Kuris skaičius yra neracionalūs pavyzdžiai. Ką reiškia neracionalus skaičius
Visi racionalūs skaičiai gali būti pavaizduoti kaip bendroji trupmena. Tai taikoma sveikiesiems skaičiams (pavyzdžiui, 12, -6, 0) ir paskutinėms dešimtainėms trupmenoms (pvz., 0,5; -3,8921) ir begalinėms periodinėms dešimtainėms trupmenoms (pvz., 0,11(23); -3 , (87) )).
Tačiau begalinis neperiodinis po kablelio negali būti vaizduojamos kaip paprastosios trupmenos. Tai jie tokie neracionalūs skaičiai(t. y. neracionalu). Tokio skaičiaus pavyzdys yra π, kuris yra maždaug lygus 3,14. Tačiau, kam jis tiksliai lygus, neįmanoma nustatyti, nes po skaičiaus 4 yra begalė kitų skaičių, kuriuose negalima atskirti pasikartojančių laikotarpių. Tuo pačiu metu, nors skaičius π negali būti tiksliai išreikštas, jis turi specifinę geometrinę reikšmę. Skaičius π yra bet kurio apskritimo ilgio ir jo skersmens ilgio santykis. Taigi gamtoje egzistuoja iracionalūs skaičiai, kaip ir racionalieji skaičiai.
Kitas neracionaliųjų skaičių pavyzdys yra kvadratinės šaknys iš teigiamų skaičių. Iš vienų skaičių ištraukus šaknis, gaunamos racionalios reikšmės, iš kitų – neracionalios. Pavyzdžiui, √4 = 2, ty 4 šaknis yra racionalus skaičius. Tačiau √2, √5, √7 ir daugelis kitų lemia neracionalius skaičius, tai yra, juos galima išgauti tik apytiksliai, suapvalintais iki tam tikro kablelio. Šiuo atveju trupmena gaunama neperiodinė. Tai yra, neįmanoma tiksliai ir neabejotinai pasakyti, kokia yra šių skaičių šaknis.
Taigi √5 yra skaičius tarp 2 ir 3, nes √4 = 2 ir √9 = 3. Taip pat galime daryti išvadą, kad √5 yra arčiau 2 nei 3, nes √4 yra arčiau √5 nei √9 √5. Iš tiesų, √5 ≈ 2,23 arba √5 ≈ 2,24.
Iracionalūs skaičiai gaunami ir kituose skaičiavimuose (ir ne tik išgaunant šaknis), jie yra neigiami.
Kalbant apie neracionalius skaičius, galime pasakyti, kad nesvarbu, kokį vienetinį segmentą imtume matuoti tokiu skaičiumi išreikštą ilgį, mes negalime jo tiksliai išmatuoti.
Aritmetinėse operacijose neracionalieji skaičiai gali dalyvauti kartu su racionaliais. Tuo pačiu metu yra keletas dėsningumų. Pavyzdžiui, jei aritmetinėje operacijoje dalyvauja tik racionalieji skaičiai, tada rezultatas visada yra racionalus skaičius. Jei operacijoje dalyvauja tik neracionalūs, tai vienareikšmiškai galima pasakyti, ar ji pasirodys racionali, ar neracionalus skaičius, tai uždrausta.
Pavyzdžiui, jei padauginate du neracionalius skaičius √2 * √2, gausite 2 - tai yra racionalus skaičius. Kita vertus, √2 * √3 = √6 yra neracionalus skaičius.
Jei aritmetinis veiksmas apima racionalųjį ir neracionalųjį skaičių, tada bus gautas iracionalus rezultatas. Pavyzdžiui, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17–4.
Kodėl √17 – 4 yra neracionalus skaičius? Įsivaizduokite, kad gausite racionalųjį skaičių x. Tada √17 = x + 4. Bet x + 4 yra racionalusis skaičius, nes manėme, kad x yra racionalus. Skaičius 4 taip pat yra racionalus, taigi x + 4 yra racionalus. Tačiau racionalusis skaičius negali būti lygus iracionaliajam √17. Todėl prielaida, kad √17 - 4 duoda racionalų rezultatą, yra neteisinga. Aritmetinės operacijos rezultatas bus neracionalus.
Tačiau yra šios taisyklės išimtis. Jei neracionalųjį skaičių padauginsime iš 0, gausime racionalųjį skaičių 0.
Jau anksčiau parodėme, kad $1\frac25$ yra arti $\sqrt2$. Jei jis būtų tiksliai lygus $\sqrt2$, . Tada santykis - $\frac(1\frac25)(1)$, kurį galima paversti sveikųjų skaičių santykiu $\frac75$ padauginus viršutinę ir apatinę trupmenos dalis iš 5, būtų norima reikšmė.
Deja, $1\frac25$ nėra tiksli $\sqrt2$ vertė. Tikslesnį atsakymą $1\frac(41)(100)$ duoda santykis $\frac(141)(100)$. Dar didesnį tikslumą pasiekiame, kai $\sqrt2$ prilyginsime $1\frac(207)(500)$. Šiuo atveju santykis sveikaisiais skaičiais bus lygus $\frac(707)(500)$. Tačiau $1\frac(207)(500)$ taip pat nėra tiksli kvadratinės šaknies iš 2 reikšmė. Graikų matematikai sugaišo daug laiko ir pastangų skaičiuodami tiksli vertė$\sqrt2$, bet jiems niekada nepavyko. Jie nesugebėjo pateikti santykio $\frac(\sqrt2)(1)$ kaip sveikųjų skaičių santykio.
Galiausiai didysis graikų matematikas Euklidas įrodė, kad kad ir kaip padidėtų skaičiavimų tikslumas, tikslios $\sqrt2$ reikšmės gauti neįmanoma. Nėra tokios trupmenos, kurią patraukus kvadratu, rezultatas būtų 2. Sakoma, kad Pitagoras buvo pirmasis, priėjęs prie šios išvados, tačiau ši nepaaiškinamas faktas taip sužavėjo mokslininką, kad jis prisiekė ir iš savo mokinių prisiekė laikyti šį atradimą paslaptyje. Tačiau ši informacija gali būti netikra.
Bet jei skaičiaus $\frac(\sqrt2)(1)$ negalima pateikti kaip sveikųjų skaičių santykio, tada nėra skaičiaus, kuriame yra $\sqrt2$, pvz., $\frac(\sqrt2)(2)$ arba $\frac (4)(\sqrt2)$ taip pat negali būti pateikiamas kaip sveikųjų skaičių santykis, nes visas tokias trupmenas galima konvertuoti į $\frac(\sqrt2)(1)$, padaugintas iš tam tikro skaičiaus. Taigi $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Arba $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, kurį galima konvertuoti viršų ir apačią padauginus iš $\sqrt2$, kad gautumėte $\frac(4) (\sqrt2)$. (Neturėtume pamiršti, kad nesvarbu, koks skaičius yra $\sqrt2$, padauginę jį iš $\sqrt2$ gausime 2.)
Kadangi skaičius $\sqrt2$ negali būti pavaizduotas kaip sveikųjų skaičių santykis, jis vadinamas neracionalus skaičius. Kita vertus, vadinami visi skaičiai, kurie gali būti pavaizduoti kaip sveikųjų skaičių santykis racionalus.
Visi sveikieji ir trupmeniniai skaičiai, tiek teigiami, tiek neigiami, yra racionalūs.
Kaip paaiškėjo, dauguma kvadratinių šaknų yra neracionalūs skaičiai. Racionalios kvadratinės šaknys skirtos tik skaičiams, įtrauktiems į eilutę kvadratiniai skaičiai. Šie skaičiai taip pat vadinami tobulais kvadratais. Racionalieji skaičiai taip pat yra trupmenos, sudarytos iš šių tobulų kvadratų. Pavyzdžiui, $\sqrt(1\frac79)$ yra racionalus skaičius, nes $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ arba $1\frac13$ (4 yra šaknis kvadratas iš 16, o 3 yra kvadratinė šaknis iš 9).
Racionalusis skaičius yra skaičius, kurį galima pavaizduoti kaip trupmeną, kur 
. Q yra visų racionaliųjų skaičių aibė.
Racionalieji skaičiai skirstomi į: teigiamus, neigiamus ir nulius.
Kiekvienas racionalus skaičius gali būti susietas su vienu koordinačių linijos tašku. Taškų santykis „į kairę“ atitinka šių taškų koordinačių santykį „mažiau nei“. Matyti, kad kiekvienas neigiamas skaičius mažiau nei nulis ir bet koks teigiamas skaičius; iš dviejų neigiamų skaičių tas, kurio modulis didesnis, yra mažesnis. Taigi, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.
Bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip periodinę dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui, .
Veiksmų su racionaliaisiais skaičiais algoritmai išplaukia iš atitinkamų nulio ir teigiamų trupmenų operacijų ženklų taisyklių. Q atlieka dalybas, išskyrus dalijimą iš nulio.
Bet koks tiesinė lygtis, t.y. ax+b=0 formos lygtis, kur , yra sprendžiama aibėje Q, bet ne bet kokia kvadratinė lygtis malonus 
, yra išsprendžiamas racionaliaisiais skaičiais. Ne kiekvienas koordinačių linijos taškas turi racionalų tašką. Netgi VI amžiaus pabaigoje prieš Kristų. n. e Pitagoro mokykloje buvo įrodyta, kad kvadrato įstrižainė nėra proporcinga jo aukščiui, o tai prilygsta teiginiui: „Lygtis neturi racionalių šaknų“. Visa tai lėmė poreikį išplėsti aibę Q, buvo įvesta iracionaliojo skaičiaus sąvoka. Iracionaliųjų skaičių aibę pažymėkite raide J
.
Koordinačių tiesėje visi taškai, kurie neturi racionalių koordinačių, turi neracionalias koordinates. , kur r yra realiųjų skaičių aibės. universaliu būdu realiųjų skaičių priskyrimas yra dešimtainis. Periodiniai dešimtainiai skaičiai apibrėžia racionalius skaičius, o neperiodiniai – neracionalius skaičius. Taigi, 2,03 (52) yra racionalus skaičius, 2,03003000300003 ... (kiekvieno sekančio skaitmens „3“ laikotarpis rašomas vienu nuliu daugiau) yra neracionalus skaičius.
Aibės Q ir R turi pozityvumo savybes: tarp bet kurių dviejų racionaliųjų skaičių yra racionalusis skaičius, pavyzdžiui, ecoi a Kiekvienam neracionaliam skaičiui α
galima bet kokiu tikslumu nurodyti racionalų aproksimaciją tiek su trūkumu, tiek su pertekliumi: a< α
Operacija, kai iš kai kurių racionalių skaičių išskiriama šaknis, veda į neracionalius skaičius. Natūralaus laipsnio šaknies ištraukimas yra algebrinė operacija, t.y. jos įvedimas siejamas su formos algebrinės lygties sprendimu Neneigiamo skaičiaus a n-ojo laipsnio aritmetinė šaknis (dėl trumpumo – šaknis) yra neneigiamas skaičius b, kuris yra lygties šaknis. N-ojo laipsnio šaknis nuo skaičiaus a žymima simboliu. Jei n=2, 2 šaknies laipsnis nenurodytas: . Pavyzdžiui, nes 2 2 =4 ir 2>0; , nes 3 3 =27 ir 3>0; neegzistuoja, nes -4<0. Jei n=2k ir a>0, (1) lygties šaknys rašomos kaip ir . Pavyzdžiui, lygties x 2 \u003d 4 šaknys yra 2 ir -2. Jei n nelyginis, lygtis (1) turi vieną šaknį bet kuriai . Jei a≥0, tai – šios lygties šaknis. Jeigu<0, то –а>0 ir – lygties šaknis. Taigi lygtis x 3 \u003d 27 turi šaknį. Suprasti skaičius, ypač natūraliuosius skaičius, yra vienas seniausių matematinių „įgūdžių“. Daugelis civilizacijų, net ir šiuolaikinės, dėl didelės reikšmės apibūdinant gamtą skaičiams priskyrė tam tikras mistines savybes. Nors šiuolaikinis mokslas ir matematika šių „stebuklingų“ savybių nepatvirtina, skaičių teorijos reikšmė neabejotina. Istoriškai iš pradžių atsirado daug natūraliųjų skaičių, tada gana greitai prie jų buvo pridėtos trupmenos ir teigiami neracionalieji skaičiai. Nuliniai ir neigiami skaičiai buvo įvesti po šių realiųjų skaičių aibės poaibių. Paskutinis rinkinys, kompleksinių skaičių aibė, atsirado tik tobulėjant šiuolaikiniam mokslui. Šiuolaikinėje matematikoje skaičiai įvedami ne istorine tvarka, nors gana artima jai. Natūraliųjų skaičių aibė dažnai žymima kaip $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ ir dažnai užpildoma nuliu, žyminčiu $\mathbb(N)_0$. $\mathbb(N)$ apibrėžia sudėjimo (+) ir daugybos ($\cdot$) operacijas su šiomis savybėmis bet kuriai $a,b,c\in \mathbb(N)$: 1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ rinkinys $\mathbb(N)$ uždaromas sudėjus ir dauginant Kadangi aibėje $\mathbb(N)$ yra neutralus daugybos, bet ne sudėties elementas, pridėjus nulį prie šios aibės užtikrinama, kad joje bus neutralus sudėties elementas. Be šių dviejų operacijų, rinkinyje $\mathbb(N)$ ryšiai "mažiau nei" ($ 1. $a b$ trichotomija Sveikųjų skaičių pavyzdžiai: Lygties $a+x=b$ sprendimas, kur $a$ ir $b$ yra žinomi natūralūs skaičiai, o $x$ yra nežinomas natūralusis skaičius, reikia įvesti naują operaciją – atimtį(-). Jei yra natūralusis skaičius $x$, kuris tenkina šią lygtį, tai $x=b-a$. Tačiau ši konkreti lygtis nebūtinai turi sprendinį aibėje $\mathbb(N)$, todėl praktiniai sumetimai reikalauja išplėsti natūraliųjų skaičių aibę taip, kad būtų įtraukti tokios lygties sprendiniai. Tai veda prie sveikųjų skaičių rinkinio: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$. Kadangi $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, logiška manyti, kad anksčiau įvestos operacijos $+$ ir $\cdot$ bei santykis $ 1. $0+a=a+0=a$ yra neutralus papildymų elementas 5. Nuosavybė: Aibė $\mathbb(Z) $ taip pat uždaroma atimant, tai yra $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$. Racionalių skaičių pavyzdžiai: Dabar apsvarstykite formos $a\cdot x=b$ lygtis, kur $a$ ir $b$ yra žinomi sveikieji skaičiai, o $x$ nežinomas. Kad sprendimas būtų įmanomas, reikia įvesti padalijimo operaciją ($:$), o sprendimas tampa $x=b:a$, tai yra $x=\frac(b)(a)$. Vėlgi, iškyla problema, kad $x$ ne visada priklauso $\mathbb(Z)$, todėl sveikųjų skaičių aibė turi būti išplėsta. Taigi pristatome racionaliųjų skaičių aibę $\mathbb(Q)$ su elementais $\frac(p)(q)$, kur $p\in \mathbb(Z)$ ir $q\in \mathbb(N) $. Aibė $\mathbb(Z)$ yra poaibis, kuriame kiekvienas elementas $q=1$, taigi $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ ir sudėties bei daugybos operacijos taip pat taikomos šiai rinkiniui pagal laikytis šių taisyklių, kurios išsaugo visas aukščiau nurodytas savybes ir rinkinyje $\mathbb(Q)$: Padalinys įvedamas taip: Aibėje $\mathbb(Q)$ lygtis $a\cdot x=b$ turi unikalų kiekvieno $a\neq 0$ sprendimą (dalyba iš nulio nenustatyta). Tai reiškia, kad yra atvirkštinis elementas $\frac(1)(a)$ arba $a^(-1)$: Aibės $\mathbb(Q)$ eiliškumą galima išplėsti tokiu būdu: Aibė $\mathbb(Q)$ turi vieną svarbią savybę: tarp bet kurių dviejų racionaliųjų skaičių yra be galo daug kitų racionalių skaičių, todėl nėra dviejų gretimų racionaliųjų skaičių, priešingai nei natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibės. Iracionaliųjų skaičių pavyzdžiai: Kadangi tarp bet kurių dviejų racionaliųjų skaičių yra be galo daug kitų racionalių skaičių, nesunku padaryti klaidingą išvadą, kad racionaliųjų skaičių aibė yra tokia tanki, kad nereikia jos toliau plėsti. Net Pitagoras kartą padarė tokią klaidą. Tačiau jo amžininkai jau paneigė šią išvadą, tirdami lygties $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) sprendinius racionaliųjų skaičių aibėje. Norint išspręsti tokią lygtį, reikia įvesti kvadratinės šaknies sąvoką, o tada šios lygties sprendinys turi formą $x=\sqrt(2)$. $x^2=a$ tipo lygtis, kur $a$ yra žinomas racionalusis skaičius, o $x$ yra nežinomas, ne visada turi racionaliųjų skaičių aibės sprendimą, ir vėl atsiranda poreikis išplėsti rinkinį. Atsiranda iracionaliųjų skaičių aibė, kuriai priklauso tokie skaičiai kaip $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$.... Racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibių sąjunga yra realiųjų skaičių aibė. Kadangi $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, vėlgi logiška manyti, kad įvestos aritmetinės operacijos ir ryšiai išlaiko savo savybes naujajame rinkinyje. Formalus to įrodymas yra labai sunkus, todėl minėtos aritmetinių operacijų ir santykių savybės realiųjų skaičių aibėje pateikiamos kaip aksiomos. Algebroje toks objektas vadinamas lauku, todėl realiųjų skaičių aibė vadinama sutvarkytu lauku. Kad realiųjų skaičių aibės apibrėžimas būtų išsamus, reikia įvesti papildomą aksiomą, kuri išskiria aibes $\mathbb(Q)$ ir $\mathbb(R)$. Tarkime, kad $S$ yra netuščias realiųjų skaičių aibės poaibis. Elementas $b\in \mathbb(R)$ vadinamas viršutine $S$ riba, jei $\forall x\in S$ tenkina $x\leq b$. Tada sakoma, kad aibė $S$ yra apribota iš viršaus. Mažiausia viršutinė aibės $S$ riba vadinama aukščiausia suma ir žymima $\sup S$. Apatinės ribos, žemiau apribotos aibės ir infinum $\inf S$ sąvokos įvedamos panašiai. Dabar trūkstama aksioma suformuluota taip: Bet koks netuščias ir iš viršaus apribotas realiųjų skaičių aibės poaibis turi viršūnę. Kompleksinių skaičių pavyzdžiai: Kompleksinių skaičių aibė yra visos sutvarkytos realiųjų skaičių poros, t. y. $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, kuriose atliekamos sudėjimo ir daugyba apibrėžiama taip: Yra keli kompleksinių skaičių rašymo būdai, dažniausiai $z=a+ib$, kur $(a,b)$ yra realiųjų skaičių pora, o skaičius $i=(0,1)$ vadinamas įsivaizduojamu vienetu. Nesunku parodyti, kad $i^2=-1$. Aibės $\mathbb(R)$ išplėtimas į aibę $\mathbb(C)$ leidžia nustatyti neigiamų skaičių kvadratinę šaknį, dėl ko buvo įvesta kompleksinių skaičių aibė. Taip pat lengva parodyti, kad aibės $\mathbb(C)$ poaibis, pateiktas kaip $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, tenkina visus realiųjų skaičių aksiomos, taigi $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ arba $R\subset\mathbb(C)$. Aibės $\mathbb(C)$ algebrinė struktūra, atsižvelgiant į sudėties ir daugybos operacijas, turi šias savybes: neracionalus skaičius- Tai tikras numeris, kuris nėra racionalus, tai yra, negali būti pavaizduotas kaip trupmena, kur yra sveikieji skaičiai, . Neracionalus skaičius gali būti pavaizduotas kaip begalinis nesikartojantis dešimtainis skaičius. Iracionaliųjų skaičių rinkinys paprastai žymimas didžiąja lotyniška raide, paryškinta be šešėlių. Taigi: , t.y. neracionaliųjų skaičių rinkinys yra realiųjų ir racionaliųjų skaičių aibių skirtumas. Apie neracionaliųjų skaičių egzistavimą, tiksliau atkarpas, nesulyginamas su vienetinio ilgio atkarpa, žinojo jau senovės matematikai: jie žinojo, pavyzdžiui, įstrižainės ir kvadrato kraštinės nesulyginamumą, o tai prilygsta skaičiaus neracionalumui. Neracionalūs yra: Tarkime priešingai: jis yra racionalus, tai yra, jis vaizduojamas kaip neredukuojama trupmena, kur yra sveikasis skaičius ir yra natūralusis skaičius. Pastatykime tariamą lygybę kvadratu: Iš to išplaukia, kad net, vadinasi, net ir . Tegul kur visuma. Tada Todėl net, todėl net ir . Mes gavome tai ir esame lygūs, o tai prieštarauja trupmenos neredukuojamumui. Taigi pirminė prielaida buvo klaidinga ir yra neracionalus skaičius. Tarkime priešingai: jis yra racionalus, tai yra, jis vaizduojamas kaip trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai. Nuo , ir gali būti vertinami teigiamai. Tada Bet aišku, keista. Gauname prieštaravimą. Iracionaliųjų skaičių sampratą netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750 m. pr. Kr. – apie 690 m. pr. Kr.) nustatė, kad kai kurių natūraliųjų skaičių, tokių kaip 2 ir 61, kvadratinės šaknys negali būti aiškiai išreikštos. Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas paprastai priskiriamas Hipasui Metapontui (apie 500 m. pr. Kr.), pitagoriečiui, kuris šį įrodymą rado tyrinėdamas pentagramos kraštinių ilgius. Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, tai yra sveikasis skaičius kartų, įtrauktų į bet kurį segmentą. Tačiau Hipasas teigė, kad nėra vieno ilgio vieneto, nes jo egzistavimo prielaida sukelia prieštaravimą. Jis parodė, kad jei lygiašonio stačiojo trikampio hipotenuzoje yra sveikasis skaičius vienetinių atkarpų, tai šis skaičius turi būti ir lyginis, ir nelyginis tuo pačiu metu. Įrodymas atrodė taip: Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakomas), tačiau, pasak legendų, Hipasui nebuvo parodyta derama pagarba. Egzistuoja legenda, kad Hipasas atrado kelionėje jūra, o kiti pitagoriečiai jį išmetė už borto „sukūrę visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti iki sveikųjų skaičių ir jų santykio. “ Hipaso atradimas sukėlė rimtą problemą Pitagoro matematikai, sugriovė pagrindinę prielaidą, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra vienas ir neatsiejami.
. Jei n nelyginis, t.y. n=2k+1, kur , tada lygtis turi vieną šaknį. Jei n lyginis, n = 2k, kur , tada a = 0 lygtis turi vieną šaknį x = 0,<0 корней нет, при a>0 turi dvi šaknis, kurios yra priešingos viena kitai. Šaknies ištraukimas yra atvirkštinė pakėlimo į natūralią galią operacija.Natūralūs skaičiai $\mathbb(N)$
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutaciškumas
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociatyvumas
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ paskirstymas
5. $a\cdot 1=a$ yra neutralus daugybos elementas
2. jei $a\leq b$ ir $b\leq a$, tai $a=b$ yra antisimetrija
3. jei $a\leq b$ ir $b\leq c$, tai $a\leq c$ yra tranzityvus
4. jei $a\leq b$, tai $a+c\leq b+c$
5. jei $a\leq b$, tai $a\cdot c\leq b\cdot c$Sveikieji skaičiai $\mathbb(Z)$
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$ yra priešingas skaičius $-a$
5. jei $0\leq a$ ir $0\leq b$, tai $0\leq a\cdot b$Racionalieji skaičiai $\mathbb(Q)$
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
$\frac(p_1)(q_1)Iracionalūs skaičiai $\mathbb(I)$
$0.333333...$
$\sqrt(2) \apytiksliai 1,41422135...$
$\pi \apytiksliai 3,1415926535...$Realieji skaičiai $\mathbb(R)$
Taip pat galima įrodyti, kad aukščiau apibrėžtas realiųjų skaičių laukas yra unikalus.Sudėtiniai skaičiai$\mathbb(C)$
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ kur $i = \sqrt(-1)$ arba $i^2 = -1$
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
1. sudėties ir daugybos komutaciškumas
2. sudėties ir daugybos asociatyvumas
3. $0+i0$ – neutralus elementas papildymui
4. $1+i0$ – neutralus daugybos elementas
5. daugyba yra skirstomoji sudėties atžvilgiu
6. Sudėti ir dauginti yra vienas atvirkštinis elementas.Savybės
Pavyzdžiai
Neracionalūs skaičiai
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - Iracionalumo įrodymo pavyzdžiai
2 šaknis
Dvejetainis skaičiaus 3 logaritmas
e
Istorija
