այս դեպքում սահմանվում են նրա կետերի կոորդինատները ռացիոնալ արտահայտություններ t փոփոխականից Այս հարցի պատասխանը կախված է կորի հավասարումից: Եթե ​​հավասարման երկու կողմերում էլ առավելագույնը երկու աստիճանի x և y բազմանդամներ կան, ապա միշտ հնարավոր է կորի կետերը սահմանել՝ օգտագործելով մեկ փոփոխականի ռացիոնալ ֆունկցիաները (օրինակները՝ Խնդիր 21.11-ում): Եթե ​​կորը տրված է 2-ից մեծ աստիճանի հավասարմամբ, ապա, որպես կանոն, անհնար է դրա կետերի կոորդինատները սահմանել ռացիոնալ ֆունկցիաներով. սա արդեն x3 + y3 = 1 կորի դեպքում է։

Առաջադրանք 21.11. Ռացիոնալ ֆունկցիաներով նշե՛ք հետևյալ կորերի կետերի կոորդինատները.

ա) էլիպս x2 + 4y2 = 1 հավասարումով;

բ) հիպերբոլաներ xy = 1 հավասարմամբ;

գ) հիպերբոլաներ x2 - y2 = 1 հավասարմամբ:

Ուղղություններ. բ) Եթե x = t, ապա y = 1 / տ: գ) Գործոնավորեք ձախ կողմը:

Առաջադրանք 21.12. ա) Դրական ռացիոնալ թվերով նշե՛ք x2 + y2 = 1 հավասարման հինգ լուծում.

բ) Բնական թվերով նշե՛ք a2 + b2 = c2 հավասարման հինգ լուծում.

§ 22. Ստեղծագործության վերածում գումարի և գումարը ստեղծագործության

Եկեք մեկը մյուսի տակ գրենք գումարի սինուսի և տարբերության սինուսի բանաձևերը.

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β; sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

Այս բանաձևերը գումարելով՝ մենք ստանում ենք sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α cos β, կամ.

sin α cos β = 1 2 (sin (α + β) + sin (α - β)):

Նույն կերպ վարվելով գումարի և տարբերության կոսինուսի բանաձևերի հետ՝ ստանում ենք.

cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α cos β; cos (α + β) - cos (α - β) = −2 sin α sin β,

որտեղից ստացվում են հետևյալ բանաձևերը.

cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β))

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β))

Մենք ստացել ենք բանաձևեր, որոնք թույլ են տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալից անցնել դրանց գումարին։ Այժմ կիմանանք, թե ինչպես պետք է անցում կատարել մյուս ուղղությամբ՝ գումարից դեպի արտադրյալ:

Դիտարկենք, օրինակ, բանաձևը

2 sin α cos β = մեղք (α + β) + մեղք (α - β):

Այս բանաձևի աջ կողմում α + β նշում ենք x-ով, իսկ α - β-ով y-ով: Գումարելով և հանելով α + β = x և α - β = y հավասարությունները, մենք գտնում ենք, որ α = (x + y) / 2, β = (x - y) / 2: Փոխարինելով այս արտահայտությունները բանաձևի ձախ մասում և կարդալով բանաձևը աջից ձախ, մենք վերջապես ստանում ենք.

sin x + sin y = 2 sin x + y cosx - y. 2 2

Նոր ստացված բանաձևում փոխարինելով y-ի փոխարեն −y,

sin x - sin y = 2 sin x - y cosx + y. 2 2

Եթե ​​cos α cos β-ի և sin α sin β-ի բանաձևերը մշակենք նույն ձևով, ինչպես արեցինք sin α cos β-ի բանաձևով, ապա կստանանք հետևյալը.

(նկատի ունեցեք մինուս նշանը երկրորդ բանաձևում):

Առաջադրանք 22.1. Ապացուցեք այս բանաձևերը.

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը արտադրյալի վերածելու բանաձևերը կարելի է ստանալ նաև երկրաչափական եղանակով։ Ի շատ

փաստորեն, մենք հետաձգում ենք վեկտորի ծագումից

Ունենալով 1 երկարություն և ձևավորել

առանցքի դրական ուղղությամբ

abscissa անկյունները α և β, համապատասխանաբար; թող լինի

(նկ.22.1): Հետո, ակնհայտորեն

OA = (cos α; sin α),

OB = (cos β; sin β),

= (cos α + cos β; sin α + sin β):

Մյուս կողմից, քանի որ OA = OB = 1, OACB զուգահեռագիծը ռոմբ է: Հետևաբար, OC-ն AOB անկյան կիսորդն է,

որտեղից BOC =

α - 2

Իսկ OBC հավասարաչափ եռանկյունու համար

Քանի որ վեկտորը

Աբսցիսային առանցքով կազմում է β + անկյուն

Վեկտորային կոորդինատների երկու արտահայտությունների համեմատում

cos α + cos β = 2 cos

sin α + sin β = 2 sin

մեր ստացված բանաձևերի համաձայն:

Առաջադրանք 22.2. Ապացուցեք ինքնությունը.

ա) մեղք (α + β) մեղք (α - β) + մեղք (β + γ) մեղք (β - γ) +

Sin (γ + α) sin (γ - α) = 0;

բ) 4 sin α sin (π / 3 - α) sin (π / 3 + α) = մեղք 3α;

գ) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α = 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α:

Առաջադրանք 22.3. Ենթադրելով, որ α + β + γ = π, ապացուցեք հավասարությունները.

բ) sin α + sin β + sin γ = 4 cos

գ) sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ.

Առաջադրանք 22.4. Թող α, β, γ անկյունները ընկած լինեն a, b, c կողմերին հակառակ եռանկյան մեջ։ Ապացուցեք բանաձևերը.

			α - 2 β					α - 2 β

Այս բանաձեւերը կոչվում են Regiomontan բանաձեւեր կամ շոշափող թեորեմ։

Առաջադրանք 22.5. ա) Այն ենթադրությամբ, որ α + β + γ + δ = π, ապացուցեք ինքնությունը.

sin α sin γ + sin β sin δ = մեղք (α + β) մեղք (β + γ).

բ) ABCD քառանկյունը մակագրված է շրջանագծի մեջ: Ապացուցեք, որ AB CD + BC AD = AC BD (ներգծված քառանկյունում հակառակ կողմերի արտադրյալների գումարը հավասար է անկյունագծերի արտադրյալին - Պտղոմեոսի թեորեմ):

Բանաձևերը, որոնք մենք ուսումնասիրել ենք այս բաժնում, օգտագործվում են ռադիոտեխնիկայում: Ենթադրենք, մենք պետք է ռադիոյով փոխանցենք հաղորդավարի ձայնը, ասենք, 300 հաճախականությամբ: Նմանի վրա ցածր հաճախականություններռադիոհաղորդումն անհնար է. հեռարձակման համար օգտագործվող ռադիոալիքների հաճախականությունը կարելի է չափել միլիոններով: Ալիքներ

նման հաճախականություններ օգտագործվում են հետևյալ կերպ. Մինչ հաղորդավարը լռում է, հեռարձակվում են միայն ռադիոալիքներ բարձր հաճախությունω (կրիչի հաճախականությունը - տես գծապատկերը 22.2 ա):

Այս ազդանշանով տեղեկատվություն չի փոխանցվում: Այժմ թող խոսողը սկսի հնչյուններ հնչեցնել η հաճախականությամբ (η-ն շատ ավելի քիչ է, քան ω); ապա եթերում է ազդանշան u = (A sin ηt) sin ωt: Դրա մոտավոր գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 22.2 բ. Կարելի է ասել, որ բարձր հաճախականության ω տատանումների ամպլիտուդն ինքնին ենթարկվում է ցածր հաճախականությամբ տատանումների։ Ինչպես ասում են, բարձր հաճախականության ազդանշանը մոդուլացվում է ցածր հաճախականությամբ (այս ամենը ընդամենը կոպիտ դիագրամ է, թե իրականում ինչ է տեղի ունենում ընդունիչում):

Մենք փոխակերպում ենք մոդուլացված ազդանշանի արտահայտությունը.

u = A sin ηt sin ωt = A 2 cos (ω - η) t −A 2 cos (ω + η) t.

Ինչպես տեսնում եք, մեր մոդուլացված ազդանշանը ոչ այլ ինչ է, քան ω + η և ω - η հաճախականություններով ազդանշանների գումարը: Այսպիսով, երբ նրանք ասում են, որ ռադիոկայանը հաղորդում է, ասենք, ω = 10 հաճախականությամբ, ապա պետք է հիշել, որ իրականում ոչ միայն ω հաճախականության ռադիոալիքներն են օդ բարձրանում, այլև բոլոր հաճախականությունների ալիքները ինտերվալից [ ω −η; ω + η] որտեղ η-ն ռադիոկայանի կողմից հաղորդվող օգտակար ազդանշանի առավելագույն հաճախականությունն է: Սա նշանակում է, որ տարբեր ռադիոկայանների կրիչի հաճախականությունները չեն կարող շատ մոտ լինել միմյանց. եթե հատվածները [ω −η; ω + η] կհամընկնեն, ապա ռադիոկայանները կխանգարեն միմյանց:

Այս բաժնի բանաձևերի մեկ այլ կիրառություն է թվաբանությունը կազմող թվերի կոսինուսների կամ սինուսների գումարի հաշվարկը։

ֆիզիկական առաջընթացը (ֆիզիկայում նման հաշվարկներն օգտագործվում են դիֆրակցիայի երևույթը ուսումնասիրելու համար):

Ենթադրենք՝ պետք է պարզեցնել արտահայտությունը

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10ժ):

Սկզբից մենք այս խնդիրը կլուծենք երկրաչափորեն, այնուհետև ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է կիրառել մեր բանաձևերը դրա վրա: Դիտարկենք հետևյալ վեկտորները՝ a0 = (cos α; sin α), a1 = (cos (α + h); sin (α + h)),: ... ... , a10 = (cos (α + 10h); sin (α + 10h)): Ակնհայտորեն, պահանջվող գումարը a0 + a1 + վեկտորի աբսցիսա է: ... ... + a10. Գտնենք վեկտորների այս գումարը.

Դա անելու համար մենք հետաձգում ենք OA1 = a0 սկզբնակետից, A1 A2 = a1 կետից A1 և այլն (Նկար 22.3): Այնուհետև a0 + a1 +: ... ... + a10 = OA11.

Բրինձ. 22.3. OA1 = a0, A1 A2 = a1,. ... ... , A10 A11 = a10.

OA վեկտորի կոորդինատները գտնելու համար մենք գտնում ենք նրա երկարությունը և թեքության անկյունը դեպի աբսցիսային առանցքը: Դա անելու համար նշեք, որ OA1, A1 A2, հատվածներից յուրաքանչյուրը: ... ... ունի 1 երկարություն և նախորդի համեմատ պտտվում է նույն անկյան h ռադիաններով։ Հետեւաբար, կետերը O, A1, A2,. ... ... , A11 պառկել նույն շրջանի վրա։ Նրա Z կենտրոնը OA1 և A1 A2 հատվածներին ուղղահայաց հատման կետն է: Եթե ​​FZ և GZ այս ուղղահայացներն են, ապա F ZG = h, այնպես որ F ZA1 = h / 2, իսկ R շրջանագծի շառավիղը հավասար է F A1 / sin F ZA1 = 1/2 sin (h / 2) (հիշել. որ երկարությունները սկսած

կրճատումները OA1 և A1 A2 հավասար են մեկի): Քանի որ, ակնհայտորեն, OZA1 = = A1 ZA2 =. ... ... = A10 ZA11 = h, ապա OZA11 = 11h, իսկ հավասարաչափ եռանկյունուց OZA11 ունենք.

OA11		ՕԶԱ11

OA11 վեկտորի թեքության անկյունը դեպի աբսցիսային առանցքը գտնելու համար փոխարինեք

Նկատի ունեցեք, որ կենտրոնական անկյունը A1 ZA11 = 10h, այնպես որ մակագրված

A11 OA1 անկյունը, որը հենվում է A1 A11 աղեղի վրա, 10h / 2 = 5h է, իսկ A11 OX = A11 OA1 + α = α + 5h: Այն է,

OA11 = (OA11 cos (α + 5h); OA11 sin (α + 5h)) =
	sin 11h cos (α + 5h)	sin 11h sin (α + 5h)

Համեմատելով OA11 վեկտորի կոորդինատների երկու գրառումները՝ մենք ստանում ենք բանաձևերը.

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h) =

	sin 11h cos (α + 5h)
sin α + sin (α + h) + sin (α + 2h) +. ... ... + մեղք (α + 10h) =
			sin 11h sin (α + 5h)

Այս բանաձևերից առաջինն այն է, ինչին մենք ձգտում էինք, երկրորդը դուրս եկավ որպես կողմնակի արտադրանք:

Ինչպես տեսնում եք, հաշվարկները բավականին երկար են ստացվել։ Բացի այդ, մանկամիտ ընթերցողը կարող է նկատել, որ Նկար 22.3-ի գծագիրը ստացվում է միայն բավական փոքր h-ի համար, իսկ մեծ h-ի համար կոտրված գիծը OA1 · · · A10 A11-ը կարող է շրջանցել ամբողջ շրջանը և մեկից ավելի անգամ, ուստի նկարչությունը տարբեր կլինի: Փաստորեն, մեր բանաձևը ճշմարիտ է բոլոր α և h-ի համար (բացառությամբ այն դեպքերի, երբ sin (h/2) հայտարարը զրո է, բայց վերջինս հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե h = 2πn որոշ ամբողջ թվի n-ի համար, և առանց որևէ բանաձևի պարզ է, որ գումարն է

- sin α + m -

Սա փոխարինելով մեր բանաձևով՝ տեսնում ենք, որ գումարը հավասար է

α + 2

Sin α + 10 + 2

h - sin α + 9 + 2

եթե բացեք փակագծերը, ապա բոլոր պայմանները կչեղարկվեն, բացառությամբ

- մեղք α -							ը, իսկ գումարը կլինի
	sin (α + (10 + 2 1) h) - մեղք (α −h 2)							2 մեղք 11 2 ժ cos (α + 5 ժ)

(գումարը վերածեցինք արտադրյալի): Չեղարկելով երկուսը համարիչում և հայտարարում, մենք ստանում ենք նույն բանաձևը, որը գտել ենք երկրաչափորեն:

Մեր երկրորդ հաշվարկն ավելի կարճ է և ավելի հեշտ, քան առաջինըբայց պակաս բնական: Երբ մենք ծանոթանանք բարդ թվերին, մենք կսովորենք, թե ինչպես գտնել այդպիսի գումարներ ամենաբնական (թեև ոչ ամենակարճ) եղանակով։

Տասներորդ դասարանում աշակերտները կանցնեն հանրահաշվի այնպիսի բաժին, ինչպիսին է եռանկյունաչափությունը։ Այն կուսումնասիրվի մեծ թվով դասերի ընթացքում:

Եռանկյունաչափությունն ինքը՝ որպես գիտություն, հայտնվել է ավելի քան երկու հազարամյակ առաջ։ Քանի որ սովորական հանրահաշվական գործողությունները բավարար չէին եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ արտահայտելու համար, գիտնականները ստիպված էին նոր նշումներ ներմուծել: Այս գիտությունը ուսումնասիրում է եռանկյան կողմերի և նրա անկյունների փոխհարաբերությունները: Բազմաթիվ երկրաչափական, հանրահաշվական խնդիրներում անհրաժեշտ է դառնում զբաղվել այս տարածքով։ Ֆիզիկայի խնդիրները նույնպես երբեմն հանգեցնում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների:

Դպրոցականներն արդեն ուսումնասիրել են հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, սովորել են, թե ինչպես կառուցել իրենց գրաֆիկները, վերափոխել, եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերը, օգտագործել եռանկյունաչափության մեջ հաճախ հանդիպող փաստարկների արժեքների աղյուսակը և այլն: Այս վիդեո դասը ուսումնասիրելու համար նրանք արդեն հաղթահարել են մեծ գումարեռանկյունաչափական արտահայտություններ և հավասարումներ.

Որոշ օրինակներում անհրաժեշտ է դառնում եռանկյունաչափական ֆունկցիայի գումարի բանաձևը վերածել արտադրյալի: Դուք կարող եք օգտագործել այս գործողությունը՝ հսկայական արտահայտությունները կրճատելու և պարզեցնելու, հավասարումներ, հավասարումների համակարգեր և այլն լուծելու համար:

Այս թեմայի ուսումնասիրության համար հիանալի ուղեկցող նյութ է «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարների վերածում ստեղծագործությունների» տեսագրությունը։ Ուսուցիչները կարող են օգտագործել օրինակները, որոնք տրված են ռեսուրսում, սահմանումներում և բանաձևերում: Մեդիա ֆայլը գերազանց որակի է: Դա կարելի է խաղալ դասի ժամանակ։ Սա կօգնի ուսանողներին կենտրոնանալ ուսումնասիրվող առարկայի վրա:

Տեսադասի սկզբում հաղորդավարն ասում է, որ էկրանին կցուցադրվեն գումարի որոշ բանաձևեր, որոնք կօգնեն լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները։

Առաջին հերթին դիտարկվում է սինուսների գումարը։ Առաջին արտահայտությունը երկու փաստարկների գումարի սինուսի գումարն է և նույն փաստարկների տարբերության սինուսը: Յուրաքանչյուր անդամ ստորագրում է ավելի վաղ ուսումնասիրված բանաձեւերի համաձայն: Դրանք ցուցադրվում են էկրանի աջ կողմում՝ ուսանողներին հիշեցնելու համար:

Ամբողջական նշումով, փակագծերի ընդլայնմամբ և պարզեցմամբ ստանում ենք աշխատանք։ Կատարվում է փոփոխականներով փոխարինում։ X-րդը նշանակում է արգումենտների գումարը, y-րդը՝ տարբերությունը: Փոխարինելով ստացված արտահայտության մեջ՝ ստանում ենք եռանկյունաչափության մեջ գումարները արտադրյալի վերածելու առաջին բանաձևը։

Դպրոցականների համար բանաձեւը հիշելու համար բավական չէ այն ստանալու ճանապարհ ցույց տալը։ Պետք է փորձել լուծել օրինակով. Տրված է որոշ արժեքների սինուսների գումարը: Բանաձևով վերածվում է արտադրանքի:

Երկրորդ բանաձեւը, որի ստացումը ցույց կտա քայլ առ քայլ, սինուսների տարբերությունն է։ Նախորդ քայլերը հավելյալ չկատարելու համար կարող եք օգտագործել գումարի համար արդեն ստացված բանաձեւը։ Հիշեք, որ սինուսը կենտ ֆունկցիա է: Եթե ​​տարբերությունը գրենք գումարի տեսքով և գումարի բանաձևում փոխարինենք մինուսով, ապա ստացանք տարբերությունը արտադրյալի վերածելու նոր կանոն։

Նույն կերպ օրինակ է բերվում. Հաղորդավարը մանրամասն բացատրում է իր որոշումը.

Կոսինուսների գումարն ու տարբերությունը օրինակներով տրված են նույն հերթականությամբ։ Նախկինում ուսումնասիրված բանաձևերը օգտագործվում են նույն ձևով, տրվում է փոխարինում, և արդյունքը ցուցադրվում է: Տարբերության բանաձևը հանելիս կարելի է դիմել այն փաստին, որ կոսինուսը հավասարաչափ ֆունկցիա է։

Հավասարումը լուծելիս ձախ կողմը վերածվում է արտադրյալի։ Ինչպես գիտեք, այն հավասար կլինի զրո, երբ որոշ գործոններ նույնպես հավասար կլինեն զրոյի: Հետևաբար, աշխատանքի վերածելը շատ օգտակար կլինի։

Ի վերջո, կա ևս մեկ օրինակ, ավելի բարդ. Դուք կարող եք ուսանողներին ասել ճիշտ ուղղությունը, և նրանք ինքնուրույն կհաղթահարեն օրինակը, եթե հասկանան սկզբունքը որպես ամբողջություն:

Տեսանկարահանումը շատ օգտակար կլինի այն դպրոցականների համար, ովքեր սովորում են տանը։ Դրանով դուք կարող եք տիրապետել կարևոր բանաձևեր, առանց որի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը դժվար, իսկ երբեմն անհնար կլինի։

ՏԵՔՍՏԻ ԿՈԴ:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարների վերածում ապրանքների

Այսօր մենք կանդրադառնանք ևս մի քանիսին եռանկյունաչափական բանաձևեր, որոնք թույլ են տալիս ֆակտորիզացնել սինուսների կամ կոսինուսների գումարը (տարբերությունը): Այս բանաձևերը օգտակար կլինեն եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս:

Առաջին բանաձևը սինուսների գումարն է:

Դիտարկենք sin (s + t) + sin (s - t) արտահայտությունը, որտեղ s և t եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արգումենտներ են։

Մենք կիրառում ենք սինուսային գումարի և սինուսային տարբերության արդեն հայտնի բանաձևերը.

sin (x - y) = sin xcos y - cos xsin y,

հետո մեղք արտահայտությունը ( ս +տ) կունենա մեղք ձևը ս cos տ+ cos սմեղք տ

և արտահայտությունըմեղքը (s - t) կլինի մեղք ս cos տ- cos սմեղք տ,

ապա մենք ստանում ենք.

մեղք ( ս +տ) + մեղք ( ս - տ) = (մեղ ս cos տ+ cos սմեղք տ) + (մեղ ս cos տ- cos սմեղք տ)

Ընդարձակեք փակագծերը.

մեղք ս cos տ+ cos սմեղք տ+ մեղք ս cos տ- cos սմեղք տ

Մենք կատարում ենք հաշվարկներ.

cos սմեղք տ- cos սմեղք տ=0

մեղք ս cos տ+ մեղք ս cos տ= 2 մեղք ս cos տ.

մեղք ( ս +տ) + մեղք ( ս - տ) = (մեղ ս cos տ+ cos սմեղք տ) + (մեղ ս cos տ- cos սմեղք տ) = մեղք ս cos տ+ cos սմեղք տ+ մեղք ս cos տ- cos սմեղք տ= 2 մեղք ս cos տ.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք, որ sin (s + t) + sin (s - t) = 2 sin արտահայտությունը ս cos տ.

Ներկայացնենք նոր փոփոխականներ x =ս +տ և y =ս- տ.

Այս հավասարությունները տերմին առ տերմին ավելացնում ենք, ստանում ենք

x + y= ս +տ + ս- տ.

x + y= 2ս

Գտեք արժեքըս

ս= .

Երկրորդ դեպքում այս հավասարությունները տերմին առ անդամ հանում ենք և ստանում

Ն.Ս - ժամը= ս +տ- (ս - տ)

Ն.Ս - ժամը= ս +տ- ս + տ

x - y= 2տ

Գտեք արժեքըտ

sin (s + t) + sin (s - t) = 2 մեղք արտահայտության մեջ ս cos տ

փոխարինել s և t նոր փոփոխականների համար, որոնք մենք ներկայացրել ենք.

ս +տփոխարինել x-ով

ս- տփոխարինել ժամը

սվրա

տվրա.

Այնուհետև մենք ստանում ենք.

sinх + sinу = 2 sincos

(երկու արգումենտների սինուսների գումարը հավասար է այս արգումենտների կիսագումարի սինուսի կրկնակի արտադրյալին նրանց կիսատև տարբերության կոսինուսով):

մեղք 7x + sin3x = 2 մեղք cos = 2 sin5x cos2x.

Երկրորդ բանաձեւը ՍԻՆՈՒՍԱՅԻՆ ՏԱՐԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆՆ է:

Որպեսզի մենք կարողանանք կիրառել արդեն ստացված բանաձեւը երկու արգումենտների սինուսների գումարի համար sinх + sinу = 2 sincos

Եկեք օգտվենք այն հանգամանքից, որ սինուսը կենտ ֆունկցիա է, այսինքն. - sinу = մեղք (- у),

sinх - sinу = մեղք + մեղք (- у)

Այժմ մենք կիրառում ենք սինուսների գումարի բանաձևը, ստանում ենք

2 մեղք cos = 2 մեղք cos.

sin x - sin y = sin x + sin (- y) = 2 sin cos = 2 մեղք cos.

Այսպիսով, մենք ստացանք սինուսների տարբերության բանաձևը.

sinх - sinу = 2 մեղք cos (երկու արգումենտների սինուսների տարբերությունը հավասար է այս արգումենտների կես տարբերության սինուսի կրկնակի արտադրյալին նրանց կիսագումարի կոսինուսով):

Օրինակ. Պարզեցրեք մեղք 77 ° - մեղք 17 ° արտահայտությունը:

մեղք 77 ° - մեղք 17 ° = 2 մեղք cos = 2 մեղք արժեքը 47º.

(քանի որ մեղքը 30º =, ուրեմն) = 2 ∙ ∙ cos = cos.

Երրորդ բանաձևը COSINUS-ի գումարն է:

Cos (s + t) + cos (s - t) արտահայտելու համար մենք օգտագործում ենք գումարի կոսինուսի և տարբերության կոսինուսի արդեն հայտնի բանաձևերը.

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y,

cos (s + t) + cos (s - t) արտահայտության մեջ մենք փոխարինում ենք բանաձևերից ստացված արժեքները և ստանում.

cos ( ս+տ) + cos ( ս - տ) = cos ս cos տ- մեղք սմեղք տ+ cos ս cos տ+ մեղք սմեղք տ= 2 cos ս cos տ

Հետևաբար, ( ս+տ) + cos ( ս - տ) = 2 կոստ ս cos տ

Ներկայացնենք նոր փոփոխականներ x =ս +տ և y =ս - տ... Ինչպես սինուսների գումարի բանաձևի ածանցմամբ.

ս +տփոխարինել x-ով

ս- տփոխարինել ժամը

սվրա

տվրա.

Եվ մենք ստանում ենք կոսինուսների գումարի բանաձևը

cos x + հարմարավետ = 2 cos cos

(երկու արգումենտների կոսինուսների գումարը հավասար է այս փաստարկների կիսագումարի կոսինուսի կրկնակի արտադրյալին նրանց կիսատև տարբերության կոսինուսով):

Օրինակ. Պարզեցրե՛ք cos (x + 2y) + cos (3x - 2y) արտահայտությունը։

cos (x + 2y) + cos (3x - 2y) = 2 coscos =

2cos 2x cos (- x + 2y) = 2cos 2x cos (- (x - 2y)) (և քանի որ cos (- t) = արժեք, ապա) =

2cos2x cos (x - 2y):

Չորրորդ բանաձևը ԿՈՍԻՆՈՒՍՆԵՐԻ ՏԱՐԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆՆ է:

Cos (s + t) - cos (s - t) արտահայտելու համար մենք օգտագործում ենք գումարի կոսինուսի և տարբերության կոսինուսի արդեն հայտնի բանաձևերը.

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y, մենք ստանում ենք

cos ( ս+տ) - cos ( ս - տ) = cos ս cos տ- մեղք սմեղք տ- cos ս cos տ- մեղք սմեղք տ= - 2 մեղք սմեղք տ... Ներդրեք նոր փոփոխականներ Ն.Ս= ս +տև ժամը= ս - տ, նշանակում է, s = և t =... Մուտքագրված նշանակումները փոխարինելով բանաձևի մեջ.

cos ( ս+տ) - cos ( ս - տ) = - 2 մեղք սմեղք տ, ստանում ենք կոսինուսների տարբերության բանաձևը.

cosх - cosу = -2sin sin (երկու արգումենտների կոսինուսների տարբերությունը հավասար է այս արգումենտների կիսագումարի սինուսի կրկնակի արտադրյալին՝ մինուս նշանով վերցված նրանց կիսատև տարբերության սինուսով):

Օրինակ. Պարզեցրե՛ք cos - cos արտահայտությունը։

cos - cos = - 2sin մեղք = - 2 մեղք մեղք (քանի որ մեղք = ապա) =

2 ∙ ∙ մեղք = - մեղք.

ՕՐԻՆԱԿ 1. Լուծե՛ք cos6x + cos2x = 0 հավասարումը:

Լուծում. Կոսինուսների գումարը վերածելով արտադրանքի՝ օգտագործելով բանաձևը.

(cos х + cosu = 2 cos cos,

մենք ստանում ենք 2cos4x cos2x = 0: Այս հավասարումը վերածվում է իսկական հավասարության, եթե

ՕՐԻՆԱԿ 2. Լուծե՛ք sin7x + sin3x - sin5x = 0 հավասարումը:

Լուծում. Առաջին և երկրորդ անդամների գումարի համար մենք կիրառում ենք սինուսների գումարի բանաձևը

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

(sin7x + sin3x) - sin5x = 0

2 sincos - sin5x = 0

sin5x (2 cos2x - 1) = 0:

sin5x = 0 կամ 2 cos2x - 1 = 0,

Sint = a հավասարման լուծումներն ընդունված են a = 0:

sint = 0 t = πk-ի համար,

ապա մենք ստանում ենք

x =, (pi en բաժանված է հինգի)

Օգտագործելով կոսինուսի աղյուսակային արժեքները և որոշելով հավասարման արժեքը = a, որտեղ (| a | 1) գրել ընդհանուր ձևով.

t = arccos ա+ 2 πk

երկրորդ հավասարումը cos2x = ունի հետևյալ լուծումները

2x = arccos + 2πn,

(գումարած մինուս pi վեց գումարած pi en):

Գումարի հաջողության բանալին կայանում է մեկ գումարը մյուսի վերածելու մեր կարողության մեջ՝ կա՛մ պարզեցնելով բնօրինակը, կա՛մ մեզ ավելի մոտեցնելով նպատակին: Եվ երբ դուք սովորել և կիրառել եք փոխակերպման մի քանի հիմնական կանոններ, կարող եք հեշտությամբ տիրապետել այս կարողությանը:

Թող K-ն լինի ամբողջ թվերի որոշ վերջավոր բազմություն: K-ից տարրերի գումարները կարող են փոխարկվել երեք պարզ կանոնների հիման վրա.

Բաշխիչ օրենքը թույլ է տալիս հաստատունների մուտքագրումը և նվազեցումը նշանի տակ և նշանից դուրս: Համակցման օրենքը թույլ է տալիս մեկ գումարը բաժանել երկուսի կամ երկու գումար միավորել մեկի: Փոխադրման օրենքն ասում է, որ գումարի պայմանները կարող են վերադասավորվել ցանկացած ցանկալի հերթականությամբ. ահա բոլոր ամբողջ թվերի բազմության որոշ փոխակերպում: Օրինակ, եթե և եթե, ապա այս երեք օրենքները համապատասխանաբար նշում են, որ

Գաուսի հնարքը Չ. 1-ը կարելի է դիտարկել որպես այս երեք հիմնական օրենքների կիրառություններից մեկը։ Ենթադրենք ուզում ենք

հաշվարկել գումարը թվաբանական առաջընթացընդհանուր տեսարան

Տրանսպոզիցիոն օրենքի համաձայն, k-ն փոխարինելով ստանում ենք

Այս երկու հավասարումները կարելի է ավելացնել՝ օգտագործելով համակցման օրենքը.

Այժմ կիրառենք բաշխման օրենքը և հաշվարկենք չնչին գումարը.

2-ի բաժանելով՝ պարզում ենք, որ

Աջ կողմը կարելի է հիշել որպես առաջին և վերջին անդամների միջին, այն է՝ բազմապատկած անդամների քանակով, այսինքն՝

Կարևոր է նկատի ունենալ, որ տեղաշարժման օրենքի (2.17) ընդհանուր ձևի ֆունկցիան համարվում է բոլոր ամբողջ թվերի փոխարկումը: Այլ կերպ ասած, յուրաքանչյուր ամբողջի համար պետք է լինի ճիշտ մեկ ամբողջ k, այնպես, որ. Հակառակ դեպքում, փոխադրման օրենքը կարող է չկատարվել. 3-ը լավ օրինակ է: C տիպի փոխարկումները կամ որտեղ c-ն ամբողջ թվային հաստատուն է, միշտ փոխակերպումներ են, ուստի դրանք լավ են:

Այնուամենայնիվ, կարելի է մի փոքր թուլացնել փոխակերպման սահմանափակումը. բավական է միայն գոյություն ունենալ մեկ ամբողջ թիվ k, որպեսզի երբ լինի K ինդեքսային բազմության տարրը: Եթե (այսինքն, եթե այն չի պատկանում K-ին), ապա այն էական չէ, քանի որ հաճախ տեղի է ունենում հավասարություն, քանի որ համանման չի մասնակցում գումարին: Այսպիսով, օրինակ, կարելի է պնդել, որ

քանի որ կա ճիշտ մեկ k, որ երբ զույգ է:

Այվերսոնի նշումը, որը թույլ է տալիս ստանալ 0 կամ 1 որպես տրամաբանական արտահայտությունների արժեքներ որոշակի բանաձևի շրջանակներում, կարող է օգտագործվել բաշխման, համակցման և փոխադրման օրենքների հետ միասին՝ գումարների լրացուցիչ հատկությունները բացահայտելու համար: Օրինակ, կարևոր կանոնինդեքսների տարբեր բազմությունների միություններ. եթե ամբողջ թվերի մի քանի բազմություն են, ապա

Սա բխում է ընդհանուր բանաձևերից

Սովորաբար կանոնը (2.20) օգտագործվում է կամ երկու գրեթե անհամատեղելի ինդեքսային բազմություններ միացնելու համար, ինչպես որ դեպքում է։

կամ գումարի առանձին անդամ հատկացնել, ինչպես այդ դեպքում

Անդամ հատկացնելու այս գործողությունը նվազեցման մեթոդի հիմքն է, որը հաճախ թույլ է տալիս որոշակի գումար հաշվարկել փակ ձևով: Այս մեթոդի էությունը պետք է սկսել հաշվարկվելիք գումարից և այն նշանակել

(Նշեք և նվաճեք:) Այնուհետև մենք երկու ձևով վերաշարադրում ենք՝ ընդգծելով և՛ վերջին, և՛ առաջին տերմինները.

Այժմ մենք կարող ենք գործ ունենալ վերջին գումարի հետ և փորձել այն արտահայտել «Եթե փորձը հաջողված է, ապա մենք ստանում ենք հավասարում, որի լուծումը կլինի ցանկալի գումարը:

Գումարը գտնելու համար օգտագործենք, օրինակ, այս մոտեցումը երկրաչափական առաջընթացընդհանուր տեսարան

Համաձայն ընդհանուր սխեմանկրճատում (2.24), գումարը վերաշարադրվում է ձևով

իսկ աջ կողմի գումարը հավասար է բաշխման օրենքին։ Այսպիսով, և լուծելով այս հավասարումը, մենք ստանում ենք

(x = 1-ի համար այս գումարը, իհարկե, պարզապես հավասար է այս բանաձևի աջ կողմին, կարելի է հիշել որպես տարբերություն առաջին և առաջին չներառված տերմինների միջև՝ բաժանված 1-ի տարբերությամբ և հայտարարի հայտարարի վրա։ առաջընթաց.

Այս ամենը բավականին պարզ էր, ուստի եկեք փորձենք ձուլման մեթոդը մի փոքր ավելի բարդ գումարի վրա,

Այս տեսադասը կազմված է 10-րդ դասարանի աշակերտների համար։ Դրա օգնությամբ նրանք կկարողանան ուսումնասիրել «Եռանկյունաչափական արտահայտությունների արտադրյալների վերածումը գումարի» թեման։ Ուսումնական նյութն ուղեկցվում է տղամարդու հանգիստ ձայնով։ Դրանով դուք կարող եք հետաքրքիր և բովանդակալից դաս անցկացնել դպրոցում։ Նկարազարդումների և սահմանումների միջոցով, որոնք ցուցադրվում են պարզ տեքստով էկրանին, ուսանողները կկարողանան հասկանալ թեման ավելի արագ և արդյունավետ:

Չնայած այն հանգամանքին, որ եռանկյունաչափությունը, որպես գիտություն, վաղուց է ի հայտ եկել, այն մինչ օրս չի կորցրել իր արդիականությունը։ Տարբեր գիտություններում ի հայտ են գալիս խնդիրներ, որոնց լուծման ժամանակ դպրոցականները ստիպված են լինելու առերեսվել այս ոլորտի հետ։ Այդ պատճառով նրանք պետք է կարողանան գլուխ հանել տարբեր բարդության օրինակներից, դիտարկել սինուսներ, կոսինուսներ, տանգենսներ և կոտանգենսներ պարունակող ֆունկցիաներ և այլն:

Քանի որ եռանկյունաչափությունը պարունակում է մեծ գումարբանաձևեր, առանց որոնց այս կամ այն ​​արտահայտության պարզեցումը հսկայական ժամանակ կպահանջի։ Ուստի այս բանաձևերը անգիր անելն ու հասկանալը շատ կարևոր է։ Եթե ​​հասկանում եք, թե ինչպես են դրանք ստացվում, կարող եք հեշտությամբ հիշել դրանք և կիրառել գործնականում: Որպեսզի դրանք մնան հիշողության մեջ երկար ժամանակ, անհրաժեշտ է դրանք գործնականում ուժեղացնել։ Ուստի անհրաժեշտ է, որ ուսուցիչները տանը հարցնեն մեծ թվովեռանկյունաչափական արտահայտություններ և հավասարումներ դպրոցականների համար.

Այս վիդեո ձեռնարկը կազմվել է պրոֆեսիոնալների կողմից: Այն ունի հետևողական կառուցվածք, չկա ավելորդ և ավելորդ տեղեկատվություն, որը շեղվում է ուսումնական ծրագրից։

Դպրոցականներն արդեն գիտեն, թե ինչպես կարելի է գումարի եռանկյունաչափական հավասարումները վերածել արտադրյալի։ Ինչպես դա անել անհրաժեշտության դեպքում հակադարձ գործընթաց? Երբեմն հարկ կլինի պարզեցնել այս կամ այն ​​արտահայտությունը։

Դիտարկումը սկսվում է օրինակով. Որոշ t-ի սինուսի արտադրյալը նույն արժեքի կոսինուսով գրվում է. Այս արտահայտությունը փոխակերպվում է կոտորակի միջոցով, որտեղ համարիչում տեսնում ենք արգումենտների գումարի սինուսի և տարբերության գումարը՝ բաժանված 2-ի։

Նմանապես, որոշ s-ի և t-ի սինուսի արտադրյալը փոխակերպվում է:

Այս արտահայտությունները գործնականում համախմբելու համար առաջարկվում է լուծել մի քանի օրինակ։ Դրանցից առաջինում առաջարկվում է գտնել այն արտահայտության թվային պատասխանը, որը 2x սինուսի արտադրյալն է 9x կոսինուսով։ Որոշելիս այս օրինակըօգտագործվում է նախկինում սովորած բանաձևը. Էկրանը ցուցադրվում է մանրամասն լուծումՕրինակ, այն նաև ցույց է տալիս, թե որ բանաձևն է օգտագործվում:

Հաջորդը, դիտարկվում է մեկ այլ օրինակ, որտեղ առաջարկվում է ապրանքը վերածել գումարի: Բոլոր հաշվարկները և բացատրությունները ցուցադրվում են աջ կողմում: Թե ինչպես է լուծվում այս օրինակը, այնքան էլ դժվար չէ հասկանալ, քանի որ հաղորդավարը մանրամասն մեկնաբանում է ամեն ինչ։

Երրորդ օրինակն առաջարկում է պարզեցնել արտահայտությունը, որը բաղկացած է որոշ աստիճանի արժեքների երեք սինուսների արտադրյալից։ Պարզեցումը օգտագործում է սինուսների արտադրյալը գումարի վերածելու բանաձևը: Այս օրինակը լուծելիս ուշադրություն է հրավիրվում այն ​​փաստի վրա, որ կոսինուս ֆունկցիան հավասարաչափ ֆունկցիա է։ Այսպիսով, նշանները ճիշտ են նույնացվում: Պատասխանը ցուցադրվում է: Լուծումը բավականին ծավալուն է, սակայն, եթե քայլ առ քայլ դիտարկեք, ապա անհասկանալի ոչինչ չի մնա։

Չորրորդ օրինակը պարունակում է եռանկյունաչափական հավասարում, որը լուծելիս անհրաժեշտ է օգտագործել ուսումնասիրված բանաձևերը, ինչպես այս դասըև նախորդ տեսանյութերում.

Ինչպես արդեն նշվեց, այս ներկայացումը կարող է օգտագործվել տասներորդ դասարանցիների համար հետաքրքիր դաս անցկացնելու համար: Թե՛ դաստիարակները, թե՛ դպրոցականները կարող են ներբեռնել նյութը։ Դրանով դուք կարող եք տեսողականորեն ցույց տալ ուսանողին քայլ առ քայլ լուծումօրինակներ, որոնց նմանությամբ կհանդիպեն դպրոցականները թե՛ տնային աշխատանքների ժամանակ, թե՛ ինքնուրույն և հսկողության աշխատանքներդպրոցում.

ՏԵՔՍՏԻ ԿՈԴ:

Եռանկյունաչափական արտահայտությունների արտադրյալները վերածել գումարի

Դուք արդեն գիտեք, որ ցանկացած մաթեմատիկական բանաձև գործնականում կիրառվում է աջից ձախ և ձախից աջ: Հետևաբար, բանաձևը հակառակ ուղղությամբ կիրառելով, մենք կարող ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արտադրյալը վերածել գումարի։

Դիտարկենք մի օրինակ.

ec-ի և te-ի արգումենտների սինուսների գումարները արտադրյալ sin-ի փոխարկելու բանաձևից ( ս +տ) + մեղք ( ս - տ) = 2 մեղք ս cos տ

Դուք կարող եք ստանալ մեկ այլ բանաձև.

մեղք ս cos տ= (es և te արգումենտի սինուսի արտադրյալը հավասար է es և te արգումենտների գումարի սինուսի կես գումարին և es և te արգումենտների տարբերության սինուսին, և տարբերությունը վերցվում է այնպես, որ կոսինուսի նշանի տակ գտնվող անկյունը հանվում է սինուսի նշանի արգումենտից։)

մեղք ( ս +տ) + մեղք ( ս - տ) = 2 մեղք ս cos տ

մեղք ս cos տ =

Նմանապես, ec և te արգումենտների կոսինուսների գումարները փոխակերպելու բանաձևից cos արտադրյալի ( ս+տ) + cos ( ս - տ) = 2 կոստ ս cos տստանալ

cos ս cos տ= (es և te արգումենտների կոսինուսների արտադրյալը հավասար է այս արգումենտների գումարի կոսինուսի և դրանց տարբերության կոսինուսի կես գումարին):

Իսկ ec և te արգումենտների կոսինուսների տարբերությունը cos արտադրյալի վերածելու բանաձևից ( ս+տ) - cos ( ս - տ) = - 2 մեղք սմեղք տմենք ունենք

մեղք սմեղք տ= (es և te արգումենտների սինուսների արտադրյալը հավասար է այս արգումենտների և դրանց գումարի կոսինուսի տարբերության կես տարբերությանը):

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

ՕՐԻՆԱԿ 1. Արտադրյալը փոխարկեք sin2x cos9x գումարին:

Լուծում. Լուծելիս կօգտագործենք sin բանաձեւը ս cos տ=, որտեղ s = 2x, t = 9x: Հետո գրում ենք

sin2хcos 9х = = ( հաշվի առնելով դա

մեղք(-y) = -մեղքy, մենք ստանում ենք) = (սինուսի տասնմեկ x և սինուս յոթ x-ի կես տարբերություն):

Պատասխան՝ sin2x cos9x =.

ՕՐԻՆԱԿ 2. Արտադրյալը փոխարկեք cos (2x - y) cos (x + 4y) գումարին (երկու x հանած y փաստարկի կոսինուսի արտադրյալը x գումարած չորս y փաստարկի կոսինուսով):

Լուծում. Լուծելիս կօգտագործենք cos բանաձևը ս cos տ=, որտեղ s = (2x-y), t = (x + 4y): Հետո

cos (2x - y) cos (x + 4y) = = բացել փակագծերը =, կատարել հաշվարկներ և ստանալ

= (երեք x գումարած երեք y փաստարկի կոսինուսի կես գումարը և x հանած հինգ y փաստարկի կոսինուսը):

ՕՐԻՆԱԿ 3. Պարզեցնել sin20 ° sin40 ° sin80 ° արտահայտությունը:

Լուծում. Կիրառենք բանաձեւը՝ մեղք սմեղք տ= .

մեղք 20 ° մեղք 40 ° մեղք 80 ° = ∙ մեղք 80 ° = ∙ մեղք 80 ° =

(հաշվի ենք առնում, որ կոսինուսը զույգ ֆունկցիա է, ինչը նշանակում է

= ∙ մեղք 80 ° Քանի որ cos60 ° =

= ∙ մեղք 80 ° = ∙) ∙ մեղք 80 ° =

(նշեք, որ մեղք 80 ° = մեղք (90 ° - 10 °) = cos10 °, այնպես որ մենք ստանում ենք դա)

= ∙) ∙ cos10 ° = բացեք փակագծերը = ∙ cos10 ° - ∙ cos10 °

(կիրառեք cos բանաձեւը ս cos տ =)

= ∙ - ∙ cos10 ° = ∙ () - ∙ cos10 ° =

ընդլայնել փակագծերը

(հիշեք, որ =)

Պատասխան՝ sin20 ° sin40 ° sin80 ° =.

ՕՐԻՆԱԿ 4. Լուծե՛ք 2 sin2x cos9x - sin11x = 0 հավասարումը:

Փոխակերպեք հավասարման ձախ կողմը բանաձևով

մեղք ս cos տ=, որտեղ s = 2x, և t = 9x մենք ստանում ենք.

2 ∙ - sin11x = sin11x =.

Այսպիսով, այս հավասարումը համարժեք է = 0 հավասարմանը (մինուս յոթ x-ի սինուսը հավասար է զրոյի): Այսպիսով, = πn, որտեղից х =,.