک خط بر این خط عمود است. بدیهی است که هر خط مستقیم دارای بی نهایت تعداد آنها (و همچنین بردارهای جهت) است و همه بردارهای عادی خط مستقیم هم خط خواهند بود (هم جهت یا نه - بدون تفاوت).

جداسازی با آنها حتی ساده تر از بردارهای جهت خواهد بود:

اگر یک خط با یک معادله کلی در یک سیستم مختصات مستطیل شکل داده شود، آن بردار بردار عادی این خط است.

اگر مختصات بردار جهت باید با دقت از معادله خارج شوند، مختصات بردار معمولی به سادگی "حذف" می شوند.

بردار معمولی همیشه متعامد بردار جهت خط مستقیم است. اجازه دهید با استفاده از متعامد بودن این بردارها را بررسی کنیم محصول نقطه ای:

من با همان معادلات برای بردار جهت مثال می زنم:

آیا می توان با دانستن یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک خط مستقیم را تشکیل داد؟ می توانید آن را در روده خود احساس کنید. اگر بردار نرمال شناخته شده باشد، جهت خط مستقیم به طور منحصر به فرد تعیین می شود - این یک "ساختار سفت و سخت" با زاویه 90 درجه است.

چگونه از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله خط مستقیم بسازیم؟

اگر نقطه ای متعلق به یک خط مستقیم و بردار نرمال این خط مستقیم مشخص باشد، معادله این خط مستقیم با فرمول بیان می شود:

در اینجا همه چیز بدون کسری و شگفتی های دیگر انجام شد. این بردار معمولی ماست. عاشقش باش و احترام =)

مثال 9

یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی را برابر کنید. بردار جهت خط راست را بیابید.

راه حل: از فرمول استفاده می کنیم:

معادله کلی خط مستقیم به دست می آید، بیایید بررسی کنیم:

1) "حذف" مختصات بردار نرمال از معادله: - بله، در واقع، بردار اصلی از شرط به دست آمده است (یا باید بردار خطی به دست آید).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله را برآورده می کند:

برابری واقعی

بعد از اینکه از درستی معادله مطمئن شدیم، قسمت دوم و آسان‌تر کار را انجام می‌دهیم. بردار جهت دهنده خط مستقیم را بیرون می آوریم:

پاسخ:

در نقاشی، وضعیت به این صورت است:

برای اهداف آموزشی، یک کار مشابه برای یک راه حل مستقل:

مثال 10

یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار معمولی را برابر کنید. بردار جهت خط راست را بیابید.

بخش پایانی درس به انواع کمتر رایج، اما مهم معادلات یک خط مستقیم در یک صفحه اختصاص خواهد یافت.

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.
معادله یک خط مستقیم به شکل پارامتریک

معادله یک خط مستقیم در پاره ها به شکلی است که ثابت های غیر صفر هستند. برخی از انواع معادلات را نمی توان به این شکل نشان داد، به عنوان مثال، تناسب مستقیم (زیرا جمله آزاد برابر با صفر است و هیچ راهی برای بدست آوردن یک در سمت راست وجود ندارد).

این، به بیان مجازی، یک نوع معادله "فنی" است. یک کار معمولی این است که معادله کلی یک خط مستقیم را به شکل معادله یک خط مستقیم در قطعات نشان دهیم. چگونه راحت است؟ معادله یک خط مستقیم در بخش ها به شما امکان می دهد به سرعت نقاط تقاطع یک خط مستقیم را با محورهای مختصات پیدا کنید که در برخی از مسائل ریاضیات عالی بسیار مهم است.

نقطه تلاقی خط با محور را پیدا کنید. "بازی" را صفر می کنیم و معادله شکل می گیرد. امتیاز مورد نظر به صورت خودکار به دست می آید:.

به طور مشابه با محور - نقطه ای که در آن خط مستقیم محور ارتجاعی را قطع می کند.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد. مقاله" " من به شما قول دادم که روش دوم حل مسائل ارائه شده برای یافتن مشتق را برای یک نمودار مشخص از یک تابع و یک مماس بر این نمودار تجزیه و تحلیل کنید. در ادامه این روش را تحلیل خواهیم کرد ، از دست نده! چرادر بعدی؟

واقعیت این است که فرمول معادله یک خط مستقیم در آنجا استفاده خواهد شد. البته، شما فقط می توانید این فرمول را نشان دهید و به شما توصیه کنید که آن را یاد بگیرید. اما بهتر است توضیح دهیم - از کجا آمده است (چگونه مشتق شده است). لازم است! اگر آن را فراموش کردید، به سرعت آن را بازیابی کنیددشوار نخواهد بود. همه چیز در زیر به تفصیل آمده است. بنابراین، ما دو نقطه A در صفحه مختصات داریم(x 1; y 1) و B (x 2; y 2)، یک خط مستقیم از طریق نقاط نشان داده شده ترسیم می شود:

در اینجا فرمول خط مستقیم است:

* یعنی هنگام جایگزینی مختصات مشخص نقاط، معادله ای به شکل y = kx + b می گیریم.

** اگر این فرمول به سادگی "ناهموار" باشد، احتمال اشتباه گرفتن با شاخص های موجود وجود دارد. NS... علاوه بر این، شاخص ها را می توان به روش های مختلفی نشان داد، به عنوان مثال:

به همین دلیل است که درک معنی مهم است.

حالا نتیجه گیری از این فرمول. همه چیز خیلی ساده است!

مثلث های ABE و ACF از نظر زاویه تند مشابه هستند (نخستین نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه). از این نتیجه می شود که روابط عناصر مربوطه برابر است، یعنی:

اکنون به سادگی این بخش ها را بر حسب تفاوت مختصات نقاط بیان می کنیم:

البته اگر روابط عناصر را به ترتیب دیگری بنویسید اشتباهی وجود نخواهد داشت (نکته اصلی حفظ مکاتبات است):

نتیجه همان معادله خط مستقیم خواهد بود. این همه است!

یعنی مهم نیست که خود نقاط (و مختصات آنها) چگونه تعیین شده اند، با درک این فرمول همیشه معادله یک خط مستقیم را خواهید یافت.

فرمول را می توان با استفاده از خواص بردارها به دست آورد، اما اصل استنتاج یکسان خواهد بود، زیرا ما در مورد تناسب مختصات آنها صحبت خواهیم کرد. در این مورد، همان شباهت مثلث های قائم الزاویه کار می کند. به نظر من، خروجی توضیح داده شده در بالا واضح تر است)).

مشاهده خروجی از طریق مختصات برداری >>>

بگذارید یک خط مستقیم بر روی صفحه مختصات ایجاد شود که از دو نقطه داده شده A (x 1; y 1) و B (x 2; y 2) عبور می کند. بگذارید روی خط مستقیم یک نقطه دلخواه C را با مختصات ( ایکس; y). ما همچنین دو بردار را نشان می دهیم:

مشخص است که برای بردارهایی که روی خطوط موازی (یا روی یک خط مستقیم) قرار دارند، مختصات مربوطه آنها متناسب است، یعنی:

- برابری نسبت های مختصات مربوطه را می نویسیم:

بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه با مختصات (2؛ 5) و (7: 3) می گذرد را بیابید.

شما حتی مجبور نیستید خود خط مستقیم را بسازید. ما فرمول را اعمال می کنیم:

مهم است که هنگام تنظیم نسبت، مکاتبات را بگیرید. اگر بنویسید نمی توانید اشتباه کنید:

پاسخ: y = -2 / 5x + 29/5 go y = -0.4x + 5.8

برای اینکه مطمئن شوید معادله به‌دست‌آمده به درستی پیدا شده است، حتما بررسی کنید - مختصات داده‌ها را در شرایط نقاط در آن جایگزین کنید. شما باید برابری های صحیح را بدست آورید.

همین. امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.

با احترام، اسکندر.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی در مورد سایت به ما بگویید ممنون می شوم.

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

شما می توانید بی نهایت خطوط مستقیم را در هر نقطه بکشید.

یک خط مستقیم را می توان از میان هر دو نقطه غیرمتناسب ترسیم کرد.

دو خط مستقیم ناهماهنگ در یک صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (از مورد قبلی پیروی می کند).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط مستقیم وجود دارد:

خطوط مستقیم قطع می شوند.

خطوط مستقیم موازی هستند.

خطوط مستقیم قطع می شوند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: در دستگاه مختصات دکارتی، یک خط مستقیم

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله کلی خط مستقیم.

تعریف... هر خط مستقیم روی یک صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

تبر + وو + سی = 0،

با ثابت الف، ببه طور همزمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود مشترک

معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠ 0، B ≠ 0- خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم بسته به هر داده ای می تواند به اشکال مختلف ارائه شود

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی.

تعریف... در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B)

عمود بر خط مستقیم داده شده توسط معادله

تبر + وو + سی = 0.

مثال... معادله خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد را پیدا کنید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل... در A = 3 و B = -1، معادله خط مستقیم را می سازیم: 3x - y + C = 0. برای پیدا کردن ضریب C

مختصات نقطه داده شده A را با عبارت بدست آمده جایگزین می کنیم.

C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1، y 1، z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط مستقیم,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد. بر

در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت شیب سر راست.

مثال... معادله خط مستقیمی که از نقاط A (1، 2) و B (3، 4) می گذرد را بیابید.

راه حل... با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم به نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط مستقیم تبر + وو + سی = 0منجر به فرم:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با پاراگراف با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید وظیفه را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت یک خط مستقیم.

تعریف... هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aa 1 + Va 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم

تبر + وو + سی = 0.

مثال... معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل... معادله خط مستقیم مورد نیاز به شکل زیر جستجو می شود: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x = 1، y = 2ما گرفتیم C / A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0، با تقسیم بر -C، به دست می‌آید:

یا کجا

معنی هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.

مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور OU.

مثال... معادله کلی خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد که نامیده می شود

عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی خط.

علامت ± عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ * C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم،

آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال... یک معادله کلی از خط مستقیم داده شده است 12x - 5y - 65 = 0... برای نوشتن انواع مختلف معادلات لازم است

این خط مستقیم

معادله این خط در بخش ها:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط مستقیم:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما.

تعریف... اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، سپس یک زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2... دو خط مستقیم عمود هستند،

اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0زمانی که ضرایب متناسب باشند موازی هستند

А 1 = λА، В 1 = λВ... اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط مستقیم منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شوند.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد.

تعریف... خط از نقطه M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از نقطه به خط.

قضیه... اگر امتیاز داده شود M (x 0، y 0)،فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0که تعریف میشود:

اثبات... بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده عمود از نقطه افتاد مبرای یک معین

خط مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از نقطه معینی M 0 عمود بر آن می گذرد.

یک خط مستقیم داده شده اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت می شود.

خط مستقیمی که از نقطه K (x 0; y 0) می گذرد و موازی با خط مستقیم y = kx + a است با فرمول پیدا می شود:

y - y 0 = k (x - x 0) (1)

جایی که k شیب خط مستقیم است.

فرمول جایگزین:
خط مستقیمی که از نقطه M 1 (x 1; y 1) می گذرد و موازی با خط مستقیم Ax + By + C = 0 با معادله نشان داده می شود.

A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0. (2)

مثال شماره 1. معادله خط مستقیمی را که از نقطه M 0 می گذرد (2،1-) بسازید و همزمان:
الف) موازی با خط مستقیم 2x + 3y -7 = 0.
ب) عمود بر خط مستقیم 2x + 3y -7 = 0.
راه حل ... معادله را با شیب به صورت y = kx + a نشان می دهیم. برای انجام این کار، تمام مقادیر به جز y را به سمت راست منتقل کنید: 3y = -2x + 7. سپس سمت راست را بر ضریب 3 تقسیم می کنیم. دریافت می کنیم: y = -2 / 3x + 7/3
معادله NK را پیدا کنید که از نقطه K (-2؛ 1) موازی با خط y = -2 / 3 x + 7/3 عبور می کند.
با جایگزینی x 0 = -2، k = -2 / 3، y 0 = 1 دریافت می کنیم:
y-1 = -2 / 3 (x - (- 2))
یا
y = -2 / 3 x - 1/3 یا 3y + 2x +1 = 0

مثال شماره 2. معادله یک خط مستقیم موازی با خط مستقیم 2x + 5y = 0 را بنویسید و به همراه محورهای مختصات مثلثی را که مساحت آن 5 است تشکیل دهید.
راه حل ... از آنجایی که خطوط مستقیم موازی هستند، معادله خط مستقیم مورد نظر 2x + 5y + C = 0 است. مساحت یک مثلث قائم الزاویه که a و b پاهای آن هستند. نقاط تلاقی خط مستقیم مورد نظر را با محورهای مختصات بیابید:
;
.
بنابراین A (-C / 2.0)، B (0، -C / 5). جایگزین در فرمول برای مساحت: ... ما دو راه حل دریافت می کنیم: 2x + 5y + 10 = 0 و 2x + 5y - 10 = 0.

مثال شماره 3. معادله خط مستقیمی را که از نقطه (2-؛ 5) و موازی با خط مستقیم 5x-7y-4 = 0 عبور می کند، ایجاد کنید.
راه حل. این خط مستقیم را می توان با معادله y = 5/7 x - 4/7 (در اینجا a = 5/7) نشان داد. معادله خط مستقیم مورد نیاز y - 5 = 5/7 (x - (-2)) است، یعنی. 7 (y-5) = 5 (x + 2) یا 5x-7y + 45 = 0.

مثال شماره 4. حل مثال 3 (A = 5، B = -7) با استفاده از فرمول (2)، 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0 را پیدا می کنیم.

مثال شماره 5. خط مستقیمی را که از نقطه (2-؛ 5) و موازی با خط مستقیم 7x + 10 = 0 عبور می کند، برابر کنید.
راه حل. در اینجا A = 7، B = 0. فرمول (2) 7 (x + 2) = 0 را می دهد، یعنی. x + 2 = 0. فرمول (1) قابل اجرا نیست، زیرا این معادله را نمی توان با توجه به y حل کرد (این خط موازی با محور ارتین است).

معادله یک خط در یک هواپیما.

همانطور که می دانید، هر نقطه از یک هواپیما با دو مختصات در هر سیستم مختصاتی تعیین می شود. سیستم های مختصات بسته به انتخاب مبدأ و مبدا می توانند متفاوت باشند.

تعریف. خط معادلهنسبت y = f (x) بین مختصات نقاط تشکیل دهنده این خط نامیده می شود.

توجه داشته باشید که معادله خط را می توان به صورت پارامتری بیان کرد، یعنی هر مختصات هر نقطه بر حسب پارامتر مستقل بیان می شود. تی.

یک مثال معمولی، مسیر حرکت یک نقطه متحرک است. در این حالت زمان نقش یک پارامتر را ایفا می کند.

معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.

تعریف. هر خط مستقیم روی یک صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

تبر + وو + سی = 0،

علاوه بر این، ثابت های A، B در همان زمان برابر با صفر نیستند، یعنی. А 2 + В 2  0. این معادله مرتبه اول نامیده می شود معادله کلی خط مستقیم

بسته به مقادیر ثابت های A، B و C، موارد خاص زیر ممکن است:

C = 0، A  0، B  0 - خط از مبدأ عبور می کند

A = 0، B  0، C  0 (By + C = 0) - خط مستقیم با محور Ox موازی است.

B = 0، A  0، C  0 (Ax + C = 0) - خط مستقیم با محور Oy موازی است.

B = C = 0، A  0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است.

A = C = 0، B 0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است.

معادله یک خط مستقیم بسته به شرایط اولیه می تواند به اشکال مختلف ارائه شود.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با مولفه های (A, B) عمود بر خط مستقیم داده شده با معادله Ax + Vy + C = 0 است.

مثال.معادله خط مستقیمی را که از نقطه A (1، 2) عمود بر بردار می گذرد بیابید. (3, -1).

در A = 3 و B = -1، معادله خط مستقیم را می‌سازیم: 3x - y + C = 0. برای یافتن ضریب C، مختصات یک نقطه A را در عبارت حاصل جایگزین می‌کنیم.

دریافت می کنیم: 3 - 2 + C = 0، بنابراین C = -1.

مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) در فضا داده شود، سپس معادله خط مستقیمی که از این نقاط می گذرد:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد.

در صفحه، معادله خط مستقیم نوشته شده در بالا ساده شده است:

اگر x 1  x 2 و x = x 1، اگر x 1 = x 2.

کسر
= k نامیده می شود شیبسر راست.

مثال.معادله خط مستقیمی که از نقاط A (1، 2) و B (3، 4) می گذرد را بیابید.

با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم به نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 به شکل کاهش یابد:

و تعیین کنید
، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود معادله یک خط مستقیم با شیبک.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با پاراگراف با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید مشخصات یک خط مستقیم را از طریق یک نقطه و یک بردار جهت یک خط مستقیم را وارد کنید.

تعریف. هر بردار غیر صفر ( 1,  2) که اجزای آن شرط A 1 + В 2 = 0 را برآورده می کند، بردار هدایت کننده خط نامیده می شود.

تبر + وو + سی = 0.

مثال.معادله یک خط مستقیم با بردار جهت را پیدا کنید (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2).

معادله خط مستقیم مورد نظر به این صورت جستجو می شود: Ax + By + C = 0. طبق تعریف، ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1A + (-1) B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط به این شکل است: Ax + Ay + C = 0 یا x + y + C / A = 0.

برای x = 1، y = 2، C / A = -3 را به دست می آوریم، یعنی. معادله مورد نیاز:

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 C 0، با تقسیم بر –C، به دست می‌آید:
یا

، جایی که

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب آمختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Ox است و ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy.

مثال.معادله کلی خط راست x - y + 1 = 0 داده شده است معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره بیابید.

C = 1،
، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر دو طرف معادله Ax + Vy + C = 0 بر عدد تقسیم شود
که نامیده می شود عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcos + ysin - p = 0 -

معادله عادی یک خط مستقیم

علامت  عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که С< 0.

p طول عمود کاهش یافته از مبدأ به خط مستقیم و  زاویه ای است که توسط این عمود با جهت مثبت محور Ox ایجاد می شود.

مثال.یک معادله کلی از خط مستقیم 12x - 5y - 65 = 0 داده شده است که نیاز به نوشتن انواع معادلات این خط مستقیم است.

معادله این خط مستقیم در قطعات:

معادله این خط مستقیم با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله معمولی خط:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم موازی با محورها یا عبور از مبدا.

مثال.خط مستقیم بخش های مثبت مساوی را در محورهای مختصات قطع می کند. اگر مساحت مثلث تشکیل شده توسط این قطعات 8 سانتی متر مربع باشد، یک معادله خط مستقیم ایجاد کنید.

معادله خط مستقیم به شکل زیر است:
, a = b = 1; ab / 2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 با بیان مسئله مطابقت ندارد.

جمع:
یا x + y - 4 = 0.

مثال.معادله خط مستقیمی که از نقطه A (2-، -3) و مبدا می گذرد را رسم کنید.

معادله خط مستقیم به شکل زیر است:
، که در آن x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما.

تعریف. اگر دو خط مستقیم y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2 داده شود، آنگاه زاویه تند بین این خطوط مستقیم به صورت تعریف می شود.

اگر k 1 = k 2 دو خط مستقیم موازی باشند.

اگر k 1 = -1 / k 2 باشد، دو خط مستقیم عمود هستند.

قضیه. خطوط مستقیم Ax + Vu + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 وقتی ضرایب A متناسب باشند 0 = موازی هستند 1 =  الف، ب 1 =  ب. اگر همچنین ج 1 =  C، سپس خطوط مستقیم منطبق می شوند.

مختصات نقطه تقاطع دو خط مستقیم به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شود.

معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه معین می گذرد

عمود بر این خط

تعریف. خط مستقیمی که از نقطه M 1 (x 1, y 1) می گذرد و عمود بر خط مستقیم y = kx + b با معادله نشان داده می شود:

فاصله از نقطه به خط.

قضیه. اگر نقطه M (x 0 ، در 0 ، سپس فاصله تا خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 به صورت تعریف می شود

اثبات بگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M روی یک خط مستقیم داده شده است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:

مختصات x 1 و y 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از یک نقطه معین M 0 عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد.

اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت می شود.

مثال.زاویه بین خطوط مستقیم را تعیین کنید: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  =  / 4.

مثال.نشان دهید که خطوط مستقیم 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عمود هستند.

ما پیدا می کنیم: k 1 = 3/5، k 2 = -5/3، k 1 k 2 = -1، بنابراین، خطوط مستقیم عمود هستند.

مثال.رئوس مثلث A (0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1) داده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

معادله ضلع AB را پیدا می کنیم:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نیاز عبارت است از: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b.

k = ... سپس y =
... زیرا ارتفاع از نقطه C عبور می کند، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند:
از آنجا b = 17. مجموع:
.

پاسخ: 3x + 2y - 34 = 0.

هندسه تحلیلی در فضا

معادله یک خط در فضا.

معادله یک خط مستقیم در فضا در امتداد یک نقطه و

بردار هدایت کننده

یک خط دلخواه و یک بردار بگیرید (m, n, p) موازی با خط داده شده. بردار تماس گرفت بردار جهتسر راست.

در خط مستقیم، دو نقطه دلخواه M 0 (x 0، y 0، z 0) و M (x، y، z) را در نظر بگیرید.

M 1

اجازه دهید بردار شعاع این نقاط را به صورت نشان دهیم و ، بدیهی است که - =
.

زیرا بردارها
و خطی، سپس رابطه
= t، جایی که t برخی از پارامترها است.

مجموع، می توانید بنویسید: = + تی

زیرا این معادله با مختصات هر نقطه از خط مستقیم ارضا می شود، سپس معادله حاصل - معادله پارامتریک خط مستقیم.

این معادله برداری را می توان به صورت مختصات نشان داد:

با تبدیل این سیستم و معادل سازی مقادیر پارامتر t، معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا را به دست می آوریم:

تعریف. کسینوس جهتخط مستقیم، کسینوس های جهت بردار هستند ، که با فرمول های زیر قابل محاسبه است:

;

.

از اینجا می گیریم: m: n: p = cos: cos: cos.

اعداد m، n، p نامیده می شوند دامنه هاسر راست. زیرا یک بردار غیر صفر است، پس m، n و p نمی توانند همزمان صفر باشند، اما یک یا دو عدد از این اعداد می توانند صفر باشند. در این حالت در معادله خط مستقیم باید اعداد مربوطه را برابر با صفر قرار داد.

معادله یک خط مستقیم در گذر از فضا

از طریق دو نقطه

اگر در یک خط مستقیم در فضا دو نقطه دلخواه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) را علامت گذاری کنیم، مختصات این نقاط باید معادله خط مستقیم را برآورده کند. به دست آمده در بالا: