Algoritmas pilnam funkcijos tyrimui. Bendra funkcijos tyrimo ir braižymo schema

Norint visiškai ištirti funkciją ir sudaryti jos grafiką, rekomenduojama naudoti šią schemą:

1) rasti funkcijos sritį;

2) rasti funkcijos ir vertikalių asimptočių (jei jos yra) nenutrūkstamo taškus;

3) ištirti funkcijos elgseną begalybėje, rasti horizontalias ir įstrižas asimptotes;

4) ištirti lygumo (keistingumo) ir periodiškumo (trigonometrinių funkcijų) funkciją;

5) rasti funkcijos monotoniškumo ekstremumus ir intervalus;

6) nustato išgaubimo intervalus ir vingio taškus;

7) jei įmanoma, suraskite susikirtimo taškus su koordinačių ašimis ir keletą papildomų taškų, kurie patikslina grafiką.

Funkcijos tyrimas atliekamas kartu su jos grafiko konstravimu.

9 pavyzdys Ištirkite funkciją ir nubraižykite grafiką.

1. Apibrėžimo sritis:;

2. Funkcija nutrūksta taškuose
,
;

Panagrinėkime vertikalių asimptotų buvimo funkciją.

;
,
─ vertikali asimptotė.

;
,
─ vertikali asimptotė.

3. Ištirkime įstrižųjų ir horizontalių asimptočių buvimo funkciją.

Tiesiai
─ įstrižinė asimptotė, jei
,
.

,
.

Tiesiai
─ horizontali asimptotė.

4. Funkcija lygi, nes
... Funkcijos paritetas rodo grafiko simetriją apie ordinačių ašį.

5. Raskime funkcijos monotoniškumo ir ekstremalių intervalus.

Raskime kritinius taškus, t.y. taškai, kuriuose išvestinė yra 0 arba neegzistuoja:
;
... Turime tris taškus
;

... Šie taškai padalija visą galiojančią ašį į keturias erdves. Apibrėžkime ženklus ant kiekvieno iš jų.

Intervaluose (-∞; -1) ir (-1; 0) funkcija didėja, intervaluose (0; 1) ir (1; + ∞) ─ mažėja. Kertant tašką
išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, todėl šiuo metu funkcija turi maksimumą
.

6. Raskite išgaubimo intervalus, vingio taškus.

Raskite taškus, kuriuose yra 0 arba neegzistuoja.

neturi galiojančių šaknų.
,
,

Taškai
ir
realiąją ašį padalinkite į tris intervalus. Apibrėžkime ženklą kiekvienu intervalu.

Taigi, kreivė intervalais
ir
išgaubtas žemyn, intervale (-1; 1) išgaubtas į viršų; vingio taškų nėra, nes funkcija taškuose
ir
nepatikslinta.

7. Raskite susikirtimo su ašimis taškus.

Su ašimi
funkcijos grafikas kertasi taške (0; -1), ir su ašimi
grafikas nesutampa, nes šios funkcijos skaitiklis neturi realių šaknų.

Pateiktos funkcijos grafikas parodytas 1 pav.

1 pav. ─ Funkcijų grafikas

Išvestinės finansinės priemonės sampratos taikymas ekonomikoje. Funkcijos elastingumas

Ekonominiams procesams tirti ir kitoms taikomoms problemoms spręsti dažnai vartojama funkcijos elastingumo sąvoka.

Apibrėžimas. Funkcijos elastingumas
vadinama funkcijos santykinio prieaugio santykio riba iki santykinio kintamojo prieaugio adresu
,. (Vii)

Funkcijos elastingumas parodo apytikslį funkcijos pokyčio procentą
kai keičiamas nepriklausomas kintamasis 1 %.

Funkcijos elastingumas taikomas analizuojant paklausą ir vartojimą. Jei paklausos elastingumas (absoliučia verte)
, tada paklausa laikoma elastinga, jei
─ neutralus, jei
─ neelastingas kainos (arba pajamų) atžvilgiu.

10 pavyzdys Apskaičiuokite funkcijos elastingumą
ir suraskite tamprumo indekso reikšmę = 3.

Sprendimas: pagal (VII) formulę funkcijos elastingumas:

Tada tegul x = 3
Tai reiškia, kad jei aiškinamasis kintamasis padidėja 1%, tai priklausomo kintamojo reikšmė padidėja 1,42%.

11 pavyzdys Tegul paklausa veikia dėl kainos turi formą
, kur ─ pastovus koeficientas. Raskite paklausos funkcijos tamprumo rodiklio reikšmę, kai kaina x = 3 den. vienetų

Sprendimas: apskaičiuokite paklausos funkcijos elastingumą pagal (VII) formulę

Darant prielaidą
piniginių vienetų, gauname
... Tai reiškia, kad už kainą
piniginių vienetų 1% kainos padidėjimas sukels 6% paklausos sumažėjimą, t.y. paklausa yra elastinga.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai paliekate užklausą svetainėje, mes galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir pranešti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei būsimus renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašiame reklaminiame renginyje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją toms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei reikia – pagal įstatymus, teismo įsakymą, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais ar vyriausybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų socialiai svarbių priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai – teisių perėmėjui.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir piktnaudžiavimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Pagarba jūsų privatumui įmonės lygiu

Siekdami įsitikinti, kad Jūsų asmeninė informacija yra saugi, savo darbuotojams pristatome konfidencialumo ir saugumo taisykles bei griežtai stebime konfidencialumo priemonių įgyvendinimą.

Instrukcijos

Raskite funkcijos apimtį. Pavyzdžiui, funkcija sin (x) apibrėžiama per visą intervalą nuo -∞ iki + ∞, o funkcija 1 / x apibrėžiama nuo -∞ iki + ∞, išskyrus tašką x = 0.

Apibrėžkite tęstinumo sritis ir lūžio taškus. Paprastai funkcija yra ištisinė toje pačioje srityje, kurioje ji yra apibrėžta. Norėdami aptikti nenutrūkstamumą, apskaičiuokite argumentui artėjant prie atskirų apibrėžimo srities taškų. Pavyzdžiui, funkcija 1 / x linkusi į begalybę, kai x → 0 +, ir į minus begalybę, kai x → 0-. Tai reiškia, kad taške x = 0 jis turi antrojo tipo nenutrūkstamumą.
Jei ribos pertrūkio taške yra baigtinės, bet ne lygios, tai yra pirmosios rūšies netolydumas. Jei jie lygūs, tada funkcija laikoma tęstine, nors izoliuotame taške ji nėra apibrėžta.

Raskite vertikalius asimptotus, jei tokių yra. Čia jums padės ankstesnio žingsnio skaičiavimai, nes vertikali asimptotė beveik visada yra antrosios rūšies nepertraukiamumo taške. Tačiau kartais iš apibrėžimo srities išskiriami ne atskiri taškai, o ištisi taškų intervalai, o tada vertikalios asimptotės gali būti šių intervalų pakraščiuose.

Patikrinkite, ar funkcija turi specialių savybių: pariteto, nelyginio pariteto ir periodiškumo.
Funkcija bus net jei bet kuriam x srityje f (x) = f (-x). Pavyzdžiui, cos (x) ir x ^ 2 yra lyginės funkcijos.

Periodiškumas yra savybė, kuri sako, kad yra tam tikras skaičius T, vadinamas periodu, kuris bet kuriam x f (x) = f (x + T). Pavyzdžiui, visos pagrindinės trigonometrinės funkcijos (sinusas, kosinusas, liestinė) yra periodinės.

Raskite taškus. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokite pateiktos funkcijos išvestinę ir suraskite tas x reikšmes, kuriose ji išnyksta. Pavyzdžiui, funkcija f (x) = x ^ 3 + 9x ^ 2 -15 turi išvestinę g (x) = 3x ^ 2 + 18x, kuri išnyksta, kai x = 0 ir x = -6.

Norėdami nustatyti, kurie ekstremumo taškai yra maksimumai, o kurie - minimumai, atsekkite išvestinės ženklo pokytį rastuose nuliuose. g (x) pakeičia ženklą iš pliuso taške x = -6, o taške x = 0 atgal iš minuso į pliusą. Vadinasi, funkcija f (x) turi minimumą pirmame taške, o antrajame.

Taigi, jūs radote monotoniškumo sritis: f (x) monotoniškai didėja intervale -∞; -6, monotoniškai mažėja -6; 0 ir vėl didėja 0; + ∞.

Raskite antrą išvestinę. Jo šaknys parodys, kur tam tikros funkcijos grafikas bus išgaubtas, o kur – įgaubtas. Pavyzdžiui, antroji funkcijos f (x) išvestinė bus h (x) = 6x + 18. Ji išnyksta ties x = -3, ženklą pakeičiant iš minuso į pliusą. Todėl grafikas f (x) prieš šį tašką bus išgaubtas, po jo – įgaubtas, o pats šis taškas bus vingio taškas.

Funkcija gali turėti ir kitų asimptotų, be vertikalių, bet tik tuo atveju, jei ji įtraukta į jos apibrėžimo sritį. Norėdami juos rasti, apskaičiuokite f (x) ribą kaip x → ∞ arba x → -∞. Jei jis baigtinis, tada jūs radote horizontalią asimptotę.

Įstrižinė asimptotė yra kx + b formos tiesi linija. Norėdami rasti k, apskaičiuokite f (x) / x ribą kaip x → ∞. Norėdami rasti b - ribą (f (x) - kx) tam pačiam x → ∞.

Nubraižykite funkciją ant apskaičiuotų duomenų. Pažymėkite asimptotus, jei tokių yra. Pažymėkite kraštutinius taškus ir juose funkcijos reikšmes. Norėdami didesnio grafiko tikslumo, apskaičiuokite funkcijos reikšmes dar keliuose tarpiniuose taškuose. Tyrimas baigtas.

Panagrinėkime funkciją \ (y = \ frac (x ^ 3) (1-x) \) ir sukurkime jos grafiką.

1. Apibrėžimo sritis.
Racionalios funkcijos (trupmenos) apibrėžimo sritis bus: vardiklis nelygus nuliui, t.y. \ (1 -x \ ne 0 => x \ ne 1 \). Taikymo sritis $$ D_f = (- \ infty; 1) \ cup (1; + \ infty) $$

2. Funkcijos lūžio taškai ir jų klasifikacija.
Funkcija turi vieną lūžio tašką x = 1
ištirkite tašką x = 1. Raskite funkcijos ribą, esančios dešinėje ir kairėje nuo nutrūkimo taško, dešinėje $$ \ lim_ (x \ to 1 + 0) (\ frac (x ^ 3) (1-x )) = - \ infty $$ ir į kairę nuo taško $$ \ lim_ (x \ iki 1-0) (\ frac (x ^ 3) (1-x)) = + \ infty $$ Tai yra antrojo tipo nenutrūkstamumo taškas, nes vienpusės ribos yra \ (\ infty \).

Tiesi linija \ (x = 1 \) yra vertikali asimptotė.

3. Funkcijos paritetas.
Patikrinkite lygumą \ (f (-x) = \ frac ((- x) ^ 3) (1 + x) \) funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

4. Funkcijos nuliai (susikirtimo su Ox ašimi taškai). Funkcijos ženklų intervalai.
Funkcijos nuliai ( susikirtimo taškas su jaučio ašimi): prilygstame \ (y = 0 \), gauname \ (\ frac (x ^ 3) (1-x) = 0 => x = 0 \). Kreivė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi su koordinatėmis \ ((0; 0) \).

Funkcijos pastovumo intervalai.
Nagrinėjamuose intervaluose \ ((- \ infty; 1) \ cup (1; + \ infty) \) kreivė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi, todėl apibrėžimo sritį nagrinėsime trimis intervalais.

Nustatykime funkcijos ženklą apibrėžimo srities intervaluose:
intervalas \ ((- \ infty; 0) \) suraskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \ (f (-4) = \ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervalas \ ((0; 1) \) raskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \ (f (0.5) = \ frac (x ^ 3) (1-x)> 0 \), šiame intervale funkcija yra teigiama \ (f (x )> 0 \), t.y. yra virš Jaučio ašies.
intervalas \ ((1; + \ infty) \) suraskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \ (f (4) = \ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Susikirtimo taškai su Oy ašimi: prilygstame \ (x = 0 \), gauname \ (f (0) = \ frac (x ^ 3) (1-x) = 0 \). Susikirtimo taško su Oy ašimi koordinatės \ ((0; 0) \)

6. Monotonijos intervalai. Funkcijų ekstremumai.
Raskite kritinius (stacionarius) taškus, tam randame pirmąją išvestinę ir prilyginkite ją nuliui $$ y "= (\ frac (x ^ 3) (1-x)" = \ frac (3x ^ 2 (1- x) + x ^ 3) ((1-x) ^ 2) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) $$ prilygsta 0 $$ \ frac (x ^ 2 (3 -2x)) ((1-x) ^ 2) = 0 => x_1 = 0 \ quad x_2 = \ frac (3) (2) $$ Raskite funkcijos reikšmę šiame taške \ (f ( 0) = 0 \) ir \ (f (\ frac (3) (2)) = -6,75 \). Gavome du kritinius taškus su koordinatėmis \ ((0; 0) \) ir \ ((1,5; -6,75) \)

Monotoniški intervalai.
Funkcija turi du kritinius taškus (galimo ekstremumo taškus), todėl monotoniškumas bus svarstomas keturiais intervalais:
intervalas \ ((- \ infty; 0) \) raskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \ (f (-4) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ) ^ 2)>
intervalas \ ((0; 1) \) raskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \ (f (0.5) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2 )> 0 \) , funkcija didėja šiuo intervalu.
intervalas \ ((1; 1,5) \) raskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \ (f (1.2) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2 )> 0 \) , funkcija didėja šiuo intervalu.
intervalas \ ((1.5; + \ infty) \) raskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo \ taške (f (4) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Funkcijų ekstremumai.

Tiriant funkciją buvo gauti du kritiniai (stacionarūs) taškai apibrėžimo srities intervale. Nustatykite, ar jie yra ekstremalūs. Apsvarstykite išvestinės ženklo pasikeitimą, kai einate per kritinius taškus:

taškas \ (x = 0 \) išvestinė keičia ženklą su \ (\ quad + \ quad 0 \ quad + \ quad \) - taškas nėra ekstremumas.
taškas \ (x = 1,5 \) išvestinė pakeičia ženklą iš \ (\ quad + \ quad 0 \ quad - \ quad \) - taškas yra maksimalus taškas.

7. Išgaubimo ir įgaubimo intervalai. Posūkio taškai.

Norėdami rasti išgaubimo ir įgaubimo intervalus, randame antrąją funkcijos išvestinę ir prilygstame nuliui $$ y "" = (\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) ) "= \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3) $$ Prilygsta nuliui $$ \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1) -x) ^ 3) = 0 => 2x (x ^ 2-3x + 3) = 0 => x = 0 $$ Funkcija turi vieną kritinį antrojo tipo tašką su koordinatėmis \ ((0; 0) \) .
Apibrėžkime apibrėžimo srities intervalų išgaubą, atsižvelgdami į antrosios rūšies kritinį tašką (galimos vingio tašką).

intervalas \ ((- \ infty; 0) \) suraskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \ (f "" (- 4) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1- x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervalas \ ((0; 1) \) raskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \ (f "" (0.5) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3)> 0 \), šiame intervale antroji funkcijos išvestinė yra teigiama \ (f "" (x)> 0 \) funkcija yra išgaubta žemyn (išgaubta).
intervalas \ ((1; \ infty) \) raskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \ (f "" (4) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Posūkio taškai.

Panagrinėkime antrosios išvestinės ženklo pokytį perėjus per kritinį antrosios rūšies tašką:
Taške \ (x = 0 \) antroji išvestinė pakeičia ženklą iš \ (\ quad - \ quad 0 \ quad + \ quad \), funkcijos grafikas keičia išgaubtą, t.y. tai vingio taškas su koordinatėmis \ ((0; 0) \).

8. Asimptotės.

Vertikali asimptotė... Funkcijos grafikas turi vieną vertikalią asimptotę \ (x = 1 \) (žr. 2 punktą).
Įstrižas asimptotas.
Kad funkcijos \ (y = \ frac (x ^ 3) (1-x) \) grafikas su \ (x \ to \ infty \) turėtų įstrižą asimptotę \ (y = kx + b \) , būtina ir pakanka, kad būtų dvi ribos $$ \ lim_ (x \ to + \ infty) = \ frac (f (x)) (x) = k $$ rasti $$ \ lim_ (x \ to \ infty) (\ frac ( x ^ 3) (x (1-x))) = \ infty => k = \ infty $$ ir antra riba $$ \ lim_ (x \ iki + \ infty) (f (x) ) - kx) = b $ $, nes \ (k = \ infty \) - nėra įstrižos asimptotės.

Horizontali asimptota: kad egzistuotų horizontali asimptotė, riba turi egzistuoti $$ \ lim_ (x \ to \ infty) f (x) = b $$ rasti $$ \ lim_ (x \ to + \ infty) (\ frac ( x ^ ) 3) (1-x)) = - \ infty $$$$ \ lim_ (x \ to - \ infty) (\ frac (x ^ 3) (1-x)) = - \ infty $$
Horizontalios asimptotės nėra.

9. Funkcijų grafikas.

Atskaitos taškai nagrinėjant funkcijas ir jų grafikų konstravimą yra būdingi taškai – nenutrūkstamumo, ekstremumo, vingio, susikirtimo su koordinačių ašimis taškai. Diferencialinio skaičiavimo pagalba galima nustatyti būdingus funkcijų kitimo požymius: didėjimą ir mažėjimą, maksimumus ir minimumus, grafiko išgaubimo ir įgaubimo kryptį, asimptotų buvimą.

Funkcijos grafiko eskizą galima (ir reikia) nubraižyti radus asimptotes ir ekstremumo taškus, o tyrimo eigoje patogu pildyti funkcijos tyrimo sukimosi lentelę.

Paprastai naudojama tokia funkcijų tyrimo schema.

1.Raskite funkcijos sritį, tęstinumo intervalus ir lūžio taškus.

2.Ištirkite lygumo ar nelygumo funkciją (grafiko ašinę arba centrinę simetriją.

3.Raskite asimptotes (vertikalias, horizontalias arba įstrižas).

4.Raskite ir ištirkite funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, jos ekstremumo taškus.

5.Raskite kreivės išgaubimo ir įgaubimo intervalus, jos vingio taškus.

6.Raskite kreivės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis, jei jos yra.

7.Paruoškite apibendrintą tyrimo lentelę.

8.Sukurkite grafiką, atsižvelgdami į funkcijos tyrimą, atliktą aukščiau nurodytuose taškuose.

Pavyzdys. Naršyti funkciją

ir sudaryti jo grafiką.

7. Sudarykime funkcijos tyrimo suvestinę lentelę, kurioje įvesime visus charakteringus taškus ir intervalus tarp jų. Atsižvelgdami į funkcijos paritetą, gauname tokią lentelę:

				Tvarkaraščio ypatybės
[-1, 0[			Didėja	Išgaubtas
				(0; 1) – maksimalus taškas
]0, 1[			Sumažėja	Išgaubtas
				Posūkio taškas, formos su ašimi Jautis bukas kampas