Atvirkštinė kvadratinė matrica. Atvirkštinės matricos radimo būdai

Ši tema yra viena nekenčiamiausių tarp studentų. Dar blogiau, ko gero, tik determinantai.

Apgaulė ta, kad pati atvirkštinio elemento sąvoka (šiuo metu kalbu ne tik apie matricas) nurodo daugybos operaciją. Netgi mokyklos programoje daugyba laikoma sudėtinga operacija, o matricinė daugyba paprastai yra atskira tema, kuriai turiu visą pastraipą ir video pamoką.

Šiandien mes nesigilinsime į matricos skaičiavimus. Tiesiog atsiminkite: kaip žymimos matricos, kaip jos dauginamos ir kas iš to išplaukia.

Apžvalga: Matricos daugyba

Pirmiausia susitarkime dėl žymėjimo. $A$ dydžio matrica $\left[ m\times n \right]$ yra tiesiog skaičių lentelė su tiksliai $m$ eilučių ir $n$ stulpelių:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & (a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\pabaiga (matrica) \right])_(n)\]

Kad netyčia nesupainiotumėte eilučių ir stulpelių vietomis (patikėkite, egzamine galite supainioti vieną su dvitaškiu - ką čia pasakyti apie kai kurias eilutes), tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:

Matricinių ląstelių indeksų nustatymas

Kas vyksta? Jei standartinę koordinačių sistemą $OXY$ patalpinsime viršutiniame kairiajame kampe ir nukreipsime ašis taip, kad jos apimtų visą matricą, tai kiekvienas šios matricos langelis gali būti unikaliai susietas su koordinatėmis $\left(x;y \right) $ – tai bus eilutės ir stulpelio numeris.

Kodėl koordinačių sistema yra tiksliai viršutiniame kairiajame kampe? Taip, nes nuo ten mes pradedame skaityti bet kokius tekstus. Tai labai lengva prisiminti.

Kodėl $x$ ašis nukreipta žemyn, o ne į dešinę? Vėlgi, viskas paprasta: paimkite standartinę koordinačių sistemą ($x$ ašis eina į dešinę, $y$ – aukštyn) ir pasukite ją taip, kad ji apimtų matricą. Tai sukimasis 90 laipsnių pagal laikrodžio rodyklę – jo rezultatą matome paveikslėlyje.

Apskritai, mes supratome, kaip nustatyti matricos elementų indeksus. Dabar pakalbėkime apie daugybą.

Apibrėžimas. Matricos $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$, kai stulpelių skaičius pirmojoje atitinka eilučių skaičių antroje, yra vadinamas nuosekliu.

Tai tokia tvarka. Galima dviprasmiškai sakyti, kad matricos $A$ ir $B$ sudaro tvarkingą porą $\left(A;B \right)$: jei jos yra nuoseklios šia tvarka, tai visai nebūtina, kad $B $ ir $ A $, tie. pora $\left(B;A \right)$ taip pat yra nuosekli.

Galima padauginti tik nuoseklias matricas.

Apibrėžimas. Nuosekliųjų matricų $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$ sandauga yra nauja matrica $C=\left[ m\times k \right ]$ , kurio elementai $((c)_(ij))$ apskaičiuojami pagal formulę:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Kitaip tariant: norint gauti matricos $C=A\cdot B$ elementą $((c)_(ij))$, reikia paimti pirmosios matricos $i$ eilutę, $j$. - antrosios matricos stulpelį, tada padauginkite elementus iš šios eilutės ir stulpelio. Sudėkite rezultatus.

Taip, tai griežtas apibrėžimas. Iš to iš karto išplaukia keli faktai:

1. Matricos daugyba, paprastai kalbant, yra nekomutacinė: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Tačiau daugyba yra asociatyvi: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Ir netgi paskirstymo: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Ir vėl paskirstymas: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Daugybos pasiskirstymas turėjo būti aprašytas atskirai kairiojo ir dešiniojo daugiklio sumai vien dėl daugybos operacijos nekomitatyvumo.

Jei vis dėlto paaiškėja, kad $A\cdot B=B\cdot A$, tokios matricos vadinamos permutacinėmis.

Tarp visų matricų, kurios yra padaugintos iš kažko, yra specialių - tų, kurias padauginus iš bet kurios matricos $A$, vėl gaunama $A$:

Apibrėžimas. Matrica $E$ vadinama tapatybe, jei $A\cdot E=A$ arba $E\cdot A=A$. Kvadratinės matricos $A$ atveju galime parašyti:

Tapatybės matrica yra dažnas svečias sprendžiant matricos lygtis. Ir apskritai dažnas svečias matricų pasaulyje. :)

Ir dėl šio $E$ kažkas sugalvojo visą žaidimą, kuris bus parašytas toliau.

Kas yra atvirkštinė matrica

Kadangi matricos dauginimas yra labai daug laiko reikalaujanti operacija (reikia padauginti daugybę eilučių ir stulpelių), atvirkštinės matricos sąvoka taip pat nėra pati trivialiausia. Ir tam reikia paaiškinimo.

Rakto apibrėžimas

Na, laikas sužinoti tiesą.

Apibrėžimas. Matrica $B$ vadinama atvirkštine matricos $A$, jei

Atvirkštinė matrica žymima $((A)^(-1))$ (nepainioti su laipsniu!), todėl apibrėžimą galima perrašyti taip:

Atrodytų, viskas labai paprasta ir aišku. Tačiau analizuojant tokį apibrėžimą iš karto kyla keli klausimai:

1. Ar atvirkštinė matrica visada egzistuoja? Ir jei ne visada, tai kaip nustatyti: kada jis egzistuoja, o kada ne?
2. Ir kas sakė, kad tokia matrica yra būtent viena? O jei kokiai nors originaliai matricai $A$ yra visa minia atvirkštinių?
3. Kaip atrodo visi šie „atvirkščiai“? Ir kaip jūs iš tikrųjų juos suskaičiuojate?

Kalbant apie skaičiavimo algoritmus - apie tai kalbėsime šiek tiek vėliau. Tačiau į kitus klausimus atsakysime dabar. Išdėstykime juos atskirų teiginių-lemų pavidalu.

Pagrindinės savybės

Pradėkime nuo to, kaip turėtų atrodyti matrica $A$, kad joje būtų $((A)^(-1))$. Dabar įsitikinsime, kad abi šios matricos turi būti kvadratinės ir vienodo dydžio: $\left[ n\times n \right]$.

1 lema. Duota matrica $A$ ir jos atvirkštinė $((A)^(-1))$. Tada abi šios matricos yra kvadratinės ir turi tą pačią tvarką $n$.

Įrodymas. Viskas paprasta. Tegul matrica $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Kadangi produktas $A\cdot ((A)^(-1))=E$ egzistuoja pagal apibrėžimą, matricos $A$ ir $((A)^(-1))$ yra nuoseklios tokia tvarka:

\[\begin (lygiuoti) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( lygiuoti)\]

Tai tiesioginė matricos daugybos algoritmo pasekmė: koeficientai $n$ ir $a$ yra „tranzitiniai“ ir turi būti lygūs.

Tuo pačiu apibrėžiamas ir atvirkštinis daugyba: $((A)^(-1))\cdot A=E$, taigi matricos $((A)^(-1))$ ir $A$ yra taip pat dera tokia tvarka:

\[\begin (lygiuoti) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( lygiuoti)\]

Taigi, neprarasdami bendrumo, galime daryti prielaidą, kad $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Tačiau pagal $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ apibrėžimą, todėl matricų matmenys yra visiškai vienodi:

\[\begin (lygiuoti) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end (lygiuoti)\]

Taigi paaiškėja, kad visos trys matricos – $A$, $((A)^(-1))$ ir $E$ – yra kvadrato dydžio $\left[ n\times n \right]$. Lema įrodyta.

Na, tai jau gerai. Matome, kad apverčiamos tik kvadratinės matricos. Dabar įsitikinkime, kad atvirkštinė matrica visada yra tokia pati.

2 lema. Duota matrica $A$ ir jos atvirkštinė $((A)^(-1))$. Tada ši atvirkštinė matrica yra unikali.

Įrodymas. Pradėkime nuo priešingos pusės: tegul matricoje $A$ yra bent du atvirkštiniai atvejai – $B$ ir $C$. Tada pagal apibrėžimą yra teisingos šios lygybės:

\[\begin(lygiuoti) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(lygiuoti)\]

Iš 1 lemos darome išvadą, kad visos keturios matricos $A$, $B$, $C$ ir $E$ yra tos pačios eilės kvadratai: $\left[ n\times n \right]$. Todėl produktas apibrėžiamas:

Kadangi matricos daugyba yra asociatyvi (bet ne komutacinė!), galime rašyti:

\[\begin(lygiuoti) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rodyklė dešinėn B=C. \\ \end(lygiuoti)\]

Gavome vienintelį įmanomą variantą: dvi atvirkštinės matricos kopijos yra lygios. Lema įrodyta.

Aukščiau pateiktas samprotavimas beveik pažodžiui pakartoja atvirkštinio elemento unikalumo įrodymą visiems realiesiems skaičiams $b\ne 0$. Vienintelis reikšmingas papildymas yra matricų matmenų įvertinimas.

Tačiau mes vis dar nieko nežinome, ar kokia nors kvadratinė matrica yra apverčiama. Čia mums į pagalbą ateina determinantas – tai pagrindinė visų kvadratinių matricų charakteristika.

3 lema. Duota matrica $A$. Jei egzistuoja atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$, tada pradinės matricos determinantas yra nulis:

\[\left| A \right|\ne 0\]

Įrodymas. Jau žinome, kad $A$ ir $((A)^(-1))$ yra $\left[ n\times n \right]$ dydžio kvadratinės matricos. Todėl kiekvienam iš jų galima apskaičiuoti determinantą: $\left| A \right|$ ir $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Tačiau sandaugos determinantas yra lygus determinantų sandaugai:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

Bet pagal $A\cdot ((A)^(-1))=E$ apibrėžimą, o $E$ determinantas visada yra lygus 1, taigi

\[\begin(lygiuoti) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(lygiuoti)\]

Dviejų skaičių sandauga yra lygi vienetui, tik jei kiekvienas iš šių skaičių skiriasi nuo nulio:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Taigi paaiškėja, kad $\left| A \right|\ne 0$. Lema įrodyta.

Tiesą sakant, šis reikalavimas yra gana logiškas. Dabar išanalizuosime atvirkštinės matricos suradimo algoritmą – ir bus visiškai aišku, kodėl iš esmės negali egzistuoti jokia atvirkštinė matrica su nuliniu determinantu.

Bet pirmiausia suformuluokime „pagalbinį“ apibrėžimą:

Apibrėžimas. Degeneruota matrica yra kvadratinė matrica, kurios dydis yra $\left[ n\times n \right]$, kurios determinantas yra nulis.

Taigi galime teigti, kad bet kuri apverčiama matrica yra neišsigimusi.

Kaip rasti atvirkštinę matricą

Dabar apsvarstysime universalų atvirkštinių matricų paieškos algoritmą. Apskritai yra du visuotinai pripažinti algoritmai, šiandien mes taip pat apsvarstysime antrąjį.

Matrica, kuri bus svarstoma dabar, yra labai efektyvi matricoms, kurių dydis yra $\left[ 2\time 2 \right]$ ir, iš dalies, yra $\left[ 3\time 3 \right]$. Bet pradedant nuo dydžio $\left[ 4\time 4 \right]$, geriau jo nenaudoti. Kodėl – dabar jūs viską suprasite.

Algebriniai priedai

Pasiruošk. Dabar bus skausmas. Ne, nesijaudink: graži seselė su sijonu, kojinėmis su nėriniais neateina pas tave ir nesuleis tau į sėdmenį. Viskas daug proziškiau: pas jus ateina algebriniai papildymai ir Jos Didenybė „Sąjungos matrica“.

Pradėkime nuo pagrindinio. Tegu yra $A=\left[ n\times n \right]$ dydžio kvadratinė matrica, kurios elementai pavadinti $((a)_(ij))$. Tada kiekvienam tokiam elementui galima apibrėžti algebrinį papildinį:

Apibrėžimas. Matricos $A=\left elemento $((a)_(ij))$ algebrinis papildinys $((A)_(ij))$ $i$-oje eilutėje ir $j$-oje stulpelyje [ n \times n \right]$ yra formos konstrukcija

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kur $M_(ij)^(*)$ yra matricos, gautos iš pradinio $A$, išbraukus tą pačią $i$-ąją eilutę ir $j$-ąją stulpelį, determinantas.

Vėlgi. Matricos elemento algebrinis papildymas koordinatėmis $\left(i;j \right)$ žymimas $((A)_(ij))$ ir apskaičiuojamas pagal schemą:

1. Pirmiausia iš pradinės matricos ištriname $i$ eilutę ir $j$-tą stulpelį. Gauname naują kvadratinę matricą ir jos determinantą pažymime kaip $M_(ij)^(*)$.
2. Tada padauginame šį determinantą iš $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - iš pradžių ši išraiška gali atrodyti pribloškianti, bet iš tikrųjų mes tiesiog išsiaiškiname ženklą prieš $ M_(ij)^(*) $.
3. Skaičiuojame – gauname konkretų skaičių. Tie. algebrinis sudėjimas yra tik skaičius, o ne kokia nors nauja matrica ir pan.

Pati matrica $M_(ij)^(*)$ vadinama elemento $((a)_(ij))$ komplementaria minora. Ir šia prasme aukščiau pateiktas algebrinio papildinio apibrėžimas yra ypatingas sudėtingesnio apibrėžimo atvejis - to, kurį aptarėme pamokoje apie determinantą.

Svarbi pastaba. Tiesą sakant, „suaugusiųjų“ matematikoje algebriniai priedai apibrėžiami taip:

1. Kvadratinėje matricoje paimame $k$ eilutes ir $k$ stulpelius. Jų sankirtoje gauname $\left[ k\times k \right]$ dydžio matricą – jos determinantas vadinamas $k$ eilės mažuoju ir žymimas $((M)_(k))$.
2. Tada išbraukiame šias „pasirinktas“ $k$ eilutes ir $k$ stulpelius. Vėlgi, gauname kvadratinę matricą – jos determinantas vadinamas komplementariuoju minoru ir žymimas $M_(k)^(*)$.
3. Padauginkite $M_(k)^(*)$ iš $((\left(-1 \right)))^(t))$, kur $t$ yra (dėmesio dabar!) visų pasirinktų eilučių skaičių suma ir stulpeliai . Tai bus algebrinis papildymas.

Pažvelkite į trečiąjį žingsnį: iš tikrųjų yra 2 000 USD terminų suma! Kitas dalykas, kad $k=1$ gauname tik 2 terminus - tai bus tie patys $i+j$ - elemento $((a)_(ij))$ "koordinatės", kuriai mes esame ieško algebrinio papildinio.

Taigi šiandien naudojame šiek tiek supaprastintą apibrėžimą. Bet kaip matysime vėliau, to bus daugiau nei pakankamai. Daug svarbiau yra tai:

Apibrėžimas. Jungties matrica $S$ į kvadratinę matricą $A=\left[ n\times n \right]$ yra nauja $\left[ n\times n \right]$ dydžio matrica, gaunama iš $A$ pakeičiant $(( a)_(ij))$ algebriniais papildiniais $((A)_(ij))$:

\\Rodyklė dešinėn S=\left[ \begin(matrica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\pabaiga (matrica) \right]\]

Pirmoji mintis, kylanti suvokus šį apibrėžimą, yra „šitai kiek tu turi suskaičiuoti iš viso! Atsipalaiduokite: reikia skaičiuoti, bet ne tiek daug. :)

Na, visa tai labai gražu, bet kam to reikia? Bet kodėl.

Pagrindinė teorema

Grįžkime šiek tiek atgal. Atminkite, kad 3 lema teigė, kad apverčiama matrica $A$ visada yra ne vienaskaita (ty jos determinantas yra ne nulis: $\left| A \right|\ne 0$).

Taigi, tiesa ir atvirkščiai: jei matrica $A$ nėra išsigimusi, tai ji visada yra apverčiama. Ir netgi yra paieškos schema $((A)^(-1))$. Pasižiūrėk:

Atvirkštinės matricos teorema. Tegu duota kvadratinė matrica $A=\left[ n\times n \right]$, o jos determinantas nėra nulis: $\left| A \right|\ne 0$. Tada egzistuoja atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$ ir apskaičiuojama pagal formulę:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

O dabar – viskas taip pat, bet įskaitoma rašysena. Norėdami rasti atvirkštinę matricą, jums reikia:

1. Apskaičiuokite determinantą $\left| A \right|$ ir įsitikinkite, kad jis nėra nulis.
2. Sudarykite sąjungos matricą $S$, t.y. suskaičiuokite 100500 algebrinių priedų $((A)_(ij))$ ir įdėkite juos į vietą $((a)_(ij))$.
3. Transponuokite šią matricą $S$ ir padauginkite iš kažkokio skaičiaus $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Štai ir viskas! Rasta atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$. Pažiūrėkime į pavyzdžius:

\[\left[ \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right]\]

Sprendimas. Patikrinkime grįžtamumą. Apskaičiuokime determinantą:

\[\left| A \right|=\left| \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinantas skiriasi nuo nulio. Taigi matrica yra apverčiama. Sukurkime sąjungos matricą:

Apskaičiuokime algebrinius priedus:

\[\begin(lygiuoti) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\dešinė|=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Atkreipkite dėmesį: determinantus |2|, |5|, |1| ir |3| yra $\left[ 1\times 1 \right]$ dydžio matricų determinantai, o ne moduliai. Tie. jei determinantuose buvo neigiami skaičiai, „minuso“ pašalinti nebūtina.

Iš viso mūsų sąjungos matrica atrodo taip:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(masyvas) \right])^(T))=\left[ \begin (masyvas)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(masyvas) \right]\]

Na tai viskas. Problema išspręsta.

Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(masyvas) \right]$

Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:

\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right] \]

Sprendimas. Vėlgi, mes atsižvelgiame į lemiamą veiksnį:

\[\begin(lygiuoti) & \left| \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right|=\begin(matrica) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrica)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(lygiuoti)\]

Determinantas skiriasi nuo nulio - matrica yra apverčiama. Bet dabar jis bus pats skardiausias: reikia suskaičiuoti net 9 (devynis, po velnių!) algebrinius priedus. Ir kiekviename iš jų bus $\left[ 2\times 2 \right]$ kvalifikatorius. Skraidė:

\[\begin(matrica) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrica) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrica) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrica) \right|=2; \\ \end(matrica)\]

Trumpai tariant, sąjungos matrica atrodys taip:

Taigi atvirkštinė matrica bus tokia:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\pabaiga(matrica) \right]=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(masyvas) \right]\]

Na, tai viskas. Štai atsakymas.

Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(masyvas) \right ]$

Kaip matote, kiekvieno pavyzdžio pabaigoje atlikome patikrinimą. Šiuo atžvilgiu svarbi pastaba:

Nepatingėkite patikrinti. Padauginkite pradinę matricą iš rastos atvirkštinės vertės – turėtumėte gauti $E$.

Daug lengviau ir greičiau atlikti šį patikrinimą, nei ieškoti klaidos tolimesniuose skaičiavimuose, kai, pavyzdžiui, sprendžiate matricinę lygtį.

Alternatyvus būdas

Kaip jau sakiau, atvirkštinės matricos teorema puikiai tinka dydžiams $\left[ 2\time 2 \right]$ ir $\left[ 3\times 3 \right]$ (pastaruoju atveju tai nėra tokia „puiku“). daugiau).“), tačiau didelėms matricoms prasideda liūdesys.

Tačiau nesijaudinkite: yra alternatyvus algoritmas, kurį galima naudoti norint ramiai rasti atvirkštinę vertę net ir $\left[ 10\times 10 \right]$ matricai. Tačiau, kaip dažnai būna, norint apsvarstyti šį algoritmą, mums reikia šiek tiek teorinio pagrindo.

Elementariosios transformacijos

Tarp įvairių matricos transformacijų yra keletas ypatingų – jie vadinami elementariais. Yra tiksliai trys tokios transformacijos:

1. Daugyba. Galite paimti $i$-ąją eilutę (stulpelį) ir padauginti ją iš bet kurio skaičiaus $k\ne 0$;
2. Papildymas. Prie $i$-os eilutės (stulpelio) pridėkite bet kurią kitą $j$-ąją eilutę (stulpelį), padaugintą iš bet kurio skaičiaus $k\ne 0$ (žinoma, $k=0$ taip pat galima, bet kokia prasmė Tačiau niekas nepasikeis).
3. Permutacija. Paimkite $i$-ąją ir $j$-ąją eilutes (stulpelius) ir pakeiskite jas.

Kodėl šios transformacijos vadinamos elementariomis (didelėse matricose jos neatrodo tokios elementarios) ir kodėl jų yra tik trys – šie klausimai nepatenka į šios dienos pamokos sritį. Todėl į detales nesileisime.

Kitas dalykas yra svarbus: mes turime atlikti visus šiuos iškrypimus susijusioje matricoje. Taip, taip, jūs išgirdote teisingai. Dabar bus dar vienas apibrėžimas – paskutinis šios dienos pamokoje.

Pridedama Matrica

Žinoma, mokykloje jūs sprendėte lygčių sistemas pridėjimo metodu. Na, iš vienos eilutės atimkite kitą, padauginkite kurią nors eilutę iš skaičiaus – tiek.

Taigi: dabar viskas bus taip pat, bet jau „suaugusiųjų būdu“. Pasiruošę?

Apibrėžimas. Tegu pateikta matrica $A=\left[ n\times n \right]$ ir tapatumo matrica $E$ tokio pat dydžio $n$. Tada susijusi matrica $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$ yra nauja $\left[ n\times 2n \right]$ matrica, kuri atrodo taip:

\[\left[ A\left| E\dešinė. \right]=\left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(masyvas) \right]\]

Trumpai tariant, paimame matricą $A$, dešinėje jai priskiriame reikiamo dydžio tapatybės matricą $E$, jas atskiriame vertikalia juostele dėl grožio - štai ir prisegėte. :)

Koks laimikis? Ir štai kas:

Teorema. Tegul matrica $A$ yra apverčiama. Apsvarstykite adjunktinę matricą $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$. Jei naudojate elementariosios stygų transformacijos perkelkite jį į formą $\left[ E\left| B\right. \right]$, t.y. padauginus, atimant ir pertvarkant eilutes, kad gautumėte matricą $E$ dešinėje iš $A$, tada kairėje gauta matrica $B$ yra atvirkštinė $A$:

\[\left[ A\left| E\dešinė. \dešinėn]\į \kairę[ E\kairė| B\right. \right]\RightArrow B=((A)^(-1))\]

Tai taip paprasta! Trumpai tariant, atvirkštinės matricos paieškos algoritmas atrodo taip:

1. Parašykite susietą matricą $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$;
2. Atlikite elementarius eilutės konvertavimus, kol dešinėje vietoje $A$ pasirodys $E$;
3. Žinoma, kažkas atsiras ir kairėje – tam tikra matrica $B$. Tai bus atvirkščiai;
4. PELNAS! :)

Žinoma, daug lengviau pasakyti nei padaryti. Taigi pažvelkime į kelis pavyzdžius: dydžiams $\left[ 3\time 3 \right]$ ir $\left[ 4\time 4 \right]$.

Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:

\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\ ]

Sprendimas. Mes sudarome pridedamą matricą:

\[\left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 ir 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]

Kadangi paskutinis pradinės matricos stulpelis užpildytas vienetais, pirmąją eilutę atimkite iš likusios:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \į \kairę [ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right] \\ \end (lygiuoti)\]

Daugiau vienetų nėra, išskyrus pirmąją eilutę. Bet mes jo neliečiame, kitaip naujai pašalinti vienetai pradės „daugintis“ trečiame stulpelyje.

Tačiau antrąją eilutę galime atimti du kartus iš paskutinės - apatiniame kairiajame kampe gauname vienetą:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\begin (matrica) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \left [ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right] \\ \end (lygiuoti)\]

Dabar galime atimti paskutinę eilutę iš pirmosios ir du kartus iš antrosios - tokiu būdu pirmąjį stulpelį „nuliuosime“:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\į \\ & \ į \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Antrąją eilutę padauginkite iš –1, tada iš pirmosios atimkite 6 kartus ir prie paskutinės pridėkite 1 kartą:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) -6 \\ \rodyklė aukštyn žemyn \\ +1 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Belieka tik sukeisti 1 ir 3 eilutes:

\[\left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 ir 32 ir -13 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]

Pasiruošę! Dešinėje yra reikiama atvirkštinė matrica.

Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(masyvas) \right ]$

Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:

\[\left[ \begin(matrica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\pabaiga (matrica) \right]\]

Sprendimas. Dar kartą sudarome pridedamą:

\[\left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right]\]

Truputį pasiskolinkime, susirūpinkime, kiek dabar turime suskaičiuoti... ir pradėkime skaičiuoti. Pirmiausia pirmąjį stulpelį „nuliuojame“ iš 2 ir 3 eilučių atimdami 1 eilutę:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\pabaiga(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin (masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Per daug „minusų“ pastebime 2-4 eilutėse. Visas tris eilutes padauginkite iš –1, o trečiąjį stulpelį išdeginkite iš likusios 3 eilutę:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(masyvas) \right]\begin(matrica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \pabaiga (masyvas) \right]\begin (matrica) -2 \\ -1 \\ \rodyklė aukštyn žemyn \\ -2 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin (masyvas)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar atėjo laikas „kepti“ paskutinį pradinės matricos stulpelį: atimkite 4 eilutę iš likusios:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas ) \right]\begin(matrica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \to \left[ \begin (masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Galutinis ritinys: „sudeginkite“ antrąjį stulpelį, atimdami 2 eilutę iš 1 ir 3:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end( masyvas) \right]\begin(matrica) 6 \\ \rodyklė aukštyn žemyn \\ -5 \\ \ \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]

Ir vėl tapatybės matrica kairėje, taigi atvirkštinė dešinėje. :)

Atsakymas. $\left[ \begin(matrica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\pabaiga (matrica) \right]$

Atvirkštinė duotosios matrica yra tokia matrica, padauginus pradinę, iš kurios gaunama tapatumo matrica: Privaloma ir pakankama atvirkštinės matricos buvimo sąlyga yra pradinės determinanto nelygybė (kuri savo ruožtu reiškia, kad matrica turi būti kvadratinė). Jei matricos determinantas yra lygus nuliui, tada ji vadinama išsigimusia ir tokia matrica neturi atvirkštinės. Aukštojoje matematikoje atvirkštinės matricos yra svarbios ir naudojamos sprendžiant daugybę problemų. Pavyzdžiui, ant rasti atvirkštinę matricą sukonstruotas lygčių sistemų sprendimo matricinis metodas. Mūsų paslaugų svetainė leidžia Apskaičiuokite atvirkštinę matricą internete du metodai: Gauso-Jordano metodas ir naudojant algebrinių priedų matricą. Pirmasis reiškia daugybę elementariųjų transformacijų matricoje, antrasis - determinanto ir algebrinių priedų prie visų elementų apskaičiavimą. Norėdami apskaičiuoti matricos determinantą internete, galite pasinaudoti kita mūsų paslauga - Matricos determinanto skaičiavimas internetu

.

Svetainėje raskite atvirkštinę matricą

Interneto svetainė leidžia rasti atvirkštinė matrica internete greitai ir nemokamai. Svetainėje mūsų servisas atlieka skaičiavimus, o rezultatas rodomas su detaliu paieškos sprendimu atvirkštinė matrica. Serveris visada pateikia tik tikslų ir teisingą atsakymą. Užduotyse pagal apibrėžimą atvirkštinė matrica internete, būtina, kad determinantas matricos skyrėsi nuo nulio, kitaip Interneto svetainė praneš, kad atvirkštinės matricos rasti neįmanoma dėl to, kad pradinės matricos determinantas yra lygus nuliui. Rasti užduotį atvirkštinė matrica randama daugelyje matematikos šakų, nes yra viena iš pagrindinių algebros sąvokų ir matematinė taikomųjų problemų priemonė. Nepriklausomas atvirkštinės matricos apibrėžimas reikalauja nemažų pastangų, daug laiko, skaičiavimų ir didelio kruopštumo, kad skaičiuojant nepadarytų paslydimo ar nedidelės klaidos. Todėl mūsų paslauga rasti atvirkštinę matricą internete labai palengvins Jūsų užduotį ir taps nepakeičiamu įrankiu sprendžiant matematinius uždavinius. Net jei tu rasti atvirkštinę matricą patys, rekomenduojame patikrinti sprendimą mūsų serveryje. Įveskite savo pradinę matricą į mūsų Apskaičiuokite atvirkštinę matricą internete ir patikrinkite savo atsakymą. Mūsų sistema niekada neklysta ir randa atvirkštinė matrica duotas matmuo režime prisijungęs iš karto! Svetainėje Interneto svetainė simbolių įrašai leidžiami elementuose matricos, tokiu atveju atvirkštinė matrica internete bus pateikta bendra simboline forma.

Matrica $A^(-1)$ vadinama atvirkštine kvadratine matrica $A$, jei $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, kur $E $ yra tapatumo matrica, kurios tvarka lygi matricos $A$ tvarkai.

Nevienetinė matrica yra matrica, kurios determinantas nėra lygus nuliui. Atitinkamai, išsigimusi matrica yra ta, kurios determinantas yra lygus nuliui.

Atvirkštinė matrica $A^(-1)$ egzistuoja tada ir tik tada, jei matrica $A$ yra nevienaskaita. Jei atvirkštinė matrica $A^(-1)$ egzistuoja, tada ji yra unikali.

Yra keletas būdų, kaip rasti atvirkštinę matricos vertę, ir mes pažvelgsime į du iš jų. Šiame puslapyje apžvelgsime adjungtinės matricos metodą, kuris laikomas standartiniu daugumoje aukštųjų matematikos kursų. Antrasis būdas rasti atvirkštinę matricą (elementariųjų transformacijų metodas), apimantis Gauso metodą arba Gauso-Jordano metodą, yra nagrinėjamas antroje dalyje.

Adjungtinės (sąjunginės) matricos metodas

Tegu duota matrica $A_(n\times n)$. Norint rasti atvirkštinę matricą $A^(-1)$, reikia atlikti tris veiksmus:

1. Raskite matricos $A$ determinantą ir įsitikinkite, kad $\Delta A\neq 0$, t.y. kad matrica A yra neišsigimusi.
2. Sudarykite kiekvieno matricos $A$ elemento algebrinius papildymus $A_(ij)$ ir užrašykite matricą $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ nuo rasto. algebriniai papildiniai.
3. Parašykite atvirkštinę matricą atsižvelgdami į formulę $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matrica $(A^(*))^T$ dažnai vadinama jungtine (abipuse, sąjungine) $A$ matrica.

Jei sprendimas priimamas rankiniu būdu, pirmasis metodas tinka tik santykinai mažų užsakymų matricoms: antrasis (), trečiasis (), ketvirtasis (). Norint rasti atvirkštinę matricą aukštesnės eilės matricai, naudojami kiti metodai. Pavyzdžiui, Gauso metodas, apie kurį kalbama antroje dalyje.

1 pavyzdys

Rasti matricos atvirkštinę matricą $A=\left(\begin(masyvas) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(masyvas) \right)$.

Kadangi visi ketvirtojo stulpelio elementai yra lygūs nuliui, tai $\Delta A=0$ (t.y. matrica $A$ yra išsigimusi). Kadangi $\Delta A=0$, nėra matricos, atvirkštinės $A$.

2 pavyzdys

Raskite atvirkštinę matricą $A=\left(\begin(masyvas) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(masyvas)\right)$.

Mes naudojame adjungtinės matricos metodą. Pirmiausia suraskime nurodytos matricos $A$ determinantą:

$$ \Delta A=\left| \begin(masyvas) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(masyvas)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Kadangi $\Delta A \neq 0$, tada atvirkštinė matrica egzistuoja, todėl tęsiame sprendimą. Algebrinių komplementų paieška

\begin(lygiuotas) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(sulygiuotas)

Sudarykite algebrinių komplementų matricą: $A^(*)=\left(\begin(masyvas) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(masyvas)\right)$.

Perkelkite gautą matricą: $(A^(*))^T=\left(\begin(masyvas) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(masyvas)\right)$ (gautas matrica dažnai vadinama jungtine arba jungiamąja matrica $A$). Naudodami formulę $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, turime:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(masyvas) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(masyvas)\right) =\left(\begin(masyvas) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(masyvas)\right) $$

Taigi randama atvirkštinė matrica: $A^(-1)=\left(\begin(masyvas) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(masyvas) \dešinėje) $. Norint patikrinti rezultato teisingumą, pakanka patikrinti vienos iš lygybių teisingumą: $A^(-1)\cdot A=E$ arba $A\cdot A^(-1)=E$. Patikrinkime lygybę $A^(-1)\cdot A=E$. Kad mažiau dirbtume su trupmenomis, matricą $A^(-1)$ pakeisime ne forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(masyvas)\right)$ bet kaip $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(masyvas) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(masyvas )\right)$:

Atsakymas: $A^(-1)=\left(\begin(masyvas) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(masyvas)\right)$.

3 pavyzdys

Raskite atvirkštinę matricos $A=\left(\begin(masyvas) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(masyvas) \right)$ atvirkštinę vertę.

Pradėkime nuo matricos $A$ determinanto apskaičiavimo. Taigi, matricos $A$ determinantas yra:

$$ \Delta A=\left| \begin(masyvas) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(masyvas) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Kadangi $\Delta A\neq 0$, tada atvirkštinė matrica egzistuoja, todėl tęsiame sprendimą. Mes randame kiekvieno duotosios matricos elemento algebrinius papildinius:

Sudarome algebrinių priedų matricą ir ją perkeliame:

$$ A^*=\left(\begin(masyvas) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(masyvas) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(masyvas) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(masyvas) \right) $$

Naudodami formulę $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, gauname:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(masyvas) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 ir 37\end(masyvas) \right)= \left(\begin(masyvas) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(masyvas) \right) $$

Taigi $A^(-1)=\left(\begin(masyvas) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(masyvas) \right)$. Norint patikrinti rezultato teisingumą, pakanka patikrinti vienos iš lygybių teisingumą: $A^(-1)\cdot A=E$ arba $A\cdot A^(-1)=E$. Patikrinkime lygybę $A\cdot A^(-1)=E$. Kad mažiau dirbtume su trupmenomis, matricą $A^(-1)$ pakeisime ne forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(masyvas) \right)$, bet kaip $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(masyvas) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(masyvas) \right)$:

Patikrinimas sėkmingai išlaikytas, atvirkštinė matrica $A^(-1)$ rasta teisingai.

Atsakymas: $A^(-1)=\left(\begin(masyvas) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(masyvas) \right)$.

4 pavyzdys

Raskite matricos atvirkštinę vertę $A=\left(\begin(masyvas) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(masyvas) \right)$.

Ketvirtosios eilės matricai rasti atvirkštinę matricą naudojant algebrinius papildymus yra šiek tiek sunku. Tačiau tokių pavyzdžių galima rasti kontrolės darbuose.

Norėdami rasti atvirkštinę matricą, pirmiausia turite apskaičiuoti matricos $A$ determinantą. Geriausias būdas tai padaryti šioje situacijoje yra išplėsti determinantą iš eilės (stulpelio). Parenkame bet kurią eilutę ar stulpelį ir randame kiekvieno pasirinktos eilutės ar stulpelio elemento algebrinį papildinį.

Mes ir toliau kalbame apie veiksmus su matricomis. Būtent, studijuodami šią paskaitą, išmoksite rasti atvirkštinę matricą. Mokytis. Net jei matematika įtempta.

Kas yra atvirkštinė matrica? Čia galime padaryti analogiją su reciprokais: panagrinėkime, pavyzdžiui, optimistinį skaičių 5 ir jo abipusį skaičių. Šių skaičių sandauga lygi vienetui: . Tas pats ir su matricomis! Matricos sandauga ir jos atvirkštinė sandauga yra tapatybės matrica, kuris yra skaitinio vieneto matricinis analogas. Tačiau pirmiausia išspręsime svarbų praktinį klausimą, būtent, išmoksime rasti šią labai atvirkštinę matricą.

Ką reikia žinoti ir mokėti rasti atvirkštinę matricą? Jūs turite mokėti nuspręsti determinantai. Jūs turite suprasti, kas yra matrica ir sugebėti su jais atlikti kai kuriuos veiksmus.

Yra du pagrindiniai atvirkštinės matricos radimo būdai:
per algebriniai priedai Ir naudojant elementarias transformacijas.

Šiandien mes išnagrinėsime pirmąjį, lengvesnį būdą.

Pradėkime nuo pačių baisiausių ir nesuprantamų dalykų. Apsvarstykite kvadratas matrica . Atvirkštinę matricą galima rasti naudojant šią formulę:

Kur yra matricos determinantas, yra atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų transponuota matrica.

Atvirkštinės matricos sąvoka egzistuoja tik kvadratinėms matricoms, matricos „du po du“, „trys iš trijų“ ir kt.

Žymėjimas: Kaip tikriausiai jau pastebėjote, matricos atvirkštinė vertė žymima viršutiniu indeksu

Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – matricos du po du. Dažniausiai, žinoma, reikia „trys iš trijų“, tačiau, nepaisant to, primygtinai rekomenduoju išstudijuoti paprastesnę užduotį, kad sužinotumėte bendrą sprendimo principą.

Pavyzdys:

Raskite atvirkštinę matricos vertę

Mes nusprendžiame. Veiksmų seka patogiai išskaidoma į taškus.

1) Pirmiausia randame matricos determinantą.

Jei šio veiksmo supratimas nėra geras, perskaitykite medžiagą Kaip apskaičiuoti determinantą?

Svarbu! Jei matricos determinantas yra NULIS– atvirkštinė matrica NEEGZISTUOJA.

Nagrinėjamame pavyzdyje, kaip paaiškėjo, , o tai reiškia, kad viskas tvarkoje.

2) Raskite nepilnamečių matricą.

Norint išspręsti mūsų problemą, nebūtina žinoti, kas yra nepilnametis, tačiau patartina perskaityti straipsnį Kaip apskaičiuoti determinantą.

Nepilnamečių matrica turi tokius pačius matmenis kaip matrica , tai yra šiuo atveju .
Korpusas mažas, belieka surasti keturis skaičius ir įdėti juos vietoj žvaigždučių.

Grįžkime prie mūsų matricos
Pirmiausia pažiūrėkime į viršutinį kairįjį elementą:

Kaip jį rasti nepilnametis?
Ir tai daroma taip: PROTINIAI perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra šis elementas:

Likęs skaičius yra duoto elemento minoras, kurią rašome savo nepilnamečių matricoje:

Apsvarstykite šį matricos elementą:

Protiškai perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra šis elementas:

Lieka šio elemento minorinė dalis, kurią įrašome į savo matricą:

Panašiai atsižvelgiame į antrosios eilės elementus ir randame jų nepilnamečius:


Paruošta.

Tai paprasta. Nepilnamečių matricoje jums reikia PAKEISTI ŽENKLUS dviem skaičiams:

Būtent šiuos skaičius aš ir apbraukiau ratu!

yra atitinkamų matricos elementų algebrinių papildinių matrica .

Ir tik kažkas…

4) Raskite perkeltą algebrinių priedų matricą.

yra atitinkamų matricos elementų algebrinių papildinių transponuota matrica .

5) Atsakymas.

Prisiminkite mūsų formulę
Viskas rasta!

Taigi atvirkštinė matrica yra tokia:

Geriausia palikti atsakymą tokį, koks yra. NEREIKIA Padalinkite kiekvieną matricos elementą iš 2, nes bus gauti trupmeniniai skaičiai. Šis niuansas išsamiau aptariamas tame pačiame straipsnyje. Veiksmai su matricomis.

Kaip patikrinti sprendimą?

Taip pat turi būti atliktas matricos dauginimas

Egzaminas:

jau minėta tapatybės matrica yra matrica su įjungtais vienetais pagrindinė įstrižainė o kitur nuliai.

Taigi atvirkštinė matrica randama teisingai.

Jei atliksite veiksmą, rezultatas taip pat bus tapatybės matrica. Tai vienas iš nedaugelio atvejų, kai matricos daugyba yra keičiama, daugiau informacijos rasite straipsnyje Veiksmų su matricomis savybės. Matricos išraiškos. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tikrinimo metu konstanta (trupmena) pakeliama į priekį ir apdorojama pačioje pabaigoje – po matricos daugybos. Tai yra standartinis variantas.

Pereikime prie praktikoje įprastesnio atvejo – matricos „trys iš trijų“:

Pavyzdys:

Raskite atvirkštinę matricos vertę

Algoritmas yra lygiai toks pat kaip ir du kartus du atveju.

Atvirkštinę matricą randame pagal formulę: , kur yra atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų transponuota matrica.

1) Raskite matricos determinantą.

Čia atskleidžiamas determinantas pirmoje eilutėje.

Taip pat nepamirškite to, o tai reiškia, kad viskas gerai - atvirkštinė matrica egzistuoja.

2) Raskite nepilnamečių matricą.

Nepilnamečių matrica turi matmenis „trys iš trijų“ , ir turime rasti devynis skaičius.

Išsamiai apžvelgsiu porą nepilnamečių:

Apsvarstykite šį matricos elementą:

PROTINIAI perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra šis elementas:

Likę keturi skaičiai rašomi determinante „du po du“

Šis du po dviejų determinantas ir yra nurodyto elemento minoras. Jį reikia apskaičiuoti:


Viskas, nepilnametis rastas, įrašome į savo nepilnamečių matricą:

Kaip jau turbūt atspėjote, reikia apskaičiuoti devynis du po du determinantus. Procesas, žinoma, nuobodus, bet atvejis nėra pats sunkiausias, gali būti ir blogesnis.

Na, o konsoliduoti - nuotraukose radus kitą nepilnametį:

Likusius nepilnamečius pabandykite apskaičiuoti patys.

Galutinis rezultatas:
yra atitinkamų matricos elementų nepilnamečių matrica .

Tai, kad visi nepilnamečiai pasirodė neigiami, yra grynas atsitiktinumas.

3) Raskite algebrinių priedų matricą.

Nepilnamečių matricoje tai būtina PAKEISTI ŽENKLUS griežtai šiems elementams:

Tokiu atveju:

Atvirkštinės matricos radimas „keturi iš keturių“ matricai nesvarstomas, nes tokią užduotį gali duoti tik sadistas mokytojas (mokiniui apskaičiuoti vieną „keturi iš keturių“ determinantą ir 16 determinantų „trys iš trijų“) . Mano praktikoje toks atvejis buvo tik vienas, o testo užsakovas už mano kančias sumokėjo gana brangiai =).

Daugelyje vadovėlių, vadovų galite rasti šiek tiek kitokį atvirkštinės matricos radimo būdą, tačiau aš rekomenduoju naudoti aukščiau pateiktą sprendimo algoritmą. Kodėl? Nes tikimybė susipainioti skaičiavimuose ir ženkluose daug mažesnė.

Atvirkštinės matricos radimas.

Šiame straipsnyje aptarsime atvirkštinės matricos sąvoką, jos savybes ir radimo būdus. Išsamiai apsistokime sprendžiant pavyzdžius, kuriuose reikia sukurti atvirkštinę duotosios matricą.

Puslapio naršymas.

Atvirkštinė matrica – apibrėžimas.

Atvirkštinės matricos radimas naudojant algebrinių priedų matricą.

Atvirkštinės matricos savybės.

Atvirkštinės matricos radimas Gauso-Jordano metodu.

Atvirkštinės matricos elementų radimas sprendžiant atitinkamas tiesinių algebrinių lygčių sistemas.

Atvirkštinė matrica – apibrėžimas.

Atvirkštinės matricos sąvoka įvedama tik kvadratinėms matricoms, kurių determinantas skiriasi nuo nulio, tai yra, nevienetinėms kvadratinėms matricoms.

Apibrėžimas.

Matricavadinama atvirkštine matricos, kurio determinantas skiriasi nuo nulio, jei lygybės teisingos , kur E yra tvarkos tapatumo matrica n ant n.

Atvirkštinės matricos radimas naudojant algebrinių priedų matricą.

Kaip rasti atvirkštinę duotosios matricą?

Pirma, mums reikia sąvokų perkelta matrica, mažoji matrica ir matricos elemento algebrinis papildinys.

Apibrėžimas.

Nepilnametisk-oji įsakymas matricos Aįsakymas m ant n yra eilės matricos determinantas k ant k, kuris gaunamas iš matricos elementų BET esantis pasirinktame k linijos ir k stulpelius. ( k neviršija mažiausio skaičiaus m arba n).

Nepilnametis (n-1)-oji tvarka, kurią sudaro visų eilučių elementai, išskyrus i-oji, ir visi stulpeliai, išskyrus j-oji, kvadratinė matrica BETįsakymas n ant n pažymėkime kaip .

Kitaip tariant, minoras gaunamas iš kvadratinės matricos BETįsakymas n ant n elementų perbraukimas i-oji linijos ir j-oji stulpelyje.

Pavyzdžiui, rašykime, nepilnametis 2-oji tvarka, kuri gaunama iš matricos antrosios, trečiosios eilučių ir pirmos, trečios stulpelių elementų parinkimas . Taip pat parodome minorą, kuris gaunamas iš matricos ištrinant antrą eilutę ir trečią stulpelį . Pavaizduokime šių nepilnamečių konstrukciją: ir .

Apibrėžimas.

Algebrinis sudėjimas kvadratinės matricos elementas vadinamas mažuoju (n-1)-oji tvarka, kuri gaunama iš matricos BET, ištrindami jo elementus i-oji linijos ir j-oji stulpelis padaugintas iš .

Elemento algebrinis papildinys žymimas kaip . Taigi, .

Pavyzdžiui, matricai elemento algebrinis papildinys yra .

Antra, mums reikės dviejų determinanto savybių, kurias aptarėme skyriuje matricos determinanto skaičiavimas:

Remiantis šiomis determinanto savybėmis, apibrėžimai matricos dauginimo iš skaičiaus operacijos ir atvirkštinės matricos samprata, turime lygybę , kur yra transponuota matrica, kurios elementai yra algebriniai papildiniai.

Matrica iš tikrųjų yra atvirkštinė matrica BET, nes lygybės . Parodykime

Kurkime atvirkštinės matricos algoritmas naudojant lygybę .

Išanalizuokime atvirkštinės matricos paieškos algoritmą naudodami pavyzdį.

Pavyzdys.

Duota matrica . Raskite atvirkštinę matricą.

Sprendimas.

Apskaičiuokite matricos determinantą BET, išplečiant jį trečiojo stulpelio elementais:

Determinantas yra ne nulis, taigi matrica BET grįžtamasis.

Raskime matricą iš algebrinių priedų:

Štai kodėl

Atlikime matricos perkėlimą iš algebrinių priedų:

Dabar randame atvirkštinę matricą kaip :

Patikrinkime rezultatą:

Lygybė yra vykdomi, todėl atvirkštinė matrica randama teisingai.

Atvirkštinės matricos savybės.

Atvirkštinės matricos samprata, lygybė , operacijų su matricomis apibrėžimai ir matricos determinanto savybės leidžia pagrįsti šiuos dalykus atvirkštinės matricos savybės:

Atvirkštinės matricos elementų radimas sprendžiant atitinkamas tiesinių algebrinių lygčių sistemas.

Apsvarstykite kitą būdą, kaip rasti atvirkštinę kvadratinės matricos matricą BETįsakymas n ant n.

Šis metodas pagrįstas sprendimu n tiesinių nehomogeninių algebrinių lygčių sistemos su n nežinomas. Nežinomi kintamieji šiose lygčių sistemose yra atvirkštinės matricos elementai.

Idėja labai paprasta. Atvirkštinę matricą pažymėkite kaip X, t.y, . Kadangi pagal atvirkštinės matricos apibrėžimą , Tada

Sulyginę atitinkamus elementus stulpeliais, gauname n tiesinių lygčių sistemos

Jas sprendžiame bet kokiu būdu ir iš rastų reikšmių sudarome atvirkštinę matricą.

Panagrinėkime šį metodą pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Duota matrica . Raskite atvirkštinę matricą.

Sprendimas.

Priimti . Lygybė suteikia mums tris tiesinių nehomogeninių algebrinių lygčių sistemas:

Šių sistemų sprendimo neaprašysime, jei reikia, skaitykite skyrių tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

Iš pirmosios lygčių sistemos turime , iš antrosios - , iš trečiosios - . Todėl norima atvirkštinė matrica turi formą . Rekomenduojame patikrinti, ar rezultatas yra teisingas.

Apibendrinti.

Mes apsvarstėme atvirkštinės matricos sąvoką, jos savybes ir tris jos radimo būdus.

Atvirkštinės matricos sprendimų pavyzdys

1 pratimas. Išspręskite SLAE naudodami atvirkštinės matricos metodą. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Formos pradžia

Formos pabaiga

Sprendimas. Parašykime matricą taip: Vektorius B: BT = (1,2,3,4) Pagrindinis determinantas, skirtas (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 ( 3 2-6 2) = -3 Mažas (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) = 0 Mažas ( 3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1) + 4 (3 2-3 1) = 3 Mažas (4,1): = 3 (3 2-6 2) ) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Mažasis determinantas ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transponuota matrica Algebriniai papildiniai ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7) 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3) 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2-2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3) 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4) + 2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4) )-3 (5 1-2 4) + 1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2 4) + 1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5) 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 (7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7) -3 (3 6-) 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Atvirkštinė matrica Rezultatas Vector X X = A -1 ∙ B X T = (2, -1, -0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

taip pat žr SLAE sprendimai atvirkštinės matricos metodu prisijungęs. Norėdami tai padaryti, įveskite savo duomenis ir gaukite sprendimą su išsamiais komentarais.

2 užduotis. Parašykite lygčių sistemą matricos forma ir išspręskite ją naudodami atvirkštinę matricą. Patikrinkite gautą tirpalą. Sprendimas:xml:xls

2 pavyzdys. Parašykite lygčių sistemą matricos forma ir išspręskite naudodami atvirkštinę matricą. Sprendimas:xml:xls

Pavyzdys. Pateikta trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistema. Reikalinga: 1) rasti jo sprendimą naudojant Cramerio formulės; 2) parašykite sistemą matricine forma ir išspręskite ją matricos skaičiavimu. Gairės. Išsprendę Cramerio metodu, raskite mygtuką „Atvirkštinis matricos sprendimas pradiniams duomenims“. Jūs gausite atitinkamą sprendimą. Taigi duomenų nereikės pildyti iš naujo. Sprendimas. Žymėkite A – nežinomųjų koeficientų matricą; X - nežinomųjų stulpelių matrica; B – laisvųjų narių matrica-stulpelis:

Vektorius B: BT =(4,-3,-3) Atsižvelgiant į šiuos žymėjimus, ši lygčių sistema įgauna tokią matricos formą: A*X = B. Jei matrica A yra neišsigimusi (jos determinantas nėra nulis, tada ji turi atvirkštinė matrica A -1. Abi lygties puses padauginus iš A -1, gauname: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Ši lygybė vadinama tiesinių lygčių sistemos sprendinio matricinis žymėjimas. Norint rasti lygčių sistemos sprendimą, reikia apskaičiuoti atvirkštinę matricą A -1 . Sistema turės sprendimą, jei matricos A determinantas yra ne nulis. Raskime pagrindinį determinantą. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Taigi, determinantas yra 14 ≠ 0, todėl tęsiame sprendimą. Norėdami tai padaryti, randame atvirkštinę matricą per algebrinius papildymus. Turėkime ne vienaskaitos matricą A:

Skaičiuojame algebrinius priedus.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T = (-1, 1, 2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 = 1 x 3 = 28 / 14 = 2 Apžiūra. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Atsakymas: -1,1,2.