Pagrindinė sprendimų sistema (konkretus pavyzdys). Homogeninės linijinių lygčių sistemos
Pateiktos matricos
Raskite: 1) aA - bB,
Sprendimas: 1) Raskite jį nuosekliai, naudodami matricos padauginimo iš skaičiaus ir matricų pridėjimo taisykles.
2. Raskite A * B, jei
Sprendimas: Naudojant matricos daugybos taisyklę
Atsakymas: 
3. Duotai matricai suraskite minorą M 31 ir apskaičiuokite determinantą.
Sprendimas: Mažasis M 31 yra matricos, kuri gaunama iš A, determinantas
perbraukus 3 eilutę ir 1 stulpelį. Raskite
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Mes keičiame matricą A nekeisdami jos determinantės (1 eilutėje padarykime nulius)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Dabar mes apskaičiuojame A matricos determinantą pagal skilimą 1 eilutėje
Atsakymas: М 31 = 0, detA = 0
Išspręskite Gauso ir Cramerio metodus.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Sprendimas: Patikrinti
Galima taikyti Cramerio metodą
Sistemos sprendimas: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Taikykime Gauso metodą.
Perkelkime išplėstinę sistemos matricą į trikampę formą.
Kad būtų patogiau atlikti skaičiavimus, keiskime eilutes:
Padauginkite 2 eilutę iš (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ir pridėkite prie trečiojo:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Padauginkite 1 eilutę iš (k = -2 / 2 = -1 ) ir pridėti prie 2:
Pradinę sistemą dabar galima parašyti taip:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
Iš 2 eilutės mes išreiškiame
Iš 1 eilutės mes išreiškiame
Sprendimas tas pats.
Atsakymas: (2; -5; 3)
Raskite bendrą sistemos ir SDF sprendimą
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Sprendimas: Taikykime Gauso metodą. Perkelkime išplėstinę sistemos matricą į trikampę formą.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Padauginkite 1 eilutę iš (-11). Padauginkite 2 eilutę iš (13). Pridėkime antrąją eilutę prie pirmosios:
| -2 | -2 | -3 | ||
Padauginkite 2 eilutę iš (-5). Padauginkite trečiąją eilutę iš (11). Pridėkime 3 eilutę prie 2:
Padauginkite trečiąją eilutę iš (-7). Padauginkite 4 eilutę iš (5). Pridėkite 4 eilutę prie 3:
Antroji lygtis yra tiesinis likusių derinys
Raskime matricos rangą.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Paryškinta mažametė turi aukščiausią eilę (iš galimų nepilnamečių) ir yra lygi nuliui (ji lygi priešingos įstrižainės elementų sandaugai), todėl skambėjo (A) = 2.
Šis nepilnametis yra elementarus. Jame yra nežinomų x 1, x 2 koeficientai, o tai reiškia, kad nežinomieji x 1, x 2 yra priklausomi (pagrindiniai), o x 3, x 4, x 5 yra nemokami.
Sistema su šios matricos koeficientais yra lygiavertė pradinei sistemai ir yra tokios formos:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Pašalinus nežinomus, randame bendras sprendimas:
x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5
x 1 = - 1/3 x 3
Mes randame pagrindinę sprendimų sistemą (FDS), kurią sudaro (n-r) sprendimai. Mūsų atveju n = 5, r = 2, todėl pagrindinę sprendimų sistemą sudaro 3 sprendiniai, ir šie sprendimai turi būti tiesiškai nepriklausomi.
Kad eilutės būtų tiesiškai nepriklausomos, būtina ir pakanka, kad matricos, sudarytos iš eilučių elementų, rangas būtų lygus eilučių skaičiui, tai yra 3.
Pakanka laisvos nežinomos x 3, x 4, x 5 reikšmės pateikti iš trečiosios eilės determinanto eilučių, išskyrus nulį, ir apskaičiuoti x 1, x 2.
Paprasčiausias nenulinis determinantas yra tapatybės matrica.
Bet čia patogiau pasiimti
Mes randame bendrą sprendimą:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ
FSR I tirpalas: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ
II SDF tirpalas: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
III SDF tirpalas: (0; - 9; 0; 0; 6)
SR FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; -9; 0; 0; 6)
6. Duota: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Raskite: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Sprendimas: a) z 1 -2z 2 = -4 + 5i + 2 (2-4i) = -4 + 5i + 4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4 + 5i) (2-4i) = -8 + 10i + 16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Atsakymas: a) -3i b) 12 + 26i c) -1,4 -0,3i
Gausso metodas turi nemažai trūkumų: neįmanoma žinoti, ar sistema suderinama, ar ne, kol neatliktos visos Gauso metodui būtinos pertvarkos; Gauso metodas netinka sistemoms su raidžių koeficientais.
Apsvarstykite kitus tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodus. Šie metodai naudoja matricos rango sąvoką ir sumažina bet kurios jungtinės sistemos sprendimą iki sistemos, kuriai taikoma Cramerio taisyklė, sprendimo.
1 pavyzdys. Raskite bendrą šios linijinių lygčių sistemos sprendimą, naudodami pagrindinę redukuotos vienalytės sistemos sprendimų sistemą ir konkretų nevienalytės sistemos sprendimą.
1. Matricos sudarymas A ir išplėstinė sistemos matrica (1)
2. Išnagrinėkite sistemą (1) dėl suderinamumo. Norėdami tai padaryti, randame matricų gretas A ir https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). Jei paaiškėja, kad sistema (1) nenuoseklus. Jei mes tai gausime , tada ši sistema yra suderinama ir mes ją išspręsime. (Nuoseklumo tyrimas pagrįstas Kroneckerio-Capelli teorema.)
a. Rasti rA.
Rasti rA, mes nuosekliai laikysime matricos nurodymų nepilnamečius pirmosios, antrosios ir t. t A ir su jais besiribojantys nepilnamečiai.
M1= 1 ≠ 0 (1 paimtas iš viršutinio kairiojo matricos kampo A).
Border M1 antra šios matricos eilutė ir antrasis stulpelis. 
... Mes tęsiame ribą M1 antroji eilutė ir trečiasis stulpelis..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. Dabar kraštinė nulio nulinė M2 ′ Antras užsakymas.
Mes turime: 
(nes pirmieji du stulpeliai yra vienodi)
(nes antra ir trečia eilutės yra proporcingos).
Mes tai matome rA = 2, a yra pagrindinis matricos minoras A.
b. Mes randame.
Pakankamai paprastas elementarus M2 ′ matricos A riba su laisvų narių stulpeliu ir visomis eilėmis (turime tik paskutinę eilutę).
... Todėl iš to išplaukia М3 ′ ′ išlieka pagrindine matricos minorė https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)
Kadangi M2 ′- matricos bazinis minoras A sistemas (2) , tada ši sistema yra lygiavertė sistemai (3) susidedantis iš pirmųjų dviejų sistemos lygčių (2) (dėl M2 ′ yra pirmose dviejose A matricos eilutėse).
(3)
Kadangi pagrindinė mažoji https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)
Šioje sistemoje yra du nemokami nežinomi ( x2 ir x4 ). Štai kodėl FSR sistemas (4) susideda iš dviejų sprendimų. Norėdami juos rasti, pridėkime nemokamų nežinomųjų (4) vertybės pirmiausia x2 = 1 , x4 = 0 , ir tada - x2 = 0 , x4 = 1 .
At x2 = 1 , x4 = 0 mes gauname:
.
Ši sistema jau turi vienintelis dalykas sprendimas (jį galima rasti pagal Cramerio taisyklę arba bet kokiu kitu būdu). Atimdami pirmąjį iš antrosios lygties, gauname:
Jos sprendimas bus x1 = -1 , x3 = 0 ... Atsižvelgiant į vertybes x2 ir x4 mes gavome pirmąjį esminį sistemos sprendimą (2) : .
Dabar įdėjome (4) x2 = 0 , x4 = 1 ... Mes gauname:
.
Mes sprendžiame šią sistemą pagal Cramerio teoremą:
.
Mes gauname antrą pagrindinį sistemos sprendimą (2) : .
Sprendimai β1 , β2 ir pasidarai FSR sistemas (2) ... Tada jo bendras sprendimas būtų
γ= C1 β1 + C2β2 = C1 (-1, 1, 0, 0) + C2 (5, 0, 4, 1) = (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2)
Čia C1 , C2 - savavališkos konstantos.
4. Raskite vieną privatus sprendimas nevienalytė sistema(1) ... Kaip ir pastraipoje 3 , vietoj sistemos (1) apsvarstykite lygiavertę sistemą (5) susidedantis iš pirmųjų dviejų sistemos lygčių (1) .
(5)
Perkelkite laisvus nežinomus į dešinę x2 ir x4.
(6)
Duokime nemokamų nežinomųjų x2 ir x4 pavyzdžiui, savavališkos vertės x2 = 2 , x4 = 1 ir pakeiskite juos (6) ... Mes gauname sistemą
Ši sistema turi unikalų sprendimą (nes jis yra lemiamas М2′0). Jį išsprendę (Cramerio teorema arba Gauso metodu), gauname x1 = 3 , x3 = 3 ... Atsižvelgiant į laisvų nežinomųjų vertybes x2 ir x4 , mes gauname specifinis nevienalytės sistemos sprendimas(1)α1 = (3,2,3,1).
5. Dabar belieka įrašyti bendrasis nevienalytės sistemos α sprendimas(1) : jis lygus sumai privatus sprendimasšią sistemą ir bendras jos sumažintos vienalytės sistemos sprendimas (2) :
α = α1 + γ = (3, 2, 3, 1) + (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2).
Tai reiškia: 
(7)
6. Egzaminas. Norėdami patikrinti, ar teisingai išsprendėte sistemą (1) , mums reikia bendro sprendimo (7) pakeisti (1) ... Jei kiekviena lygtis tampa tapatybe ( C1 ir C2 turi būti sunaikintas), tada sprendimas randamas teisingai.
Mes pakeisime (7) pavyzdžiui, tik paskutinė sistemos lygtis (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Gauname: (3 - С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1
(C1 - C1) + (5C2 + 4C2–9C2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1
Iš kur –1 = –1. Gavome tapatybę. Mes tai darome su visomis kitomis sistemos lygtimis (1) .
Komentuoti. Tikrinimas paprastai yra gana sudėtingas. Galima rekomenduoti tokį „dalinį patikrinimą“: bendrame sistemos sprendime (1) tam tikroms reikšmėms priskirti savavališkas konstantas ir gautą konkretų sprendimą pakeisti tik į atmestas lygtis (t. y. į tas lygtis iš (1) kurie nėra įtraukti į (5) ). Jei gausite tapatybę, greičiausiai, sistemos sprendimas (1) rasti teisingai (tačiau toks patikrinimas nesuteikia visiškos teisingumo garantijos!). Pavyzdžiui, jei į (7) įdėti C2 =- 1 , C1 = 1, tada gauname: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0. Pakeitę paskutinę sistemos (1) lygtį, turime: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tai yra –1 = –1. Gavome tapatybę.
2 pavyzdys. Raskite bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą (1) , išreiškiant pagrindinius nežinomus laisvųjų atžvilgiu.
Sprendimas. Kaip ir 1 pavyzdys, sudaryti matricas A ir https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> šių matricų. Dabar paliekame tik tas sistemos lygtis (1) , kurių koeficientai yra įtraukti į šį pagrindinį minorą (t. y. turime dvi pirmąsias lygtis) ir apsvarstyti sistemą, susidedančią iš jų, kuri yra lygiavertė sistemai (1).
Nemokamus nežinomus perkeliame į dešinę šių lygčių pusę.
Sistema (9) sprendžiame Gauso metodu, laikydami dešiniąją pusę laisvomis sąlygomis.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "width =" 202 height = 106 "height =" 106 ">
2 variantas.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">
4 variantas.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">
5 variantas.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "width =" 179 height = 106 "height =" 106 ">
6 variantas.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">
Mes ir toliau šlifuosime techniką elementarios transformacijos ant vienalytė linijinių lygčių sistema.
Pirmose pastraipose medžiaga gali atrodyti nuobodi ir įprasta, tačiau šis įspūdis yra apgaulingas. Be tolesnio metodų kūrimo, bus pateikta daug naujos informacijos, todėl stenkitės nepamiršti šiame straipsnyje pateiktų pavyzdžių.
Kas yra vienalytė linijinių lygčių sistema?
Atsakymas rodo pats. Tiesinių lygčių sistema yra vienalytė, jei laisvasis terminas kiekvieno sistemos lygtys lygios nuliui. Pavyzdžiui:
Visiškai aišku, kad vienalytė sistema visada suderinama, tai yra, jis visada turi sprendimą. Ir, svarbiausia, vadinamasis trivialus sprendimas 
... Trivialus, tiems, kurie visiškai nesupranta būdvardžio reikšmės, reiškia bespontov. Žinoma, ne akademinis, bet suprantamas =) ... Kodėl mušti aplink krūmus, išsiaiškinkime, ar ši sistema turi kitų sprendimų:
1 pavyzdys
Sprendimas: norint išspręsti vienalytę sistemą, būtina parašyti sistemos matrica ir elementarių transformacijų pagalba perkelkite ją į laipsnišką formą. Atkreipkite dėmesį, kad čia nereikia rašyti vertikalios juostos ir nulio laisvų narių stulpelio - galų gale, kad ir ką darytumėte su nuliais, jie liks nuliais: 
(1) Pirmoji eilutė, padauginta iš –2, buvo pridėta prie antrosios eilutės. Pirmoji eilutė, padauginta iš –3, buvo pridėta prie trečiosios eilutės.
(2) Antroji eilutė, padauginta iš -1, buvo pridėta prie trečiosios eilutės.
Trečią eilutę padalyti iš 3 nėra prasmės.
Dėl elementarių transformacijų buvo gauta lygiavertė vienalytė sistema 
ir, taikant atvirkštinį Gauso metodo kursą, nesunku patikrinti, ar sprendimas yra unikalus.
Atsakymas: 
Suformuluokime akivaizdų kriterijų: vienalytė linijinių lygčių sistema turi tik trivialus sprendimas, jei sistemos matricos rangas(šiuo atveju 3) yra lygus kintamųjų skaičiui (šiuo atveju - 3 vnt.).
Mes sušildome ir sureguliuojame savo radijo imtuvą į elementarių transformacijų bangą:
2 pavyzdys
Išspręskite vienalytę tiesinių lygčių sistemą 
Norėdami galutinai įtvirtinti algoritmą, išanalizuokime galutinę užduotį:
7 pavyzdys
Išspręskite vienalytę sistemą, atsakymą parašykite vektorine forma. 
Sprendimas: mes užsirašome sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją laipsniškai: 
(1) Pirmosios eilutės ženklas buvo pakeistas. Dar kartą atkreipiu jūsų dėmesį į techniką, su kuria teko susidurti daug kartų ir kuri leidžia žymiai supaprastinti kitą veiksmą.
(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie 2 ir 3 eilučių. Pirmoji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie 4 eilutės.
(3) Paskutinės trys eilutės yra proporcingos, dvi iš jų ištrintos.
Dėl to gaunama standartinė pakopinė matrica, o tirpalas tęsiamas išilgai raukšlių:
- pagrindiniai kintamieji;
- laisvieji kintamieji.
Išreikškime pagrindinius kintamuosius laisvųjų kintamųjų atžvilgiu. Iš 2 lygties:
- pakaitalas 1 lygtyje:
Taigi bendras sprendimas yra toks:
Kadangi nagrinėjamame pavyzdyje yra trys laisvieji kintamieji, pagrindinėje sistemoje yra trys vektoriai.
Pakeiskite tris vertes 
į bendrą sprendimą ir gaukite vektorių, kurio koordinatės atitinka kiekvieną vienalytės sistemos lygtį. Ir dar kartą kartoju, kad labai pageidautina patikrinti kiekvieną gautą vektorių - tai neužims daug laiko, tačiau šimtą procentų sutaupys nuo klaidų.
Dėl vertybių trigubo 
rasti vektorių
Ir galiausiai - trejetui 
gauname trečiąjį vektorių:
Atsakymas:, kur
Tie, kurie nori išvengti trupmeninių verčių, gali apsvarstyti trigubą. 
ir gaukite lygiavertį atsakymą:
Kalbant apie trupmenas. Pažvelkime į uždavinio matricą 
ir užduoti sau klausimą - ar įmanoma supaprastinti tolesnį sprendimą? Juk čia iš pradžių pagrindinį kintamąjį išreiškėme per trupmenas, paskui per trupmenas pagrindinį kintamąjį ir, turiu pasakyti, šis procesas nebuvo pats lengviausias ir ne pats maloniausias.
Antras sprendimas:
Idėja yra pabandyti pasirinkti kitus pagrindinius kintamuosius... Pažvelkime į matricą ir trečiame stulpelyje pastebime du. Taigi kodėl gi ne gauti nulį viršuje? Padarykime dar vieną elementarią transformaciją:
Vienarūšės sistemos sprendimai turi šias savybes. Jei vektorius = (α 1, α 2, ..., α n) yra sistemos (15.14) sprendimas, tada bet kuriam skaičiui k vektorius k = (kα 1 , kα 2 , ..., kα n) bus šios sistemos sprendimas. Jei sistemos (15.14) sprendimas yra vektorius = (γ 1, γ 2, ..., γ n), tada suma + taip pat bus šios sistemos sprendimas. Todėl iš to išplaukia bet koks tiesinis vienalytės sistemos sprendimų derinys taip pat yra šios sistemos sprendimas.
Kaip žinome iš 12.2 skirsnio, bet kokia sistema n-matmenų vektoriai, susidedantys iš daugiau nei NS vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Taigi iš vienalytės sistemos tirpalo vektorių rinkinio (15.14) galima pasirinkti pagrindą, t.y. bet kuris tam tikros sistemos sprendimų vektorius bus tiesinis šio pagrindo vektorių derinys. Bet koks toks pagrindas vadinamas pagrindinė sprendimų sistema vienalytė linijinių lygčių sistema. Teisinga ši teorema, kurią pateikiame be įrodymų.
4 TEOREMA. Jei homogeninių lygčių sistemos rangas r(15.14) yra mažesnis už nežinomų skaičių n, tada bet kuri pagrindinė sistemos sprendimų sistema (15.14) susideda iš n - r sprendimų.
Dabar nurodykime pagrindinės sprendimų sistemos (FSS) paieškos metodą. Tegul homogeninių lygčių sistema (15.14) turi reitingą r< п. Tada, kaip matyti iš Cramerio taisyklių, šios sistemos pagrindas nežinomas x 1 , x 2 , … x r yra tiesiškai išreikšti laisvaisiais kintamaisiais x r + 1 , x r + 2 , ..., x n:
Išskirkime konkrečius vienalytės sistemos (15.14) sprendimus pagal šį principą. Norėdami rasti pirmąjį sprendimo 1 vektorių, įdėkite x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Tada randame antrąjį 2 sprendimą: imame x r+2 = 1 ir likusi dalis r- 1 laisvas kintamasis nustatomas kaip nulis. Kitaip tariant, mes kiekvienam laisvam kintamajam iš eilės priskiriame vieną vertę, o likusią dalį rašome nuliais. Taigi, pagrindinė vektorinių formų sprendimų sistema, atsižvelgiant į pirmąją r pagrindo kintamieji (15.15) turi formą
FSR (15.16) yra vienas iš pagrindinių vienalytės sistemos sprendimų rinkinių (15.14).
1 pavyzdys. Raskite homogeninių lygčių sistemos sprendimą ir FSR
Sprendimas. Šią sistemą išspręsime Gauso metodu. Kadangi lygčių skaičius sistemoje yra mažesnis už nežinomų skaičių, manome NS 1 , x 2 , NS 3 pagrindiniai nežinomieji ir x 4 , NS 5 , x 6 - laisvieji kintamieji. Sudarykime išplėstinę sistemos matricą ir atlikime veiksmus, kurie sudaro tiesioginę metodo eigą.
Leisti būti M 0 yra vienalytės linijinių lygčių sistemos (4) sprendinių rinkinys.
Apibrėžimas 6.12. Vektoriai su 1 ,su 2 , …, su p vadinami vienalytės linijinių lygčių sistemos sprendiniais esminis sprendimų rinkinys(sutrumpintai kaip FNR), jei
1) vektoriai su 1 ,su 2 , …, su p tiesiškai nepriklausomi (tai yra, nė vienas iš jų negali būti išreikštas kitais);
2) bet koks kitas vienalytės linijinių lygčių sistemos sprendimas gali būti išreikštas sprendiniais su 1 ,su 2 , …, su p.
Atkreipkite dėmesį, kad jei su 1 ,su 2 , …, su p- bet kokia f.n.r., tada išraiška k 1 × su 1 + k 2 × su 2 + … + k p× su p visas komplektas M 0 sistemos (4) sprendinių, todėl ji vadinama bendras sistemos sprendimo vaizdas (4).
Teorema 6.6. Bet kuri neapibrėžta vienalytė linijinių lygčių sistema turi pagrindinį sprendimų rinkinį.
Pagrindinių sprendimų rinkinį galima rasti taip:
Raskite bendrą homogeninės linijinių lygčių sistemos sprendimą;
Sukurti ( n – r) tam tikri šios sistemos sprendimai, o laisvųjų nežinomųjų vertės turi sudaryti vieneto matricą;
Parašykite bendrą sprendimo, įtraukto į jį, vaizdą M 0 .
6.5 pavyzdys. Raskite pagrindinį šios sistemos sprendimų rinkinį:
Sprendimas... Raskime bendrą šios sistemos sprendimą.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Šioje sistemoje penki nežinomi ( n= 5), iš kurių du yra pagrindiniai nežinomieji ( r= 2), trys laisvi nežinomieji ( n – r), tai yra, pagrindiniame sprendimų rinkinyje yra trys sprendimų vektoriai. Kurkime juos. Mes turime x 1 ir x 3 - pagrindiniai nežinomieji, x 2 , x 4 , x 5 - nemokami nežinomieji
Laisvų nežinomųjų vertybės x 2 , x 4 , x 5 sudaro tapatybės matricą E trečias užsakymas. Gavome tuos vektorius su 1 ,su 2 , su 3 forma f.n.r. šią sistemą. Tada šios vienalytės sistemos sprendimų rinkinys bus M 0 = {k 1 × su 1 + k 2 × su 2 + k 3 × su 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R).
Dabar išsiaiškinkime vienalytės linijinių lygčių sistemos nenulinių sprendimų egzistavimo sąlygas, kitaip tariant, pagrindinio sprendimų rinkinio egzistavimo sąlygas.
Vienalytė linijinių lygčių sistema turi nulinių sprendinių, tai yra neapibrėžta, jei
1) sistemos pagrindinės matricos rangas yra mažesnis už nežinomų skaičių;
2) vienalytėje linijinių lygčių sistemoje lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomų skaičių;
3) jei vienalytėje linijinių lygčių sistemoje lygčių skaičius yra lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinės matricos determinantas lygus nuliui (tai yra | A| = 0).
6.6 pavyzdys... Kokia parametro vertė a vienalytė linijinių lygčių sistema 
turi ne nulinį sprendimą?
Sprendimas... Sudarykime pagrindinę šios sistemos matricą ir suraskime jos determinantą: = = 1 × (–1) 1 + 1 × = - a- 4. Šios matricos determinantas yra lygus nuliui a = –4.
Atsakymas: –4.
7. Aritmetika n-matmenų vektorinė erdvė
Pagrindinės sąvokos
Ankstesniuose skyriuose mes jau susidūrėme su realių skaičių rinkinio, išdėstyto tam tikra tvarka, sąvoka. Tai yra eilutės (arba stulpelio) matrica ir linijinių lygčių su n nežinomas. Šią informaciją galima apibendrinti.
7.1. Apibrėžimas n-matmenų aritmetinis vektorius vadinamas užsakytu rinkiniu n realūs skaičiai.
Reiškia a= (a 1, 2, ..., a n), kur iÎ R, i = 1, 2, …, n- bendras vektoriaus vaizdas. Skaičius n paskambino matmuo vektorius ir skaičiai a i tai vadino koordinatės.
Pavyzdžiui: a= (1, –8, 7, 4,) yra penkių matmenų vektorius.
Visas komplektas n-matmenų vektoriai paprastai žymimi kaip R n.
Apibrėžimas 7.2. Du vektoriai a= (a 1, 2, ..., a n) ir b= (b 1, b 2, ..., b n) to paties dydžio yra lygūs jei ir tik tada, kai atitinkamos jų koordinatės yra lygios, t. y. a 1 = b 1, a 2 = b 2, ..., a n= b n.
Apibrėžimas 7.3.Suma du n-matmenų vektoriai a= (a 1, 2, ..., a n) ir b= (b 1, b 2, ..., b n) vadinamas vektoriumi a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+ b n).
Apibrėžimas 7.4. Pagal produktą tikras numeris k vienam vektoriui a= (a 1, 2, ..., a n) vadinamas vektoriumi k× a = (k× a 1, k× a 2,…, k× a n)
Apibrėžimas 7.5. Vektorius O= (0, 0, ..., 0) vadinamas nulis(arba nulinis vektorius).
Nesunku patikrinti, ar veiksmai (operacijos) pridedant vektorius ir padauginus juos iš realaus skaičiaus turi šias savybes: " a, b, c Î R n, " k, lÎ R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1 × a = a, 1 Î R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Apibrėžimas 7.6. Daug R n vadinamos vektorių pridėjimo operacijos ir jų dauginimas iš tikrojo skaičiaus aritmetinė n matmenų vektorinė erdvė.
