این مقاله استخراج معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد که از دو می گذرد امتیاز داده شدهدر یک سیستم مختصات مستطیلی که روی یک صفحه قرار دارد. ما معادله یک خط مستقیم را که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی می گذرد استخراج می کنیم. چندین مثال مرتبط با مطالب پوشش داده شده را به صورت بصری نشان داده و حل خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قبل از به دست آوردن معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، باید به نکاتی توجه کرد. یک اصل بدیهی وجود دارد که می گوید از طریق دو نقطه غیرمتناسب در یک صفحه می توان یک خط مستقیم و فقط یک را رسم کرد. به عبارت دیگر، دو نقطه داده شده از صفحه توسط یک خط مستقیم که از این نقاط می گذرد تعیین می شود.

اگر صفحه توسط سیستم مختصات مستطیلی Oxy داده شود، هر خط مستقیمی که در آن نشان داده شده است با معادله خط مستقیم روی صفحه مطابقت دارد. همچنین ارتباطی با بردار جهت دهنده خط مستقیم وجود دارد که این داده ها برای ترسیم معادله خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده می گذرد کافی است.

مثالی از حل یک مشکل مشابه را در نظر بگیرید. لازم است معادله یک خط مستقیم a که از دو نقطه ناهمخوان M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) واقع در سیستم مختصات دکارتی عبور می کند، بسازیم.

در معادله متعارف یک خط مستقیم روی یک صفحه، به شکل x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y، یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با یک خط مستقیم مشخص می شود که در نقطه ای با مختصات M با آن قطع می شود. 1 (x 1, y 1) با بردار راهنما a → = (a x , a y) .

لازم است معادله متعارف خط مستقیم a را بسازیم که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) عبور می کند.

خط مستقیم a دارای بردار جهت M 1 M 2 → با مختصات (x 2 - x 1، y 2 - y 1) است، زیرا نقاط M 1 و M 2 را قطع می کند. ما داده های لازم را به منظور تبدیل معادله متعارف با مختصات بردار جهت M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) و مختصات نقاط M 1 که روی آنها قرار دارد به دست آورده ایم. (x 1, y 1) و M 2 (x 2 , y 2) . معادله ای به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 به دست می آوریم.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

پس از محاسبات، معادلات پارامتریک یک خط مستقیم را در صفحه ای که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) عبور می کند، می نویسیم. معادله ای به شکل x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ یا x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ بدست می آوریم y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

بیایید نگاهی دقیق تر به چند مثال بیندازیم.

مثال 1

معادله خط مستقیمی را که از 2 نقطه داده شده با مختصات M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 عبور می کند بنویسید.

راه حل

معادله متعارف خط مستقیمی که در دو نقطه با مختصات x 1 , y 1 و x 2 , y 2 قطع می شود به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 می باشد. با توجه به شرایط مشکل، ما داریم که x 1 \u003d - 5، y 1 \u003d 2 3، x 2 \u003d 1، y 2 \u003d - 1 6. لازم است مقادیر عددی را در معادله x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 جایگزین کنید. از اینجا دریافتیم که معادله متعارف به شکل x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 خواهد بود.

پاسخ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

اگر حل مشکلی با نوع دیگری از معادله ضروری است، برای شروع می توانید به معادله متعارف بروید، زیرا رسیدن به هر دیگری از آن آسان تر است.

مثال 2

معادله کلی خط مستقیمی را که از نقاطی با مختصات M 1 (1, 1) و M 2 (4, 2) در سیستم مختصات O x y می گذرد بنویسید.

راه حل

ابتدا باید معادله متعارف یک خط معین را که از دو نقطه داده شده می گذرد، یادداشت کنید. معادله ای به شکل x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 بدست می آوریم.

معادله متعارف را به شکل مورد نظر می آوریم، سپس به دست می آوریم:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

پاسخ: x - 3 y + 2 = 0 .

نمونه هایی از این وظایف در مورد بحث قرار گرفته است کتاب های درسی مدرسهدر کلاس جبر وظایف مدرسه در معادله یک خط مستقیم با فاکتور شیب، با شکل y = k x + b. اگر باید مقدار شیب k و عدد b را پیدا کنید، که در آن معادله y \u003d k x + b خطی را در سیستم Oxy تعریف می کند که از نقاط M 1 (x 1, y 1) و M می گذرد. 2 (x 2، y 2)، که در آن x 1 ≠ x 2 . وقتی x 1 = x 2 ، سپس شیب مقدار بی نهایت را به خود می گیرد و خط مستقیم M 1 M 2 با یک معادله کلی ناقص به شکل x - x 1 = 0 تعریف می شود. .

چون نقطه ها M 1و M 2روی یک خط مستقیم هستند، سپس مختصات آنها معادله y 1 = k x 1 + b و y 2 = k x 2 + b را برآورده می کند. حل سیستم معادلات y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b نسبت به k و b ضروری است.

برای انجام این کار، k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x پیدا می کنیم 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

با چنین مقادیر k و b، معادله خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده می گذرد به شکل زیر است: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

همین الان این را به خاطر بسپار مقدار زیادیفرمول ها کار نخواهند کرد برای این کار باید تعداد تکرارها را در حل مسائل افزایش داد.

مثال 3

معادله یک خط مستقیم با شیب عبور از نقاط با مختصات M 2 (2، 1) و y = k x + b را بنویسید.

راه حل

برای حل مشکل، از فرمولی با شیب استفاده می کنیم که به شکل y \u003d k x + b است. ضرایب k و b باید چنان مقداری داشته باشند که این معادله مطابق با خط مستقیمی باشد که از دو نقطه با مختصات M 1 (- 7 , - 5) و M 2 (2 , 1) می گذرد.

نکته ها M 1و M 2بر روی یک خط مستقیم قرار دارند، سپس مختصات آنها باید معادله y = k x + b برابری صحیح را معکوس کنند. از اینجا دریافت می کنیم که - 5 = k · (- 7) + b و 1 = k · 2 + b. بیایید معادله را در سیستم ترکیب کنیم - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b و حل کنیم.

پس از تعویض، آن را دریافت می کنیم

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

اکنون مقادیر k = 2 3 و b = - 1 3 در معادله y = k x + b جایگزین می شوند. دریافتیم که معادله مورد نظر که از نقاط داده شده می گذرد معادله ای خواهد بود که به شکل y = 2 3 x - 1 3 است.

این روش حل، هزینه را از پیش تعیین می کند تعداد زیادیزمان. راهی وجود دارد که در آن کار به معنای واقعی کلمه در دو مرحله حل می شود.

ما معادله متعارف خط مستقیمی را که از M 2 (2، 1) و M 1 (- 7، - 5) می گذرد، می نویسیم که به شکل x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) است. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

حالا بیایید به معادله شیب برویم. دریافت می کنیم که: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

پاسخ: y = 2 3 x - 1 3 .

اگر در فضای سه بعدی یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z با دو نقطه داده شده غیر منطبق با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) وجود داشته باشد. خط مستقیم M که از آنها 1 M 2 عبور می کند، لازم است معادله این خط به دست آید.

معادلات متعارف شکل x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z و معادلات پارامتری شکل x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + داریم. a z λ می توانند خطی را در سیستم مختصات O x y z تنظیم کنند که از نقاط دارای مختصات (x 1, y 1, z 1) با بردار جهت دهنده a → = (a x, a y, a z) عبور می کند.

راست M 1 M 2 دارای یک بردار جهت به شکل M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ، جایی که خط از نقطه M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) می گذرد 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2)، بنابراین معادله متعارف می تواند به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z باشد. 2 - z 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1، به نوبه خود، پارامتری x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ یا x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

شکلی را در نظر بگیرید که 2 نقطه داده شده در فضا و معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد.

مثال 4

معادله یک خط مستقیم تعریف شده در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z فضای سه بعدی را بنویسید که از دو نقطه داده شده با مختصات M 1 (2, - 3, 0) و M 2 (1, - 3, - 5) عبور می کند. ) .

راه حل

ما باید معادله متعارف را پیدا کنیم. زیرا ما در مورد صحبت می کنیمدر مورد فضای سه بعدی، به این معنی که وقتی یک خط مستقیم از نقاط داده شده عبور می کند، معادله متعارف مورد نظر به شکل x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - خواهد بود. z 1 z 2 - z 1.

با شرط، داریم که x 1 = 2، y 1 = - 3، z 1 = 0، x 2 = 1، y 2 = - 3، z 2 = - 5. از این رو می توان معادلات لازم را به صورت زیر نوشت:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

پاسخ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

تعریف.هر خطی در صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

Ah + Wu + C = 0،

و ثابت های A، B در همان زمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود معادله کلی یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت A، Bو C، موارد خاص زیر ممکن است:

C \u003d 0، A ≠ 0، B ≠ 0 - خط از مبدأ عبور می کند

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - خط موازی با محور Ox است

B \u003d 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - خط موازی با محور Oy است

B \u003d C \u003d 0، A ≠ 0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است

A \u003d C \u003d 0، B ≠ 0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است

معادله یک خط مستقیم را می توان در آن نشان داد اشکال گوناگونبسته به شرایط اولیه

معادله یک خط مستقیم با یک نقطه و یک بردار نرمال

تعریف.در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با مولفه های (A, B) عمود بر خط داده شده توسط معادله Ax + By + C = 0 است.

مثال. معادله خط مستقیمی را که از نقطه A(1, 2) عمود بر (3, -1) می گذرد بیابید.

راه حل. در A = 3 و B = -1، معادله یک خط مستقیم را می سازیم: 3x - y + C = 0. برای یافتن ضریب C، مختصات نقطه داده شده A را در عبارت حاصل جایگزین می کنیم. 3 - 2 + C = 0، بنابراین، C = -1. مجموع: معادله مورد نظر: 3x - y - 1 \u003d 0.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد

بگذارید دو نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) در فضا داده شود، سپس معادله خط مستقیمی که از این نقاط می گذرد:

اگر هر یک از مخرج ها برابر با صفر باشد، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد. در صفحه، معادله خط مستقیم نوشته شده در بالا ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2 و x = x 1 اگر x 1 = x 2.

کسر = k نامیده می شود فاکتور شیبسر راست.

مثال. معادله خط مستقیمی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

راه حل.با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک شیب

اگر مجموع Ax + Wu + C = 0 منجر به شکل زیر شود:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود معادله یک خط مستقیم با شیبک.

معادله یک خط مستقیم با بردار نقطه و جهت

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید تخصیص یک خط مستقیم را از طریق یک نقطه و یک بردار جهت دهنده یک خط مستقیم را وارد کنید.

تعریف.هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)، که اجزای آن شرط A α 1 + B α 2 = 0 را برآورده می کند، بردار هدایت کننده خط نامیده می شود.

Ah + Wu + C = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل.معادله خط مستقیم مورد نظر را به شکل Ax + By + C = 0 جستجو می کنیم. مطابق با تعریف، ضرایب باید شرایط را برآورده کنند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. A = B.

سپس معادله یک خط مستقیم به این شکل است: Ax + Ay + C = 0، یا x + y + C / A = 0. برای x = 1، y = 2، C / A = -3، یعنی. معادله مورد نظر:

معادله یک خط مستقیم در پاره ها

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ah + Wu + C = 0 C≠0، با تقسیم بر –C، به دست می‌آید: یا

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب آمختصات نقطه تقاطع خط با محور x است و ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy.

مثال.با توجه به معادله کلی خط x - y + 1 = 0. معادله این خط را در پاره ها بیابید.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

معادله عادی یک خط مستقیم

اگر هر دو طرف معادله Ax + Vy + C = 0 در عدد ضرب شوند ، که نامیده می شود عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

معادله عادی یک خط مستقیم علامت ± فاکتور نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

مثال. با توجه به معادله کلی خط مستقیم 12x - 5y - 65 \u003d 0. لازم است بنویسید انواع متفاوتمعادلات این خط

معادله این خط مستقیم در قطعات:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم موازی با محورها یا عبور از مبدا.

مثال. خط مستقیم بخش های مثبت مساوی را در محورهای مختصات قطع می کند. اگر مساحت مثلثی که این قطعات تشکیل می دهند 8 سانتی متر مربع باشد معادله یک خط مستقیم را بنویسید.

راه حل.معادله خط مستقیم به شکل زیر است: , ab /2 = 8; ab=16; a=4، a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

مثال. معادله خط مستقیمی که از نقطه A (2-، -3) و مبدا می گذرد را بنویسید.

راه حل. معادله یک خط مستقیم به شکل زیر است: ، جایی که x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

زاویه بین خطوط در یک صفحه

تعریف.اگر دو خط y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2 داده شود، آنگاه زاویه تند بین این خطوط به صورت تعریف می شود.

.

اگر k 1 = k 2 دو خط موازی باشند. اگر k 1 = -1 / k 2 باشد، دو خط عمود هستند.

قضیه.خطوط مستقیم Ax + Vy + C \u003d 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 زمانی که ضرایب A 1 \u003d λA ، B 1 \u003d λB متناسب باشند موازی هستند. اگر همچنین С 1 = λС، خطوط بر هم منطبق هستند. مختصات نقطه تقاطع دو خط به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط پیدا می شود.

معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک خط معین می گذرد

تعریف.خطی که از نقطه M 1 (x 1، y 1) می گذرد و عمود بر خط y \u003d kx + b با معادله نشان داده می شود:

فاصله از نقطه به خط

قضیه.اگر یک نقطه M(x 0، y 0) داده شود، فاصله تا خط Ax + Vy + C \u003d 0 به صورت تعریف می شود.

.

اثباتبگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M به خط داده شده رها شده است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:

(1)

مختصات x 1 و y 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از یک نقطه معین M 0 عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.

مثال. زاویه بین خطوط را تعیین کنید: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

مثال. نشان دهید که خطوط 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عمود هستند.

راه حل. ما پیدا می کنیم: k 1 \u003d 3/5، k 2 \u003d -5/3، k 1 * k 2 \u003d -1، بنابراین، خطوط عمود هستند.

مثال. رئوس مثلث A(0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1) داده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

راه حل. معادله ضلع AB را پیدا می کنیم: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نظر عبارت است از: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b. k = . سپس y = . زیرا ارتفاع از نقطه C می گذرد، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند: از آنجا b = 17. مجموع: .

پاسخ: 3x + 2y - 34 = 0.

در این مقاله معادله کلی خط مستقیم در یک صفحه را بررسی می کنیم. اگر دو نقطه از این خط مستقیم مشخص باشد یا اگر یک نقطه و بردار معمولی این خط مستقیم مشخص باشد، مثال هایی از ساخت معادله کلی یک خط مستقیم می زنیم. اجازه دهید روش هایی برای تبدیل یک معادله به شکل کلی به فرم های متعارف و پارامتری ارائه کنیم.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه داده شود اکسی. یک معادله درجه یک یا در نظر بگیرید معادله خطی:

تبر + با + سی=0,

(1)

جایی که الف، ب، جبرخی از ثابت ها و حداقل یکی از عناصر هستند آو بمتفاوت از صفر

نشان خواهیم داد که یک معادله خطی در صفحه یک خط مستقیم را تعریف می کند. اجازه دهید قضیه زیر را اثبات کنیم.

قضیه 1. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه روی یک صفحه، هر خط مستقیم را می توان با یک معادله خطی به دست آورد. برعکس، هر معادله خطی (1) در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه روی صفحه یک خط مستقیم را تعریف می کند.

اثبات برای اثبات این خط کافی است Lتوسط یک معادله خطی برای هر یک از سیستم مختصات مستطیلی دکارتی تعیین می‌شود، زیرا پس از آن با یک معادله خطی و برای هر انتخابی از سیستم مختصات مستطیلی دکارتی تعیین می‌شود.

بگذارید یک خط مستقیم روی هواپیما داده شود L. ما یک سیستم مختصات را انتخاب می کنیم تا محور گاو نربا خط هماهنگ شده است L، و محور اوهعمود بر آن بود. سپس معادله خط Lبه شکل زیر خواهد بود:

y=0.

(2)

همه نقاط روی یک خط Lمعادله خطی (2) را برآورده می کند و تمام نقاط خارج از این خط مستقیم معادله (2) را برآورده نمی کند. قسمت اول قضیه ثابت می شود.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی داده شود و معادله خطی (1) داده شود، که در آن حداقل یکی از عناصر آو بمتفاوت از صفر مکان نقاطی را که مختصات آنها معادله (1) را برآورده می کند، بیابید. از آنجایی که حداقل یکی از ضرایب آو ببا صفر متفاوت است، پس معادله (1) حداقل یک جواب دارد م(ایکس 0 ,y 0). (مثلاً وقتی آ≠0، نقطه م 0 (−C/A, 0) متعلق به مکان داده شده از نقاط است). با جایگزینی این مختصات به (1) هویت را بدست می آوریم

تبر 0 +توسط 0 +سی=0.

(3)

بیایید هویت (3) را از (1) کم کنیم:

آ(ایکس−ایکس 0)+ب(y−y 0)=0.

(4)

بدیهی است که معادله (4) معادل معادله (1) است. بنابراین، برای اثبات اینکه (4) برخی از خطوط را تعریف می کند، کافی است.

از آنجایی که ما یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را در نظر می گیریم، از برابری (4) نتیجه می شود که بردار با مولفه های ( x-x 0 , y-y 0 ) متعامد بردار است nبا مختصات ( الف، ب}.

خطی را در نظر بگیرید Lعبور از نقطه م 0 (ایکس 0 , y 0) و عمود بر بردار n(عکس. 1). بگذارید نکته م(ایکس,y) متعلق به خط است L. سپس بردار با مختصات x-x 0 , y-y 0 عمود بر nو معادله (4) برآورده می شود (ضرب اسکالر بردارها). nو برابر با صفر است). برعکس، اگر نقطه م(ایکس,y) روی یک خط قرار نمی گیرد L، سپس بردار با مختصات x-x 0 , y-y 0 متعامد بردار نیست nو معادله (4) ارضا نمی شود. قضیه ثابت شده است.

اثبات از آنجایی که خطوط (5) و (6) یک خط را تعریف می کنند، بردارهای عادی n 1 ={آ 1 ,ب 1) و n 2 ={آ 2 ,ب 2) خطی هستند. از آنجایی که بردارها n 1 ≠0, n 2 ≠ 0، سپس یک عدد وجود دارد λ ، چی n 2 =n 1 λ . از این رو داریم: آ 2 =آ 1 λ , ب 2 =ب 1 λ . این را ثابت کنیم سی 2 =سی 1 λ . واضح است که خطوط منطبق دارند نقطه مشترک م 0 (ایکس 0 , y 0). ضرب معادله (5) در λ و با کم کردن معادله (6) از آن به دست می آوریم:

از آنجایی که دو برابری اول از عبارت (7) برآورده می شود، پس سی 1 λ −سی 2=0. آن ها سی 2 =سی 1 λ . تذکر ثابت شده است.

توجه داشته باشید که معادله (4) معادله یک خط مستقیم را که از نقطه عبور می کند تعریف می کند م 0 (ایکس 0 , y 0) و داشتن بردار معمولی n={الف، ب). بنابراین اگر بردار عادی خط و نقطه متعلق به این خط مشخص باشد، می توان با استفاده از رابطه (4) معادله کلی خط را ساخت.

مثال 1. یک خط از یک نقطه عبور می کند م=(4,-1) و دارای بردار نرمال است n= (3، 5). معادله کلی یک خط مستقیم را بسازید.

راه حل. ما داریم: ایکس 0 =4, y 0 =−1, آ=3, ب=5. برای ساخت معادله کلی یک خط مستقیم، این مقادیر را با معادله (4) جایگزین می کنیم:

پاسخ:

بردار موازی با خط Lو از این رو بر بردار معمولی خط عمود است L. بیایید یک بردار خط معمولی بسازیم Lبا توجه به اینکه حاصل ضرب اسکالر بردارها nو برابر با صفر است. می توانیم مثلا بنویسیم n={1,−3}.

برای ساخت معادله کلی خط مستقیم از فرمول (4) استفاده می کنیم. اجازه دهید مختصات نقطه را با (4) جایگزین کنیم م 1 (می توانیم مختصات نقطه را نیز بگیریم م 2) و بردار نرمال n:

جایگزینی مختصات نقطه م 1 و م 2 در (9) می توانیم مطمئن شویم که خط مستقیمی که در رابطه (9) به دست می آید از این نقاط عبور می کند.

پاسخ:

تفریق (10) از (1):

معادله متعارف یک خط مستقیم را به دست آورده ایم. بردار q={−ب, آ) بردار جهت خط مستقیم (12) است.

تبدیل معکوس را ببینید.

مثال 3. یک خط مستقیم در یک صفحه با معادله کلی زیر نشان داده می شود:

جمله دوم را به سمت راست ببرید و دو طرف معادله را بر 2 5 تقسیم کنید.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد. در مقاله" " من به شما قول دادم که روش دوم را برای حل مسائل ارائه شده برای یافتن مشتق، با یک نمودار تابع داده شده و مماس بر این نمودار تجزیه و تحلیل کنید. در ادامه این روش را بررسی خواهیم کرد ، از دست نده! چرابعد؟

واقعیت این است که از فرمول معادله یک خط مستقیم در آنجا استفاده خواهد شد. البته می توان به سادگی نشان داد این فرمولو به شما توصیه می کند آن را یاد بگیرید. اما بهتر است توضیح دهید که از کجا آمده است (چگونه مشتق شده است). لازم است! اگر آن را فراموش کردید، به سرعت آن را بازیابی کنیددشوار نخواهد بود. همه چیز در زیر به تفصیل آمده است. بنابراین، ما دو نقطه A در صفحه مختصات داریم(x 1; y 1) و B (x 2; y 2)، یک خط مستقیم از طریق نقاط نشان داده شده ترسیم می شود:

این فرمول مستقیم است:

*یعنی هنگام تعویض مختصات خاص نقاط، معادله ای به شکل y=kx+b به دست می آید.

** اگر این فرمول به سادگی "به خاطر سپردن" باشد، احتمال اشتباه گرفتن با شاخص ها وجود دارد. ایکس. علاوه بر این، شاخص ها را می توان به روش های مختلفی نشان داد، به عنوان مثال:

به همین دلیل است که درک معنی مهم است.

حالا اشتقاق این فرمول. همه چیز خیلی ساده است!

مثلث های ABE و ACF از نظر زاویه تند مشابه هستند (نخستین نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه). از این نتیجه می شود که نسبت عناصر مربوطه برابر است، یعنی:

اکنون به سادگی این بخش ها را بر حسب تفاوت مختصات نقاط بیان می کنیم:

البته، اگر روابط عناصر را به ترتیب دیگری بنویسید، هیچ خطایی وجود نخواهد داشت (نکته اصلی این است که مطابقت را حفظ کنید):

نتیجه همان معادله یک خط مستقیم است. این همه است!

یعنی مهم نیست که خود نقاط (و مختصات آنها) چگونه تعیین شده باشند، با درک این فرمول، همیشه معادله یک خط مستقیم را خواهید یافت.

فرمول را می توان با استفاده از ویژگی های بردارها استنباط کرد، اما اصل اشتقاق یکسان خواهد بود، زیرا ما در مورد تناسب مختصات آنها صحبت خواهیم کرد. در این مورد، همان شباهت مثلث های قائم الزاویه کار می کند. به نظر من، نتیجه ای که در بالا توضیح داده شد قابل درک تر است)).

مشاهده خروجی از طریق مختصات برداری >>>

بگذارید یک خط مستقیم بر روی صفحه مختصات ایجاد شود که از دو نقطه داده شده A (x 1; y 1) و B (x 2; y 2) عبور می کند. اجازه دهید یک نقطه دلخواه C روی خط را با مختصات ( ایکس; y). ما همچنین دو بردار را نشان می دهیم:

مشخص است که برای بردارهایی که روی خطوط موازی (یا روی یک خط) قرار دارند، مختصات مربوطه آنها متناسب است، یعنی:

- برابری نسبت های مختصات مربوطه را می نویسیم:

به یک مثال توجه کنید:

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه با مختصات (2;5) و (7:3) می گذرد را بیابید.

شما حتی نمی توانید خط خود را بسازید. ما فرمول را اعمال می کنیم:

مهم است که هنگام تنظیم نسبت، مکاتبات را دریافت کنید. اگر بنویسید نمی توانید اشتباه کنید:

پاسخ: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

برای اینکه مطمئن شوید معادله حاصل به درستی پیدا شده است، حتما آن را بررسی کنید - مختصات داده را در شرایط نقاط در آن جایگزین کنید. شما باید برابری های صحیح را بدست آورید.

همین. امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.

با احترام، اسکندر.

P.S: اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی بگویید ممنون می شوم.

معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.
بردار جهت مستقیم است. بردار معمولی

خط مستقیم در هواپیما یکی از ساده ترین اشکال هندسی است که از کلاس های ابتدایی برای شما آشنا بود و امروز نحوه برخورد با آن را با استفاده از روش های هندسه تحلیلی می آموزیم. برای تسلط بر مواد، لازم است بتوانیم یک خط مستقیم بسازیم. بدانید کدام معادله یک خط مستقیم را تعریف می کند، به ویژه، خط مستقیمی که از مبدا و خطوط مستقیم موازی با محورهای مختصات می گذرد. این اطلاعات را می توان در دفترچه راهنما یافت. نمودارها و خواص توابع ابتدایی، من آن را برای matan ایجاد کردم، اما بخش مربوط به تابع خطی بسیار موفق و دقیق بود. بنابراین قوری های عزیز ابتدا آنجا را گرم کنید. علاوه بر این، شما باید داشته باشید دانش عمومیدر باره بردارهادر غیر این صورت درک مطالب ناقص خواهد بود.

در این درسما راه هایی را در نظر خواهیم گرفت که در آنها می توانید معادله یک خط مستقیم را در یک صفحه بنویسید. توصیه می کنم از مثال های کاربردی غافل نشوید (حتی اگر بسیار ساده به نظر می رسد) زیرا آنها را به صورت ابتدایی و ابتدایی عرضه می کنم. حقایق مهم، روش های فنی که در آینده مورد نیاز خواهد بود، از جمله در سایر بخش های ریاضیات عالی.

• چگونه معادله خط مستقیم با شیب را بنویسیم؟
• چگونه؟
• چگونه بردار جهت را با معادله کلی یک خط مستقیم پیدا کنیم؟
• چگونه معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار معمولی بنویسیم؟

و شروع می کنیم:

معادله خط با شیب

شکل معروف "مدرسه" معادله یک خط مستقیم نامیده می شود معادله یک خط مستقیم با شیب. به عنوان مثال، اگر یک خط مستقیم با معادله داده شود، شیب آن: . در نظر گرفتن معنی هندسیضریب داده شده و چگونگی تأثیر مقدار آن بر محل خط:

در درس هندسه ثابت می شود که شیب خط مستقیم است مماس یک زاویهبین جهت محور مثبتو خط داده شده: و گوشه در خلاف جهت عقربه های ساعت "باز شده" است.

برای اینکه نقاشی را به هم نریزم، فقط برای دو خط مستقیم زاویه کشیدم. خط مستقیم "قرمز" و شیب آن را در نظر بگیرید. با توجه به موارد فوق: (زاویه "آلفا" با یک قوس سبز نشان داده می شود). برای خط مستقیم "آبی" با شیب، برابری صادق است (زاویه "بتا" با قوس قهوه ای نشان داده می شود). و اگر مماس زاویه مشخص باشد، در صورت لزوم یافتن آن آسان است و گوشهبا استفاده از تابع معکوس - مماس قوس. همانطور که می گویند، یک جدول مثلثاتی یا یک ماشین حساب در دست است. به این ترتیب، شیب درجه شیب خط مستقیم به محور x را مشخص می کند.

در این صورت موارد زیر امکان پذیر است:

1) اگر شیب منفی باشد: ، آنگاه خط به طور تقریبی از بالا به پایین می رود. به عنوان مثال خطوط مستقیم "آبی" و "زرشکی" در نقاشی هستند.

2) اگر شیب مثبت باشد: ، آنگاه خط از پایین به بالا می رود. به عنوان مثال خطوط مستقیم "سیاه" و "قرمز" در نقاشی هستند.

3) اگر شیب برابر با صفر باشد، معادله شکل می گیرد و خط مربوطه با محور موازی است. به عنوان مثال خط "زرد" است.

4) برای یک خانواده از خطوط مستقیم موازی با محور (هیچ نمونه ای در نقاشی وجود ندارد، به جز خود محور)، شیب وجود ندارد (مماس 90 درجه تعریف نشده است).

هرچه مدول شیب بیشتر باشد، نمودار خطی تندتر می شود.

برای مثال دو خط مستقیم را در نظر بگیرید. در اینجا، بنابراین خط مستقیم شیب تندتری دارد. به شما یادآوری می کنم که ماژول به شما امکان می دهد علامت را نادیده بگیرید، ما فقط به آن علاقه داریم ارزش های مطلقضرایب زاویه ای

به نوبه خود، یک خط مستقیم تندتر از خطوط مستقیم است. .

برعکس: هرچه مدول شیب کوچکتر باشد، خط مستقیم صاف تر است.

برای خطوط مستقیم نابرابری درست است، بنابراین، خط مستقیم بیشتر از یک سایه بان است. سرسره کودکان، برای اینکه کبودی و برجستگی کاشته نشود.

چرا این مورد نیاز است؟

عذاب خود را طولانی کنید دانستن حقایق فوق به شما امکان می دهد فوراً اشتباهات خود ، به ویژه خطاهای هنگام ترسیم نمودارها را ببینید - اگر نقاشی معلوم شد "به وضوح چیزی اشتباه است". مطلوب است که شما فورامشخص بود که مثلاً یک خط مستقیم بسیار شیب دار است و از پایین به بالا می رود و یک خط مستقیم بسیار صاف و نزدیک به محور است و از بالا به پایین می رود.

در مسائل هندسی، اغلب چندین خط مستقیم ظاهر می شود، بنابراین نشان دادن آنها به نحوی راحت است.

نشانه گذاری: خطوط مستقیم با حروف کوچک لاتین نشان داده می شوند: . یک گزینه محبوب، تعیین همان حرف با زیرنویس های طبیعی است. به عنوان مثال، پنج خطی که اکنون در نظر گرفتیم را می توان با نشان داد .

از آنجایی که هر خط مستقیم با دو نقطه مشخص می شود، می توان آن را با این نقاط نشان داد: و غیره. نماد کاملاً واضح است که نقاط متعلق به خط هستند.

وقت آن است که کمی خود را شل کنیم:

چگونه معادله خط مستقیم با شیب را بنویسیم؟

اگر نقطه ای شناخته شود که متعلق به یک خط معین و شیب این خط است، معادله این خط با فرمول بیان می شود:

مثال 1

معادله یک خط مستقیم با شیب را بنویسید اگر معلوم شود که نقطه متعلق به این خط مستقیم است.

راه حل: معادله یک خط مستقیم را مطابق فرمول می سازیم . در این مورد:

پاسخ:

معاینهبه صورت ابتدایی انجام می شود. ابتدا به معادله به دست آمده نگاه می کنیم و مطمئن می شویم که شیب ما در جای خود قرار دارد. دوم، مختصات نقطه باید معادله داده شده را برآورده کند. بیایید آنها را به معادله متصل کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که نقطه معادله حاصل را برآورده می کند.

نتیجه: معادله به درستی پیدا شد.

یک مثال پیچیده تر برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 2

معادله یک خط مستقیم را بنویسید اگر معلوم شود زاویه تمایل آن نسبت به جهت مثبت محور برابر است و نقطه متعلق به این خط مستقیم است.

اگر مشکلی دارید، مطالب تئوری را دوباره بخوانید. دقیق تر، عملی تر، من بسیاری از شواهد را از دست داده ام.

زنگ زد تماس اخر، از بین رفت پارتیو پشت دروازه مدرسه بومی ما در واقع هندسه تحلیلی در انتظار ماست. شوخی تموم شد... شاید تازه شروع شده =)

با نوستالژیک دسته را به سمت آشنا تکان می دهیم و با معادله کلی یک خط مستقیم آشنا می شویم. از آنجایی که در هندسه تحلیلی این دقیقاً مورد استفاده قرار می گیرد:

معادله کلی یک خط مستقیم شکل دارد: ، تعدادی اعداد کجا هستند. در عین حال، ضرایب همزمانبرابر صفر نیستند، زیرا معادله معنای خود را از دست می دهد.

بیایید کت و شلوار بپوشیم و یک معادله را با شیب گره بزنیم. ابتدا همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم:

عبارت با "x" باید در وهله اول قرار گیرد:

در اصل، معادله قبلاً شکل دارد، اما طبق قوانین آداب ریاضی، ضریب جمله اول (در این مورد) باید مثبت باشد. تغییر علائم:

این را به یاد داشته باش ویژگی فنی! ما ضریب اول را (بیشتر اوقات) مثبت می کنیم!

در هندسه تحلیلی، معادله یک خط مستقیم تقریباً همیشه به صورت کلی ارائه می شود. خوب ، در صورت لزوم ، به راحتی می توان آن را با شیب به شکل "مدرسه ای" آورد (به استثنای خطوط مستقیم موازی با محور y).

بیایید از خود بپرسیم که چیست کافیمی دانید برای ساخت یک خط مستقیم؟ دو نقطه اما در مورد این مورد دوران کودکی بعدا، در حال حاضر چوب با فلش قانون. هر خط مستقیم دارای یک شیب کاملاً مشخص است که "انطباق" با آن آسان است. بردار.

بردار موازی یک خط را بردار جهت آن خط می گویند.. بدیهی است که هر خط مستقیم دارای بردارهای جهت بی نهایت زیادی است و همه آنها خطی خواهند بود (همراه یا نه - مهم نیست).

بردار جهت را به صورت زیر نشان می دهم: .

اما یک بردار برای ساخت یک خط مستقیم کافی نیست، بردار آزاد است و به هیچ نقطه ای از صفحه متصل نیست. بنابراین، علاوه بر این لازم است که نقطه ای را که متعلق به خط است، بدانیم.

چگونه معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار جهت بنویسیم؟

اگر نقطه مشخصی متعلق به خط و بردار هدایت کننده این خط مشخص باشد، می توان معادله این خط را با فرمول جمع آوری کرد:

گاهی نامیده می شود معادله متعارفسر راست .

چه زمانی باید انجام داد یکی از مختصاتصفر است، در زیر به نمونه های عملی می پردازیم. به هر حال، توجه داشته باشید - هر دو به یکبارهمختصات نمی توانند صفر باشند، زیرا بردار صفر جهت خاصی را مشخص نمی کند.

مثال 3

معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار جهت بنویسید

راه حل: معادله یک خط مستقیم را مطابق فرمول می سازیم. در این مورد:

با استفاده از خواص نسبت، از شر کسری خلاص می شویم:

و معادله را به نمای کلی:

پاسخ:

رسم در چنین نمونه هایی، به عنوان یک قاعده، ضروری نیست، اما برای درک:

در ترسیم، نقطه شروع، بردار جهت اصلی (از هر نقطه ای در صفحه قابل تعویق است) و خط ساخته شده را می بینیم. به هر حال، در بسیاری از موارد، ساخت یک خط مستقیم به راحتی با استفاده از معادله شیب انجام می شود. معادله ما به راحتی به فرم تبدیل می شود و بدون هیچ مشکلی یک نقطه دیگر را برای ایجاد یک خط مستقیم انتخاب می کنیم.

همانطور که در ابتدای بخش ذکر شد، یک خط دارای بردارهای جهت بی نهایت زیادی است و همه آنها خطی هستند. به عنوان مثال، من سه بردار از این قبیل ترسیم کردم: . هر بردار جهتی را که انتخاب کنیم، نتیجه همیشه همان معادله خط مستقیم خواهد بود.

بیایید معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار هدایت کننده بسازیم:

تقسیم نسبت:

دو ضلع را بر 2- تقسیم کنید و معادله آشنا را بدست آورید:

کسانی که مایلند می توانند به طور مشابه بردارها را آزمایش کنند یا هر بردار خطی دیگری.

حالا بیایید مشکل معکوس را حل کنیم:

چگونه بردار جهت را با معادله کلی یک خط مستقیم پیدا کنیم؟

بسیار ساده:

اگر یک خط مستقیم با یک معادله کلی در یک سیستم مختصات مستطیل شکل داده شود، آن بردار بردار جهت این خط مستقیم است.

نمونه هایی از یافتن بردارهای جهت خطوط مستقیم:

این دستور به ما امکان می دهد فقط یک بردار جهت را از یک مجموعه نامتناهی پیدا کنیم، اما به بیشتر نیاز نداریم. اگرچه در برخی موارد توصیه می شود مختصات بردارهای جهت را کاهش دهید:

بنابراین، معادله خط مستقیمی را مشخص می‌کند که موازی با محور است و مختصات بردار فرمان حاصل به راحتی بر 2- تقسیم می‌شود، و دقیقاً بردار پایه را به عنوان بردار فرمان بدست می‌آورد. منطقی.

به طور مشابه، معادله یک خط مستقیم موازی با محور را تعریف می کند و با تقسیم مختصات بردار بر 5، ort را به عنوان بردار جهت می گیریم.

حالا بیایید اجرا کنیم مثال 3 را بررسی کنید. مثال بالا رفت، بنابراین به شما یادآوری می کنم که در آن معادله یک خط مستقیم را با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت ساختیم.

اولا، با توجه به معادله یک خط مستقیم، بردار جهت دهنده آن را بازیابی می کنیم: - همه چیز خوب است، ما بردار اصلی را به دست آوردیم (در برخی موارد، می تواند با بردار اصلی هم خط باشد، و این معمولاً با تناسب مختصات مربوطه به راحتی قابل مشاهده است).

دوما، مختصات نقطه باید معادله را برآورده کند. ما آنها را در معادله جایگزین می کنیم:

برابری صحیح به دست آمده است که ما از آن بسیار خرسندیم.

نتیجه: کار به درستی انجام شد.

مثال 4

معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار جهت بنویسید

این یک مثال برای خودتان است. راه حل و پاسخ در پایان درس. بسیار مطلوب است که مطابق الگوریتمی که در نظر گرفته شده است، بررسی کنید. سعی کنید همیشه (در صورت امکان) پیش نویس را بررسی کنید. احمقانه است که اشتباهاتی را مرتکب شویم که 100% بتوان از آنها اجتناب کرد.

در صورتی که یکی از مختصات بردار جهت صفر باشد، انجام این کار بسیار ساده است:

مثال 5

راه حل: فرمول نامعتبر است زیرا مخرج سمت راست صفر است. یک خروجی وجود دارد! با استفاده از خواص نسبت، فرمول را به شکل بازنویسی می کنیم و بقیه در امتداد یک شیار عمیق می چرخند:

پاسخ:

معاینه:

1) بردار جهت خط مستقیم را بازیابی کنید:
- بردار حاصل با بردار جهت اصلی هم خط است.

2) مختصات نقطه را در معادله جایگزین کنید:

برابری صحیح به دست می آید

نتیجه: کار به درستی انجام شده است

این سوال مطرح می شود، اگر یک نسخه جهانی وجود دارد که به هر حال کار می کند، چرا با فرمول زحمت بکشید؟ دو دلیل وجود دارد. اول، فرمول کسری خیلی بهتره به خاطر بسپاریم. دوم، نقطه ضعف فرمول جهانیآن است خطر سردرگمی به طور قابل توجهی افزایش یافته استهنگام تعویض مختصات

مثال 6

معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار جهت بسازید.

این یک مثال برای خودتان است.

بیایید به دو نکته ای که در همه جا وجود دارد بازگردیم:

چگونه معادله یک خط مستقیم را با دو نقطه بنویسیم؟

اگر دو نقطه شناخته شده باشد، معادله یک خط مستقیم که از این نقاط می گذرد را می توان با استفاده از فرمول جمع آوری کرد:

در واقع، این یک نوع فرمول است، و دلیل آن این است: اگر دو نقطه شناخته شده باشد، بردار بردار جهت این خط خواهد بود. روی درس وکتور برای آدمکما ساده ترین مسئله را در نظر گرفتیم - چگونه مختصات یک بردار را از دو نقطه پیدا کنیم. با توجه به این مشکل، مختصات بردار جهت:

توجه داشته باشید : نقاط را می توان "مبادله" کرد و از فرمول استفاده کرد . چنین تصمیمی برابر خواهد بود.

مثال 7

معادله یک خط مستقیم را از دو نقطه بنویسید .

راه حل: از فرمول استفاده کنید:

مخرج ها را شانه می کنیم:

و عرشه را به هم بزنید:

اکنون خلاص شدن از شر اعداد کسری راحت است. در این مورد، باید هر دو قسمت را در 6 ضرب کنید:

پرانتزها را باز کنید و معادله را به ذهن بسپارید:

پاسخ:

معاینهواضح است - مختصات نقاط اولیه باید معادله حاصل را برآورده کند:

1) مختصات نقطه را جایگزین کنید:

برابری واقعی

2) مختصات نقطه را جایگزین کنید:

برابری واقعی

نتیجه: معادله خط مستقیم صحیح است.

اگر یک حداقل یکیاز نقاط معادله را برآورده نمی کند، به دنبال یک خطا باشید.

شایان ذکر است که تأیید گرافیکی در این مورد دشوار است، زیرا برای ساخت یک خط و دیدن اینکه آیا نقاط متعلق به آن هستند یا خیر. ، نه چندان آسان

من به چند نکته فنی راه حل اشاره می کنم. شاید در این مشکل استفاده از فرمول آینه ای سودمندتر باشد و برای همان نکات معادله بسازید:

کسرهای کمتری وجود دارد. اگر بخواهید می توانید راه حل را تا انتها کامل کنید، نتیجه باید همان معادله باشد.

نکته دوم این است که به پاسخ نهایی نگاه کنید و ببینید آیا می توان آن را بیشتر ساده کرد؟ به عنوان مثال، اگر معادله ای به دست آمد، توصیه می شود که آن را دو برابر کاهش دهید: - معادله همان خط مستقیم را تعیین می کند. با این حال، این موضوع قبلاً یک موضوع گفتگو است ترتیب متقابل خطوط مستقیم.

پس از دریافت پاسخ در مثال 7، در هر صورت، بررسی کردم که آیا همه ضرایب معادله بر 2، 3 یا 7 بخش پذیر هستند یا خیر. اگرچه، اغلب چنین کاهش هایی در حین حل انجام می شود.

مثال 8

معادله یک خط مستقیم که از نقاط عبور می کند را بنویسید .

این مثالی برای یک راه حل مستقل است که به شما امکان می دهد تکنیک محاسبه را بهتر درک کرده و کار کنید.

مشابه پاراگراف قبل: اگر در فرمول یکی از مخرج ها (مختصات بردار جهت) ناپدید می شود، سپس آن را به صورت بازنویسی می کنیم. و دوباره، توجه کنید که او چقدر بی دست و پا و گیج به نظر می رسد. من خیلی فایده ای در آوردن نمی بینم نمونه های عملی، زیرا ما قبلاً چنین مشکلی را حل کرده ایم (به شماره 5 و 6 مراجعه کنید).

بردار معمولی خط مستقیم (بردار عادی)

چه چیزی طبیعی است؟ به زبان ساده، نرمال عمود است. یعنی بردار معمولی یک خط بر خط داده شده عمود است. بدیهی است که هر خط مستقیم تعداد نامتناهی از آنها را دارد (و همچنین بردارهای جهت دهنده) و همه بردارهای عادی خط مستقیم هم خط خواهند بود (هم جهت یا نه - مهم نیست).

برخورد با آنها حتی ساده تر از بردارهای جهت خواهد بود:

اگر یک خط مستقیم با یک معادله کلی در یک سیستم مختصات مستطیلی داده شود، آن بردار بردار عادی این خط مستقیم است.

اگر مختصات بردار جهت باید با دقت از معادله خارج شوند، آنگاه مختصات بردار معمولی را می توان به سادگی "حذف کرد".

بردار معمولی همیشه متعامد بردار جهت خط است. ما با استفاده از متعامد بودن این بردارها را بررسی خواهیم کرد محصول نقطه ای:

من مثال هایی با همان معادلات برای بردار جهت خواهم آورد:

آیا می توان با دانستن یک نقطه و یک بردار معمولی معادله خط مستقیم نوشت؟ احساس می شود این امکان پذیر است. اگر بردار عادی شناخته شده باشد، جهت مستقیم ترین خط نیز به طور منحصر به فرد تعیین می شود - این یک "ساختار سفت و سخت" با زاویه 90 درجه است.

چگونه معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار معمولی بنویسیم؟

اگر نقطه ای متعلق به خط و بردار عادی این خط مشخص باشد، معادله این خط با فرمول بیان می شود:

اینجا همه چیز بدون کسری و شگفتی های دیگر پیش رفت. بردار معمولی ما چنین است. دوستش دارم. و احترام =)

مثال 9

معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار معمولی بسازید. بردار جهت خط مستقیم را پیدا کنید.

راه حل: از فرمول استفاده کنید:

معادله کلی خط مستقیم به دست می آید، بیایید بررسی کنیم:

1) "حذف" مختصات بردار نرمال از معادله: - بله، در واقع، بردار اصلی از شرط به دست می آید (یا بردار باید هم خط با بردار اصلی باشد).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله را برآورده می کند:

برابری واقعی

بعد از اینکه متقاعد شدیم که معادله درست است، قسمت دوم و آسان‌تر کار را تکمیل می‌کنیم. بردار جهت خط مستقیم را بیرون می آوریم:

پاسخ:

در قرعه کشی وضعیت به شرح زیر است:

برای اهداف آموزش، یک کار مشابه برای یک راه حل مستقل:

مثال 10

معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار معمولی بسازید. بردار جهت خط مستقیم را پیدا کنید.

بخش پایانی درس به انواع کمتر رایج، اما مهم معادلات یک خط مستقیم در یک صفحه اختصاص خواهد یافت.

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.
معادله یک خط مستقیم به صورت پارامتریک

معادله یک خط مستقیم در پاره ها به شکل است که در آن ثابت های غیر صفر هستند. برخی از انواع معادلات را نمی توان به این شکل نشان داد، به عنوان مثال، تناسب مستقیم (زیرا جمله آزاد صفر است و راهی برای بدست آوردن یک در سمت راست وجود ندارد).

این، به بیان مجازی، یک نوع معادله "فنی" است. وظیفه معمول این است که معادله کلی یک خط مستقیم را به عنوان معادله یک خط مستقیم در قطعات نشان دهیم. چرا راحت است؟ معادله یک خط مستقیم در بخش ها به شما امکان می دهد به سرعت نقاط تقاطع یک خط مستقیم را با محورهای مختصات پیدا کنید که در برخی از مسائل ریاضیات عالی بسیار مهم است.

نقطه تلاقی خط با محور را پیدا کنید. "y" را بازنشانی می کنیم و معادله شکل می گیرد. امتیاز مورد نظر به صورت خودکار به دست می آید: .

در مورد محور هم همینطور نقطه ای است که خط با محور y قطع می کند.