Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման բանաձևեր. Եռանկյունաչափական հավասարումներ. Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հայեցակարգը.

• Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար այն փոխարկեք մեկ կամ մի քանի հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների: Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը ի վերջո հանգում է չորս հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը:

Հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում.

• Հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների 4 տեսակ կա.
• մեղք x = a; cos x = a
• tg x = a; ctg x = a
• Հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը ներառում է միավոր շրջանագծի տարբեր x դիրքերի դիտում և փոխակերպման աղյուսակի (կամ հաշվիչի) օգտագործումը:
• Օրինակ 1.sin x = 0.866. Օգտագործելով փոխակերպման աղյուսակը (կամ հաշվիչ), դուք ստանում եք պատասխանը. x = π / 3: Միավոր շրջանագիծը տալիս է մեկ այլ պատասխան՝ 2π / 3: Հիշեք. բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են, այսինքն՝ դրանց արժեքները կրկնվում են։ Օրինակ՝ sin x-ի և cos x-ի պարբերականությունը 2πn է, իսկ tg x-ի և ctg x-ի պարբերականությունը՝ πn: Ուստի պատասխանը գրված է հետևյալ կերպ.
• x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn:
• Օրինակ 2.cos x = -1/2. Օգտագործելով փոխակերպման աղյուսակը (կամ հաշվիչ), դուք ստանում եք պատասխանը. x = 2π / 3: Միավոր շրջանագիծը տալիս է մեկ այլ պատասխան՝ -2π / 3:
• x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
• Օրինակ 3.tg (x - π / 4) = 0:
• Պատասխան՝ x = π / 4 + πn:
• Օրինակ 4. ctg 2x = 1.732.
• Պատասխան՝ x = π / 12 + πn:

Տրանսֆորմացիաներ, որոնք օգտագործվում են եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու համար:

• Եռանկյունաչափական հավասարումները փոխակերպելու համար օգտագործեք հանրահաշվական փոխակերպումներ(ֆակտորիզացիա, միատարր տերմինների կրճատում և այլն) և եռանկյունաչափական ինքնություններ։
• Օրինակ 5. Օգտագործելով եռանկյունաչափական նույնականությունները, sin x + sin 2x + sin 3x = 0 հավասարումը վերածվում է 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 հավասարման: Այսպիսով, դուք պետք է լուծեք հետևյալ հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները. cos x = 0; մեղք (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0:

• Անկյունների որոնում ըստ հայտնի արժեքներգործառույթները։

  • Նախքան եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդները սովորելը, դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես գտնել անկյուններ ֆունկցիաների հայտնի արժեքներից: Դա կարելի է անել փոխակերպման աղյուսակի կամ հաշվիչի միջոցով:
  • Օրինակ՝ cos x = 0.732: Հաշվիչը պատասխանը կտա x = 42,95 աստիճան: Միավոր շրջանագիծը կտա լրացուցիչ անկյուններ, որոնց կոսինուսը նույնպես 0,732 է։

• Լուծումը մի կողմ դրեք միավորի շրջանակի վրա:

  • Դուք կարող եք հետաձգել եռանկյունաչափական հավասարման լուծումները միավոր շրջանագծի վրա: Միավոր շրջանագծի վրա եռանկյունաչափական հավասարման լուծումները կանոնավոր բազմանկյան գագաթներն են։
  • Օրինակ. Միավոր շրջանագծի x = π / 3 + πn / 2 լուծումները քառակուսու գագաթներն են:
  • Օրինակ. Միավոր շրջանագծի x = π / 4 + πn / 3 լուծումները ներկայացնում են կանոնավոր վեցանկյան գագաթները:

• Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ.

  • Եթե ​​տրված եռանկյունաչափական հավասարումը պարունակում է միայն մեկը եռանկյունաչափական ֆունկցիա, լուծել այս հավասարումը որպես հիմնական տրիգ հավասարում: Եթե տրված հավասարումըներառում է երկու կամ ավելի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, ապա կա նման հավասարման լուծման 2 մեթոդ (կախված դրա փոխակերպման հնարավորությունից).
    • Մեթոդ 1.
  • Այս հավասարումը փոխարկեք ձևի հավասարման՝ f (x) * g (x) * h (x) = 0, որտեղ f (x), g (x), h (x) հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումներ են:
  • Օրինակ 6.2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Լուծում. Օգտագործելով sin 2x = 2 * sin x * cos x բանաձևը, փոխարինեք sin 2x:
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0: Այժմ լուծեք երկու հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները՝ cos x = 0 և (sin x + 1) = 0:
  • Օրինակ 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Լուծում. Օգտագործելով եռանկյունաչափական նույնականությունները՝ այս հավասարումը փոխակերպեք ձևի հավասարման՝ cos 2x (2cos x + 1) = 0: Այժմ լուծեք երկու հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները՝ cos 2x = 0 և (2cos x + 1) = 0:
  • Օրինակ 8.sin x - sin 3x = cos 2x: (0< x < 2π)
  • Լուծում. Օգտագործելով եռանկյունաչափական նույնականությունները՝ այս հավասարումը վերածեք ձևի հավասարման՝ -cos 2x * (2sin x + 1) = 0: Այժմ լուծեք երկու հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները՝ cos 2x = 0 և (2sin x + 1) = 0 .
    • Մեթոդ 2.
  • Տրված եռանկյունաչափական հավասարումը վերածիր միայն մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա պարունակող հավասարման։ Այնուհետև փոխարինեք այս եռանկյունաչափական ֆունկցիան ինչ-որ անհայտով, օրինակ՝ t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t և այլն):
  • Օրինակ 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Լուծում. Այս հավասարման մեջ (cos ^ 2 x) փոխարինեք (1 - sin ^ 2 x) (ըստ ինքնության): Փոխակերպված հավասարումը հետևյալն է.
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x-ը փոխարինիր t-ով: Այժմ հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը. 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0: Սա քառակուսի հավասարում է երկու արմատներով. t1 = -1 և t2 = 9/5: Երկրորդ արմատը t2 չի բավարարում ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Օրինակ 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
  • Լուծում. tg x-ը փոխարինիր t-ով: Վերաշարադրեք սկզբնական հավասարումը հետևյալ կերպ. (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0: Այժմ գտե՛ք t և ապա գտե՛ք x t = tg x-ի համար:

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ նրա հետ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք հարցում եք թողնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և հաղորդել եզակի առաջարկներ, առաջխաղացումներ և այլ իրադարձություններ և գալիք իրադարձություններ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակներով, ինչպիսիք են աուդիտը, տվյալների վերլուծությունը և տարբեր ուսումնասիրություններմեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ գովազդային միջոցառման, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը այդ ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Եթե ​​անհրաժեշտ է` օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթներում և (կամ) Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա` բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ սոցիալական այլ կարևոր պատճառներով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմին՝ իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Որպեսզի համոզվենք, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք ներկայացնում ենք գաղտնիության և անվտանգության կանոնները մեր աշխատակիցներին և խստորեն վերահսկում ենք գաղտնիության միջոցների իրականացումը:

Պահանջում է եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերի իմացություն՝ սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումար, շոշափողի արտահայտություն սինուսի և կոսինուսի միջոցով և այլն: Նրանց, ովքեր մոռացել են դրանք կամ չգիտեն, խորհուրդ ենք տալիս կարդալ հոդվածը «»:
Այսպիսով, հիմնականը եռանկյունաչափական բանաձևերմենք գիտենք, որ ժամանակն է դրանք կիրառելու գործնականում: Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումճիշտ մոտեցմամբ բավականին հուզիչ գործունեություն է, ինչպես օրինակ Ռուբիկի խորանարդը լուծելը։

Ելնելով հենց անունից՝ պարզ է դառնում, որ եռանկյունաչափական հավասարումը այն հավասարումն է, որում անհայտը գտնվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ։
Կան այսպես կոչված ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումներ։ Ահա թե ինչպես են նրանք նայում՝ sinx = a, cos x = a, tg x = a: Հաշվի առեք ինչպես լուծել նման եռանկյունաչափական հավասարումներ, պարզության համար կօգտագործենք արդեն ծանոթ եռանկյունաչափական շրջանագիծը։

sinx = ա

cos x = a

tg x = a

մահճակալ x = ա

Ցանկացած եռանկյունաչափական հավասարում լուծվում է երկու փուլով. մենք հավասարումը բերում ենք ամենապարզ ձևին և այնուհետև լուծում այն ​​որպես ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարում:
Գոյություն ունեն 7 հիմնական մեթոդ, որոնցով լուծվում են եռանկյունաչափական հավասարումները։

1. Փոփոխական փոխարինման և փոխարինման մեթոդ

Լուծե՛ք 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0 հավասարումը

Օգտագործելով կրճատման բանաձևերը, մենք ստանում ենք.

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

Պարզության համար cos (x + / 6) փոխարինեք y-ով և ստացեք սովորական քառակուսի հավասարումը.

2տ 2 - 3տ + 1 + 0

Ում արմատները y 1 = 1, y 2 = 1/2

Հիմա գնանք հակառակ հերթականությամբ

Մենք փոխարինում ենք գտնված y արժեքները և ստանում ենք երկու պատասխան.

2. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում ֆակտորիզացիայի միջոցով

Ինչպե՞ս լուծել sin x + cos x = 1 հավասարումը:

Տեղափոխեք ամեն ինչ դեպի ձախ, որպեսզի 0-ը մնա աջ կողմում.

sin x + cos x - 1 = 0

Մենք կօգտագործենք վերը նշված նույնականությունները՝ հավասարումը պարզեցնելու համար.

մեղք x - 2 մեղք 2 (x / 2) = 0

Մենք ֆակտորիզացիա ենք անում.

2 sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 մեղք 2 (x / 2) = 0

2 sin (x / 2) * = 0

Մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ

3. Կրճատում միատարր հավասարման

Հավասարումը միատարր է սինուսի և կոսինուսի նկատմամբ, եթե նրա բոլոր անդամները սինուսի և կոսինուսի նկատմամբ նույն անկյան հզորությունն են: Միատարր հավասարումը լուծելու համար գործեք հետևյալ կերպ.

ա) փոխանցել իր բոլոր անդամներին ձախ կողմում.

բ) փակագծերից հանել բոլոր ընդհանուր գործոնները.

գ) բոլոր գործոնները և փակագծերը հավասարեցնել 0-ի.

դ) փակագծերում ստացվում է միատարր հավասարումավելի փոքր չափով այն, իր հերթին, բաժանվում է սինուսով կամ կոսինուսով ամենաբարձր աստիճանով.

ե) լուծել tg-ի ստացված հավասարումը.

Լուծե՛ք 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 հավասարումը

Եկեք օգտագործենք sin 2 x + cos 2 x = 1 բանաձևը և ազատվենք աջ կողմում գտնվող բաց երկուսից.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

մեղք 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Բաժանել cos x-ով.

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tg x-ը փոխարինեք y-ով և ստացեք քառակուսային հավասարում.

y 2 + 4y +3 = 0, որի արմատները y 1 = 1, y 2 = 3

Այստեղից մենք գտնում ենք սկզբնական հավասարման երկու լուծում.

x 2 = արկտան 3 + k

4. Լուծեք հավասարումներ՝ անցնելով կիսանկյունի

Լուծե՛ք 3sin x - 5cos x = 7 հավասարումը

Անցում դեպի x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Տեղափոխեք ամեն ինչ դեպի ձախ.

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

Բաժանել cos-ով (x/2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

5. Ներկայացնելով օժանդակ անկյուն

Դիտարկելու համար վերցրեք ձևի հավասարումը. a sin x + b cos x = c,

որտեղ a, b, c որոշ կամայական գործակիցներ են, իսկ x-ն անհայտ է:

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք.



Այժմ հավասարման գործակիցները, ըստ եռանկյունաչափական բանաձևերի, ունեն sin-ի և cos-ի հատկություններ, այն է՝ դրանց մոդուլը 1-ից ոչ ավել, իսկ քառակուսիների գումարը=1: Նշանակենք դրանք համապատասխանաբար որպես cos և sin, որտեղ է այսպես կոչված օժանդակ անկյունը. Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.

cos * sin x + sin * cos x = С

կամ մեղք (x +) = C

Այս ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարման լուծումն է

x = (-1) k * arcsin С - + k, որտեղ



Նկատի ունեցեք, որ cos-ը և sin-ն օգտագործվում են փոխադարձաբար:

Լուծե՛ք sin 3x - cos 3x = 1 հավասարումը

Այս հավասարման մեջ գործակիցներն են.

a =, b = -1, այնպես որ մենք երկու կողմերը բաժանում ենք = 2-ի

Շատերը մաթեմատիկական խնդիրներ, հատկապես նրանք, որոնք տեղի են ունենում մինչև 10-րդ դասարանը, հստակ սահմանված է կատարված գործողությունների հաջորդականությունը, որոնք կհանգեցնեն նպատակին: Այս առաջադրանքները ներառում են, օրինակ, գծային և քառակուսի հավասարումներ, գծային և քառակուսային անհավասարություններ, կոտորակային հավասարումներ և հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի։ Նշված առաջադրանքներից յուրաքանչյուրի հաջող լուծման սկզբունքը հետևյալն է. անհրաժեշտ է սահմանել, թե ինչ տեսակի խնդիր է պետք լուծել, հիշել գործողությունների անհրաժեշտ հաջորդականությունը, որը կհանգեցնի ցանկալի արդյունքի, այսինքն. պատասխանեք և հետևեք այս քայլերին:

Ակնհայտ է, որ որոշակի խնդրի լուծման հաջողությունը կամ ձախողումը հիմնականում կախված է նրանից, թե որքան ճիշտ է որոշվում լուծվող հավասարման տեսակը, որքան ճիշտ է վերարտադրվում դրա լուծման բոլոր փուլերի հաջորդականությունը: Իհարկե, այս դեպքում դուք պետք է ունենաք կատարման հմտություններ նույնական փոխակերպումներև հաշվողական:

Իրավիճակն այլ է եռանկյունաչափական հավասարումներ.Հավասարման եռանկյունաչափական լինելու փաստը հաստատելն ամենևին էլ դժվար չէ։ Դժվարություններ են առաջանում գործողությունների հաջորդականությունը որոշելիս, որոնք կհանգեցնեն ճիշտ պատասխանին:

Ըստ տեսքըհավասարումը երբեմն դժվար է որոշել դրա տեսակը: Եվ առանց հավասարման տեսակը իմանալու՝ մի քանի տասնյակ եռանկյունաչափական բանաձևերից ճիշտն ընտրելը գրեթե անհնար է։

Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար պետք է փորձել.

1. հավասարման մեջ ներառված բոլոր ֆունկցիաները բերեք «հավասար անկյունների»;
2. հավասարումը բերել «նույն ֆունկցիաներին».
3. գործակից հավասարման ձախ կողմը և այլն:

Հաշվի առեք Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները.

I. Կրճատում մինչև ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Եռանկյունաչափական ֆունկցիան արտահայտել հայտնի բաղադրիչներով:

Քայլ 2.Գտեք ֆունկցիայի փաստարկը բանաձևերով.

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

մեղք x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = արկտան a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Քայլ 3.Գտեք անհայտ փոփոխական:

Օրինակ.

2 cos (3x - π / 4) = -√2:

Լուծում.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2:

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Պատասխան՝ ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Փոփոխական փոխարինում

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկի նկատմամբ հավասարումը բերեք հանրահաշվական ձևի:

Քայլ 2.Ստացված ֆունկցիան նշեք t փոփոխականով (անհրաժեշտության դեպքում սահմանափակումներ մտցրեք t-ի վրա):

Քայլ 3.Դուրս գրի՛ր և լուծի՛ր ստացված հանրահաշվական հավասարումը։

Քայլ 4.Կատարեք հակադարձ փոխարինում:

Քայլ 5.Լուծե՛ք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Օրինակ.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0:

Լուծում.

1) 2 (1 - մեղք 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2 sin 2 (x / 2) + 5 sin (x / 2) + 3 = 0:

2) Թող մեղք (x / 2) = t, որտեղ | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 կամ e = -3/2, չի բավարարում պայմանը | t | ≤ 1.

4) մեղք (x / 2) = 1:

5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = π + 4πn, n Є Z.

III. Հավասարման կարգի կրճատման մեթոդ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Փոխարինեք այս հավասարումը գծայինով, օգտագործելով աստիճանի նվազեցման բանաձևերը.

մեղք 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x):

Քայլ 2.Ստացված հավասարումը լուծե՛ք I և II մեթոդներով:

Օրինակ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4:

Լուծում.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4:

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Միատարր հավասարումներ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Այս հավասարումը բերեք ձևի

ա) a sin x + b cos x = 0 (առաջին աստիճանի միատարր հավասարում)

կամ մտքում

բ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարում).

Քայլ 2.Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք

ա) cos x ≠ 0;

բ) cos 2 x ≠ 0;

և ստացիր tg x-ի հավասարումը.

ա) a tg x + b = 0;

բ) a tg 2 x + b arctan x + c = 0:

Քայլ 3.Լուծե՛ք հավասարումը հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0:

Լուծում.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0:

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0:

3) Թող tg x = t, ապա

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 կամ t = -4, այսպես

tg x = 1 կամ tg x = -4:

Առաջին հավասարումից x = π / 4 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Եռանկյունաչափական բանաձևերի միջոցով հավասարման փոխակերպման մեթոդ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Օգտագործելով բոլոր տեսակի եռանկյունաչափական բանաձևերը, բերեք այս հավասարումը I, II, III, IV մեթոդներով լուծված հավասարմանը:

Քայլ 2.Ստացված հավասարումը լուծե՛ք հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ.

մեղք x + մեղք 2x + մեղք 3x = 0:

Լուծում.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0:

2) մեղք 2x (2cos x + 1) = 0;

մեղք 2x = 0 կամ 2cos x + 1 = 0;

Առաջին հավասարումից 2x = π / 2 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից cos x = -1/2.

Մենք ունենք x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Արդյունքում, x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու հմտություններն ու հմտությունները շատ են կարևոր է, որ դրանց զարգացումը զգալի ջանքեր է պահանջում ինչպես աշակերտի, այնպես էլ ուսուցչի կողմից:

Ստերեոմետրիայի, ֆիզիկայի և այլնի բազմաթիվ խնդիրներ կապված են եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հետ, նման խնդիրների լուծման գործընթացը, ասես, պարունակում է բազմաթիվ գիտելիքներ և հմտություններ, որոնք ձեռք են բերվում եռանկյունաչափության տարրերն ուսումնասիրելիս։

Եռանկյունաչափական հավասարումներկարևոր տեղ են գրավում մաթեմատիկայի և ընդհանրապես անձի զարգացման ուսուցման գործընթացում։

Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք, թե ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:
Ուսուցիչից օգնություն ստանալու համար -.
Առաջին դասն անվճար է։

բլոգի կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Շատերը մաթեմատիկական խնդիրներ, հատկապես նրանք, որոնք տեղի են ունենում մինչև 10-րդ դասարանը, հստակ սահմանված է կատարված գործողությունների հաջորդականությունը, որոնք կհանգեցնեն նպատակին: Նման խնդիրները ներառում են, օրինակ, գծային և քառակուսային հավասարումներ, գծային և քառակուսային անհավասարումներ, կոտորակային հավասարումներ և հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի: Նշված առաջադրանքներից յուրաքանչյուրի հաջող լուծման սկզբունքը հետևյալն է. անհրաժեշտ է սահմանել, թե ինչ տեսակի խնդիր է պետք լուծել, հիշել գործողությունների անհրաժեշտ հաջորդականությունը, որը կհանգեցնի ցանկալի արդյունքի, այսինքն. պատասխանեք և հետևեք այս քայլերին:

Ակնհայտ է, որ որոշակի խնդրի լուծման հաջողությունը կամ ձախողումը հիմնականում կախված է նրանից, թե որքան ճիշտ է որոշվում լուծվող հավասարման տեսակը, որքան ճիշտ է վերարտադրվում դրա լուծման բոլոր փուլերի հաջորդականությունը: Իհարկե, անհրաժեշտ է ունենալ նույնական փոխակերպումներ և հաշվարկներ կատարելու հմտություններ։

Իրավիճակն այլ է եռանկյունաչափական հավասարումներ.Հավասարման եռանկյունաչափական լինելու փաստը հաստատելն ամենևին էլ դժվար չէ։ Դժվարություններ են առաջանում գործողությունների հաջորդականությունը որոշելիս, որոնք կհանգեցնեն ճիշտ պատասխանին:

Հավասարումների տեսքը երբեմն կարող է դժվար լինել որոշել դրա տեսակը: Եվ առանց հավասարման տեսակը իմանալու՝ մի քանի տասնյակ եռանկյունաչափական բանաձևերից ճիշտն ընտրելը գրեթե անհնար է։

Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար պետք է փորձել.

1. հավասարման մեջ ներառված բոլոր ֆունկցիաները բերեք «հավասար անկյունների»;
2. հավասարումը բերել «նույն ֆունկցիաներին».
3. գործակից հավասարման ձախ կողմը և այլն:

Հաշվի առեք Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները.

I. Կրճատում մինչև ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Եռանկյունաչափական ֆունկցիան արտահայտել հայտնի բաղադրիչներով:

Քայլ 2.Գտեք ֆունկցիայի փաստարկը բանաձևերով.

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

մեղք x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = արկտան a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Քայլ 3.Գտեք անհայտ փոփոխական:

Օրինակ.

2 cos (3x - π / 4) = -√2:

Լուծում.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2:

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Պատասխան՝ ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Փոփոխական փոխարինում

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկի նկատմամբ հավասարումը բերեք հանրահաշվական ձևի:

Քայլ 2.Ստացված ֆունկցիան նշեք t փոփոխականով (անհրաժեշտության դեպքում սահմանափակումներ մտցրեք t-ի վրա):

Քայլ 3.Դուրս գրի՛ր և լուծի՛ր ստացված հանրահաշվական հավասարումը։

Քայլ 4.Կատարեք հակադարձ փոխարինում:

Քայլ 5.Լուծե՛ք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Օրինակ.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0:

Լուծում.

1) 2 (1 - մեղք 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2 sin 2 (x / 2) + 5 sin (x / 2) + 3 = 0:

2) Թող մեղք (x / 2) = t, որտեղ | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 կամ e = -3/2, չի բավարարում պայմանը | t | ≤ 1.

4) մեղք (x / 2) = 1:

5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = π + 4πn, n Є Z.

III. Հավասարման կարգի կրճատման մեթոդ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Փոխարինեք այս հավասարումը գծայինով, օգտագործելով աստիճանի նվազեցման բանաձևերը.

մեղք 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x):

Քայլ 2.Ստացված հավասարումը լուծե՛ք I և II մեթոդներով:

Օրինակ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4:

Լուծում.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4:

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Միատարր հավասարումներ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Այս հավասարումը բերեք ձևի

ա) a sin x + b cos x = 0 (առաջին աստիճանի միատարր հավասարում)

կամ մտքում

բ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարում).

Քայլ 2.Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք

ա) cos x ≠ 0;

բ) cos 2 x ≠ 0;

և ստացիր tg x-ի հավասարումը.

ա) a tg x + b = 0;

բ) a tg 2 x + b arctan x + c = 0:

Քայլ 3.Լուծե՛ք հավասարումը հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0:

Լուծում.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0:

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0:

3) Թող tg x = t, ապա

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 կամ t = -4, այսպես

tg x = 1 կամ tg x = -4:

Առաջին հավասարումից x = π / 4 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Եռանկյունաչափական բանաձևերի միջոցով հավասարման փոխակերպման մեթոդ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Օգտագործելով բոլոր տեսակի եռանկյունաչափական բանաձևերը, բերեք այս հավասարումը I, II, III, IV մեթոդներով լուծված հավասարմանը:

Քայլ 2.Ստացված հավասարումը լուծե՛ք հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ.

մեղք x + մեղք 2x + մեղք 3x = 0:

Լուծում.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0:

2) մեղք 2x (2cos x + 1) = 0;

մեղք 2x = 0 կամ 2cos x + 1 = 0;

Առաջին հավասարումից 2x = π / 2 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից cos x = -1/2.

Մենք ունենք x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Արդյունքում, x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու հմտություններն ու հմտությունները շատ են կարևոր է, որ դրանց զարգացումը զգալի ջանքեր է պահանջում ինչպես աշակերտի, այնպես էլ ուսուցչի կողմից:

Ստերեոմետրիայի, ֆիզիկայի և այլնի բազմաթիվ խնդիրներ կապված են եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հետ, նման խնդիրների լուծման գործընթացը, ասես, պարունակում է բազմաթիվ գիտելիքներ և հմտություններ, որոնք ձեռք են բերվում եռանկյունաչափության տարրերն ուսումնասիրելիս։

Եռանկյունաչափական հավասարումները կարևոր դեր են խաղում մաթեմատիկայի ուսուցման և ընդհանրապես անձի զարգացման գործընթացում։

Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք, թե ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:
Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք:
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է: