Taikymas

Diferencialinių lygčių sprendimas internete, kad studentai galėtų įtvirtinti išlaikytą medžiagą. Ir lavinkite savo praktinius įgūdžius. Diferencialinės lygtys internete. Difura internete, matematikos sprendimas internete. Žingsnis po žingsnio matematinių problemų sprendimas internete. Diferencialinės lygties tvarka ar laipsnis yra aukščiausia į ją įtrauktų išvestinių priemonių eilė. Diferencialinės lygtys internete. Diferencialinės lygties sprendimo procesas vadinamas integracija. Diferencialinės lygties integravimo problema laikoma išspręsta, jei nežinomos funkcijos radinį galima sumažinti iki kvadratūros, neatsižvelgiant į tai, ar gautas integralas išreiškiamas baigtine forma pagal žinomas funkcijas, ar ne. Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Visas diferencialines lygtis galima suskirstyti į įprastas (ODE), kurios apima tik funkcijas (ir jų darinius) iš vieno argumento, ir dalines diferencialines lygtis (PDE), kuriose gaunamos funkcijos priklauso nuo daugelio kintamųjų. Diferencialinės lygtys internete. Taip pat yra stochastinių diferencialinių lygčių (SDE), apimančių stochastinius procesus. Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Priklausomai nuo išvestinių derinių, funkcijų, nepriklausomų kintamųjų, diferencialinės lygtys skirstomos į linijines ir netiesines, su pastoviu ar kintamu koeficientu, vienalytės arba nevienalytės. Atsižvelgiant į taikomųjų programų svarbą, kvazilininės (tiesinės aukščiausiosios išvestinės dalies atžvilgiu) dalinės diferencialinės lygtys yra atskiriamos į atskirą klasę. Diferencialinių lygčių sprendimai yra suskirstyti į bendrus ir konkrečius sprendimus. Diferencialinės lygtys internete. Bendrieji sprendimai apima neapibrėžtas konstantas, o dalinėms diferencialinėms lygtims - savavališkas nepriklausomų kintamųjų funkcijas, kurias galima patikslinti papildomomis integravimo sąlygomis (pradinės įprastų diferencialinių lygčių sąlygos, pradinės ir ribinės sąlygos dalinėms diferencialinėms lygtims). Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Nustačius nurodytų pastovių ir neapibrėžtų funkcijų formą, sprendimai tampa privatūs. Ieškant įprastų diferencialinių lygčių sprendimų, buvo sukurta specialiųjų funkcijų klasė - funkcijos, su kuriomis dažnai susiduriama programose, kurios nėra išreikštos žinomomis elementariomis funkcijomis. Diferencialinės lygtys internete. Buvo išsamiai ištirtos jų savybės, sudarytos vertybių lentelės, nustatyti tarpusavio santykiai ir kt. ... Galima ištirti išvardytų skaičių rinkinį. Geriausias atsakymas į užduotį. Kaip pirmuoju suderinimu rasti išeinantį vektorių į diferencialinių lygčių konvergencijos sritį, neišsiaiškinus nustatytos viršutinės ribos. Pasirinkimas akivaizdus didinant matematines funkcijas. Yra progresyvus metodas, viršijantis tyrimo lygį. Diferencialo sprendimo suderinimas pagal pradinę problemos būklę padės rasti vienareikšmiškai pasirinktą vertę. Gali būti, kad jis iš karto gali nustatyti nežinomą. Kaip ir ankstesniame matematinės problemos sprendimo nurodymo pavyzdyje, tiesinės diferencialinės lygtys yra atsakymas į konkrečią problemą per nurodytą laikotarpį. Tyrimo procedūros priežiūra nėra lokaliai apibrėžta. Bus taip, kad kiekvienam mokiniui bus rastas pavyzdys, o diferencialinių lygčių sprendimas nustatys priskirtą atlikėją bent iš dviejų verčių. Paimkite tam tikro segmento bendros vertės funkciją ir įspėkite, išilgai kurios ašies bus tarpas. Išstudijavus diferencialines lygtis internete, galima vienareikšmiškai parodyti, koks svarbus rezultatas, jei toks pateikiamas iš pradinių sąlygų. Neįmanoma išbraukti regiono iš funkcijos apibrėžimo, nes vietoje nėra užduoties apibrėžimo. Atsakymas, rastas iš lygčių sistemos, turi kintamąjį, kurį galima apskaičiuoti bendrąja prasme, tačiau, žinoma, bus galima išspręsti diferencialinę lygtį internete be šio veiksmo, apibrėžiant minėtą sąlygą. Šalia segmento intervalo galite pamatyti, kaip sprendžiant diferencialines lygtis internete, galima perkelti tyrimo rezultatą teigiama linkme tuo metu, kai mokinys praranda žinias. Geriausias ne visada yra bendro, priimto požiūrio į verslą rezultatas. Esant 2x didinimo lygiui, galite naudingai peržiūrėti visas būtinas linijines diferencialines lygtis natūraliu būdu, tačiau galimybė apskaičiuoti skaitinę vertę padės geriau žinoti. Bet kuriai matematikos metodikai yra skirtingos lygtys, kurios pateikiamos iš esmės skirtingomis išraiškomis, pavyzdžiui, vienalytėmis ar sudėtingomis. Atlikus bendrą funkcijos tyrimo analizę, paaiškės, kad diferencialo, kaip galimybių visumos, sprendimas yra akivaizdi reikšmių klaida. Tiesa joje slypi erdvėje virš abscisių linijų. Kažkur sudėtingos funkcijos srityje, tam tikru jos apibrėžimo momentu, linijinės diferencialinės lygtys galės pateikti atsakymą analitine forma. tai apskritai kaip esmė. Pakeitus kintamąjį, niekas nepasikeis. Tačiau į atsakymą turite žvelgti su ypatingu susidomėjimu. Tiesą sakant, skaičiuotuvas galiausiai pakeičia santykį, tai yra, kaip nurodomas diferencialinių lygčių sprendimas, proporcingas visuotinei vertei, neviršijant ieškomo sprendimo. Kai kuriais atvejais įspėjimas apie masinę klaidą yra neišvengiamas. Diferencialinės lygtys internete įgyvendina bendrą problemos idėją, tačiau galiausiai būtina kuo greičiau numatyti teigiamus kryžminio produkto aspektus. Matematikoje neretai pasitaiko skaičių teorijos klaidų. Tikrinimas tikrai bus reikalingas. Natūralu, kad šią teisę geriau suteikti savo srities profesionalams ir būtent jie padės išspręsti diferencialinę lygtį internete, nes jų patirtis yra didžiulė ir teigiama. Skirtumas ant figūrų ir srities paviršių yra toks, kad neišsprendus diferencialinių lygčių internete bus galima pamatyti, tačiau nesikertančių objektų rinkinys yra toks, kad linija būtų lygiagreti ašiai. Dėl to galite gauti dvigubai daugiau vertybių. Ne visai aiškiai, mūsų idėja apie formaliojo žymėjimo teisingumą numato linijines diferencialines lygtis tiek žiūrėjimo zonoje, tiek sąmoningai pervertinus rezultato kokybę. Kelis kartus apžvalgoje skelbiama diskusija visiems studentams įdomia tema. Viso paskaitų kurso metu daug dėmesio skirsime diferencialinėms lygtims ir susijusioms mokslo studijų sritims, jei tai neprieštarauja tiesai. Kelionės pradžioje galima išvengti daugelio etapų. Jei diferencialo sprendimas studentams iš esmės vis dar yra kažkas naujo, tai senasis visai nepamirštamas, bet progresuoja į ateitį su dideliu vystymosi tempu. Iš pradžių matematikos problemos sąlygos skiriasi, tačiau tai nurodyta dešinėje esančioje pastraipoje. Pasibaigus apibrėžties nustatytam laikui, neatmetama galimybė gauti proporcingą priklausomą rezultatą skirtingose ​​vektoriaus judėjimo plokštumose. Toks paprastas atvejis yra ištaisytas, taip pat skaičiuoklėje bendros formos aprašytos tiesinės diferencialinės lygtys, todėl jis bus greitesnis ir skaičiavimai kompensuoti nesukels klaidingos nuomonės. Tik penki atvejai, pavadinti pagal teoriją, gali peržengti to, kas vyksta, ribas. Mūsų diferencialinių lygčių sprendimas padės rankiniu būdu apskaičiuoti reikšmę skaičiais jau pirmaisiais funkcinės erdvės skaidymo etapais. Tinkamose vietose būtina pavaizduoti keturių linijų sąlyčio tašką bendrąja prasme. Bet jei turėsite pakeisti užduotį, sudėtingumą bus lengva prilyginti. Pradinių duomenų pakanka suprojektuoti gretimą koją, o internetinės diferencialinės lygtys atrodo išlygintos kairėje, o vienpusis paviršius nukreiptas į vektorinį rotorių. Virš viršutinės ribos galimos skaitinės vertės, viršijančios nurodytą sąlygą. Galima atsižvelgti į matematinę formulę ir išspręsti diferencialinę lygtį internete trijų nežinomų sąskaita bendroje proporcijos vertėje. Galioja vietinis skaičiavimo metodas. Koordinačių sistema yra stačiakampio formos santykinis plokštumos judėjimas. Bendras diferencialinių lygčių sprendimas internete leidžia vienareikšmiškai padaryti išvadą apskaičiuoto šlavimo naudai per matricos apibrėžimus visoje tiesėje, esančioje virš aiškiai nurodytos funkcijos grafiko. Tirpalas matomas pro ir per, jei judėjimo vektorių pritaikysite trijų pusrutulių sąlyčio taške. Cilindras gaunamas sukant stačiakampį aplink šoną, o tiesinės diferencialinės lygtys galės parodyti taško judėjimo kryptį pagal duotą jo judėjimo dėsnį. Pradiniai duomenys yra teisingi, o matematikos užduotis galima pakeisti viena paprasta sąlyga. Tačiau dėl aplinkybių, atsižvelgiant į suformuluotos papildomos problemos sudėtingumą, diferencialinės lygtys supaprastina skaitinių erdvių skaičiavimo procesą trimatės erdvės lygiu. Lengva įrodyti priešingai, tačiau to galima išvengti, kaip aukščiau pateiktame pavyzdyje. Aukštojoje matematikoje pateikiami šie punktai: kai problema sumažinama iki supaprastintos formos, į ją turi būti įtrauktos kuo daugiau studentų pastangų. Viena ant kitos uždėtos linijos yra užvedamos. Pro diferencialinis sprendimas vis dar atnaujina minėto metodo pranašumą išlenktoje linijoje. Jei iš pradžių atpažinsite neteisingą dalyką, tada matematinė formulė sudarys naują išraiškos prasmę. Tikslas - optimalus požiūris į profesoriaus iškeltų užduočių sprendimą. Nemanykite, kad linijinės diferencialinės lygtys supaprastinta forma viršys laukiamą rezultatą. Ant galutinio paviršiaus uždėkite tris vektorius. stačiakampiai vienas kitam. Apskaičiuokime produktą. Pridėkime daugiau simbolių ir iš gautos išraiškos užrašykime visus funkcijos kintamuosius. Yra proporcija. Keli veiksmai prieš skaičiavimo pabaigą, nedviprasmiškas atsakymas į diferencialinių lygčių sprendimą bus pateiktas ne iš karto, o tik pasibaigus ordinačių ašies laikui. Į kairę nuo nepertraukiamumo taško, netiesiogiai duotas iš funkcijos, nubrėžkite ašį, statmeną geriausiai didėjančiam vektoriui, ir padėkite internetines diferencialines lygtis išilgai mažiausios matematinio objekto apatinės ribos ribinės vertės. Papildomą argumentą pridedame prie funkcijų spragos. Dešinėje nuo taškų, kuriuose yra išlenkta linija, išsprendus diferencialinę lygtį internete, sumažinimo formulės, kurias parašėme bendram vardikliui, padės. Mes laikysimės vienintelio teisingo požiūrio, kuris iš teorijos į praktiką, paprastai, nedviprasmiškai nušvies neišspręstas problemas. Linijos nurodytų taškų koordinačių kryptimi niekada neuždarė kraštutinės kvadrato padėties, tačiau diferencialinių lygčių sprendimas internete padės mokytis matematikos ir studentams, ir mums, ir tik pradedantiesiems šioje srityje . Mes kalbame apie galimybę pakeisti vertės argumentą į visas reikšmes, kurios yra reikšmingos po vieno lauko eilutėmis. Iš principo, kaip ir galima tikėtis, mūsų linijinės diferencialinės lygtys yra izoliuotos į vieną nurodytos reikšmės sąvoką. Norėdami padėti studentams, vienas iš geriausių skaičiuotuvų tarp panašių paslaugų. Užbaikite visus kursus ir išsirinkite sau tinkamiausią.

=

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Sprendimų pavyzdžiai.
Atskiriamos diferencialinės lygtys

Diferencialinės lygtys (DE). Šie du žodžiai paprastai gąsdina paprastą pasaulietį. Diferencialinės lygtys daugeliui studentų atrodo kažkas neįtikėtino ir sunku išmokti. Uuuuuuu ... diferencialinės lygtys, kaip aš galiu visa tai išgyventi?!

Ši nuomonė ir toks požiūris yra iš esmės neteisingas, nes iš tikrųjų Skirtingos lygybės yra paprastos ir netgi linksmos... Ką reikia žinoti ir mokėti, norint išmokti spręsti diferencialines lygtis? Norėdami sėkmingai studijuoti difūrą, turite gerai integruotis ir atskirti. Kuo geriau tiriamos temos Vieno kintamojo funkcijos darinys ir Neribotas integralas, tuo lengviau bus suprasti diferencialines lygtis. Pasakysiu daugiau, jei turite daugiau ar mažiau tinkamų integracijos įgūdžių, tada tema yra praktiškai įvaldyta! Kuo daugiau įvairių tipų integralų galite išspręsti, tuo geriau. Kodėl? Yra daug ką integruoti. Ir diferencijuoti. Taip pat labai rekomenduojama išmokti rasti.

95% atvejų valdymo dokumentuose aptinkami 3 pirmosios eilės diferencialinių lygčių tipai: atskiriamos lygtysį kurią mes pažvelgsime šioje pamokoje; vienalytės lygtys ir tiesinės nevienalytės lygtys... Pradedantiesiems studijuoti difuziją patariu susipažinti su šios sekos pamokomis, o ištyrus pirmuosius du straipsnius nepakenks įtvirtinti savo įgūdžius papildomose dirbtuvėse - lygtis, sumažinančias iki vienalytės.

Yra dar retesnių tipų diferencialinių lygčių: bendrųjų diferencialų lygčių, Bernulio lygčių ir kai kurių kitų. Svarbiausios iš paskutinių dviejų tipų yra lygtys su visais skirtumais, nes be šios DE aš svarstau naują medžiagą - dalinė integracija.

Jei tau liko tik viena ar dvi dienos, tada itin greitam paruošimui yra Blitz kursas pdf formatu.

Taigi, orientyrai nustatyti - eikime:

Pirmiausia prisiminkime įprastas algebrines lygtis. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Paprasčiausias pavyzdys :. Ką reiškia išspręsti paprastą lygtį? Tai reiškia rasti daug skaičių kurie atitinka šią lygtį. Nesunku pastebėti, kad vaikų lygtis turi vieną šaknį :. Kad būtų smagu, patikrinkime, pakeiskite rastą šaknį į mūsų lygtį:

- gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad sprendimas rastas teisingai.

Skirtumai panašūs!

Diferencialinė lygtis Pirmas užsakymas apskritai yra:
1) nepriklausomas kintamasis;
2) priklausomas kintamasis (funkcija);
3) pirmasis funkcijos darinys :.

Kai kuriose pirmosios eilės lygtyse gali nebūti „x“ arba (ir) „žaidimo“, tačiau tai nėra būtina - svarbu kad DU buvo pirmasis darinys, ir neturėjo aukštesnių kategorijų išvestinės finansinės priemonės ir kt.

Ką reiškia ? Diferencialinės lygties sprendimas reiškia rasti daug visų funkcijų kurie atitinka šią lygtį. Toks funkcijų rinkinys dažnai turi formą (yra savavališka konstanta), kuri vadinama bendras diferencialinės lygties sprendimas.

1 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Pilna šaudmenų apkrova. Kur pradėti sprendimas?

Visų pirma, išvestinę reikia perrašyti šiek tiek kita forma. Prisimename sudėtingą pavadinimą, kuris tikriausiai atrodė juokingas ir nereikalingas. Skirtingai, tai yra taisyklė!

Antrame žingsnyje pažiūrėkime, ar tai įmanoma padalinti kintamuosius? Ką reiškia padalinti kintamuosius? Apytiksliai kalbant, kairėje pusėje mums reikia palikti tik "žaidėjai", a dešinėje pusėje organizuoti tik "x"... Kintamųjų atskyrimas atliekamas naudojant „mokyklos“ manipuliacijas: skliausteliuose, terminų perkėlimas iš dalies į dalį keičiant ženklą, veiksnių perkėlimas iš dalies į dalį pagal proporcijos taisyklę ir kt.

Diferencialai ir yra visavertis daugiklis ir aktyvūs karo veiksmų dalyviai. Nagrinėjamame pavyzdyje kintamieji lengvai atskiriami metant daugiklius pagal proporcijos taisyklę:

Kintamieji yra atskirti. Kairėje pusėje yra tik „žaidimai“, dešinėje - tik „X“.

Kitas etapas - integruojant diferencialinę lygtį... Tai paprasta, mes pakabiname integralus iš abiejų pusių:

Žinoma, integralai turi būti paimti. Šiuo atveju jie pateikiami lentelėmis:

Kaip prisimename, bet kuriai antiderivacijai priskiriama konstanta. Čia yra du integralai, tačiau pakanka vieną kartą parašyti konstantą (nes konstanta + konstanta vis dar yra lygi kitai konstantai)... Daugeliu atvejų jis dedamas dešinėje pusėje.

Griežtai tariant, paėmus integralus, diferencialinė lygtis laikoma išspręsta. Vienintelis dalykas yra tai, kad mūsų „žaidimas“ nėra išreiškiamas per „x“, tai yra, pateikiamas sprendimas netiesiogiai forma. Diferencialinės lygties sprendimas numanoma forma vadinamas diferencialinės lygties bendrasis integralas... Tai yra, tai yra bendras integralas.

Šios formos atsakymas yra gana priimtinas, bet ar nėra geresnio varianto? Pabandykime gauti bendras sprendimas.

Prašau, prisimink pirmąją techniką, tai labai paplitusi ir dažnai naudojama praktiniuose pratimuose: jei po integracijos logaritmas pasirodo dešinėje pusėje, tada daugeliu atvejų (bet ne visada!) taip pat patartina parašyti konstantą po logaritmu.

Tai yra, VIETOJįrašai dažniausiai rašomi .

Kodėl to reikia? Ir tam, kad būtų lengviau išreikšti „žaidimą“. Naudojant logaritmų savybę ... Tokiu atveju:

Dabar logaritmus ir modulius galima pašalinti:

Funkcija pateikiama aiškiai. Tai yra bendras sprendimas.

Atsakymas: bendras sprendimas: .

Daugelio diferencialinių lygčių atsakymus gana lengva patikrinti. Mūsų atveju tai daroma gana paprastai, imame rastą sprendimą ir jį diferencijuojame:

Tada mes pakeičiame išvestinę į pradinę lygtį:

- gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad bendras sprendimas atitinka lygtį, kurią reikėjo patikrinti.

Suteikdami pastoviai skirtingas vertybes, galite gauti be galo daug privatūs sprendimai diferencialinė lygtis. Akivaizdu, kad bet kuri iš funkcijų ir kt. tenkina diferencialinę lygtį.

Bendras sprendimas kartais vadinamas funkcijų šeima... Šiame pavyzdyje bendras sprendimas yra Ar linijinių funkcijų šeima, tiksliau, tiesioginių proporcijų šeima.

Kruopščiai sukramtę pirmąjį pavyzdį, tikslinga atsakyti į kelis naivius klausimus apie diferencialines lygtis:

1)Šiame pavyzdyje mums pavyko padalinti kintamuosius. Ar tai visada galima padaryti? Ne ne visada. Ir dar dažniau kintamųjų negalima padalyti. Pavyzdžiui, į vienalytės pirmosios eilės lygtys, pirmiausia turite pakeisti. Kitų tipų lygtyse, pavyzdžiui, tiesinėje nevienalytėje pirmosios eilės lygtyje, norint rasti bendrą sprendimą, reikia naudoti įvairius metodus ir metodus. Atskiriamos lygtys, kurias mes svarstome pirmoje pamokoje, yra paprasčiausias diferencialinių lygčių tipas.

2) Ar visada įmanoma integruoti diferencialinę lygtį? Ne ne visada. Labai lengva sugalvoti „išgalvotą“ lygtį, kurios negalima integruoti, be to, yra ne trivialių integralų. Tačiau tokius DE galima išspręsti maždaug naudojant specialius metodus. D'Alembertas ir Cauchy garantuoja ... ... ugh, lurkmore.to tiesiog daug skaityti, beveik pridūrė "iš kito pasaulio".

3) Šiame pavyzdyje gavome sprendimą bendrojo integralo pavidalu ... Ar visada galima rasti bendrą sprendimą iš bendro integralo, tai yra išreikšti „žaidimą“ aiškiai? Ne ne visada. Pavyzdžiui: . Na, kaip aš galiu išreikšti „žaidimą“?! Tokiais atvejais atsakymas turėtų būti parašytas kaip bendras integralas. Be to, kartais galima rasti bendrą sprendimą, tačiau jis parašytas taip sudėtingai ir nerangiai, kad atsakymą geriau palikti bendro integralo pavidalu

4) ... kol kas turbūt užteks. Pirmame pavyzdyje mes susitikome dar vienas svarbus punktas, bet kad „manekenų“ neapimtų naujos informacijos lavina, paliksiu ją iki kitos pamokos.

Neskubėkime. Kitas paprastas nuotolinio valdymo pultas ir dar vienas tipiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą

Sprendimas: pagal sąlygą reikia rasti privatus sprendimas DE, atitinkanti pradinę sąlygą. Ši klausimo formuluotė taip pat vadinama Cauchy problema.

Pirma, mes randame bendrą sprendimą. Lygybėje nėra kintamojo „x“, tačiau tai neturėtų painioti, svarbiausia, kad jame būtų pirmoji išvestinė.

Mes perrašome išvestinę reikiama forma:

Akivaizdu, kad kintamuosius galima padalyti: berniukai į kairę, mergaitės į dešinę:

Mes sujungiame lygtį:

Gaunamas bendras integralas. Čia aš nubrėžiau konstantą su viršutine žvaigždute, faktas yra tas, kad labai greitai ji virs kita konstanta.

Dabar mes bandome bendrą integralą paversti bendru sprendimu (aiškiai išreikšti „žaidimą“). Prisimename seną, gerą mokyklą: ... Tokiu atveju:

Indikatoriaus konstanta atrodo kažkaip ne košerinė, todėl ji paprastai nuleidžiama iš dangaus į žemę. Išsamiai tai atsitinka taip. Naudodami galios ypatybę, funkciją perrašome taip:

Jei yra konstanta, tai taip pat yra tam tikra konstanta, mes ją pakartotinai pažymime raide:

Atminkite, kad konstantos „griovimas“ yra antra technika, kuris dažnai naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis.

Taigi bendras sprendimas yra :. Tokia graži eksponentinių funkcijų šeima.

Paskutiniame etape būtina rasti konkretų sprendimą, atitinkantį nurodytą pradinę sąlygą. Tai taip pat lengva.

Kokia užduotis? Būtina pasiimti toks konstantos vertė sąlygai įvykdyti.

Galite kurti įvairiais būdais, tačiau suprantamiausia, galbūt, taip ir bus. Bendrame sprendime vietoj „x“ pakeičiame nulį, o vietoj „žaidimo“ - du:



Tai yra,

Standartinio dizaino versija:

Dabar nustatytą pastovią vertę pakeičiame bendru sprendimu:
- tai yra konkretus sprendimas, kurio mums reikia.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkime. Privačio sprendimo tikrinimas apima du etapus:

Pirma, būtina patikrinti, ar rastas konkretus sprendimas tikrai atitinka pradinę sąlygą? Vietoj „x“ pakeičiame nulį ir matome, kas atsitiks:
- taip, iš tikrųjų gaunami du, o tai reiškia, kad pradinė sąlyga yra įvykdyta.

Antrasis etapas jau pažįstamas. Paimame gautą konkretų sprendimą ir randame išvestį:

Pakaitalas originalioje lygtyje:

- gaunama teisinga lygybė.

Išvada: tam tikras sprendimas buvo rastas teisingai.

Pereikite prie prasmingesnių pavyzdžių.

3 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Sprendimas: Mes perrašome darinį tokia forma, kokia mums reikalinga:

Vertinant, ar kintamuosius galima padalyti? Gali. Antrąjį terminą perkeliame į dešinę, pakeisdami ženklą:

Ir mes mesime daugiklius pagal proporcijos taisyklę:

Kintamieji yra atskirti, mes integruojame abi dalis:

Turiu jus įspėti, artėja teismo diena. Jei gerai nesimokėte neapibrėžti integralai, išsprendėte keletą pavyzdžių, tada nėra kur dėtis - turėsite juos įvaldyti dabar.

Kairės pusės integralas yra lengvai randamas, mes galime susidoroti su kotangento integralu, naudodami standartinę techniką, kurią mes svarstėme pamokoje Trigonometrinių funkcijų integravimas Praėjusiais metais:

Dešinėje pusėje yra logaritmas, ir pagal mano pirmąją techninę rekomendaciją konstanta taip pat turėtų būti parašyta po logaritmu.

Dabar mes stengiamės supaprastinti bendrą integralą. Kadangi mes turime tuos pačius logaritmus, visiškai įmanoma (ir būtina) jų atsikratyti. Naudojant žinomų savybių Kiek įmanoma, supakuojame logaritmus. Labai išsamiai parašysiu:

Pakuotė baigta barbariškai nuimti:

Ar galite išreikšti „žaidimą“? Gali. Abi pusės turi būti kvadratinės.

Bet jums to nereikia daryti.

Trečias techninis patarimas: jei norite gauti bendrą sprendimą, turite pakelti galią arba išgauti šaknis, tada Daugeliu atvejų reikėtų susilaikyti nuo šių veiksmų ir atsakymą palikti bendro integralo pavidalu. Faktas yra tas, kad bendras sprendimas atrodys tiesiog siaubingai - su didelėmis šaknimis, ženklais ir kitomis šiukšlėmis.

Todėl atsakymą rašome bendro integralo pavidalu. Laikoma gera forma ją pateikti tokia forma, tai yra, jei įmanoma, dešinėje pusėje palikite tik konstantą. To daryti nebūtina, bet visada naudinga įtikti profesoriui ;-)

Atsakymas: bendras integralas:

! Pastaba: bet kurios lygties bendrasis integralas gali būti parašytas daugiau nei vienu būdu. Taigi, jei jūsų rezultatas nesutapo su anksčiau žinomu atsakymu, tai nereiškia, kad neteisingai išsprendėte lygtį.

Bendrasis integralas taip pat tikrinamas gana lengvai, svarbiausia, kad būtų galima rasti numanomos funkcijos vedinys... Atsakymo diferencijavimas:

Padauginame abu terminus iš:

Ir mes dalijamės:

Gaunama tiksliai originali diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendras integralas randamas teisingai.

4 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą. Patikrinti.

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys.

Priminsiu, kad algoritmas susideda iš dviejų etapų:
1) rasti bendrą sprendimą;
2) rasti reikiamą privatų sprendimą.

Tikrinimas taip pat atliekamas dviem etapais (žr. Pavyzdį Nr. 2), jums reikia:
1) įsitikinkite, kad rastas konkretus sprendimas atitinka pradinę sąlygą;
2) patikrinkite, ar konkretus sprendimas paprastai atitinka diferencialinę lygtį.

Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

5 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą tenkinanti pradinę sąlygą. Patikrinti.

Sprendimas: Pirma, randame bendrą sprendimą.Šioje lygtyje jau yra paruošti diferencialai, todėl sprendimas yra supaprastintas. Kintamųjų atskyrimas:

Mes sujungiame lygtį:

Integralas kairėje yra lentelės formos, integralas - dešinėje funkcijos perkėlimo po diferencialo ženklu metodu:

Gautas bendras integralas, ar įmanoma sėkmingai išreikšti bendrą sprendimą? Gali. Mes pakabiname logaritmus iš abiejų pusių. Kadangi jie yra teigiami, modulio ženklai yra nereikalingi:

(Tikiuosi, visi supranta transformaciją, tokie dalykai jau turėtų būti žinomi)

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Raskime konkretų sprendimą, atitinkantį nurodytą pradinę sąlygą.
Bendrame sprendime vietoj „x“ pakeičiame nulį, o vietoj „žaidimo“ - dviejų logaritmą:

Labiau žinomas dizainas:

Rastą konstantos vertę pakeičiame bendru sprendimu.

Atsakymas: asmeninis sprendimas:

Tikrinimas: pirmiausia patikrinkime, ar įvykdyta pradinė sąlyga:
- viskas yra gerai.

Dabar patikrinkime, ar rastas konkretus sprendimas apskritai atitinka diferencialinę lygtį. Raskite darinį:

Mes žiūrime į pradinę lygtį: - jis pateikiamas diferencialais. Yra du būdai patikrinti. Galima išreikšti skirtumą nuo rasto darinio:

Rastą konkretų sprendimą ir gautą diferencialą pakeičiame į pradinę lygtį :

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad konkretus sprendimas randamas teisingai.

Antrasis patikrinimo būdas yra veidrodinis ir labiau pažįstamas: iš lygties mes išreiškiame išvestinę, todėl visas dalis padalijame į:

O transformuotame DE pakeičiame gautą konkretų tirpalą ir išvestinį darinį. Dėl supaprastinimo taip pat turėtų būti pasiekta teisinga lygybė.

6 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Atsakymas pateikiamas bendro integralo pavidalu.

Tai pavyzdys „pasidaryk pats“, išsamus sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kokie sunkumai laukia sprendžiant diferencialines lygtis su atskiriamaisiais kintamaisiais?

1) Ne visada akivaizdu (ypač „arbatinukui“), kad kintamuosius galima suskirstyti. Apsvarstykime sąlyginį pavyzdį:. Čia reikia atlikti faktoringą iš skliaustų: ir atskirti šaknis :. Kaip elgtis, aišku.

2) Sunkumai pačioje integracijoje. Integralai dažnai nėra labai paprasti, o jei yra įgūdžių rasti trūkumų neapibrėžtas integralas, tada su daugeliu difuzorių bus sunku. Be to, tarp kolekcijų ir vadovų sudarytojų yra populiari logika „kadangi diferencialinė lygtis yra paprasta, tegul integralai būna sudėtingesni“.

3) Konversijos su konstanta. Kaip visi pastebėjo, diferencialinių lygčių konstanta galima elgtis gana laisvai, o kai kurios transformacijos pradedantiesiems ne visada aiškios. Apsvarstykite kitą sąlyginį pavyzdį: ... Jame patartina padauginti visus terminus iš 2: ... Gautoji konstanta taip pat yra tam tikra konstanta, kurią galima žymėti: ... Taip, ir kadangi logaritmas yra dešinėje pusėje, patartina perrašyti konstantą kitos konstantos pavidalu: .

Bėda ta, kad jie dažnai nesivargina su indeksais ir naudoja tą pačią raidę. Dėl to sprendimo įrašas įgauna tokią formą:

Kokia erezija? Yra klaidų! Griežtai tariant, taip. Tačiau prasmingu požiūriu klaidų nėra, nes dėl kintamosios konstantos transformacijos vis tiek gaunama kintama konstanta.

Arba kitas pavyzdys, tarkime, kad sprendžiant lygtį gaunamas bendras integralas. Šis atsakymas atrodo negražiai, todėl patartina pakeisti kiekvieno termino ženklą: ... Formaliai čia yra dar viena klaida - ji turėtų būti parašyta dešinėje. Tačiau neoficialiai tai reiškia, kad „minus tse“ vis dar yra pastovi ( kuris taip pat lengvai įgauna bet kokią vertę!), todėl nėra prasmės rašyti „minuso“ ir galite naudoti tą pačią raidę.

Stengsiuosi vengti aplaidaus požiūrio ir vis tiek priskiriu konstantams skirtingus indeksus juos konvertuodamas.

7 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Patikrinti.

Sprendimas:Ši lygtis leidžia atskirti kintamuosius. Kintamųjų atskyrimas:

Mes integruojame:

Čia konstanta neturi būti apibrėžta kaip logaritmas, nes nieko gero nebus.

Atsakymas: bendras integralas:

Patikrinkite: diferencijuokite atsakymą (numanoma funkcija):

Mes atsikratome trupmenų, todėl abu terminus padauginame iš:

Gaunama originali diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendras integralas randamas teisingai.

8 pavyzdys

Raskite privatų nuotolinio valdymo pulto sprendimą.
,

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Vienintelė užuomina yra ta, kad čia jūs gaunate bendrą integralą ir, teisingiau, turite stengtis rasti ne konkretų sprendimą, bet dalinis integralas... Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

6.1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS IR APIBRĖŽIMAI

Sprendžiant įvairias matematikos ir fizikos, biologijos ir medicinos problemas, gana dažnai neįmanoma iš karto nustatyti funkcinės priklausomybės formulės forma, jungiančia tiriamąjį procesą apibūdinančius kintamuosius. Paprastai reikia naudoti lygtis, kuriose, be nepriklausomo kintamojo ir nežinomos funkcijos, yra ir jo dariniai.

Apibrėžimas. Vadinama lygtis, jungianti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą funkciją ir jos išvestines įvairias eilutes diferencialas.

Nežinoma funkcija paprastai žymima y (x) arba tiesiog y, ir jo dariniai - y ", y " ir kt.

Galimi ir kiti pavadinimai, pavyzdžiui: if y= x (t), tada x "(t), x" "(t) yra jo dariniai, ir t yra nepriklausomas kintamasis.

Apibrėžimas. Jei funkcija priklauso nuo vieno kintamojo, tada diferencialinė lygtis vadinama įprasta. Bendra forma Įprasta diferencialinė lygtis:

arba

Funkcijos F ir f gali nebūti kai kurių argumentų, tačiau norint, kad lygtys būtų diferencijuotos, būtina turėti išvestinę informaciją.

Apibrėžimas.Diferencialinės lygties tvarka vadinama į ją įtrauktos aukščiausios išvestinės eilės tvarka.

Pavyzdžiui, x 2 metai "- y= 0, y "+ nuodėmė x= 0 yra pirmosios eilės lygtys ir y "+ 2 y "+ 5 y= x- antros eilės lygtis.

Sprendžiant diferencialines lygtis, naudojama integracijos operacija, kuri yra susijusi su savavališkos konstantos atsiradimu. Jei taikomas integravimo veiksmas n kartų, tada, aišku, tirpale bus n savavališkos konstantos.

6.2. PIRMOJO UŽSAKYMO Skirtingos lygybės

Bendra forma pirmosios eilės diferencialinė lygtis apibrėžta išraiška

Lygtis negali būti aiškiai nurodyta x ir y, bet būtinai turi y “.

Jei lygtį galima parašyti kaip

tada gauname pirmosios eilės diferencialinę lygtį, išspręstą išvestinės priemonės atžvilgiu.

Apibrėžimas. Bendras pirmosios eilės diferencialinės lygties (6.3) (arba (6.4)) sprendimas yra sprendinių rinkinys , kur SU yra savavališka konstanta.

Diferencialinės lygties sprendimo grafikas vadinamas integrali kreivė.

Savavališkos konstantos suteikimas SU skirtingų vertybių, galite rasti konkrečių sprendimų. Ant paviršiaus xOi bendras sprendimas yra integruotų kreivių šeima, atitinkanti kiekvieną konkretų sprendimą.

Jei nustatysite tašką A (x 0, y 0), per kurią turi praeiti integralinė kreivė, tada, kaip taisyklė, iš funkcijų rinkinio galima išskirti - konkretų sprendimą.

Apibrėžimas.Privatiu sprendimu diferencialinė lygtis vadinama jos sprendimu, kuriame nėra savavališkų konstantų.

Jei yra bendras sprendimas, tada iš sąlygos

galite rasti konstantą SU. Sąlyga vadinama pradinė sąlyga.

Problemą rasti konkretų diferencialinės lygties (6.3) arba (6.4) sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą adresu paskambino Cauchy problema. Ar ši problema visada turi sprendimą? Atsakymas apima šią teoremą.

Cauchy teorema(egzistencijos teorema ir sprendimo unikalumas). Įveskite diferencialinę lygtį y "= f (x, y) funkcija f (x, y) ir ji

dalinis darinys apibrėžtos ir kai kuriose tęstinės

srityse D, turintis tašką Tada rajone D egzistuoja

vienintelis lygties sprendimas, atitinkantis pradinę sąlygą adresu

Cauchy teorema teigia, kad tam tikromis sąlygomis yra unikali integralinė kreivė y= f (x), einantis per tašką Taškai, kuriuose netenkinamos teoremos sąlygos

Cauchy vadinami ypatingas.Šiuose taškuose pertraukos f(x, y) arba.

Kelios vientisos kreivės arba nė viena iš jų neina per vienaskaitos tašką.

Apibrėžimas. Jei tirpalas (6.3), (6.4) randamas formoje f(x, y, C)= 0, neleidžiama y atžvilgiu, tada jis vadinamas bendras integralas diferencialinė lygtis.

Cauchy teorema tik garantuoja, kad sprendimas egzistuoja. Kadangi nėra vieningo sprendimo paieškos metodo, mes apsvarstysime tik kai kuriuos pirmosios eilės diferencialinių lygčių tipus, kurie yra integruoti kvadratų.

Apibrėžimas. Diferencialinė lygtis vadinama integruotas kvadratūromis, jei jo sprendimo paieška sumažinama iki funkcijų integravimo.

6.2.1. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys su atskiriamaisiais kintamaisiais

Apibrėžimas. Pirmosios eilės diferencialinė lygtis vadinama lygtimi su atskiriami kintamieji,

Dešinė (6.5) lygties pusė yra dviejų funkcijų, kurių kiekviena priklauso tik nuo vieno kintamojo, sandauga.

Pavyzdžiui, lygtis yra lygtis su atskyrimu

kintamieji
ir lygtis

negali būti pavaizduota tokia forma (6.5).

Atsižvelgiant į tai , perrašome (6.5) taip

Iš šios lygties gauname diferencialinę lygtį su atskirtais kintamaisiais, kurioje esant diferencialams yra funkcijų, priklausančių tik nuo atitinkamo kintamojo:

Integruodami terminą po termino, mes turime

kur C = C 2 - C 1 yra savavališka konstanta. Išraiška (6.6) yra bendras (6.5) lygties integralas.

Abi lygties (6.5) puses padalijus iš ,, galime prarasti tuos sprendimus, kuriems Tikrai, jei adresu

tada akivaizdžiai yra (6.5) lygties sprendimas.

1 pavyzdys. Raskite tenkinantį lygties sprendimą

sąlyga: y= 6 val x= 2 (y(2) = 6).

Sprendimas. Pakeisti " kartais ... Padauginkite abi puses iš

dx, nes tolimesnės integracijos metu neįmanoma išvykti dx vardiklyje:

ir tada padalijant abi dalis į gauname lygtį,

kurį galima integruoti. Mes integruojame:

Tada ; stiprėjant, gauname y = C. (x + 1) - maždaug

sprendimas.

Iš pradinių duomenų nustatome savavališką konstantą, pakeisdami juos bendru sprendimu

Pagaliau sulaukiame y= 2 (x + 1) yra ypatingas sprendimas. Apsvarstykite dar keletą lygčių su atskiriamaisiais kintamaisiais sprendimo pavyzdžių.

2 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas. Atsižvelgiant į tai , mes gauname .

Integruodami abi lygties puses, turime

kur

3 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą Sprendimas. Abi lygties puses padalijame iš tų veiksnių, kurie priklauso nuo kintamojo, kuris nesutampa su kintamuoju po diferencialo ženklu, tai yra ir integruoti. Tada gauname

ir, galiausiai

4 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas.Žinodami, ką gausime. Skyrius

lim kintamieji. Tada

Integruodami gauname

Komentuoti. 1 ir 2 pavyzdžiuose norima funkcija y aiškiai išreikštas (bendras sprendimas). 3 ir 4 pavyzdžiuose - netiesiogiai (bendras integralas). Ateityje sprendimo forma nebus svarstoma.

5 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą Sprendimas.

6 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą patenkinti

būklė y (e)= 1.

Sprendimas. Mes užrašome lygtį formoje

Padauginkite abi lygties puses iš dx ir toliau, mes gauname

Integruodami abi lygties puses (integralas dešinėje pusėje yra paimamas dalimis), gauname

Bet pagal sąlygą y= 1 už x= e... Tada

Pakeiskite rastas vertes SUį bendrą sprendimą:

Gauta išraiška vadinama specifiniu diferencialinės lygties sprendimu.

6.2.2. Homogeninės pirmosios eilės diferencialinės lygtys

Apibrėžimas. Pirmosios eilės diferencialinė lygtis vadinama vienalytis, jei jis gali būti pavaizduotas kaip

Pateiksime vienalytės lygties sprendimo algoritmą.

1. Vietoj to y pristatome naują funkciją Tada ir todėl

2. Kalbant apie funkciją u(6.7) lygtis įgauna formą

tai yra, pokytis sumažina vienalytę lygtį į lygtį su atskiriamaisiais kintamaisiais.

(3) Sprendžiant (6.8) lygtį, pirmiausia randame u, o tada y= ux.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį Sprendimas. Mes užrašome lygtį formoje

Mes atliekame pakeitimą:
Tada

Pakeisti

Padauginkite iš dx: Padalinti į x ir toliau tada

Integravę abi lygties puses į atitinkamus kintamuosius, turėsime

arba, grįžtant prie senųjų kintamųjų, pagaliau gauname

2 pavyzdys.Išspręskite lygtį Sprendimas.Leisti būti tada

Mes padalijame abi lygties puses iš x 2: Atidarykime skliaustus ir pakeiskite terminus:

Pereidami prie senųjų kintamųjų, prieiname prie galutinio rezultato:

3 pavyzdys.Raskite lygties sprendimą su salyga

Sprendimas.Atliekant standartinį pakeitimą mes gauname

arba

arba

Taigi konkretus sprendimas turi formą 4 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas.

5 pavyzdys.Raskite lygties sprendimą Sprendimas.

Savarankiškas darbas

Raskite diferencialinių lygčių su atskiriamaisiais kintamaisiais sprendimą (1-9).

Raskite homogeninių diferencialinių lygčių sprendimą (9-18).

6.2.3. Kai kurios pirmosios eilės diferencialinių lygčių taikymo sritys

Radioaktyvaus skilimo problema

Ra (radžio) skilimo greitis kiekvienu laiko momentu yra proporcingas jo turimai masei. Raskite Ra radioaktyvaus skilimo dėsnį, jei žinoma, kad iš pradžių buvo Ra ir jo pusinės eliminacijos laikas yra 1590 metų.

Sprendimas. Tegul masė Ra šiuo metu būna x= x (t) r, ir Tada Ra skilimo greitis yra

Pagal problemos būklę

kur k

Atskiriant kintamuosius paskutinėje lygtyje ir integruojant, gauname

kur

Nustatant C mes naudojame pradinę sąlygą: for .

Tada ir todėl

Vaizdo santykis k nustatomas pagal papildomą sąlygą:

Mes turime

Iš čia ir reikiamą formulę

Bakterijų dauginimosi greičio problema

Bakterijų dauginimosi greitis yra proporcingas jų skaičiui. Iš pradžių buvo 100 bakterijų. Per 3 valandas jų skaičius padvigubėjo. Raskite bakterijų skaičiaus priklausomybę nuo laiko. Kiek kartų bakterijų skaičius padidės per 9 valandas?

Sprendimas. Leisti būti x- bakterijų skaičius šiuo metu t. Tada, atsižvelgiant į sąlygas,

kur k- proporcingumo koeficientas.

Iš čia Iš sąlygos žinoma, kad ... Reiškia,

Iš papildomos būklės ... Tada

Ieškoma funkcija:

Vadinasi, dėl t= 9 x= 800, t.y., per 9 valandas bakterijų skaičius padidėjo 8 kartus.

Fermento kiekio didinimo problema

Alaus mielių kultūroje aktyvaus fermento augimo greitis yra proporcingas jo pradiniam kiekiui x. Pradinis fermento kiekis a padvigubėjo per valandą. Raskite priklausomybę

x (t).

Sprendimas. Remiantis hipoteze, proceso diferencialinė lygtis turi formą

iš čia

Bet ... Reiškia, C= a ir tada

Taip pat žinoma, kad

Vadinasi,

6.3. ANTRO UŽSAKYMO SKIRTINGOS LYGYSTĖS

6.3.1. Pagrindinės sąvokos

Apibrėžimas.Antrosios eilės diferencialinė lygtis vadinamas ryšiu, jungiančiu nepriklausomą kintamąjį, norimą funkciją ir jo pirmąjį bei antrąjį išvestinius.

Ypatingais atvejais lygčiai gali trūkti x, adresu arba y ". Tačiau antrosios eilės lygtyje būtinai turi būti y". Paprastai antrosios eilės diferencialinė lygtis užrašoma tokia forma:

arba, jei įmanoma, tokia forma, kokia leidžiama antrajai išvestinei priemonei:

Kaip ir pirmosios eilės lygties atveju, antrosios eilės lygčiai gali būti bendrų ir konkrečių sprendimų. Bendras sprendimas yra toks:

Rasti privatų sprendimą

pradinėmis sąlygomis - duota

numeriai) vadinamas Cauchy problema. Geometriškai tai reiškia, kad reikia rasti integralinę kreivę adresu= y (x), einantis per tam tikrą tašką ir turintis šiuo metu liestinę, kuri yra

pučia teigiama ašies kryptimi Jautis nurodytas kampas. e. (6.1 pav.). Cauchy problema turi unikalų sprendimą, jei (6.10) lygties dešinė pusė, tęstinis

yra tęstinis ir turi nuolatinius dalinius išvestinius santykius y, y " kažkurioje pradinio taško kaimynystėje

Norėdami rasti pastovų įtrauktas į konkretų sprendimą, būtina leisti sistemai

Ryžiai. 6.1. Integruota kreivė

Švietimo įstaiga „Baltarusijos valstybė

Žemės ūkio akademija “

Aukštosios matematikos katedra

PIRMOJO UŽSAKYMO Skirtingos lygybės

Paskaitos užrašai apskaitos studentams

neakivaizdinis ugdymas (NISPO)

Gorkis, 2013 m

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys

Diferencialinės lygties samprata. Bendrieji ir specifiniai sprendimai

Tiriant įvairius reiškinius, dažnai nepavyksta rasti dėsnio, tiesiogiai sujungiančio nepriklausomą kintamąjį ir norimą funkciją, tačiau galima nustatyti ryšį tarp norimos funkcijos ir jos darinių.

Ryšys, jungiantis nepriklausomą kintamąjį, norimą funkciją ir jo darinius, vadinamas diferencialinė lygtis :

Čia x- nepriklausomas kintamasis, y Ar reikalinga funkcija,
- reikiamos funkcijos dariniai. Šiuo atveju būtina turėti bent vieną išvestinę priemonę (1).

Diferencialinės lygties tvarka vadinama aukščiausios išvestinės, įeinančios į lygtį, tvarka.

Apsvarstykite diferencialinę lygtį

. (2)

Kadangi į šią lygtį patenka tik pirmosios eilės išvestinė, tada ji vadinama yra pirmosios eilės diferencialinė lygtis.

Jei (2) lygtį galima išspręsti išvestinės dalies atžvilgiu ir parašyti formoje

, (3)

tada tokia lygtis vadinama normalios formos pirmos eilės diferencialine lygtimi.

Daugeliu atvejų patartina apsvarstyti formos lygtį

kuris vadinamas pirmosios eilės diferencialinė lygtis, parašyta diferencine forma.

Kadangi
, tada (3) lygtis gali būti parašyta formoje
arba
kur galima apsvarstyti
ir
... Tai reiškia, kad (3) lygtis paverčiama (4) lygtimi.

Parašykime (4) lygtį formoje
... Tada
,
,
kur galima apsvarstyti
, t.y. gaunama (3) formos lygtis. Taigi (3) ir (4) lygtys yra lygiavertės.

Sprendžiant diferencialinę lygtį (2) arba (3) vadinama bet kuri funkcija
, kuris, pakeistas į (2) arba (3) lygtį, paverčia jį tapatybe:

arba
.

Visų diferencinės lygties sprendimų paieškos procesas vadinamas jo integruojantis , ir sprendimo grafiką
vadinama diferencialinė lygtis integrali kreivė šios lygties.

Jei diferencialinės lygties sprendimas gaunamas netiesiogiai
, tada jis vadinamas vientisas šią diferencialinę lygtį.

Bendru sprendimu pirmosios eilės diferencialinė lygtis yra formos funkcijų šeima
priklausomai nuo savavališkos konstantos SU, kurių kiekviena yra šios diferencialinės lygties sprendimas bet kuriai leistinai savavališkai konstantai SU... Taigi diferencialinė lygtis turi daugybę sprendimų.

Privatiu sprendimu diferencialinė lygtis - tai sprendimas, gautas pagal bendrąją sprendinio formulę konkrečiai savavališkos konstantos vertei SUįskaitant
.

Cauchy problema ir jos geometrinė interpretacija

(2) lygtis turi daugybę sprendimų. Norint iš šio rinkinio išskirti vieną sprendimą, kuris vadinamas konkrečiu sprendimu, būtina nustatyti keletą papildomų sąlygų.

Vadinama problema rasti konkretų (2) lygties sprendimą esant tam tikroms sąlygoms Cauchy problema ... Ši problema yra viena svarbiausių diferencialinių lygčių teorijoje.

Cauchy problema suformuluota taip: tarp visų (2) lygties sprendimų raskite tokį sprendimą
kurioje funkcija
paima nurodytą skaitinę vertę jei nepriklausomas kintamasis x paima nurodytą skaitinę vertę , t.y.

,
, (5)

kur D- funkcijų sritis
.

Reikšmė paskambino pradinė funkcijos vertė , a – pradinė nepriklausomo kintamojo vertė ... Sąlyga (5) vadinama pradinė būklė arba Cauchy būklė .

Geometriniu požiūriu diferencinės lygties (2) Košio problema gali būti suformuluota taip: iš (2) lygties vientisųjų kreivių rinkinio pasirinkite tą, kuri eina per nurodytą tašką
.

Atskiriamos diferencialinės lygtys

Vienas iš paprasčiausių diferencialinių lygčių tipų yra pirmosios eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra norimos funkcijos:

. (6)

Atsižvelgiant į tai
, užrašome lygtį formoje
arba
... Integruodami abi paskutinės lygties puses, gauname:
arba

. (7)

Taigi (7) yra bendras (6) lygties sprendimas.

1 pavyzdys ... Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą
.

Sprendimas ... Mes užrašome lygtį formoje
arba
... Mes sujungiame abi gautos lygties puses:
,
... Pagaliau užsirašysime
.

2 pavyzdys ... Raskite lygties sprendimą
su salyga
.

Sprendimas ... Raskime bendrą lygties sprendimą:
,
,
,
... Pagal sąlygą
,
... Pakeiskime bendru sprendimu:
arba
... Rastą savavališkos konstantos vertę pakeiskite į bendrą sprendimo formulę:
... Tai yra konkretus diferencialinės lygties sprendimas, atitinkantis tam tikrą sąlygą.

Lygtis

(8)

Paskambino pirmosios eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra nepriklausomo kintamojo ... Parašykime ją formoje
arba
... Mes sujungiame abi paskutinės lygties puses:
arba
- bendras (8) lygties sprendimas.

Pavyzdys ... Raskite bendrą lygties sprendimą
.

Sprendimas ... Mes parašome šią lygtį tokia forma:
arba
... Tada
,
,
,
... Taigi,
Ar bendras šios lygties sprendimas.

Formos lygtis

(9)

integruojasi naudojant kintamą atskyrimą. Norėdami tai padaryti, užrašome lygtį formoje
, ir tada, naudodami daugybos ir padalijimo operacijas, perkeliame ją į tokią formą, kad tik funkcija NS ir diferencialas dx, o antroje dalyje - funkcija adresu ir diferencialas dy... Norėdami tai padaryti, abi lygties pusės turi būti padaugintos iš dx ir padalinti į
... Dėl to gauname lygtį

, (10)

kuriame kintamieji NS ir adresu atskirtas. Mes integruojame abi (10) lygties puses:
... Gautas ryšys yra bendras (9) lygties integralas.

3 pavyzdys ... Integruoti lygtį
.

Sprendimas ... Pakeiskime lygtį ir atskirkime kintamuosius:
,
... Integruokime:
,
arba - bendrasis duotos lygties integralas.
.

Tegul lygtis pateikiama formoje

Tokia lygtis vadinama pirmosios eilės diferencialinė lygtis su atskiriamaisiais kintamaisiais simetriška forma.

Norėdami atskirti kintamuosius, abi lygties puses turite padalyti iš
:

. (12)

Gautoji lygtis vadinama diferencialinė lygtis su atskirtais kintamaisiais ... Integruokime (12) lygtį:

.(13)

Santykis (13) yra bendras diferencialinės lygties (11) integralas.

4 pavyzdys ... Integruokite diferencialinę lygtį.

Sprendimas ... Mes užrašome lygtį formoje

ir padalinkite abi dalis į
,
... Gauta lygtis:
yra lygtis su atskirtais kintamaisiais. Integruokime:

,
,

,
... Paskutinė lygybė yra bendras šios diferencialinės lygties integralas.

5 pavyzdys ... Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą
tenkinanti sąlygą
.

Sprendimas ... Atsižvelgiant į tai
, užrašome lygtį formoje
arba
... Padalinkime kintamuosius:
... Integruokime šią lygtį:
,
,
... Gautas ryšys yra bendras šios lygties integralas. Pagal sąlygą
... Pakeisti bendrame integrale ir rasti SU:
,SU= 1. Tada išraiška
yra ypatingas šios diferencialinės lygties sprendimas, parašytas tam tikro integralo pavidalu.

Pirmosios eilės linijinės diferencialinės lygtys

Lygtis

(14)

paskambino tiesinė pirmosios eilės diferencialinė lygtis ... Nežinoma funkcija
ir jo darinys į šią lygtį įeina tiesiškai, o funkcijos
ir
tęstinis.

Jei
, tada lygtis

(15)

paskambino linijinė vienalytė ... Jei
, tada vadinama (14) lygtis linijinis nevienodas .

Norint rasti (14) lygties sprendimą, paprastai naudojamas pakeitimo metodas (Bernoulli) , kurio esmė tokia.

(14) lygties sprendimo bus ieškoma dviejų funkcijų sandauga

, (16)

kur
ir
- kai kurios nuolatinės funkcijos. Pakaitinis
ir darinys
į (14) lygtį:

Funkcija v bus parinkta taip, kad sąlyga
... Tada
... Taigi, norint rasti (14) lygties sprendimą, būtina išspręsti diferencialinių lygčių sistemą

Pirmoji sistemos lygtis yra tiesinė vienalytė lygtis ir ją galima išspręsti kintamųjų atskyrimo metodu:
,
,
,
,
... Kaip funkcija
galima imti vieną iš konkrečių vienalytės lygties sprendimų, t.y. adresu SU=1:
... Pakeisti antroje sistemos lygtyje:
arba
.Tada
... Taigi bendras pirmosios eilės linijinės diferencialinės lygties sprendimas turi formą
.

6 pavyzdys ... Išspręskite lygtį
.

Sprendimas ... Mes ieškosime lygties sprendimo formos
... Tada
... Pakaitalas lygtyje:

arba
... Funkcija v pasirinkti taip, kad lygybė
... Tada
... Išspręskime pirmąją iš šių lygčių kintamųjų atskyrimo metodu:
,
,
,
,... Funkcija v pakaitalas antroje lygtyje:
,
,
,
... Bendras šios lygties sprendimas yra
.

Klausimai žinių savikontrolei

Kas vadinama diferencialine lygtimi?

Kas vadinama diferencialinės lygties tvarka?

Kokia diferencialinė lygtis vadinama pirmosios eilės diferencialine lygtimi?

Kaip parašyta pirmosios eilės diferencialinė lygtis diferencine forma?

Kas vadinama diferencialinės lygties sprendimu?

Kas vadinama integraline kreive?

Kas vadinamas bendru pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimu?

Kas vadinama konkrečiu diferencialinės lygties sprendimu?

Kaip formuluojama Cauchy problema pirmosios eilės diferencialinei lygčiai?

Kokia yra Košio problemos geometrinė interpretacija?

Kaip simetriška forma parašoma atskiriama diferencialinė lygtis?

Kuri lygtis vadinama pirmosios eilės tiesine diferencialine lygtimi?

Kokiu metodu galima išspręsti pirmosios eilės tiesinę diferencialinę lygtį ir kokia yra šio metodo esmė?

Savarankiško darbo užduotys

Išspręskite diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais:

a)
; b)
;

v)
; G)
.

2. Išspręskite pirmosios eilės linijines diferencialines lygtis:

a)
; b)
; v)
;

G)
; e)
.

Diferencialinė lygtis (DE) yra lygtis
kur yra nepriklausomi kintamieji, y yra funkcija ir yra daliniai dariniai.

Įprasta diferencialinė lygtis yra diferencialinė lygtis, turinti tik vieną nepriklausomą kintamąjį.

Dalinė diferencialinė lygtis yra diferencialinė lygtis, turinti du ar daugiau nepriklausomų kintamųjų.

Žodžių „paprastas“ ir „dalinėse išvestinėse“ galima praleisti, jei aišku, kokia lygtis svarstoma. Toliau nagrinėjamos įprastos diferencialinės lygtys.

Diferencialinės lygties tvarka yra aukščiausios išvestinės eilės tvarka.

Čia yra pirmosios eilės lygties pavyzdys:

Štai ketvirtos eilės lygties pavyzdys:

Kartais pirmosios eilės diferencialinė lygtis parašoma diferencialais:

Šiuo atveju kintamieji x ir y yra lygūs. Tai yra, nepriklausomas kintamasis gali būti x arba y. Pirmuoju atveju y yra x funkcija. Antruoju atveju x yra y funkcija. Jei reikia, šią lygtį galime sumažinti iki formos, į kurią aiškiai įtraukta išvestinė y ′.
Padalinę šią lygtį iš dx, gauname:
.
Nuo ir iš to seka, kad
.

Diferencialinių lygčių sprendimas

Elementarių funkcijų išvestinės priemonės išreiškiamos elementarių funkcijų terminais. Elementarių funkcijų integralai dažnai nėra išreiškiami elementarių funkcijų terminais. Padėtis su diferencialinėmis lygtimis yra dar blogesnė. Dėl sprendimo galite gauti:

• aiški funkcijos priklausomybė nuo kintamojo;

  Diferencialinės lygties sprendimas yra funkcija y = u (x), kuris yra apibrėžtas, n kartų diferencijuojamas ir.

• netiesioginė priklausomybė equ tipo lygties pavidalu (x, y) = 0 arba lygčių sistemos;

  Diferencialinės lygties integralas yra diferencialinės lygties sprendimas, kuris turi numanomą formą.

• priklausomybė, išreikšta elementariomis funkcijomis ir integralais nuo jų;

  Diferencialinės lygties sprendimas kvadratūrose - tai rasti sprendimą elementarių funkcijų ir jų integralo derinio pavidalu.

• sprendimas negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis.

Kadangi diferencialinių lygčių sprendimas yra sumažintas iki integralo skaičiavimo, sprendimas apima konstantų C 1, C 2, C 3, ... C n rinkinį. Konstantų skaičius yra lygus lygties tvarkai. Diferencinės lygties dalinis integralas yra bendras integralas duotoms konstantų C 1, C 2, C 3, ..., C n reikšmėms.

Nuorodos:
V.V. Stepanovas, Diferencialinių lygčių kursas, „LCI“, 2015 m.
N.M. Guntheris, R. O. Kuzminas, Aukštosios matematikos užduočių rinkinys, „Lan“, 2003 m.