Vienarūšių tiesinių lygčių sistemų sprendimas. Pagrindinis vienarūšės tiesinių lygčių sistemos sprendinių rinkinys

Galite užsisakyti išsamų savo problemos sprendimą!!!

Norėdami suprasti, kas yra pagrindinė sprendimų sistema spustelėję galite žiūrėti to paties pavyzdžio vaizdo pamoką. Dabar pereikime prie tikrojo visų būtinų darbų aprašymo. Tai padės išsamiau suprasti šio klausimo esmę.

Kaip rasti pagrindinę tiesinės lygties sprendinių sistemą?

Paimkite, pavyzdžiui, šią tiesinių lygčių sistemą:

Raskime šios tiesinės lygčių sistemos sprendimą. Norėdami pradėti, mes reikia užrašyti sistemos koeficientų matricą.

Paverskime šią matricą į trikampę. Pirmą eilutę perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, kurių vertė yra mažesnė nei $ a_ (11) $, turi būti padaryti nuliais. Norėdami, kad elemento $ a_ (21) $ vietoje būtų nulis, iš antrosios eilutės atimkite pirmąjį, o skirtumą parašykite antroje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $ a_ (31) $ padaryti nulį, iš trečios eilutės atimkite pirmąjį ir trečioje eilutėje parašykite skirtumą. Norėdami vietoj elemento $ a_ (41) $ padaryti nulį, iš ketvirtos eilutės atimkite pirmąjį, padaugintą iš 2, ir ketvirtoje eilutėje parašykite skirtumą. Norėdami vietoj elemento $ a_ (31) $ padaryti nulį, iš penktos eilutės atimkite pirmąjį, padaugintą iš 2, ir penktoje eilutėje parašykite skirtumą.

Pirmą ir antrą eilutes perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, kurių vertė yra mažesnė nei $ a_ (22) $, turi būti padaryti nuliais. Norėdami vietoj elemento $ a_ (32) $ padaryti nulį, iš trečiosios eilutės atimkite antrąjį, padaugintą iš 2, ir trečioje eilutėje parašykite skirtumą. Norėdami vietoj elemento $ a_ (42) $ padaryti nulį, iš ketvirtos eilutės atimkite antrąjį, padaugintą iš 2, ir ketvirtoje eilutėje parašykite skirtumą. Norėdami vietoj elemento $ a_ (52) $ padaryti nulį, iš penktos eilutės atimkite antrąjį, padaugintą iš 3, ir penktoje eilutėje parašykite skirtumą.

Mes tai matome paskutinės trys eilutės yra vienodos, todėl, jei iš ketvirtos ir penktos atimsite trečiąjį, tada jie taps nuliu.

Pagal šią matricą parašyti naują lygčių sistemą.

Matome, kad turime tik tris tiesiškai nepriklausomas lygtis ir penkis nežinomuosius, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš dviejų vektorių. Taigi mes turite perkelti paskutinius du nežinomuosius į dešinę.

Dabar mes pradedame išreikšti tuos nežinomus dalykus, kurie yra kairėje pusėje, per tuos, kurie yra dešinėje. Pradedame nuo paskutinės lygties, pirmiausia išreiškiame $ x_3 $, tada gautą rezultatą pakeičiame į antrą lygtį ir išreiškiame $ x_2 $, o tada į pirmą lygtį ir čia išreiškiame $ x_1 $. Taigi mes visi nežinomieji kairėje pusėje išreiškiame per nežinomuosius dešinėje.

Po to vietoj $ x_4 $ ir $ x_5 $ galime pakeisti bet kokius skaičius ir rasti $ x_1 $, $ x_2 $ ir $ x_3 $. Kiekvienas iš šių penkių skaičių bus mūsų pradinės lygčių sistemos šaknys. Norėdami rasti vektorius, kurie yra įtraukti į FSR Vietoj $ x_4 $ turime pakeisti 1, o vietoj $ x_5 $ pakeisti 0, rasti $ x_1 $, $ x_2 $ ir $ x_3 $, o tada atvirkščiai $ x_4 = 0 $ ir $ x_5 = 1 $.

Vadinamos tiesinių lygčių sistemos, kuriose visi laisvieji nariai lygūs nuliui vienalytis :

Bet kuri vienalytė sistema visada yra suderinama, nes ji visada turi nulis (trivialus ) sprendimas. Kyla klausimas, kokiomis sąlygomis vienalytė sistema turės netrivialų sprendimą.

5.2 teorema.Vienalytė sistema turi netrivialų sprendimą tada ir tik tada, kai pagrindinės matricos rangas yra mažesnis už jos nežinomųjų skaičių.

Pasekmė... Kvadratinė vienalytė sistema turi netrivialų sprendimą tada ir tik tada, kai pagrindinės sistemos matricos determinantas nėra lygus nuliui.

5.6 pavyzdys. Nustatykite parametro l reikšmes, kurioms sistema turi netrivialius sprendimus, ir raskite šiuos sprendimus:

Sprendimas... Ši sistema turės netrivialų sprendimą, kai pagrindinės matricos determinantas yra lygus nuliui:

Taigi sistema yra netriviali, kai l = 3 arba l = 2. Jei l = 3, pagrindinės sistemos matricos rangas yra 1. Tada paliekant tik vieną lygtį ir darant prielaidą, kad y=a ir z=b, mes gauname x = b-a, t.y.

Jei l = 2, sistemos pagrindinės matricos rangas yra 2. Tada pasirenkant mažąją kaip pagrindą:

gauname supaprastintą sistemą

Iš to mes tai sužinome x = z/4, y = z/ 2. Darant prielaidą z=4a, mes gauname

Visų vienalytės sistemos sprendinių rinkinys turi labai svarbų linijinė savybė : jei X stulpeliai 1 ir X 2 - vienalytės sistemos AX = 0 sprendiniai, tada bet koks tiesinis jų derinys a X 1 + b X 2 taip pat bus šios sistemos sprendimas... Tiesa, nuo AX 1 = 0 ir AX 2 = 0 , tada A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Būtent dėl ​​šios savybės, jei tiesinė sistema turi daugiau nei vieną sprendinį, tai šių sprendinių bus be galo daug.

Tiesiškai nepriklausomi stulpeliai E 1 , E 2 , E k vadinami vienalytės sistemos sprendiniais pagrindinė sprendimų sistema vienalytė tiesinių lygčių sistema, jei šios sistemos bendrąjį sprendinį galima parašyti kaip tiesinį šių stulpelių derinį:

Jei vienalytė sistema turi n kintamieji, o sistemos pagrindinės matricos rangas yra r, tada k = n-r.

5.7 pavyzdys. Raskite pagrindinę šios tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistemą:

Sprendimas... Raskime pagrindinės sistemos matricos rangą:

Taigi šios lygčių sistemos sprendinių rinkinys sudaro tiesinę dimensijos poerdvę n - r= 5 - 2 = 3. Pasirinkite kaip pagrindinį minorą

.

Tada, palikdami tik pagrindines lygtis (likusioji bus tiesinė šių lygčių kombinacija) ir pagrindinius kintamuosius (likusius, vadinamuosius laisvuosius kintamuosius, pereiname į dešinę), gauname supaprastintą lygčių sistemą:

Darant prielaidą x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, mes randame

, .

Darant prielaidą a= 1, b = c= 0, gauname pirmąjį pagrindinį sprendinį; darant prielaidą b= 1, a = c= 0, gauname antrąjį pagrindinį sprendinį; darant prielaidą c= 1, a = b= 0, gauname trečiąjį pagrindinį sprendinį. Dėl to įprasta esminių sprendimų sistema įgauna formą

Naudojant pagrindinę sistemą, bendras homogeninės sistemos sprendimas gali būti parašytas formoje

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Atkreipkime dėmesį į kai kurias nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinių savybes AX = B ir jų ryšį su atitinkama vienarūše lygčių sistema AX = 0.

Bendras heterogeninės sistemos sprendimasyra lygi atitinkamos vienalytės sistemos bendrojo sprendinio AX = 0 ir savavališko nehomogeninės sistemos konkretaus sprendinio sumai... Tikrai, tegul Y 0 yra savavališkas konkretus nehomogeninės sistemos sprendimas, t.y. AY 0 = B, ir Y- heterogeninės sistemos bendras sprendimas, t.y. AY = B... Vieną lygybę atėmę iš kitos gauname
A(Y-Y 0) = 0, t.y. Y - Y 0 yra atitinkamos vienalytės sistemos bendras sprendinys AX= 0. Vadinasi, Y - Y 0 = X, arba Y = Y 0 + X... Q.E.D.

Tegul nehomogeninė sistema yra AX = B formos 1 + B 2 . Tada bendras tokios sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip X = X 1 + X 2 , kur AX 1 = B 1 ir AX 2 = B 2. Ši savybė išreiškia universalią bet kokių tiesinių sistemų savybę (algebrinę, diferencinę, funkcinę ir kt.). Fizikoje ši savybė vadinama superpozicijos principas, elektros ir radijo inžinerijoje - perdangos principas... Pavyzdžiui, tiesinių elektros grandinių teorijoje srovę bet kurioje grandinėje galima gauti kaip algebrinę srovių sumą, kurią sukelia kiekvienas energijos šaltinis atskirai.

Homogeninė tiesinių lygčių sistema lauke

APIBRĖŽIMAS. Pamatinė lygčių sistemos (1) sprendinių sistema yra netuščia tiesiškai nepriklausoma jos sprendinių sistema, kurios tiesinis korpusas sutampa su visų (1) sistemos sprendinių aibe.

Atkreipkite dėmesį, kad vienalytė tiesinių lygčių sistema, turinti tik nulinį sprendimą, neturi pagrindinės sprendinių sistemos.

PASIŪLYMAS 3.11. Bet kurios dvi pagrindinės vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistemos susideda iš to paties sprendinių skaičiaus.

Įrodymas. Iš tiesų, bet kurios dvi pagrindinės vienalytės lygčių sistemos (1) sprendimų sistemos yra lygiavertės ir tiesiškai nepriklausomos. Todėl pagal 1.12 teiginį jų eilės yra lygios. Vadinasi, į vieną pagrindinę sistemą įtrauktų sprendinių skaičius yra lygus sprendinių, įtrauktų į bet kurią kitą pamatinę sprendinių sistemą, skaičiui.

Jei homogeninės lygčių sistemos (1) pagrindinė matrica A yra lygi nuliui, tai bet kuris vektorius iš yra sistemos (1) sprendinys; šiuo atveju bet koks tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinys yra pagrindinė sprendimų sistema. Jei matricos A stulpelio rangas yra lygus, tai sistema (1) turi tik vieną sprendinį – nulį; todėl šiuo atveju (1) lygčių sistema neturi fundamentalios sprendinių sistemos.

TEOREMA 3.12. Jei homogeninės tiesinių lygčių sistemos (1) pagrindinės matricos rangas yra mažesnis už kintamųjų skaičių, tai sistema (1) turi pagrindinę sprendinių sistemą, susidedančią iš sprendinių.

Įrodymas. Jei homogeninės sistemos (1) pagrindinės matricos A rangas yra lygus nuliui arba, tai aukščiau buvo parodyta, kad teorema yra teisinga. Todėl toliau daroma prielaida, kad darant prielaidą, kad pirmieji matricos A stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi. Šiuo atveju matrica A yra lygiavertė sumažintai pakopinei matricai, o sistema (1) yra lygiavertė šiai sumažintai pakopinei lygčių sistemai:

Nesunku patikrinti, ar bet kuriai sistemos (2) laisvųjų kintamųjų verčių sistemai yra vienas ir tik vienas sistemos (2), taigi ir sistemos (1), sprendimas. Konkrečiai, tik sistemos (2) ir sistemos (1) nulinis sprendimas atitinka nulinių reikšmių sistemą.

Sistemoje (2) vienam iš laisvųjų kintamųjų priskirsime reikšmę, lygią 1, o likusiems kintamiesiems – nulines reikšmes. Dėl to gauname lygčių sistemos (2) sprendinius, kuriuos užrašome šios matricos C eilučių pavidalu:

Šios matricos eilučių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Išties, bet kokiems skaliarams iš lygybės

seka lygybė

taigi ir lygybės

Įrodykime, kad matricos C eilučių sistemos tiesinis intervalas sutampa su (1) sistemos visų sprendinių aibe.

Savavališkas sistemos sprendimas (1). Tada vektorius

taip pat yra sistemos (1) sprendimas ir

Vienalytė sistema visada yra nuosekli ir turi trivialų sprendimą
... Kad egzistuotų netrivialus sprendimas, būtina, kad matricos rangas buvo mažesnis nei nežinomųjų skaičius:

.

Fundamentali sprendimų sistema vienalytė sistema
vadinama sprendinių sistema stulpelių vektorių pavidalu
kurie atitinka kanoninį pagrindą, t.y. pagrindas, kuriame savavališkos konstantos
pakaitomis nustatomi lygūs vienetui, o likusieji prilyginami nuliui.

Tada bendras homogeninės sistemos sprendimas turi tokią formą:

kur
- savavališkos konstantos. Kitaip tariant, bendrasis sprendimas yra linijinis pagrindinių sprendimų sistemos derinys.

Taigi pagrindinius sprendinius galima gauti iš bendrojo sprendinio, jei laisviesiems nežinomiesiems pakaitomis priskiriama vienybės reikšmė, darant prielaidą, kad visi kiti yra lygūs nuliui.

Pavyzdys... Raskime sistemos sprendimą

Priimkime, tada gausime sprendimą tokia forma:

Dabar sukurkime esminę sprendimų sistemą:

.

Bendras sprendimas bus parašytas tokia forma:

Vienalyčių tiesinių lygčių sistemos sprendimai turi šias savybes:

Kitaip tariant, bet koks tiesinis vienalytės sistemos sprendinių derinys vėl yra sprendimas.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas matematikus domino kelis šimtmečius. Pirmieji rezultatai gauti XVIII a. 1750 m. G. Krameris (1704–1752) paskelbė savo darbus apie kvadratinių matricų determinantus ir pasiūlė atvirkštinės matricos paieškos algoritmą. 1809 m. Gaussas pristatė naują sprendimo metodą, žinomą kaip pašalinimo metodas.

Gauso metodas arba nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas susideda iš to, kad, naudojant elementariąsias transformacijas, lygčių sistema redukuojama į lygiavertę laipsniškos (arba trikampės) formos sistemą. Tokios sistemos leidžia nuosekliai surasti visus nežinomus tam tikra tvarka.

Tarkime, kad sistemoje (1)
(kas visada įmanoma).

(1)

Pirmąją lygtį savo ruožtu padauginus iš vadinamosios tinkami skaičiai

ir sudėjus daugybos rezultatą su atitinkamomis sistemos lygtimis, gauname lygiavertę sistemą, kurioje visose lygtyse, išskyrus pirmąją, trūks nežinomojo NS 1

(2)

Dabar padauginame antrąją sistemos (2) lygtį iš tinkamų skaičių, darydami prielaidą, kad tai

,

o pridėję jį prie pavaldžių, kintamąjį neįtraukiame visų lygčių, pradedant trečiąja.

Tęsiant šį procesą, po
gauname žingsnį:

(3)

Jei bent vienas iš skaičių
nėra lygus nuliui, tada atitinkama lygybė yra nenuosekli, o sistema (1) yra nenuosekli. Ir atvirkščiai, bet kuriai jungtinei skaičių sistemai
yra lygūs nuliui. Skaičius yra ne kas kita, kaip sistemos (1) matricos rangas.

Perėjimas iš sistemos (1) į (3) vadinamas tiesioginis kursas Gauso metodas ir nežinomų radimas iš (3) - atvirkščiai .

komentuoti : Transformacijas patogiau daryti ne pačiomis lygtimis, o išplėstine sistemos (1) matrica.

Pavyzdys... Raskime sistemos sprendimą

.

Užrašykime išplėstinę sistemos matricą:

.

Prie 2,3,4 eilučių pridėkite pirmą, padaugintą iš (-2), (-3), (-2), atitinkamai:

.

Sukeiskime 2 ir 3 eilutes vietomis, tada gautoje matricoje 2 eilutę pridėkite prie 4 eilės, padaugintą iš :

.

Pridėti prie 4 eilutės 3 eilutę, padaugintą iš
:

.

Tai akivaizdu
todėl sistema yra suderinama. Iš gautos lygčių sistemos

sprendimą randame atvirkštiniu pakeitimu:

,
,
,
.

2 pavyzdys. Raskite sistemos sprendimą:

.

Akivaizdu, kad sistema nesuderinama, nes
, a
.

Gauso metodo privalumai :

Mažiau laiko reikalaujantis nei Cramerio metodas.

Tai vienareikšmiškai nustato sistemos suderinamumą ir leidžia rasti sprendimą.

Tai leidžia nustatyti bet kurios matricos rangą.

Mes ir toliau šlifuosime techniką elementarios transformacijosįjungta vienalytė tiesinių lygčių sistema.
Pirmose pastraipose medžiaga gali atrodyti nuobodi ir įprasta, tačiau toks įspūdis apgauna. Be tolesnio metodų tobulinimo, bus daug naujos informacijos, todėl stenkitės nepamiršti šiame straipsnyje pateiktų pavyzdžių.

Kas yra vienalytė tiesinių lygčių sistema?

Atsakymas rodo pats. Tiesinių lygčių sistema yra vienalytė, jei laisvasis narys kiekvieno sistemos lygtys yra lygios nuliui. Pavyzdžiui:

Visiškai aišku, kad vienalytė sistema visada yra suderinama ty visada turi sprendimą. Ir, visų pirma, vadinamasis trivialus sprendimas ... Trivialus, tiems, kurie visai nesupranta būdvardžio reikšmės, reiškia bespontov. Žinoma, ne akademinis, bet suprantamas =) ... Kam plakti, pažiūrėkime, ar ši sistema turi kitų sprendimų:

1 pavyzdys

Sprendimas: norint išspręsti vienalytę sistemą, reikia rašyti sistemos matrica ir elementarių transformacijų pagalba įnešti į laipsnišką formą. Atkreipkite dėmesį, kad čia nereikia rašyti vertikalios juostos ir nulinio laisvųjų narių stulpelio – juk ką darysite su nuliais, jie liks nuliais:

(1) Pirmoji eilutė, padauginta iš –2, buvo pridėta prie antrosios eilutės. Pirmoji eilutė, padauginta iš –3, buvo pridėta prie trečios eilutės.

(2) Antroji eilutė, padauginta iš -1, buvo pridėta prie trečios eilutės.

Trečią eilutę dalinti iš 3 nėra prasmės.

Elementariųjų transformacijų rezultate gauta lygiavertė vienalytė sistema , ir taikant atvirkštinę Gauso metodo eigą, nesunku patikrinti, ar sprendimas yra unikalus.

Atsakymas:

Suformuluokime akivaizdų kriterijų: vienalytė tiesinių lygčių sistema turi tik trivialus sprendimas, jei sistemos matricos rangas(šiuo atveju 3) yra lygus kintamųjų skaičiui (šiuo atveju - 3 vnt.).

Sušildome ir prideriname radijo imtuvą prie elementarių transformacijų bangos:

2 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę tiesinių lygčių sistemą

Norėdami galutinai konsoliduoti algoritmą, išanalizuokime galutinę užduotį:

7 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę sistemą, atsakymą parašykite vektorine forma.

Sprendimas: užrašome sistemos matricą ir naudodamiesi elementariomis transformacijomis perkeliame į laipsnišką formą:

(1) Pirmos eilutės ženklas buvo pakeistas. Dar kartą atkreipiu jūsų dėmesį į daugybę kartų sutiktą techniką, kuri leidžia gerokai supaprastinti kitą veiksmą.

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie 2 ir 3 eilučių. Pirmoji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie 4 eilutės.

(3) Paskutinės trys eilutės yra proporcingos, dvi iš jų išbrauktos.

Dėl to gaunama standartinė pakopinė matrica, o sprendimas tęsiamas išilgai raižytos vėžės:

- pagrindiniai kintamieji;
- laisvieji kintamieji.

Išreikškime pagrindinius kintamuosius laisvaisiais kintamaisiais. Iš 2 lygties:

- pakaitalas 1-oje lygtyje:

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Kadangi nagrinėjamame pavyzdyje yra trys laisvieji kintamieji, pagrindinėje sistemoje yra trys vektoriai.

Pakeiskite tris reikšmes į bendrą sprendinį ir gauti vektorių, kurio koordinatės tenkina kiekvieną homogeninės sistemos lygtį. Ir dar kartą kartoju, kad labai pageidautina patikrinti kiekvieną gautą vektorių – tai neužims daug laiko, bet šimtu procentų sutaupys nuo klaidų.

Už vertybių trejetą rasti vektorių

Ir galiausiai – trejetui gauname trečiąjį vektorių:

Atsakymas: , kur

Norintys vengti trupmeninių verčių, gali apsvarstyti trigubus ir gauti lygiavertį atsakymą:

Kalbant apie trupmenas. Pažiūrėkime į užduotyje gautą matricą ir užduokite sau klausimą – ar įmanoma supaprastinti tolesnį sprendimą? Juk čia iš pradžių trupmenomis išreiškėme pagrindinį kintamąjį, paskui trupmenomis pagrindinį kintamąjį, ir, turiu pasakyti, šis procesas nebuvo pats lengviausias ir ne pats maloniausias.

Antras sprendimas:

Idėja yra pabandyti pasirinkite kitus pagrindinius kintamuosius... Pažiūrėkime į matricą ir trečiame stulpelyje pastebėkime du. Taigi kodėl gi ne gauti nulį viršuje? Atlikime dar vieną elementarią transformaciją: