Այս առցանց հաշվիչը թույլ է տալիս առցանց լուծել դիֆերենցիալ հավասարումները: Բավական է մուտքագրել ձեր հավասարումը համապատասխան դաշտում՝ նշելով «գործառույթի ածանցյալը» ապաստրոֆով և սեղմել «լուծել հավասարումը» կոճակը: Իսկ հանրահայտ WolframAlpha կայքի հիման վրա ներդրված համակարգը մանրամասն կներկայացնի. դիֆերենցիալ հավասարման լուծումբացարձակապես անվճար: Կարող եք նաև դնել Կոշիի խնդիրը, որպեսզի հնարավոր լուծումների ամբողջ շարքից ընտրեք տվյալ սկզբնական պայմաններին համապատասխանող գործակիցը։ Կոշիի խնդիրը մուտքագրված է առանձին դաշտում։

Դիֆերենցիալ հավասարում

Հավասարման մեջ լռելյայն ֆունկցիան է yփոփոխականի ֆունկցիա է x... Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք սահմանել ձեր սեփական փոփոխականի նշանակումը, եթե հավասարման մեջ գրեք, օրինակ, y (t), ապա հաշվիչը ավտոմատ կերպով կճանաչի դա. yկա փոփոխականի ֆունկցիա տ... Հաշվիչով կարող եք լուծել դիֆերենցիալ հավասարումներցանկացած բարդության և տեսակի՝ միատարր և անհամասեռ, գծային կամ ոչ գծային, առաջին կամ երկրորդ և ավելի բարձր կարգի, բաժանելի կամ անբաժանելի փոփոխականներով հավասարումներ և այլն։ Դիֆերենցիալ լուծում հավասարումը տրված է վերլուծական ձևով, ունի մանրամասն նկարագրություն։ Դիֆերենցիալ հավասարումները շատ տարածված են ֆիզիկայում և մաթեմատիկայում: Առանց դրանք հաշվարկելու անհնար է լուծել բազմաթիվ խնդիրներ (հատկապես մաթեմատիկական ֆիզիկայում)։

Դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման փուլերից մեկը ֆունկցիաների ինտեգրումն է։ Կան դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման ստանդարտ մեթոդներ: Անհրաժեշտ է հավասարումները բերել y և x բաժանելի փոփոխականներով ձևի և առանձին ինտեգրել առանձնացված ֆունկցիաները։ Դա անելու համար երբեմն պետք է որոշակի փոխարինում կատարվի:

Ֆիզիկայի որոշ խնդիրներում հնարավոր չէ ուղիղ կապ հաստատել գործընթացը նկարագրող մեծությունների միջև։ Բայց հնարավոր է ստանալ ուսումնասիրվող ֆունկցիաների ածանցյալները պարունակող հավասարություն։ Ահա թե ինչպես են առաջանում դիֆերենցիալ հավասարումները և դրանց լուծման անհրաժեշտությունը՝ անհայտ ֆունկցիա գտնելու համար։

Այս հոդվածը նախատեսված է նրանց համար, ովքեր բախվում են դիֆերենցիալ հավասարման լուծման խնդրին, որտեղ անհայտ ֆունկցիան մեկ փոփոխականի ֆունկցիա է։ Տեսությունը կառուցված է այնպես, որ դիֆերենցիալ հավասարումների զրոյական ներկայացմամբ դուք կկարողանաք հաղթահարել ձեր խնդիրը:

Դիֆերենցիալ հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի հատկացվում է լուծման մեթոդ՝ մանրամասն բացատրություններով և բնորոշ օրինակների և խնդիրների լուծումներով: Պարզապես պետք է որոշեք ձեր խնդրի դիֆերենցիալ հավասարման ձևը, գտնեք նմանատիպ վերլուծված օրինակ և կատարեք նմանատիպ գործողություններ:

Դիֆերենցիալ հավասարումները հաջողությամբ լուծելու համար ձեզ անհրաժեշտ կլինի նաև տարբեր ֆունկցիաների հակաածանցյալների բազմություններ (անորոշ ինտեգրալներ) գտնելու ունակություն: Անհրաժեշտության դեպքում խորհուրդ ենք տալիս անդրադառնալ բաժնին:

Նախ, մենք կդիտարկենք առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների տեսակները, որոնք կարող են լուծվել ածանցյալի նկատմամբ, այնուհետև մենք կանդրադառնանք երկրորդ կարգի ODE-ին, այնուհետև կանդրադառնանք ավելի բարձր կարգի հավասարումների և ավարտում ենք դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերը: .

Հիշեցնենք, որ եթե y-ը x արգումենտի ֆունկցիա է:

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Ձևի առաջին կարգի ամենապարզ դիֆերենցիալ հավասարումները.

Գրենք նման DE-ների մի քանի օրինակ .

Դիֆերենցիալ հավասարումներ կարելի է լուծել ածանցյալի նկատմամբ՝ հավասարության երկու կողմերը բաժանելով f (x) վրա։ Այս դեպքում մենք հասնում ենք մի հավասարման, որը համարժեք կլինի սկզբնականին f (x) ≠ 0-ի համար: Նման ODE-ների օրինակներ են.

Եթե ​​կան x փաստարկի արժեքներ, որոնց համար f (x) և g (x) ֆունկցիաները միաժամանակ անհետանում են, ապա լրացուցիչ լուծումներ են հայտնվում: Հավասարման լրացուցիչ լուծումներ տրված x-ը այդ արգումենտի արժեքների համար սահմանված ցանկացած ֆունկցիա է: Նման դիֆերենցիալ հավասարումների օրինակներ կարելի է բերել:

Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով.

Մշտական ​​գործակիցներով LODE-ն դիֆերենցիալ հավասարումների շատ տարածված ձև է: Դրանց լուծումն առանձնապես դժվար չէ։ Նախ՝ հայտնաբերվում են բնորոշ հավասարման արմատները ... Տարբեր p-ի և q-ի համար հնարավոր է երեք դեպք. բնորոշ հավասարման արմատները կարող են լինել իրական և տարբեր, իրական և համընկնող: կամ բարդ կոնյուգատ: Կախված բնութագրիչ հավասարման արմատների արժեքներից, դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը գրվում է հետևյալ կերպ. , կամ , կամ համապատասխանաբար։

Օրինակ, դիտարկենք գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը հաստատուն գործակիցներով: Նրա բնորոշ հավասարման արմատներն են k 1 = -3 և k 2 = 0: Արմատները իրական են և տարբեր, հետևաբար հաստատուն գործակիցներով LODE-ի ընդհանուր լուծումն ունի ձև


Երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով.

y հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի LDE-ի ընդհանուր լուծումը որոնվում է համապատասխան LDE-ի ընդհանուր լուծման գումարի տեսքով. և սկզբնական անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում, այսինքն. Նախորդ բաժինը նվիրված է հաստատուն գործակիցներով համասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելուն: Որոշակի լուծում որոշվում է կամ անորոշ գործակիցների մեթոդով f (x) ֆունկցիայի որոշակի ձևի համար, որը գտնվում է սկզբնական հավասարման աջ կողմում, կամ կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդով։

Որպես հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի LDE-ի օրինակներ՝ մենք տալիս ենք


Տեսությունը հասկանալու և օրինակների մանրամասն լուծումներին ծանոթանալու համար էջում առաջարկում ենք հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ։

Գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ (LODE) և երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ (LDE):

Այս տեսակի դիֆերենցիալ հավասարումների հատուկ դեպք են LODE-ն և LDE-ն՝ հաստատուն գործակիցներով:

LODE-ի ընդհանուր լուծումը որոշակի հատվածի վրա ներկայացված է այս հավասարման y 1 և y 2 գծային անկախ առանձին լուծումների գծային համադրությամբ, այսինքն. .

Հիմնական դժվարությունը հենց այս տեսակի դիֆերենցիալ հավասարումների գծային անկախ առանձին լուծումներ գտնելն է: Սովորաբար, կոնկրետ լուծումներն ընտրվում են գծային անկախ ֆունկցիաների հետևյալ համակարգերից.


Այնուամենայնիվ, մասնավոր լուծումները միշտ չէ, որ ներկայացված են այս տեսքով:

LODU-ի օրինակ է .

LDE-ի ընդհանուր լուծումը որոնվում է այն ձևով, որտեղ գտնվում է համապատասխան LDE-ի ընդհանուր լուծումը և հանդիսանում է սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում: Մենք հենց նոր խոսեցինք գտնելու մասին, բայց այն կարելի է որոշել՝ օգտագործելով կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը։

LNDE-ի օրինակ է .

Բարձրագույն կարգերի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք ընդունում են պատվերի կրճատումը:

Դիֆերենցիալ հավասարման կարգ , որը չի պարունակում ցանկալի ֆունկցիան և դրա ածանցյալները մինչև k-1 կարգը, կարող է փոխարինվել մինչև n-k։

Այս դեպքում, և սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարումը կկրճատվի մինչև: Նրա p (x) լուծումը գտնելուց հետո մնում է վերադառնալ փոխարինողին և որոշել y անհայտ ֆունկցիան։

Օրինակ, դիֆերենցիալ հավասարումը փոփոխությունից հետո այն դառնում է բաժանելի հավասարում, և դրա հերթականությունը կնվազի երրորդից առաջինը:

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարում անկախ փոփոխականը, այս փոփոխականի անհայտ ֆունկցիան և նրա տարբեր կարգերի ածանցյալները (կամ դիֆերենցիալները) միացնող հավասարումն է։

Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը կոչվում է դրանում պարունակվող ամենաբարձր ածանցյալի կարգը։

Սովորականներից բացի ուսումնասիրվում են նաև մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Սրանք հավասարումներ են, որոնք կապում են անկախ փոփոխականները, այս փոփոխականների անհայտ ֆունկցիան և դրա մասնակի ածանցյալները նույն փոփոխականների նկատմամբ: Բայց մենք միայն կքննարկենք սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ և, հետևաբար, հակիրճության համար բաց կթողնենք «սովորական» բառը։

Դիֆերենցիալ հավասարումների օրինակներ.

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Հավասարումը (1) չորրորդ կարգի է, (2) հավասարումը երրորդ կարգի, (3) և (4) հավասարումները՝ երկրորդ կարգի, իսկ (5)՝ առաջին կարգի:

Դիֆերենցիալ հավասարում n-րդ կարգը պարտադիր չէ, որ պարունակի հստակ ֆունկցիա՝ նրա բոլոր ածանցյալները առաջինից մինչև n-րդ կարգը և անկախ փոփոխականը: Այն չի կարող պարունակել որոշ կարգերի հստակ ածանցյալներ, ֆունկցիա, անկախ փոփոխական:

Օրինակ, (1) հավասարման մեջ ակնհայտորեն չկան երրորդ և երկրորդ կարգերի ածանցյալներ, ինչպես նաև ֆունկցիա. (2) հավասարման մեջ - երկրորդ կարգի ածանցյալ և ֆունկցիա; հավասարման մեջ (4) - անկախ փոփոխական; (5) հավասարման մեջ՝ ֆունկցիաներ։ Միայն (3) հավասարումը պարունակում է բոլոր ածանցյալները, ֆունկցիան և անկախ փոփոխականը:

Դիֆերենցիալ հավասարումը լուծելով ցանկացած ֆունկցիա կոչվում է y = f (x), երբ փոխարինվում է հավասարման մեջ, այն դառնում է ինքնություն։

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում գտնելու գործընթացը կոչվում է այն ինտեգրվելը.

Օրինակ 1.Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը.

Լուծում. Եկեք այս հավասարումը գրենք ձևով. Լուծումը ֆունկցիան իր ածանցյալով գտնելն է։ Սկզբնական ֆունկցիան, ինչպես հայտնի է ինտեգրալ հաշվարկից, հակաածանցյալն է, այսինքն.

Ահա թե ինչ է դա տրված դիֆերենցիալ հավասարման լուծում ... Փոխվում է դրա մեջ Գ, կստանանք տարբեր լուծումներ։ Մենք գտանք, որ կան անսահման շատ լուծումներ առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համար:

Դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը n-րդ կարգը դրա լուծումն է, որը հստակ արտահայտված է անհայտ ֆունկցիայի նկատմամբ և պարունակում է nանկախ կամայական հաստատուններ, այսինքն.

Օրինակ 1-ի դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը ընդհանուր է:

Դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծումով դրա լուծումը կոչվում է, որում հատուկ թվային արժեքներ են տրվում կամայական հաստատուններին:

Օրինակ 2.Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը և դրա կոնկրետ լուծումը .

Լուծում. Մենք ինտեգրում ենք հավասարման երկու կողմերն այնքան անգամ, որքան դիֆերենցիալ հավասարման կարգը:

,

.

Արդյունքում ստացանք ընդհանուր լուծում.

երրորդ կարգի տրված դիֆերենցիալ հավասարումը.

Այժմ մենք կոնկրետ լուծում կգտնենք նշված պայմաններում: Դա անելու համար փոխարինեք դրանց արժեքները կամայական գործակիցների փոխարեն և ստացեք

.

Եթե, բացի դիֆերենցիալ հավասարումից, ձևով տրված է նախնական պայման, ապա կոչվում է այդպիսի խնդիր Քոշիի խնդիրը ... Արժեքները և փոխարինվում են հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ և գտնվել է կամայական հաստատունի արժեքը Գ, և այնուհետև գտնված արժեքի հավասարման որոշակի լուծում Գ... Սա է Քոշիի խնդրի լուծումը։

Օրինակ 3.Լուծե՛ք Կոշիի խնդիրը օրինակ 1-ի դիֆերենցիալ հավասարման համար պայմանով.

Լուծում. Եկեք ընդհանուր լուծման մեջ փոխարինենք սկզբնական վիճակի արժեքները y = 3, x= 1. Մենք ստանում ենք

Մենք գրում ենք Քոշիի խնդրի լուծումը տրված առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համար.

Դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը, նույնիսկ ամենապարզը, պահանջում է լավ հմտություններ ինտեգրելու և վերցնելու ածանցյալներ, ներառյալ բարդ ֆունկցիաները: Սա կարելի է տեսնել հետևյալ օրինակում.

Օրինակ 4.Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Լուծում. Հավասարումը գրված է այնպես, որ դուք կարող եք անմիջապես ինտեգրել դրա երկու մասերը:

.

Մենք կիրառում ենք փոփոխական փոփոխությամբ (փոխարինման) ինտեգրման մեթոդը։ Թող ուրեմն.

Պահանջվում է վերցնել dxիսկ այժմ՝ ուշադրություն, մենք դա անում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոններով, քանի որ xև կա բարդ ֆունկցիա («խնձորը» քառակուսի արմատի արդյունահանումն է կամ, որը նույնն է, «մեկ կեսի» աստիճանականացումն է, իսկ «միսը» հենց արմատի տակ արտահայտությունն է).

Գտեք ինտեգրալը.

Վերադառնալով փոփոխականին x, ստանում ենք.

.

Սա առաջին աստիճանի այս դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

Դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելիս կպահանջվեն ոչ միայն բարձրագույն մաթեմատիկայի նախորդ բաժինների, այլ նաև տարրական, այսինքն՝ դպրոցական մաթեմատիկայի հմտություններ: Ինչպես արդեն նշվեց, ցանկացած կարգի դիֆերենցիալ հավասարման մեջ չի կարող լինել անկախ փոփոխական, այսինքն՝ փոփոխական։ x... Համամասնության մասին գիտելիքները, որոնք չեն մոռացվել (սակայն, որևէ մեկի մոտ ինչպես) դպրոցից, կօգնի լուծել այս խնդիրը: Սա հաջորդ օրինակն է։

Դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում. Մեր առցանց ծառայության շնորհիվ դուք կարող եք լուծել ցանկացած տեսակի և բարդության դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ անհամասեռ, միատարր, ոչ գծային, գծային, առաջին, երկրորդ կարգի, բաժանելի կամ չբաժանվող փոփոխականներով և այլն: Դուք ստանում եք դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը վերլուծական տեսքով՝ մանրամասն նկարագրությամբ։ Շատերին հետաքրքրում է՝ ինչո՞ւ է անհրաժեշտ առցանց տարբերակով հավասարումներ լուծել: Հավասարումների այս տեսակը շատ տարածված է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի մեջ, որտեղ անհնար կլինի շատ խնդիրներ լուծել առանց դիֆերենցիալ հավասարումը հաշվարկելու: Դիֆերենցիալ հավասարումները տարածված են նաև տնտեսագիտության, բժշկության, կենսաբանության, քիմիայի և այլ գիտությունների մեջ։ Նման հավասարման առցանց լուծումը մեծապես հեշտացնում է ձեր հանձնարարված առաջադրանքները, հնարավորություն է տալիս ավելի լավ յուրացնել նյութը և փորձարկել ինքներդ: Առցանց դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման առավելությունները: Ժամանակակից մաթեմատիկական ծառայության կայքը թույլ է տալիս առցանց լուծել ցանկացած բարդության դիֆերենցիալ հավասարումներ: Ինչպես գիտեք, դիֆերենցիալ հավասարումների բազմաթիվ տեսակներ կան, և դրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր լուծումները: Մեր ծառայությունում դուք կարող եք առցանց գտնել ցանկացած կարգի և տեսակի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ: Լուծում ստանալու համար առաջարկում ենք լրացնել նախնական տվյալները և սեղմել «Լուծում» կոճակը։ Ծառայության մեջ սխալները բացառվում են, այնպես որ կարող եք 100% վստահ լինել, որ ստացել եք ճիշտ պատասխանը: Լուծեք դիֆերենցիալ հավասարումներ մեր ծառայության միջոցով: Լուծեք դիֆերենցիալ հավասարումներ առցանց: Լռելյայնորեն, նման հավասարման մեջ y ֆունկցիան x փոփոխականի ֆունկցիա է։ Բայց դուք կարող եք նաև նշել ձեր սեփական փոփոխականի նշանակումը: Օրինակ, եթե դիֆերենցիալ հավասարման մեջ նշեք y (t), ապա մեր ծառայությունը ավտոմատ կերպով կորոշի, որ y-ը t փոփոխականի ֆունկցիա է։ Ամբողջ դիֆերենցիալ հավասարման կարգը կախված կլինի հավասարման մեջ առկա ֆունկցիայի ածանցյալի առավելագույն կարգից: Նման հավասարման լուծումը նշանակում է գտնել ցանկալի ֆունկցիան։ Մեր ծառայությունը կօգնի ձեզ լուծել դիֆերենցիալ հավասարումներ առցանց: Հավասարումը լուծելու համար ձեր կողմից մեծ ջանք չի պահանջվում: Պարզապես անհրաժեշտ է անհրաժեշտ դաշտերում մուտքագրել ձեր հավասարման ձախ և աջ կողմերը և սեղմել «Լուծում» կոճակը: Ֆունկցիայի ածանցյալ մուտքագրելիս անհրաժեշտ է այն նշել ապաստրոֆի միջոցով։ Մի քանի վայրկյանում դուք կստանաք դիֆերենցիալ հավասարման պատրաստի մանրամասն լուծում։ Մեր ծառայությունը բացարձակապես անվճար է: Դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ բաժանելի փոփոխականներով: Եթե ​​ձախ կողմում դիֆերենցիալ հավասարման մեջ կա y-ից կախված արտահայտություն, իսկ աջ կողմում կա x-ից կախված արտահայտություն, ապա այդպիսի դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է բաժանելի փոփոխականներով։ Ձախ կողմում կարող է լինել y-ի ածանցյալը, այս տիպի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը կլինի y ֆունկցիայի տեսքով՝ արտահայտված հավասարման աջ կողմի ինտեգրալով։ Եթե ​​y ֆունկցիայի դիֆերենցիալը գտնվում է ձախ կողմում, ապա հավասարման երկու կողմերն էլ ինտեգրված են։ Երբ դիֆերենցիալ հավասարման փոփոխականները առանձնացված չեն, դրանք պետք է բաժանվեն՝ պառակտված դիֆերենցիալ հավասարում ստանալու համար: Գծային դիֆերենցիալ հավասարում. Գծային դիֆերենցիալ հավասարումը դիֆերենցիալ հավասարումն է, որտեղ ֆունկցիան և նրա բոլոր ածանցյալները գտնվում են առաջին աստիճանում։ Հավասարման ընդհանուր տեսքը. y '+ a1 (x) y = f (x): f (x) և a1 (x) x-ի շարունակական ֆունկցիաներն են: Այս տեսակի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը կրճատվում է առանձնացված փոփոխականներով երկու դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրմամբ։ Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը. Դիֆերենցիալ հավասարումը կարող է լինել առաջին, երկրորդ, n-րդ կարգի։ Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը որոշում է նրա պարունակած ամենաբարձր ածանցյալի կարգը: Մեր ծառայությունում դուք կարող եք առցանց լուծել դիֆերենցիալ հավասարումներ առաջին, երկրորդ, երրորդ և այլն: պատվեր. Հավասարման լուծումը կլինի y = f (x) ցանկացած ֆունկցիա, այն փոխարինելով հավասարման մեջ՝ ստանում ես նույնականությունը: Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում գտնելու գործընթացը կոչվում է ինտեգրացիա։ Կոշի խնդիր. Եթե, բացի բուն դիֆերենցիալ հավասարումից, նշված է նախնական պայմանը y (x0) = y0, ապա դա կոչվում է Քոշիի խնդիր: y0 և x0 ինդեքսները ավելացվում են հավասարման լուծմանը և որոշում C կամայական հաստատունի արժեքը, այնուհետև C-ի այս արժեքով հավասարման որոշակի լուծում: Սա Քոշիի խնդրի լուծումն է: Կոշիի խնդիրը կոչվում է նաև սահմանային պայմանների խնդիր, որը շատ տարածված է ֆիզիկայում և մեխանիկայում։ Դուք նաև հնարավորություն ունեք սահմանելու Քոշիի խնդիրը, այսինքն՝ հավասարման բոլոր հնարավոր լուծումներից ընտրել տրված սկզբնական պայմաններին համապատասխանող գործակից։

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ. Լուծումների օրինակներ.
Բաժանելի դիֆերենցիալ հավասարումներ

Դիֆերենցիալ հավասարումներ (DE): Այս երկու բառերը սովորաբար սարսափեցնում են միջին դասականին: Շատ ուսանողների համար դիֆերենցիալ հավասարումները սարսափելի և դժվար սովորելու բան են թվում: Uuuuuuu ... դիֆերենցիալ հավասարումներ, ինչպե՞ս կարող եմ գոյատևել այս ամենը:

Այս կարծիքն ու այս վերաբերմունքը սկզբունքորեն սխալ է, քանի որ իրականում ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ՊԱՐԶ ԵՆ ՈՒ ՆՈՒՅՆԻՍԿ Զվարճալի... Ի՞նչ պետք է իմանաք և կարողանաք իմանալ դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելու համար: Դիֆուրան հաջողությամբ ուսումնասիրելու համար դուք պետք է լավ կարողանաք ինտեգրվել և տարբերվել: Որքան լավ են ուսումնասիրված թեմաները Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ածանցյալև Անորոշ ինտեգրալ, այնքան հեշտ կլինի հասկանալ դիֆերենցիալ հավասարումները։ Ասեմ ավելին, եթե ունես քիչ թե շատ պատշաճ ինտեգրացիոն հմտություններ, ապա թեման գործնականում յուրացված է։ Որքան շատ տարբեր տեսակի ինտեգրալներ կարողանաք լուծել, այնքան լավ: Ինչո՞ւ։ Ինտեգրելու շատ բան կա։ Եվ տարբերակել. Նաև բարձր խորհուրդսովորել գտնել.

95% դեպքերում հսկիչ փաստաթղթերում հանդիպում են առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների 3 տեսակ. բաժանելի հավասարումներորը մենք կանդրադառնանք այս դասում; միատարր հավասարումներև գծային անհամասեռ հավասարումներ... Դիֆուզիոն ուսումնասիրելու սկսնակների համար խորհուրդ եմ տալիս ծանոթանալ այս հաջորդականության դասերին, և առաջին երկու հոդվածներն ուսումնասիրելուց հետո չի խանգարի համախմբել իրենց հմտությունները լրացուցիչ սեմինարում. հավասարումներ, որոնք վերածվում են միատարրության.

Կան նույնիսկ ավելի հազվադեպ դիֆերենցիալ հավասարումների տեսակներ՝ հավասարումներ ընդհանուր դիֆերենցիալներում, Բեռնուլիի հավասարումներ և մի քանի այլ: Վերջին երկու տեսակներից ամենակարևորը հավասարումներ են ընդհանուր դիֆերենցիալներում, քանի որ այս DE-ից բացի ես դիտարկում եմ նոր նյութ. մասնակի ինտեգրում.

Եթե ​​ձեզ մնում է ընդամենը մեկ կամ երկու օր, ապա գերարագ պատրաստման համարկա բլից դասընթաց pdf ձևաչափով։

Այսպիսով, ուղենիշները սահմանված են. եկեք գնանք.

Նախ հիշենք սովորական հանրահաշվական հավասարումները։ Դրանք պարունակում են փոփոխականներ և թվեր։ Ամենապարզ օրինակը. Ի՞նչ է նշանակում լուծել սովորական հավասարումը: Դա նշանակում է գտնել շատ թվերորոնք բավարարում են այս հավասարումը: Հեշտ է տեսնել, որ երեխաների հավասարումը ունի մեկ արմատ. Զվարճանքի համար եկեք ստուգենք, գտած արմատը փոխարինենք մեր հավասարման մեջ.

- ստացվել է ճիշտ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ լուծումը ճիշտ է գտնվել։

Տարբերությունները նման են.

Դիֆերենցիալ հավասարում առաջին կարգըընդհանրապես պարունակում է:
1) անկախ փոփոխական;
2) կախյալ փոփոխական (գործառույթ);
3) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը՝.

1-ին կարգի որոշ հավասարումների մեջ կարող է չլինել «x» կամ (և) «խաղ», բայց դա էական չէ. կարևորայնպես որ ԴՈՒ-ում էրառաջին ածանցյալը, և չի ունեցելավելի բարձր կարգի ածանցյալներ - և այլն:

Ինչ է նշանակում ?Դիֆերենցիալ հավասարումը լուծելը նշանակում է գտնել բոլոր գործառույթներից շատերըորոնք բավարարում են այս հավասարումը: Գործառույթների նման բազմությունը հաճախ ունենում է ձև (կամայական հաստատուն է), որը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Օրինակ 1

Լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը

Զինամթերքի ամբողջական բեռնվածություն: Որտեղ սկսել լուծում?

Առաջին հերթին, դուք պետք է վերաշարադրեք ածանցյալը մի փոքր այլ ձևով: Մենք հիշում ենք ծանրակշիռ նշումը, որը ձեզանից շատերի համար, հավանաբար, ծիծաղելի և ավելորդ է թվում: Դիֆուրայում հենց դա է քշում:

Երկրորդ քայլում տեսեք, արդյոք դա հնարավոր է բաժանե՞լ փոփոխականները:Ի՞նչ է նշանակում բաժանել փոփոխականները: Կոպիտ ասած, ձախ կողմումմենք պետք է հեռանանք միայն «խաղացողներ», ա աջ կողմումկազմակերպել միայն «x»... Փոփոխականների տարանջատումը կատարվում է «դպրոցական» մանիպուլյացիաների միջոցով՝ փակագծեր, տերմինների փոխանցում մասից մաս՝ նշանի փոփոխությամբ, գործոնների փոխանցում մասից մաս՝ ըստ համամասնության կանոնի և այլն։

Դիֆերենցիալները և հանդիսանում են ռազմական գործողությունների լիարժեք բազմապատկիչներ և ակտիվ մասնակիցներ։ Քննարկվող օրինակում փոփոխականները հեշտությամբ բաժանվում են բազմապատկիչներ գցելով՝ համաձայն համամասնության կանոնի.

Փոփոխականները առանձնացված են: Ձախ կողմում կան միայն «խաղեր», աջ կողմում՝ միայն «X»:

Հաջորդ փուլ - դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրում... Դա պարզ է, մենք ինտեգրալներ ենք կախում երկու կողմից.

Իհարկե, ինտեգրալները պետք է վերցնել։ Այս դեպքում դրանք աղյուսակային են.

Ինչպես հիշում ենք, ցանկացած հակաածանցյալին վերագրվում է հաստատուն: Այստեղ երկու ինտեգրալ կա, բայց հաստատունը բավական է մեկ անգամ գրել (քանի որ հաստատուն + հաստատունը դեռ հավասար է մեկ այլ հաստատունի)... Շատ դեպքերում այն ​​տեղադրվում է աջ կողմում:

Խստորեն ասած, ինտեգրալները վերցնելուց հետո դիֆերենցիալ հավասարումը համարվում է լուծված։ Միայն թե մեր «խաղը» «x»-ով չի արտահայտվում, այսինքն՝ լուծումը ներկայացված է անուղղակիորենձեւը։ Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը անուղղակի ձևով կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալ... Այսինքն՝ ընդհանուր ինտեգրալ է։

Այս տեսքով պատասխանը միանգամայն ընդունելի է, բայց ավելի լավ տարբերակ չկա՞։ Փորձենք ստանալ ընդհանուր որոշում.

Խնդրում եմ, հիշեք առաջին տեխնիկան, այն շատ տարածված է և հաճախ օգտագործվում է գործնական վարժություններում. եթե ինտեգրումից հետո լոգարիթմը հայտնվում է աջ կողմում, ապա շատ դեպքերում (բայց միշտ չէ!) նպատակահարմար է նաև գրել հաստատունը լոգարիթմի տակ:.

Այն է, ՓՈԽԱՐԵՆգրառումները սովորաբար գրվում են .

Ինչու է սա անհրաժեշտ: Եվ որպեսզի ավելի հեշտ լինի «խաղ» արտահայտելը. Օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունը ... Այս դեպքում:

Այժմ լոգարիթմները և մոդուլները կարող են հեռացվել.

Ֆունկցիան հստակորեն ներկայացված է. Սա է ընդհանուր լուծումը։

ՊատասխանելԸնդհանուր որոշում. .

Շատ դիֆերենցիալ հավասարումների պատասխանները բավականին հեշտ է ստուգել: Մեր դեպքում դա արվում է բավականին պարզ, մենք վերցնում ենք գտնված լուծումը և տարբերակում այն.

Այնուհետև մենք ածանցյալը փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ.

- ստացվել է ճիշտ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ ընդհանուր լուծումը բավարարում է հավասարումը, որը պահանջվում էր ստուգել։

Տալով հաստատուն տարբեր արժեքներ, դուք կարող եք ստանալ անսահման շատ մասնավոր լուծումներդիֆերենցիալ հավասարում. Հասկանալի է, որ գործառույթներից որևէ մեկը և այլն: բավարարում է դիֆերենցիալ հավասարումը.

Ընդհանուր լուծումը երբեմն կոչվում է գործառույթների ընտանիք... Այս օրինակում ընդհանուր լուծումն է Գծային ֆունկցիաների ընտանիք է, ավելի ճիշտ՝ ուղիղ համամասնությունների ընտանիք:

Առաջին օրինակը մանրակրկիտ ծամելուց հետո տեղին է դիֆերենցիալ հավասարումների վերաբերյալ մի քանի միամիտ հարցերի պատասխանել.

1)Այս օրինակում մեզ հաջողվեց բաժանել փոփոխականները: Կարո՞ղ է դա միշտ անել:Ոչ միշտ չէ: Եվ նույնիսկ ավելի հաճախ, փոփոխականները չեն կարող բաժանվել: Օրինակ, մեջ միատարր առաջին կարգի հավասարումներ, նախ պետք է փոխարինել։ Հավասարումների այլ տեսակներում, օրինակ, գծային անհամասեռ առաջին կարգի հավասարման մեջ, ընդհանուր լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել տարբեր տեխնիկա և մեթոդներ: Բաժանելի հավասարումները, որոնք մենք դիտարկում ենք առաջին դասում, դիֆերենցիալ հավասարումների ամենապարզ տեսակն են:

2) Միշտ հնարավո՞ր է ինտեգրել դիֆերենցիալ հավասարումը:Ոչ միշտ չէ: Շատ հեշտ է ստեղծել «շքեղ» հավասարում, որը չի կարող ինտեգրվել, բացի այդ, կան ոչ տրիվիալ ինտեգրալներ։ Բայց նման DE-ները կարող են լուծվել մոտավորապես հատուկ մեթոդների կիրառմամբ։ Դ'Ալեմբերն ու Քոշին երաշխավորում են ... ... ըհը, թաքնվել, պարզապես շատ կարդալ, գրեթե ավելացված «մյուս աշխարհից»:

3) Այս օրինակում մենք լուծում ենք ստացել ընդհանուր ինտեգրալի տեսքով ... Միշտ հնարավո՞ր է ընդհանուր ինտեգրալից ընդհանուր լուծում գտնել, այսինքն՝ «խաղը» արտահայտել բացահայտ ձևով։Ոչ միշտ չէ: Օրինակ: . Դե, ինչպե՞ս կարող եմ արտահայտել «խաղը»: Նման դեպքերում պատասխանը պետք է գրել որպես ընդհանուր ինտեգրալ։ Բացի այդ, երբեմն կարելի է ընդհանուր լուծում գտնել, բայց այն այնքան ծանր ու անշնորհք է գրված, որ ավելի լավ է պատասխանը թողնել ընդհանուր ինտեգրալի տեսքով.

4) ..., հավանաբար, առայժմ բավական է: Առաջին օրինակում մենք հանդիպեցինք ևս մեկ կարևոր կետ, բայց որպեսզի «բուլղարներին» չծածկեմ նոր ինֆորմացիայի ավալշով, կթողնեմ հաջորդ դասին։

Եկեք չշտապենք. Մեկ այլ պարզ հեռակառավարման վահանակ և ևս մեկ բնորոշ լուծում.

Օրինակ 2

Գտեք սկզբնական պայմանը բավարարող դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում

Լուծումըստ պայմանի պահանջվում է գտնել մասնավոր լուծում DE, որը բավարարում է տվյալ նախնական պայմանը: Հարցի այս ձեւակերպումը նույնպես կոչվում է Քոշիի խնդիրը.

Նախ, մենք ընդհանուր լուծում ենք գտնում. Հավասարման մեջ «x» փոփոխական չկա, բայց դա չպետք է շփոթեցնի, գլխավորն այն է, որ այն պարունակում է առաջին ածանցյալը:

Մենք վերագրում ենք ածանցյալը պահանջվող ձևով.

Ակնհայտ է, որ փոփոխականները կարող են բաժանվել՝ տղաները դեպի ձախ, աղջիկները՝ աջ.

Մենք ինտեգրում ենք հավասարումը.

Ստացվում է ընդհանուր ինտեգրալը։ Այստեղ ես նկարեցի հաստատուն աստղանիշով, փաստն այն է, որ շատ շուտով այն կվերածվի մեկ այլ հաստատունի։

Այժմ մենք փորձում ենք ընդհանուր ինտեգրալը վերածել ընդհանուր լուծման («խաղը» բացահայտ արտահայտել): Մենք հիշում ենք հին, լավ, դպրոցը. ... Այս դեպքում:

Ցուցանիշի հաստատունը ինչ-որ կերպ ոչ կոշեր է թվում, ուստի այն սովորաբար իջեցվում է երկնքից երկիր: Մանրամասն՝ այսպես է լինում. Օգտագործելով հզորության հատկությունը՝ մենք ֆունկցիան վերագրում ենք հետևյալ կերպ.

Եթե ​​հաստատուն է, ապա այն նաև որոշակի հաստատուն է, այն նորից նշում ենք տառով.

Հիշեք հաստատունի «քանդումը». երկրորդ տեխնիկան, որը հաճախ օգտագործվում է դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման ընթացքում։

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների նման գեղեցիկ ընտանիք:

Վերջնական փուլում անհրաժեշտ է գտնել որոշակի լուծում, որը բավարարում է տվյալ սկզբնական պայմանը։ Դա նույնպես հեշտ է:

Ո՞րն է առաջադրանքը։ Անհրաժեշտ է վերցնել այդպիսինհաստատունի արժեքը բավարարված պայմանի համար:

Դուք կարող եք նախագծել տարբեր ձևերով, բայց ամենահասկանալիը, թերևս, այդպես կլինի։ Ընդհանուր լուծման մեջ «x»-ի փոխարեն փոխարինում ենք զրո, իսկ «խաղի» փոխարեն՝ երկու.



Այն է,

Ստանդարտ դիզայնի տարբերակ.

Այժմ մենք գտնված հաստատուն արժեքը փոխարինում ենք ընդհանուր լուծման մեջ.
- Սա այն կոնկրետ լուծումն է, որը մեզ անհրաժեշտ է:

Պատասխանել: մասնավոր լուծում:

Եկեք ստուգենք. Մասնավոր լուծման ստուգումը ներառում է երկու փուլ.

Նախ, անհրաժեշտ է ստուգել, ​​թե գտնված կոնկրետ լուծումը իրո՞ք բավարարում է նախնական պայմանին։ «x»-ի փոխարեն մենք փոխարինում ենք զրո և տեսնում ենք, թե ինչ է տեղի ունենում.
- Այո, իսկապես, ստացվում է երկու, ինչը նշանակում է, որ նախնական պայմանը կատարված է։

Երկրորդ փուլն արդեն ծանոթ է. Մենք վերցնում ենք ստացված կոնկրետ լուծումը և գտնում ածանցյալը.

Փոխարինել սկզբնական հավասարման մեջ.

- ստացվել է ճիշտ հավասարություն.

Եզրակացություն. կոնկրետ լուծումը ճիշտ է գտնվել:

Անցնելով ավելի բովանդակալից օրինակների:

Օրինակ 3

Լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը

Լուծում:Մենք վերագրում ենք ածանցյալը մեզ անհրաժեշտ ձևով.

Գնահատու՞մ եք արդյոք փոփոխականները կարող են բաժանվել: Կարող է. Երկրորդ տերմինը տեղափոխում ենք աջ կողմ՝ նշանի փոփոխությամբ.

Եվ մենք բազմապատկիչները գցում ենք ըստ համամասնության կանոնի.

Փոփոխականները առանձնացված են, մենք ինտեգրում ենք երկու մասերը.

Ես պետք է զգուշացնեմ ձեզ, գալիս է դատաստանի օրը։ Եթե ​​լավ չեք սովորել անորոշ ինտեգրալներ, լուծել են մի քանի օրինակներ, ապա գնալու տեղ չկա, դուք ստիպված կլինեք տիրապետել դրանք հիմա:

Ձախ կողմի ինտեգրալը հեշտ է գտնել, մենք կարող ենք գործ ունենալ կոտանգենսի ինտեգրալով, օգտագործելով ստանդարտ տեխնիկան, որը մենք դիտարկել ենք դասում: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրումԱնցած տարում.

Աջ կողմում մենք ունենք լոգարիթմ, և իմ առաջին տեխնիկական առաջարկի համաձայն, հաստատունը նույնպես պետք է գրվի լոգարիթմի տակ:

Այժմ մենք փորձում ենք պարզեցնել ընդհանուր ինտեգրալը։ Քանի որ մենք ունենք նույն լոգարիթմները, դրանցից ազատվելը միանգամայն հնարավոր է (և անհրաժեշտ): Օգտագործելով հայտնի հատկություններՄենք հնարավորինս փաթեթավորում ենք լոգարիթմները: Շատ մանրամասն կգրեմ.

Փաթեթավորումն ամբողջական է՝ բարբարոսաբար հանելու համար.

Կարող եք արտահայտել «խաղը»: Կարող է. Երկու կողմերն էլ պետք է քառակուսի լինեն:

Բայց ձեզ հարկավոր չէ դա անել:

Երրորդ տեխնիկական հուշում.եթե ընդհանուր լուծում ստանալու համար անհրաժեշտ է բարձրացնել հզորության կամ արմատներ հանել, ապա Շատ դեպքերումպետք է ձեռնպահ մնալ այս գործողություններից և պատասխանը թողնել ընդհանուր ինտեգրալի տեսքով։ Փաստն այն է, որ ընդհանուր լուծումը պարզապես սարսափելի տեսք կունենա՝ մեծ արմատներով, նշաններով և այլ աղբով:

Ուստի պատասխանը գրում ենք ընդհանուր ինտեգրալի տեսքով։ Լավ ձև է համարվում այն ​​ձևով ներկայացնելը, այսինքն՝ աջ կողմում, հնարավորության դեպքում թողնել միայն հաստատուն։ Դա անելը պարտադիր չէ, բայց պրոֆեսորին հաճոյանալը միշտ էլ ձեռնտու է ;-)

Պատասխան.ընդհանուր ինտեգրալ:

! Նշում: Ցանկացած հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը կարելի է գրել մեկից ավելի ձևերով: Այսպիսով, եթե ձեր արդյունքը չի համընկնում նախկինում հայտնի պատասխանի հետ, ապա դա չի նշանակում, որ դուք սխալ եք լուծել հավասարումը։

Ընդհանուր ինտեգրալը նույնպես բավականին հեշտ է ստուգվում, գլխավորը գտնել կարողանալն է իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալ... Տարբերակելով պատասխանը.

Մենք երկու տերմիններն էլ բազմապատկում ենք հետևյալով.

Եվ մենք բաժանում ենք.

Ստացվում է հենց սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարումը, ինչը նշանակում է, որ ընդհանուր ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել։

Օրինակ 4

Գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում, որը բավարարում է նախնական պայմանը: Ստուգեք.

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է:

Հիշեցնեմ, որ ալգորիթմը բաղկացած է երկու փուլից.
1) ընդհանուր լուծում գտնելը.
2) անհրաժեշտ մասնավոր լուծում գտնելը.

Ստուգումն իրականացվում է նաև երկու քայլով (տե՛ս օրինակ թիվ 2-ի օրինակը), անհրաժեշտ է.
1) համոզվել, որ հայտնաբերված կոնկրետ լուծումը բավարարում է նախնական պայմանը.
2) ստուգեք, որ կոնկրետ լուծումը ընդհանուր առմամբ բավարարում է դիֆերենցիալ հավասարումը:

Ամբողջական լուծումը և պատասխանը ձեռնարկի վերջում:

Օրինակ 5

Գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում բավարարում է նախնական պայմանը. Ստուգեք.

Լուծում:Նախ՝ մենք գտնում ենք ընդհանուր լուծումը, այս հավասարումն արդեն իսկ պարունակում է պատրաստի դիֆերենցիալներ և, հետևաբար, լուծումը պարզեցված է։ Փոփոխականների տարանջատում.

Մենք ինտեգրում ենք հավասարումը.

Ձախից ինտեգրալը աղյուսակային է, աջում՝ վերցված ինտեգրալը ֆունկցիան դիֆերենցիալ նշանի տակ բերելու մեթոդով:

Ստացված է ընդհանուր ինտեգրալը, հնարավո՞ր է հաջողությամբ արտահայտել ընդհանուր լուծումը։ Կարող է. Երկու կողմից էլ լոգարիթմներ ենք կախում։ Քանի որ դրանք դրական են, մոդուլի նշաններն ավելորդ են.

(Հուսով եմ բոլորը հասկանում են վերափոխումը, նման բաներն արդեն պետք է հայտնի լինեն)

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Գտնենք տվյալ սկզբնական պայմանին համապատասխան կոնկրետ լուծում։
Ընդհանուր լուծման մեջ «x»-ի փոխարեն փոխարինում ենք զրո, իսկ «խաղի» փոխարեն՝ երկուսի լոգարիթմը.

Ավելի ծանոթ դիզայն.

Մենք հաստատունի գտած արժեքը փոխարինում ենք ընդհանուր լուծման մեջ:

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Ստուգում. Նախ, եկեք ստուգենք, արդյոք նախնական պայմանը բավարարված է.
-Ամեն ինչ լավ է:

Հիմա եկեք ստուգենք, թե արդյոք հայտնաբերված կոնկրետ լուծումը բավարարում է դիֆերենցիալ հավասարումը: Գտեք ածանցյալը.

Մենք նայում ենք սկզբնական հավասարմանը. - այն ներկայացված է դիֆերենցիալներով: Ստուգելու երկու եղանակ կա. Գտնված ածանցյալից կարելի է արտահայտել դիֆերենցիալը.

Գտնված կոնկրետ լուծումը և ստացված դիֆերենցիալը փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ :

Մենք օգտագործում ենք հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը.

Ստացվում է ճիշտ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ կոնկրետ լուծումը ճիշտ է գտնվել։

Ստուգելու երկրորդ եղանակը հայելային է և ավելի ծանոթ՝ հավասարումից մենք արտահայտում ենք ածանցյալը, դրա համար բոլոր կտորները բաժանում ենք հետևյալի.

Իսկ փոխակերպված DE-ում մենք փոխարինում ենք ստացված կոնկրետ լուծումը և ստացված ածանցյալը։ Պարզեցումների արդյունքում պետք է ստացվի նաև ճիշտ հավասարություն։

Օրինակ 6

Լուծեք դիֆերենցիալ հավասարումը. Պատասխանը ներկայացված է ընդհանուր ինտեգրալի տեսքով.

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է, ամբողջական լուծում և պատասխան ձեռնարկի վերջում:

Ի՞նչ դժվարություններ են սպասվում տարանջատելի փոփոխականներով դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելիս:

1) Միշտ չէ, որ ակնհայտ է (հատկապես «թեյնիկի» համար), որ փոփոխականները կարող են կիսվել: Դիտարկենք պայմանական օրինակ. Այստեղ դուք պետք է կատարեք ֆակտորինգը փակագծերից դուրս. և առանձնացրեք արմատները. Ինչպես շարունակել, պարզ է:

2) Ինտեգրման դժվարություններ: Ինտեգրալները հաճախ այնքան էլ պարզ չեն, և եթե կան թերություններ գտնելու հմտությունների մեջ անորոշ ինտեգրալ, ապա շատ դիֆուզներով դժվար կլինի։ Բացի այդ, ժողովածուների և ձեռնարկների կազմողների մեջ տարածված է տրամաբանությունը «քանի որ դիֆերենցիալ հավասարումը պարզ է, ուրեմն թող ինտեգրալներն ավելի բարդ լինեն»։

3) փոխարկումներ հաստատունով. Ինչպես բոլորը նկատել են, դիֆերենցիալ հավասարումների հաստատունը կարող է բավականին ազատորեն կարգավորվել, և որոշ փոխակերպումներ միշտ չէ, որ պարզ են սկսնակների համար: Դիտարկենք մեկ այլ պայմանական օրինակ. ... Դրանում խորհուրդ է տրվում բոլոր տերմինները բազմապատկել 2-ով. ... Ստացված հաստատունը նաև որոշակի հաստատուն է, որը կարելի է նշանակել հետևյալով. ... Այո, և քանի որ լոգարիթմը աջ կողմում է, նպատակահարմար է հաստատունը վերագրել մեկ այլ հաստատունի տեսքով. .

Դժբախտությունն այն է, որ նրանք հաճախ չեն անհանգստանում ինդեքսներով և օգտագործում են նույն տառը: Արդյունքում որոշման արձանագրությունը ստանում է հետևյալ ձևը.

Ի՞նչ հերետիկոսություն։ Սխալներ կան. Խիստ ասած՝ այո։ Սակայն իմաստալից տեսանկյունից սխալներ չկան, քանի որ փոփոխական հաստատունի փոխակերպման արդյունքում դեռ ստացվում է փոփոխական հաստատուն։

Կամ մեկ այլ օրինակ, ենթադրենք, որ հավասարումը լուծելու ընթացքում ստացվում է ընդհանուր ինտեգրալ։ Այս պատասխանը տգեղ է թվում, ուստի խորհուրդ է տրվում փոխել նշանը յուրաքանչյուր տերմինի համար. ... Ձևականորեն կրկին սխալ կա՝ աջ կողմում պետք է գրված լինի։ Բայց ոչ պաշտոնապես ենթադրվում է, որ «մինուս ցե»-ն դեռ հաստատուն է ( որը նույնքան հեշտությամբ ընդունում է ցանկացած արժեք:), այնպես որ անիմաստ է «մինուս» դնելը, և դուք կարող եք օգտագործել նույն տառը:

Ես կփորձեմ խուսափել անփույթ մոտեցումից և, այնուամենայնիվ, տարբեր ինդեքսներ վերագրել հաստատուններին դրանք փոխարկելիս:

Օրինակ 7

Լուծեք դիֆերենցիալ հավասարումը. Ստուգեք.

Լուծում:Այս հավասարումը թույլ է տալիս տարանջատել փոփոխականները: Փոփոխականների տարանջատում.

Մենք ինտեգրում ենք.

Այստեղ հաստատունը չպետք է սահմանվի որպես լոգարիթմ, քանի որ դրանից ոչ մի լավ բան չի ստացվի:

Պատասխան.ընդհանուր ինտեգրալ:

Ստուգում. տարբերակել պատասխանը (ներկառուցված գործառույթ).

Մենք ազատվում ենք կոտորակներից, դրա համար երկու անդամները բազմապատկում ենք հետևյալով.

Ստացվում է սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարումը, ինչը նշանակում է, որ ընդհանուր ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել։

Օրինակ 8

Գտեք հեռակառավարման անհատական ​​լուծում:
,

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է: Միակ հուշումն այն է, որ այստեղ դուք ստանում եք ընդհանուր ինտեգրալ, և, ավելի ճիշտ, պետք է հնարել ոչ թե կոնկրետ լուծում գտնելու համար, այլ. մասնակի ինտեգրալ... Ամբողջական լուծումը և պատասխանը ձեռնարկի վերջում: