Išspręskite lygčių sistemą internete, naudodami atvirkštinės matricos metodą. Cramerio taisyklė. Atvirkštinės matricos metodas
Pirmoje dalyje apžvelgėme šiek tiek teorinės medžiagos, pakeitimo metodą, taip pat sistemų lygčių terminų sudėjimo metodą. Visiems, kurie atėjo į svetainę per šį puslapį, rekomenduoju perskaityti pirmąją dalį. Galbūt kai kuriems lankytojams medžiaga pasirodys per paprasta, tačiau sprendžiant sistemas tiesines lygtis padariau daug svarbios pastabos ir apskritai išvados dėl matematinių uždavinių sprendimo.
O dabar mes analizuosime Cramerio taisyklę, taip pat tiesinių lygčių sistemos sprendimą naudojant atvirkštinę matricą (matricos metodas). Visa medžiaga pateikiama paprastai, išsamiai ir aiškiai, beveik visi skaitytojai galės išmokti išspręsti sistemas aukščiau nurodytais metodais.
Pirmiausia išsamiai išnagrinėjame Cramerio taisyklę dviejų tiesinių lygčių sistemai dviejuose nežinomuose. Kam? - Po visko pati paprasčiausia sistema gali būti išspręsta mokykliniu metodu, termino papildymu!
Faktas yra tas, kad net jei kartais, bet yra tokia užduotis - išspręsti dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą naudojant Cramerio formules. Antra, paprastesnis pavyzdys padės suprasti, kaip daugiau naudoti Cramerio taisyklę sunkus atvejis– trijų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemos.
Be to, yra tiesinių lygčių sistemos su dviem kintamaisiais, kurias patartina išspręsti tiksliai pagal Cramerio taisyklę!
Apsvarstykite lygčių sistemą
Pirmajame žingsnyje apskaičiuojame determinantą , jis vadinamas pagrindinis sistemos determinantas.
Gauso metodas.
Jei , tada sistema turi unikalų sprendimą ir norėdami rasti šaknis, turime apskaičiuoti dar du determinantus:
ir
Praktikoje minėti kvalifikatoriai taip pat gali būti žymimi lotyniška raide.
Lygties šaknys randamos pagal formules:
,
7 pavyzdys
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą 
Sprendimas: Matome, kad lygties koeficientai gana dideli, dešinėje pusėje yra po kablelio su kableliu. Praktinėse matematikos užduotyse kablelis gana retas svečias, šią sistemą ėmiau iš ekonometrinės problemos.
Kaip išspręsti tokią sistemą? Galite pabandyti išreikšti vieną kintamąjį kitu, tačiau tokiu atveju tikrai gausite siaubingų įmantrių trupmenų, su kuriomis dirbti itin nepatogu, o sprendimo dizainas atrodys tiesiog siaubingai. Antrąją lygtį galite padauginti iš 6 ir atimti iš termino, tačiau čia bus rodomos tos pačios trupmenos.
Ką daryti? Tokiais atvejais į pagalbą ateina Cramerio formulės.
;
;
Atsakymas: ,
Abi šaknys turi begalinę uodegą ir yra apytiksliai, o tai yra gana priimtina (ir netgi įprasta) ekonometrijos problemoms spręsti.
Komentarų čia nereikia, nes užduotis išspręsta pagal paruoštas formules, tačiau yra vienas įspėjimas. Naudojant šį metodą, privalomas Užduoties fragmentas yra toks: "Taigi sistema turi unikalų sprendimą". Priešingu atveju recenzentas gali jus nubausti už Cramerio teoremos nepagarbą.
Nebus nereikalinga patikrinti, ką patogu atlikti skaičiuotuvu: apytiksles reikšmes pakeičiame kiekvienos sistemos lygties kairėje pusėje. Dėl to su nedidele klaida turėtų būti gauti skaičiai, esantys dešinėje pusėje.
8 pavyzdys
Išreikškite savo atsakymą paprastomis netinkamosiomis trupmenomis. Padaryti čekį.
Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys (dailaus dizaino pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje).
Mes kreipiamės į Cramerio taisyklės svarstymą trijų lygčių sistemai su trimis nežinomaisiais: 
Mes randame pagrindinį sistemos determinantą: 
Jei , tai sistema turi be galo daug sprendinių arba yra nenuosekli (sprendinių neturi). Šiuo atveju Cramerio taisyklė nepadės, reikia naudoti Gauso metodą.
Jei , tada sistema turi unikalų sprendimą ir norėdami rasti šaknis, turime apskaičiuoti dar tris determinantus: 
, 
, 
Ir galiausiai atsakymas apskaičiuojamas pagal formules: 
Kaip matote, atvejis „trys iš trijų“ iš esmės nesiskiria nuo atvejo „du po du“, laisvųjų terminų stulpelis nuosekliai „eina“ iš kairės į dešinę išilgai pagrindinio determinanto stulpelių.
9 pavyzdys
Išspręskite sistemą naudodami Cramerio formules. 
Sprendimas: Išspręskime sistemą naudodami Cramerio formules. 
, todėl sistema turi unikalų sprendimą.
Atsakymas: 
.
Tiesą sakant, čia ir vėl nėra ką ypatingo komentuoti, atsižvelgiant į tai, kad sprendimas priimamas pagal paruoštas formules. Bet yra pora pastabų.
Pasitaiko, kad atlikus skaičiavimus gaunamos „blogosios“ neredukuojamos trupmenos, pavyzdžiui: .
Rekomenduoju tokį „gydymo“ algoritmą. Jei po ranka nėra kompiuterio, darome taip:
1) Skaičiavimuose gali būti klaida. Kai tik pamatysite „blogą“ šūvį, turite nedelsdami patikrinti, ar ar sąlyga perrašyta teisingai. Jei sąlyga perrašoma be klaidų, tada determinantus reikia perskaičiuoti naudojant išplėtimą kitoje eilutėje (stulpelyje).
2) Jei atlikus patikrinimą klaidų nerasta, greičiausiai užduoties sąlygoje buvo padaryta rašybos klaida. Tokiu atveju ramiai ir ATSARGIAI išspręskite užduotį iki galo, o tada būtinai patikrink ir po sprendimo surašyti jį švaria kopija. Žinoma, patikrinti trupmeninį atsakymą yra nemaloni užduotis, tačiau tai bus nuginkluojantis argumentas mokytojui, kuris, na, labai mėgsta dėti minusą už bet kokį blogą dalyką. Kaip elgtis su trupmenomis, išsamiai aprašyta 8 pavyzdžio atsakyme.
Jei po ranka turite kompiuterį, tuomet patikrinkite jį automatine programa, kurią galite nemokamai atsisiųsti pačioje pamokos pradžioje. Beje, palankiausia programa naudotis iš karto (net prieš pradedant sprendimą), iškart pamatysite tarpinį žingsnį, kuriame padarėte klaidą! Tas pats skaičiuotuvas automatiškai apskaičiuoja sistemos sprendimą matricos metodas.
Antra pastaba. Retkarčiais atsiranda sistemų, kurių lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui: 
Čia pirmoje lygtyje kintamojo nėra, antrojoje – nėra. Tokiais atvejais labai svarbu teisingai ir ATSARGIAI užrašyti pagrindinį determinantą: 
– vietoj trūkstamų kintamųjų dedami nuliai.
Beje, determinantus racionalu atidaryti su nuliais eilutėje (stulpelyje), kurioje yra nulis, nes skaičiavimų yra pastebimai mažiau.
10 pavyzdys
Išspręskite sistemą naudodami Cramerio formules. 
Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys (pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje).
4 lygčių su 4 nežinomaisiais sistemai Cramerio formulės rašomos pagal panašius principus. Galite pamatyti gyvą pavyzdį Determinant Properties pamokoje. Sumažinus determinanto eilę – penki 4 eilės determinantai yra gana išsprendžiami. Nors užduotis jau labai primena profesoriaus batą ant laimingo studento krūtinės.
Sistemos sprendimas naudojant atvirkštinę matricą
Atvirkštinės matricos metodas iš esmės yra ypatinga byla matricos lygtis(Žr. nurodytos pamokos pavyzdį Nr. 3).
Norėdami ištirti šį skyrių, turite mokėti išplėsti determinantus, rasti atvirkštinę matricą ir atlikti matricos dauginimą. Atitinkamos nuorodos bus pateiktos aiškinimo eigoje.
11 pavyzdys
Išspręskite sistemą matricos metodu 
Sprendimas: Mes rašome sistemą matricos forma:
, kur 
Pažvelkite į lygčių sistemą ir matricas. Kokiu principu rašome elementus į matricas, manau, visi supranta. Vienintelis komentaras: jei lygtyse trūktų kai kurių kintamųjų, tada atitinkamose matricos vietose reikėtų dėti nulius.
Atvirkštinę matricą randame pagal formulę:
, kur yra perkelta matrica algebriniai priedai atitinkami matricos elementai .
Pirmiausia panagrinėkime determinantą:
Čia determinantas išplečiamas pirmąja eilute.
Dėmesio! Jei , tai atvirkštinė matrica neegzistuoja, o sistemos išspręsti matricos metodu neįmanoma. Šiuo atveju sistema sprendžiama pašalinant nežinomuosius (Gauso metodas).
Dabar reikia suskaičiuoti 9 nepilnamečius ir įrašyti juos į nepilnamečių matricą 
Nuoroda: Pravartu žinoti dvigubų indeksų reikšmę tiesinėje algebroje. Pirmasis skaitmuo yra eilutės numeris, kuriame yra duotas elementas. Antrasis skaitmuo yra stulpelio, kuriame yra elementas, numeris: 
Tai yra, dvigubas indeksas rodo, kad elementas yra pirmoje eilutėje, trečiame stulpelyje, o, pavyzdžiui, elementas yra 3 eilutėje, 2 stulpelyje
Apsvarstykite tiesinių algebrinių lygčių sistema(LĖTAS) dėl n nežinomas x 1 , x 2 , ..., x n :
Šią sistemą „sulankstyta“ forma galima parašyti taip:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Pagal matricos daugybos taisyklę, nagrinėjamą tiesinių lygčių sistemą galima įrašyti matricos forma kirvis=b, kur
,
,.
Matrica A, kurio stulpeliai yra atitinkamų nežinomųjų koeficientai, o eilutės yra nežinomųjų koeficientai atitinkamoje lygtyje, vadinama sistemos matrica. stulpelio matrica b, kurios elementai yra dešiniosios sistemos lygčių dalys, vadinamas dešiniosios dalies matrica arba tiesiog dešinėje sistemos pusėje. stulpelio matrica x , kurio elementai yra nežinomi nežinomieji, vadinamas sisteminis sprendimas.
Tiesinių algebrinių lygčių sistema, parašyta kaip kirvis=b, yra matricos lygtis.
Jei sistemos matrica neišsigimęs, tada jis turi atvirkštinė matrica o tada sistemos sprendimas kirvis=b pateikiama pagal formulę:
x=A -1 b.
Pavyzdys Išspręskite sistemą 
matricos metodas.
Sprendimas rasti atvirkštinę sistemos koeficientų matricos matricą
Apskaičiuokite determinantą išplėsdami pirmąją eilutę:
Tiek, kiek Δ ≠ 0 , tada A -1 egzistuoja.
Atvirkštinė matrica rasta teisingai.
Raskime sistemos sprendimą 
Vadinasi, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Egzaminas: 
7. Kronecker-Capelli teorema apie tiesinių algebrinių lygčių sistemos suderinamumą.
Tiesinių lygčių sistema atrodo kaip:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Čia pateikti a i j ir b i (i = ; j = ), o x j yra nežinomi realieji skaičiai. Naudodamiesi matricų sandaugos sąvoka, sistemą (5.1) galime perrašyti tokia forma:
čia A = (a i j) yra matrica, susidedanti iš sistemos (5.1) nežinomųjų koeficientų, kuri vadinama sistemos matrica, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - stulpelio vektoriai, sudaryti atitinkamai iš nežinomų x j ir laisvųjų terminų b i .
Užsakyta kolekcija n vadinami tikrieji skaičiai (c 1 , c 2 ,..., c n). sisteminis sprendimas(5.1) jei dėl šių skaičių pakeitimo vietoj atitinkamų kintamųjų x 1 , x 2 ,..., x n kiekviena sistemos lygtis virsta aritmetine tapatybe; kitaip tariant, jei egzistuoja vektorius C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T, kad AC B.
Iškviečiama sistema (5.1). Bendras, arba išsprendžiamas jei jis turi bent vieną sprendimą. Sistema vadinama nesuderinamas, arba netirpios jei jis neturi sprendimų.
,
suformuotas priskiriant laisvųjų terminų stulpelį matricai A dešinėje, vadinamas išplėstinė matricų sistema.
Sistemos (5.1) suderinamumo klausimas sprendžiamas tokia teorema.
Kronecker-Capelli teorema . Tiesinių lygčių sistema yra nuosekli tada ir tik tada, kai matricų A ir A eilės sutampa, t.y. r(A) = r(A) = r.
Sistemos (5.1) sprendimų rinkiniui M yra trys galimybės:
1) M = (šiuo atveju sistema nenuosekli);
2) M susideda iš vieno elemento, t.y. sistema turi unikalų sprendimą (šiuo atveju sistema vadinama tam tikras);
3) M susideda iš daugiau nei vieno elemento (tada sistema vadinama neapibrėžtas). Trečiuoju atveju sistema (5.1) turi begalinį sprendinių skaičių.
Sistema turi unikalų sprendimą tik tada, kai r(A) = n. Šiuo atveju lygčių skaičius yra ne mažesnis už nežinomųjų skaičių (mn); jei m>n, tada m-n lygtys yra kitų pasekmės. Jei 0 Norint išspręsti savavališką tiesinių lygčių sistemą, reikia mokėti išspręsti sistemas, kuriose lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui, taip vadinama. Cramer tipo sistemos: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemos (5.3) sprendžiamos vienu iš šių būdų: 1) Gauso metodu arba nežinomųjų pašalinimo būdu; 2) pagal Cramerio formules; 3) matricos metodu. 2.12 pavyzdys. Ištirkite lygčių sistemą ir išspręskite ją, jei ji suderinama: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Sprendimas. Išrašome išplėstinę sistemos matricą:
Apskaičiuokime pagrindinės sistemos matricos rangą. Akivaizdu, kad, pavyzdžiui, antros eilės minoras viršutiniame kairiajame kampe = 7 0; trečios eilės nepilnamečiai, turintys jį, yra lygūs nuliui: Todėl pagrindinės sistemos matricos rangas yra 2, t.y. r(A) = 2. Norėdami apskaičiuoti išplėstinės matricos A rangą, apsvarstykite besiribojantį minorą taigi, išplėstinės matricos rangas yra r(A) = 3. Kadangi r(A) r(A), sistema yra nenuosekli. Tebūnie n-osios eilės kvadratinė matrica Matrica A -1 vadinama atvirkštinė matrica matricos A atžvilgiu, jei A * A -1 = E, kur E yra n-osios eilės tapatumo matrica. Tapatybės matrica- tokia kvadratinė matrica, kurioje visi elementai išilgai pagrindinės įstrižainės, einantys iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį kampą, yra vienetai, o likusieji yra nuliai, pavyzdžiui: atvirkštinė matrica gali egzistuoti tik kvadratinėms matricoms tie. toms matricoms, kuriose yra tiek pat eilučių ir stulpelių. Kad matrica turėtų atvirkštinę matricą, būtina ir pakanka, kad ji būtų neišsigimusi. Vadinama matrica A = (A1, A2,...A n). neišsigimęs jei stulpelių vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Tiesiškai nepriklausomų matricos stulpelių vektorių skaičius vadinamas matricos rangu. Todėl galime sakyti, kad atvirkštinei matricai egzistuoti būtina ir pakanka, kad matricos rangas būtų lygus jos matmeniui, t.y. r = n. Matricai A raskite atvirkštinę matricą A -1 Sprendimas: Užrašome matricą A ir dešinėje priskiriame tapatybės matricą E. Naudodami Jordano transformacijas, matricą A redukuojame iki tapatybės matricos E. Skaičiavimai pateikti 31.1 lentelėje. Skaičiavimų teisingumą patikrinkime pradinę matricą A ir atvirkštinę matricą A padauginę -1. Dėl matricos dauginimo gaunama tapatybės matrica. Todėl skaičiavimai yra teisingi. Atsakymas: Matricos lygtys gali atrodyti taip: AX = B, XA = B, AXB = C, kur A, B, C yra pateiktos matricos, X yra norima matrica. Matricinės lygtys sprendžiamos lygtį padauginus iš atvirkštinių matricų.
Pavyzdžiui, norėdami rasti matricą iš lygties, šią lygtį turite padauginti iš kairėje esančios. Todėl norėdami rasti lygties sprendimą, turite rasti atvirkštinę matricą ir padauginti ją iš matricos, esančios dešinėje lygties pusėje. Kitos lygtys sprendžiamos panašiai. Išspręskite lygtį AX = B, jei Sprendimas: Kadangi matricos atvirkštinė vertė yra lygi (žr. 1 pavyzdį) Kartu su kitais jie taip pat randa pritaikymą matricos metodai. Šie metodai yra pagrįsti tiesine ir vektorine matrica algebra. Tokie metodai naudojami sudėtingiems ir daugiamačiams ekonominiams reiškiniams analizuoti. Dažniausiai šie metodai taikomi, kai reikia palyginti organizacijų ir jų struktūrinių padalinių funkcionavimą. Matricinių analizės metodų taikymo procese galima išskirti keletą etapų. Pirmajame etape formuojama ekonominių rodiklių sistema ir jos pagrindu sudaroma pradinių duomenų matrica, kuri yra lentelė, kurios atskirose eilutėse rodomi sistemos numeriai (i = 1,2,....,n), o išilgai vertikalių grafikų – rodiklių skaičiai (j = 1,2,....m). Antrame etape kiekvienam vertikaliam stulpeliui atskleidžiama didžiausia iš turimų rodiklių verčių, kuri laikoma vienetu. Po to visos šioje skiltyje atsispindinčios sumos dalijamos iš didžiausios reikšmės ir susidaro standartizuotų koeficientų matrica. Trečiajame etape visi matricos komponentai yra kvadratiniai. Jei jie turi skirtingą reikšmę, kiekvienam matricos rodikliui priskiriamas tam tikras svorio koeficientas k. Pastarojo vertę nustato ekspertas. Ant paskutinio ketvirtasis etapas rastos reitingų reikšmės Rj sugrupuoti didėjimo arba mažėjimo tvarka. Minėti matriciniai metodai turėtų būti naudojami, pavyzdžiui, atliekant įvairių investicinių projektų lyginamąją analizę, taip pat vertinant kitus organizacijų ūkinės veiklos rodiklius. 2 tema. TIŠINIŲ ALGEBRINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS. Pagrindinės sąvokos. 1 apibrėžimas. sistema m tiesines lygtis su n nežinomas yra tokios formos sistema: kur ir yra skaičiai. 2 apibrėžimas. Sistemos (I) sprendimas yra tokia nežinomųjų aibė, kurioje kiekviena šios sistemos lygtis virsta tapatybe. 3 apibrėžimas. Sistema (I) vadinama Bendras jei jis turi bent vieną sprendimą ir nesuderinamas jei jis neturi sprendimų. Sąnarių sistema vadinama tam tikras jei jis turi unikalų sprendimą, ir neapibrėžtas kitaip. 4 apibrėžimas. Tipo lygtis paskambino nulis, ir formos lygtis paskambino nesuderinamas. Akivaizdu, kad lygčių sistema, turinti nenuoseklią lygtį, yra nenuosekli. 5 apibrėžimas. Dvi tiesinių lygčių sistemos vadinamos lygiavertis jei kiekvienas vienos sistemos sprendimas yra kitos ir atvirkščiai, kiekvienas antrosios sistemos sprendimas yra pirmosios. Tiesinių lygčių sistemos matricinis žymėjimas. Apsvarstykite sistemą (I) (žr. §1). Pažymėti: Nežinomųjų koeficientų matrica Matrica – laisvų narių kolona Matrica – nežinomųjų stulpelis 1 apibrėžimas. Matrica vadinama pagrindinė sistemos matrica(I), o matrica yra padidinta sistemos (I) matrica. Pagal matricos lygybės apibrėžimą, sistema (I) atitinka matricos lygybę: Dešinioji šios lygybės pusė pagal matricų sandaugos apibrėžimą ( žr. 3 apibrėžimą, 5 dalies 1 skyrių) gali būti koeficientas: Lygybė (2)
paskambino sistemos matricos žymėjimas (I). Tiesinių lygčių sistemos sprendimas Cramerio metodu. Įleisti sistemą (I) (žr. §1) m=n, t.y. lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinė sistemos matrica yra neišsigimusi, t.y. . Tada sistema (I) iš §1 turi unikalų sprendimą kur ∆ = A vadinamas pagrindiniu sistemos determinantas(I), ∆ i gaunamas iš determinanto Δ pakeičiant i-toji stulpelis į laisvųjų sistemos narių stulpelį (I). Pavyzdys. Išspręskite sistemą Cramerio metodu: Pagal formules (3)
Apskaičiuojame sistemos determinantus: Norėdami gauti determinantą, pirmą determinanto stulpelį pakeitėme laisvųjų narių stulpeliu; 2-ąjį stulpelį determinante pakeitę laisvųjų narių stulpeliu, gauname ; panašiai, determinanto 3 stulpelį pakeitę laisvųjų narių stulpeliu, gauname . Sisteminis sprendimas: Tiesinių lygčių sistemų sprendimas naudojant atvirkštinę matricą. Įleisti sistemą (I) (žr. §1) m=n o pagrindinė sistemos matrica yra neišsigimusi. Mes rašome sistemą (I) matricos forma ( žr. §2): nes matrica A yra neišsigimęs, tada jis turi atvirkštinę matricą ( žr. 1 skyriaus 1 teoremą 6). Padauginkite abi lygties puses (2)
tada į matricą Pagal atvirkštinės matricos apibrėžimą . Iš lygybės (3)
mes turime Išspręskite sistemą naudodami atvirkštinę matricą Pažymėti Pavyzdyje (§ 3) apskaičiavome determinantą, taigi, matricą A turi atvirkštinę matricą. Tada galioja (4)
, t.y. Raskite matricą ( žr. §6 1 skyrių) Gauso metodas. Pateikiame tiesinių lygčių sistemą: Būtina rasti visus sistemos (I) sprendimus arba įsitikinti, kad sistema yra nenuosekli. 1 apibrėžimas.Pavadinkime elementarią sistemos transformaciją(I) bet kurį iš trijų veiksmų: 1) nulinės lygties išbraukimas; 2) prie abiejų lygties dalių pridedant atitinkamas kitos lygties dalis, padaugintas iš skaičiaus l; 3) sistemos lygtyse terminų sukeitimas taip, kad nežinomieji su vienodais skaičiais visose lygtyse užimtų tas pačias vietas, t.y. jei, pavyzdžiui, 1 lygtyje pakeitėme 2 ir 3 narius, tai tą patį reikia daryti visose sistemos lygtyse. Gauso metodas susideda iš to, kad sistema (I) elementariųjų transformacijų pagalba redukuojama į lygiavertę sistemą, kurios sprendimas randamas tiesiogiai arba nustatomas jos neišsprendžiamumas. Kaip aprašyta §2, sistemą (I) vienareikšmiškai lemia jos išplėstinė matrica, o bet kuri elementari sistemos (I) transformacija atitinka elementariąją išplėstinės matricos transformaciją: Transformacija 1) atitinka nulinės eilutės ištrynimą matricoje, 2) transformacija yra lygiavertė jos kitos eilutės pridėjimui, padaugintą iš skaičiaus l, 3) yra lygiavertė stulpelių pertvarkymui matricoje. Nesunku pastebėti, kad, priešingai, kiekviena elementari matricos transformacija atitinka elementariąją sistemos (I) transformaciją. Atsižvelgiant į tai, kas buvo pasakyta, vietoj operacijų su sistema (I), dirbsime su šios sistemos papildyta matrica. Matricoje 1 stulpelis susideda iš koeficientų at x 1, 2 stulpelis - iš koeficientų ties x 2 ir tt Pertvarkant stulpelius, reikia atsižvelgti į tai, kad ši sąlyga pažeidžiama. Pavyzdžiui, jei sukeisime 1 ir 2 stulpelius, dabar 1 stulpelyje bus koeficientai x 2, o 2 stulpelyje - koeficientai ties x 1. Sistemą (I) išspręsime Gauso metodu. 1. Nubraukite visas nulines matricos eilutes, jei tokių yra (t. y. perbraukite visas nulines lygtis sistemoje (I). 2. Patikrinkite, ar tarp matricos eilučių yra eilutė, kurioje visi elementai, išskyrus paskutinį, yra lygūs nuliui (vadinkime tokią eilutę nenuoseklia). Akivaizdu, kad tokia linija atitinka nenuoseklią lygtį sistemoje (I), todėl sistema (I) neturi sprendinių, ir čia procesas baigiasi. 3. Tegul matricoje nėra nenuoseklių eilučių (sistemoje (I) nėra nenuoseklių lygčių). Jeigu 11 = 0, tada 1-oje eilutėje randame kokį nors elementą (išskyrus paskutinę), kuris skiriasi nuo nulio ir perstatome stulpelius taip, kad 1-oje eilutėje 1-oje vietoje nulio nebūtų. Dabar darome prielaidą, kad (t. y. sukeičiame atitinkamus terminus sistemos (I) lygtyse). 4. 1 eilutę padauginkite iš ir rezultatą pridėkite prie 2 eilės, tada 1 eilutę padauginkite iš ir pridėkite rezultatą prie 3 eilės ir t.t. Akivaizdu, kad šis procesas prilygsta nežinomybės pašalinimui x 1 iš visų (I) sistemos lygčių, išskyrus 1-ąją. Naujoje matricoje 1-ame stulpelyje po elementu gauname nulius a 11: 5. Nubraukite visas matricos nulines eilutes, jei yra, patikrinkite, ar nėra nenuoseklios eilutės (jei yra, tada sistema yra nenuosekli ir sprendimas tuo baigiasi). Patikrinkim ar a 22 / =0, jei taip, tada 2-oje eilutėje randame elementą, kuris skiriasi nuo nulio, ir pertvarkome stulpelius taip, kad . Toliau 2-os eilutės elementus padauginame iš Atlikti veiksmai prilygsta nežinomybės pašalinimui x 2 iš visų (I) sistemos lygčių, išskyrus 1-ąją ir 2-ąją. Kadangi eilučių skaičius yra baigtinis, todėl po baigtinio žingsnių skaičiaus gausime, kad arba sistema nenuosekli, arba prieisime prie žingsnių matricos ( žr. 2 apibrėžimą, 7 dalies 1 skyrių) : Užrašykime lygčių sistemą, atitinkančią matricą . Ši sistema yra lygiavertė sistemai (I) Iš paskutinės lygties išreiškiame ; pakeičiame į ankstesnę lygtį, randame ir pan., kol gauname . 1 pastaba. Taigi, sprendžiant sistemą (I) Gauso metodu, pasiekiame vieną iš šių atvejų. 1. Sistema (I) nenuosekli. 2. Sistema (I) turi unikalų sprendimą, jei matricos eilučių skaičius yra lygus nežinomųjų (). 3. Sistema (I) turi begalinį sprendinių skaičių, jei matricos eilučių skaičius yra mažesnis už nežinomųjų skaičių (). Taigi galioja tokia teorema. Teorema. Tiesinių lygčių sistema yra arba nenuosekli, arba turi unikalų sprendimą, arba yra begalinis sprendinių rinkinys. Pavyzdžiai. Išspręskite lygčių sistemą Gauso metodu arba įrodykite jos nenuoseklumą: b) a) Perrašykime pateiktą sistemą į formą: Pradinės sistemos 1-ąją ir 2-ąją lygtis sukeitėme, kad supaprastintume skaičiavimus (vietoj trupmenų, naudodami tokią permutaciją, operuosime tik su sveikaisiais skaičiais). Sudarome išplėstą matricą: Nulinių eilučių nėra; nėra nesuderinamų linijų, ; 1-ąjį nežinomąjį neįtraukiame iš visų sistemos lygčių, išskyrus 1-ąją. Norėdami tai padaryti, padauginame 1-osios matricos eilutės elementus iš „-2“ ir pridedame juos prie atitinkamų 2-osios eilutės elementų, o tai yra lygiavertė 1-osios lygties padauginimui iš „-2“ ir pridėjimui prie 2 lygtis. Tada 1-os eilės elementus padauginame iš „-3“ ir pridedame prie atitinkamų trečios eilės elementų, t.y. 2-ąją pateiktos sistemos lygtį padauginkite iš „-3“ ir pridėkite prie 3-iosios lygties. Gauk Matrica atitinka lygčių sistemą). - (žr. 3 apibrėžimo 1 skyriaus 7 dalį). Atvirkštinės matricos metodas yra ypatingas atvejis matricos lygtis Išspręskite sistemą matricos metodu Sprendimas: Sistemą rašome matricine forma.Sistemos sprendimą randame pagal formulę (žr. paskutinę formulę) Atvirkštinę matricą randame pagal formulę: Pirmiausia panagrinėkime determinantą: Čia determinantas išplečiamas pirmąja eilute. Dėmesio! Jei, tada atvirkštinė matrica neegzistuoja, o sistemos išspręsti matricos metodu neįmanoma. Šiuo atveju sistema sprendžiama nežinomųjų eliminavimo metodu (Gauso metodas). Dabar reikia suskaičiuoti 9 nepilnamečius ir įrašyti juos į nepilnamečių matricą Nuoroda: Pravartu žinoti dvigubų indeksų reikšmę tiesinėje algebroje. Pirmasis skaitmuo yra eilutės, kurioje yra elementas, numeris. Antrasis skaitmuo yra stulpelio, kuriame yra elementas, numeris: Sprendžiant geriau detaliai aprašyti nepilnamečių apskaičiavimą, nors turint tam tikrą patirtį, juos galima koreguoti skaičiuoti su klaidomis žodžiu. Nepilnamečių skaičiavimo tvarka visiškai nesvarbu, čia aš juos skaičiavau iš kairės į dešinę eilė po eilės. Nepilnamečius buvo galima skaičiuoti stulpeliais (taip dar patogiau). Šiuo būdu: yra algebrinių priedų matrica. yra perkelta algebrinių priedų matrica. Pasikartosiu, mūsų atlikti žingsniai buvo detaliai analizuojami pamokoje. Kaip rasti atvirkštinę matricą? Dabar rašome atvirkštinę matricą: Jokiu būdu neįvedami į matricą, tai rimtai apsunkins tolesnius skaičiavimus. Padalijimas turėtų būti atliktas, jei visi skaičiai matricoje dalijasi iš 60 be liekanos. Tačiau šiuo atveju labai reikia pridėti minusą prie matricos, priešingai, tai supaprastins tolesnius skaičiavimus. Belieka atlikti matricos dauginimą. Pamokoje galite išmokti padauginti matricas Veiksmai su matricomis. Beje, yra lygiai toks pats pavyzdys. Atkreipkite dėmesį, kad padalijimas iš 60 atliktas paskutinis. Atsakymas: 12 pavyzdys Išspręskite sistemą naudodami atvirkštinę matricą. Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys (pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje). Universaliausias būdas išspręsti sistemą yra nežinomųjų pašalinimo metodas (Gausso metodas). Ne taip paprasta paaiškinti algoritmą prieinamu būdu, bet aš pabandžiau!. Linkime sėkmės! Atsakymai: 3 pavyzdys:
6 pavyzdys:
8 pavyzdys:
,
. Galite peržiūrėti arba atsisiųsti šio pavyzdžio sprendimo pavyzdį (nuoroda žemiau). 10, 12 pavyzdžiai: Mes ir toliau svarstome tiesinių lygčių sistemas. Ši pamoka yra trečioji šia tema. Jei turite miglotą supratimą apie tai, kas apskritai yra tiesinių lygčių sistema, jaučiatės kaip arbatinukas, tada rekomenduoju pradėti nuo pagrindų puslapyje Kitas, naudinga studijuoti pamoką. Gauso metodas yra paprastas! Kodėl? Garsus vokiečių matematikas Johanas Carlas Friedrichas Gaussas per savo gyvenimą gavo pripažinimą kaip didžiausią visų laikų matematiką, genijų ir netgi pravardę „Matematikos karalius“. Ir viskas išradinga, kaip žinote, yra paprasta! Beje, į pinigus papuola ne tik čiulptukai, bet ir genijai – Gauso portretas puikavosi ant 10 Vokietijos markių kupiūros (prieš euro įvedimą), o Gaussas iki šiol paslaptingai šypsosi vokiečiams iš paprastų pašto ženklų. Gauso metodas yra paprastas tuo, kad Jį įvaldyti PAKAKNA VENTKOKĖS MOKINIO ŽINIŲ. Turi mokėti pridėti ir dauginti! Neatsitiktinai pasirenkamųjų matematikos dalykų mokytojai dažnai svarsto nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodą. Paradoksalu, tačiau Gauso metodas mokiniams sukelia daugiausiai sunkumų. Nieko stebėtino – viskas apie metodiką, o aš pabandysiu prieinama forma papasakoti apie metodo algoritmą. Pirmiausia šiek tiek susisteminame žinias apie tiesinių lygčių sistemas. Tiesinių lygčių sistema gali: 1) Turėkite unikalų sprendimą. Gauso metodas yra galingiausias ir universaliausias sprendimas ieškant sprendimo bet koks tiesinių lygčių sistemos. Kaip prisimename Cramerio taisyklė ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Nežinomų nuoseklaus pašalinimo metodas šiaip veda mus prie atsakymo! Šioje pamokoje dar kartą apžvelgsime Gauso metodą atvejui Nr. 1 (vienintelis sistemos sprendimas), straipsnis skirtas 2-3 punktų situacijoms. Atkreipiu dėmesį, kad pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai. Iš pamokos grįžkime prie paprasčiausios sistemos Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą? Pirmas žingsnis – rašyti išplėstinė matricų sistema: Nuoroda:
Rekomenduoju prisimintiterminai
tiesinė algebra.Sistemos matrica
yra matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų, šiame pavyzdyje sistemos matrica:
.
Išplėstinė sistemos matrica
yra ta pati sistemos matrica ir laisvųjų narių stulpelis, šiuo atveju:
. Bet kuri iš matricų gali būti vadinama tiesiog matrica dėl trumpumo. Parašius išplėstinę matricų sistemą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie dar vadinami elementarios transformacijos. Yra šios elementarios transformacijos: 1) Stygos matricos galima pertvarkyti vietos. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite saugiai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes: 2) Jei matricoje yra (arba atsirado) proporcingų (ypatingu atveju - identiškų) eilučių, tai seka Ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą 3) Jei transformacijų metu matricoje atsirado nulinė eilutė, tai taip pat seka Ištrinti. Aš, žinoma, nebrėžiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje tik nuliai. 4) Matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti) bet kuriam skaičiui ne nulis. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą. Čia patartina pirmąją eilutę padalyti iš -3, o antrąją eilutę padauginti iš 2: 5) Ši transformacija sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų nėra ir nieko sudėtingo. Į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio. Apsvarstykite mūsų matricą iš praktinio pavyzdžio: . Pirmiausia labai detaliai aprašysiu transformaciją. Padauginkite pirmąją eilutę iš -2: Praktiškai, žinoma, jie netapo taip išsamiai, bet rašo trumpiau: "Aš perrašau matricą ir perrašau pirmą eilutę:" Pirmas stulpelis pirmas. Žemiau turiu gauti nulį. Todėl aukščiau esantį vienetą padauginu iš -2:, o pirmąjį pridedu prie antros eilutės: 2 + (-2) = 0. Rezultatą rašau antroje eilutėje: „Dabar antra stulpelis. Virš -1 kartas -2: . Pirmąją pridedu prie antrosios eilutės: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: " „Ir trečia kolona. Virš -5 kartus -2: . Pirmą eilutę pridedu prie antros eilutės: -7 + 10 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: Prašome gerai pagalvoti apie šį pavyzdį ir suprasti nuoseklaus skaičiavimo algoritmą, jei tai suprantate, tada Gauso metodas yra praktiškai „kišenėje“. Bet, žinoma, mes vis dar dirbame su šia pertvarka. Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio ! DĖMESIO: laikomos manipuliacijos negali naudoti, jei jums pasiūloma užduotis, kur matricos pateikiamos „pačios“. Pavyzdžiui, su "klasika" matricos jokiu būdu neturėtumėte pertvarkyti ko nors matricų viduje! Grįžkime prie mūsų sistemos. Ji beveik baigta. Parašykime padidintą sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, sumažinkime ją iki laiptuotas vaizdas: (1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Beje, kodėl pirmąją eilutę dauginame iš -2? Norint gauti nulį apačioje, o tai reiškia, kad reikia atsikratyti vieno kintamojo antroje eilutėje. (2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3. Elementariųjų transformacijų paskirtis–
konvertuoti matricą į žingsninę formą: Elementariųjų transformacijų rezultate gavome lygiavertis originali lygčių sistema: Dabar sistemą reikia „atsukti“ priešinga kryptimi – iš apačios į viršų šis procesas vadinamas atvirkštinis Gauso metodas. Apatinėje lygtyje jau turime galutinį rezultatą: . Apsvarstykite pirmąją sistemos lygtį ir pakeiskite ja jau žinomą „y“ reikšmę: Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemai išspręsti reikalingas Gauso metodas. 1 pavyzdys Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą: Parašykime išplėstinę sistemos matricą: Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo eigoje: Pirmiausia pažiūrėkite į viršutinį kairįjį skaičių: Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Dabar gerai. Viršutiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra organizuotas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius: Nuliai gaunami tiesiog „sunkios“ transformacijos pagalba. Pirma, mes susiduriame su antrąja eilute (2, -1, 3, 13). Ką reikia padaryti, kad pirmoje pozicijoje būtų nulis? Reikia prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginame iš -2: (-2, -4, 2, -18). Ir mes nuosekliai atliekame (vėl mintyse arba pagal juodraštį) papildymą, prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, jau padaugintą iš -2: Rezultatas rašomas antroje eilutėje: Panašiai elgiamės ir su trečiąja eilute (3, 2, -5, -1). Norėdami gauti nulį pirmoje pozicijoje, jums reikia prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginame iš -3: (-3, -6, 3, -27). IR prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš -3: Rezultatas rašomas trečioje eilutėje: Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir užrašomi vienu žingsniu: Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų ir rezultatų „įterpimo“ tvarka nuoseklus o dažniausiai taip: pirma perrašome pirmą eilutę, o patys tyliai išsipučiame - NUOSTOLIAI ir ATSARGIAI: Šiame pavyzdyje tai padaryti nesunku, antrą eilutę padalijame iš -5 (nes visi ten esantys skaičiai dalijasi iš 5 be liekanos). Tuo pačiu metu trečią eilutę padalijame iš -2, nes kuo mažesnis skaičius, tuo paprastesnis sprendimas: Paskutiniame elementariųjų transformacijų etape čia reikia gauti dar vieną nulį: Už tai prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -2: Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3. Elementariųjų transformacijų rezultate buvo gauta lygiavertė pradinė tiesinių lygčių sistema: Dabar pradedama naudoti atvirkštinė Gauso metodo eiga. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų. Trečioje lygtyje mes jau turime galutinį rezultatą: Pažvelkime į antrąją lygtį: . „z“ reikšmė jau žinoma, taigi: Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Y“ ir „Z“ žinomi, reikalas mažas: Atsakymas: Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai nėra sunku ir greita. 2 pavyzdys Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, užbaigimo pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje. Reikėtų pažymėti, kad jūsų veiksmų eiga gali nesutapti su mano veiksmų eiga, ir tai yra Gauso metodo bruožas. Bet atsakymai turi būti tie patys! 3 pavyzdys Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą: Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti padalinį. Bėda ta, kad pirmame stulpelyje išvis nėra nė vieno, todėl perstačius eilutes nieko nepavyks išspręsti. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau taip: (1) Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrąją eilutę iš -1 ir atlikome pirmosios ir antrosios eilučių pridėjimą, o antroji eilutė nepasikeitė. Dabar viršuje kairėje -1, kuris mums puikiai tinka. Kas nori gauti +1, gali atlikti papildomą gestą: padauginkite pirmąją eilutę iš -1 (pakeiskite jos ženklą). (2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 3, buvo įtraukta į trečią eilutę. (3) Pirmoji eilutė buvo padauginta iš -1, iš esmės tai skirta grožiui. Trečiosios eilutės ženklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas į antrą vietą, taigi antruoju „žingsniu“ gavome norimą vienetą. (4) Antroji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie trečios eilutės. (5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3. Blogas ženklas, rodantis skaičiavimo klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei gautume kažką panašaus į žemiau, ir atitinkamai Apmokestiname atvirkštinį žingsnį, projektuojant pavyzdžius pati sistema dažnai neperrašoma, o lygtys „paimtos tiesiai iš duotosios matricos“. Primenu, kad atvirkštinis judėjimas veikia iš apačios į viršų: Atsakymas: 4 pavyzdys Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, jis yra šiek tiek sudėtingesnis. Gerai, jei kas nors susipainios. Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano. Paskutinėje dalyje aptariame kai kurias Gauso algoritmo ypatybes. Antroji savybė yra tokia. Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose „žingsniuose“ įdėjome arba –1, arba +1. Ar gali būti kitų skaičių? Kai kuriais atvejais jie gali. Apsvarstykite sistemą: Čia, viršutiniame kairiajame „žingsnelyje“, turime dvikovą. Bet pastebime faktą, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2 be likučio – ir dar iš dviejų ir šešių. O viršuje, kairėje esanti deuce mums tiks! Pirmajame žingsnyje turite atlikti šias transformacijas: prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -1; prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Taigi pirmajame stulpelyje gausime norimus nulius. Arba kitas hipotetinis pavyzdys: Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Galite drąsiai išmokti spręsti sistemas kitais metodais (Cramerio metodas, matricos metodas) pažodžiui iš pirmo karto – yra labai griežtas algoritmas. Tačiau norint jaustis užtikrintai Gauso metodu, turėtumėte „užpildyti ranką“ ir išspręsti bent 5–10 dešimties sistemų. Todėl iš pradžių gali kilti painiavos, klaidų skaičiavimuose, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško. Lietingas rudens oras už lango....Todėl kiekvienam sudėtingesnis savarankiško sprendimo pavyzdys: 5 pavyzdys Gauso metodu išspręskite 4 tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemą. Tokia užduotis praktikoje nėra tokia reta. Manau, kad net arbatinukas, detaliai išstudijavęs šį puslapį, tokios sistemos sprendimo algoritmą supranta intuityviai. Iš esmės tas pats – tik daugiau veiksmo. Pamokoje nagrinėjami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų. Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendru sprendimu. Čia galite pataisyti svarstomą Gauso metodo algoritmą. Linkime sėkmės! Sprendimai ir atsakymai: 2 pavyzdys: Užsirašykime padidintą sistemos matricą ir elementariųjų transformacijų pagalba perkelkime ją į žingsninę formą. Atvirkštinis judėjimas:
4 pavyzdys: parašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą: Atliktos konversijos: Su antruoju „žingsniu“ viskas dar blogiau
, jo „kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba -1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą (3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1.
.
Atvirkštinės matricos egzistavimo sąlygos teorema
Atvirkštinės matricos radimo algoritmas
1 pavyzdys 
Matricinių lygčių sprendimas
Matricos metodas ekonominėje analizėje
.
.
, t.y.
.
.
,
,
. .
. (5)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
. (aš) .
.
ir pridėkite su atitinkamais 3-os eilutės elementais, tada - 2-os eilės elementais ir pridėkite su atitinkamais 4-os eilės elementais ir pan., kol gausime nulius po 22 /
.
,
.
;
.
.
.
, kur yra atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų transponuota matrica .
Tai yra, dvigubas indeksas rodo, kad elementas yra pirmoje eilutėje, trečiame stulpelyje, o, pavyzdžiui, elementas yra 3 eilutėje, 2 stulpelyje
yra atitinkamų matricos elementų nepilnamečių matrica .
Kartais jis gali būti ne visiškai padalintas, t.y. gali gauti „blogąsias“ trupmenas. Ką daryti tokiais atvejais, jau sakiau, kai analizavome Cramerio taisyklę.
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Neturi sprendimų (būti nesuderinamas).
ir išspręskite jį Gauso metodu.
. Kokiu principu fiksuojami koeficientai, manau, visi mato. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tik perbrauktas dizainas.
. Šioje matricoje paskutinės trys eilutės yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: 
.
. Šis veiksmas yra labai naudingas, nes supaprastina tolesnius matricos pakeitimus.
, ir prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš -2: . Dabar pirmoji eilutė gali būti padalinta "atgal" iš -2: . Kaip matote, eilutė, kuri yra PRIDĖTA LI – nepasikeitė. Yra visada eilutė pakeista, PRIE KURIOS PRIDĖTA UT.
Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Linija paprastai padauginama žodžiu arba juodraštyje, o protiniai skaičiavimų eiga yra maždaug tokia:
» »
. Kurdami užduotį, jie paprastu pieštuku tiesiogiai nubrėžia „kopėčias“, taip pat apjuosite skaičius, esančius ant „laiptelių“. Pats terminas „pakopinis vaizdas“ nėra visiškai teorinis, mokslinėje ir mokomojoje literatūroje jis dažnai vadinamas trapecinis vaizdas arba trikampis vaizdas.
Ir kartoju, mūsų tikslas yra suvesti matricą į laiptuotą formą naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko pradėti imtis veiksmų?
Čia turėtų būti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks ir -1 (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip tradiciškai susiklostė taip, kad ten dažniausiai dedamas vienetas. Kaip organizuoti padalinį? Mes žiūrime į pirmąjį stulpelį - turime baigtą įrenginį! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes: 
O pačių skaičiavimų protinę eigą jau apsvarsčiau aukščiau.
Pabandykite patys išanalizuoti šį veiksmą - mintyse padauginkite antrą eilutę iš -2 ir atlikite sudėjimą.
Saunus.
, tada su didele tikimybe galima teigti, kad elementariųjų transformacijų metu buvo padaryta klaida.
Taip, čia yra dovana: 
.
Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui: 
Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie šią akimirką jau kalbėjau pamokoje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius: 
Beje, tai yra gana paprastas pavyzdys, nes pirmajame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių transformacijų reikia atlikti mažiau. .
. Čia mums tinka ir antrojo „laiptelio“ trivietis, nes 12 (vieta, kur reikia gauti nulį) dalijasi iš 3 be liekanos. Būtina atlikti tokią transformaciją: prie trečios eilutės pridėkite antrąją eilutę, padaugintą iš -4, dėl to bus gautas mums reikalingas nulis.
Atliktos elementarios transformacijos:
(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1.Dėmesio!
Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės, aš griežtai nerekomenduoju atimti - klaidos rizika labai padidėja. Mes tiesiog sulenkiame!
(2) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos.pastaba
kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir -1, o tai dar patogiau.
(3) Prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš 5.
(4) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.
Atsakymas: 
.
(1) Antroji eilutė buvo pridėta prie pirmosios eilutės. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas viršutiniame kairiajame „žingsnyje“.
(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 6, buvo įtraukta į trečią eilutę.
(4) Trečioji eilutė, padauginta iš -3, buvo pridėta prie antrosios eilutės.
Antrame žingsnyje reikalingas daiktas gaunamas
.
(5) Prie trečios eilutės pridedama antra, padauginta iš 6.
(6) Antroji eilutė buvo padauginta iš -1, trečioji eilė padalinta iš -83..Akivaizdu, kad plokštuma vienareikšmiškai nulemta trijų skirtingų taškų, kurie nėra vienoje tiesėje. Todėl trijų raidžių plokštumų žymėjimai yra gana populiarūs – pagal jiems priklausančius taškus, pavyzdžiui,; .Jei laisvi nariai
