Neracionalus skaičių žymėjimas. Racionalieji ir iracionalieji skaičiai

Daug neracionalių skaičių paprastai nurodoma didžiąja lotyniška raide I (\ displaystyle \ mathbb (I)) pusjuodžiu šriftu, be užpildymo. Taigi: I = R ∖ Q (\ displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q)), tai yra, neracionaliųjų skaičių aibė yra skirtumas tarp realiųjų ir racionaliųjų skaičių aibių.

Jau senovės matematikai žinojo apie neracionaliųjų skaičių, tiksliau atkarpų, neprilygstamų vienetinio ilgio atkarpai, egzistavimą: jie žinojo, pavyzdžiui, kvadrato įstrižainės ir kraštinės nesuderinamumą, o tai prilygsta kvadrato neracionalumui. numerį.

Kolegialus „YouTube“.

• 1 / 5

  Neracionalūs yra:

  Iracionalumo įrodymų pavyzdžiai

  2 šaknis

  Tarkime priešingai: 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2))) racionalus, tai yra, vaizduojamas kaip trupmena m n (\ displaystyle (\ frac (m) (n))), kur m (\ displaystyle m) yra sveikasis skaičius ir n (\ displaystyle n)- natūralusis skaičius.

  Pastatykime tariamą lygybę kvadratu:

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ rodymo stilius (\ sqrt (2)) = (\ frac (m) (n)) \ rodyklė dešinėn 2 = (\ frac (m ^ (2) )) (n ^ (2))) \ Rodyklė dešinėn m ^ (2) = 2n ^ (2)).

  Istorija

  Antika

  Iracionaliųjų skaičių sąvoką netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750 m. pr. Kr. – apie 690 m. pr. Kr.) suprato, kad kai kurių natūraliųjų skaičių, pvz., 2 ir 61, kvadratinės šaknys negali būti aiškiai nurodytos. išreikštas [ ] .

  Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas dažniausiai priskiriamas pitagoriečiui Hipasui Metapontui (apie 500 m. pr. Kr.). Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, o tai yra sveikasis skaičius kartų, įtrauktų į bet kurį segmentą. ] .

  Tikslių duomenų apie tai, kokio skaičiaus neracionalumą įrodė Hipasas, nėra. Pasak legendos, jis jį rado tyrinėdamas pentagramos kraštinių ilgį. Todėl pagrįsta manyti, kad tai buvo aukso pjūvis [ ] .

  Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakoma), tačiau, pasak legendų, jie nesuteikė Hipui pagarbos, kurios jis nusipelnė. Legenda byloja, kad Hipasas padarė atradimą plaukiodamas jūra ir buvo išmestas už borto kitų pitagoriečių „už tai, kad sukūrė visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti į sveikus skaičius ir jų ryšius“. Hipaso atradimas susidūrė su Pitagoro matematika rimta problema, sugriaunančią pagrindinę visos teorijos prielaidą, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra viena ir neatsiejama.

  Visų natūraliųjų skaičių aibė žymima raide N. Natūralūs skaičiai yra skaičiai, kuriuos naudojame objektams skaičiuoti: 1,2,3,4, ... Kai kuriuose šaltiniuose skaičius 0 dar vadinamas natūraliaisiais skaičiais.

  Visų sveikųjų skaičių aibė žymima raide Z. Sveikieji skaičiai yra visi natūralūs skaičiai, nulis ir neigiami skaičiai:

  1,-2,-3, -4, …

  Dabar prie visų sveikųjų skaičių aibės pridedame visų paprastųjų trupmenų aibę: 2/3, 18/17, -4/5 ir pan. Tada gauname visų racionaliųjų skaičių aibę.

  Racionaliųjų skaičių aibė

  Visų racionaliųjų skaičių aibė žymima raide Q. Visų racionaliųjų skaičių aibė (Q) – tai aibė, susidedanti iš m / n, -m / n formos skaičių ir skaičiaus 0. kaip n, m gali būti naudojamas bet koks natūralusis skaičius. Reikėtų pažymėti, kad visi racionalieji skaičiai gali būti pavaizduoti kaip baigtinis arba begalinis PERIODINIS dešimtainis... Taip pat tiesa, kad bet kuri baigtinė arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena gali būti užrašoma kaip racionalusis skaičius.

  Bet kaip, pavyzdžiui, su numeriu 2.0100100010 ...? Tai be galo NEPERĖJIMAS dešimtainė trupmena. Ir tai netaikoma racionaliesiems skaičiams.

  V mokyklos kursas algebroje tiriami tik realieji (arba realieji) skaičiai. Visų realiųjų skaičių aibė žymima raide R. Aibė R susideda iš visų racionaliųjų ir visų neracionalių skaičių.

  Neracionalūs skaičiai

  Iracionalieji skaičiai yra begalinės neperiodinės trupmenos po kablelio. Iracionalūs skaičiai neturi specialaus pavadinimo.

  Pavyzdžiui, visi skaičiai, gauti ištraukus natūraliųjų skaičių kvadratinę šaknį, kurie nėra natūraliųjų skaičių kvadratai, bus neracionalūs. (√2, √3, √5, √6 ir kt.).

  Bet negalvok taip neracionalūs skaičiai gaunami tik ištraukus kvadratines šaknis. Pavyzdžiui, skaičius „pi“ taip pat yra neracionalus ir gaunamas dalijant. Ir kad ir kaip stengtumėtės, ištraukdami to nepasieksite Kvadratinė šaknis iš bet kurio natūraliojo skaičiaus.

  Iracionaliojo skaičiaus apibrėžimas

  Neracionalūs yra skaičiai, kurie dešimtainiu žymėjimu yra begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos.

  
  
  

  Taigi, pavyzdžiui, skaičiai, gauti ištraukus natūraliųjų skaičių kvadratinę šaknį, yra neracionalūs ir nėra natūraliųjų skaičių kvadratai. Tačiau ne visi neracionalieji skaičiai gaunami ištraukus kvadratines šaknis, nes skaičius pi, gautas dalijant, taip pat yra neracionalus, ir vargu ar jį gausite bandydami išgauti natūraliojo skaičiaus kvadratinę šaknį.

  Iracionaliųjų skaičių savybės

  Skirtingai nei skaičiai, rašomi begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis, tik neracionalūs skaičiai rašomi neperiodinėmis begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis.
  Dviejų neneigiamų neracionalių skaičių suma gali būti racionalusis skaičius.
  Iracionalieji skaičiai apibrėžia Dedekind dalis racionaliųjų skaičių aibėje, žemesnėje klasėje, kurios neturi daugiausiai didelis skaičius, o viršuje nėra mažesnio.
  Bet koks tikras transcendentinis skaičius yra neracionalus.
  Visi neracionalūs skaičiai yra arba algebriniai, arba transcendentiniai.
  Tiesios linijos neracionaliųjų skaičių aibė yra tankiai supakuota, o tarp bet kurių dviejų visada yra iracionalusis skaičius.
  Iracionaliųjų skaičių aibė yra begalinė, neskaičiuojama ir yra 2 kategorijos aibė.
  Atliekant bet kokią aritmetinę operaciją su racionaliaisiais skaičiais, išskyrus dalijimą iš 0, rezultatas bus racionalus skaičius.
  Pridedant racionalųjį skaičių prie neracionaliojo skaičiaus, rezultatas visada yra neracionalusis skaičius.
  Sudėjus iracionaliuosius skaičius, galime gauti racionalųjį skaičių.
  Iracionaliųjų skaičių aibė nėra lyginė.
  

  Skaičiai nėra neracionalūs

  Kartais sunku atsakyti į klausimą, ar skaičius yra neracionalus, ypač tais atvejais, kai skaičius yra dešimtainės trupmenos arba skaitinės išraiškos, šaknies ar logaritmo pavidalu.

  Todėl nebus nereikalinga žinoti, kurie skaičiai nėra neracionalūs. Jei vadovausimės iracionaliųjų skaičių apibrėžimu, tai jau žinome, kad racionalieji skaičiai negali būti neracionalūs.

  Neracionalūs skaičiai nėra:

  Pirma, visi natūralieji skaičiai;
  Antra, sveikieji skaičiai;
  Trečia, paprastosios trupmenos;
  Ketvirta, skirtingi mišrūs skaičiai;
  Penkta, tai yra begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.
  

  Be viso to, kas išdėstyta aukščiau, neracionalusis skaičius negali būti bet koks racionaliųjų skaičių derinys, kurį atlieka aritmetinių operacijų ženklai, pvz., +, -,,:, nes tokiu atveju taip pat bus dviejų racionaliųjų skaičių rezultatas. racionalus skaičius.

  Dabar pažiūrėkime, kurie iš skaičių yra neracionalūs:

  
  
  

  Ar žinote, kad egzistuoja fanų klubas, kuriame šio paslaptingo matematinio reiškinio gerbėjai ieško vis daugiau informacijos apie Pi, bandydami įminti jo paslaptį? Šio klubo nariu gali tapti bet kuris asmuo, mintinai žinantis tam tikrą pi skaičių po kablelio;

  Ar žinojote, kad Vokietijoje, saugomoje UNESCO, yra Castadel Monte rūmai, kurių proporcijų dėka galima apskaičiuoti pi. Šiam numeriui karalius Frydrichas II skyrė ištisus rūmus.

  Pasirodo, Pi buvo bandoma panaudoti statybose. Babelio bokštas... Tačiau mūsų labai apgailestaujame, kad tai lėmė projekto žlugimą, nes tuo metu tikslus pi vertės apskaičiavimas nebuvo pakankamai ištirtas.

  Dainininkė Keith Bush savo naujame diske įrašė dainą pavadinimu „Pi“, kurioje skambėjo šimtas dvidešimt keturi numeriai iš garsiosios skaičių serijos 3, 141 ... ..

  Kas yra neracionalūs skaičiai? Kodėl jie taip vadinami? Kur jie naudojami ir kokie jie? Nedaugelis gali nedvejodami atsakyti į šiuos klausimus. Tačiau iš tikrųjų atsakymai į juos yra gana paprasti, nors jų reikia ne visiems ir labai retais atvejais.

  Esmė ir paskirtis

  Iracionalieji skaičiai yra begaliniai neperiodiniai Šią sąvoką būtina įdiegti dėl to, kad anksčiau egzistavusių realiųjų ar realiųjų, sveikųjų, natūraliųjų ir racionaliųjų skaičių sąvokų nepakako naujoms iškylančioms problemoms išspręsti. Pavyzdžiui, norėdami išsiaiškinti, koks yra kvadratas 2, turite naudoti neperiodines begalines dešimtaines trupmenas. Be to, daugelis paprasčiausių lygčių taip pat neturi sprendimo, neįvedus neracionaliojo skaičiaus sąvokos.

  Šis rinkinys žymimas I. Ir, kaip jau aišku, šios reikšmės negali būti pavaizduotos kaip paprasta trupmena, kurios skaitiklyje bus sveikas skaičius, o vardiklyje -

  Pirmą kartą, vienaip ar kitaip, Indijos matematikai su šiuo reiškiniu susidūrė VII amžiuje, kai buvo nustatyta, kad kai kurių dydžių kvadratinės šaknys negali būti aiškiai nurodytos. Ir pirmasis tokių skaičių egzistavimo įrodymas priskiriamas Pitagoro Hipasui, kuris tai padarė tirdamas lygiašonį stačiakampį trikampį. Kai kurie mokslininkai, gyvenę prieš mūsų erą, rimtai prisidėjo prie šio rinkinio tyrimo. Įvedus neracionaliųjų skaičių sąvoką, buvo peržiūrėta esama matematinė sistema, todėl jie yra tokie svarbūs.

  vardo kilmė

  Jei santykis lotynų kalba yra "trupmena", "santykis", tada priešdėlis "ir"
  suteikia šiam žodžiui priešingą reikšmę. Taigi šių skaičių aibės pavadinimas rodo, kad jų negalima koreliuoti su sveikuoju skaičiumi ar trupmena. atskira vieta... Tai išplaukia iš jų esmės.

  Vieta bendroje įskaitoje

  Iracionalieji skaičiai kartu su racionaliaisiais skaičiais priklauso realiųjų arba realiųjų skaičių grupei, kurios savo ruožtu yra sudėtingos. Poaibių nėra, tačiau yra algebrinės ir transcendentinės atmainos, kurios bus aptartos toliau.

  

  Savybės

  Kadangi neracionalieji skaičiai yra realiųjų skaičių aibės dalis, jiems taikomos visos jų savybės, kurios tiriamos aritmetikoje (jie dar vadinami pagrindiniais algebriniais dėsniais).

  a + b = b + a (komutaciškumas);

  (a + b) + c = a + (b + c) (asociatyvumas);

  a + (-a) = 0 (priešingo skaičiaus buvimas);

  ab = ba (poslinkio dėsnis);

  (ab) c = a (bc) (paskirstymas);

  a (b + c) = ab + ac (paskirstymo dėsnis);

  a x 1 / a = 1 (atvirkštinio skaičiaus buvimas);

  Lyginimas taip pat atliekamas pagal bendruosius įstatymus ir principus:

  Jei a> b ir b> c, tai a> c (santykio tranzityvumas) ir. ir tt

  Žinoma, visus neracionalius skaičius galima konvertuoti naudojant pagrindinę aritmetiką. Tam nėra specialių taisyklių.

  

  Be to, Archimedo aksiomos veiksmas apima iracionalius skaičius. Jame sakoma, kad bet kurių dviejų dydžių a ir b atveju teisingas teiginys, kad a imant kaip terminą pakankamai kartus galima pranokti b.

  Naudojimas

  Nepaisant to, kad kasdieniame gyvenime su jais susidurti ne itin dažnai, neracionalių skaičių suskaičiuoti nepavyks. Jų yra daug, bet jie beveik nepastebimi. Mus visur supa neracionalūs skaičiai. Visiems žinomi pavyzdžiai yra pi, lygus 3,1415926 ... arba e, kuris iš esmės yra bazė natūralusis logaritmas, 2.718281828 ... Algebroje, trigonometrijoje ir geometrijoje jie turi būti naudojami nuolat. Beje, garsioji „auksinio pjūvio“ reikšmė, tai yra ir didesnės dalies, ir mažesnės dalies santykis, ir atvirkščiai, taip pat yra

  

  nurodo šį rinkinį. Mažiau žinomas „sidabrinis“ – taip pat.

  Skaičių eilutėje jie yra labai tankiai, todėl tarp bet kurių dviejų dydžių, nurodytų racionaliųjų aibėje, būtinai atsiranda neracionalus.

  Iki šiol yra daug neišspręstų problemų, susijusių su šiuo rinkiniu. Yra tokie kriterijai kaip neracionalumo matas ir skaičiaus normalumas. Matematikai ir toliau nagrinėja reikšmingiausius priklausymo vienai ar kitai grupei pavyzdžius. Pavyzdžiui, manoma, kad e yra normalus skaičius, tai yra, tikimybė, kad jo įraše atsiras skirtingų skaitmenų, yra vienoda. Kalbant apie pi, jo tyrimai vis dar vyksta. Iracionalumo matas yra dydis, parodantis, kaip gerai konkretų skaičių galima aproksimuoti racionaliais skaičiais.

  Algebrinė ir transcendentinė

  Kaip jau minėta, neracionalieji skaičiai sutartinai skirstomi į algebrinius ir transcendentinius. Sąlygiškai, nes, griežtai tariant, ši klasifikacija naudojama aibės C padalinimui.

  Šis žymėjimas slepia sudėtingus skaičius, kurie apima tikrus arba tikrus.

  Taigi, algebrinė yra reikšmė, kuri yra daugianario, kuris nėra identiškas nulis, šaknis. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš 2 būtų šioje kategorijoje, nes tai yra lygties x 2 sprendimas – 2 = 0.

  Visi kiti realieji skaičiai, kurie neatitinka šios sąlygos, vadinami transcendentiniais. Šiai atmainai priklauso žinomiausi ir jau minėti pavyzdžiai – skaičius pi ir natūralaus logaritmo pagrindas e.

  

  Įdomu tai, kad nei vieno, nei antro iš pradžių matematikai neišvedė šios pareigos, jų neracionalumas ir transcendencija buvo įrodyta praėjus daugeliui metų po jų atradimo. Pi įrodymas buvo pateiktas 1882 m., o supaprastintas 1894 m., užbaigdamas 2500 metų ginčą dėl apskritimo kvadratūros problemos. Tai vis dar nėra visiškai suprantama, todėl šiuolaikiniai matematikai turi ką dirbti. Beje, pirmą pakankamai tikslų šios vertės apskaičiavimą atliko Archimedas. Prieš jį visi skaičiavimai buvo per grubūs.

  Dėl e (Eulerio arba Napier skaičiaus) jo transcendencijos įrodymas buvo rastas 1873 m. Jis naudojamas sprendžiant logaritmines lygtis.

  Kiti pavyzdžiai yra sinuso, kosinuso ir liestinės reikšmės bet kurioms algebrinėms nulinėms reikšmėms.

  Neracionalus skaičius- tai yra tikras numeris, kuris nėra racionalus, tai yra, jo negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur yra sveikieji skaičiai,. Iracionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena.

  Daugelis neracionalių skaičių paprastai nurodomi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, paryškintomis, be užpildymo. Taigi: t.y. iracionaliųjų skaičių aibė yra skirtumas tarp realiųjų ir racionaliųjų skaičių aibių.

  Apie neracionaliųjų skaičių egzistavimą, tiksliau atkarpas, nesuderinamas su vienetinio ilgio atkarpa, žinojo jau senovės matematikai: jie žinojo, pavyzdžiui, kvadrato įstrižainės ir kraštinės nesulyginamumą, o tai prilygsta skaičiaus neracionalumui.

  Savybės

  • Bet koks tikrasis skaičius gali būti parašytas begalinės dešimtainės trupmenos forma, o neracionalūs skaičiai ir tik jie rašomi neperiodinėmis begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis.
  • Iracionalieji skaičiai apibrėžia racionaliųjų skaičių aibėje esančias Dedekind dalis, kurių skaičius nėra didžiausias žemesnėje klasėje, o viršutinėje klasėje nėra mažiausio skaičiaus.
  • Kiekvienas tikras transcendentinis skaičius yra neracionalus.
  • Kiekvienas neracionalus skaičius yra algebrinis arba transcendentinis.
  • Iracionaliųjų skaičių aibė skaičių tiesėje yra visur tanki: tarp bet kurių dviejų skaičių yra iracionalusis skaičius.
  • Iracionaliųjų skaičių aibės tvarka yra izomorfinė realiųjų transcendentinių skaičių aibės tvarkai.
  • Iracionaliųjų skaičių aibė yra nesuskaičiuojama, tai antrosios kategorijos aibė.

  Pavyzdžiai

  Neracionalūs skaičiai - ζ (3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

  Neracionalūs yra:

  Iracionalumo įrodymų pavyzdžiai

  2 šaknis

  Tarkime, priešingai: racionalus, tai yra, jis vaizduojamas kaip neredukuojama trupmena, kur yra sveikasis skaičius ir yra natūralusis skaičius. Pastatykime tariamą lygybę kvadratu:

  .

  Iš to išplaukia, kad net reiškia net ir. Tebūnie, kur visuma. Tada

  Todėl net reiškia net ir. Mes tai gavome ir esame lygūs, o tai prieštarauja trupmenos nesumažinamumui. Tai reiškia, kad pradinė prielaida buvo klaidinga, ir - neracionalus skaičius.

  Dvejetainis logaritmas iš 3

  Tarkime, priešingai: racionalus, tai yra, vaizduojamas kaip trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai. Nuo, ir gali būti pasirinktas kaip teigiamas. Tada

  Bet lyginis ir nelyginis. Gauname prieštaravimą.

  e

  Istorija

  Iracionaliųjų skaičių sąvoką netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750 m. pr. Kr. – apie 690 m. pr. Kr.) suprato, kad tam tikrų natūraliųjų skaičių, tokių kaip 2 ir 61, kvadratinės šaknys negali būti aiškiai išreikštos. .

  Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas paprastai priskiriamas Hipasui iš Metaponto (apie 500 m. pr. Kr.), pitagoriečiui, kuris šį įrodymą rado tyrinėdamas pentagramos kraštinių ilgius. Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, kuris į bet kurį segmentą patenka sveikuoju skaičiumi kartų. Tačiau Hipasas įrodė, kad nėra vieno ilgio vieneto, nes jo egzistavimo prielaida sukelia prieštaravimą. Jis parodė, kad jei lygiašonio stačiakampio trikampio hipotenuzoje yra sveikasis skaičius vienetinių atkarpų, tai šis skaičius turi būti ir lyginis, ir nelyginis tuo pačiu metu. Įrodymas atrodė taip:

  • Lygiašonio stačiakampio trikampio hipotenuzės ilgio ir kojos ilgio santykis gali būti išreikštas kaip a:b, kur a ir b pasirinktas kaip galimas mažiausias.
  • Pagal Pitagoro teoremą: a² = 2 b².
  • Nes a² lygus, a turi būti lyginis (nes nelyginio skaičiaus kvadratas būtų nelyginis).
  • Tiek, kiek a:b nesumažinamas, b turi būti nelyginis.
  • Nes a net, žymėti a = 2y.
  • Tada a² = 4 y² = 2 b².
  • b² = 2 y², todėl b Tada yra lygus b net.
  • Tačiau buvo įrodyta, kad b nelyginis. Prieštaravimas.

  Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakoma), tačiau, pasak legendų, jie nesuteikė Hipui pagarbos, kurios jis nusipelnė. Legenda byloja, kad Hipasas padarė atradimą plaukiodamas jūra ir buvo išmestas už borto kitų pitagoriečių „už tai, kad sukūrė visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti į sveikus skaičius ir jų ryšius“. Hipaso atradimas sukėlė rimtą problemą Pitagoro matematikai, sugriovė prielaidą, kuria grindžiama visa teorija, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra vienas ir nedalomas.