Հավասարումների լուծում առցանց հաշվիչ մանրամասն լուծումով: Պարզ գծային հավասարումների լուծում

Այս տեսանյութում մենք կվերլուծենք գծային հավասարումների մի ամբողջ շարք, որոնք լուծվում են նույն ալգորիթմի միջոցով, այդ իսկ պատճառով դրանք կոչվում են ամենապարզները։

Սկզբից սահմանենք՝ ի՞նչ է գծային հավասարումը և ո՞րն է դրանցից ամենապարզը։

Գծային հավասարումը այն հավասարումն է, որում կա միայն մեկ փոփոխական և միայն առաջին աստիճանում:

Ամենապարզ հավասարումը նշանակում է շինարարություն.

Բոլոր մյուս գծային հավասարումները վերածվում են ամենապարզների՝ օգտագործելով ալգորիթմը.

1. Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան;
2. Փոփոխական պարունակող տերմինները տեղափոխել հավասար նշանի մի կողմ, իսկ առանց փոփոխականի մյուս կողմ.
3. Հավասարության նշանի ձախ և աջ կողմերում բերեք նմանատիպ տերմիններ.
4. Ստացված հավասարումը բաժանեք $ x $ փոփոխականի գործակցով։

Իհարկե, այս ալգորիթմը միշտ չէ, որ օգնում է: Փաստն այն է, որ երբեմն այս բոլոր մանիպուլյացիաներից հետո $ x $ փոփոխականի գործակիցը զրո է դառնում։ Այս դեպքում հնարավոր է երկու տարբերակ.

1. Հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի։ Օրինակ, երբ դուք ստանում եք $ 0 \ cdot x = 8 $ նման բան, այսինքն. ձախ կողմում կա զրո, իսկ աջում՝ ոչ զրոյական թիվ: Ստորև բերված տեսանյութում մենք կանդրադառնանք միանգամից մի քանի պատճառների, թե ինչու է հնարավոր նման իրավիճակը։
2. Լուծումը բոլոր թվերն են: Միակ դեպքը, երբ դա հնարավոր է, հավասարումը կրճատվել է մինչև $ 0 \ cdot x = 0 $: Միանգամայն տրամաբանական է, որ ինչ էլ որ $ x $-ին փոխարինենք, այնուամենայնիվ կստացվի «զրո հավասար է զրոյի», այսինքն. ճիշտ թվային հավասարություն.

Հիմա տեսնենք, թե ինչպես է այդ ամենն աշխատում իրական խնդիրների օրինակով:

Հավասարումների լուծման օրինակներ

Այսօր մենք գործ ունենք գծային հավասարումների հետ, այն էլ՝ ամենապարզները։ Ընդհանուր առմամբ, գծային հավասարումը նշանակում է ցանկացած հավասարություն, որը պարունակում է ուղիղ մեկ փոփոխական, և այն գնում է միայն առաջին աստիճանի:

Նման շինությունները լուծվում են մոտավորապես նույն կերպ.

1. Առաջին հերթին, դուք պետք է ընդլայնեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան (ինչպես մեր վերջին օրինակում);
2. Ապա բերեք նմանատիպ
3. Վերջապես, գրավեք փոփոխականը, այսինքն. այն ամենը, ինչ կապված է փոփոխականի հետ, այն տերմինները, որոնցում այն ​​պարունակվում է, պետք է տեղափոխվի մի ուղղությամբ, իսկ այն, ինչ մնացել է առանց դրա, պետք է տեղափոխվի մյուս կողմ:

Այնուհետև, որպես կանոն, ստացված հավասարության յուրաքանչյուր կողմում պետք է բերել նմանատիպեր, իսկ դրանից հետո մնում է միայն բաժանել «x» գործակցի վրա, և մենք կստանանք վերջնական պատասխանը։

Տեսականորեն սա գեղեցիկ և պարզ տեսք ունի, բայց գործնականում նույնիսկ փորձառու ավագ դպրոցի աշակերտները կարող են վիրավորական սխալներ թույլ տալ բավականին պարզ գծային հավասարումներում: Սովորաբար սխալներ են լինում կամ փակագծերը ընդլայնելիս, կամ «պլյուսները» և «մինուսները» հաշվարկելիս։

Բացի այդ, պատահում է, որ գծային հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի, կամ այնպես, որ լուծումը ամբողջ թվային ուղիղն է, այսինքն. ցանկացած թիվ. Այս նրբությունները կվերլուծենք այսօրվա դասում։ Բայց մենք կսկսենք, ինչպես արդեն հասկացաք, ամենապարզ առաջադրանքներից։

Ամենապարզ գծային հավասարումների լուծման սխեմա

Սկսելու համար թույլ տվեք ևս մեկ անգամ գրել ամենապարզ գծային հավասարումների լուծման ամբողջ սխեման.

1. Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան:
2. Մենք արտազատում ենք փոփոխականները, այսինքն. այն ամենը, ինչ պարունակում է «x», տեղափոխվում է մի կողմ, իսկ առանց «x»-ի՝ մյուս կողմ։
3. Ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.
4. Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցի վրա:

Իհարկե, այս սխեման միշտ չէ, որ աշխատում է, դրա մեջ կան որոշակի նրբություններ և հնարքներ, և այժմ մենք կծանոթանանք դրանց:

Պարզ գծային հավասարումների իրական օրինակների լուծում

Խնդիր թիվ 1

Առաջին քայլում մեզանից պահանջվում է ընդլայնել փակագծերը։ Բայց դրանք այս օրինակում չկան, ուստի մենք բաց ենք թողնում այս փուլը: Երկրորդ քայլում մենք պետք է գրավենք փոփոխականները: Խնդրում ենք նկատի ունենալ՝ խոսքը միայն անհատական ​​պայմանների մասին է։ Եկեք գրենք.

Նման տերմիններ ներկայացնում ենք աջ և ձախ կողմում, բայց դա արդեն արվել է։ Այսպիսով, մենք անցնում ենք չորրորդ քայլին՝ բաժանել գործակցով.

\ [\ ֆրակ (6x) (6) = - \ ֆրակ (72) (6) \]

Այսպիսով, մենք ստացանք պատասխանը.

Խնդիր թիվ 2

Այս հարցում մենք կարող ենք դիտարկել փակագծերը, ուստի եկեք դրանք ընդլայնենք.

Ե՛վ ձախ, և՛ աջ կողմում մենք տեսնում ենք մոտավորապես նույն կառուցվածքը, բայց եկեք շարժվենք ըստ ալգորիթմի, այսինքն. մենք արտազատում ենք փոփոխականները.

Ահա նմանատիպերը.

Ինչ արմատներով է այն կատարվում: Պատասխան՝ ցանկացածի համար: Հետևաբար, մենք կարող ենք գրել, որ $ x $-ը ցանկացած թիվ է:

Խնդիր թիվ 3

Երրորդ գծային հավասարումն արդեն ավելի հետաքրքիր է.

\ [\ ձախ (6-x \ աջ) + \ ձախ (12 + x \ աջ) - \ ձախ (3-2x \ աջ) = 15 \]

Այստեղ մի քանի փակագիծ կա, բայց դրանք ոչ մի բանով չեն բազմապատկվում, ուղղակի դիմացն ունեն տարբեր նշաններ։ Եկեք բացենք դրանք.

Մենք իրականացնում ենք մեզ արդեն հայտնի երկրորդ քայլը.

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Եկեք հաշվենք.

Մենք կատարում ենք վերջին քայլը. մենք ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցի վրա.

\ [\ ֆրակ (2x) (x) = \ ֆրակ (0) (2) \]

Գծային հավասարումներ լուծելիս պետք է հիշել

Բացի չափազանց պարզ առաջադրանքներից, ես կցանկանայի ասել հետևյալը.

• Ինչպես ասացի վերևում, ամեն գծային հավասարում չէ, որ լուծում ունի. երբեմն պարզապես արմատներ չկան.
• Եթե ​​նույնիսկ արմատներ կան, դրանց մեջ կարող է լինել զրո - դրանում վատ բան չկա։

Զրոն նույն թիվն է, ինչ մնացածը, չպետք է որևէ կերպ խտրականություն դրսևորել դրա նկատմամբ կամ ենթադրել, որ եթե զրո ես ստանում, ուրեմն սխալ ես արել։

Մեկ այլ առանձնահատկություն կապված է փակագծերի ընդլայնման հետ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. երբ նրանց դիմաց կա «մինուս», ապա մենք այն հեռացնում ենք, բայց փակագծերում մենք փոխում ենք նշանները. հակառակը... Եվ հետո մենք կարող ենք բացել այն՝ օգտագործելով ստանդարտ ալգորիթմներ. մենք ստանում ենք այն, ինչ տեսանք վերը նշված հաշվարկներում:

Այս պարզ փաստի ըմբռնումը թույլ կտա խուսափել ավագ դպրոցում հիմար և վիրավորական սխալներից, երբ նման գործողությունները սովորական են համարվում:

Բարդ գծային հավասարումների լուծում

Անցնենք ավելի բարդ հավասարումների։ Այժմ կոնստրուկցիաները կդառնան ավելի բարդ, և կհայտնվի քառակուսի ֆունկցիա տարբեր փոխակերպումներ կատարելիս։ Այնուամենայնիվ, դուք չպետք է վախենաք դրանից, քանի որ եթե, հեղինակի մտադրության համաձայն, մենք լուծում ենք գծային հավասարում, ապա փոխակերպման գործընթացում քառակուսի ֆունկցիա պարունակող բոլոր միանունները անպայմանորեն կչեղարկվեն:

Օրինակ # 1

Ակնհայտ է, որ առաջին քայլը փակագծերի ընդլայնումն է։ Եկեք դա անենք շատ ուշադիր.

Այժմ գաղտնիության համար.

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Ահա նմանատիպերը.

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը լուծումներ չունի, ուստի պատասխանում կգրենք հետևյալ կերպ.

\ [\ varnothing \]

կամ առանց արմատների:

Օրինակ թիվ 2

Մենք կատարում ենք նույն քայլերը. Առաջին քայլը.

Տեղափոխեք ամեն ինչ փոփոխականով դեպի ձախ, իսկ առանց դրա աջ.

Ահա նմանատիպերը.

Ակնհայտ է, որ այս գծային հավասարումը լուծում չունի, ուստի մենք այն կգրենք այսպես.

\ [\ varnothing \],

կամ արմատներ չկան։

Լուծման նրբերանգներ

Երկու հավասարումներն էլ ամբողջությամբ լուծված են։ Օգտագործելով այս երկու արտահայտությունները որպես օրինակ՝ մենք ևս մեկ անգամ համոզվեցինք, որ նույնիսկ ամենապարզ գծային հավասարումների մեջ ամեն ինչ կարող է այդքան էլ պարզ չլինել՝ կարող է լինել կա՛մ մեկը, կա՛մ մեկը, կա՛մ անսահման շատ արմատներ: Մեր դեպքում մենք դիտարկեցինք երկու հավասարումներ, երկուսում էլ ուղղակի արմատներ չկան։

Բայց ես ուզում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել մեկ այլ փաստի վրա՝ ինչպես աշխատել փակագծերով և ինչպես բացել դրանք, եթե դրանց դիմաց մինուս նշան է։ Հաշվի առեք այս արտահայտությունը.

Բացահայտելուց առաջ անհրաժեշտ է ամեն ինչ բազմապատկել «X»-ով։ Նշում. բազմապատկվում է յուրաքանչյուր առանձին ժամկետ... Ներսում կան երկու տերմիններ, համապատասխանաբար, երկու անդամ և բազմապատկված:

Եվ միայն այս տարրական թվացող, բայց շատ կարևոր ու վտանգավոր փոխակերպումները կատարելուց հետո կարող եք ընդլայնել փակագծերը այն տեսանկյունից, որ դրանից հետո մինուս նշան կա։ Այո, այո. միայն հիմա, երբ փոխակերպումները ավարտվում են, մենք հիշում ենք, որ փակագծերի դիմաց մինուս նշան է, ինչը նշանակում է, որ այն ամենը, ինչ իջնում ​​է, պարզապես փոխում է նշանները: Ընդ որում, փակագծերն իրենք են անհետանում, և որ ամենակարեւորն է՝ անհետանում է նաև առջևի «մինուսը»։

Մենք նույնն ենք անում երկրորդ հավասարման հետ.

Պատահական չէ, որ ուշադրություն եմ հրավիրում այս փոքրիկ, աննշան թվացող փաստերի վրա։ Քանի որ հավասարումների լուծումը միշտ էլ տարրական փոխակերպումների հաջորդականություն է, որտեղ պարզ և գրագետ գործողություններ կատարելու անկարողությունը հանգեցնում է նրան, որ ավագ դպրոցի աշակերտները գալիս են ինձ մոտ և նորից սովորում լուծել նման պարզ հավասարումներ:

Իհարկե, կգա օրը, և դուք այս հմտությունները կհղկեք դեպի ավտոմատիզմ: Այլևս պետք չէ ամեն անգամ այդքան փոխակերպումներ կատարել, ամեն ինչ կգրես մեկ տողով։ Բայց մինչ դուք նոր եք սովորում, դուք պետք է գրեք յուրաքանչյուր գործողություն առանձին:

Էլ ավելի բարդ գծային հավասարումների լուծում

Այն, ինչ հիմա լուծելու ենք, արդեն դժվար է ամենապարզ խնդիր անվանել, բայց իմաստը մնում է նույնը։

Խնդիր թիվ 1

\ [\ ձախ (7x + 1 \ աջ) \ ձախ (3x-1 \ աջ) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Եկեք բազմապատկենք առաջին մասի բոլոր տարրերը.

Եկեք կատարենք մեկուսացումը.

Ահա նմանատիպերը.

Մենք կատարում ենք վերջին քայլը.

\ [\ ֆրակ (-4x) (4) = \ ֆրակ (4) (- 4) \]

Ահա մեր վերջնական պատասխանը. Եվ չնայած այն հանգամանքին, որ քառակուսի ֆունկցիայով գործակիցները լուծելիս դրանք փոխադարձաբար ոչնչացվել են, ինչը հավասարումը դարձնում է ճիշտ գծային, ոչ թե քառակուսի։

Խնդիր թիվ 2

\ [\ ձախ (1-4x \ աջ) \ ձախ (1-3x \ աջ) = 6x \ ձախ (2x-1 \ աջ) \]

Եկեք կատարենք առաջին քայլը կոկիկ. առաջին փակագծի յուրաքանչյուր տարրը բազմապատկենք երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Ընդհանուր առմամբ, փոխակերպումներից հետո պետք է լինի չորս նոր տերմին.

Այժմ եկեք ուշադիր կատարենք բազմապատկումը յուրաքանչյուր անդամում.

«x»-ով տերմինները տեղափոխենք ձախ, իսկ առանց՝ աջ.

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Ահա նմանատիպ տերմիններ.

Եվս մեկ անգամ ստացանք վերջնական պատասխանը.

Լուծման նրբերանգներ

Այս երկու հավասարումների վերաբերյալ ամենակարևոր նշումը հետևյալն է. հենց որ սկսենք բազմապատկել այն փակագծերը, որոնցում ավելին է, քան անդամը, ապա դա արվում է հետևյալ կանոնով. առաջին անդամը վերցնում ենք առաջինից և բազմապատկել յուրաքանչյուր տարրի հետ երկրորդից; այնուհետև մենք վերցնում ենք երկրորդ տարրը առաջինից և նմանապես բազմապատկում ենք երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Արդյունքում մենք ստանում ենք չորս ժամկետ.

Հանրահաշվական գումար

Վերջին օրինակով ուզում եմ ուսանողներին հիշեցնել, թե ինչ է հանրահաշվական գումարը: Դասական մաթեմատիկայի մեջ $1-7 $ ասելով մենք հասկանում ենք պարզ շինարարություն՝ մեկից հանել յոթը: Հանրահաշվում մենք նկատի ունենք հետևյալը. «մեկ» թվին ավելացնում ենք ևս մեկ թիվ, այն է՝ «մինուս յոթը»: Ահա թե ինչպես է հանրահաշվական գումարը տարբերվում սովորական թվաբանականից։

Մի անգամ, երբ կատարելով բոլոր փոխակերպումները, յուրաքանչյուր գումարում և բազմապատկում, դուք սկսում եք տեսնել վերը նկարագրվածների նման կառույցներ, դուք պարզապես խնդիրներ չեք ունենա հանրահաշվում բազմանդամների և հավասարումների հետ աշխատելիս:

Եզրափակելով, եկեք նայենք ևս մի քանի օրինակների, որոնք նույնիսկ ավելի բարդ կլինեն, քան մենք նոր նայեցինք, և դրանք լուծելու համար մենք ստիպված կլինենք մի փոքր ընդլայնել մեր ստանդարտ ալգորիթմը:

Կոտորակով հավասարումների լուծում

Նման խնդիրներ լուծելու համար մենք ստիպված կլինենք ևս մեկ քայլ ավելացնել մեր ալգորիթմին։ Բայց նախ հիշեցնեմ մեր ալգորիթմը.

1. Ընդարձակեք փակագծերը:
2. Առանձին փոփոխականներ.
3. Բերեք նմանատիպերը։
4. Բաժանել ըստ գործակցի.

Ավաղ, այս հիանալի ալգորիթմը, չնայած իր ողջ արդյունավետությանը, պարզվում է, որ ամբողջովին տեղին չէ, երբ մենք կանգնած ենք կոտորակների հետ: Եվ այն, ինչ կտեսնենք ստորև, երկու հավասարումներում ունենք կոտորակ ձախ և աջ:

Ինչպե՞ս աշխատել այս դեպքում: Ամեն ինչ շատ պարզ է! Դա անելու համար անհրաժեշտ է ևս մեկ քայլ ավելացնել ալգորիթմին, որը կարելի է անել ինչպես առաջին գործողությունից առաջ, այնպես էլ դրանից հետո, այն է՝ ազատվել կոտորակներից։ Այսպիսով, ալգորիթմը կլինի հետևյալը.

1. Ազատվել կոտորակներից.
2. Ընդարձակեք փակագծերը:
3. Առանձին փոփոխականներ.
4. Բերեք նմանատիպերը։
5. Բաժանել ըստ գործակցի.

Ի՞նչ է նշանակում «ազատվել կոտորակներից»: Իսկ ինչո՞ւ դա կարելի է անել և՛ առաջին ստանդարտ քայլից հետո, և՛ դրանից առաջ: Փաստորեն, մեր դեպքում բոլոր կոտորակները թվային են ըստ հայտարարի, այսինքն. ամենուր հայտարարի մեջ ընդամենը թիվ է: Հետևաբար, եթե հավասարման երկու կողմերն էլ բազմապատկենք այս թվով, ապա կազատվենք կոտորակներից։

Օրինակ # 1

\ [\ ֆրակ (\ ձախ (2x + 1 \ աջ) \ ձախ (2x-3 \ աջ)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Եկեք ազատվենք այս հավասարման կոտորակներից.

\ [\ frac (\ ձախ (2x + 1 \ աջ) \ ձախ (2x-3 \ աջ) \ cdot 4) (4) = \ ձախ (((x) ^ (2)) - 1 \ աջ) \ cdot 4 \]

Ուշադրություն դարձրեք՝ ամեն ինչ բազմապատկվում է «չորսով» մեկ անգամ, այսինքն. միայն այն պատճառով, որ դուք ունեք երկու փակագիծ, չի նշանակում, որ դուք պետք է նրանցից յուրաքանչյուրը բազմապատկեք չորսով: Եկեք գրենք.

\ [\ ձախ (2x + 1 \ աջ) \ ձախ (2x-3 \ աջ) = \ ձախ (((x) ^ (2)) - 1 \ աջ) \ cdot 4 \]

Հիմա բացենք.

Մենք կատարում ենք փոփոխականի առանձնացումը.

Մենք իրականացնում ենք նմանատիպ պայմանների կրճատում.

\ [- 4x = -1 \ ձախ | \ ձախ (-4 \ աջ) \ աջ: \]

\ [\ ֆրակ (-4x) (- 4) = \ ֆրակ (-1) (- 4) \]

Ստացանք վերջնական լուծումը, անցեք երկրորդ հավասարմանը:

Օրինակ թիվ 2

\ [\ ֆրակ (\ ձախ (1-x \ աջ) \ ձախ (1 + 5x \ աջ)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Այստեղ մենք կատարում ենք բոլոր նույն գործողությունները.

\ [\ frac (\ ձախ (1-x \ աջ) \ ձախ (1 + 5x \ աջ) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ ֆրակ (4x) (4) = \ ֆրակ (4) (4) \]

Խնդիրը լուծված է։

Դա, փաստորեն, այն ամենն է, ինչ ես ուզում էի պատմել այսօր։

Հիմնական կետերը

Հիմնական բացահայտումները հետևյալն են.

• Իմացեք գծային հավասարումների լուծման ալգորիթմը:
• Փակագծեր բացելու ունակություն:
• Մի անհանգստացեք, եթե ինչ-որ տեղ ունեք քառակուսի ֆունկցիաներ, ամենայն հավանականությամբ դրանք կփոքրանան հետագա վերափոխումների գործընթացում։
• Գծային հավասարումների արմատները, նույնիսկ ամենապարզը, երեք տեսակի են՝ մեկ արմատ, ամբողջ թվային տողը արմատ է, և ընդհանրապես արմատներ չկան:

Հուսով եմ, որ այս դասը կօգնի ձեզ յուրացնել մի պարզ, բայց շատ կարևոր թեմա՝ բոլոր մաթեմատիկայի հետագա ըմբռնման համար: Եթե ​​ինչ-որ բան պարզ չէ, գնացեք կայք, լուծեք այնտեղ ներկայացված օրինակները։ Հետևե՛ք, դեռ շատ հետաքրքիր բաներ են սպասում ձեզ:

Առցանց հավասարումների լուծման ծառայությունը կօգնի ձեզ լուծել ցանկացած հավասարում: Օգտվելով մեր կայքից՝ դուք ոչ միայն կստանաք հավասարման պատասխանը, այլև կտեսնեք մանրամասն լուծում, այսինքն՝ արդյունքի ստացման գործընթացի քայլ առ քայլ ցուցադրում։ Մեր ծառայությունը օգտակար կլինի ավագ դպրոցի աշակերտների և նրանց ծնողների համար: Աշակերտները կկարողանան պատրաստվել թեստերին, քննություններին, ստուգել իրենց գիտելիքները, իսկ ծնողները՝ վերահսկել իրենց երեխաների կողմից մաթեմատիկական հավասարումների լուծումը: Հավասարումներ լուծելու կարողությունը պարտադիր պահանջ է ուսանողների համար: Ծառայությունը կօգնի ձեզ ինքնուրույն ուսումնասիրել և բարելավել ձեր գիտելիքները մաթեմատիկական հավասարումների վերաբերյալ: Նրա օգնությամբ դուք կարող եք լուծել ցանկացած հավասարում` քառակուսի, խորանարդ, իռացիոնալ, եռանկյունաչափ և այլն: Առցանց ծառայության օգտագործումն անգնահատելի է, քանի որ բացի ճիշտ պատասխանից, դուք կստանաք յուրաքանչյուր հավասարման մանրամասն լուծում: Առցանց հավասարումներ լուծելու առավելությունները. Դուք կարող եք լուծել ցանկացած հավասարում առցանց մեր կայքում բացարձակապես անվճար: Ծառայությունը լիովին ավտոմատ է, պետք չէ որևէ բան տեղադրել ձեր համակարգչում, պարզապես անհրաժեշտ է մուտքագրել տվյալները, և ծրագիրը ձեզ լուծում կտա։ Հաշվարկման ցանկացած սխալ կամ տպագրական սխալներ բացառվում են: Մեզ հետ առցանց ցանկացած հավասարում լուծելը շատ հեշտ է, այնպես որ համոզվեք, որ օգտագործեք մեր կայքը ցանկացած տեսակի հավասարումներ լուծելու համար: Ձեզ անհրաժեշտ է միայն մուտքագրել տվյալները, և հաշվարկը կկատարվի հաշված վայրկյանների ընթացքում։ Ծրագիրն աշխատում է ինքնուրույն, առանց մարդկային մասնակցության, և դուք ստանում եք ճշգրիտ և մանրամասն պատասխան։ Ընդհանուր հավասարման լուծում. Նման հավասարման դեպքում փոփոխական գործակիցները և ցանկալի արմատները փոխկապակցված են: Փոփոխականի ամենաբարձր հզորությունը որոշում է նման հավասարման կարգը։ Դրա հիման վրա լուծումներ գտնելու համար հավասարումների համար օգտագործվում են տարբեր մեթոդներ և թեորեմներ։ Այս տեսակի հավասարումների լուծումը նշանակում է գտնել ցանկալի արմատները ընդհանուր տեսքով: Մեր ծառայությունը թույլ է տալիս առցանց լուծել նույնիսկ ամենաբարդ հանրահաշվական հավասարումը: Դուք կարող եք ստանալ և՛ հավասարման ընդհանուր լուծումը, և՛ ձեր նշած գործակիցների թվային արժեքների գործակիցը: Կայքում հանրահաշվական հավասարումը լուծելու համար բավական է ճիշտ լրացնել միայն երկու դաշտ՝ տվյալ հավասարման ձախ և աջ կողմերը։ Փոփոխական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարումներն ունեն անվերջ թվով լուծումներ, և որոշակի պայմաններ դնելուց հետո լուծումների բազմությունից ընտրվում են կոնկրետները։ Քառակուսային հավասարում. Քառակուսի հավասարումը ունի ax ^ 2 + bx + c = 0 ձև a> 0-ի համար: Քառակուսային ձևի հավասարումների լուծումը ենթադրում է գտնել x-ի այն արժեքները, որոնցում կատարվում է հավասարությունը ax ^ 2 + bx + c = 0: Դրա համար տարբերակիչի արժեքը հայտնաբերվում է D = b ^ 2-4ac բանաձևի համաձայն: Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, ապա հավասարումը չունի իրական արմատներ (արմատները հայտնաբերվում են բարդ թվերի դաշտից), եթե այն զրո է, ապա հավասարումն ունի մեկ իրական արմատ, իսկ եթե դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է. ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատ, որոնք հայտնաբերվում են D = -b + -sqrt / 2a բանաձեւով: Առցանց քառակուսի հավասարումը լուծելու համար պարզապես անհրաժեշտ է մուտքագրել նման հավասարման գործակիցները (ամբողջ թվեր, կոտորակներ կամ տասնորդական արժեքներ): Եթե ​​հավասարման մեջ կան հանման նշաններ, ապա պետք է հավասարման համապատասխան տերմինների դիմաց մինուս դնես։ Դուք կարող եք նաև լուծել քառակուսի հավասարումը առցանց՝ կախված պարամետրից, այսինքն՝ հավասարման գործակիցների փոփոխականներից։ Այս խնդիրը հիանալի կերպով լուծվում է ընդհանուր լուծումներ գտնելու մեր առցանց ծառայության կողմից: Գծային հավասարումներ. Գծային հավասարումների (կամ հավասարումների համակարգերի) լուծման համար գործնականում օգտագործվում են չորս հիմնական մեթոդներ. Եկեք մանրամասն նկարագրենք յուրաքանչյուր մեթոդ: Փոխարինման մեթոդ. Փոխարինման միջոցով հավասարումների լուծումը պահանջում է մեկ փոփոխականի արտահայտում մյուսների նկատմամբ: Դրանից հետո արտահայտությունը փոխարինվում է համակարգի այլ հավասարումներով: Այստեղից էլ առաջացել է լուծման մեթոդի անվանումը, այսինքն՝ փոփոխականի փոխարեն նրա արտահայտությունը փոխարինվում է մնացած փոփոխականների միջոցով։ Գործնականում մեթոդը պահանջում է բարդ հաշվարկներ, թեև հեշտ հասկանալի, այնպես որ նման հավասարումը առցանց լուծելը ժամանակ կխնայի և կհեշտացնի հաշվարկները: Պարզապես պետք է հավասարման մեջ նշել անհայտների թիվը և լրացնել տվյալները գծային հավասարումներից, այնուհետև ծառայությունը կկատարի հաշվարկը։ Գաուսի մեթոդ. Մեթոդը հիմնված է համակարգի ամենապարզ փոխակերպումների վրա՝ համարժեք եռանկյուն համակարգին հասնելու համար: Դրանից հերթով որոշվում են անհայտները։ Գործնականում անհրաժեշտ է առցանց լուծել նման հավասարումը մանրամասն նկարագրությամբ, որի շնորհիվ լավ կսովորեք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման Գաուսի մեթոդը: Գրի՛ր գծային հավասարումների համակարգը ճիշտ ձևաչափով և հաշվի առի՛ր անհայտների թիվը՝ համակարգը ճշգրիտ լուծելու համար: Կրամերի մեթոդը. Այս մեթոդը օգտագործվում է հավասարումների համակարգեր լուծելու համար այն դեպքերում, երբ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։ Այստեղ հիմնական մաթեմատիկական գործողությունը մատրիցային որոշիչների հաշվարկն է: Քրամերի մեթոդով հավասարումների լուծումն իրականացվում է առցանց, արդյունքը ստանում եք ակնթարթորեն՝ ամբողջական և մանրամասն նկարագրությամբ։ Բավական է միայն համակարգը լրացնել գործակիցներով և ընտրել անհայտ փոփոխականների քանակը։ Մատրիցային մեթոդ. Այս մեթոդը բաղկացած է A մատրիցում անհայտների, X սյունակում անհայտների և B սյունակում ազատ տերմինների գործակիցների հավաքումից: Այսպիսով, գծային հավասարումների համակարգը կրճատվում է AxX = B ձևի մատրիցային հավասարման: Այս հավասարումը ունի եզակի լուծում միայն այն դեպքում, եթե A մատրիցի որոշիչը զրոյական չէ, հակառակ դեպքում համակարգը չունի լուծումներ կամ անսահման թվով լուծումներ: Մատրիցային մեթոդով հավասարումների լուծումը բաղկացած է A հակադարձ մատրիցը գտնելուց:

Դիտարկենք հավասարումների համակարգերի լուծումների երկու տեսակ.

1. Համակարգի լուծումը փոխարինման մեթոդով.
2. Համակարգի լուծումը համակարգի հավասարումների տերմին առ անդամ գումարումով (հանումով):

Հավասարումների համակարգը լուծելու համար փոխարինման մեթոդդուք պետք է հետևեք մի պարզ ալգորիթմի.
1. Արտահայտում ենք. Արտահայտե՛ք մեկ փոփոխական ցանկացած հավասարումից:
2. Փոխարինող. Ստացված արժեքը փոխարինում ենք արտահայտված փոփոխականի փոխարեն մեկ այլ հավասարմամբ։
3. Ստացված հավասարումը լուծում ենք մեկ փոփոխականով. Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.

Լուծել համակարգ ըստ ժամկետային գումարման (հանման)անհրաժեշտ:
1.Ընտրեք փոփոխական, որի համար կկազմենք նույն գործակիցները։
2. Ավելացնում կամ հանում ենք հավասարումներ, վերջում ստանում ենք մեկ փոփոխականով հավասարում։
3. Լուծե՛ք ստացված գծային հավասարումը։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.

Համակարգի լուծումը ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերն են։

Եկեք մանրամասն քննարկենք համակարգերի լուծումը՝ օգտագործելով օրինակներ։

Օրինակ # 1:

Եկեք լուծենք փոխարինման մեթոդով

Փոխարինման մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծում

2x + 5y = 1 (1 հավասարում)
x-10y = 3 (2 հավասարում)

1. Արտահայտում ենք
Երևում է, որ երկրորդ հավասարման մեջ կա x փոփոխական՝ 1 գործակցով, որից պարզվում է, որ ամենահեշտն է արտահայտել x փոփոխականը երկրորդ հավասարումից։
x = 3 + 10 y

2. Արտահայտելուց հետո առաջին հավասարման մեջ փոխարինում ենք 3 + 10y՝ x փոփոխականի փոխարեն։
2 (3 + 10y) + 5y = 1

3. Ստացված հավասարումը լուծե՛ք մեկ փոփոխականում։
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (ընդլայնել փակագծերը)
6 + 20y + 5y = 1
25y = 1-6
25y = -5 |: (25)
y = -5: 25
y = -0.2

Հավասարումների համակարգի լուծումը գրաֆիկների հատման կետերն են, հետևաբար պետք է գտնել x և y, քանի որ հատման կետը բաղկացած է x և y-ից:
x = 3 + 10 y
x = 3 + 10 * (- 0,2) = 1

Ընդունված է կետեր գրել սկզբում գրում ենք x փոփոխականը, իսկ երկրորդում՝ y փոփոխականը։
Պատասխան՝ (1; -0.2)

Օրինակ # 2:

Լուծենք անդամ առ անդամ գումարման (հանման) մեթոդով.

Հավասարումների համակարգի լուծում գումարման մեթոդով

3x-2y = 1 (1 հավասարում)
2x-3y = -10 (2 հավասարում)

1. Ընտրեք փոփոխական, ասեք, ընտրեք x: Առաջին հավասարման մեջ x փոփոխականն ունի 3 գործակից, երկրորդում՝ 2։ Անհրաժեշտ է գործակիցները դարձնել նույնը, դրա համար մենք իրավունք ունենք բազմապատկել հավասարումները կամ բաժանել ցանկացած թվի։ Առաջին հավասարումը բազմապատկվում է 2-ով, իսկ երկրորդը 3-ով, և ստանում ենք ընդհանուր գործակից 6:

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y = -30

2. Առաջին հավասարումից հանեք երկրորդը՝ x փոփոխականից ազատվելու համար Լուծե՛ք գծային հավասարումը։
__6x-4y = 2

5y = 32 | :5
y = 6.4

3. Գտիր x. Գտնված y-ը փոխարինի՛ր հավասարումներից որևէ մեկով, ասենք առաջին հավասարման մեջ։
3x-2y = 1
3x-2 * 6.4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 + 12,8
3x = 13.8 |: 3
x = 4.6

Խաչմերուկի կետը կլինի x = 4.6; y = 6.4
Պատասխան՝ (4.6; 6.4)

Ցանկանու՞մ եք անվճար սովորել քննություններին։ Առցանց դասախոս անվճար է... Առանց կատակի.

Ձեր ուշադրությանը ներկայացված անվճար հաշվիչը ունի մաթեմատիկական հաշվարկների հնարավորությունների հարուստ զինանոց։ Այն թույլ է տալիս օգտագործել առցանց հաշվիչը գործունեության տարբեր ոլորտներում. կրթական, պրոֆեսիոնալև կոմերցիոն... Իհարկե, առցանց հաշվիչը հատկապես տարածված է ուսանողներըև դպրոցականներ, դա նրանց համար շատ ավելի հեշտ է դարձնում տարբեր հաշվարկներ կատարելը։

Այնուամենայնիվ, հաշվիչը կարող է օգտակար գործիք լինել բիզնեսի որոշ ոլորտներում և տարբեր մասնագիտությունների տեր մարդկանց համար: Իհարկե, բիզնեսում կամ աշխատանքում հաշվիչ օգտագործելու անհրաժեշտությունը որոշվում է հիմնականում բուն գործունեության տեսակով: Եթե ​​բիզնեսը և մասնագիտությունը կապված են մշտական ​​հաշվարկների և հաշվարկների հետ, ապա արժե փորձել էլեկտրոնային հաշվիչը և գնահատել դրա օգտակարության աստիճանը կոնկրետ դեպքի համար։

Այս առցանց հաշվիչը կարող է

• Ճիշտ կատարեք ստանդարտ մաթեմատիկական ֆունկցիաները, որոնք գրված են մեկ տողում, ինչպես. 12*3-(7/2) և կարող է ավելի շատ թվեր կառավարել, քան մենք կարող ենք հսկայական թվեր հաշվել առցանց հաշվիչում Մենք նույնիսկ չգիտենք, թե ինչպես ճիշտ զանգահարել նման համարին ( կան 34 նշաններ, և սա ամենևին էլ սահմանը չէ).
• բացի շոշափող, կոսինուս, սինուսև այլ ստանդարտ գործառույթներ - հաշվիչը աջակցում է հաշվարկային գործողություններին արկտանգենտ, աղեղային կոտանգենսեւ ուրիշներ.
• Հասանելի է զինանոցում լոգարիթմներ, ֆակտորիալներև այլ հիանալի հատկություններ
• Այս առցանց հաշվիչը գիտի, թե ինչպես կառուցել գրաֆիկներ!!!

Գրաֆիկներ ստեղծելու համար ծառայությունն օգտագործում է հատուկ կոճակ (մոխրագույն գրաֆիկը գծված է) կամ այս ֆունկցիայի բառացի ներկայացումը (Plot): Առցանց հաշվիչում գրաֆիկ ստեղծելու համար պարզապես գրեք ֆունկցիա. հողամաս (tan (x)), x = -360..360.

Շոշափողի համար վերցրել ենք ամենապարզ գրաֆիկը և տասնորդական կետից հետո նշել ենք X փոփոխականի միջակայքը -360-ից մինչև 360:

Դուք կարող եք կառուցել բացարձակապես ցանկացած ֆունկցիա՝ ցանկացած թվով փոփոխականներով, օրինակ՝ հողամաս (cos (x) / 3z, x = -180..360, z = 4)կամ նույնիսկ ավելի դժվար, որը դուք կարող եք մտածել: Ուշադրություն դարձրեք X փոփոխականի վարքագծին - ից և մինչև միջակայքը նշվում է երկու կետի միջոցով:

Այս առցանց հաշվիչի միակ թերությունը (թեև դժվար է դա թերություն անվանել) այն է, որ այն չի կարող կառուցել գնդիկներ և այլ ծավալային պատկերներ՝ միայն հարթություն։

Ինչպես աշխատել մաթեմատիկական հաշվիչի հետ

1. Ցուցադրումը (հաշվիչի էկրանը) ցուցադրում է մուտքագրված արտահայտությունը և դրա հաշվարկի արդյունքը սովորական նշաններով, ինչպես գրում ենք թղթի վրա։ Այս դաշտը պարզապես ընթացիկ գործողությունը դիտելու համար է: Մուտքը ցուցադրվում է էկրանին, երբ մուտքագրում եք մաթեմատիկական արտահայտություն մուտքագրման տողում:

2. Արտահայտության մուտքագրման դաշտը նախատեսված է հաշվարկվող արտահայտությունը գրանցելու համար: Այստեղ պետք է նշել, որ համակարգչային ծրագրերում օգտագործվող մաթեմատիկական նշանները միշտ չէ, որ համընկնում են նրանց հետ, որոնք մենք սովորաբար օգտագործում ենք թղթի վրա։ Հաշվիչի յուրաքանչյուր ֆունկցիայի ակնարկում դուք կգտնեք կոնկրետ գործողության ճիշտ նշանակումը և հաշվարկների օրինակները: Ստորև բերված այս էջում դուք կգտնեք հաշվիչի բոլոր հնարավոր գործողությունների ցանկը՝ նշելով նաև դրանց ճիշտ ուղղագրությունը:

3. Գործիքադարակ – Սրանք հաշվիչի կոճակներ են, որոնք փոխարինում են մաթեմատիկական նշանների ձեռքով մուտքագրումը` համապատասխան գործողությունը ցույց տալու համար: Հաշվիչի որոշ կոճակներ (լրացուցիչ գործառույթներ, միավորի փոխարկիչ, մատրիցների և հավասարումների լուծում, գրաֆիկներ) լրացնում են առաջադրանքների տողը նոր դաշտերով, որտեղ մուտքագրվում են տվյալներ կոնկրետ հաշվարկի համար: Պատմություն դաշտը պարունակում է օրինակներ, թե ինչպես գրել մաթեմատիկական արտահայտություններ, ինչպես նաև ձեր ամենավերջին վեց գրառումները:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երբ սեղմում եք կոճակները՝ լրացուցիչ գործառույթներ կանչելու համար, արժեքների փոխարկիչ, լուծեք մատրիցներ և հավասարումներ, կառուցեք գծապատկերներ, ամբողջ հաշվիչի վահանակը շարժվում է վերև՝ ծածկելով էկրանի մի մասը: Լրացրեք պահանջվող դաշտերը և սեղմեք «I» ստեղնը (նկարում կարմիրով ընդգծված) էկրանը լրիվ չափով տեսնելու համար:

4. Թվային ստեղնաշարը պարունակում է թվեր և թվաբանական գործողությունների նշաններ: «C» կոճակը ջնջում է արտահայտությունների մուտքագրման դաշտի ամբողջ գրառումը: Նիշերը մեկ առ մեկ ջնջելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել մուտքագրման տողի աջ կողմում գտնվող սլաքը:

Աշխատեք արտահայտության վերջում միշտ փակել փակագծերը: Գործողությունների մեծ մասի համար դա կարևոր չէ, առցանց հաշվիչը ամեն ինչ ճիշտ կհաշվարկի: Այնուամենայնիվ, որոշ դեպքերում հնարավոր են սխալներ: Օրինակ՝ կոտորակային աստիճանի բարձրացնելիս չփակված փակագծերը կհանգեցնեն նրան, որ աստիճանի կոտորակի հայտարարը կմտնի հիմքի հայտարարի մեջ: Էկրանի վրա փակող փակագիծը նշված է գունատ մոխրագույն գույնով, այն պետք է փակվի, երբ ձայնագրությունն ավարտվի:

Բանալի	Խորհրդանիշ	Գործողություն
պի	պի	Constant pi
ե	ե	Էյլերի համարը
%	%	տոկոս
()	()	Բացել / փակել փակագծերը
,	,	Ստորակետ
մեղք	մեղք (?)	Սինուսային անկյուն
cos	cos (?)	Կոսինուս
tan	tan (y)	Շոշափող
սինհ	sinh ()	Հիպերբոլիկ սինուս
կոշ	կոշ ()	Հիպերբոլիկ կոսինուս
տանհ	tanh ()	Հիպերբոլիկ շոշափող
մեղք -1	ասին ()	Հակադարձ սինուս
cos -1	ակոս ()	Հակադարձ կոսինուս
tan -1	աթան ()	Հակադարձ շոշափող
սինհ -1	ասինհ ()	Հակադարձ հիպերբոլիկ սինուս
կոշ -1	ակոշ ()	Հակադարձ հիպերբոլիկ կոսինուս
tanh -1	աթանհ ()	Հակադարձ հիպերբոլիկ շոշափող
x 2	^2	Քառակուսիացում
x 3	^3	Cube
x y	^	Էքսպոենտացիա
10 x	10^()	Բարձրացում 10-րդ հիմքում
e x	ժամկետ ()	Էյլերի թվի աստիճանականացում
vx	sqrt (x)	Քառակուսի արմատ
3 vx	sqrt3 (x)	Արմատ 3-րդ աստիճան
y vx	sqrt (x, y)	Արմատը հանելը
մատյան 2 x	log2 (x)	Երկուական լոգարիթմ
գերան	մատյան (x)	Տասնորդական լոգարիթմ
ln	ln (x)	Բնական լոգարիթմ
log y x	մատյան (x, y)	Լոգարիթմ
I / II		Ծալել / Կանչել լրացուցիչ գործառույթներ
Միավոր		Միավորի փոխարկիչ
Մատրիցա		Մատրիցներ
Լուծել		Հավասարումներ և հավասարումների համակարգեր
		Դավադրություն
Լրացուցիչ գործառույթներ (զանգել II ստեղնով)
ռեժիմ	ռեժիմ	Բաժանում մնացորդով
!	!	Գործոնային
i / j	i / j	Երևակայական միավոր
Re	Re ()	Ընտրելով ամբողջ իրական մասը
Ես	Ես ()	Վավերական մասի բացառումը
| x |	ABS ()	Թվի բացարձակ արժեքը
Արգ	արգ ()	Ֆունկցիայի փաստարկ
nCr	ncr ()	Երկանդամ գործակից
gcd	gcd ()	Gcd
lcm	lcm ()	ՀԱՕԿ
գումարը	գումար ()	Բոլոր որոշումների ընդհանուր արժեքը
դեմք	ֆակտորիզացնել ()	Հիմնական ֆակտորիզացիա
տարբերություն	տարբերություն ()	Տարբերակում
աստիճան		աստիճաններ
Ռադ		Ռադիաններ

Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում։ Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, շենքերի կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ: Մարդը հնագույն ժամանակներում օգտագործում էր հավասարումներ, և այդ ժամանակից ի վեր դրանց կիրառումը միայն աճել է: Հզորությունը կամ էքսպոնենցիալ հավասարումները հավասարումներ են, որոնցում փոփոխականները հզորությամբ են, իսկ հիմքը՝ թիվ։ Օրինակ:

Էքսպոնենցիալ հավասարման լուծումը հանգում է 2 բավականին պարզ քայլի.

1. Պետք է ստուգել, ​​թե արդյոք աջ և ձախ հավասարման հիմքերը նույնն են։ Եթե ​​հիմքերը նույնը չեն, մենք տարբերակներ ենք փնտրում այս օրինակը լուծելու համար։

2. Այն բանից հետո, երբ հիմքերը դառնում են նույնը, հավասարեցնում ենք աստիճանները և լուծում ստացված նոր հավասարումը։

Ենթադրենք, տրված է հետևյալ ձևի էքսպոնենցիալ հավասարումը.

Արժե այս հավասարման լուծումը սկսել հիմքի վերլուծությունից։ Հիմքերը տարբեր են՝ 2 և 4, բայց լուծման համար մենք պետք է լինենք նույնը, ուստի 4-ը փոխակերպում ենք հետևյալ բանաձևի համաձայն՝ \ [(a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Բնօրինակի հավասարմանը ավելացրեք.

Հանեք փակագծերը \

Մենք արտահայտում ենք \

Քանի որ աստիճանները նույնն են, մենք դրանք մերժում ենք.

Պատասխան՝ \

Որտե՞ղ կարող եք լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումը առցանց լուծիչով:

Հավասարումը կարող եք լուծել մեր կայքէջում՝ https: // կայքում: Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա հաշված վայրկյանների ընթացքում առցանց լուծել ցանկացած բարդության հավասարումը: Ձեզ մնում է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Կարող եք նաև դիտել վիդեո հրահանգ և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե դեռ հարցեր ունեք, կարող եք դրանք ուղղել մեր Vkontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ: