Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման բանաձևերը օրինակներ են: Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ

Եռանկյունաչափական հավասարումները ամենահեշտ թեման չեն: Ցավալիորեն դրանք բազմազան են։) Օրինակ՝ սրանք.

sin2x + cos3x = ctg5x

sin (5x+π /4) = ctg (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

և այլն...

Բայց այս (և բոլոր մյուս) եռանկյունաչափական հրեշներն ունեն երկու ընդհանուր և պարտադիր հատկանիշ։ Առաջինը, չես հավատա, հավասարումների մեջ կան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:) Երկրորդ. x-ով բոլոր արտահայտությունները. այս նույն գործառույթների շրջանակներում:Եվ միայն այնտեղ! Եթե ​​x ինչ-որ տեղ հայտնվում է դրսում,Օրինակ, sin2x + 3x = 3,սա կլինի հավասարումը խառը տեսակ. Նման հավասարումները պահանջում են անհատական ​​մոտեցում։ Այստեղ մենք դրանք չենք դիտարկի:

Այս դասին էլ չար հավասարումներ չենք լուծի։) Այստեղ կզբաղվենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները.Ինչո՞ւ։ Այո, քանի որ որոշումը ցանկացածեռանկյունաչափական հավասարումները բաղկացած են երկու փուլից. Առաջին փուլում տարբեր փոխակերպումներով չար հավասարումը վերածվում է պարզի։ Երկրորդի վրա՝ այս ամենապարզ հավասարումը լուծված է: Ուրիշ ճանապարհ չկա։

Այսպիսով, եթե դուք խնդիրներ ունեք երկրորդ փուլում, ապա առաջին փուլն այնքան էլ իմաստ չունի:)

Ինչպիսի՞ն են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները:

sinx = ա

cosx = ա

tgx = ա

ctgx = ա

Այստեղ ա նշանակում է ցանկացած թիվ: Ցանկացած.

Ի դեպ, ֆունկցիայի ներսում կարող է լինել ոչ թե մաքուր x, այլ ինչ-որ արտահայտություն, ինչպիսին է.

cos(3x+π /3) = 1/2

և այլն: Սա բարդացնում է կյանքը, բայց չի ազդում եռանկյունաչափական հավասարման լուծման մեթոդի վրա:

Ինչպե՞ս լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:

Եռանկյունաչափական հավասարումները կարելի է լուծել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը` օգտագործելով տրամաբանությունը և եռանկյունաչափական շրջանը: Մենք կուսումնասիրենք այս ճանապարհը այստեղ: Երկրորդ ճանապարհը՝ հիշողության և բանաձևերի օգտագործումը, կքննարկվի հաջորդ դասում:

Առաջին ճանապարհը պարզ է, վստահելի և դժվար է մոռանալ:) Այն լավ է եռանկյունաչափական հավասարումներ, անհավասարություններ և բոլոր տեսակի խորամանկ ոչ ստանդարտ օրինակներ լուծելու համար: Տրամաբանությունն ավելի ուժեղ է, քան հիշողությունը:

Մենք լուծում ենք հավասարումները՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջան:

Մենք ներառում ենք տարրական տրամաբանություն և եռանկյունաչափական շրջանակ օգտագործելու ունակություն: Չե՞ս կարող։ Այնուամենայնիվ... Եռանկյունաչափության մեջ ձեզ համար դժվար կլինի...) Բայց դա նշանակություն չունի։ Նայեք դասերին «Եռանկյունաչափական շրջան ...... Ի՞նչ է դա»: և «Անկյունների հաշվում եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա»։ Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է. Ի տարբերություն դասագրքերի...)

Ահ, գիտե՞ք! Եվ նույնիսկ յուրացրել է «Գործնական աշխատանք եռանկյունաչափական շրջանով»!? Ընդունեք շնորհավորանքներ: Այս թեման ձեզ մոտ և հասկանալի կլինի։) Հատկապես հաճելին այն է, որ եռանկյունաչափական շրջանին չի հետաքրքրում, թե որ հավասարումը կլուծեք։ Սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս - նրա մոտ ամեն ինչ նույնն է: Լուծման սկզբունքը նույնն է.

Այստեղ մենք վերցնում ենք ցանկացած տարրական եռանկյունաչափական հավասարում. Գոնե սա.

cosx = 0,5

Ես պետք է գտնեմ X. Խոսելով մարդկային լեզվով, դուք պետք է գտե՛ք անկյունը (x), որի կոսինուսը 0,5 է։

Ինչպե՞ս էինք նախկինում օգտագործում շրջանակը: Մենք դրա վրա մի անկյուն գծեցինք։ աստիճաններով կամ ռադիաններով: Եվ անմիջապես տեսած այս անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Հիմա անենք հակառակը։ Շրջանակի վրա գծե՛ք 0,5-ի հավասար կոսինուս և անմիջապես կտեսնենք ներարկում. Մնում է միայն գրել պատասխանը։) Այո՛, այո։

Մենք շրջանագիծ ենք գծում և նշում ենք 0,5 հավասար կոսինուսը։ Կոսինուսի առանցքի վրա, իհարկե։ Սրա նման:

Այժմ գծենք այն անկյունը, որը մեզ տալիս է այս կոսինուսը: Սկավառեք ձեր մկնիկը նկարի վրա (կամ հպեք նկարը պլանշետի վրա) և տեսնելայս նույն անկյունը X.

Ո՞ր անկյունն ունի 0,5 կոսինուս:

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Ոմանք թերահավատորեն կմռթնան, այո... Ասում են՝ արժե՞ր շրջանակը պարսպել, երբ ամեն ինչ պարզ է, իհարկե... Կարելի է, իհարկե, մռնչալ...) Բայց փաստն այն է, որ սա սխալ է։ պատասխանել. Ավելի ճիշտ՝ ոչ ադեկվատ։ Շրջանակի գիտակները հասկանում են, որ դեռևս կան մի ամբողջ փունջ անկյուններ, որոնք նույնպես տալիս են 0,5-ի հավասար կոսինուս։

Եթե ​​դուք շրջեք շարժական կողմը OA ամբողջական շրջադարձի համար, A կետը կվերադառնա իր սկզբնական դիրքին: Նույն կոսինուսով, որը հավասար է 0,5-ի: Նրանք. անկյունը կփոխվի 360° կամ 2π ռադիաններ, և կոսինուսը չէ: 60° + 360° = 420° նոր անկյունը նույնպես կլինի մեր հավասարման լուծումը, քանի որ.

Նման լրիվ պտույտների անսահման քանակ կա... Եվ այս բոլոր նոր անկյունները կլինեն մեր եռանկյունաչափական հավասարման լուծումներ։ Եվ դրանք բոլորը պետք է ինչ-որ կերպ գրի առնել: Ամեն ինչ.Հակառակ դեպքում որոշումը չի դիտարկվում, այո...)

Մաթեմատիկան կարող է դա անել պարզ և նրբագեղ: Մեկ կարճ պատասխանում գրեք անսահման հավաքածուլուծումներ։ Ահա թե ինչ տեսք ունի մեր հավասարման համար.

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ես կվերծանեմ. Դեռ գրիր իմաստալիցավելի լավ է, քան հիմարաբար ինչ-որ առեղծվածային տառեր նկարելը, այնպես չէ՞:)

π /3 նույն անկյունն է, ինչ մենք տեսավշրջանի վրա և որոշվածըստ կոսինուսների աղյուսակի.

2պ մեկ լրիվ պտույտ է ռադիաններով:

n - սա ամբողջականների թիվն է, այսինքն. ամբողջհեղափոխություններ։ Հասկանալի է, որ n կարող է լինել 0, ±1, ±2, ±3.... և այլն։ Ինչ է նշվում կարճ նշում:

n ∈ Զ

n պատկանում է ( ∈ ) ամբողջ թվերի բազմությանը ( Զ ): Ի դեպ, նամակի փոխարեն n տառերը կարող են օգտագործվել k, m, t և այլն:

Այս նշումը նշանակում է, որ դուք կարող եք վերցնել ցանկացած ամբողջ թիվ n . Առնվազն -3, առնվազն 0, առնվազն +55: Ինչ ես դու ուզում. Եթե ​​այդ թիվը միացնեք ձեր պատասխանին, կստանաք կոնկրետ անկյուն, որը, անկասկած, կլինի մեր կոշտ հավասարման լուծումը:)

Կամ, այլ կերպ ասած, x \u003d π / 3 անսահման բազմության միակ արմատն է: Մնացած բոլոր արմատները ստանալու համար բավական է ցանկացած քանակի ամբողջական պտույտներ ավելացնել π ​​/ 3-ին ( n ) ռադիաններով։ Նրանք. 2πn ռադիան.

Ամեն ինչ? Ոչ Ես հատուկ ձգում եմ հաճույքը: Ավելի լավ հիշելու համար։) Մենք ստացանք մեր հավասարման պատասխանների միայն մի մասը։ Լուծման այս առաջին մասը կգրեմ հետևյալ կերպ.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ոչ մի արմատ, դա արմատների մի ամբողջ շարք է՝ գրված կարճ ձևով։

Բայց կան նաև այլ անկյուններ, որոնք նույնպես տալիս են 0,5-ի հավասար կոսինուս:

Վերադառնանք մեր նկարին, ըստ որի՝ գրել ենք պատասխանը. Ահա նա.

Մկնիկը տեղափոխեք պատկերի վրայով և տեսնելմեկ այլ անկյուն, որ տալիս է նաև կոսինուս 0,5։Ի՞նչ եք կարծում, դա ինչի՞ն է հավասար: Եռանկյունները նույնն են... Այո՛։ Այն հավասար է անկյունին X , միայն գծված է բացասական ուղղությամբ։ Սա անկյունն է -X. Բայց մենք արդեն հաշվարկել ենք x. π /3 կամ 60°. Հետևաբար, մենք կարող ենք ապահով գրել.

x 2 \u003d - π / 3

Եվ, իհարկե, մենք ավելացնում ենք բոլոր անկյունները, որոնք ստացվում են ամբողջական շրջադարձերի միջոցով.

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Հիմա այսքանն է։) Եռանկյունաչափական շրջանակում՝ մենք տեսավ(ով իհարկե հասկանում է)) բոլորըանկյուններ, որոնք տալիս են 0,5 հավասար կոսինուս: Եվ նրանք գրեցին այս անկյունները կարճ մաթեմատիկական ձևով: Պատասխանը երկու անսահման շարք արմատներ է.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Սա ճիշտ պատասխանն է։

Հույս, եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սկզբունքշրջանագծի օգնությամբ հասկանալի է. Տրված հավասարումից շրջանագծի վրա նշում ենք կոսինուսը (սինուս, տանգենս, կոտանգենս), գծում ենք համապատասխան անկյունները և գրում պատասխանը։Իհարկե, պետք է պարզել, թե ինչպիսի անկյուններ ենք մենք տեսավշրջանագծի վրա։ Երբեմն դա այնքան էլ ակնհայտ չէ: Դե, ինչպես ասացի, այստեղ տրամաբանություն է պահանջվում։)

Օրինակ, եկեք վերլուծենք մեկ այլ եռանկյունաչափական հավասարում.

Խնդրում եմ նկատի ունեցեք, որ 0,5 թիվը միակ հնարավոր թիվը չէ հավասարումների մեջ։) Ուղղակի ինձ համար ավելի հարմար է գրել այն, քան արմատներն ու կոտորակները։

Մենք աշխատում ենք ընդհանուր սկզբունքով. Մենք գծում ենք շրջան, նշում (իհարկե սինուսի առանցքի վրա) 0,5: Մենք միանգամից գծում ենք այս սինուսին համապատասխան բոլոր անկյունները։ Մենք ստանում ենք այս նկարը.

Եկեք նախ զբաղվենք անկյունով: X առաջին եռամսյակում։ Մենք հիշում ենք սինուսների աղյուսակը և որոշում այս անկյան արժեքը: Հարցը պարզ է.

x \u003d π / 6

Մենք հիշում ենք ամբողջ շրջադարձերը և հանգիստ խղճով գրում պատասխանների առաջին շարքը.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Գործի կեսն արված է։ Այժմ մենք պետք է սահմանենք երկրորդ անկյուն...Սա ավելի բարդ է, քան կոսինուսներում, այո... Բայց տրամաբանությունը մեզ կփրկի: Ինչպես որոշել երկրորդ անկյունը x-ի միջոցով Այո Հեշտ! Նկարում պատկերված եռանկյունները նույնն են, իսկ կարմիր անկյունը X հավասար է անկյան X . Միայն այն հաշվվում է π անկյան տակ բացասական ուղղությամբ։ Դրա համար էլ կարմիր է։) Իսկ պատասխանի համար մեզ անհրաժեշտ է OX դրական կիսաառանցքից ճիշտ չափված անկյուն, այսինքն. 0 աստիճանի անկյան տակ:

Սավառնեք կուրսորը նկարի վրա և տեսեք ամեն ինչ: Առաջին անկյունը հանեցի, որպեսզի նկարը չբարդացնեմ։ Մեզ հետաքրքրող անկյունը (կանաչով նկարված) հավասար կլինի.

π - x

x մենք դա գիտենք π /6 . Այսպիսով, երկրորդ անկյունը կլինի.

π - π /6 = 5π /6

Կրկին հիշում ենք ամբողջական հեղափոխությունների հավելումը և գրում պատասխանների երկրորդ շարքը.

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Այսքանը: Ամբողջական պատասխանը բաղկացած է արմատների երկու շարքից.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Շոշափող և կոտանգենսով հավասարումները կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման նույն ընդհանուր սկզբունքը: Եթե, իհարկե, չգիտեք, թե ինչպես գծել շոշափողն ու կոտանգենսը եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա:

Վերոնշյալ օրինակներում ես օգտագործել եմ սինուսի և կոսինուսի աղյուսակային արժեքը՝ 0,5: Նրանք. այն իմաստներից մեկը, որը սովորողը գիտի պետք է.Հիմա եկեք ընդլայնենք մեր հնարավորությունները մինչև մնացած բոլոր արժեքները:Որոշիր, ուրեմն որոշիր։)

Այսպիսով, ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք հետևյալ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Կարճ աղյուսակներում կոսինուսի նման արժեքը չկա։ Մենք սառնասրտորեն անտեսում ենք այս սարսափելի փաստը։ Շրջանագիծ ենք գծում, կոսինուսի առանցքի վրա նշում ենք 2/3-ը և գծում համապատասխան անկյունները։ Մենք ստանում ենք այս նկարը.

Մենք հասկանում ենք, ի սկզբանե, առաջին եռամսյակի անկյունից: Իմանալու համար, թե ինչին է հավասար x-ը, նրանք անմիջապես կգրեին պատասխանը։ Չգիտենք... Անհաջողությո՞ւն։ Հանգիստ. Մաթեմատիկան դժվարության մեջ չի թողնում իր սեփականը: Նա այս դեպքի համար հորինեց աղեղային կոսինուսներ: Չգիտեմ? Իզուր. Պարզեք: Դա շատ ավելի հեշտ է, քան կարծում եք: Այս հղումով, ոչ մի բարդ ուղղագրություն «հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ«Ոչ... Այս թեմայում ավելորդ է։

Եթե ​​դուք տեղյակ եք, պարզապես ասեք ինքներդ ձեզ. «X-ը անկյուն է, որի կոսինուսը 2/3 է»: Եվ անմիջապես, զուտ արկկոսինի սահմանմամբ, կարող ենք գրել.

Մենք հիշում ենք լրացուցիչ հեղափոխությունների մասին և հանգիստ գրում ենք մեր եռանկյունաչափական հավասարման արմատների առաջին շարքը.

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Արմատների երկրորդ շարքը նույնպես գրվում է գրեթե ինքնաբերաբար՝ երկրորդ անկյան համար։ Ամեն ինչ նույնն է, միայն x (arccos 2/3) կլինի մինուսով.

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Եվ բոլոր բաները: Սա ճիշտ պատասխանն է։ Նույնիսկ ավելի հեշտ է, քան աղյուսակային արժեքներով: Պետք չէ ոչինչ հիշել։) Ի դեպ, ամենաուշադիրները կնկատեն, որ այս նկարը լուծում է աղեղի կոսինուսի միջով։ ըստ էության չի տարբերվում cosx = 0.5 հավասարման նկարից:

Ճիշտ! Ընդհանուր սկզբունքդրա համար էլ սովորական է! Ես հատուկ նկարեցի երկու գրեթե նույնական նկարներ: Շրջանակը մեզ ցույց է տալիս անկյունը X իր կոսինուսով։ Դա աղյուսակային կոսինուս է, թե ոչ՝ շրջանագիծը չգիտի։ Ինչպիսի՞ անկյուն է սա, π / 3, կամ ինչպիսի աղեղային կոսինուս պետք է որոշենք:

Սինուսով նույն երգը. Օրինակ:

Կրկին շրջանագիծ ենք գծում, նշում ենք 1/3-ի սինուսը, գծում ենք անկյունները։ Ստացվում է այս նկարը.

Եվ կրկին պատկերը գրեթե նույնն է, ինչ հավասարման դեպքում sinx = 0,5:Առաջին քառորդում կրկին սկսում ենք անկյունայինից։ Ինչի՞ է հավասար x-ը, եթե նրա սինուսը 1/3 է: Ոչ մի խնդիր!

Այսպիսով, արմատների առաջին փաթեթը պատրաստ է.

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Եկեք նայենք երկրորդ անկյունին: 0,5 աղյուսակի արժեքով օրինակում այն ​​հավասար էր.

π - x

Այսպիսով, այստեղ դա կլինի ճիշտ նույնը: Միայն x-ն է տարբեր, arcsin 1/3: Եւ ինչ!? Դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների երկրորդ փաթեթը.

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Սա լիովին ճիշտ պատասխան է։ Չնայած դա այնքան էլ ծանոթ չի թվում: Բայց դա հասկանալի է, հուսով եմ:)

Այսպես են լուծվում եռանկյունաչափական հավասարումները շրջանագծի միջոցով։ Այս ճանապարհը պարզ է և հասկանալի։ Նա է, ով խնայում է եռանկյունաչափական հավասարումների մեջ՝ տրված միջակայքում արմատների ընտրությամբ, եռանկյունաչափական անհավասարություններում. դրանք հիմնականում լուծվում են գրեթե միշտ շրջանագծի մեջ։ Մի խոսքով, ցանկացած առաջադրանքում, որոնք մի փոքր ավելի բարդ են, քան ստանդարտները:

Գիտելիքը գործի դնելու՞մ:

Լուծել եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Սկզբում դա ավելի պարզ է, անմիջապես այս դասի վրա:

Հիմա ավելի դժվար է։

Հուշում. այստեղ դուք պետք է մտածեք շրջանակի մասին: Անձամբ:)

Իսկ հիմա արտաքուստ ոչ հավակնոտ... Դրանք կոչվում են նաև հատուկ դեպքեր։

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Հուշում․ այստեղ դուք պետք է շրջանակի մեջ պարզեք, թե որտեղ կան պատասխանների երկու շարք, և որտեղ կա մեկը ... Եվ ինչպես գրել մեկը պատասխանների երկու շարքի փոխարեն: Այո, այնպես, որ անսահման թվից ոչ մի արմատ չկորչի:)

Դե, բավականին պարզ):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Հուշում. այստեղ դուք պետք է իմանաք, թե որն է արկսինը, արկկոսինը: Ի՞նչ է աղեղային շոշափողը, աղեղային շոշափողը: Մեծ մասը պարզ սահմանումներ. Բայց ձեզ հարկավոր չէ հիշել աղյուսակային արժեքներ:)

Պատասխանները, իհարկե, անհասկանալի են).

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Ամեն ինչ չի ստացվում? Պատահում է. Կրկին կարդացեք դասը: Միայն մտածված(կա այդպիսին հնացած բառ...) Եվ հետևեք հղումներին: Հիմնական հղումները շրջանակի մասին են։ Առանց դրա եռանկյունաչափության մեջ՝ ինչպես անցնել ճանապարհը աչքերը կապած: Երբեմն դա աշխատում է:)

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այս պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տվյալները թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակներով, ինչպիսիք են աուդիտը, տվյալների վերլուծությունը և տարբեր ուսումնասիրություններբարելավել մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները և ձեզ առաջարկություններ տրամադրել մեր ծառայությունների վերաբերյալ:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Այն դեպքում, երբ դա անհրաժեշտ է՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթում և (կամ) հիմնվելով Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա, բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրարկման կամ հանրային շահերի այլ նպատակներով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, այդ թվում՝ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական՝ պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները ապահով են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Պահանջում է եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերի իմացություն՝ սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումար, շոշափողի արտահայտություն սինուսի և կոսինուսի միջոցով և այլն: Նրանց, ովքեր մոռացել են կամ չգիտեն դրանք, խորհուրդ ենք տալիս կարդալ հոդվածը «»:
Այսպիսով, մենք գիտենք հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերը, ժամանակն է դրանք կիրառելու գործնականում: Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումճիշտ մոտեցմամբ, դա բավականին հետաքրքիր գործունեություն է, ինչպես, օրինակ, Ռուբիկի խորանարդը լուծելը:

Ելնելով բուն անունից՝ պարզ է դառնում, որ եռանկյունաչափական հավասարումը այն հավասարումն է, որում անհայտը գտնվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ։
Կան այսպես կոչված պարզ եռանկյունաչափական հավասարումներ։ Ահա թե ինչ տեսք ունեն դրանք՝ sinх = a, cos x = a, tg x = a: Հաշվի առեք, ինչպես լուծել նման եռանկյունաչափական հավասարումներ, պարզության համար կօգտագործենք արդեն ծանոթ եռանկյունաչափական շրջանագիծը։

sinx = ա

cos x = a

tan x = a

մահճակալ x = ա

Ցանկացած եռանկյունաչափական հավասարում լուծվում է երկու փուլով. մենք հավասարումը բերում ենք ամենապարզ ձևին և այնուհետև լուծում այն ​​որպես ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարում:
Գոյություն ունեն 7 հիմնական մեթոդ, որոնցով լուծվում են եռանկյունաչափական հավասարումները։

1. Փոփոխական փոխարինման և փոխարինման մեթոդ

Լուծեք 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0 հավասարումը

Օգտագործելով կրճատման բանաձևերը, մենք ստանում ենք.

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Պարզության համար cos(x + /6) փոխարինենք y-ով և ստացենք սովորական քառակուսի հավասարումը.

2տ 2 – 3տ + 1 + 0

Արմատները, որոնց y 1 = 1, y 2 = 1/2

Հիմա հետ գնանք

Մենք փոխարինում ենք y-ի գտած արժեքները և ստանում երկու պատասխան.

2. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում ֆակտորիզացիայի միջոցով

Ինչպե՞ս լուծել sin x + cos x = 1 հավասարումը:

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ, որպեսզի 0-ը մնա աջ կողմում.

sin x + cos x - 1 = 0

Մենք օգտագործում ենք վերը նշված նույնականությունները՝ հավասարումը պարզեցնելու համար.

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Կատարենք ֆակտորիզացիա.

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2 sin (x/2) * = 0

Մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ

3. Կրճատում միատարր հավասարման

Հավասարումը միատարր է սինուսի և կոսինուսի նկատմամբ, եթե նրա բոլոր անդամները սինուսի և կոսինուսի նկատմամբ ունեն նույն անկյան նույն աստիճանը: Միատարր հավասարումը լուծելու համար գործեք հետևյալ կերպ.

ա) փոխանցել իր բոլոր անդամներին ձախ կողմում.

բ) փակագծերից դուրս դնել բոլոր ընդհանուր գործոնները.

գ) բոլոր գործոնները և փակագծերը հավասարեցնել 0-ի.

դ) ստացվել է փակագծերում միատարր հավասարումավելի փոքր աստիճանով, այն, իր հերթին, բաժանվում է սինուսի կամ կոսինուսի ավելի բարձր աստիճանի.

ե) լուծել tg-ի ստացված հավասարումը.

Լուծե՛ք 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 հավասարումը

Եկեք օգտագործենք sin 2 x + cos 2 x = 1 բանաձևը և ազատվենք աջ կողմում գտնվող բաց երկուսից.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

մեղք 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Բաժանել cosx-ով.

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Մենք tg x-ը փոխարինում ենք y-ով և ստանում քառակուսի հավասարում.

y 2 + 4y +3 = 0, որի արմատներն են y 1 =1, y 2 = 3

Այստեղից մենք գտնում ենք սկզբնական հավասարման երկու լուծում.

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Հավասարումների լուծում՝ կիսանկյունի անցման միջոցով

Լուծե՛ք 3sin x - 5cos x = 7 հավասարումը

Անցնենք x/2-ին.

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Ամեն ինչ տեղափոխելով ձախ.

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Բաժանել cos (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Օժանդակ անկյունի ներդրում

Դիտարկելու համար եկեք վերցնենք ձևի հավասարումը. a sin x + b cos x \u003d c,

որտեղ a, b, c որոշ կամայական գործակիցներ են, իսկ x-ը անհայտ է:

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք հետևյալի.



Այժմ հավասարման գործակիցներն ըստ եռանկյունաչափական բանաձևերունեն sin-ի և cos-ի հատկությունները, այն է՝ դրանց մոդուլը 1-ից ոչ ավելի է, իսկ քառակուսիների գումարը = 1: Նշենք դրանք համապատասխանաբար որպես cos և sin, որտեղ է այսպես կոչված օժանդակ անկյունը: Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

կամ sin(x + ) = C

Այս պարզ եռանկյունաչափական հավասարման լուծումն է

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, որտեղ



Հարկ է նշել, որ cos և sin անվանումները փոխարինելի են։

Լուծե՛ք sin 3x - cos 3x = 1 հավասարումը

Այս հավասարման մեջ գործակիցներն են.

a \u003d, b \u003d -1, այնպես որ մենք երկու մասերը բաժանում ենք \u003d 2-ով

«Ստացեք A» վիդեո դասընթացը ներառում է ձեզ անհրաժեշտ բոլոր թեմաները հաջող առաքումՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ մաթեմատիկայից 60-65 միավորի համար։ Ամբողջովին բոլոր առաջադրանքները 1-13 պրոֆիլի ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԵԼ մաթեմատիկայի մեջ: Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական USE-ն անցնելու համար: Եթե ​​ցանկանում եք քննությունը հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Քննությանը նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար. Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի քննության 1-ին մասը (առաջին 12 խնդիրները) և 13-րդ խնդիրը (եռանկյունաչափություն) լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական ​​քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ հարյուր միավոր ուսանողը, ոչ հումանիստը առանց դրանց չեն կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Արագ ուղիներլուծումներ, թակարդներ և քննության գաղտնիքներ. Վերլուծվել են FIPI-ի բանկի առաջադրանքների 1-ին մասի բոլոր համապատասխան առաջադրանքները: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է USE-2018-ի պահանջներին:

Դասընթացը պարունակում է 5 խոշոր թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր քննական առաջադրանքներ. Տեքստի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող խնդիրների լուծման ալգորիթմներ: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, բոլոր տեսակի USE առաջադրանքների վերլուծություն: Ստերեոմետրիա. Խորամանկ հնարքներլուծումներ, օգտակար խաբեության թերթիկներ, տարածական երևակայության զարգացում։ Եռանկյունաչափությունը զրոյից - մինչև առաջադրանք 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների տեսողական բացատրություն: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Հիմք լուծման համար դժվար առաջադրանքներՔննության 2 մաս.

«Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում» թեմայով դաս և ներկայացում.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով։

Ձեռնարկներ և սիմուլյատորներ «Integral» առցանց խանութում 10-րդ դասարանի համար 1C-ից
Մենք լուծում ենք երկրաչափության խնդիրներ. Ինտերակտիվ առաջադրանքներ տիեզերքում կառուցելու համար
Ծրագրային միջավայր «1C. մաթեմատիկական կոնստրուկտոր 6.1»

Ի՞նչ ենք ուսումնասիրելու.
1. Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

3. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման երկու հիմնական մեթոդ.
4. Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.
5. Օրինակներ.

Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

Տղերք, մենք արդեն ուսումնասիրել ենք արկսինը, արկկոզինը, արկտանգենսը և արկկոտանգենսը: Այժմ դիտարկենք եռանկյունաչափական հավասարումները ընդհանրապես։

Եռանկյունաչափական հավասարումներ - հավասարումներ, որոնցում փոփոխականը պարունակվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ:

Կրկնում ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ձևը.

1) Եթե |а|≤ 1, ապա cos(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Եթե |а|≤ 1, ապա sin(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

3) Եթե |ա| > 1, ապա հավասարումը sin(x) = a և cos(x) = a լուծումներ չունեն 4) tg(x)=a հավասարումն ունի լուծում` x=arctg(a)+ πk.

5) ctg(x)=a հավասարումն ունի լուծում՝ x=arcctg(a)+ πk.

Բոլոր բանաձևերի համար k-ն ամբողջ թիվ է

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները ունեն ձև՝ Т(kx+m)=a, T- ցանկացած եռանկյունաչափական ֆունկցիա։

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումներ՝ ա) sin(3x)= √3/2

Լուծում:

Ա) Նշանակենք 3x=t, այնուհետև մեր հավասարումը կվերագրենք հետևյալ ձևով.

Այս հավասարման լուծումը կլինի՝ t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn:

Արժեքների աղյուսակից ստանում ենք t=((-1)^n)×π/3+ πn:

Եկեք վերադառնանք մեր փոփոխականին՝ 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Ապա x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Պատասխան՝ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: (-1)^n - մինուս մեկ n-ի հզորությանը:

Եռանկյունաչափական հավասարումների ավելի շատ օրինակներ:

Լուծե՛ք հավասարումները՝ ա) cos(x/5)=1 բ) tg(3x- π/3)= √3

Լուծում:

Ա) Այս անգամ մենք անմիջապես կանցնենք հավասարման արմատների հաշվարկին.

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Ապա x/5= πk => x=5πk

Պատասխան՝ x=5πk, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Բ) Գրում ենք 3x- π/3=arctg(√3)+ πk ձևով: Մենք գիտենք, որ arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Պատասխան՝ x=2π/9 + πk/3, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Լուծեք հավասարումներ՝ cos(4x)= √2/2: Եվ գտեք բոլոր արմատները հատվածի վրա:

Լուծում:

Մենք կորոշենք ընդհանուր տեսարանմեր հավասարումը. 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Հիմա տեսնենք, թե ինչ արմատներ են ընկնում մեր հատվածի վրա։ k-ի համար k=0, x= π/16-ի համար մենք գտնվում ենք տրված հատվածում:
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ով նորից խփում են.
k=2-ի համար x= π/16+ π=17π/16, բայց այստեղ մենք չխփեցինք, ինչը նշանակում է, որ մեծ k-ի համար էլ չենք խփի:

Պատասխան՝ x= π/16, x= 9π/16

Լուծման երկու հիմնական մեթոդ.

Մենք դիտարկել ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները, բայց կան ավելի բարդ: Դրանք լուծելու համար օգտագործվում է նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը և ֆակտորացման մեթոդը։ Դիտարկենք օրինակներ։

Եկեք լուծենք հավասարումը.

Լուծում:
Մեր հավասարումը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք նոր փոփոխական ներմուծելու մեթոդը, որը նշանակում է՝ t=tg(x):

Փոխարինման արդյունքում մենք ստանում ենք t 2 + 2t -1 = 0

Գտնենք արմատները քառակուսային հավասարում t=-1 և t=1/3

Այնուհետև tg(x)=-1 և tg(x)=1/3 ստացանք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը, եկեք գտնենք դրա արմատները։

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Պատասխան՝ x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Հավասարման լուծման օրինակ

Լուծեք հավասարումներ՝ 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Լուծում:

Օգտագործենք նույնականությունը՝ sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Մեր հավասարումը դառնում է՝ 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ներկայացնենք t=cos(x) փոխարինումը. 2t 2 -3t - 2 = 0

Մեր քառակուսային հավասարման լուծումը արմատներն են՝ t=2 և t=-1/2

Այնուհետև cos(x)=2 և cos(x)=-1/2:

Որովհետեւ Կոսինուսը չի կարող վերցնել մեկից մեծ արժեքներ, այնուհետև cos(x)=2-ն արմատներ չունի:

cos(x)=-1/2 համար՝ x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Պատասխան՝ x= ±2π/3 + 2πk

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Սահմանում. a sin(x)+b cos(x) ձևի հավասարումը կոչվում է առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ:

Ձևի հավասարումներ

երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար այն բաժանում ենք cos(x) վրա. Անհնար է բաժանել կոսինուսով, եթե այն հավասար է զրոյի, եկեք համոզվենք, որ դա այդպես չէ.
Թող cos(x)=0, ապա ասին(x)+0=0 => sin(x)=0, բայց սինուսը և կոսինուսը միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, ստացել ենք հակասություն, ուստի կարող ենք ապահով բաժանել. զրոյով։

Լուծե՛ք հավասարումը.
Օրինակ՝ cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Լուծում:

Հանեք ընդհանուր գործակիցը՝ cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Այնուհետև մենք պետք է լուծենք երկու հավասարումներ.

cos(x)=0 և cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk-ի համար;

Դիտարկենք cos(x)+sin(x)=0 հավասարումը: Բաժանենք մեր հավասարումը cos(x-ի):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Պատասխան՝ x= π/2 + πk և x= -π/4+πk

Ինչպե՞ս լուծել երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ:
Տղերք, միշտ հետևեք այս կանոններին:

1. Տեսեք, թե ինչին է հավասար a գործակիցը, եթե a \u003d 0, ապա մեր հավասարումը կունենա cos (x) (bsin (x) + ccos (x) ձևը, որի լուծման օրինակը նախորդի վրա է. Սլայդ

2. Եթե a≠0, ապա պետք է հավասարման երկու մասերը բաժանել քառակուսի կոսինուսի վրա, կստանանք.

Կատարում ենք t=tg(x) փոփոխականի փոփոխությունը՝ ստանում ենք հավասարումը.

Լուծել օրինակ #:3

Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում:

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք կոսինուսի քառակուսու վրա.

Կատարում ենք t=tg(x) փոփոխականի փոփոխություն՝ t 2 + 2 t - 3 = 0

Գտե՛ք քառակուսային հավասարման արմատները՝ t=-3 և t=1

Հետո՝ tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Պատասխան՝ x=-arctg(3) + πk և x= π/4+ πk

Լուծել օրինակ #:4

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Մենք կարող ենք լուծել այսպիսի հավասարումներ՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Պատասխան՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Լուծել օրինակ #:5

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Ներկայացնում ենք tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 փոխարինումը

Մեր քառակուսային հավասարման լուծումը կլինի արմատները՝ t=-2 և t=1/2

Այնուհետև ստանում ենք tg(2x)=-2 և tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Պատասխան՝ x=-arctg(2)/2 + πk/2 և x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

1) Լուծե՛ք հավասարումը

Ա) sin(7x)= 1/2 բ) cos(3x)= √3/2 գ) cos(-x) = -1 դ) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Լուծե՛ք հավասարումներ՝ sin(3x)= √3/2: Եվ գտեք բոլոր արմատները հատվածի վրա [π/2; π].

3) Լուծե՛ք հավասարումը. ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0.

4) Լուծե՛ք հավասարումը. 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Լուծե՛ք հավասարումը 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Լուծե՛ք հավասարումը cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)