General Furjė serija. Furjė serija: matematinio mechanizmo istorija ir įtaka mokslo raidai

Kurie jau gana pavargę. Ir jaučiu, kad atėjo momentas, kai laikas iš strateginių teorijos rezervų išgauti naujus konservus. Ar galima kaip nors kitaip išplėsti funkciją į seriją? Pavyzdžiui, išreikšti tiesiosios linijos atkarpą sinusais ir kosinusais? Atrodo neįtikėtina, bet tokios iš pažiūros nutolusios funkcijos tinka
"susijungimas". Be žinomų teorijos ir praktikos laipsnių, yra ir kitų būdų išplėsti funkciją į seriją.

Šioje pamokoje susipažinsime su trigonometrine Furjė eilute, paliesime jos konvergencijos ir sumos klausimą ir, žinoma, išanalizuosime daugybę funkcijų išplėtimo į Furjė eilutę pavyzdžių. Straipsnį nuoširdžiai norėjau pavadinti „Fourier serija manekenams“, tačiau tai būtų gudru, nes norint išspręsti problemas, reikės žinių apie kitus matematinės analizės skyrius ir šiek tiek praktinės patirties. Todėl preambulė primins astronautų mokymą =)

Pirma, puslapio medžiagos tyrimas turėtų būti atliktas puikiai. Mieguistas, pailsėjęs ir blaivus. Be stiprių emocijų apie lūžusią žiurkėnų koją ir įkyrių minčių apie gyvenimo sunkumus akvariumo žuvys. Furjė serija nėra sudėtinga supratimo požiūriu, tačiau praktinės užduotys tiesiog reikalauja didesnės dėmesio koncentracijos - idealiu atveju reikėtų visiškai atsisakyti išorinių dirgiklių. Padėtį apsunkina tai, kad nėra lengvo būdo patikrinti sprendimą ir atsakymą. Taigi, jei jūsų sveikata yra žemesnė nei vidutinė, geriau daryti ką nors paprastesnio. Tiesa.

Antra, prieš skrisdami į kosmosą, turite išstudijuoti prietaisų skydelį erdvėlaivis. Pradėkime nuo funkcijų, kurias reikia spustelėti mašinoje, verčių:

Dėl bet kokios gamtos vertės:

vienas). Tiesą sakant, sinusoidas „mirksi“ x ašimi per kiekvieną „pi“:
. Jei argumento reikšmės yra neigiamos, rezultatas, žinoma, bus toks pat: .

2). Tačiau ne visi tai žinojo. Kosinusas „pi en“ yra „mirksinčios šviesos“ atitikmuo:

Neigiamas argumentas atvejo nekeičia: .

Galbūt pakankamai.

Ir trečia, brangus kosmonautų korpusas, jūs turite sugebėti ... integruoti.
Visų pirma, būtinai priskirti funkciją po diferencialiniu ženklu, integruoti dalimis ir būti su jais gerais santykiais Niutono-Leibnizo formulė. Pradėkime svarbius pratimus prieš skrydį. Primygtinai nerekomenduoju jo praleisti, kad vėliau nesuplotumėte esant nulinei gravitacijai:

1 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtuosius integralus

kur paima gamtos vertybes.

Sprendimas: integracija vykdoma per kintamąjį "x" ir šiame etape diskretusis kintamasis "en" laikomas konstanta. Visuose integraluose perkelkite funkciją po diferencialo ženklu:

Trumpa sprendimo versija, kurią būtų naudinga fotografuoti, atrodo taip:

Priprasti prie:

Likę keturi taškai yra atskiri. Stenkitės sąžiningai elgtis su užduotimi ir trumpai išdėstyti integralus. Pamokos pabaigoje sprendimų pavyzdžiai.

Po KOKYBĖS mankštos apsirengiame skafandrus
ir ruošiamės pradėti!

Funkcijos išplėtimas Furjė serijoje intervale

Panagrinėkime funkciją, kuri Atkaklus bent jau intervale (ir, galbūt, didesniame intervale). Jei ši funkcija integruota į segmentą , ją galima išplėsti į trigonometrinį Furjė serija:
, kur yra vadinamieji Furjė koeficientai.

Tokiu atveju skambinama numeriu skilimo laikotarpis, o skaičius yra pusinės eliminacijos laikas.

Akivaizdu, kad bendruoju atveju Furjė seriją sudaro sinusai ir kosinusai:

Iš tiesų, parašykime tai išsamiai:

Nulinis serijos terminas paprastai rašomas kaip .

Furjė koeficientai apskaičiuojami naudojant šias formules:

Puikiai suprantu, kad pradedantiesiems studijuoti temą nauji terminai vis dar neaiškūs: skilimo laikotarpis, pusė ciklo, Furjė koeficientai ir tt Nepanikuokite, tai nepalyginama su jauduliu prieš einant kosmosas. Išsiaiškinkime viską artimiausiame pavyzdyje, prieš jį vykdydami logiška užduoti aktualius praktinius klausimus:

Ką reikia padaryti atliekant šias užduotis?

Išplėskite funkciją į Furjė seriją. Be to, dažnai reikia nubraižyti funkcijos grafiką, serijos sumos grafiką, dalinę sumą, o sudėtingų profesoriaus fantazijų atveju – dar ką nors padaryti.

Kaip išplėsti funkciją į Furjė seriją?

Iš esmės reikia rasti Furjė koeficientai, tai yra, sudarykite ir apskaičiuokite tris apibrėžtieji integralai.

Nukopijuokite bendrąją Furjė serijos formą ir tris darbo formules į savo bloknotą. Labai džiaugiuosi, kad kai kurių svetainės lankytojų akyse išsipildo vaikystės svajonė tapti astronautu =)

2 pavyzdys

Išplėskite funkciją į Furjė seriją intervale . Sukurkite grafiką, serijos sumos ir dalinės sumos grafiką.

Sprendimas: pirmoji užduoties dalis yra išplėsti funkciją į Furjė eilutę.

Pradžia yra standartinė, būtinai užsirašykite, kad:

Šioje problemoje išplėtimo laikotarpis, pusės laikotarpis.

Funkciją išplečiame Furjė serijoje intervale:

Naudodami atitinkamas formules randame Furjė koeficientai. Dabar turime sudaryti ir apskaičiuoti tris apibrėžtieji integralai. Patogumui sunumeruosiu taškus:

1) Pirmasis integralas yra paprasčiausias, tačiau jam jau reikia akies ir akies:

2) Mes naudojame antrąją formulę:

Šis integralas yra gerai žinomas ir jis paima jį dalimis:

Radus naudotą būdas priskirti funkciją po diferencialiniu ženklu.

Nagrinėjamoje užduotyje patogiau iš karto naudoti formulė integravimui dalimis į apibrėžtąjį integralą :

Pora techninių pastabų. Pirma, pritaikius formulę visa išraiška turi būti įterpta į didelius skliaustus, nes prieš pradinį integralą yra konstanta. Nepraraskime! Skliaustus galima atidaryti bet kuriame tolesniame žingsnyje, aš tai padariau paskutiniame posūkyje. Pirmame "gabale" mes rodome ypatingą pakeitimo tikslumą, kaip matote, konstanta neveikia, o integracijos ribos yra pakeistos į produktą. Šis veiksmas pažymėtas laužtiniais skliaustais. Na, o antrojo formulės „gabalo“ integralas tau gerai žinomas iš treniruotės užduoties ;-)

Ir svarbiausia – didžiausia dėmesio koncentracija!

3) Ieškome trečiojo Furjė koeficiento:

Gaunamas ankstesnio integralo giminaitis, kuris taip pat yra integruota dalimis:

Šis atvejis yra šiek tiek sudėtingesnis, žingsnis po žingsnio pakomentuosiu tolesnius veiksmus:

(1) Visa išraiška yra dideliuose skliaustuose.. Nenorėjau atrodyti kaip nuobodu, jie per dažnai praranda pastovumą.

(2) Šiuo atveju aš iš karto išplėčiau tuos didelius skliaustus. Ypatingas dėmesys skiriame pirmajam „gabalui“: nuolatinis rūko nuošalyje ir nedalyvauja integravimo (ir) į gaminį ribų pakeitime. Atsižvelgiant į įrašo netvarką, vėlgi patartina šį veiksmą paryškinti laužtiniuose skliaustuose. Su antruoju "gabalu" viskas paprasčiau: čia trupmena atsirado atidarius didelius skliaustus, o konstanta - dėl pažįstamo integralo integravimo ;-)

(3) laužtiniuose skliaustuose atliekame transformacijas, o dešiniajame integrale pakeičiame integravimo ribas.

(4) Išimame „blykstę“ iš laužtinių skliaustų: , po to atidarome vidinius skliaustus: .

(5) Skliausteliuose esančius 1 ir -1 panaikiname, padarome galutinius supaprastinimus.

Galiausiai rasti visi trys Furjė koeficientai:

Pakeiskite juos į formulę :

Nepamirškite padalyti per pusę. Paskutiniame žingsnyje iš sumos išimama konstanta ("minus du"), kuri nepriklauso nuo "en".

Taigi, mes gavome funkcijos išplėtimą Furjė serijoje intervale:

Panagrinėkime Furjė eilučių konvergencijos klausimą. Konkrečiai paaiškinsiu teoriją Dirichleto teorema, pažodžiui „ant pirštų“, todėl jei reikia griežtų formuluočių, skaitykite skaičiavimo vadovėlį (pavyzdžiui, 2-asis Bohano tomas; arba 3-asis Fichtenholtzo tomas, bet jame sunkiau).

Antroje užduoties dalyje reikia nubraižyti grafiką, eilės sumos grafiką ir dalinės sumos grafiką.

Funkcijos grafikas yra įprastas tiesi linija plokštumoje, kuris nubrėžtas juoda punktyrine linija:

Mes kalbame apie serijos sumą. Kaip žinote, funkcinės serijos susilieja su funkcijomis. Mūsų atveju sukonstruota Furjė serija bet kuriai "x" reikšmei susilieja su raudonai pavaizduota funkcija. Šiai funkcijai taikoma 1 tipo pertraukos taškuose , bet ir juose apibrėžtas (raudoni taškai brėžinyje)

Šiuo būdu: . Nesunku pastebėti, kad ji labai skiriasi nuo pradinės funkcijos , todėl žymėjime vietoj lygybės ženklo naudojama tildė.

Išnagrinėkime algoritmą, pagal kurį patogu sudaryti serijos sumą.

Centriniame intervale Furjė serija susilieja su pačia funkcija (centrinis raudonas segmentas sutampa su juoda punktyrine tiesinės funkcijos linija).

Dabar pakalbėkime šiek tiek apie svarstomo trigonometrinio išplėtimo pobūdį. Furjė serija apima tik periodines funkcijas (konstantą, sinusus ir kosinusus), todėl eilutės suma taip pat yra periodinė funkcija.

Ką tai reiškia mūsų konkretus pavyzdys? Ir tai reiškia, kad serijos suma –būtinai periodiškai o raudonasis intervalo segmentas turi būti be galo kartojamas kairėje ir dešinėje.

Manau, kad dabar pagaliau paaiškėjo posakio „skilimo laikotarpis“ prasmė. Paprasčiau tariant, kiekvieną kartą situacija kartojasi vėl ir vėl.

Praktikoje dažniausiai užtenka pavaizduoti tris skilimo periodus, kaip tai daroma brėžinyje. Na, ir dar kaimyninių laikotarpių „kelmai“ – kad būtų aišku, kad diagrama tęsiasi.

Ypatingą susidomėjimą kelia 1 tipo nenutrūkstamumo taškai. Tokiuose taškuose Furjė serija susilieja į izoliuotas reikšmes, kurios yra tiksliai pertraukos „šuolio“ viduryje (raudoni taškai brėžinyje). Kaip rasti šių taškų ordinates? Pirmiausia suraskime „viršutinio aukšto“ ordinates: tam apskaičiuojame funkcijos reikšmę pačiame dešiniajame centrinio išsiplėtimo periodo taške: . Norint apskaičiuoti „apatinio aukšto“ ordinates, paprasčiausias būdas yra paimti to paties laikotarpio kairiausią reikšmę: . Vidutinės reikšmės ordinatė yra „viršaus ir apačios“ sumos aritmetinis vidurkis: . Smagu tai, kad statant brėžinį iškart pamatysite, ar vidurys paskaičiuotas teisingai, ar neteisingai.

Sukonstruokime dalinę eilutės sumą ir tuo pačiu pakartokime termino „konvergencija“ reikšmę. Motyvas žinomas iš pamokos apie skaičių serijos suma. Išsamiai apibūdinkime savo turtus:

Norėdami sudaryti dalinę sumą, turite užrašyti nulį + dar du serijos terminus. Tai yra,

Brėžinyje pavaizduotas funkcijos grafikas žaliai, ir, kaip matote, gana tvirtai „apvynioja“ visą sumą. Jei atsižvelgsime į dalinę penkių serijos narių sumą, tada šios funkcijos grafikas dar tiksliau apytiksliai apytikslės raudonas linijas, jei yra šimtas terminų, tada „žalia gyvatė“ iš tikrųjų visiškai susilies su raudonais segmentais, ir tt Taigi Furjė eilutė suartėja su jos suma.

Įdomu pastebėti, kad bet kokia dalinė suma yra nuolatinė funkcija, tačiau bendra serijų suma vis dar nenutrūksta.

Praktikoje neretai sudaromas dalinės sumos grafikas. Kaip tai padaryti? Mūsų atveju būtina atsižvelgti į atkarpos funkciją, apskaičiuoti jos reikšmes atkarpos galuose ir tarpiniuose taškuose (kuo daugiau taškų atsižvelgsite, tuo tikslesnis bus grafikas). Tada pažymėkite šiuos taškus brėžinyje ir atsargiai nubrėžkite laikotarpio grafiką, o tada „atkartokite“ jį į gretimus intervalus. Kaip kitaip? Juk aproksimacija taip pat yra periodinė funkcija ... ... jos grafikas man kažkaip primena tolygų širdies ritmą medicinos prietaiso ekrane.

Žinoma, tai nėra labai patogu atlikti statybą, nes turite būti ypač atsargūs, išlaikyti ne mažesnį nei pusės milimetro tikslumą. Tačiau nudžiuginsiu skaitytojus, kurie nesutaria su piešimu – atliekant „tikrą“ užduotį, toli gražu ne visada reikia piešti, kai kur 50% atvejų reikia išplėsti funkciją į Furjė seriją ir tiek. tai.

Užbaigę piešinį, atliekame užduotį:

Atsakymas:

Daugelyje užduočių nukenčia funkcija 1-osios rūšies plyšimas tiesiai skilimo laikotarpiu:

3 pavyzdys

Furjė serijoje išplėskite intervale nurodytą funkciją. Nubraižykite funkcijos ir visos eilučių sumos grafiką.

Siūloma funkcija pateikiama dalimis (ir, atminkite, tik segmente) ir ištverti 1-osios rūšies plyšimas taške. Ar galima apskaičiuoti Furjė koeficientus? Jokiu problemu. Kairioji ir dešinioji funkcijos dalys yra integruojamos savo intervalais, todėl kiekvienos iš trijų formulių integralai turėtų būti pavaizduoti kaip dviejų integralų suma. Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kaip tai daroma nuliniam koeficientui:

Antrasis integralas pasirodė lygus nuliui, o tai sumažino darbą, tačiau taip būna ne visada.

Panašiai rašomi kiti du Furjė koeficientai.

Kaip parodyti serijos sumą? Kairiajame intervale nubrėžiame tiesios linijos atkarpą , o intervale - tiesiosios linijos atkarpą (ašies sekciją paryškinkite paryškintu ir paryškintu šriftu). Tai yra, išplėtimo intervale serijų suma sutampa su funkcija visur, išskyrus tris „blogus“ taškus. Funkcijos nepertraukiamumo taške Furjė eilutė susilieja į izoliuotą reikšmę, kuri yra tiksliai pertraukos „šuolio“ viduryje. Tai nesunku pamatyti žodžiu: kairioji riba:, dešinė riba: ir, aišku, vidurio taško ordinatė yra 0,5.

Dėl sumos periodiškumo paveikslas turi būti „padaugintas“ į gretimus laikotarpius, ypač pavaizduoti tą patį intervaluose ir . Šiuo atveju taškuose Furjė eilutė suartėja su medianinėmis reikšmėmis.

Tiesą sakant, čia nieko naujo.

Pabandykite šią problemą išspręsti patys. Apytikslis dailaus dizaino ir piešimo pavyzdys pamokos pabaigoje.

Funkcijos išplėtimas Furjė serijoje savavališkame periode

Savavališkam išplėtimo laikotarpiui, kai "el" yra bet koks teigiamas skaičius, Furjė eilučių ir Furjė koeficientų formulės skiriasi šiek tiek sudėtingu sinuso ir kosinuso argumentu:

Jei , tada gauname intervalo, nuo kurio pradėjome, formules.

Problemos sprendimo algoritmas ir principai yra visiškai išsaugoti, tačiau techninis skaičiavimų sudėtingumas didėja:

4 pavyzdys

Išplėskite funkciją į Furjė eilutę ir nubraižykite sumą.

Sprendimas: iš tikrųjų, pavyzdžio Nr. 3 analogas su 1-osios rūšies plyšimas taške. Šioje problemoje išplėtimo laikotarpis, pusės laikotarpis. Funkcija apibrėžiama tik pusės intervale, bet tai nieko nekeičia – svarbu, kad abi funkcijos dalys būtų integruojamos.

Išplėskime funkciją į Furjė seriją:

Kadangi funkcija pradžioje yra nepertraukiama, kiekvienas Furjė koeficientas turėtų būti parašytas kaip dviejų integralų suma:

1) Pirmąjį integralą parašysiu kuo detaliau:

2) Atsargiai žvilgtelėkite į mėnulio paviršių:

Antrasis integralas paimti dalimis:

Į ką turėtumėte atkreipti ypatingą dėmesį, kai sprendimo tęsinį atidarome žvaigždute?

Pirma, mes neprarandame pirmojo integralo , kur iš karto vykdome atnešant po diferencialo ženklu. Antra, nepamirškite nelemtos konstantos prieš didžiuosius skliaustus ir nesusipainiokite dėl ženklų kai naudojate formulę . Dideli skliausteliai, juk patogiau iš karto atidaryti kitame žingsnyje.

Likusi dalis – technikos reikalas, sunkumų gali sukelti tik nepakankama integralų sprendimo patirtis.

Taip, ne veltui garsūs prancūzų matematiko Furjė kolegos piktinosi - kaip jis išdrįso išskaidyti funkcijas į trigonometrines eilutes ?! =) Beje, turbūt visus domina praktinė nagrinėjamos užduoties prasmė. Pats Fourier dirbo ties matematiniu šilumos laidumo modeliu, o vėliau jo vardu pavadinta serija buvo pradėta naudoti tiriant daugelį periodinių procesų, kurie išoriniame pasaulyje, matyt, nematomi. Dabar, beje, pagavau save galvojant, kad neatsitiktinai antrojo pavyzdžio grafiką palyginau su periodiniu širdies ritmu. Norintys gali susipažinti su praktinis pritaikymas Furjė transformacijos iš trečiųjų šalių šaltinių. ... Nors geriau to nedaryti - tai bus prisiminta kaip pirmoji meilė =)

3) Atsižvelgdami į ne kartą minėtas silpnąsias grandis, nagrinėjame trečiąjį koeficientą:

Integravimas dalimis:

Rastus Furjė koeficientus pakeičiame į formulę , nepamirštant nulinio koeficiento padalyti per pusę:

Nubraižykime serijos sumą. Trumpai pakartokime procedūrą: ant intervalo statome eilutę, o ant intervalo - eilutę. Turėdami nulinę „x“ reikšmę, dedame tašką tarpo „šuolio“ viduryje ir „pakartojame“ gretimų laikotarpių diagramą:


Periodų „susijungimo vietose“ suma taip pat bus lygi tarpo „šuolio“ vidurio taškams.

Paruošta. Primenu, kad pati funkcija sąlyginai apibrėžiama tik pusės intervale ir, aišku, sutampa su intervalų eilučių suma

Atsakymas:

Kartais atskira funkcija taip pat yra nuolatinė plėtimosi laikotarpiu. Paprasčiausias pavyzdys: . Sprendimas (Žr. Bohano 2 tomą) yra toks pat kaip dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose: nepaisant funkcijos tęstinumas taške Kiekvienas Furjė koeficientas išreiškiamas kaip dviejų integralų suma.

Išsiskyrimo intervale 1 tipo nenutrūkstamumo taškai ir (arba) grafiko „sankryžos“ taškų gali būti daugiau (du, trys ir apskritai bet kuris galutinis skaičius). Jei funkcija yra integruota į kiekvieną dalį, ji taip pat gali būti išplečiama Furjė serijoje. Bet iš praktinės patirties tokios skardos nepamenu. Nepaisant to, yra ir sunkesnių užduočių, nei tik svarstoma, o straipsnio pabaigoje visiems yra nuorodos į padidinto sudėtingumo Furjė serijas.

Tuo tarpu atsipalaiduokime, atsilošdami į kėdes ir apmąstykime begales žvaigždžių platybes:

5 pavyzdys

Išplėskite funkciją į Furjė eilutę intervale ir nubraižykite serijos sumą.

Šioje užduotyje funkcija tęstinis dėl skilimo pusės intervalo, kuris supaprastina sprendimą. Viskas labai panašu į 2 pavyzdį. Nuo erdvėlaivio nepabėgsi – teks apsispręsti =) Pamokos pabaigoje dizaino pavyzdys, grafikas pridedamas.

Furjė serijos lyginių ir nelyginių funkcijų išplėtimas

Naudojant lygines ir nelygines funkcijas, problemos sprendimo procesas pastebimai supaprastinamas. Ir štai kodėl. Grįžkime prie Furjė serijos funkcijos išplėtimo „dviejų pi“ periode. ir savavališkas laikotarpis "du ale" .

Tarkime, kad mūsų funkcija yra lygi. Bendrame serijos termine, kaip matote, yra lyginiai kosinusai ir nelyginiai sinusai. Ir jei mes išskaidome LYGinę funkciją, kam mums reikia nelyginių sinusų?! Iš naujo nustatykime nereikalingą koeficientą: .

Šiuo būdu, lygi funkcija išsiplečia į Furjė eilutę tik kosinusais:

Tiek, kiek lyginių funkcijų integralai per integravimo segmentą, simetrišką nulio atžvilgiu, galima padvigubinti, tada likę Furjė koeficientai taip pat supaprastinami.

Dėl intervalo:

Savavališkam intervalui:

Vadovėlių pavyzdžiai, kuriuos galima rasti beveik bet kuriame skaičiavimo vadovėlyje, apima lyginių funkcijų išplėtimus . Be to, jie ne kartą susitiko mano asmeninėje praktikoje:

6 pavyzdys

Suteikta funkcija. Reikalinga:

1) išplėskite funkciją į Furjė eilutę su periodu , kur yra savavališkas teigiamas skaičius;

2) Užrašykite intervalo išplėtimą, sukurkite funkciją ir nubraižykite bendrą serijų sumą.

Sprendimas: pirmoje pastraipoje siūloma problemą spręsti bendrai, ir tai labai patogu! Atsiras poreikis – tiesiog pakeiskite savo vertę.

1) Šioje užduotyje išsiplėtimo laikotarpis , pusės periodas . Atliekant tolesnius veiksmus, ypač integracijos metu, „el“ laikomas konstanta

Funkcija yra lygi, o tai reiškia, kad ji išsiplečia į Furjė seriją tik kosinusais: .

Furjė koeficientų ieškoma pagal formules . Atkreipkite į juos dėmesį besąlyginiai pranašumai. Pirma, integracija atliekama per teigiamą išplėtimo segmentą, o tai reiškia, kad mes saugiai atsikratome modulio , atsižvelgiant tik į "x" iš dviejų dalių. Ir, antra, integracija pastebimai supaprastinta.

Du:

Integravimas dalimis:

Šiuo būdu:
, o konstanta , kuri nepriklauso nuo „en“, išimama iš sumos.

Atsakymas:

2) Rašome intervalo išplėtimą, tam pakeičiame norimą pusės periodo reikšmę į bendrą formulę:

Furjė serija yra savavališkai paimtos funkcijos su konkrečiu periodu atvaizdavimas kaip serija. Apskritai šį sprendimą vadinamas elemento išskaidymas stačiakampiu pagrindu. Funkcijų išplėtimas Furjė serijoje yra gana galingas įrankis sprendžiant įvairias problemas dėl šios transformacijos savybių integruojant, diferencijuojant, taip pat keičiant išraišką argumente ir konvoliucijoje.

Asmuo nepažįstamas aukštoji matematika, taip pat su prancūzų mokslininko Furjė darbais, greičiausiai, nesupras, kas yra šios „serialai“ ir kam jos skirtos. Tuo tarpu ši transformacija mūsų gyvenime tapo gana tanki. Jį naudoja ne tik matematikai, bet ir fizikai, chemikai, medikai, astronomai, seismologai, okeanografai ir daugelis kitų. Taip pat atidžiau pažvelkime į didžiojo prancūzų mokslininko, atradusio anksčiau laiko, darbus.

Žmogus ir Furjė transformacija

Furjė serija yra vienas iš metodų (kartu su analize ir kitais) Šis procesas vyksta kiekvieną kartą, kai žmogus girdi bet kokį garsą. Mūsų ausis automatiškai transformuoja elementarias daleles į elastingą terpę, jos suskaidomos į eiles (išilgai spektro) nuoseklių garsumo verčių skirtingo aukščio tonams. Tada smegenys šiuos duomenis paverčia mums žinomais garsais. Visa tai vyksta be mūsų noro ar sąmonės, savaime, tačiau norint suprasti šiuos procesus, prireiks kelerių metų studijuoti aukštąją matematiką.

Daugiau apie Furjė transformaciją

Furjė transformaciją galima atlikti analitiniais, skaitiniais ir kitais metodais. Furjė serijos nurodo skaitinį bet kokių virpesių procesų skaidymo būdą - nuo vandenyno potvynių ir šviesos bangų iki saulės (ir kitų astronominių objektų) veiklos ciklų. Naudojant šiuos matematinius metodus, galima analizuoti funkcijas, vaizduojančias bet kokius svyravimo procesus kaip sinusinių komponentų seriją, kuri pereina nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai. Furjė transformacija yra funkcija, apibūdinanti tam tikrą dažnį atitinkančių sinusoidų fazę ir amplitudę. Šis procesas gali būti naudojamas sprendžiant labai sudėtingas lygtis, apibūdinančias dinaminius procesus, vykstančius šiluminės, šviesos ar elektros energijos įtakoje. Taip pat Furjė serijos leidžia išskirti pastovius komponentus sudėtinguose virpesių signaluose, o tai leido teisingai interpretuoti gautus eksperimentinius stebėjimus medicinoje, chemijoje ir astronomijoje.

Istorijos nuoroda

Šios teorijos įkūrėjas yra prancūzų matematikas Jeanas Baptiste'as Josephas Fourier. Vėliau ši transformacija buvo pavadinta jo vardu. Iš pradžių mokslininkas savo metodą taikė tirdamas ir aiškindamas šilumos laidumo – šilumos sklidimo kietose medžiagose – mechanizmus. Furjė pasiūlė, kad pradinis netaisyklingas pasiskirstymas gali būti suskaidytas į paprasčiausias sinusoidus, kurių kiekviena turės savo temperatūros minimumą ir maksimumą, taip pat savo fazę. Tokiu atveju kiekvienas toks komponentas bus matuojamas nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai. Matematinė funkcija, apibūdinanti kreivės viršutinę ir apatinę smailes, taip pat kiekvienos harmonikos fazę, vadinama temperatūros pasiskirstymo išraiškos Furjė transformacija. Teorijos autorius bendroji funkcija pasiskirstymas, kurį sunku matematiškai apibūdinti, į labai patogią kosinuso ir sinuso eilutę, kurios susumavus suteikia pradinį skirstinį.

Transformacijos principas ir amžininkų pažiūros

Mokslininko amžininkai – žymiausi XIX amžiaus pradžios matematikai – šios teorijos nepriėmė. Pagrindinis prieštaravimas buvo Furjė tvirtinimas, kad nenutrūkstamą funkciją, apibūdinančią tiesią liniją arba nepertraukiamą kreivę, galima pavaizduoti kaip sinusoidinių išraiškų, kurios yra tolydžios, sumą. Kaip pavyzdį apsvarstykite Heaviside „žingsnį“: jo reikšmė yra nulis kairėje nuo tarpo ir viena dešinėje. Ši funkcija apibūdina priklausomybę elektros srovė nuo laikinojo kintamojo, kai grandinė uždaryta. To meto teorijos amžininkai dar nebuvo susidūrę su tokia situacija, kai netolydi išraiška būtų apibūdinta nuolatinių įprastų funkcijų, tokių kaip eksponentinė, sinusinė, tiesinė ar kvadratinė, deriniu.

Kas supainiojo prancūzų matematikus Furjė teorijoje?

Galų gale, jei matematikas buvo teisus savo teiginiuose, tada susumavus begalinę trigonometrinę Furjė eilutę, galima gauti tikslų laipsniškos išraiškos vaizdą, net jei joje yra daug panašių žingsnių. XIX amžiaus pradžioje toks teiginys atrodė absurdiškas. Tačiau nepaisant visų abejonių, daugelis matematikų išplėtė šio reiškinio tyrimo sritį, perkeldami jį į šilumos laidumo tyrimų sritį. Tačiau daugumą mokslininkų ir toliau kankino klausimas: „Ar gali sinusinės serijos suma susilyginti su tiksli vertė nepertraukiama funkcija?"

Furjė serijos konvergencija: pavyzdys

Konvergencijos klausimas iškeliamas kaskart, kai reikia susumuoti begalines skaičių eilutes. Norėdami suprasti šį reiškinį, apsvarstykite klasikinį pavyzdį. Ar kada nors galite pasiekti sieną, jei kiekvienas tolesnis žingsnis yra perpus mažesnis už ankstesnį? Tarkime, kad esate du metrai nuo tikslo, pirmas žingsnis priartina prie pusiaukelės, kitas – prie trijų ketvirčių žymos, o po penkto įveiksite beveik 97 procentus. Tačiau kad ir kiek žingsnių žengtumėte, užsibrėžto tikslo griežtąja matematine prasme nepasieksite. Naudojant skaitinius skaičiavimus, galima parodyti, kad galiausiai galima priartėti prie savavališkai mažo nurodyto atstumo. Šis įrodymas prilygsta parodymui, kad bendra pusės, ketvirtadalio ir tt vertė bus viena.

Konvergencijos klausimas: antrasis atėjimas arba lordo Kelvino prietaisas

Šis klausimas vėl buvo iškeltas XIX amžiaus pabaigoje, kai Furjė serijomis buvo bandoma numatyti atoslūgių ir atoslūgių intensyvumą. Tuo metu lordas Kelvinas išrado įrenginį, kuris yra analoginis skaičiavimo įrenginys, leidžiantis kariuomenės ir prekybinio laivyno jūreiviams tai sekti. gamtos reiškinys. Šis mechanizmas nustatė fazių ir amplitudių rinkinius iš potvynių aukščių lentelės ir atitinkamų laiko momentų, kruopščiai išmatuotų tam tikrame uoste per metus. Kiekvienas parametras buvo sinusoidinis potvynio aukščio išraiškos komponentas ir buvo vienas iš reguliarių komponentų. Matavimų rezultatai buvo įvesti į lordo Kelvino skaičiuotuvą, kuris susintetino kreivę, numatančią vandens aukštį kaip laiko funkciją. kitais metais. Labai greitai panašios kreivės buvo nubrėžtos visuose pasaulio uostuose.

O jei procesą nutraukia nepertraukiama funkcija?

Tuo metu atrodė akivaizdu, kad potvynio bangos prognozuotojas su didelis kiekis sąskaitos elementai gali apskaičiuoti didelis skaičius fazes ir amplitudes ir taip pateikti tikslesnes prognozes. Nepaisant to, paaiškėjo, kad šio dėsningumo nesilaikoma tais atvejais, kai potvynio išraiška, kurią reikėtų susintetinti, turėjo staigų šuolį, tai yra, buvo nenutrūkstama. Tuo atveju, kai į įrenginį įvedami duomenys iš laiko momentų lentelės, jis apskaičiuoja kelis Furjė koeficientus. Sinusoidinių komponentų dėka (pagal rastus koeficientus) atkuriama pirminė funkcija. Neatitikimas tarp pradinės ir atkurtos išraiškos gali būti išmatuotas bet kuriame taške. Atliekant pakartotinius skaičiavimus ir palyginimus, matyti, kad didžiausios paklaidos reikšmė nemažėja. Tačiau jie yra lokalizuoti regione, atitinkančiame nepertraukiamumo tašką, ir bet kuriame kitame taške linkę į nulį. 1899 metais šį rezultatą teoriškai patvirtino Joshua Willardas Gibbsas iš Jeilio universiteto.

Furjė eilučių konvergencija ir matematikos raida apskritai

Furjė analizė netaikoma išraiškoms, turinčioms begalinį serijų skaičių tam tikrame intervale. Apskritai Furjė serija, jei pradinė funkcija vaizduojama realios rezultatu fizinis matmuo, visada susilieja. Šio proceso konvergencijos konkrečioms funkcijų klasėms klausimai lėmė naujų matematikos skyrių, pavyzdžiui, apibendrintų funkcijų teorijos, atsiradimą. Jis siejamas su tokiais vardais kaip L. Schwartz, J. Mikusinsky ir J. Temple. Šios teorijos rėmuose aiškus ir tikslus teorinis kontekstas pagal tokias išraiškas kaip Dirako delta funkcija (ji apibūdina vienos srities sritį, sutelktą be galo mažoje taško kaimynystėje) ir Heaviside'o "žingsnis". Šio darbo dėka Furjė serija tapo pritaikyta sprendžiant lygtis ir uždavinius, kuriuose atsiranda intuityvios sąvokos: taškinis krūvis, taškinė masė, magnetiniai dipoliai, taip pat koncentruota spindulio apkrova.

Furjė metodas

Furjė serija, vadovaujantis trukdžių principais, prasideda išplėtimu sudėtingos formos prie paprastesnių. Pavyzdžiui, šilumos srauto pasikeitimas paaiškinamas jo praėjimu per įvairias kliūtis iš šilumą izoliuojančios medžiagos. netaisyklingos formos arba žemės paviršiaus pasikeitimas – žemės drebėjimas, orbitos pasikeitimas dangaus kūnas- planetų įtaka. Paprastai panašios lygtys, apibūdinančios paprastas klasikines sistemas, elementariai išsprendžiamos kiekvienai atskirai bangai. Furjė tai parodė paprasti sprendimai Taip pat galima susumuoti, kad būtų gautas sprendimas daugiau sudėtingas užduotis. Matematikos kalba išreikšta Furjė serija yra išraiškos kaip harmonikų - kosinuso ir sinusoidų - sumos vaizdavimo technika. Todėl ši analizė taip pat žinoma kaip „harmoninė analizė“.

Furjė serija – ideali technika prieš „kompiuterių amžių“

Prieš kuriant kompiuterines technologijas, Furjė technika buvo geriausias ginklas mokslininkų arsenale dirbant su mūsų pasaulio bangine prigimtimi. Furjė serija sudėtinga forma leidžia išspręsti ne tik paprastas problemas, kurias galima tiesiogiai pritaikyti Niutono mechanikos dėsniams, bet ir pagrindines lygtis. Dauguma Niutono mokslo atradimų XIX amžiuje buvo įmanomi tik Furjė technika.

Furjė serija šiandien

Tobulėjant kompiuteriams Furjė transformacijos pakilo į kokybiškai naują lygį. Ši technika yra tvirtai įsitvirtinusi beveik visose mokslo ir technologijų srityse. Pavyzdys yra skaitmeninis garso ir vaizdo signalas. Jo įgyvendinimas tapo įmanomas tik dėka teorijos, kurią sukūrė prancūzų matematikas pradžioje XIX a. Taigi Furjė serija sudėtinga forma leido padaryti proveržį kosminės erdvės tyrime. Be to, tai turėjo įtakos puslaidininkinių medžiagų ir plazmos fizikos, mikrobangų akustikos, okeanografijos, radaro ir seismologijos tyrimams.

Trigonometrinė Furjė serija

Matematikoje Furjė eilutė yra savavališko vaizdavimo būdas sudėtingos funkcijos paprastesnių suma. V dažni atvejai tokių išraiškų skaičius gali būti begalinis. Be to, kuo labiau skaičiuojant atsižvelgiama į jų skaičių, tuo tikslesnis galutinis rezultatas. Dažniausiai naudojamas kaip paprasčiausias trigonometrinės funkcijos kosinusas arba sinusas. Šiuo atveju Furjė eilutės vadinamos trigonometrinėmis, o tokių išraiškų sprendimas – harmonikos išplėtimu. Šis metodas žaidžia svarbus vaidmuo matematikoje. Visų pirma, trigonometrinė serija yra priemonė vaizdui, taip pat funkcijoms tirti, tai yra pagrindinis teorijos aparatas. Be to, tai leidžia išspręsti daugybę matematinės fizikos problemų. Galiausiai ši teorija prisidėjo prie daugelio labai svarbių matematikos mokslo sekcijų (integralų teorijos, periodinių funkcijų teorijos) kūrimo ir atgaivino. Be to, tai buvo atspirties taškas kuriant šias realaus kintamojo funkcijas, taip pat buvo harmoninės analizės pradžia.

Furjė periodinių funkcijų serija su periodu 2π.

Furjė serija leidžia tirti periodines funkcijas, jas skaidant į komponentus. kintamos srovės ir būdingi įtempiai, poslinkiai, švaistiklio mechanizmų greitis ir pagreitis bei akustinės bangos praktinių pavyzdžių periodinių funkcijų taikymas inžineriniuose skaičiavimuose.

Furjė serijos išplėtimas pagrįstas prielaida, kad viskas praktinė vertė Funkcijos intervale -π ≤x≤ π gali būti išreikštos konvergentinėmis trigonometrinėmis eilutėmis (eilutė laikoma konvergentine, jei konverguoja iš jos narių sudaryta dalinių sumų seka):

Standartinis (= įprastas) žymėjimas per sinx ir cosx sumą

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

kur a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. yra tikrosios konstantos, t.y.

Kur diapazone nuo -π iki π Furjė eilutės koeficientai apskaičiuojami pagal formules:

Vadinami koeficientai a o ,a n ir b n Furjė koeficientai, o jei juos galima rasti, vadinasi serija (1). netoli Furjė, atitinkančią funkciją f(x). Serijai (1) terminas (a 1 cosx+b 1 sinx) vadinamas pirmuoju arba pagrindinė armonika,

Kitas būdas parašyti seriją yra naudoti santykį acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Kur ao yra konstanta, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, cn \u003d (an 2 +bn 2) 1/2 yra įvairių komponentų amplitudės ir yra lygios \ u003d arctg an /b n.

Serijoje (1) terminas (a 1 cosx + b 1 sinx) arba c 1 sin (x + α 1) vadinamas pirmuoju arba pagrindinė armonika,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) arba c 2 sin(2x+α 2) vadinamas antroji harmonika ir tt

Norint tiksliai atvaizduoti sudėtingą signalą, paprastai reikia begalinio skaičiaus terminų. Tačiau daugelyje praktinių problemų pakanka atsižvelgti tik į keletą pirmųjų terminų.

Furjė neperiodinių funkcijų serija su periodu 2π.

Neperiodinių funkcijų skaidymas.

Jei funkcija f(x) yra neperiodinė, ji negali būti išplėsta Furjė serijoje visoms x reikšmėms. Tačiau galima apibrėžti Furjė eilutę, vaizduojančią funkciją bet kuriame 2π pločio diapazone.

Atsižvelgiant į neperiodinę funkciją, galima sukurti naują funkciją pasirinkus f(x) reikšmes tam tikrame diapazone ir kartojant jas už šio diapazono 2π intervalais. Kadangi naujoji funkcija yra periodinė su 2π periodu, ją galima išplėsti Furjė serijoje visoms x reikšmėms. Pavyzdžiui, funkcija f(x)=x nėra periodinė. Tačiau, jei reikia išplėsti ją į Furjė eilutę intervale nuo 0 iki 2π, tada periodinė funkcija, kurios periodas yra 2π, sudaroma už šio intervalo ribų (kaip parodyta paveikslėlyje žemiau).

Neperiodinėms funkcijoms, tokioms kaip f(x)=x, Furjė eilutės suma yra lygi f(x) reikšmei visuose nurodyto diapazono taškuose, bet nėra lygi f(x) taškams. už diapazono ribų. Norint rasti neperiodinės funkcijos Furjė eilutes diapazone 2π, naudojama ta pati Furjė koeficientų formulė.

Lyginės ir nelyginės funkcijos.

Jie sako, kad funkcija y=f(x) net jei f(-x)=f(x) visoms x reikšmėms. Lyginių funkcijų grafikai visada yra simetriški y ašiai (tai yra, jie yra veidrodiniai). Du lyginių funkcijų pavyzdžiai: y=x 2 ir y=cosx.

Jie sako, kad funkcija y=f(x) keista, jei f(-x)=-f(x) visoms x reikšmėms. Nelyginių funkcijų grafikai visada yra simetriški kilmei.

Daugelis funkcijų nėra nei lyginės, nei nelyginės.

Furjė serijos išplėtimas kosinusais.

Lyginės periodinės funkcijos f(x) su periodu 2π Furjė eilutėje yra tik kosinuso nariai (t. y. nėra sinuso narių) ir gali būti pastovus narys. Vadinasi,

kur yra Furjė eilutės koeficientai,

Nelyginės periodinės funkcijos f(x) su periodu 2π Furjė eilutėje yra tik terminai su sinusais (t. y. nėra terminų su kosinusais).

Vadinasi,

kur yra Furjė eilutės koeficientai,

Furjė serija per pusę ciklo.

Jei funkcija apibrėžta diapazonui, tarkime, nuo 0 iki π, o ne tik nuo 0 iki 2π, ji gali būti išplėsta į eilę tik sinusų arba tik kosinusų atžvilgiu. Gauta Furjė serija vadinama netoli Furjė per pusę ciklo.

Jei norite gauti skaidymą Furjė per pusę ciklo kosinusais funkcijos f(x) diapazone nuo 0 iki π, tada reikia sudaryti lyginę periodinę funkciją. Ant pav. žemiau yra funkcija f(x)=x, pagrįsta intervalu nuo x=0 iki x=π. Kadangi lyginė funkcija yra simetriška f (x) ašiai, brėžiame liniją AB, kaip parodyta Fig. žemiau. Jei darysime prielaidą, kad už nagrinėjamo intervalo ribų gauta trikampio forma yra periodinė su 2π periodu, tada galutinis grafikas turi formą, ekraną. pav. žemiau. Kadangi Furjė plėtimąsi reikia gauti kosinusais, kaip ir anksčiau, apskaičiuojame Furjė koeficientus a o ir a n

Jei reikia gauti sinuso pusės ciklo Furjė plėtra funkcijos f(x) diapazone nuo 0 iki π, tada reikia sudaryti nelyginę periodinę funkciją. Ant pav. žemiau yra funkcija f(x)=x, pagrįsta intervalu nuo x=0 iki x=π. Kadangi nelyginė funkcija yra simetriška kilmės atžvilgiu, mes sukuriame liniją CD, kaip parodyta Fig. Jei darysime prielaidą, kad už nagrinėjamo intervalo ribų gautas pjūklo signalas yra periodinis su 2π periodu, tada galutinis grafikas turi tokią formą, kaip parodyta Fig. Kadangi reikia gauti Furjė plėtimąsi per pusę ciklo sinusais, kaip ir anksčiau, apskaičiuojame Furjė koeficientą. b

Furjė serija savavališkam intervalui.

Periodinės funkcijos išplėtimas su L periodu.

Periodinė funkcija f(x) kartojasi x didėjant L, t.y. f(x+L)=f(x). Perėjimas nuo anksčiau nagrinėtų funkcijų su periodu 2π prie funkcijų su periodu L yra gana paprastas, nes tai galima padaryti pakeitus kintamąjį.

Norėdami rasti funkcijos f(x) Furjė eilutę diapazone -L/2≤x≤L/2, įvedame naują kintamąjį u, kad funkcijos f(x) periodas u atžvilgiu būtų 2π. Jei u=2πx/L, tai x=-L/2, kai u=-π ir x=L/2, kai u=π. Taip pat tegul f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Furjė serija F(u) turi formą

(Integravimo ribas galima pakeisti bet kokiu L ilgio intervalu, pavyzdžiui, nuo 0 iki L)

Furjė serija per pusę ciklo funkcijoms, pateiktoms intervale L≠2π.

Pakeitimui u=πx/L intervalas nuo x=0 iki x=L atitinka intervalą nuo u=0 iki u=π. Todėl funkcija gali būti išplėsta į eilutę tik kosinusų atžvilgiu arba tik sinusų atžvilgiu, t.y. v Furjė serija per pusę ciklo.

Išplėtimas kosinusais diapazone nuo 0 iki L turi formą

Bendrojo ir profesinio švietimo ministerija

Sočis Valstijos universitetas turizmas

ir kurorto verslas

Pedagoginis institutas

Matematikos fakultetas

Bendrosios matematikos katedra

DALIS

Furjė serijos ir jų taikymas

matematinėje fizikoje.

Baigė: 5 kurso studentas

dienos parašas

Specialybė 010100

"Matematika"

Kasperova N.S.

Mokinio pažymėjimas Nr.95471

Mokslinis patarėjas: docentas, Ph.D.

techninis parašas. Mokslai

Pozin P.A.

Sočis, 2000 m

1. Įvadas.

2. Furjė serijos samprata.

2.1. Furjė eilutės koeficientų nustatymas.

2.2. Periodinių funkcijų integralai.

3. Furjė eilučių konvergencijos kriterijai.

3.1. Funkcijų išplėtimo Furjė serijose pavyzdžiai.

4. Pastaba apie Furjė serijos periodinės funkcijos išplėtimą

5. Furjė serijos lyginėms ir nelyginėms funkcijoms.

6. Furjė serija funkcijoms su 2 periodu l .

7. Neperiodinės funkcijos Furjė plėtra.

Įvadas.

Jean Baptiste Joseph Fourier – prancūzų matematikas, Paryžiaus mokslų akademijos narys (1817).

Pirmieji Furjė darbai susiję su algebra. Jau 1796 m. paskaitose jis išdėstė teoremą apie realių šaknų skaičių algebrinė lygtis esantis tarp šių ribų (publ. 1820), pavadintas jo vardu; pilną algebrinės lygties realiųjų šaknų skaičiaus sprendimą 1829 m. gavo J.Sh.F. Audra. 1818 metais Furjė nagrinėjo Newtono sukurto metodo skaitiniam lygčių sprendimui pritaikymo sąlygų klausimą, nežinodamas apie panašius rezultatus, 1768 metais gautus prancūzų matematiko J.R. Murail. Furjė darbo, susijusio su skaitiniais lygčių sprendimo metodais, rezultatas yra tam tikrų lygčių analizė, paskelbta po mirties 1831 m.

Pagrindinė Furjė studijų sritis buvo matematinė fizika. 1807 ir 1811 m. jis pristatė savo pirmuosius atradimus apie šilumos sklidimo kietosiose medžiagose teoriją Paryžiaus mokslų akademijai, o 1822 m. paskelbė gerai žinomą veikalą Analytical Theory of Heat, kuriame grojo. didelis vaidmuo vėlesnėje matematikos istorijoje. Tai matematinė šilumos laidumo teorija. Dėl metodo bendrumo ši knyga tapo visų šaltiniu šiuolaikiniai metodai matematinė fizika. Šiame darbe Furjė išvedė diferencialinė lygtisšilumos laidumą ir išplėtotas idėjas, daugiausia bendrais bruožais anksčiau aprašytą D. Bernoulli, sukūrė kintamųjų atskyrimo metodą (Fourier metodas), kad išspręstų šilumos lygtį tam tikroms duotoms ribinėms sąlygoms, kurią pritaikė daugeliui ypatingų atvejų (kubo, cilindro ir kt.). Šis metodas pagrįstas funkcijų atvaizdavimu trigonometrinėmis Furjė eilutėmis.

Furjė serijos dabar tapo gerai išvystyta dalinių diferencialinių lygčių teorijos priemone ribinėms reikšmėms spręsti.

1. Furjė serijos samprata.(p. 94, Uvarenkovas)

Furjė serijos vaidina svarbų vaidmenį matematinėje fizikoje, elastingumo teorijoje, elektrotechnikoje ir ypač jų ypatinga byla yra trigonometrinės Furjė eilutės.

Trigonometrinė serija yra formos serija

arba simboliškai:

(1)

kur ω, a 0 , a 1 , …, a n , …, b 0 , b 1 , …, b n , … yra pastovūs skaičiai (ω>0).

Kai kurios fizikos problemos istoriškai paskatino tokias eilutes tirti, pavyzdžiui, stygų virpesių problema (XVIII a.), šilumos laidumo reiškinių dėsningumų problema ir kt. Taikymuose atsižvelgiama į trigonometrines eilutes. , pirmiausia yra susijęs su tam tikro judesio vaizdavimo problema, aprašyta lygtimi y = ƒ(χ),

paprasčiausių harmoninių virpesių sumos pavidalu, dažnai paimama begaliniais dideli skaičiai, ty kaip (1) formos serijos suma.

Taigi pasiekiame tokią problemą: išsiaiškinti, ar duotai funkcijai ƒ(x) tam tikrame intervale egzistuoja eilutė (1), kuri konverguotų šiame intervale į šią funkciją. Jei tai įmanoma, sakoma, kad funkcija ƒ(x) išsiplečia į trigonometrinę seką šiame intervale.

Serija (1) konverguoja tam tikru tašku x 0 dėl funkcijų periodiškumo

(n=1,2,..), ji taip pat suartės visuose formos taškuose (m yra bet koks sveikasis skaičius), taigi jo suma S(x) bus (eilės konvergencijos srityje) periodinė funkcija: jei S n (x) - n-oji dalinėšios serijos sumą, tada turime

ir todėl

, ty S(x0 +T)=S(x0). Todėl kalbėdami apie kokios nors funkcijos ƒ(x) išplėtimą į (1) formos eilutę, manysime, kad ƒ(x) yra periodinė funkcija.

2. Eilučių koeficientų nustatymas Furjė formulėmis.

Tegul periodinė funkcija ƒ(x), kurios periodas yra 2π, yra tokia, kad ją pavaizduotų trigonometrinė eilutė, konverguojanti į nurodytą funkciją intervale (-π, π), t. y. yra šios eilutės suma:

. (2)

Tarkime, kad funkcijos integralas kairėje šios lygybės pusėje yra lygus šios eilutės narių integralų sumai. Tai bus tiesa, jei manysime, kad skaičių eilutės, sudarytos iš duotų trigonometrinių eilučių koeficientų, absoliučiai konverguoja, t. y. teigiamos skaičių eilutės konverguoja

(3)

Serija (1) yra suskirstyta į didžiąją dalį ir gali būti integruojama po termino intervale (-π, π). Integruojame abi lygybės dalis (2):

.

Skaičiuojame atskirai kiekvieną integralą, esantį dešinėje:

, , .

Šiuo būdu,

, kur . (4)

Furjė koeficientų įvertinimas.(Bugrov)

1 teorema. Tegul 2π periodo funkcija ƒ(x) turi nuolatinę išvestinę ƒ ( s) (x) įsakymas s tenkinanti nelygybę visoje realioje ašyje:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

tada funkcijos Furjė koeficientai ƒ patenkinti nelygybę

(6)

Įrodymas. Integravimas dalimis ir atsižvelgiant į tai

ƒ(-π) = ƒ(π), turime

Integruojant dešinę (7) pusę nuosekliai, atsižvelgiant į tai, kad išvestinės ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) yra ištisinės ir imamos tos pačios vertybės taškuose t = -π ir t = π, taip pat įvertinus (5), gauname pirmąjį įvertį (6).

Antrasis įvertinimas (6) gaunamas panašiu būdu.

2 teorema. Furjė koeficientai ƒ(x) tenkina nelygybę

(8)

Įrodymas. Mes turime

Daugelis gamtoje ir technologijose vykstančių procesų turi savybę reguliariai kartotis. Tokie procesai vadinami periodiniais ir matematiškai aprašomi periodinėmis funkcijomis. Šios funkcijos apima nuodėmė(x) , cos(x) , nuodėmė(wx), cos(wx) . Dviejų periodinių funkcijų suma, pavyzdžiui, formos funkcija , apskritai nebėra periodiškas. Bet galima parodyti, kad jei santykis w 1 / w 2 yra racionalus skaičius, tada ši suma yra periodinė funkcija.

Paprasčiausi periodiniai procesai – harmoniniai virpesiai – apibūdinami periodinėmis funkcijomis nuodėmė(wx) ir cos(wx). Sudėtingesni periodiniai procesai apibūdinami funkcijomis, sudarytomis iš baigtinio arba begalinio skaičiaus formos terminų nuodėmė(wx) ir cos(wx).

3.2. trigonometrinės serijos. Furjė koeficientai

Apsvarstykite funkcinę formos seriją:

Ši eilutė vadinama trigonometrinis; numeriai a 0 , b 0 , a 1 , b 1 ,a 2 , b 2 …, a n , b n ,… paskambino koeficientai trigonometrinės serijos. Serija (1) dažnai rašoma taip:

. (2)

Kadangi trigonometrinės eilutės (2) nariai turi bendrą periodą
, tada eilučių suma, jei ji konverguoja, taip pat yra periodinė funkcija su tašku
.

Tarkime, kad funkcija f(x) yra šios serijos suma:

. (3)

Šiuo atveju sakoma, kad funkcija yra f(x) išsiplečia į trigonometrinę eilutę. Darant prielaidą, kad ši serija tolygiai konverguoja per intervalą
, jo koeficientus galite nustatyti pagal formules:

,
,
. (4)

Šiomis formulėmis nustatytų eilučių koeficientai vadinami Furjė koeficientai.

Vadinamos trigonometrinės eilutės (2), kurių koeficientai nustatomi Furjė formulėmis (4). netoli Furjė atitinkančią funkciją f(x).

Taigi, jei periodinė funkcija f(x) yra konvergentinės trigonometrinės eilutės suma, tada ši eilutė yra jos Furjė eilutė.

3.3. Furjė serijos konvergencija

Formulės (4) rodo, kad Furjė koeficientai gali būti apskaičiuojami bet kuriam integruojamam intervalui

-periodinė funkcija, t.y. tokiai funkcijai visada galima sudaryti Furjė eilutę. Bet ar ši serija susilies su funkcija f(x) ir kokiomis sąlygomis?

Prisiminkite, kad funkcija f(x), apibrėžta segmente [ a; b] , vadinamas dalimis lygiu, jei jis ir jo išvestinė turi daugiausiai baigtinį pirmosios rūšies nepertraukiamumo taškų skaičių.

Ši teorema pateikia pakankamas sąlygas funkcijai išplėsti į Furjė eilutę.

Dirichlet teorema. Leisti
- periodinė funkcija f(x) yra dalimis lygus
. Tada jos Furjė serija susilieja į f(x) kiekviename jo tęstinumo taške ir iki vertės 0,5(f(x+0)+ f(x-0)) lūžio taške.

1 pavyzdys.

Išplėskite funkciją Furjė serijoje f(x)= x, nurodyta intervale
.

Sprendimas.Ši funkcija atitinka Dirichlet sąlygas ir todėl gali būti išplėsta į Furjė seriją. Taikant formules (4) ir integravimo dalimis metodą
, randame Furjė koeficientus:

Taigi, Furjė serija funkcijai f(x) turi išvaizdą.