Երկրաչափական պրոգրեսիայի տարրերի գումարը: Հանրահաշիվ. թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներ

Եթե ​​յուրաքանչյուր բնական թիվ n համապատասխանել իրական թվին a n , հետո ասում են՝ տրված է թվային հաջորդականություն :

ա 1 , ա 2 , ա 3 , . . . , a n , . . . .

Այսպիսով, թվային հաջորդականությունը բնական փաստարկի ֆունկցիա է:

Թիվ ա 1 կոչվում են հաջորդականության առաջին անդամը , թիվ ա 2 — երկրորդ ժամկետը , թիվ ա 3 — երրորդ և այլն: Թիվ a n կոչվում են հաջորդականության n-րդ անդամը , և բնական թիվը n — նրա համարը .

Երկու հարևան անդամներից a n և a n +1 հաջորդականության անդամ a n +1 կոչվում են հետագա (դեպի a n ), ա a n — նախորդ (դեպի a n +1 ).

Հերթականությունը նշելու համար անհրաժեշտ է նշել մեթոդ, որը թույլ է տալիս գտնել հաջորդականության անդամ ցանկացած թվով:

Հաճախ հաջորդականությունը տրվում է n-րդ տերմինի բանաձևերը , այսինքն՝ բանաձեւ, որը թույլ է տալիս որոշել հաջորդականության անդամն իր թվով։

Օրինակ,

Դրական կենտ թվերի հաջորդականությունը կարող է սահմանվել բանաձևով

a n= 2n - 1,

և հերթափոխման հաջորդականությունը 1 և -1 - բանաձևով

բ n = (-1)n +1 . ◄

Հերթականությունը կարելի է որոշել ռեկուրսիվ բանաձեւ, այսինքն՝ բանաձև, որն արտահայտում է հաջորդականության ցանկացած անդամ՝ սկսած որոշներից՝ նախորդ (մեկ կամ մի քանի) անդամների միջոցով։

Օրինակ,

եթե ա 1 = 1 , ա a n +1 = a n + 5

ա 1 = 1,

ա 2 = ա 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ա 3 = ա 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ա 4 = ա 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ա 5 = ա 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Եթե ա 1= 1, ա 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , ապա թվային հաջորդականության առաջին յոթ անդամները սահմանվում են հետևյալ կերպ.

ա 1 = 1,

ա 2 = 1,

ա 3 = ա 1 + ա 2 = 1 + 1 = 2,

ա 4 = ա 2 + ա 3 = 1 + 2 = 3,

ա 5 = ա 3 + ա 4 = 2 + 3 = 5,

ա 6 = ա 4 + ա 5 = 3 + 5 = 8,

ա 7 = ա 5 + ա 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Հերթականությունները կարող են լինել եզրափակիչ և անվերջ .

Հաջորդականությունը կոչվում է վերջնական եթե այն ունի վերջավոր թվով անդամներ։ Հաջորդականությունը կոչվում է անվերջ եթե այն ունի անսահման շատ անդամներ։

Օրինակ,

երկնիշ բնական թվերի հաջորդականություն.

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

եզրափակիչ.

Պարզ թվերի հաջորդականություն.

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

անվերջ. ◄

Հաջորդականությունը կոչվում է աճող եթե նրա անդամներից յուրաքանչյուրը, սկսած երկրորդից, մեծ է նախորդից։

Հաջորդականությունը կոչվում է նվազում եթե նրա անդամներից յուրաքանչյուրը, սկսած երկրորդից, պակաս է նախորդից։

Օրինակ,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - աճող հաջորդականություն;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - նվազման հաջորդականություն. ◄

Այն հաջորդականությունը, որի տարրերը չեն նվազում թվի աճի հետ, կամ, ընդհակառակը, չեն մեծանում, կոչվում է միապաղաղ հաջորդականություն .

Միապաղաղ հաջորդականությունները, մասնավորապես, աճող և նվազող հաջորդականություններ են։

Թվաբանական առաջընթաց

Թվաբանական առաջընթաց կոչվում է հաջորդականություն, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին, որին գումարվում է նույն թիվը։

ա 1 , ա 2 , ա 3 , . . . , a n, . . .

թվաբանական պրոգրեսիա է, եթե ցանկացած բնական թվի համար n պայմանը բավարարված է.

a n +1 = a n + դ,

որտեղ դ - որոշ թիվ:

Այսպիսով, տրված թվաբանական պրոգրեսիայի հաջորդ և նախորդ անդամների միջև տարբերությունը միշտ հաստատուն է.

ա 2 - ա 1 = ա 3 - ա 2 = . . . = a n +1 - a n = դ.

Թիվ դ կոչվում են թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.

Թվաբանական առաջընթաց սահմանելու համար բավական է նշել դրա առաջին անդամը և տարբերությունը։

Օրինակ,

եթե ա 1 = 3, դ = 4 , ապա հաջորդականության առաջին հինգ անդամները գտնվում են հետևյալ կերպ.

ա 1 =3,

ա 2 = ա 1 + դ = 3 + 4 = 7,

ա 3 = ա 2 + դ= 7 + 4 = 11,

ա 4 = ա 3 + դ= 11 + 4 = 15,

ա 5 = ա 4 + դ= 15 + 4 = 19. ◄

Առաջին անդամով թվաբանական առաջընթացի համար ա 1 և տարբերությունը դ նրա n

a n = ա 1 + (n- 1)դ.

Օրինակ,

գտե՛ք թվաբանական առաջընթացի երեսուներորդ անդամը

1, 4, 7, 10, . . .

ա 1 =1, դ = 3,

ա 30 = ա 1 + (30 - 1)դ = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = ա 1 + (n- 2)դ,

a n= ա 1 + (n- 1)դ,

a n +1 = ա 1 + րդ,

ապա ակնհայտորեն

a n=	a n-1 + a n + 1
	2

Թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ և հաջորդ անդամների թվաբանական միջինին։

a, b և c թվերը որոշ թվաբանական առաջընթացի հաջորդական անդամներ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանցից մեկը հավասար է մյուս երկուսի միջին թվաբանականին:

Օրինակ,

a n = 2n- 7 , թվաբանական պրոգրեսիա է։

Եկեք օգտագործենք վերը նշված հայտարարությունը. Մենք ունենք:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

Հետևաբար,

a n + 1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Նշենք, որ n -Թվաբանական առաջընթացի երրորդ անդամը կարելի է գտնել ոչ միայն միջոցով ա 1 , այլեւ ցանկացած նախկինում ա կ

a n = ա կ + (n- կ)դ.

Օրինակ,

համար ա 5 կարելի է գրել

ա 5 = ա 1 + 4դ,

ա 5 = ա 2 + 3դ,

ա 5 = ա 3 + 2դ,

ա 5 = ա 4 + դ. ◄

a n = ա ն-կ + կդ,

a n = a n + k - կդ,

ապա ակնհայտորեն

a n=	ա n-k + ա n + k
	2

Թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է այս թվաբանական առաջընթացի անդամների կես գումարին, որոնք հավասարապես բաժանված են նրանից:

Բացի այդ, ցանկացած թվաբանական առաջընթացի համար հավասարությունը ճշմարիտ է.

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Օրինակ,

թվաբանական առաջընթացի մեջ

1) ա 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ա 9 + ա 11 )/2;

2) 28 = ա 10 = ա 3 + 7դ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ա 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ա 7 + ա 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, որովհետեւ

ա 2 + ա 12= 4 + 34 = 38,

ա 5 + ա 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Ս ն= ա 1 + ա 2 + ա 3 +. ... ...+ a n,

առաջինը n Թվաբանական առաջընթացի անդամները հավասար են ծայրահեղ անդամների կիսագումարի արտադրյալին անդամների քանակով.

Այստեղից, մասնավորապես, հետևում է, որ եթե անհրաժեշտ է ամփոփել պայմանները

ա կ, ա կ +1 , . . . , a n,

ապա նախորդ բանաձևը պահպանում է իր կառուցվածքը.

Օրինակ,

թվաբանական առաջընթացի մեջ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

Ս 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = Ս 10 - Ս 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Եթե ​​տրված է թվաբանական պրոգրեսիա, ապա արժեքները ա 1 , a n, դ, nևՍ n կապված է երկու բանաձևով.

Հետևաբար, եթե տրված են այս մեծություններից երեքի արժեքները, ապա մյուս երկու մեծությունների համապատասխան արժեքները որոշվում են այս բանաձևերից՝ միավորված երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի մեջ:

Թվաբանական առաջընթացը միապաղաղ հաջորդականություն է: Որտեղ:

• եթե դ > 0 , ապա այն աճում է;
• եթե դ < 0 , ապա այն նվազում է;
• եթե դ = 0 , ապա հաջորդականությունը կլինի անշարժ:

Երկրաչափական առաջընթաց

Երկրաչափական առաջընթաց կոչվում է հաջորդականություն, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին՝ բազմապատկելով նույն թվով։

բ 1 , բ 2 , բ 3 , . . . , b n, . . .

երկրաչափական պրոգրեսիա է, եթե ցանկացած բնական թվի համար n պայմանը բավարարված է.

b n +1 = b n · ք,

որտեղ ք ≠ 0 - որոշ թիվ:

Այսպիսով, տվյալ երկրաչափական պրոգրեսիայի հաջորդ անդամի հարաբերակցությունը նախորդին հաստատուն թիվ է.

բ 2 / բ 1 = բ 3 / բ 2 = . . . = b n +1 / b n = ք.

Թիվ ք կոչվում են երկրաչափական առաջընթացի հայտարար.

Երկրաչափական պրոգրեսիա սահմանելու համար բավական է նշել դրա առաջին անդամը և հայտարարը։

Օրինակ,

եթե բ 1 = 1, ք = -3 , ապա հաջորդականության առաջին հինգ անդամները գտնվում են հետևյալ կերպ.

բ 1 = 1,

բ 2 = բ 1 · ք = 1 · (-3) = -3,

բ 3 = բ 2 · ք= -3 · (-3) = 9,

բ 4 = բ 3 · ք= 9 · (-3) = -27,

բ 5 = բ 4 · ք= -27 · (-3) = 81. ◄

բ 1 և հայտարարը ք նրա n Երրորդ տերմինը կարելի է գտնել բանաձևով.

b n = բ 1 · q n -1 .

Օրինակ,

գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի յոթերորդ անդամը 1, 2, 4, . . .

բ 1 = 1, ք = 2,

բ 7 = բ 1 · ք 6 = 1 2 6 = 64. ◄

բ n-1 = բ 1 · q n -2 ,

b n = բ 1 · q n -1 ,

b n +1 = բ 1 · q n,

ապա ակնհայտորեն

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

Երկրաչափական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ և հաջորդ անդամների երկրաչափական միջինին (համամասնականին):

Քանի որ հակառակ պնդումը նույնպես ճշմարիտ է, հետևյալն է.

a, b և c թվերը որոշ երկրաչափական առաջընթացի հաջորդական անդամներ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից մեկի քառակուսին հավասար է մյուս երկուսի արտադրյալին, այսինքն՝ թվերից մեկը մյուս երկուսի երկրաչափական միջինն է։

Օրինակ,

ապացուցենք, որ բանաձևով տրված հաջորդականությունը b n= -3 2 n , էքսպոնենցիալ առաջընթաց է։ Եկեք օգտագործենք վերը նշված հայտարարությունը. Մենք ունենք:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Հետևաբար,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

որն ապացուցում է պահանջվող հայտարարությունը: ◄

Նշենք, որ n - երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ տերմինը կարելի է գտնել ոչ միայն միջոցով բ 1 , այլեւ ցանկացած նախորդ ժամկետ բ կ , որի համար բավական է օգտագործել բանաձեւը

b n = բ կ · q n - կ.

Օրինակ,

համար բ 5 կարելի է գրել

բ 5 = բ 1 · ք 4 ,

բ 5 = բ 2 · ք 3,

բ 5 = բ 3 · ք 2,

բ 5 = բ 4 · ք. ◄

b n = բ կ · q n - կ,

b n = b n - կ · ք կ,

ապա ակնհայտորեն

b n 2 = b n - կ· b n + կ

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի քառակուսին, սկսած երկրորդից, հավասար է նրանից հավասար հեռավորության վրա գտնվող այս պրոգրեսիայի անդամների արտադրյալին:

Բացի այդ, ցանկացած երկրաչափական առաջընթացի համար հավասարությունը ճշմարիտ է.

բ մ· b n= բ կ· բ լ,

մ+ n= կ+ լ.

Օրինակ,

էքսպոնենցիալ

1) բ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = բ 5 · բ 7 ;

2) 1024 = բ 11 = բ 6 · ք 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) բ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = բ 4 · բ 8 ;

4) բ 2 · բ 7 = բ 4 · բ 5 , որովհետեւ

բ 2 · բ 7 = 2 · 64 = 128,

բ 4 · բ 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Ս ն= բ 1 + բ 2 + բ 3 + . . . + b n

առաջինը n երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամները հայտարարով ք ≠ 0 հաշվարկված բանաձևով.

Եւ երբ ք = 1 - ըստ բանաձևի

Ս ն= նբ 1

Նկատի ունեցեք, որ եթե Ձեզ անհրաժեշտ է ամփոփել պայմանները

բ կ, բ կ +1 , . . . , b n,

ապա օգտագործվում է բանաձևը.

Ս ն- Ս կ -1 = բ կ + բ կ +1 + . . . + b n = բ կ ·	1 - q n - կ +1	.
	1 - ք

Օրինակ,

էքսպոնենցիալ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

Ս 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = Ս 10 - Ս 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Եթե ​​տրված է երկրաչափական պրոգրեսիա, ապա արժեքները բ 1 , b n, ք, nև Ս ն կապված է երկու բանաձևով.

Հետևաբար, եթե տրված են այս մեծություններից որևէ երեքի արժեքները, ապա մյուս երկու մեծությունների համապատասխան արժեքները որոշվում են այս բանաձևերից՝ միավորված երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի մեջ:

Առաջին անդամով երկրաչափական առաջընթացի համար բ 1 և հայտարարը ք հետեւյալը միապաղաղության հատկություններ :

• առաջընթացը աճում է, եթե բավարարվում է հետևյալ պայմաններից մեկը.

բ 1 > 0 և ք> 1;

բ 1 < 0 և 0 < ք< 1;

• առաջընթացը նվազում է, եթե բավարարվում է հետևյալ պայմաններից մեկը.

բ 1 > 0 և 0 < ք< 1;

բ 1 < 0 և ք> 1.

Եթե ք< 0 , ապա երկրաչափական առաջընթացը փոփոխական է՝ նրա կենտ անդամներն ունեն նույն նշանը, ինչ նրա առաջին անդամը, իսկ զույգ թվով անդամները՝ հակառակ նշանը։ Պարզ է, որ փոփոխվող երկրաչափական պրոգրեսիան միապաղաղ չէ:

Առաջինի աշխատանքը n Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամները կարող են հաշվարկվել բանաձևով.

Պ ն= բ 1 · բ 2 · բ 3 · . . . · b n = (բ 1 · b n) n / 2 .

Օրինակ,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա կոչվում է անսահման երկրաչափական պրոգրեսիա, որի հայտարարի մոդուլը փոքր է 1 , այն է

|ք| < 1 .

Նկատի ունեցեք, որ անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիան չի կարող նվազող հաջորդականություն լինել: Սա համապատասխանում է գործին

1 < ք< 0 .

Նման հայտարարի դեպքում հաջորդականությունը փոփոխական է։ Օրինակ,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը այն թիվն է, որին գումարվում է առաջինի գումարը n առաջընթացի անդամներ՝ թվի անսահմանափակ աճով n ... Այս թիվը միշտ վերջավոր է և արտահայտվում է բանաձևով

Ս= բ 1 + բ 2 + բ 3 + . . . =	բ 1	.
	1 - ք

Օրինակ,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացների փոխհարաբերությունները

Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացները սերտորեն կապված են: Դիտարկենք ընդամենը երկու օրինակ։

ա 1 , ա 2 , ա 3 , . . . դ , ապա

բ ա 1 , բ ա 2 , բ ա 3 , . . . բ դ .

Օրինակ,

1, 3, 5, . . . - թվաբանական առաջընթաց տարբերությամբ 2 և

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - երկրաչափական առաջընթաց հայտարարով 7 2 . ◄

բ 1 , բ 2 , բ 3 , . . . - երկրաչափական առաջընթաց հայտարարով ք , ապա

log a b 1, գրանցամատյան ա բ 2, log a b 3, . . . - թվաբանական առաջընթաց տարբերությամբ մատյան աք .

Օրինակ,

2, 12, 72, . . . - երկրաչափական առաջընթաց հայտարարով 6 և

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - թվաբանական առաջընթաց տարբերությամբ lg 6 . ◄

Երկրաչափական առաջընթացը թվաբանական առաջընթացի հետ մեկտեղ կարևոր թվային շարք է, որն ուսումնասիրվում է 9-րդ դասարանի դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը և ինչպես է դրա արժեքը ազդում նրա հատկությունների վրա:

Երկրաչափական պրոգրեսիայի սահմանում

Սկզբից տանք այս թվային շարքի սահմանումը։ Երկրաչափական պրոգրեսիան ռացիոնալ թվերի շարք է, որը ձևավորվում է իր առաջին տարրը հաջորդաբար բազմապատկելով հաստատուն թվով, որը կոչվում է հայտարար։

Օրինակ՝ 3, 6, 12, 24, ... շարքի թվերը երկրաչափական պրոգրեսիա են, քանի որ եթե 3-ը (առաջին տարրը) բազմապատկես 2-ով, կստանաս 6, եթե 6-ը բազմապատկես 2-ով, կստացվի. 12 և այլն:

Քննարկվող հաջորդականության անդամները սովորաբար նշվում են ai նշանով, որտեղ i-ն ամբողջ թիվ է, որը ցույց է տալիս տողում գտնվող տարրի թիվը։

Պրոգրեսիայի վերը նշված սահմանումը մաթեմատիկայի լեզվով կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ an = bn-1 * a1, որտեղ b-ն հայտարարն է։ Հեշտ է ստուգել այս բանաձևը. եթե n = 1, ապա b1-1 = 1, և մենք ստանում ենք a1 = a1: Եթե ​​n = 2, ապա an = b * a1, և նորից գալիս ենք դիտարկվող թվերի շարքի սահմանմանը։ Նմանատիպ պատճառաբանությունը կարող է շարունակվել n-ի մեծ արժեքների համար:

Երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար

b թիվը ամբողջությամբ որոշում է, թե ինչ նիշ կունենա ամբողջ թվային շարքը: B հայտարարը կարող է լինել դրական, բացասական կամ մեկից մեծ կամ պակաս: Այս բոլոր տարբերակները հանգեցնում են տարբեր հաջորդականությունների.

• b> 1. Կա ռացիոնալ թվերի աճող շարք: Օրինակ՝ 1, 2, 4, 8, ... Եթե a1 տարրը բացասական է, ապա ամբողջ հաջորդականությունը կաճի միայն բացարձակ արժեքով, բայց կնվազի՝ հաշվի առնելով թվերի նշանը։
• b = 1. Նման դեպքը հաճախ չի կոչվում պրոգրեսիա, քանի որ կա միանման ռացիոնալ թվերի սովորական շարք: Օրինակ՝ -4, -4, -4:

Գումարի բանաձև

Նախքան դիտարկվող պրոգրեսիայի տիպի հայտարարի օգտագործմամբ կոնկրետ խնդիրների քննարկմանը անցնելը, պետք է տրվի կարևոր բանաձև նրա առաջին n տարրերի գումարի համար: Բանաձևն է՝ Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1):

Դուք կարող եք ինքներդ ստանալ այս արտահայտությունը, եթե հաշվի առնեք առաջընթացի անդամների ռեկուրսիվ հաջորդականությունը: Նկատի ունեցեք նաև, որ վերը նշված բանաձևում բավական է իմանալ միայն առաջին տարրը և հայտարարը կամայական թվով տերմինների գումարը գտնելու համար:

Անսահման նվազող հաջորդականություն

Վերևում տրվել է բացատրություն, թե ինչ է դա։ Այժմ, իմանալով Sn-ի բանաձևը, կիրառեք այն այս թվային շարքի վրա: Քանի որ ցանկացած թիվ, որի մոդուլը չի ​​գերազանցում 1-ը, մեծ աստիճանների բարձրացման դեպքում հակված է զրոյի, այսինքն՝ b∞ => 0, եթե -1

Քանի որ տարբերությունը (1 - բ) միշտ դրական կլինի՝ անկախ հայտարարի արժեքից, երկրաչափական S∞-ի նվազող անվերջ առաջընթացի գումարի նշանը եզակիորեն որոշվում է նրա առաջին տարրի a1 նշանով։

Այժմ մենք կքննարկենք մի քանի առաջադրանքներ, որտեղ ցույց կտանք, թե ինչպես կիրառել ստացված գիտելիքները կոնկրետ թվերի վրա:

Խնդիր թիվ 1. Պրոգրեսիայի անհայտ տարրերի և գումարի հաշվարկ

Ձեզ տրված է երկրաչափական պրոգրեսիա, առաջընթացի հայտարարը 2 է, իսկ առաջին տարրը՝ 3։ Ինչի՞ են հավասար նրա 7-րդ և 10-րդ անդամները, և որքա՞ն է նրա յոթ սկզբնական տարրերի գումարը։

Խնդրի պայմանը կազմված է բավականին պարզ և ենթադրում է վերը նշված բանաձևերի ուղղակի օգտագործումը։ Այսպիսով, n թվով տարրը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք an = bn-1 * a1 արտահայտությունը: 7-րդ տարրի համար ունենք՝ a7 = b6 * a1, փոխարինելով հայտնի տվյալները, ստանում ենք՝ a7 = 26 * 3 = 192. Նույնը անում ենք 10-րդ անդամի համար՝ a10 = 29 * 3 = 1536:

Եկեք օգտագործենք գումարի հայտնի բանաձևը և որոշենք այս արժեքը շարքի առաջին 7 տարրերի համար: Մենք ունենք՝ S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381:

Խնդիր թիվ 2. Պրոգրեսիայի կամայական տարրերի գումարի որոշում

Թող -2 լինի bn-1 * 4 էքսպոնենցիալ առաջընթացի հայտարարը, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: Անհրաժեշտ է որոշել այս շարքի 5-րդից 10-րդ տարրից ներառյալ գումարը։

Առաջադրված խնդիրը չի կարող ուղղակիորեն լուծվել՝ օգտագործելով հայտնի բանաձևերը: Այն կարող է լուծվել 2 տարբեր մեթոդներով. Ամբողջականության համար ներկայացնում ենք երկուսն էլ.

Մեթոդ 1. Նրա գաղափարը պարզ է՝ անհրաժեշտ է հաշվարկել առաջին անդամների երկու համապատասխան գումարները, իսկ հետո հանել մյուսը մեկից։ Մենք հաշվարկում ենք ավելի փոքր գումարը՝ S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364: Այժմ մենք հաշվարկում ենք մեծ գումարը՝ S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20: Նշենք, որ վերջին արտահայտության մեջ ամփոփվել է ընդամենը 4 անդամ, քանի որ 5-րդն արդեն ներառված է այն գումարի մեջ, որը պետք է հաշվարկվի ըստ խնդրի պայմանի։ Վերջապես վերցրեք տարբերությունը՝ S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344:

Մեթոդ 2. Մինչ թվերը փոխարինելը և հաշվելը կարող եք ստանալ խնդրո առարկա շարքի m և n անդամների գումարի բանաձև: Մենք անում ենք ճիշտ նույնը, ինչ մեթոդ 1-ում, միայն թե նախ աշխատում ենք գումարի խորհրդանշական ներկայացմամբ: Մենք ունենք՝ Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Ստացված արտահայտության մեջ դուք կարող եք փոխարինել հայտնի թվերը և հաշվարկել վերջնական արդյունքը՝ S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344:

Խնդիր թիվ 3. Ո՞րն է հայտարարը:

Թող a1 = 2, գտնենք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը, պայմանով, որ դրա անսահման գումարը լինի 3, և հայտնի է, որ սա թվերի նվազող շարք է։

Խնդրի պայմանով հեշտ է կռահել, թե որ բանաձեւով է պետք լուծել այն։ Իհարկե, քանի որ առաջընթացի գումարն անվերջ նվազում է։ Մենք ունենք՝ S∞ = a1 / (1 - b): Որտեղից ենք արտահայտում հայտարարը՝ b = 1 - a1 / S∞: Մնում է փոխարինել հայտնի արժեքները և ստանալ անհրաժեշտ թիվը՝ b = 1 - 2/3 = -1 / 3 կամ -0.333 (3): Այս արդյունքը կարող է որակապես ստուգվել, եթե հիշենք, որ այս տեսակի հաջորդականության համար b մոդուլը չպետք է գերազանցի 1-ը: Ինչպես տեսնում եք, | -1 / 3 |

Խնդիր թիվ 4. Մի շարք թվերի վերականգնում

Թող տրվի թվային շարքի 2 տարր, օրինակ՝ 5-րդը հավասար է 30-ի, իսկ 10-ը՝ 60-ի։ Անհրաժեշտ է այս տվյալներից վերակառուցել ամբողջ շարքը՝ իմանալով, որ այն բավարարում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկությունները։

Խնդիրը լուծելու համար նախ պետք է գրել յուրաքանչյուր հայտնի տերմինի համապատասխան արտահայտությունը։ Մենք ունենք՝ a5 = b4 * a1 և a10 = b9 * a1: Այժմ երկրորդ արտահայտությունը բաժանում ենք առաջինի վրա, ստանում ենք՝ a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5: Այստեղից մենք որոշում ենք հայտարարը՝ վերցնելով խնդրի պայմանից հայտնի տերմինների հարաբերակցության հինգերորդ արմատը՝ b = 1,148698։ Ստացված թիվը փոխարինում ենք հայտնի տարրի արտահայտություններից մեկի մեջ, ստանում ենք՝ a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966:

Այսպիսով, մենք գտանք, թե որն է bn պրոգրեսիայի հայտարարը, իսկ երկրաչափական պրոգրեսիան bn-1 * 17,2304966 = an, որտեղ b = 1,148698:

Որտեղ են օգտագործվում երկրաչափական առաջընթացները:

Եթե ​​այս թվային շարքի կիրառումը գործնականում չլիներ, ապա դրա ուսումնասիրությունը կվերածվեր զուտ տեսական հետաքրքրության։ Բայց կա նման դիմում.

Ստորև ներկայացված են 3 ամենահայտնի օրինակները.

• Զենոնի պարադոքսը, որում խելացի Աքիլլեսը չի կարողանում հասնել դանդաղ կրիային, լուծվում է՝ օգտագործելով թվերի անսահման նվազող հաջորդականության գաղափարը:
• Եթե ​​շախմատի տախտակի յուրաքանչյուր քառակուսու վրա ցորենի հատիկներ եք դնում այնպես, որ 1-ին քառակուսու վրա դրվի 1 հատիկ, 2-րդին 2 հատ, 3-րդին 3-ը և այլն, ապա բոլոր քառակուսիները լրացնելու համար անհրաժեշտ է 18446744073709551615 հատիկ։ տախտակ!
• Հանոյի աշտարակ խաղում սկավառակները մի ձողից մյուսը վերադասավորելու համար անհրաժեշտ է կատարել 2n - 1 գործողություն, այսինքն՝ դրանց թիվը երկրաչափորեն աճում է n օգտագործվող սկավառակների քանակով։

Այս թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար, այսինքն՝ յուրաքանչյուր անդամ նախորդից տարբերվում է q անգամով։ (Մենք կենթադրենք, որ q ≠ 1, հակառակ դեպքում ամեն ինչ չափազանց տրիվիալ է): Հեշտ է տեսնել, որ երկրաչափական առաջընթացի n-րդ անդամի ընդհանուր բանաձևը b n = b 1 q n - 1 է; b n և b m թվերով տերմինները տարբերվում են q n - m անգամ:

Արդեն Հին Եգիպտոսում նրանք գիտեին ոչ միայն թվաբանական, այլև երկրաչափական պրոգրեսիա: Օրինակ, ահա մի խնդիր Ռինդի պապիրուսից. «Յոթ դեմքեր ունեն յոթ կատու. Յուրաքանչյուր կատու ուտում է յոթ մուկ, յուրաքանչյուր մուկ ուտում է յոթ հասկ, յուրաքանչյուր հասկից կարող է յոթ չափ գարի աճեցնել: Որքա՞ն մեծ են այս շարքի թվերը և դրանց գումարը»։

Բրինձ. 1. Երկրաչափական պրոգրեսիայի հին եգիպտական ​​խնդիրը

Այս առաջադրանքը բազմիցս կրկնվել է տարբեր տատանումներով այլ ժողովուրդների մեջ այլ ժամանակներում: Օրինակ՝ գրված XIII դ. Պիզայի Լեոնարդո (Ֆիբոնաչի) «Աբակուսի գիրքը» խնդիր ունի, որի ժամանակ 7 պառավներ են գնում Հռոմ (ակնհայտորեն ուխտավորներ), որոնցից յուրաքանչյուրն ունի 7 ջորի, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի 7 պարկ, որոնցից յուրաքանչյուրը ունի. 7 հաց, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի 7 դանակ, որոնցից յուրաքանչյուրը գտնվում է 7 պատյանների մեջ։ Խնդիրը հարցնում է, թե քանի առարկա կա:

S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) երկրաչափական առաջընթացի առաջին n տերմինների գումարը: Այս բանաձևը կարելի է ապացուցել, օրինակ, հետևյալ կերպ՝ S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1:

S n-ին ավելացրեք b 1 q n թիվը և ստացեք.

S n + b 1 qn = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn - 1 + b 1 qn = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn –1) q = b 1 + S nq.

Այսպիսով, S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), և մենք ստանում ենք պահանջվող բանաձևը:

Արդեն VI դարով թվագրվող Հին Բաբելոնի կավե տախտակներից մեկի վրա։ մ.թ.ա ե., պարունակում է 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 գումարը: Ճիշտ է, ինչպես մի շարք այլ դեպքերում, մենք չգիտենք, թե որտեղից է այս փաստը հայտնի բաբելոնացիներին: .

Երկրաչափական առաջընթացի արագ աճը մի շարք մշակույթներում, մասնավորապես, հնդկականում, բազմիցս օգտագործվում է որպես տիեզերքի անսահմանության տեսողական խորհրդանիշ: Շախմատի առաջացման մասին հայտնի լեգենդում տերը դրա գյուտարարին հնարավորություն է տալիս ինքն ընտրել պարգևը, և ​​նա խնդրում է ցորենի հատիկների քանակությունը, որը կստացվի, եթե մեկը դրվի շախմատի տախտակի առաջին քառակուսու վրա. երկրորդում՝ երկու, երրորդում՝ չորս, չորրորդում՝ ութ և այլն, ամեն անգամ, երբ թիվը կրկնապատկվում է։ Վլադիկան կարծում էր, որ խոսքը, առավելագույնը, մի քանի պարկի մասին է, բայց նա սխալ հաշվարկեց։ Հեշտ է նկատել, որ շախմատի տախտակի բոլոր 64 քառակուսիների համար գյուտարարը պետք է ստանար (2 64 - 1) հատիկ, որն արտահայտվում է 20 նիշանոց թվով. եթե անգամ Երկրի ամբողջ մակերեսը ցանվեր, ապա անհրաժեշտ քանակությամբ հացահատիկ հավաքելու համար կպահանջվեր առնվազն 8 տարի: Այս լեգենդը երբեմն մեկնաբանվում է որպես շախմատի խաղում թաքնված գրեթե անսահմանափակ հնարավորությունների ցուցում:

Հեշտ է տեսնել, որ այս թիվն իսկապես 20 նիշ է.

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6 ∙ 10 19 (ավելի ճշգրիտ հաշվարկը տալիս է 1,84 ∙ 10 19): Բայց հետաքրքիր է՝ կարո՞ղ եք պարզել, թե ինչ թվով է ավարտվում այս թիվը:

Երկրաչափական պրոգրեսիան մեծանում է, եթե հայտարարը բացարձակ արժեքով մեծ է 1-ից, կամ նվազում է, եթե այն մեկից փոքր է: Վերջին դեպքում, բավական մեծ n-ի համար q n թիվը կարող է կամայականորեն փոքր դառնալ: Մինչ աճող երկրաչափական առաջընթացն անսպասելիորեն արագ է աճում, նվազողն էլ նույնքան արագ է նվազում:

Որքան մեծ է n-ը, այնքան qn թիվը ավելի թույլ է տարբերվում զրոյից, և այնքան ավելի մոտ է S n = b 1 (1 - qn) / (1 - q) երկրաչափական առաջընթացի n տերմինների գումարը S = b 1 / ( 1 - ք). (Այսպես է պատճառաբանել, օրինակ, Ֆ. Վիետը). S թիվը կոչվում է անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար։ Այնուամենայնիվ, երկար դարեր մաթեմատիկոսների համար բավականաչափ պարզ չէր այն հարցը, թե որն է ԱՄԲՈՂՋ երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարման իմաստը՝ իր անսահման թվով տերմիններով:

Նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա կարելի է տեսնել, օրինակ, Զենոնի «Հալվինգ» և «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիաներում։ Առաջին դեպքում հստակ ցույց է տրված, որ ամբողջ ճանապարհը (ենթադրենք 1 երկարություն) անսահման թվով հատվածների 1/2, 1/4, 1/8 և այլն գումարն է։ Սա, իհարկե, վերջավոր գումարի անվերջ երկրաչափական պրոգրեսիա հասկացության տեսակետը: Եվ այնուամենայնիվ, ինչպե՞ս կարող է դա լինել:

Բրինձ. 2. Առաջընթաց 1/2 գործակցով

Աքիլլեսի մասին ապորիայում իրավիճակը մի փոքր ավելի բարդ է, քանի որ այստեղ առաջընթացի հայտարարը հավասար է ոչ թե 1/2-ի, այլ ինչ-որ այլ թվի։ Ենթադրենք, օրինակ, Աքիլլեսը վազում է v արագությամբ, կրիան շարժվում է u արագությամբ, և նրանց միջև սկզբնական հեռավորությունը հավասար է l-ի։ Աքիլեսը կվազի այս հեռավորությունը l/v ժամանակով, կրիան այս ընթացքում կտեղափոխվի lu/v հեռավորությամբ: Երբ Աքիլեսը վարում է այս հատվածը, նրա և կրիայի միջև հեռավորությունը հավասար կլինի l (u/v) 2-ի և այլն: Պարզվում է, որ կրիային հասնելը նշանակում է գտնել անսահման նվազող երկրաչափական առաջընթացի գումարը առաջին անդամի հետ: l և հայտարար u / v. Այս գումարը` այն հատվածը, որը Աքիլեսը ի վերջո կվազի դեպի այն վայրը, որտեղ նա կհանդիպի կրիային, հավասար է l / (1 - u / v) = lv / (v - u): Բայց, դարձյալ, ինչպես պետք է մեկնաբանել այս արդյունքը և ինչու է դա ընդհանրապես իմաստալից, երկար ժամանակ այնքան էլ պարզ չէր:

Բրինձ. 3. Երկրաչափական պրոգրեսիա 2/3 գործակցով

Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը օգտագործվել է Արքիմեդի կողմից պարաբոլայի հատվածի մակերեսը որոշելու համար: Թող պարաբոլայի տրված հատվածը սահմանազատվի AB ակորդով, իսկ պարաբոլայի D կետի շոշափող ուղիղը AB-ին զուգահեռ: Թող C-ն լինի AB-ի միջնակետը, E-ը՝ AC-ի, F-ը՝ CB-ի միջնակետը: DC-ին զուգահեռ ուղիղ գծեր գծե՛ք A, E, F, B կետերով; թող D կետում գծված շոշափողը, այս ուղիղները հատվեն K, L, M, N կետերում։ Նկարենք նաև AD և DB հատվածները։ Թող EL ուղիղը հատի AD ուղիղը G կետում, պարաբոլան՝ H կետում; FM ուղիղը հատում է DB ուղիղը Q կետում, պարաբոլան՝ R կետում։ Համաձայն կոնային հատվածների ընդհանուր տեսության՝ DC-ն պարաբոլայի տրամագիծն է (այսինքն՝ նրա առանցքին զուգահեռ հատված); այն և D կետի շոշափողը կարող են ծառայել որպես x և y կոորդինատային առանցքներ, որոնցում պարաբոլայի հավասարումը գրված է որպես y 2 = 2px (x-ը հեռավորությունն է D-ից մինչև տվյալ տրամագծի ցանկացած կետ, y-ը a-ի երկարությունն է: տրված շոշափող գծին զուգահեռ տրամագծի այս կետից մինչև պարաբոլայի որոշ կետ):

Պարաբոլայի հավասարման ուժով DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, և քանի որ DK = 2DL, ապա KA = 4LH: Քանի որ KA = 2LG, LH = HG: Պարաբոլայի ADB հատվածի տարածքը հավասար է ΔADB եռանկյունու մակերեսին և AHD և DRB հատվածների տարածքները միասին վերցրած: Իր հերթին, AHD հատվածի տարածքը նմանապես հավասար է AHD եռանկյունու մակերեսին և մնացած AH և HD հատվածներին, որոնցից յուրաքանչյուրով կարող եք կատարել նույն գործողությունը. բաժանել եռանկյունու (Δ) և երկու մնացած հատվածներ () և այլն.

ΔAHD եռանկյան մակերեսը հավասար է ΔALD եռանկյան մակերեսի կեսին (նրանք ունեն ընդհանուր հիմք AD, իսկ բարձրությունները տարբերվում են 2 գործակցով), որն իր հերթին հավասար է մակերեսի կեսին։ եռանկյուն ԴAKD, և, հետևաբար, ΔACD եռանկյան տարածքի կեսը: Այսպիսով, ΔAHD եռանկյան մակերեսը հավասար է ΔACD եռանկյան տարածքի քառորդին: Նմանապես, ΔDRB եռանկյան մակերեսը հավասար է ΔDFB եռանկյան տարածքի քառորդին: Այսպիսով, ΔAHD և ΔDRB եռանկյունների մակերեսները, միասին վերցրած, հավասար են ΔADB եռանկյան մակերեսի քառորդին: AH, HD, DR և RB հատվածների վրա կիրառվող այս գործողությունը կրկնելու դեպքում դրանցից կընտրվեն նաև եռանկյուններ, որոնց մակերեսը միասին վերցրած 4 անգամ փոքր կլինի ΔAHD և ΔDRB եռանկյունների մակերեսից միասին վերցրած, նշանակում է 16 անգամ պակաս, քան ΔADB եռանկյան մակերեսը: և այլն:

Այսպիսով, Արքիմեդն ապացուցեց, որ «ուղիղ գծի և պարաբոլայի միջև պարփակված յուրաքանչյուր հատված նույն հիմքով և հավասար բարձրությամբ եռանկյունու չորս երրորդն է»։

Դաս և ներկայացում «Թվերի հաջորդականություններ. Երկրաչափական առաջընթաց» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ Ինտեգրալ առցանց խանութում 9-րդ դասարանի համար
Աստիճաններ և արմատներ Գործառույթներ և գրաֆիկներ

Տղերք, այսօր մենք կծանոթանանք պրոգրեսիայի մեկ այլ տեսակի հետ։
Այսօրվա դասի թեման երկրաչափական պրոգրեսիա է։

Երկրաչափական առաջընթաց

Սահմանում. Թվային հաջորդականությունը, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ և որոշ հաստատուն թվի արտադրյալին, կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիա։
Եկեք մեր հաջորդականությունը սահմանենք ռեկուրսիվ՝ $ b_ (1) = b $, $ b_ (n) = b_ (n-1) * q $,
որտեղ b և q որոշակի թվեր են: q թիվը կոչվում է պրոգրեսիայի հայտարար։

Օրինակ. 1,2,4,8,16 ... Երկրաչափական պրոգրեսիա, որում առաջին անդամը հավասար է մեկի, իսկ $ q = 2 $։

Օրինակ. 8,8,8,8 ... Երկրաչափական պրոգրեսիա, որտեղ առաջին անդամը հավասար է ութի,
և $ q = 1 $:

Օրինակ. 3, -3.3, -3.3 ... Երկրաչափական պրոգրեսիա, որտեղ առաջին անդամը հավասար է երեքի,
և $ q = -1 $:

Երկրաչափական պրոգրեսիան ունի միապաղաղության հատկություն։
Եթե ​​$ b_ (1)> 0 $, $ q> 1 $,
ապա հաջորդականությունը աճում է:
Եթե ​​$ b_ (1)> 0 $, $ 0 Հերթականությունը սովորաբար նշվում է այսպես՝ $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $:

Ինչպես թվաբանական պրոգրեսիայում, եթե երկրաչափական պրոգրեսիայում տարրերի թիվը վերջավոր է, ապա պրոգրեսիան կոչվում է վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա։

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $:
Նկատի ունեցեք, եթե հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, ապա անդամների քառակուսիների հաջորդականությունը նույնպես երկրաչափական պրոգրեսիա է։ Երկրորդ հաջորդականության համար առաջին անդամը $ b_ (1) ^ 2 $ է, իսկ հայտարարը $ q ^ 2 $ է։

Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը

Երկրաչափական պրոգրեսիան կարող է սահմանվել նաև վերլուծական ձևով: Տեսնենք, թե ինչպես դա անել.
$ b_ (1) = b_ (1) $:
$ b_ (2) = b_ (1) * q $.
$ b_ (3) = b_ (2) * q = b_ (1) * q * q = b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) = b_ (3) * q = b_ (1) * q ^ 3 $.
$ b_ (5) = b_ (4) * q = b_ (1) * q ^ 4 $.
Մենք հեշտությամբ նկատում ենք օրինակը՝ $ b_ (n) = b_ (1) * q ^ (n-1) $:
Մեր բանաձևը կոչվում է «երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձև»։

Եկեք վերադառնանք մեր օրինակներին:

Օրինակ. 1,2,4,8,16 ... Երկրաչափական պրոգրեսիա, որում առաջին անդամը հավասար է մեկի,
և $ q = 2 $:
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $:

Օրինակ. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը տասնվեց է և $ q = \ ֆրակ (1) (2) $:
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $:

Օրինակ. 8,8,8,8 ... Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը ութ է, իսկ $ q = 1 $:
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 $:

Օրինակ. 3, -3.3, -3.3 ... Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը երեք է, իսկ $ q = -1 $:
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $:

Օրինակ. Ձեզ տրվում է երկրաչափական պրոգրեսիա $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $:
ա) Հայտնի է, որ $ b_ (1) = 6, q = 3 $: Գտեք $ b_ (5) $:
բ) Հայտնի է, որ $ b_ (1) = 6, q = 2, b_ (n) = 768 $: Գտեք n.
գ) Հայտնի է, որ $ q = -2, b_ (6) = 96 $: Գտեք $ b_ (1) $:
դ) Հայտնի է, որ $ b_ (1) = - 2, b_ (12) = 4096 $: Գտեք ք.

Լուծում.
ա) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 $:
բ) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 $:
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $, քանի որ $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7; n = 8 $:
գ) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $:
դ) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 $:

Օրինակ. Երկրաչափական պրոգրեսիայի յոթերորդ և հինգերորդ անդամների տարբերությունը 192 է, առաջընթացի հինգերորդ և վեցերորդ անդամների գումարը 192 է։ Գտե՛ք այս պրոգրեսիայի տասներորդ անդամը։

Լուծում.
Մենք գիտենք, որ $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ և $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $:
Մենք նաև գիտենք՝ $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
Ապա.
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 $.
Մենք ստացել ենք հավասարումների համակարգ.
$ \ սկիզբ (դեպքեր) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ վերջ (դեպքեր) $.
Հավասարեցնելով՝ մեր հավասարումները ստանում են.
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 = q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 = 0 $:
Ստացանք երկու լուծում q՝ $ q_ (1) = 2, q_ (2) = - 1 $:
Հաջորդաբար փոխարինեք երկրորդ հավասարման մեջ.
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 $:
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ լուծումներ չկան:
Մենք ստացանք, որ $ b_ (1) = 4, q = 2 $:
Գտե՛ք տասներորդ անդամը՝ $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $:

Վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը

Ենթադրենք՝ ունենք վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա։ Եկեք, ինչպես նաև թվաբանական առաջընթացի համար, հաշվենք դրա անդամների գումարը։

Թող տրվի վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա՝ $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $:
Ներկայացնենք նրա անդամների գումարի նշումը՝ $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $:
Այն դեպքում, երբ $ q = 1 $: Երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր անդամները հավասար են առաջին անդամին, ապա ակնհայտ է, որ $ S_ (n) = n * b_ (1) $:
Այժմ դիտարկենք $ q ≠ 1 $ դեպքը:
Վերը նշված գումարը բազմապատկեք q-ով:
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $:
Նշում:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $:
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $:

$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $:

$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $:

$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Ստացանք վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը.

Օրինակ.
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին յոթ անդամների գումարը, որտեղ առաջին անդամը 4 է, իսկ հայտարարը՝ 3։

Լուծում.
$ S_ (7) = \ ֆրակ (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 $:

Օրինակ.
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը, որը հայտնի է՝ $ b_ (1) = - 3 $; $ b_ (n) = - 3072 $; $ S_ (n) = - 4095 $:

Լուծում.
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 $:
$ q ^ (n-1) = 1024 $:
$ q ^ (n) = 1024q $:

$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 $:
$ -4095 (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) $:
$ -4095 (q-1) = - 3 * (1024q-1) $:
$ 1365q-1365 = 1024q-1 $:
$341q = $1364:
$ q = 4 $:
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 $:

Երկրաչափական պրոգրեսիայի բնորոշ հատկություն

Տղերք, տրված է երկրաչափական պրոգրեսիա։ Դիտարկենք նրա երեք հաջորդական անդամներ՝ $ b_ (n-1), b_ (n), b_ (n + 1) $:
Մենք գիտենք, որ.
$ \ ֆրակ (b_ (n)) (q) = b_ (n-1) $:
$ b_ (n) * q = b_ (n + 1) $:
Ապա.
$ \ frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q = b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $:
Եթե ​​առաջընթացը վերջավոր է, ապա այս հավասարությունը գործում է բոլոր անդամների համար, բացի առաջինից և վերջինից:
Եթե ​​նախապես հայտնի չէ, թե ինչ հաջորդականություն է, բայց հայտնի է, որ $ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
Այնուհետև մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ սա երկրաչափական պրոգրեսիա է:

Թվային հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է միայն այն դեպքում, երբ նրա յուրաքանչյուր անդամի քառակուսին հավասար է պրոգրեսիայի երկու հարակից անդամների արտադրյալին: Մի մոռացեք, որ վերջավոր առաջընթացի համար այս պայմանը չի բավարարվում առաջին և վերջին անդամների համար:

Եկեք նայենք այս ինքնությանը. $ \ sqrt (b_ (n) ^ (2)) = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $:
$ | b_ (n) | = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ \ sqrt (a * b) $-ը կոչվում է a և b թվերի երկրաչափական միջին։

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի մոդուլը հավասար է դրան կից երկու անդամների երկրաչափական միջինին:

Օրինակ.
Գտեք x այնպես, որ $ x + 2; 2x + 2; 3x + 3 $-ը երեք հաջորդական էքսպոնենցիոնալ անդամներ էին:

Լուծում.
Եկեք օգտագործենք բնորոշ հատկությունը.
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $:
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 = 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $:
$ x ^ 2-x-2 = 0 $:
$ x_ (1) = 2 $ և $ x_ (2) = - 1 $:
Հաջորդաբար փոխարինելով սկզբնական արտահայտության մեջ՝ մեր լուծումները.
$ x = 2 $-ով մենք ստացանք հաջորդականությունը. 4; 6; 9 - երկրաչափական պրոգրեսիա, որում $ q = 1,5 $:
$ x = -1 $-ով ստացանք հաջորդականությունը՝ 1; 0; 0:
Պատասխան՝ $ x = 2. $

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

1. Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի ութերորդ առաջին անդամը 16, -8, 4, -2…:
2. Գտի՛ր երկրաչափական պրոգրեսիայի տասներորդ անդամը 11,22,44….
3. Հայտնի է, որ $ b_ (1) = 5, q = 3 $: Գտեք $ b_ (7) $:
4. Հայտնի է, որ $ b_ (1) = 8, q = -2, b_ (n) = 512 $: Գտեք n.
5. Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին 11 անդամների գումարը 3, 12, 48…:
6. Գտեք x այնպես, որ $ 3x + 4; 2x + 4; x + 5 $-ը երեք հաջորդական էքսպոնենցիալ անդամներ են:

Երկրաչափական առաջընթացոչ պակաս կարևոր մաթեմատիկայի մեջ, քան թվաբանությունը: Երկրաչափական առաջընթացը b1, b2, ..., b [n] թվերի հաջորդականությունն է, որոնց յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը ստացվում է նախորդը բազմապատկելով հաստատուն թվով։ Այս թիվը, որը նաև բնութագրում է առաջընթացի աճի կամ անկման տեմպերը, կոչվում է երկրաչափական առաջընթացի հայտարարև նշել

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ամբողջական նշանակման համար, բացի հայտարարից, անհրաժեշտ է իմանալ կամ որոշել դրա առաջին անդամը։ Հայտարարի դրական արժեքի համար պրոգրեսիան միապաղաղ հաջորդականություն է, և եթե թվերի այս հաջորդականությունը միապաղաղ նվազում է, իսկ համար՝ միապաղաղ աճող։ Գործնականում չի դիտարկվում այն ​​դեպքը, երբ հայտարարը հավասար է մեկին, քանի որ մենք ունենք միանման թվերի հաջորդականություն, և դրանց գումարումը գործնական հետաքրքրություն չի ներկայացնում։

Երկրաչափական առաջընթացի ընդհանուր տերմինհաշվարկված բանաձևով

Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարըորոշվում է բանաձևով

Դիտարկենք դասական խնդիրների լուծումները երկրաչափական պրոգրեսիայի վրա: Հասկանալու համար սկսենք ամենապարզներից։

Օրինակ 1. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 27 է, իսկ հայտարարը՝ 1/3։ Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամները:

Լուծում. Խնդրի պայմանը ձևով գրենք

Հաշվարկների համար մենք օգտագործում ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը

Դրա հիման վրա մենք գտնում ենք պրոգրեսիայի անհայտ անդամներին

Ինչպես տեսնում եք, երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանները հաշվարկելը դժվար չէ։ Առաջընթացն ինքնին այսպիսի տեսք կունենա

Օրինակ 2. Տրված են երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին երեք անդամները՝ 6; -12; 24. Գտի՛ր հայտարարը և նրա յոթերորդ անդամը:

Լուծում. Հաշվե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը՝ հիմնվելով դրա սահմանման վրա

Ստացանք փոփոխական երկրաչափական պրոգրեսիա, որի հայտարարը -2 է։ Յոթերորդ անդամը հաշվարկվում է բանաձևով

Սա լուծել է խնդիրը։

Օրինակ 3. Երկրաչափական պրոգրեսիա է տրված նրա անդամներից երկուսի կողմից ... Գտի՛ր առաջընթացի տասներորդ անդամը:

Լուծում:

Բանաձևերի միջոցով գրենք տրված արժեքները

Ըստ կանոնների՝ անհրաժեշտ կլիներ գտնել հայտարարը, այնուհետև փնտրել ցանկալի արժեքը, բայց տասներորդ անդամի համար մենք ունենք.

Նույն բանաձևը կարելի է ձեռք բերել մուտքային տվյալների հետ պարզ մանիպուլյացիաների հիման վրա: Շարքի վեցերորդ անդամը բաժանում ենք մյուսի, արդյունքում ստանում ենք

Եթե ​​ստացված արժեքը բազմապատկվում է վեցերորդ անդամով, ապա ստանում ենք տասներորդը

Այսպիսով, նման առաջադրանքների համար, օգտագործելով պարզ փոխակերպումները արագ ճանապարհով, կարող եք գտնել ճիշտ լուծումը։

Օրինակ 4. Երկրաչափական առաջընթացը տրվում է կրկնվող բանաձևերով

Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը և առաջին վեց անդամների գումարը:

Լուծում:

Տրված տվյալները գրենք հավասարումների համակարգի տեսքով

Արտահայտի՛ր հայտարարը՝ երկրորդ հավասարումը բաժանելով առաջինի վրա

Գտե՛ք առաջընթացի առաջին անդամը առաջին հավասարումից

Եկեք հաշվարկենք հաջորդ հինգ անդամները, որպեսզի գտնենք երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը