چگونه معادله یک خط مستقیم را بنویسیم. معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه می گذرد، معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه می گذرد، زاویه بین دو خط مستقیم، شیب یک خط مستقیم

در این مقاله به معادله کلی خط مستقیم در یک صفحه می پردازیم. اگر دو نقطه از این خط مستقیم مشخص باشد یا اگر یک نقطه و بردار معمولی این خط مستقیم مشخص باشد، مثال هایی از ساخت یک معادله کلی از یک خط مستقیم می زنیم. اجازه دهید روش های تبدیل معادله را به صورت کلی به اشکال متعارف و پارامتری ارائه کنیم.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه داده شود اکسی... یک معادله درجه یک یا یک معادله خطی را در نظر بگیرید:

تبر + با + سی=0,

(1)

جایی که الف، ب، ج- برخی از ثابت ها، و حداقل یکی از عناصر آو بغیر صفر

ما نشان خواهیم داد که یک معادله خطی در یک صفحه یک خط مستقیم را تعریف می کند. اجازه دهید قضیه زیر را اثبات کنیم.

قضیه 1. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه در یک صفحه، هر خط مستقیم را می توان با یک معادله خطی مشخص کرد. برعکس، هر معادله خطی (1) در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه در یک صفحه یک خط مستقیم را تعریف می کند.

اثبات برای اثبات این خط کافی است Lبا یک معادله خطی برای هر یک از سیستم مختصات مستطیلی دکارتی تعیین می‌شود، زیرا با یک معادله خطی و برای هر انتخابی از یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی تعیین می‌شود.

بگذارید یک خط مستقیم روی هواپیما داده شود L... اجازه دهید یک سیستم مختصات را طوری انتخاب کنیم که محور گاو نرمنطبق با یک خط مستقیم Lو محور اوهعمود بر آن بود. سپس معادله خط مستقیم Lبه شکل زیر خواهد بود:

y = 0.

(2)

همه نقاط روی یک خط مستقیم Lمعادله خطی (2) را برآورده می کند و تمام نقاط خارج از این خط مستقیم معادله (2) را برآورده نمی کند. قسمت اول قضیه ثابت می شود.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی داده شود و یک معادله خطی (1) داده شود، که در آن حداقل یکی از عناصر آو بغیر صفر اجازه دهید مکان نقاطی را پیدا کنیم که مختصات آنها معادله (1) را برآورده می کند. از آنجایی که حداقل یکی از ضرایب آو ببا صفر متفاوت است، پس معادله (1) حداقل یک راه حل دارد م(ایکس 0 ,y 0). (مثلاً برای آ≠ 0، امتیاز م 0 (−C/A, 0) متعلق به مکان داده شده از نقاط است). با جایگزینی این مختصات در (1)، هویت را بدست می آوریم

تبر 0 +توسط 0 +سی=0.

(3)

بیایید هویت (3) را از (1) کم کنیم:

آ(ایکس−ایکس 0)+ب(y−y 0)=0.

(4)

بدیهی است که معادله (4) معادل معادله (1) است. بنابراین، برای اثبات اینکه (4) خطی را تعریف می کند، کافی است.

از آنجایی که ما یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را در نظر می گیریم، از برابری (4) نتیجه می شود که یک بردار با مولفه های ( x - x 0 , y - y 0) متعامد بردار است nبا مختصات ( الف، ب}.

یک خط مستقیم را در نظر بگیرید Lعبور از نقطه م 0 (ایکس 0 , y 0) و عمود بر بردار n(عکس. 1). بگذارید نکته م(ایکس، y) متعلق به خط مستقیم است L... سپس بردار با مختصات x - x 0 , y - y 0 عمود بر nو معادله (4) برآورده می شود (ضرب اسکالر بردارها). nو برابر با صفر است). بازگشت اگر نقطه م(ایکس، y) روی خط مستقیم قرار نمی گیرد L، سپس بردار با مختصات x - x 0 , y - y 0 متعامد بردار نیست nو معادله (4) ارضا نمی شود. قضیه ثابت می شود.

اثبات از آنجایی که خطوط (5) و (6) یک خط را تعریف می کنند، بردارهای عادی n 1 ={آ 1 ,ب 1) و n 2 ={آ 2 ,ب 2) خطی هستند. از آنجایی که بردارها n 1 ≠0, n 2 ≠ 0، سپس یک عدد وجود دارد λ ، چی n 2 =n 1 λ ... از این رو داریم: آ 2 =آ 1 λ , ب 2 =ب 1 λ ... اجازه دهید این را ثابت کنیم سی 2 =سی 1 λ ... بدیهی است که خطوط منطبق یک نقطه مشترک دارند م 0 (ایکس 0 , y 0). ضرب معادله (5) در λ و با کم کردن معادله (6) بدست می آوریم:

از آنجایی که دو برابری اول از عبارت (7) برآورده می شود، پس سی 1 λ −سی 2 = 0. آن ها سی 2 =سی 1 λ ... تذکر ثابت می شود.

توجه داشته باشید که رابطه (4) معادله خط مستقیمی را که از نقطه عبور می کند تعریف می کند م 0 (ایکس 0 , y 0) و داشتن بردار معمولی n={الف، ب). بنابراین اگر بردار عادی خط مستقیم و نقطه متعلق به این خط مستقیم مشخص باشد، می توان با استفاده از رابطه (4) معادله کلی خط مستقیم را ساخت.

مثال 1. یک خط مستقیم از یک نقطه عبور می کند م= (4، −1) و یک بردار معمولی دارد n= (3، 5). معادله کلی خط مستقیم را بسازید.

راه حل. ما داریم: ایکس 0 =4, y 0 =−1, آ=3, ب= 5. برای ساخت یک معادله کلی از یک خط مستقیم، این مقادیر را با معادله (4) جایگزین می کنیم:

پاسخ:

بردار موازی با خط مستقیم است Lو بنابراین عمود بر بردار عادی خط مستقیم است L... اجازه دهید یک بردار معمولی از یک خط مستقیم بسازیم Lبا در نظر گرفتن اینکه حاصل ضرب اسکالر بردارها nو برابر با صفر است. می توانیم مثلاً بنویسیم n={1,−3}.

برای ساخت معادله کلی خط مستقیم از فرمول (4) استفاده می کنیم. در (4) مختصات نقطه را جایگزین کنید م 1 (می توانیم مختصات نقطه را نیز بگیریم م 2) و بردار معمولی n:

جایگزینی مختصات نقاط م 1 و م 2 در (9) می توانیم مطمئن شویم که خط مستقیمی که در رابطه (9) به دست می آید از این نقاط عبور می کند.

پاسخ:

تفریق (10) از (1):

معادله متعارف خط را به دست آورده ایم. بردار q={−ب, آ) بردار جهت دهنده خط مستقیم است (12).

تبدیل معکوس را ببینید.

مثال 3. یک خط مستقیم روی یک صفحه با معادله کلی زیر نشان داده می شود:

جمله دوم را به سمت راست ببرید و دو طرف معادله را بر 2 · 5 تقسیم کنید.

معادله کلی خط مستقیم:

موارد خاص از معادله عمومی خط مستقیم:

چه می شود اگر سی= 0، معادله (2) شکل خواهد داشت

تبر + توسط = 0,

و خط مستقیم تعریف شده توسط این معادله از مبدا می گذرد، زیرا مختصات مبدا هستند ایکس = 0, y= 0 این معادله را برآورده می کند.

ب) اگر در معادله کلی خط مستقیم (2) ب= 0، سپس معادله شکل می گیرد

تبر + با= 0، یا.

معادله دارای متغیر نیست y، و خط مستقیم تعریف شده توسط این معادله موازی با محور است اوه.

ج) اگر در معادله کلی خط مستقیم (2) آ= 0، سپس این معادله شکل می گیرد

توسط + با= 0، یا

معادله دارای متغیر نیست ایکس، و خط مستقیمی که تعریف می کند موازی با محور است گاو نر.

باید به خاطر داشت: اگر یک خط مستقیم موازی با یک محور مختصات باشد، در معادله آن هیچ عبارتی حاوی مختصات همنام با این محور وجود ندارد.

د) چه زمانی سی= 0 و آ= 0، معادله (2) شکل می گیرد توسط= 0، یا y = 0.

این معادله محور است گاو نر.

ه) چه زمانی سی= 0 و ب= 0 معادله (2) را می توان به صورت نوشتاری نوشت تبر= 0 یا ایکس = 0.

این معادله محور است اوه.

ترتیب متقابل خطوط مستقیم در یک صفحه. زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما. شرط موازی بودن خطوط. شرط عمود برای خطوط مستقیم.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 بردارهای S 1 و S 2 برای خطوط خود راهنما نامیده می شوند.

زاویه بین خطوط مستقیم l 1 و l 2 با زاویه بین بردارهای جهت تعیین می شود.
قضیه 1:زاویه cos بین l 1 و l 2 = cos (l 1؛ l 2) =

قضیه 2:برای مساوی بودن 2 خط مستقیم لازم و کافی است:

قضیه 3:به طوری که 2 خط مستقیم عمود بر هم باشند لازم و کافی است:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

معادله کلی هواپیما و موارد خاص آن. معادله صفحه در قطعات.

معادله کلی هواپیما:

Ax + By + Cz + D = 0

موارد خاص:

1.D = 0 Ax + By + Cz = 0 - هواپیما از مبدأ عبور می کند

2.C = 0 Ax + By + D = 0 - صفحه || OZ

3. В = 0 Ax + Cz + d = 0 - صفحه || OY

4. A = 0 By + Cz + D = 0 - صفحه || گاو نر

5.A = 0 و D = 0 By + Cz = 0 - هواپیما از OX عبور می کند

6.B = 0 و D = 0 Ax + Cz = 0 - هواپیما از OY عبور می کند

7.C = 0 و D = 0 Ax + By = 0 - هواپیما از OZ عبور می کند

آرایش متقابل صفحات و خطوط مستقیم در فضا:

1. زاویه بین خطوط مستقیم در فضا، زاویه بین بردارهای جهت آنها است.

Cos (l 1؛ l 2) = cos (S 1؛ S 2) = =

2. زاویه بین صفحات از طریق زاویه بین بردارهای عادی آنها تعریف می شود.

Cos (l 1؛ l 2) = cos (N 1؛ N 2) = =

3. کسینوس زاویه بین خط و صفحه را می توان از طریق سینوسی زاویه بین بردار جهت خط و بردار عادی صفحه پیدا کرد.

4. 2 خط مستقیم || در فضا زمانی که || راهنمای بردار

5. 2 هواپیما || وقتی || بردارهای معمولی

6. مفاهیم عمود بر خطوط و صفحه ها نیز به همین صورت معرفی شده اند.

سوال شماره 14

انواع معادله یک خط مستقیم در یک صفحه (معادله یک خط مستقیم در پاره ها، با شیب و غیره)

معادله یک خط مستقیم در پاره ها:
فرض کنید در معادله کلی خط مستقیم:

1.C = 0 Ax + Vy = 0 - خط مستقیم از مبدا می گذرد.

2.a = 0 Vy + C = 0 y =

3.b = 0 Ax + C = 0 x =

4.b = C = 0 Ax = 0 x = 0

5.a = C = 0 Vy = 0 y = 0

معادله یک خط مستقیم با شیب:

هر خط مستقیمی که با محور OU برابر نباشد (B not = 0) را می توان در خط بعدی نوشت. فرم:

k = tgα α - زاویه بین یک خط مستقیم و یک خط مثبت OX

ب - نقطه تلاقی خط مستقیم با محور OY

سند:

تبر + وو + سی = 0

Wu = -Ah-C |: B

معادله یک خط مستقیم در دو نقطه:

سوال شماره 16

حد متناهی تابع در نقطه و به صورت x → ∞

حد نهایی در نقطه x 0:

عدد A حد تابع y = f (x) به صورت x → x 0 نامیده می شود اگر برای هر E> 0 b> 0 وجود داشته باشد به طوری که برای x ≠ x 0 نابرابری را ارضا کند | x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

حد نشان داده شده است: = A

حد نهایی در نقطه + ∞:

عدد A حد تابع y = f (x) در x نامیده می شود → + ∞ اگر برای هر E> 0 C> 0 وجود داشته باشد به طوری که برای x> C نابرابری | f (x) - A |< Е

حد نشان داده شده است: = A

پایان محدودیت در -∞:

عدد A حد تابع y = f (x) نامیده می شود x → -∞،اگر برای هر E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

تعریف.هر خط مستقیم روی یک صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

تبر + وو + سی = 0،

و ثابت های A، B در همان زمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود معادله کلی خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت های A، B و C، موارد خاص زیر ممکن است:

C = 0، A ≠ 0، B ≠ 0 - خط از مبدأ عبور می کند

A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0 (By + C = 0) - خط مستقیم موازی با محور Ox است.

B = 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C = 0) - خط مستقیم با محور Oy موازی است.

B = C = 0، A ≠ 0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است

A = C = 0، B ≠ 0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است.

معادله یک خط مستقیم بسته به شرایط اولیه می تواند به اشکال مختلف ارائه شود.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی

تعریف.در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با مولفه های (A, B) عمود بر خط مستقیم داده شده با معادله Ax + Vy + C = 0 است.

مثال... معادله خط مستقیمی را که از نقطه A (1، 2) عمود بر (3، -1) عبور می کند، بیابید.

راه حل... در A = 3 و B = -1، معادله خط مستقیم را می سازیم: 3x - y + C = 0. برای یافتن ضریب C، مختصات نقطه داده شده A را در عبارت حاصل جایگزین می کنیم. 3 - 2 + C = 0، بنابراین، C = -1 ... مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد

بگذارید دو نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) در فضا داده شود، سپس معادله خط مستقیمی که از این نقاط می گذرد:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد. در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2 و x = x 1، اگر x 1 = x 2.

کسر = k نامیده می شود شیبسر راست.

مثال... معادله خط مستقیمی که از نقاط A (1، 2) و B (3، 4) می گذرد را بیابید.

راه حل.با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم به نقطه و شیب

اگر مجموع Ax + Vu + C = 0 به شکل زیر در بیاید:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود معادله یک خط مستقیم با شیبک.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت

با قیاس با پاراگراف با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید مشخصات یک خط مستقیم را از طریق یک نقطه و یک بردار جهت یک خط مستقیم را وارد کنید.

تعریف.هر بردار غیر صفر (α 1، α 2) که اجزای آن شرط A α 1 + В α 2 = 0 را برآورده می کند، بردار هدایت کننده خط نامیده می شود.

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل.معادله خط مستقیم مورد نظر به این صورت جستجو می شود: Ax + By + C = 0. طبق تعریف، ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به این شکل است: Ax + Ay + C = 0، یا x + y + C / A = 0. برای x = 1، y = 2 ما C / A = -3 را به دست می آوریم، یعنی. معادله مورد نیاز:

معادله یک خط مستقیم در پاره ها

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0، با تقسیم بر –C، به دست می‌آید: یا

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب آمختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Ox است و ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy.

مثال.معادله کلی خط مستقیم x - y + 1 = 0 داده شده است معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1،، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط مستقیم

اگر هر دو طرف معادله Ax + Vy + C = 0 در عدد ضرب شوند که نامیده می شود عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

معادله عادی یک خط مستقیم علامت ± عامل نرمال کننده باید به گونه ای انتخاب شود که μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

مثال... یک معادله کلی از خط مستقیم 12x - 5y - 65 = 0 داده شده است که نیاز به نوشتن انواع معادلات این خط مستقیم است.

معادله این خط مستقیم در قطعات:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

; cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم موازی با محورها یا عبور از مبدا.

مثال... خط مستقیم بخش های مثبت مساوی را در محورهای مختصات قطع می کند. اگر مساحت مثلثی که این قطعات تشکیل می دهند 8 سانتی متر مربع باشد، معادله خط مستقیم بسازید.

راه حل.معادله خط مستقیم به شکل زیر است:, ab / 2 = 8; ab = 16; a = 4، a = -4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

مثال... معادله خط مستقیمی را که از نقطه A (-2، -3) و مبدا می گذرد رسم کنید.

راه حل. معادله خط مستقیم به شکل زیر است: ، که در آن x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه

تعریف.اگر دو خط مستقیم y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2 داده شوند، آنگاه زاویه تند بین این خطوط مستقیم به صورت تعریف می شود.

.

اگر k 1 = k 2 دو خط مستقیم موازی باشند. اگر k 1 = -1 / k 2 باشد، دو خط مستقیم عمود هستند.

قضیه.خطوط مستقیم Ax + Vy + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 زمانی که ضرایب متناسب A 1 = λA، B 1 = λB موازی هستند. اگر همچنین С 1 = λС، خطوط بر هم منطبق هستند. مختصات نقطه تقاطع دو خط مستقیم به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شود.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد

تعریف.خط مستقیمی که از نقطه M 1 (x 1, y 1) می گذرد و عمود بر خط مستقیم y = kx + b با معادله نشان داده می شود:

فاصله از نقطه به خط

قضیه.اگر یک نقطه M (x 0، y 0) داده شود، فاصله تا خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 به عنوان تعیین می شود.

.

اثباتبگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M روی یک خط مستقیم داده شده است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:

(1)

مختصات x 1 و y 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از یک نقطه معین M 0 عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت می شود.

مثال... زاویه بین خطوط مستقیم را تعیین کنید: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = π / 4.

مثال... نشان دهید که خطوط مستقیم 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عمود هستند.

راه حل... ما پیدا می کنیم: k 1 = 3/5، k 2 = -5/3، k 1 * k 2 = -1، بنابراین، خطوط مستقیم عمود بر هم هستند.

مثال... رئوس مثلث A (0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1) داده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

راه حل... معادله ضلع AB را پیدا می کنیم: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نیاز عبارت است از: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b. k =. سپس y =. زیرا ارتفاع از نقطه C عبور می کند، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند: از آنجا b = 17. مجموع:.

پاسخ: 3 x + 2 y - 34 = 0.

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

شما می توانید بی نهایت خطوط مستقیم را در هر نقطه بکشید.

یک خط مستقیم را می توان از میان هر دو نقطه غیرمتناسب ترسیم کرد.

دو خط مستقیم ناهماهنگ در صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (از مورد قبلی پیروی می کند).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط مستقیم وجود دارد:

• خطوط مستقیم قطع می شوند.

• خطوط مستقیم موازی هستند.

• خطوط مستقیم قطع می شوند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: در دستگاه مختصات دکارتی، یک خط مستقیم

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله کلی خط مستقیم.

تعریف... هر خط مستقیم روی یک صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

تبر + وو + سی = 0،

با ثابت الف، ببه طور همزمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود مشترک

معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠ 0، B ≠ 0- خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم را می توان به اشکال مختلف، بسته به هر داده، نشان داد

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی.

تعریف... در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B)

عمود بر خط مستقیم داده شده توسط معادله

تبر + وو + سی = 0.

مثال... معادله خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد را پیدا کنید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل... در A = 3 و B = -1، معادله خط مستقیم را می سازیم: 3x - y + C = 0. برای یافتن ضریب C

مختصات نقطه داده شده A را با عبارت بدست آمده جایگزین می کنیم.

C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1، y 1، z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط مستقیم,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد. بر

در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت شیب سر راست.

مثال... معادله خط مستقیمی که از نقاط A (1، 2) و B (3، 4) می گذرد را بیابید.

راه حل... با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم به نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط مستقیم تبر + وو + سی = 0به فرم بیاورید:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با پاراگراف با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید وظیفه را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت دهنده یک خط مستقیم.

تعریف... هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aa 1 + Va 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم

تبر + وو + سی = 0.

مثال... معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل... معادله خط مستقیم مورد نیاز به شکل زیر جستجو می شود: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x = 1، y = 2ما گرفتیم C / A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0، با تقسیم بر -C، به دست می‌آید:

یا کجا

معنی هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.

مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور OU.

مثال... معادله کلی خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1،، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد که نامیده می شود

عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی خط.

علامت ± عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ * C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم،

آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال... معادله کلی خط مستقیم داده شده است 12x - 5y - 65 = 0... نوشتن انواع مختلف معادلات الزامی است

این خط مستقیم

معادله این خط در بخش ها:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط مستقیم:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما.

تعریف... اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، سپس یک زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2... دو خط مستقیم عمود هستند،

اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0زمانی که ضرایب متناسب باشند موازی هستند

А 1 = λА، В 1 = λВ... اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط مستقیم منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شوند.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد.

تعریف... خط از نقطه M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از نقطه به خط.

قضیه... اگر امتیاز داده شود M (x 0، y 0)،فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0که تعریف میشود:

اثبات... بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده عمود از نقطه افتاد مبرای یک معین

خط مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله خط مستقیمی است که از نقطه معینی M 0 عمود بر آن می گذرد.

یک خط مستقیم داده شده اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت می شود.

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

شما می توانید بی نهایت خطوط مستقیم را در هر نقطه بکشید.

یک خط مستقیم را می توان از میان هر دو نقطه غیرمتناسب ترسیم کرد.

دو خط مستقیم ناهماهنگ در صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (از مورد قبلی پیروی می کند).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط مستقیم وجود دارد:

• خطوط مستقیم قطع می شوند.

• خطوط مستقیم موازی هستند.

• خطوط مستقیم قطع می شوند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: در دستگاه مختصات دکارتی، یک خط مستقیم

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله کلی خط مستقیم.

تعریف... هر خط مستقیم روی یک صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

تبر + وو + سی = 0،

با ثابت الف، ببه طور همزمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود مشترک

معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠ 0، B ≠ 0- خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم را می توان به اشکال مختلف، بسته به هر داده، نشان داد

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی.

تعریف... در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B)

عمود بر خط مستقیم داده شده توسط معادله

تبر + وو + سی = 0.

مثال... معادله خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد را پیدا کنید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل... در A = 3 و B = -1، معادله خط مستقیم را می سازیم: 3x - y + C = 0. برای یافتن ضریب C

مختصات نقطه داده شده A را با عبارت بدست آمده جایگزین می کنیم.

C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1، y 1، z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط مستقیم,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد. بر

در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت شیب سر راست.

مثال... معادله خط مستقیمی که از نقاط A (1، 2) و B (3، 4) می گذرد را بیابید.

راه حل... با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم به نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط مستقیم تبر + وو + سی = 0به فرم بیاورید:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با پاراگراف با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید وظیفه را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت دهنده یک خط مستقیم.

تعریف... هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aa 1 + Va 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم

تبر + وو + سی = 0.

مثال... معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل... معادله خط مستقیم مورد نیاز به شکل زیر جستجو می شود: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x = 1، y = 2ما گرفتیم C / A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0، با تقسیم بر -C، به دست می‌آید:

یا کجا

معنی هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.

مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور OU.

مثال... معادله کلی خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1،، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد که نامیده می شود

عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی خط.

علامت ± عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ * C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم،

آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال... معادله کلی خط مستقیم داده شده است 12x - 5y - 65 = 0... نوشتن انواع مختلف معادلات الزامی است

این خط مستقیم

معادله این خط در بخش ها:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط مستقیم:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما.

تعریف... اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، سپس یک زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2... دو خط مستقیم عمود هستند،

اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0زمانی که ضرایب متناسب باشند موازی هستند

А 1 = λА، В 1 = λВ... اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط مستقیم منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شوند.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد.

تعریف... خط از نقطه M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از نقطه به خط.

قضیه... اگر امتیاز داده شود M (x 0، y 0)،فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0که تعریف میشود:

اثبات... بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده عمود از نقطه افتاد مبرای یک معین

خط مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله خط مستقیمی است که از نقطه معینی M 0 عمود بر آن می گذرد.

یک خط مستقیم داده شده اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت می شود.