Kaip svetainėje įterpti matematines formules?

Jei kada nors prireiks prie tinklalapio pridėti vieną ar dvi matematines formules, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių, kuriuos Wolfram Alpha automatiškai generuoja, pavidalu. Be paprastumo, tai universalus būdas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemose. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet morališkai pasenęs.

Jei savo svetainėje nuolat naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią JavaScript biblioteką, kuri rodo matematinis žymėjimasžiniatinklio naršyklėse naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą.

Yra du būdai pradėti naudoti MathJax: (1) naudodami paprastą kodą, prie savo svetainės galite greitai prijungti MathJax scenarijų, kuris tinkamu metu bus automatiškai įkeltas iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) Įkelkite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas yra sudėtingesnis ir reikalaujantis daug laiko ir leis jums pagreitinti jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba iš dokumentacijos puslapio:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, geriausia tarp žymų ir arba iškart po žymos . Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai seka ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įklijuosite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prijungti „MathJax“ yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto įkėlimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. į šablono pradžią (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasiruošę į savo tinklalapius įdėti matematines formules.

Bet koks fraktalas statomas pagal tam tikrą taisyklę, kuri nuosekliai taikoma neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodus kubus. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Pasirodo rinkinys, susidedantis iš 20 likusių mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą neribotą laiką, gauname Menger kempinę.

Apibrėžimas 9.3. Vektorius X paskambino nuosavas vektorius matricos BET jei yra toks skaičius λ, kad lygybė galioja: BET X= λ X, tai yra kreipimosi rezultatas X tiesinė transformacija, pateikta matrica BET, yra šio vektoriaus padauginimas iš skaičiaus λ . Pats skaičius λ paskambino savo numerį matricos BET.

Keitimas į formules (9.3) x` j = λx j , gauname lygčių sistemą savojo vektoriaus koordinatėms nustatyti:

. (9.5)

Ši tiesinė vienalytė sistema turės netrivialų sprendimą tik tuo atveju, jei jos pagrindinis determinantas yra 0 (Cramerio taisyklė). Įrašę šią sąlygą formoje:

gauname savųjų reikšmių nustatymo lygtį λ paskambino charakteristikos lygtis. Trumpai tariant, jis gali būti pavaizduotas taip:

| A-λE | = 0, (9.6)

kadangi jo kairioji pusė yra matricos determinantas A-λE. Polinomas atžvilgiu λ | A-λE| paskambino būdingas daugianario matricos a.

Būdingojo daugianario savybės:

1) Tiesinės transformacijos charakteringas daugianomas nepriklauso nuo pagrindo pasirinkimo. Įrodymas. (žr. (9.4)), bet vadinasi,. Taigi tai nepriklauso nuo pagrindo pasirinkimo. Vadinasi, ir | A-λE| nesikeičia pereinant prie naujo pagrindo.

2) Jei matrica BET tiesinė transformacija yra simetriškas(tie. a ij = a ji), tada visos šaknys charakteristikos lygtis(9.6) yra realieji skaičiai.

Savųjų reikšmių ir savųjų vektorių savybės:

1) Jei pagrindą pasirinksime iš savųjų vektorių x 1, x 2, x 3 atitinkančias savąsias reikšmes λ 1 , λ 2 , λ 3 matricos BET, tada tiesinė transformacija A turi įstrižainę matricą:

(9.7) Šios savybės įrodymas išplaukia iš savųjų vektorių apibrėžimo.

2) Jei transformacijos savosios reikšmės BET yra skirtingi, tada juos atitinkantys savieji vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi.

3) Jei matricos charakteringasis daugianario BET turi tris skirtingas šaknis, tada tam tikru pagrindu matrica BET turi įstrižainę formą.

Raskime matricos savitąsias reikšmes ir savuosius vektorius Padarykime charakteristikų lygtį: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Raskite kiekvieną rastą reikšmę atitinkančių savųjų vektorių koordinates λ. Iš (9.5) išplaukia, kad jeigu X (1) ={x 1, x 2, x 3) yra savasis vektorius, atitinkantis λ 1 = -2, tada

yra bendradarbiaujanti, bet neapibrėžta sistema. Jo sprendimas gali būti parašytas kaip X (1) ={a,0,-a), kur a yra bet koks skaičius. Visų pirma, jei jums to reikia | x (1) |=1, X (1) =

Pakeitimas į sistemą (9.5) λ 2 =3, gauname antrojo savojo vektoriaus koordinačių nustatymo sistemą - x (2) ={y1, y2, y3}:

, kur X (2) ={b,-b,b) arba, jei | x (2) |=1, x (2) =

Dėl λ 3 = 6 raskite savąjį vektorių x (3) ={z1, z2, z3}:

, x (3) ={c,2c,c) arba normalizuotoje versijoje

x (3) = Galima matyti, kad X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = pr. Kr- 2bc + bc= 0. Taigi šios matricos savieji vektoriai yra poriniai stačiakampiai.

10 paskaita

Kvadratinės formos ir jų ryšys su simetrinėmis matricomis. Simetrinės matricos savųjų vektorių ir savųjų reikšmių savybės. Kvadratinės formos redukcija į kanoninę formą.

Apibrėžimas 10.1.kvadratine forma realūs kintamieji x 1, x 2,…, x nšių kintamųjų atžvilgiu vadinamas antrojo laipsnio daugianario, kuriame nėra laisvojo laipsnio ir pirmojo laipsnio terminų.

Kvadratinių formų pavyzdžiai:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Prisiminkite simetrinės matricos apibrėžimą, pateiktą paskutinėje paskaitoje:

Apibrėžimas 10.2. Kvadratinė matrica vadinama simetriškas, jei , tai yra, jei pagrindinės įstrižainės atžvilgiu simetriški matricos elementai yra lygūs.

Simetrinės matricos savųjų reikšmių ir savųjų vektorių savybės:

1) Visos simetrinės matricos savosios reikšmės yra tikros.

Įrodymas (dėl n = 2).

Tegul matrica BET atrodo kaip: . Padarykime charakteristikų lygtį:

(10.2) Raskite diskriminantą:

Todėl lygtis turi tik realias šaknis.

2) Simetrinės matricos savieji vektoriai yra stačiakampiai.

Įrodymas (dėl n= 2).

Savųjų vektorių koordinatės ir turi tenkinti lygtis.

Kvadratinės matricos savasis vektorius yra tas, kurį padauginus iš nurodytos matricos, gaunamas kolinearinis vektorius. Paprastais žodžiais, kai matrica padauginama iš savojo vektoriaus, pastarasis lieka toks pat, bet padauginamas iš tam tikro skaičiaus.

Apibrėžimas

Savasis vektorius yra nulinis vektorius V, kuris, padaugintas iš kvadratinės matricos M, tampa savimi, padidintas kokiu nors skaičiumi λ. Algebriniu žymėjimu tai atrodo taip:

M × V = λ × V,

kur λ yra savitoji matricos M reikšmė.

Panagrinėkime skaitmeninį pavyzdį. Kad būtų patogiau rašyti, skaičiai matricoje bus atskirti kabliataškiu. Tarkime, kad turime matricą:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Padauginkime jį iš stulpelio vektoriaus:

• V = -2;

Padauginus matricą iš stulpelio vektoriaus, gauname ir stulpelio vektorių. Griežta matematine kalba 2 × 2 matricos padauginimo iš stulpelio vektoriaus formulė atrodytų taip:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11 reiškia matricos M elementą, esantį pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje, o M22 yra elementas, esantis antroje eilutėje ir antrame stulpelyje. Mūsų matricoje šie elementai yra M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Stulpelio vektoriui šios reikšmės yra V11 = –2, V21 = 1. Pagal šią formulę gauname: kvadratinės matricos sandaugos iš vektoriaus rezultatas:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Patogumui stulpelio vektorių įrašome į eilutę. Taigi, kvadratinę matricą padauginome iš vektoriaus (-2; 1), gaudami vektorių (4; -2). Akivaizdu, kad tai yra tas pats vektorius, padaugintas iš λ = -2. Lambda šiuo atveju reiškia savąją matricos reikšmę.

Savasis matricos vektorius yra kolinearinis vektorius, tai yra objektas, kuris nekeičia savo padėties erdvėje, kai jį padaugina iš matricos. Vektorinės algebros kolineariškumo samprata yra panaši į geometrijos lygiagretumo terminą. Geometrinėje interpretacijoje kolineariniai vektoriai yra lygiagrečiai nukreipti segmentai skirtingi ilgiai. Nuo Euklido laikų žinome, kad vienoje tiesėje yra begalinis jai lygiagrečių eilučių skaičius, todėl logiška manyti, kad kiekviena matrica turi begalinį skaičių savųjų vektorių.

Iš ankstesnio pavyzdžio matyti, kad ir (-8; 4), ir (16; -8), ir (32, -16) gali būti savieji vektoriai. Visi tai yra kolineariniai vektoriai, atitinkantys savąją reikšmę λ = -2. Pradinę matricą padauginus iš šių vektorių, vis tiek gausime vektorių, kuris nuo originalo skiriasi 2 kartus. Štai kodėl, sprendžiant savojo vektoriaus radimo uždavinius, reikia rasti tik tiesiškai nepriklausomus vektorinius objektus. Dažniausiai n × n matricoje yra n-asis savųjų vektorių skaičius. Mūsų skaičiuotuvas skirtas antros eilės kvadratinių matricų analizei, todėl beveik visada bus rasti du savieji vektoriai, išskyrus atvejus, kai jie sutampa.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje mes iš anksto žinojome pradinės matricos savąjį vektorių ir vizualiai nustatėme lambda skaičių. Tačiau praktikoje viskas vyksta atvirkščiai: pradžioje yra savosios reikšmės, o tik tada savieji vektoriai.

Sprendimo algoritmas

Dar kartą pažiūrėkime į pradinę matricą M ir pabandykime rasti abu jos savuosius vektorius. Taigi matrica atrodo taip:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Pirmiausia turime nustatyti savąją reikšmę λ, kuriai turime apskaičiuoti šios matricos determinantą:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Ši matrica gaunama iš pagrindinės įstrižainės elementų atėmus nežinomą λ. Determinantas nustatomas pagal standartinę formulę:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Kadangi mūsų vektorius neturi būti lygus nuliui, gautą lygtį laikome tiesiškai priklausoma ir savo determinantą detA prilyginame nuliui.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Atidarykime skliaustus ir gaukime būdingą matricos lygtį:

λ 2 - 10 λ - 24 = 0

Tai yra standartinė kvadratinė lygtis, kuris turi būti išspręstas atsižvelgiant į diskriminantą.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

Diskriminanto šaknis yra sqrt(D) = 14, taigi λ1 = -2, λ2 = 12. Dabar kiekvienai lambda reikšmei turime rasti savąjį vektorių. Išreikškime sistemos koeficientus, kai λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Šioje formulėje E yra tapatybės matrica. Pagal gautą matricą sudarysime sistemą tiesines lygtis:

2x + 4m = 6x + 12m

kur x ir y yra savojo vektoriaus elementai.

Surinkime visus X kairėje ir visus Y dešinėje. Akivaizdu – 4x = 8m. Padalinkite išraišką iš - 4 ir gaukite x = -2y. Dabar galime nustatyti pirmąjį matricos savąjį vektorių, imdami bet kokias nežinomųjų reikšmes (atminkite apie tiesiškai priklausomų savųjų vektorių begalybę). Paimkime y = 1, tada x = -2. Todėl pirmasis savasis vektorius atrodo kaip V1 = (–2; 1). Grįžkite į straipsnio pradžią. Būtent iš šio vektorinio objekto padauginome matricą, kad parodytume savojo vektoriaus sąvoką.

Dabar suraskime savąjį vektorių, kai λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Sudarykime tą pačią tiesinių lygčių sistemą;

• -12x + 4y = 6x -2m
• -18x = -6m
• 3x=y.

Dabar imkime x = 1, taigi y = 3. Taigi antrasis savasis vektorius atrodo kaip V2 = (1; 3). Pradinę matricą padauginus iš šio vektoriaus, rezultatas visada bus tas pats vektorius, padaugintas iš 12. Taip baigiamas sprendimo algoritmas. Dabar jūs žinote, kaip rankiniu būdu apibrėžti matricos savąjį vektorių.

• determinantas;
• pėdsakas, tai yra pagrindinės įstrižainės elementų suma;
• rangas, tai yra maksimali suma tiesiškai nepriklausomos eilutės / stulpeliai.

Programa veikia pagal aukščiau pateiktą algoritmą, sumažindama sprendimo procesą. Svarbu pažymėti, kad programoje lambda žymima raide „c“. Pažvelkime į skaitmeninį pavyzdį.

Programos pavyzdys

Pabandykime apibrėžti šios matricos savuosius vektorius:

• M = 5; trylika;
• 4; 14.

Įveskime šias reikšmes į skaičiuoklės langelius ir gaukime atsakymą tokia forma:

• Matricos reitingas: 2;
• Matricos determinantas: 18;
• Matricos pėdsakas: 19;
• Savojo vektoriaus skaičiavimas: c 2 − 19,00c + 18,00 (charakteristikos lygtis);
• Savojo vektoriaus skaičiavimas: 18 (pirmoji lambda reikšmė);
• Savojo vektoriaus skaičiavimas: 1 (antra lambda reikšmė);
• 1 vektoriaus lygčių sistema: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• 2 vektorių lygčių sistema: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• 1 savasis vektorius: (1; 1);
• 2 savasis vektorius: (-3,25; 1).

Taigi mes gavome du tiesiškai nepriklausomus savuosius vektorius.

Išvada

Tiesinė algebra ir analitinė geometrija yra standartiniai dalykai kiekvienam pirmakursiui inžinerijoje. Didelis skaičius vektoriai ir matricos yra bauginantis, ir lengva padaryti klaidą atliekant tokius sudėtingus skaičiavimus. Mūsų programa leis studentams patikrinti savo skaičiavimus arba automatiškai išspręsti savojo vektoriaus radimo problemą. Mūsų kataloge yra ir kitų tiesinės algebros skaičiuotuvų, naudokite juos studijuodami ar darbe.

Savosios reikšmės (skaičiai) ir savieji vektoriai.
Sprendimo pavyzdžiai

Būk savimi

Iš abiejų lygčių matyti, kad .

Tada įdėkime: .

Kaip rezultatas: yra antrasis savasis vektorius.

Pakartokime svarbius punktus sprendimai:

– sukurta sistema tikrai turi bendras sprendimas(lygtys yra tiesiškai priklausomos);

- "Y" parenkamas taip, kad jis būtų sveikasis skaičius, o pirmoji "x" koordinatė būtų sveikoji, teigiama ir kiek įmanoma mažesnė.

– patikriname, ar konkretus sprendimas tenkina kiekvieną sistemos lygtį.

Atsakymas .

Tarpinių „kontrolinių taškų“ visiškai pakako, todėl lygybių tikrinimas iš principo yra perteklinis.

Įvairiuose informacijos šaltiniuose savųjų vektorių koordinatės dažnai rašomos ne stulpeliais, o eilutėmis, pvz.: (ir, tiesą pasakius, aš pats jas rašydavau eilėmis). Ši parinktis yra priimtina, tačiau atsižvelgiant į temą tiesinės transformacijos techniškai patogiau naudoti stulpelių vektoriai.

Galbūt sprendimas jums atrodė labai ilgas, bet taip yra tik todėl, kad labai išsamiai pakomentavau pirmąjį pavyzdį.

2 pavyzdys

matricos

Treniruojamės savarankiškai! Apytikslis galutinio užduoties dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje.

Kartais reikia padaryti papildoma užduotis, būtent:

parašykite matricos kanoninį skaidymą

Kas tai yra?

Jei matricos savieji vektoriai susidaro pagrindu, tada jis gali būti pavaizduotas taip:

Kur yra matrica, sudaryta iš savųjų vektorių koordinačių, - įstrižainės matrica su atitinkamomis savosiomis reikšmėmis.

Šis matricos skaidymas vadinamas kanoninis arba įstrižainės.

Apsvarstykite pirmojo pavyzdžio matricą. Jos pačios vektoriai tiesiškai nepriklausomas(nekolinearinis) ir sudaro pagrindą. Iš jų koordinačių sudarykime matricą:

Ant pagrindinė įstrižainė matricos tinkama tvarka yra savosios reikšmės, o likę elementai yra lygūs nuliui:
- dar kartą pabrėžiu eilės svarbą: "du" atitinka 1 vektorių, todėl yra 1 stulpelyje, "trys" - 2 vektorių.

Pagal įprastą paieškos algoritmą atvirkštinė matrica arba Gauss-Jordan metodas rasti . Ne, tai nėra rašybos klaida! - prieš tave yra reta, kaip saulės užtemimasįvykis, kai atvirkštinė vertė atitiko pradinę matricą.

Belieka parašyti kanoninį matricos skaidymą:

Sistema gali būti išspręsta naudojant elementarios transformacijos o toliau pateiktuose pavyzdžiuose pasitelksime šį metodą. Tačiau čia „mokyklos“ metodas veikia daug greičiau. Iš 3 lygties išreiškiame: - pakeiskite į antrąją lygtį:

Kadangi pirmoji koordinatė lygi nuliui, gauname sistemą , Iš kiekvienos lygties išplaukia, kad .

Ir vėl atkreipkite dėmesį į privalomą linijinio ryšio buvimą. Jei gaunamas tik trivialus sprendimas , tada arba savoji reikšmė buvo rasta neteisingai, arba sistema buvo sudaryta / išspręsta su klaida.

Kompaktiškos koordinatės suteikia vertę

Savasvektorius:

Ir dar kartą patikriname, ar rastas sprendimas tenkina kiekvieną sistemos lygtį. Tolesnėse pastraipose ir tolesnėse užduotyse rekomenduoju šį norą priimti kaip privalomą taisyklę.

2) Dėl savosios reikšmės, vadovaudamiesi tuo pačiu principu, gauname kita sistema:

Iš 2-osios sistemos lygties išreiškiame: - pakeiskite į trečiąją lygtį:

Kadangi "Z" koordinatė lygi nuliui, gauname sistemą, iš kurios kiekvienos lygties atsiranda tiesinė priklausomybė.

Leisti būti

Mes patikriname, ar sprendimas tenkina kiekvieną sistemos lygtį.

Taigi savasis vektorius: .

3) Ir, galiausiai, sistema atitinka savo vertę:

Antroji lygtis atrodo paprasčiausia, todėl ją išreiškiame ir pakeičiame į 1 ir 3 lygtis:

Viskas gerai – atsiskleidė linijinė priklausomybė, kurią pakeičiame išraiška:

Dėl to "X" ir "Y" buvo išreikšti per "Z": . Praktiškai nebūtina siekti tik tokių santykių, kai kuriais atvejais patogiau išreikšti tiek per arba ir per . Ar net „traukinys“ – pavyzdžiui, nuo „X“ iki „Y“ ir „Y“ iki „Z“

Tada įdėkime:

Mes patikriname, ar rastas sprendimas tenkina kiekvieną sistemos lygtį ir parašo trečiąjį savąjį vektorių

Atsakymas: savieji vektoriai:

Geometriškai šie vektoriai apibrėžia tris skirtingas erdvines kryptis ("Ten ir vėl atgal"), pagal kurią tiesinė transformacija nulinius vektorius (saviškuosius vektorius) paverčia jiems kolineariais vektoriais.

Jei pagal sąlygą reikėjo rasti kanoninį išplėtimą, tai čia įmanoma, nes skirtingos savosios reikšmės atitinka skirtingus tiesiškai nepriklausomus savuosius vektorius. Sudarome matricą iš jų koordinačių – įstrižainės matricos iš Aktualus savąsias reikšmes ir rasti atvirkštinė matrica .

Jeigu pagal sąlygą reikia rašyti tiesinės transformacijos matrica savųjų vektorių pagrindu, tada pateikiame atsakymą formoje . Yra skirtumas ir reikšmingas skirtumas!Šiai matricai yra matrica „de“.

Problema su paprastesniais nepriklausomo sprendimo skaičiavimais:

5 pavyzdys

Raskite tiesinės transformacijos savuosius vektorius, pateiktus matrica

Surasdami savo skaičius stenkitės, kad atvejis nebūtų įtrauktas į 3 laipsnio daugianarį. Be to, jūsų sistemos sprendimai gali skirtis nuo mano sprendimų – čia nėra vienareikšmiškumo; ir rasti vektoriai gali skirtis nuo pavyzdinių vektorių iki proporcingumo jų atitinkamoms koordinatėms. Pavyzdžiui, ir. Estetiškiau pateikti atsakymą forma , bet gerai, jei sustosite ties antruoju variantu. Tačiau viskam yra pagrįstos ribos, versija nebeatrodo labai gerai.

Apytikslis galutinis užduoties pavyzdys pamokos pabaigoje.

Kaip išspręsti problemą, kai yra daug savųjų reikšmių?

Bendras algoritmas išlieka toks pat, tačiau turi savų ypatumų, todėl kai kurias sprendimo dalis patartina išlaikyti griežtesniu akademiniu stiliumi:

6 pavyzdys

Raskite savąsias reikšmes ir savuosius vektorius

Sprendimas

Žinoma, didžiosiomis raidėmis pasakykime pirmąjį stulpelį:

Ir, įvertinus kvadratinį trinarį:

Dėl to gaunamos savosios reikšmės, iš kurių dvi yra kartotinės.

Raskime savuosius vektorius:

1) Su vienišu kariu susitvarkysime pagal „supaprastintą“ schemą:

Iš paskutinių dviejų lygčių aiškiai matoma lygybė, kurią, be abejo, reikėtų pakeisti 1-ąja sistemos lygtimi:

Nėra geresnio derinio:
Savasvektorius:

2-3) Dabar pašaliname porą sargybinių. Šiuo atveju gali būti arba du arba vienas savasis vektorius. Neatsižvelgiant į šaknų daugumą, determinanto reikšmę pakeičiame , kuri mums pateikia šiuos dalykus vienalytė tiesinių lygčių sistema:

Savotieji vektoriai yra būtent tie vektoriai
pagrindinė sprendimų sistema

Tiesą sakant, per visą pamoką mes užsiėmėme tik pagrindinės sistemos vektorių paieška. Tik kol kas Šis terminas nebuvo ypač reikalaujama. Beje, tie vikrūs mokiniai, kurie maskuodamiesi vienarūšės lygtys, dabar bus priverstas jį parūkyti.

Vienintelis veiksmas buvo pašalinti papildomas eilutes. Rezultatas yra „vienas po trijų“ matrica su formaliu „žingsniu“ viduryje.
– pagrindinis kintamasis, – laisvieji kintamieji. Yra du laisvi kintamieji, todėl taip pat yra du pagrindinės sistemos vektoriai.

Išreikškime pagrindinį kintamąjį laisvaisiais kintamaisiais: . Nulinis koeficientas prieš „x“ leidžia jam įgyti absoliučiai bet kokias reikšmes (tai taip pat aiškiai matoma iš lygčių sistemos).

Šios problemos kontekste bendrąjį sprendimą patogiau rašyti ne eilute, o stulpelyje:

Pora atitinka savąjį vektorių:
Pora atitinka savąjį vektorių:

Pastaba : sudėtingi skaitytojai gali pasiimti šiuos vektorius žodžiu – tiesiog analizuodami sistemą , bet čia reikia tam tikrų žinių: yra trys kintamieji, sistemos matricos rangas- vienetas reiškia pagrindinė sprendimų sistema susideda iš 3 – 1 = 2 vektorių. Tačiau rasti vektoriai yra puikiai matomi net ir be šių žinių, grynai intuityviu lygmeniu. Šiuo atveju trečiasis vektorius bus parašytas dar „gražiau“: . Tačiau perspėju, kitame pavyzdyje gali būti ne paprastas pasirinkimas, todėl rezervacija skirta patyrusiems žmonėms. Be to, kodėl gi ne kaip trečiąjį vektorių, tarkime, ? Juk jos koordinatės taip pat tenkina kiekvieną sistemos lygtį ir vektorius yra tiesiškai nepriklausomi. Ši parinktis iš esmės yra tinkama, bet „kreiva“, nes „kitas“ vektorius yra linijinis pagrindinės sistemos vektorių derinys.

Atsakymas: savosios reikšmės: , savieji vektoriai:

Panašus „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:

7 pavyzdys

Raskite savąsias reikšmes ir savuosius vektorius

Apytikslis užbaigimo pavyzdys pamokos pabaigoje.

Pažymėtina, kad tiek 6, tiek 7 pavyzdžiuose gaunamas tiesiškai nepriklausomų savųjų vektorių trigubas, todėl pradinė matrica gali būti pavaizduota kanoninėje plėtinyje . Tačiau tokios avietės pasitaiko ne visais atvejais:

8 pavyzdys

Sprendimas: sudaryti ir išspręsti charakteristikos lygtį:

Determinantą išplečiame pirmuoju stulpeliu:

Tolesnius supaprastinimus atliekame pagal nagrinėjamą metodą, išvengdami 3-ojo laipsnio daugianario:

yra savosios reikšmės.

Raskime savuosius vektorius:

1) Su šaknimis nėra jokių sunkumų:

Nenustebkite, be komplekto, taip pat naudojami kintamieji - čia nėra skirtumo.

Iš 3 lygties išreiškiame - pakeičiame į 1 ir 2 lygtis:

Iš abiejų lygčių seka:

Leisk tada:

2-3) Jei yra kelios reikšmės, gauname sistemą .

Užrašykime sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laiptuotą formą:

Įstrižainės matricos yra paprasčiausiai išdėstytos. Kyla klausimas, ar įmanoma rasti pagrindą, kuriame tiesinio operatoriaus matrica turėtų įstrižainę. Toks pagrindas yra.
Tegu duota tiesinė erdvė R n ir joje veikiantis tiesinis operatorius A; šiuo atveju operatorius A paima R n į save, tai yra A:R n → R n .

Apibrėžimas. Nenulinis vektorius vadinamas savuoju operatoriaus A vektoriumi, jei operatorius A virsta jam kolineariniu vektoriumi, ty . Skaičius λ vadinamas savąja reikšme arba savąja operatoriaus A reikšme, atitinkančia savąjį vektorių .
Atkreipiame dėmesį į kai kurias savųjų reikšmių ir savųjų vektorių savybes.
1. Bet koks tiesinis savųjų vektorių derinys operatoriaus A, atitinkančio tą pačią savąją reikšmę, λ yra savasis vektorius, turintis tą pačią savąją reikšmę.
2. Savotieji vektoriai operatorius A su poromis skirtingomis savosiomis reikšmėmis λ 1 , λ 2 , …, λ m yra tiesiškai nepriklausomas.
3. Jei savosios reikšmės λ 1 =λ 2 = λ m = λ, tai savoji reikšmė λ atitinka ne daugiau kaip m tiesiškai nepriklausomų savųjų vektorių.

Taigi, jei yra n tiesiškai nepriklausomų savųjų vektorių atitinkančias skirtingas savąsias reikšmes λ 1 , λ 2 , …, λ n , tada jos yra tiesiškai nepriklausomos, todėl jas galima laikyti erdvės R n pagrindu. Raskime tiesinio operatoriaus A matricos formą jo savųjų vektorių pagrindu, kuriai veikiame su operatoriumi A remiantis baziniais vektoriais: tada .
Taigi tiesinio operatoriaus A matrica, pagrįsta jos savaisiais vektoriais, turi įstrižainę, o operatoriaus A savosios reikšmės yra įstrižainėje.
Ar yra dar vienas pagrindas, kuriame matrica turi įstrižinę formą? Atsakymą į šį klausimą duoda tokia teorema.

Teorema. Tiesinio operatoriaus A matrica bazėje (i = 1..n) turi įstrižainę tada ir tik tada, kai visi pagrindo vektoriai yra operatoriaus A savieji vektoriai.

Taisyklė, kaip rasti savąsias reikšmes ir savuosius vektorius

Tegul vektorius , kur x 1 , x 2 , …, x n - vektoriaus koordinatės pagrindo atžvilgiu ir yra tiesinio operatoriaus A savasis vektorius, atitinkantis savąją reikšmę λ, t.y. Šis ryšys gali būti parašytas matricos forma

. (*)

Lygtį (*) galima laikyti lygtimi ieškant , ir , tai yra, mus domina netrivialūs sprendiniai, nes savasis vektorius negali būti lygus nuliui. Yra žinoma, kad netrivialūs vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendiniai egzistuoja tada ir tik tada, kai det(A - λE) = 0. Taigi, kad λ būtų operatoriaus A savoji reikšmė, būtina ir pakanka, kad det(A - λE) ) = 0.
Jei lygtis (*) parašyta išsamiai koordinačių forma, tada gauname tiesinę sistemą vienarūšės lygtys:

(1)
kur yra tiesinio operatoriaus matrica.

Sistema (1) turi nulinį sprendinį, jei jos determinantas D yra lygus nuliui

Gavome lygtį savųjų reikšmių paieškai.
Ši lygtis vadinama charakteringąja lygtimi, o kairioji jos pusė vadinama matricos (operatoriaus) A charakteringuoju polinomu. Jei charakteringasis daugianomas neturi realių šaknų, tai matrica A neturi savųjų vektorių ir negali būti redukuojama į įstrižainę.
Tegul λ 1 , λ 2 , …, λ n yra tikrosios charakteristikos lygties šaknys ir tarp jų gali būti kartotiniai. Pakeitę šias reikšmes į sistemą (1), randame savuosius vektorius.

12 pavyzdys. Tiesinis operatorius A veikia R 3 pagal dėsnį , kur x 1 , x 2 , .., x n yra pagrindo vektoriaus koordinatės , , . Raskite šio operatoriaus savąsias reikšmes ir savuosius vektorius.
Sprendimas. Sudarome šio operatoriaus matricą:
.
Sudarome savųjų vektorių koordinačių nustatymo sistemą:

Sudarome charakteristikų lygtį ir ją išsprendžiame:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Sistemoje pakeitę λ = -1, gauname:
arba
Kaip , tada yra du priklausomi kintamieji ir vienas laisvas kintamasis.
Tada tegul x 1 yra laisvas nežinomasis Mes sprendžiame šią sistemą bet kokiu būdu ir randame bendrą šios sistemos sprendimą: Fundamentali sistema sprendinius sudaro vienas sprendinys, nes n - r = 3 - 2 = 1.
Savųjų vektorių aibė, atitinkanti savąją reikšmę λ = -1, turi formą: , kur x 1 yra bet koks skaičius, išskyrus nulį. Pažymime vieną vektorių iš šios aibės, pavyzdžiui, nustatydami x 1 = 1: .
Panašiai argumentuodami randame savąjį vektorių, atitinkantį savąją reikšmę λ = 3: .
Erdvėje R 3 pagrindas susideda iš trijų tiesiškai nepriklausomų vektorių, tačiau gavome tik du tiesiškai nepriklausomus savuosius vektorius, iš kurių negalima sudaryti pagrindo R 3. Vadinasi, tiesinio operatoriaus matrica A negali būti redukuota į įstrižainę.

13 pavyzdys Duota matrica .
1. Įrodykite, kad vektorius yra matricos A savasis vektorius. Raskite šį savąjį vektorių atitinkančią savąją reikšmę.
2. Raskite pagrindą, kuriame matrica A turi įstrižainę.
Sprendimas.
1. Jei , tai yra savivektorius

.
Vektorius (1, 8, -1) yra savasis vektorius. Savoji reikšmė λ = -1.
Matrica turi įstrižainę formą, kurią sudaro savieji vektoriai. Vienas iš jų yra žinomas. Suraskime likusius.
Ieškome savųjų vektorių iš sistemos:

Charakteristinė lygtis: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Raskite savąjį vektorių, atitinkantį savąją reikšmę λ = -3:

Šios sistemos matricos rangas yra lygus dviem ir yra lygus skaičiui Nežinomieji, todėl ši sistema turi tik nulinį sprendinį x 1 = x 3 = 0. x 2 čia gali būti bet kas kitas nei nulis, pavyzdžiui, x 2 = 1. Taigi vektorius (0,1,0) yra savasis vektorius , atitinka λ = -3. Patikrinkime:
.
Jei λ = 1, tada gauname sistemą
Matricos rangas yra du. Nubraukite paskutinę lygtį.
Tegul x 3 yra laisvas nežinomasis. Tada x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 = 9x 3.
Darant prielaidą, kad x 3 = 1, turime (-3,-9,1) - savąjį vektorių, atitinkantį savąją reikšmę λ = 1. Patikrinkite:

.
Kadangi savosios reikšmės yra realios ir skirtingos, jas atitinkantys vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, todėl juos galima paimti kaip pagrindą R 3 . Taigi, pagrinde , , A matrica turi tokią formą:
.
Ne kiekviena tiesinio operatoriaus A:R n → R n matrica gali būti redukuojama į įstrižainę, nes kai kuriems tiesiniams operatoriams gali būti mažiau nei n tiesiškai nepriklausomų savųjų vektorių. Tačiau, jei matrica yra simetriška, tada lygiai m tiesiškai nepriklausomų vektorių atitinka būdingos daugumos m lygties šaknį.

Apibrėžimas. Simetrine matrica vadinama kvadratinė matrica, kurioje simetriški pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs, tai yra, kuriame .
Pastabos. 1. Visos simetrinės matricos savosios reikšmės yra tikros.
2. Simetrinės matricos savieji vektoriai, atitinkantys poromis skirtingas savąsias reikšmes, yra ortogonalūs.
Kaip vieną iš daugelio tiriamo aparato pritaikymo būdų, mes laikome antros eilės kreivės formos nustatymo problemą.