Թվաբանական պրոգրեսիայով հավասար է n-ին: Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը
Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներ
Տեսական տեղեկատվություն
Տեսական տեղեկատվություն
Թվաբանական առաջընթաց |
Երկրաչափական առաջընթաց |
|
Սահմանում |
Թվաբանական առաջընթաց a nկոչվում է հաջորդականություն, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նույն թվով ավելացված նախորդ անդամին. դ (դ- առաջընթացների տարբերություն) |
Երկրաչափական առաջընթաց b nոչ զրոյական թվերի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ անդամին բազմապատկած նույն թվով. ք (քառաջընթացի հայտարարն է) |
Կրկնվող բանաձեւ |
Ցանկացած բնականի համար n |
Ցանկացած բնականի համար n |
N-րդ տերմինի բանաձևը |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Բնութագրական հատկություն |  |
|
| n-առաջին անդամների գումարը |  |
 |
Առաջադրանքների օրինակներ մեկնաբանություններով
Վարժություն 1
Թվաբանական առաջընթացով ( a n) ա 1 = -6, ա 2
n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
ա 22 = ա 1+ d (22 - 1) = ա 1+ 21 դ
Ըստ պայմանի.
ա 1= -6, ուրեմն ա 22= -6 + 21 դ.
Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.
դ = ա 2 - ա 1 = -8 – (-6) = -2
ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Պատասխան. ա 22 = -48.
Առաջադրանք 2
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը՝ -3; 6; ....
1-ին ճանապարհ (օգտագործելով n-տերմինի բանաձևը)
Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Որովհետեւ բ 1 = -3,
2-րդ ճանապարհ (կրկնվող բանաձևի օգտագործմամբ)
Քանի որ պրոգրեսիայի հայտարարը -2 է (q = -2), ապա.
բ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
բ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
բ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Պատասխան. բ 5 = -48.
Առաջադրանք 3
Թվաբանական առաջընթացով ( ա ժդ) 74 = 34; ա 76= 156. Գտե՛ք այս առաջընթացի յոթանասունհինգերորդ անդամը:
Թվաբանական առաջընթացի համար բնորոշ հատկությունն է 
.
Հետևաբար.
.
Տվյալները փոխարինենք բանաձևով.
Պատասխան՝ 95։
Առաջադրանք 4
Թվաբանական առաջընթացով ( a n) a n= 3n - 4. Գտե՛ք առաջին տասնյոթ անդամների գումարը:
Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n տերմինների գումարը գտնելու համար օգտագործվում են երկու բանաձև.
.
Դրանցից որն է ավելի հարմար օգտագործել այս դեպքում:
Ըստ պայմանի, հայտնի է սկզբնական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը ( a n) a n= 3n - 4. Դուք կարող եք անմիջապես գտնել եւ ա 1, և ա 16առանց գտնելու դ. Հետեւաբար, մենք կօգտագործենք առաջին բանաձեւը.
Պատասխան՝ 368։
Առաջադրանք 5
Թվաբանական առաջընթացով ( a n) ա 1 = -6; ա 2= -8. Գտի՛ր առաջընթացի քսաներկրորդ անդամը:
n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
ա 22 = ա 1 + դ (22 – 1) = ա 1+ 21 դ.
Պայմանով, եթե ա 1= -6, ապա ա 22= -6 + 21դ. Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.
դ = ա 2 - ա 1 = -8 – (-6) = -2
ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Պատասխան. ա 22 = -48.
Առաջադրանք 6
Երկրաչափական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամներ գրված են.
Գտե՛ք եզրը x տառով նշված պրոգրեսիայի մեջ:
Լուծելիս օգտագործում ենք n-րդ անդամի բանաձևը b n = b 1 ∙ q n - 1երկրաչափական առաջընթացների համար. Առաջընթացի առաջին անդամը. q պրոգրեսիայի հայտարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է վերցնել պրոգրեսիայի տրված անդամներից որևէ մեկը և բաժանել նախորդի վրա։ Մեր օրինակում կարող եք վերցնել և բաժանել: Մենք ստանում ենք q = 3: Բանաձևում n-ի փոխարեն փոխարինում ենք 3-ով, քանի որ անհրաժեշտ է գտնել երկրաչափական պրոգրեսիայով տրված երրորդ անդամը:
Գտնված արժեքները բանաձևի մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք.
.
Պատասխան.
Առաջադրանք 7
n-րդ անդամի բանաձևով տրված թվաբանական առաջընթացներից ընտրե՛ք այն մեկը, որի համար պայմանը ա 27 > 9:
Քանի որ տվյալ պայմանը պետք է կատարվի պրոգրեսիայի 27-րդ անդամի համար, չորս առաջընթացներից յուրաքանչյուրում n-ի փոխարեն փոխարինում ենք 27-ը։ 4-րդ առաջընթացում մենք ստանում ենք.
.
Պատասխան՝ 4.
Առաջադրանք 8
Թվաբանական առաջընթացի մեջ ա 1= 3, d = -1,5: Նշեք ամենամեծ n արժեքը, որը բավարարում է անհավասարությունը a n > -6.
I. V. Yakovlev | Մաթեմատիկայի նյութեր | MathUs.ru
Թվաբանական առաջընթաց
Թվաբանական առաջընթացը հատուկ տեսակի հաջորդականություն է: Հետևաբար, նախքան թվաբանական (և այնուհետև երկրաչափական) առաջընթացը սահմանելը, մենք պետք է համառոտ քննարկենք թվային հաջորդականության կարևոր հասկացությունը:
Ենթահաջորդականություն
Պատկերացրեք մի սարք, որի էկրանին մեկը մյուսի հետևից որոշ թվեր են ցուցադրվում։ Ասենք 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; ::: Թվերի այս հավաքածուն ընդամենը հաջորդականության օրինակ է։
Սահմանում. Թվային հաջորդականությունը թվերի մի շարք է, որտեղ յուրաքանչյուր թվի կարող է վերագրվել եզակի թիվ (այսինքն՝ միացնել մեկ բնական թիվ) 1. n թիվը կոչվում է հաջորդականության n-րդ անդամ։
Այսպիսով, վերը նշված օրինակում առաջին համարն ունի 2 թիվը, սա հաջորդականության առաջին անդամն է, որը կարելի է նշանակել a1; հինգը ունի թիվ 6, սա հաջորդականության հինգերորդ անդամն է, որը կարելի է նշանակել a5: Ընդհանուր առմամբ, հաջորդականության n-րդ անդամը նշանակվում է an (կամ bn, cn և այլն):
Իրավիճակը շատ հարմար է, երբ հաջորդականության n-րդ անդամը կարելի է ճշտել ինչ-որ բանաձևով։ Օրինակ, an = 2n 3 բանաձեւը սահմանում է հաջորդականությունը՝ 1; 1; 3; 5; 7; ::: an = (1) n բանաձևը սահմանում է հաջորդականությունը՝ 1; 1; 1; 1; :::
Թվերի ամեն մի շարք չէ, որ հաջորդականություն է: Այսպիսով, հատվածը հաջորդականություն չէ. այն պարունակում է «չափազանց շատ» թվեր, որոնք պետք է վերահամարակալվեն: Բոլոր իրական թվերի R բազմությունը նույնպես հաջորդականություն չէ։ Այս փաստերն ապացուցվում են մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքում։
Թվաբանական առաջընթաց. հիմնական սահմանումներ
Այժմ մենք պատրաստ ենք սահմանել թվաբանական պրոգրեսիա։
Սահմանում. Թվաբանական առաջընթացը հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ (սկսած երկրորդից) հավասար է նախորդ անդամի գումարին և որոշ հաստատուն թվին (կոչվում է թվաբանական առաջընթացի տարբերություն)։
Օրինակ, հաջորդականությունը 2; 5; ութ; տասնմեկ; ::: թվաբանական պրոգրեսիա է առաջին անդամ 2-ով և 3 տարբերությամբ: Հերթականություն 7; 2; 3; ութ; ::: թվաբանական պրոգրեսիա է առաջին անդամ 7-ով և 5-ով տարբերությամբ: Հաջորդականություն 3; 3; 3; ::: զրոյական տարբերությամբ թվաբանական պրոգրեսիա է։
Համարժեք սահմանում. an հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական առաջընթաց, եթե an + 1 an տարբերությունը հաստատուն արժեք է (n-ից անկախ):
Թվաբանական առաջընթացը կոչվում է աճող, եթե դրա տարբերությունը դրական է, և նվազում, եթե տարբերությունը բացասական է:
1 Եվ ահա ավելի լակոնիկ սահմանում. հաջորդականությունը բնական թվերի բազմության վրա սահմանված ֆունկցիա է: Օրինակ՝ իրական թվերի հաջորդականությունը f ֆունկցիան է՝ N! Ռ.
Լռելյայնորեն հաջորդականությունները համարվում են անսահման, այսինքն՝ պարունակում են անսահման թվով թվեր։ Բայց ոչ ոք չի խանգարում դիտարկել նաև վերջավոր հաջորդականությունները. իրականում թվերի ցանկացած վերջավոր բազմություն կարելի է անվանել վերջավոր հաջորդականություն: Օրինակ, վերջնական հաջորդականությունը 1 է; 2; 3; 4; 5-ը բաղկացած է հինգ թվերից։
Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը
Հեշտ է հասկանալ, որ թվաբանական առաջընթացն ամբողջությամբ որոշվում է երկու թվով՝ առաջին անդամ և տարբերություն։ Ուստի հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս, իմանալով առաջին անդամը և տարբերությունը, գտնել թվաբանական պրոգրեսիայի կամայական անդամ։
Դժվար չէ ստանալ թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի պահանջվող բանաձևը։ Թող ան
թվաբանական պրոգրեսիա տարբերությամբ դ. Մենք ունենք: | |
an + 1 = an + d (n = 1; 2;:: :): | |
Մասնավորապես գրում ենք. | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
և այժմ պարզ է դառնում, որ բանաձևը հետևյալն է. | |
an = a1 + (n 1) d: |
Խնդիր 1. Թվաբանական առաջընթացում 2; 5; ութ; տասնմեկ; ::: գտե՛ք n-րդ անդամի բանաձևը և հաշվարկե՛ք հարյուրերորդ անդամը։
Լուծում. Համաձայն բանաձևի (1) մենք ունենք.
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Թվաբանական առաջընթացի հատկությունն ու նշանը
Թվաբանական առաջընթացի հատկություն. Թվաբանական առաջընթացում կամ ցանկացածի համար
Այսինքն՝ թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ (սկսած երկրորդից) հարևան անդամների թվաբանական միջինն է։
Ապացույց. Մենք ունենք: | ||||
a n 1+ a n + 1 | (ան դ) + (ան + դ) | |||
ինչպես պահանջվում է:
Ավելի ընդհանուր առմամբ, թվաբանական առաջընթացը բավարարում է հավասարությանը
a n = a n k + a n + k
ցանկացած n> 2-ի և ցանկացած բնական k-ի համար< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Ստացվում է, որ (2) բանաձևը ոչ միայն անհրաժեշտ, այլև բավարար պայման է, որպեսզի հաջորդականությունը լինի թվաբանական պրոգրեսիա։
Թվաբանական առաջընթացի նշան: Եթե հավասարությունը (2) պահպանվում է բոլոր n> 2-ի համար, ապա an հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է:
Ապացույց. Վերաշարադրենք (2) բանաձևը հետևյալ կերպ.
a na n 1 = a n + 1a n:
Սա ցույց է տալիս, որ an + 1 an տարբերությունը կախված չէ n-ից, և սա պարզապես նշանակում է, որ an հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է:
Թվաբանական առաջընթացի հատկությունն ու հատկանիշը կարելի է ձևակերպել որպես մեկ դրույթ. Հարմարության համար մենք դա կանենք երեք թվի համար (սա այն իրավիճակն է, որը հաճախ հանդիպում է խնդիրների դեպքում):
Թվաբանական առաջընթացի բնութագրում. Երեք a, b, c թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց, եթե և միայն այն դեպքում, եթե 2b = a + c:
Խնդիր 2. (Մոսկվայի պետական համալսարան, տնտեսագիտության ֆակուլտետ, 2007 թ.) Նշված հերթականությամբ երեք թվեր 8x, 3 x2 և 4 կազմում են նվազող թվաբանական առաջընթաց: Գտե՛ք x և նշե՛ք այս առաջընթացի տարբերությունը։
Լուծում. Թվաբանական առաջընթացի հատկությամբ մենք ունենք.
2 (3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:
Եթե x = 1, ապա մենք ստանում ենք նվազող առաջընթաց 8, 2, 4 6 տարբերությամբ: Եթե x = 5, ապա մենք ստանում ենք աճող առաջընթաց 40, 22, 4; այս դեպքը լավ չէ.
Պատասխան՝ x = 1, տարբերությունը 6 է։
Թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարը
Լեգենդն ասում է, որ մի անգամ ուսուցիչը երեխաներին ասել է, որ գտնեն 1-ից 100 թվերի գումարը և նստեց հանգիստ թերթը կարդալու: Սակայն մի քանի րոպե չանցած մի տղա ասաց, որ ինքը լուծել է խնդիրը։ Դա 9-ամյա Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսն էր՝ հետագայում պատմության մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը։
Փոքրիկ Գաուսի գաղափարը սա էր. Թող լինի
S = 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:
Այս գումարը գրենք հակառակ հերթականությամբ.
S = 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1;
և ավելացրեք այս երկու բանաձևերը.
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Փակագծերում տրված յուրաքանչյուր անդամ հավասար է 101-ի, և ընդհանուր առմամբ կա 100 այդպիսի անդամ։
2S = 101 100 = 10100;
Մենք օգտագործում ենք այս գաղափարը գումարի բանաձևը ստանալու համար
S = a1 + a2 +::: + an + a n n: (3)
(3) բանաձևի օգտակար փոփոխությունը ստացվում է՝ փոխարինելով n-րդ տերմինը an = a1 + (n 1) d բանաձևը դրանում.
2a1 + (n 1) դ | |||||
Խնդիր 3. Գտե՛ք 13-ի բաժանվող բոլոր դրական եռանիշ թվերի գումարը:
Լուծում. Եռանիշ թվերը, 13-ի բազմապատիկները, կազմում են թվաբանական առաջընթաց առաջին անդամով 104 և տարբերությամբ 13; Այս առաջընթացի n-րդ տերմինը հետևյալն է.
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
Եկեք պարզենք, թե քանի անդամ է պարունակում մեր առաջընթացը: Դա անելու համար մենք լուծում ենք անհավասարությունը.
an 6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Այսպիսով, մեր առաջընթացում կա 69 անդամ։ Օգտագործելով (4) բանաձևը, մենք գտնում ենք պահանջվող գումարը.
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Թվաբանական առաջընթացկոչվում է թվերի հաջորդականություն (առաջընթացի անդամներ)
Որում յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը նախորդից տարբերվում է նոր տերմինով, որը նաև կոչվում է քայլի կամ առաջընթացի տարբերություն.
Այսպիսով, սահմանելով առաջընթացի քայլը և դրա առաջին անդամը, կարող եք գտնել դրա ցանկացած տարր ըստ բանաձևի
Թվաբանական առաջընթացի հատկությունները
1) Թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդ թվից, առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամի թվաբանական միջինն է.
Ճիշտ է նաև հակառակը. Եթե պրոգրեսիայի հարակից կենտ (զույգ) անդամների թվաբանական միջինը հավասար է նրանց միջև եղած տերմինին, ապա թվերի այս հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է։ Այս հայտարարությունը շատ հեշտ է դարձնում ցանկացած հաջորդականության ստուգումը:
Նաև, ըստ թվաբանական առաջընթացի հատկության, վերը նշված բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել հետևյալի վրա
Սա հեշտ է ստուգել, եթե մենք դուրս գրենք պայմանները հավասար նշանի աջ կողմում
Այն հաճախ օգտագործվում է պրակտիկայում խնդիրներում հաշվարկները պարզեցնելու համար:
2) Թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարը հաշվարկվում է բանաձևով
Լավ հիշեք թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևը, այն անփոխարինելի է հաշվարկների համար և բավականին տարածված է պարզ կյանքի իրավիճակներում։
3) Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել ոչ թե ամբողջ գումարը, այլ հաջորդականության մի մասը, որը սկսվում է k-րդ անդամից, ապա օգտակար կլինի հետևյալ գումարի բանաձևը.
4) Գործնական հետաքրքրություն է ներկայացնում k-րդ թվից սկսած թվաբանական պրոգրեսիայի n անդամների գումարը գտնելը: Դա անելու համար օգտագործեք բանաձևը
Սա ավարտում է տեսական նյութը և անցնում գործնականում ընդհանուր խնդիրների լուծմանը:
Օրինակ 1. Գտե՛ք թվաբանական առաջընթացի քառասուներորդ անդամը 4; 7; ...
Լուծում:
Ըստ պայմանի՝ ունենք
Որոշեք առաջընթացի քայլը
Օգտագործելով հայտնի բանաձևը, մենք գտնում ենք առաջընթացի քառասուներորդ անդամը
Օրինակ 2. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է նրա երրորդ և յոթերորդ անդամներով։ Գտե՛ք առաջընթացի առաջին անդամը և տասը գումարը:
Լուծում:
Բանաձևերով դուրս գրենք առաջընթացի տրված տարրերը
Առաջինը հանում ենք երկրորդ հավասարումից, արդյունքում գտնում ենք առաջընթացի քայլը
Մենք գտնված արժեքը փոխարինում ենք հավասարումներից որևէ մեկի մեջ՝ թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը գտնելու համար
Մենք հաշվարկում ենք պրոգրեսիայի առաջին տասը անդամների գումարը
Առանց բարդ հաշվարկների օգտագործման՝ մենք գտանք բոլոր անհրաժեշտ արժեքները։
Օրինակ 3. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հայտարարի և նրա անդամներից մեկի կողմից: Գտե՛ք առաջընթացի առաջին անդամը, նրա 50 անդամների գումարը 50-ով սկսվող և առաջին 100-ի գումարը:
Լուծում:
Գրենք պրոգրեսիայի հարյուրերորդ տարրի բանաձևը
և գտիր առաջինը
Առաջինի հիման վրա մենք գտնում ենք առաջընթացի 50 տերմինը
Գտե՛ք առաջընթացի մասի գումարը
և առաջին 100-ի գումարը
Առաջընթացի ընդհանուր թիվը 250 է։
Օրինակ 4.
Գտեք թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների թիվը, եթե.
a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111:
Լուծում:
Հավասարումները գրում ենք առաջին անդամի և առաջընթացի քայլով և սահմանում դրանք
Ստացված արժեքները փոխարինում ենք գումարի բանաձևով՝ գումարում անդամների թիվը որոշելու համար
Պարզեցումների կատարում
և լուծել քառակուսի հավասարումը
Խնդրի պայմանի համար հայտնաբերված երկու արժեքներից միայն 8 համարն է հարմար: Այսպիսով, առաջընթացի առաջին ութ անդամների գումարը 111 է։
Օրինակ 5.
Լուծե՛ք հավասարումը
1 + 3 + 5 + ... + x = 307:
Լուծում. Այս հավասարումը թվաբանական պրոգրեսիայի գումարն է: Եկեք դուրս գրենք դրա առաջին անդամը և գտնենք առաջընթացի տարբերությունը
Թվաբանական առաջընթացի խնդիրներ կային արդեն հին ժամանակներում։ Հայտնվեցին ու լուծում պահանջեցին, քանի որ գործնական կարիք ունեին։
Այսպիսով, Հին Եգիպտոսի պապիրուսներից մեկում, որն ունի մաթեմատիկական բովանդակություն՝ Ռինդի պապիրուսը (մ. - չափի ութերորդը.
Իսկ հին հույների մաթեմատիկական աշխատություններում կան էլեգանտ թեորեմներ՝ կապված թվաբանական պրոգրեսիայի հետ։ Այսպիսով, Ալեքսանդրիայի հիպսիկները (II դար, որը շատ հետաքրքիր խնդիրներ է կազմել և Էվկլիդեսի «Սկզբունքներին» ավելացրել է տասնչորսերորդ գիրքը, ձևակերպել է միտքը. «Զույգ թվով անդամներ ունեցող թվաբանական առաջընթացում երկրորդի անդամների գումարը կեսը մեծ է առաջին կեսի անդամների գումարից յուրաքանչյուր քառակուսի անդամների թվի 1/2-ի համար»:
Հերթականությունը նշվում է an-ով: Հերթականության համարները կոչվում են նրա անդամներ և սովորաբար նշվում են ցուցիչներով տառերով, որոնք ցույց են տալիս այս անդամի հերթական համարը (a1, a2, a3 ... կարդալ՝ «a 1st», «a 2nd», «a 3rd» և այլն):
Հերթականությունը կարող է լինել անվերջ կամ վերջավոր:
Ի՞նչ է թվաբանական առաջընթացը: Դա հասկացվում է որպես նախորդ անդամ (n) գումարելով նույն d թվով, որը պրոգրեսիայի տարբերությունն է:
Եթե դ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, ապա նման առաջընթացը համարվում է աճող:
Թվաբանական առաջընթացը կոչվում է վերջավոր, եթե հաշվի են առնվում նրա առաջին անդամներից մի քանիսը: Շատ մեծ թվով անդամներով սա արդեն անվերջ առաջընթաց է:
Ցանկացած թվաբանական առաջընթաց նշվում է հետևյալ բանաձևով.
an = kn + b, մինչդեռ b և k որոշ թվեր են:
Հակառակ պնդումը բացարձակապես ճիշտ է. եթե հաջորդականությունը տրված է նմանատիպ բանաձևով, ապա դա հենց թվաբանական պրոգրեսիա է, որն ունի հետևյալ հատկությունները.
- Առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ նախորդ և հաջորդ անդամի միջին թվաբանականն է:
- Հակառակը. եթե 2-րդից սկսած յուրաքանչյուր անդամ նախորդ և հաջորդ անդամի միջին թվաբանականն է, այսինքն. եթե պայմանը բավարարված է, ապա այս հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է: Այս հավասարությունը նույնպես պրոգրեսիայի նշան է, ուստի այն սովորաբար անվանում են պրոգրեսիայի բնորոշ հատկություն։
Նույն կերպ ճշմարիտ է այն թեորեմը, որն արտացոլում է այս հատկությունը. հաջորդականությունը թվաբանական առաջընթաց է միայն այն դեպքում, եթե այս հավասարությունը ճիշտ է հաջորդականության անդամներից որևէ մեկի համար՝ սկսած 2-րդից:
Թվաբանական առաջընթացի ցանկացած չորս թվերի բնորոշ հատկությունը կարող է արտահայտվել an + am = ak + al բանաձևով, եթե n + m = k + l (m, n, k պրոգրեսիայի թվերն են):
Թվաբանական առաջընթացում ցանկացած պահանջվող (N-րդ) տերմին կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևով.
Օրինակ՝ թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը (a1) տրված է և հավասար է երեքի, իսկ (d) տարբերությունը հավասար է չորսի։ Դուք պետք է գտնեք այս առաջընթացի քառասունհինգերորդ անդամը: a45 = 1 + 4 (45-1) = 177
Բանաձևը an = ak + d (n - k) թույլ է տալիս որոշել թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամը նրա kth անդամներից որևէ մեկի միջոցով, պայմանով, որ այն հայտնի է:
Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը (նկատի ունի վերջնական առաջընթացի 1-ին n անդամները) հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
Sn = (a1 + an) n / 2:
Եթե առաջին տերմինը նույնպես հայտնի է, ապա հաշվարկի համար հարմար է մեկ այլ բանաձև.
Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.
Թվաբանական առաջընթացի գումարը, որը պարունակում է n անդամ, հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
Հաշվարկների համար բանաձևերի ընտրությունը կախված է խնդիրների պայմաններից և նախնական տվյալներից:
Ցանկացած թվերի բնական շարքը, ինչպիսիք են 1,2,3, ..., n, ... թվաբանական առաջընթացի ամենապարզ օրինակն է:
Բացի թվաբանական առաջընթացից, կա նաև երկրաչափական, որն ունի իր առանձնահատկություններն ու առանձնահատկությունները։
Առցանց հաշվիչ.
Թվաբանական առաջընթացի լուծում.
Տրված է՝ a n, d, n
Գտեք՝ a 1
Այս մաթեմատիկական ծրագիրը գտնում է \ (a_1 \) թվաբանական առաջընթացը՝ հիմնված օգտագործողի կողմից նշված \ (a_n, d \) և \ (n \) թվերի վրա:
\ (a_n \) և \ (d \) թվերը կարելի է նշել ոչ միայն ամբողջական, այլև կոտորակային: Ավելին, կոտորակային թիվը կարող է մուտքագրվել որպես տասնորդական կոտորակ (\ (2.5 \)) և որպես սովորական կոտորակ (\ (- 5 \ ֆրակ (2) (7) \)):
Ծրագիրը ոչ միայն պատասխան է տալիս խնդրին, այլեւ ցուցադրում է լուծում գտնելու գործընթացը։
Այս առցանց հաշվիչը կարող է օգտակար լինել միջնակարգ դպրոցների ավագ աշակերտների համար՝ թեստերին և քննություններին նախապատրաստվելիս, քննությունից առաջ գիտելիքները ստուգելիս, որպեսզի ծնողները վերահսկեն մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը: Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է կրկնուսույց վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք հնարավորինս արագ կատարել ձեր մաթեմատիկայի կամ հանրահաշվի տնային աշխատանքները: Այս դեպքում դուք կարող եք նաև օգտագործել մեր ծրագրերը մանրամասն լուծումով:
Այսպիսով, դուք կարող եք վարել ձեր սեփական ուսուցումը և/կամ ուսուցանել ձեր կրտսեր եղբայրներին կամ քույրերին, մինչդեռ լուծվող խնդիրների ոլորտում կրթության մակարդակը բարձրանում է։
Եթե ծանոթ չեք թվերի մուտքագրման կանոններին, խորհուրդ ենք տալիս ծանոթանալ դրանց։
Համարների մուտքագրման կանոններ
\ (a_n \) և \ (d \) թվերը կարելի է նշել ոչ միայն ամբողջական, այլև կոտորակային:
\ (n \) թիվը կարող է լինել միայն դրական ամբողջ թիվ:
Տասնորդական կոտորակներ մուտքագրելու կանոններ.
Ամբողջական և կոտորակային մասերը տասնորդական կոտորակներում կարելի է բաժանել կամ վերջակետով կամ ստորակետով:
Օրինակ, դուք կարող եք մուտքագրել տասնորդական կոտորակներ, ինչպիսիք են 2.5 կամ այնքան 2.5
Սովորական կոտորակներ մուտքագրելու կանոններ.
Միայն ամբողջ թիվը կարող է օգտագործվել որպես կոտորակի համարիչ, հայտարար և ամբողջ մաս:
Հայտարարը չի կարող բացասական լինել:
Թվային կոտորակ մուտքագրելիս համարիչը հայտարարից բաժանվում է բաժանման նշանով. /
Մուտքագրում:
Արդյունք՝ \ (- \ ֆրակ (2) (3) \)
Ամբողջ մասը բաժանված է կոտորակից ամպերսանդով. &
Մուտքագրում:
Արդյունք՝ \ (- 1 \ ֆրակ (2) (3) \)
Պարզվել է, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հավանաբար դուք միացված եք AdBlock-ը:
Այս դեպքում անջատեք այն և թարմացրեք էջը։
Որպեսզի լուծումը հայտնվի, դուք պետք է միացնեք JavaScript-ը:
Ահա հրահանգներ, թե ինչպես միացնել JavaScript-ը ձեր բրաուզերում:
Որովհետեւ Խնդիրը լուծել ցանկացողները շատ են, ձեր խնդրանքը հերթագրված է։
Մի քանի վայրկյան հետո լուծումը կհայտնվի ստորև։
Սպասիր, խնդրում եմ վրկ...
Եթե դու որոշման մեջ սխալ է նկատել, ապա այս մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևաթղթում։
Չմոռանաս նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք և ինչ մտնել դաշտերում.
Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.
Մի քիչ տեսություն.
Թվերի հաջորդականություն
Կենցաղային պրակտիկայում տարբեր առարկաների համարակալումը հաճախ օգտագործվում է դրանց դասավորության հերթականությունը նշելու համար։ Օրինակ, յուրաքանչյուր փողոցի տները համարակալված են: Ընթերցողների բաժանորդագրությունները համարակալվում են գրադարանում, այնուհետև դասավորվում են հատուկ քարտերի ինդեքսներում հատկացված համարների հերթականությամբ:
Խնայբանկում, ավանդատուի անձնական հաշվի համարով, հեշտությամբ կարող եք գտնել այս հաշիվը և տեսնել, թե ինչ ավանդ կա դրա վրա: Թող 1-ին հաշիվը պարունակի a1 ռուբլի ներդրումը, 2-րդ հաշվի մեջ կա ներդրում a2 ռուբլի և այլն: Պարզվում է. թվային հաջորդականություն
a 1, a 2, a 3, ..., a N
որտեղ N-ը բոլոր հաշիվների թիվն է: Այստեղ յուրաքանչյուր n բնական թվի 1-ից N վերագրվում է a n թիվ:
Սովորում է նաև մաթեմատիկան անսահման թվերի հաջորդականություններ.
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
Ա 1 թիվը կոչվում է հաջորդականության առաջին անդամը, թիվ 2 - երկրորդ ժամկետը, թիվ 3 - երրորդ ժամկետըև այլն:
Կոչվում է a n թիվը հաջորդականության n-րդ (n-րդ) անդամ, իսկ n բնական թիվն այն է թիվ.
Օրինակ՝ 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... և 1 = 1 բնական թվերի քառակուսիների հաջորդականության մեջ հաջորդականության առաջին անդամն է. և n = n 2-ը հաջորդականության n-րդ անդամն է. a n + 1 = (n + 1) 2 հաջորդականության (n + 1)-րդ (en գումարած առաջին) անդամն է: Հաճախ հաջորդականությունը կարող է տրվել իր n-րդ անդամի բանաձևով։ Օրինակ, \ (a_n = \ frac (1) (n), \; n \ \ mathbb (N) \) բանաձևը սահմանում է \ (1, \; \ frac (1) (2), \; \ ֆրակ ( 1) (3), \; \ ֆրակ (1) (4), \ կետեր, \ ֆրակ (1) (n), \ կետեր \)
Թվաբանական առաջընթաց
Տարվա տևողությունը մոտավորապես 365 օր է։ Ավելի ճշգրիտ արժեքը \ (365 \ ֆրակ (1) (4) \) օրն է, ուստի չորս տարին մեկ մեկ օրվա սխալ է կուտակվում:
Այս սխալը հաշվի առնելու համար յուրաքանչյուր չորրորդ տարվան ավելացվում է մեկ օր, իսկ երկարացված տարին կոչվում է նահանջ տարի:
Օրինակ՝ երրորդ հազարամյակում նահանջ տարիներն են՝ 2004, 2008, 2012, 2016, ....
Այս հաջորդականությամբ նրա յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին՝ գումարված նույն թվով 4։ Նման հաջորդականությունները կոչվում են. թվաբանական առաջընթացներ.
Սահմանում.
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... թվային հաջորդականությունը կոչվում է. թվաբանական առաջընթացեթե բոլորի համար բնական n հավասարությունը
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \)
որտեղ d-ն ինչ-որ թիվ է:
Այս բանաձևը ենթադրում է, որ a n + 1 - a n = d: d թիվը կոչվում է տարբերություն թվաբանական առաջընթաց.
Թվաբանական առաջընթացի սահմանմամբ մենք ունենք.
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \ quad a_ (n-1) = a_n-d, \)
որտեղ
\ (a_n = \ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \), որտեղ \ (n> 1 \)
Այսպիսով, թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է իրեն կից երկու անդամների թվաբանական միջինին։ Սա բացատրում է «թվաբանական» առաջընթացի անվանումը։
Նկատի ունեցեք, որ եթե տրված են a 1 և d, ապա թվաբանական առաջընթացի մնացած անդամները կարող են հաշվարկվել a n + 1 = a n + d կրկնվող բանաձևով: Այսպիսով, պրոգրեսիայի առաջին մի քանի անդամները հաշվարկելը դժվար չէ, սակայն, օրինակ, 100-ի համար արդեն շատ հաշվարկներ կպահանջվեն։ Սովորաբար դրա համար օգտագործվում է n-րդ տերմինի բանաձևը: Թվաբանական առաջընթացի սահմանմամբ
\ (a_2 = a_1 + d, \)
\ (a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d, \)
\ (a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d \)
և այլն:
Ընդհանրապես,
\ (a_n = a_1 + (n-1) d, \)
քանի որ թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամը ստացվում է առաջին անդամից՝ ավելացնելով (n-1) d թիվը։
Այս բանաձեւը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևով.
Թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարը
Գտնենք 1-ից մինչև 100 բոլոր բնական թվերի գումարը։
Այս գումարը գրենք երկու ձևով.
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1:
Ավելացնենք այս հավասարությունները տերմին առ տերմին.
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101:
Այս գումարը ունի 100 պայման
Հետևաբար, 2S = 101 * 100, որտեղից S = 101 * 50 = 5050:
Այժմ դիտարկենք կամայական թվաբանական առաջընթացը
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Թող S n-ը լինի այս առաջընթացի առաջին n անդամների գումարը.
S n = a 1, a 2, a 3, ..., a n
Հետո թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարն է
\ (S_n = n \ cdot \ frac (a_1 + a_n) (2) \)
Քանի որ \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), ապա այս բանաձևում փոխարինելով n-ը, մենք ստանում ենք գտնելու մեկ այլ բանաձև թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը:
\ (S_n = n \ cdot \ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \)
