Arba trumpai – numanomos funkcijos išvestinė. Kas yra numanoma funkcija? Kadangi mano pamokos praktiškos, stengiuosi vengti apibrėžimų, teoremų formuluočių, bet čia tiktų tai daryti. Kas vis dėlto yra funkcija?

Vieno kintamojo funkcija yra taisyklė, kad kiekviena nepriklausomo kintamojo reikšmė atitinka vieną ir tik vieną funkcijos reikšmę.

Kintamasis vadinamas nepriklausomas kintamasis arba argumentas.
Kintamasis vadinamas priklausomas kintamasis arba funkcija.

Grubiai tariant, raidė "y" šiuo atveju yra funkcija.

Iki šiol mes svarstėme funkcijas, apibrėžtas aiškus forma. Ką tai reiškia? Surengkime konkrečių pavyzdžių apžvalgą.

Apsvarstykite funkciją

Matome, kad kairėje turime vieną "y" (funkciją), o dešinėje - tik x. Tai yra, funkcija aiškiai išreikštas nepriklausomu kintamuoju .

Panagrinėkime kitą funkciją:

Čia kintamieji ir yra „mišrūs“. Ir jokiu būdu neįmanoma Išreikškite „Y“ tik per „X“. Kokie tai metodai? Terminų perkėlimas iš dalies į dalį keičiant ženklą, skliausteliuose, metimo koeficientus pagal proporcingumo taisyklę ir pan. Perrašykite lygybę ir pabandykite aiškiai išreikšti „y“:. Galite sukti ir vartyti lygtį valandų valandas, bet jums nepavyks.

Leiskite pristatyti: - pavyzdį numanoma funkcija.

Matematinės analizės metu buvo įrodyta, kad numanoma funkcija egzistuoja(bet ne visada), jis turi grafiką (kaip ir „normali“ funkcija). Tai tas pats numanomai funkcijai. egzistuoja pirmasis vedinys, antrasis vedinys ir kt. Kaip sakoma, gerbiamos visos seksualinių mažumų teisės.

Ir šioje pamokoje sužinosime, kaip rasti netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę. Tai nėra taip sunku! Visos diferenciacijos taisyklės, išvestinių lentelė elementarios funkcijos lieka galioti. Skirtumas yra viename ypatingame taške, kurį mes apsvarstysime dabar.

Taip, ir aš jums pasakysiu gerą žinią – toliau aptariamos užduotys atliekamos pagal gana griežtą ir aiškų algoritmą be akmens priešais tris takelius.

1 pavyzdys

1) Pirmajame etape pakabiname potėpius ant abiejų dalių:

2) Naudojamės išvestinės tiesiškumo taisyklėmis (pirmosios dvi pamokos taisyklės Kaip rasti išvestinę priemonę? Sprendimo pavyzdžiai):

3) Tiesioginė diferenciacija.
Kaip atskirti ir visiškai suprantama. Ką daryti ten, kur po smūgiais yra „žaidimų“?

Tik kad būtų gėda funkcijos išvestinė lygi jos išvestinei: .

Kaip atskirti

Štai mes turime sudėtinga funkcija. Kodėl? Atrodo, kad po sinusu yra tik viena raidė „Y“. Tačiau faktas yra tas, kad yra tik viena raidė "y" - YRA PATI PATS FUNKCIJA(žr. apibrėžimą pamokos pradžioje). Taigi sinusas yra išorinė funkcija, - vidinė funkcija. Mes naudojame sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę :

Produktas skiriasi pagal įprastą taisyklę :

Atkreipkite dėmesį, kad - taip pat yra sudėtinga funkcija, bet koks „žaidimas su varpeliais ir švilpukais“ yra sudėtinga funkcija:

Pats sprendimo dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:

Jei yra skliaustų, atidarykite juos:

4) Kairėje pusėje renkame terminus, kuriuose yra „y“ su brūkšniu. Dešinėje pusėje - perkeliame visa kita:

5) Kairėje pusėje iš skliaustų išimame išvestinę:

6) Ir pagal proporcingumo taisyklę įtraukiame šiuos skliaustus į dešinės pusės vardiklį:

Darinys rastas. Paruošta.

Įdomu pastebėti, kad bet kurią funkciją galima netiesiogiai perrašyti. Pavyzdžiui, funkcija galima perrašyti taip: . Ir atskirkite jį pagal ką tik svarstytą algoritmą. Tiesą sakant, frazės „numanoma funkcija“ ir „numanoma funkcija“ skiriasi vienu semantiniu niuansu. Frazė „netiesiogiai apibrėžta funkcija“ yra bendresnė ir teisingesnė, - ši funkcija pateikiama netiesiogiai, bet čia galite išreikšti "y" ir pateikti funkciją aiškiai. Frazė „netiesioginė funkcija“ reiškia „klasikinę“ numanomą funkciją, kai „y“ negalima išreikšti.

Antras būdas išspręsti

Dėmesio! Su antruoju metodu galite susipažinti tik tada, kai žinote, kaip užtikrintai rasti dalines išvestines. Pradedantieji mokytis skaičiavimo ir manekenų, neskaitykite ir nepraleiskite šios pastraipos, kitaip jūsų galva bus visiška netvarka.

Antruoju būdu raskite numanomos funkcijos išvestinę.

Visus terminus perkeliame į kairę pusę:

Ir apsvarstykite dviejų kintamųjų funkciją:

Tada mūsų išvestinę galima rasti pagal formulę

Raskime dalines išvestines:

Taigi:

Antrasis sprendimas leidžia atlikti patikrinimą. Tačiau nepageidautina jiems sudaryti galutinę užduoties versiją, nes dalinės išvestinės yra įsisavinamos vėliau, o studentas, studijuojantis temą „Vieno kintamojo funkcijos išvestinė“, neturėtų žinoti dalinių išvestinių.

Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.

2 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Pakabiname potėpius ant abiejų dalių:

Mes naudojame tiesiškumo taisykles:

Išvestinių priemonių paieška:

Išplečiant visus skliaustus:

Visus terminus perkeliame į kairę pusę, likusius - į dešinę:

Kairėje pusėje mes jį ištraukiame iš skliaustų:

Galutinis atsakymas:

3 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje.

Neretai po diferenciacijos atsiranda trupmenos. Tokiais atvejais frakcijas reikia išmesti. Pažvelkime į dar du pavyzdžius.

Labai dažnai sprendžiant praktines problemas (pavyzdžiui, aukštojoje geodezijoje ar analitinėje fotogrametrijoje) atsiranda sudėtingos kelių kintamųjų funkcijos, t.y. argumentai. x, y, z viena funkcija f(x,y,z) ) yra naujų kintamųjų funkcijos U, V, W ).

Taigi, pavyzdžiui, tai atsitinka judant iš fiksuotos koordinačių sistemos Oxyz į mobiliąją sistemą O 0 UVW ir atgal. Šiuo atveju svarbu žinoti visas dalines išvestines „fiksuotų“ – „senų“ ir „judančių“ – „naujų“ kintamųjų atžvilgiu, kadangi šios dalinės išvestinės dažniausiai apibūdina objekto padėtį šiose koordinačių sistemose, ir ypač paveikti aeronuotraukų atitikimą realiam objektui . Tokiais atvejais taikomos šios formulės:

Tai yra, atsižvelgiant į sudėtingą funkciją T trys „nauji“ kintamieji U, V, W per tris „senus“ kintamuosius x, y, z tada:

komentuoti. Galimi kintamųjų skaičiaus kitimai. Pavyzdžiui: jei

Visų pirma, jei z = f(xy), y = y(x) , tada gauname vadinamąją „bendros išvestinės“ formulę:

Ta pati formulė „bendrai išvestinei išvestinei“ šiais atvejais:

bus tokia forma:

Galimi ir kiti (1.27) - (1.32) formulių variantai.

Pastaba: formulė "suminė išvestinė" naudojama fizikos kurso skyriuje "Hidrodinamika" išvedant pagrindinę skysčių judėjimo lygčių sistemą.

1.10 pavyzdys. Duota:

Pagal (1.31):

§7 Netiesiogiai pateiktos kelių kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Kaip žinote, netiesiogiai apibrėžta vieno kintamojo funkcija apibrėžiama taip: nepriklausomo kintamojo funkcija x vadinamas implicitiniu, jei jis pateikiamas lygtimi, kuri nėra išspręsta y :

1.11 pavyzdys.

Lygtis

netiesiogiai apibrėžia dvi funkcijas:

Ir lygtis

neapibrėžia jokios funkcijos.

1.2 teorema (netiesioginės funkcijos buvimas).

Tegul funkcija z \u003d f (x, y) ir jo daliniai dariniai f" x ir f" y apibrėžtas ir tęstinis tam tikroje kaimynystėje U M0 taškų M 0 (x 0 y 0 ) . Be to, f(x 0 ,y 0 )=0 ir f"(x 0 ,y 0 )≠0 , tada lygtis (1.33) nustato kaimynystėje U M0 numanoma funkcija y= y(x) , tęstinis ir diferencijuojamas tam tikru intervalu D sutelktas į tašką x 0 , ir y(x 0 )=y 0 .

Be įrodymų.

Iš 1.2 teoremos išplaukia, kad šiame intervale D :

tai yra, yra tapatybė

kur „bendra“ išvestinė randama pagal (1.31)

Tai yra, (1.35) pateikia formulę, kaip netiesiogiai rasti išvestinę suteikta funkcija vienas kintamasis x .

Netiesioginė dviejų ar daugiau kintamųjų funkcija apibrėžiama panašiai.

Pavyzdžiui, jei kurioje nors srityje V erdvė Oxyz lygtis išsipildo:

tada esant tam tikroms funkcijos sąlygoms F jis netiesiogiai apibrėžia funkciją

Be to, pagal analogiją su (1.35), jo dalinės išvestinės randamos taip.

Apibrėžimas. Tegul funkcija \(y = f(x) \) yra apibrėžta tam tikrame intervale, kurio viduje yra taškas \(x_0 \). Padidinkime \(\Delta x \) iki argumento, kad nepaliktume šio intervalo. Raskite atitinkamą funkcijos \(\Delta y \) prieaugį (einant iš taško \(x_0 \) į tašką \(x_0 + \Delta x \)) ir sudarykite ryšį \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Jei \(\Delta x \rightarrow 0 \) yra šio ryšio riba, tada nurodyta riba vadinama išvestinė funkcija\(y=f(x) \) taške \(x_0 \) ir pažymėkite \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbolis y dažnai naudojamas išvestinei žymėti. Atkreipkite dėmesį, kad y" = f(x) yra nauja funkcija, tačiau natūraliai susijusi su funkcija y = f(x), apibrėžta visuose x taškuose, kuriuose egzistuoja aukščiau nurodyta riba . Ši funkcija vadinama taip: funkcijos y \u003d f (x) išvestinė.

Išvestinės geometrinė reikšmė susideda iš toliau nurodytų dalykų. Jei liestinė, kuri nėra lygiagreti y ašiai, gali būti nubrėžta į funkcijos y \u003d f (x) grafiką taške, kurio abscisė x \u003d a, tada f (a) išreiškia liestinės nuolydį:
\(k = f"(a)\)

Kadangi \(k = tg(a) \), lygybė \(f"(a) = tg(a) \) yra teisinga.

O dabar išvestinės apibrėžimą interpretuojame apytikslėmis lygybėmis. Tegul funkcija \(y = f(x) \) turi išvestinę tam tikrame taške \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tai reiškia, kad šalia taško x apytikslė lygybė \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), t.y. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Gautos apytikslės lygybės prasminga reikšmė yra tokia: funkcijos prieaugis yra „beveik proporcingas“ argumento prieaugiui, o proporcingumo koeficientas yra išvestinės reikšmė išvestinėje. duotas taškas X. Pavyzdžiui, funkcijai \(y = x^2 \) galioja apytikslė lygybė \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Jei atidžiai išanalizuosime išvestinės apibrėžimą, pamatysime, kad jame yra algoritmas, kaip jį rasti.

Suformuluokime.

Kaip rasti funkcijos y \u003d f (x) išvestinę?

1. Pataisykite reikšmę \(x \), raskite \(f(x) \)
2. Padidinkite \(x \) argumentą \(\Delta x \), pereikite į naują tašką \(x+ \Delta x \), raskite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Raskite funkcijos prieaugį: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sudarykite ryšį \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Apskaičiuokite $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ši riba yra funkcijos x išvestinė.

Jei funkcija y = f(x) turi išvestinę taške x, tai taške x ji vadinama diferencijuojama. Iškviečiama funkcijos y \u003d f (x) išvestinės radimo procedūra diferenciacija funkcijos y = f(x).

Aptarkime tokį klausimą: kaip yra susiję funkcijos tęstinumas ir diferenciacija taške?

Tegul funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x. Tada funkcijos grafiko taške M (x; f (x)) galima nubrėžti liestinę ir, prisiminkime, liestinės nuolydis yra lygus f "(x). Toks grafikas negali "lūžti" ties taškas M, t.y. funkcija turi būti ištisinė ties x.

Tai buvo samprotavimai „ant pirštų“. Pateikime griežtesnį argumentą. Jei funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x, tai apytikslė lygybė \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) yra lygi nuliui, tada \(\Delta y \) ) taip pat bus linkęs į nulį, ir tai yra funkcijos tęstinumo taške sąlyga.

Taigi, jei funkcija yra diferencijuojama taške x, tai tame taške ji taip pat yra tolydi.

Atvirkščiai netiesa. Pavyzdžiui: funkcija y = |x| yra ištisinis visur, ypač taške x = 0, bet funkcijos grafiko liestinė "jungties taške" (0; 0) neegzistuoja. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinės nubrėžti neįmanoma, tai išvestinės šiuo metu nėra.

Dar vienas pavyzdys. Funkcija \(y=\sqrt(x) \) yra ištisinė visoje skaičių tiesėje, įskaitant tašką x = 0. O funkcijos grafiko liestinė egzistuoja bet kuriame taške, įskaitant tašką x = 0 Bet šiuo metu liestinė sutampa su y ašimi, tai yra, ji yra statmena abscisių ašiai, jos lygtis yra x \u003d 0. Šlaitas tokios eilutės nėra, o tai reiškia, kad \(f"(0) \) taip pat nėra

Taigi, mes susipažinome su nauja funkcijos savybe – diferenciacija. Kaip galite pasakyti, ar funkcija skiriasi nuo funkcijos grafiko?

Atsakymas iš tikrųjų pateiktas aukščiau. Jei tam tikru momentu funkcijos grafike galima nubrėžti liestinę, kuri nėra statmena x ašiai, tai šioje vietoje funkcija yra diferencijuojama. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinė neegzistuoja arba ji yra statmena x ašiai, tai šiuo metu funkcija nediferencijuojama.

Diferencijavimo taisyklės

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija. Atliekant šią operaciją dažnai tenka dirbti su koeficientais, sumomis, funkcijų sandaugomis, taip pat su „funkcijų funkcijomis“, tai yra sudėtingomis funkcijomis. Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, galime išvesti diferencijavimo taisykles, palengvinančias šį darbą. Jei C yra pastovus skaičius, o f=f(x), g=g(x) yra kai kurios diferencijuojamos funkcijos, tai teisinga diferenciacijos taisyklės:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Sudėtinės funkcijos išvestinė:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Kai kurių funkcijų išvestinių lentelė

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Išmoksime rasti funkcijų, pateiktų netiesiogiai, tai yra, pateiktų tam tikromis lygtimis, susiejančiomis kintamuosius vienas su kitu, išvestines. x ir y. Netiesiogiai apibrėžtų funkcijų pavyzdžiai:

,

,

Numanomų funkcijų išvestinius arba numanomų funkcijų išvestinius gana lengva rasti. Išsiaiškinkime tai dabar atitinkama taisyklė ir pavyzdį, o tada išsiaiškink, kam mums to apskritai reikia.

Norint rasti netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę, reikia diferencijuoti abi lygties puses x atžvilgiu. Tie terminai, kuriuose yra tik x, pavirs įprastu x funkcijos išvestiniu. O terminai su y turi būti diferencijuojami naudojant sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę, nes y yra x funkcija. Jei tai gana paprasta, tada gautoje termino išvestinėje su x turėtų pasirodyti: funkcijos išvestinė iš y, padauginta iš išvestinės iš y. Pavyzdžiui, termino vedinys bus parašytas kaip , termino vedinys bus parašytas kaip . Be to, iš viso to reikia išreikšti šį „y brūkšnį“ ir bus gauta norima netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinė. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

1 pavyzdys

Sprendimas. Mes išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu, darydami prielaidą, kad y yra x funkcija:

Iš čia gauname išvestinę, kurios reikia užduotyje:

Dabar šiek tiek apie dviprasmišką netiesiogiai apibrėžtų funkcijų savybę ir kodėl reikalingos specialios jų diferencijavimo taisyklės. Kai kuriais atvejais galite įsitikinti, kad pakeitimas duotoje lygtyje (žr. pavyzdžius aukščiau) vietoj jos išraiškos y per x lemia tai, kad ši lygtis virsta tapatybe. Taigi. aukščiau pateikta lygtis netiesiogiai apibrėžia šias funkcijas:

Pakeitę raišką y kvadratu per x į pradinę lygtį, gauname tapatybę:

.

Išraiškos, kurias pakeitėme, buvo gautos išsprendus y lygtį.

Jei atskirtume atitinkamą eksplicitinę funkciją

tada gautume atsakymą kaip 1 pavyzdyje – iš funkcijos, nurodytos netiesiogiai:

Tačiau ne kiekviena netiesiogiai pateikta funkcija gali būti pavaizduota formoje y = f(x) . Taigi, pavyzdžiui, netiesiogiai apibrėžtos funkcijos

nėra išreikštos elementariomis funkcijomis, tai yra, šios lygtys negali būti išspręstos žaidėjo atžvilgiu. Todėl egzistuoja netiesiogiai pateiktos funkcijos diferencijavimo taisyklė, kurią mes jau ištyrėme ir nuosekliai taikysime kituose pavyzdžiuose.

2 pavyzdys Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Išreiškiame netiesiogiai pateiktos funkcijos y pirminį dydį ir – išvestyje – išvestinę:

3 pavyzdys Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Sprendimas. Atskirkite abi lygties puses x atžvilgiu:

.

4 pavyzdys Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Sprendimas. Atskirkite abi lygties puses x atžvilgiu:

.

Išreiškiame ir gauname išvestinę:

.

5 pavyzdys Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

Sprendimas. Dešinėje lygties pusėje esančius terminus perkeliame į kairę pusę, o dešinėje paliekame nulį. Atskirkite abi lygties puses x atžvilgiu.

Netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinė.
Parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinė

Šiame straipsnyje mes apsvarstysime dar dvi tipines užduotis, kurios dažnai sutinkamos kontrolinis darbasįjungta aukštoji matematika. Norint sėkmingai įsisavinti medžiagą, reikia mokėti rasti išvestinių bent jau vidutinio lygio. Galite išmokti praktiškai nuo nulio rasti išvestines dviejose pagrindinėse pamokose ir Sudėtingos funkcijos išvestinė. Jei su diferenciacijos įgūdžiais viskas tvarkoje, tada eikime.

Netiesiogiai apibrėžtos funkcijos išvestinė

Arba trumpai tariant, numanomos funkcijos išvestinė. Kas yra numanoma funkcija? Pirmiausia prisiminkime patį vieno kintamojo funkcijos apibrėžimą:

Vieno kintamojo funkcija yra taisyklė, kad kiekviena nepriklausomo kintamojo reikšmė atitinka vieną ir tik vieną funkcijos reikšmę.

Kintamasis vadinamas nepriklausomas kintamasis arba argumentas.
Kintamasis vadinamas priklausomas kintamasis arba funkcija .

Iki šiol mes svarstėme funkcijas, apibrėžtas aiškus forma. Ką tai reiškia? Surengkime konkrečių pavyzdžių apžvalgą.

Apsvarstykite funkciją

Matome, kad kairėje turime vieną „y“, o dešinėje - tik x. Tai yra, funkcija aiškiai išreikštas nepriklausomu kintamuoju .

Panagrinėkime kitą funkciją:

Čia kintamieji ir yra „mišrūs“. Ir jokiu būdu neįmanoma Išreikškite „Y“ tik per „X“. Kokie tai metodai? Terminų perkėlimas iš dalies į dalį keičiant ženklą, skliausteliuose, metimo koeficientus pagal proporcingumo taisyklę ir pan. Perrašykite lygybę ir pabandykite aiškiai išreikšti „y“:. Galite sukti ir vartyti lygtį valandų valandas, bet jums nepavyks.

Leiskite pristatyti: - pavyzdį numanoma funkcija.

Matematinės analizės metu buvo įrodyta, kad numanoma funkcija egzistuoja(bet ne visada), jis turi grafiką (kaip ir „normali“ funkcija). Tai tas pats numanomai funkcijai. egzistuoja pirmasis vedinys, antrasis vedinys ir kt. Kaip sakoma, gerbiamos visos seksualinių mažumų teisės.

Ir šioje pamokoje sužinosime, kaip rasti netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę. Tai nėra taip sunku! Galioja visos diferenciacijos taisyklės, elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė. Skirtumas yra viename ypatingame taške, kurį mes apsvarstysime dabar.

Taip, ir aš jums pasakysiu gerą žinią – toliau aptariamos užduotys atliekamos pagal gana griežtą ir aiškų algoritmą be akmens priešais tris takelius.

1 pavyzdys

1) Pirmajame etape pakabiname potėpius ant abiejų dalių:

2) Naudojamės išvestinės tiesiškumo taisyklėmis (pirmosios dvi pamokos taisyklės Kaip rasti išvestinę priemonę? Sprendimo pavyzdžiai):

3) Tiesioginė diferenciacija.
Kaip atskirti ir visiškai suprantama. Ką daryti ten, kur po smūgiais yra „žaidimų“?

- tik gėdai, funkcijos išvestinė lygi jos išvestinei: .

Kaip atskirti
Štai mes turime sudėtinga funkcija. Kodėl? Atrodo, kad po sinusu yra tik viena raidė „Y“. Tačiau faktas yra tas, kad tik viena raidė "y" - YRA PATI PATS FUNKCIJA(žr. apibrėžimą pamokos pradžioje). Taigi sinusas yra išorinė funkcija, yra vidinė funkcija. Mes naudojame sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę :

Produktas skiriasi pagal įprastą taisyklę :

Atminkite, kad tai taip pat sudėtinga funkcija, bet koks „susukamas žaislas“ yra sudėtinga funkcija:

Pats sprendimo dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:


Jei yra skliaustų, atidarykite juos:

4) Kairėje pusėje renkame terminus, kuriuose yra „y“ su brūkšniu. Dešinėje pusėje - perkeliame visa kita:

5) Kairėje pusėje iš skliaustų išimame išvestinę:

6) Ir pagal proporcingumo taisyklę įtraukiame šiuos skliaustus į dešinės pusės vardiklį:

Darinys rastas. Paruošta.

Įdomu pastebėti, kad bet kurią funkciją galima netiesiogiai perrašyti. Pavyzdžiui, funkcija galima perrašyti taip: . Ir atskirkite jį pagal ką tik svarstytą algoritmą. Tiesą sakant, frazės „numanoma funkcija“ ir „numanoma funkcija“ skiriasi vienu semantiniu niuansu. Frazė „netiesiogiai apibrėžta funkcija“ yra bendresnė ir teisingesnė, - ši funkcija pateikiama netiesiogiai, bet čia galite išreikšti "y" ir pateikti funkciją aiškiai. Frazė „numanoma funkcija“ reiškia „klasikinę“ numanomą funkciją, kai „y“ negalima išreikšti.

Antras būdas išspręsti

Dėmesio! Su antruoju metodu galite susipažinti tik tada, kai žinote, kaip užtikrintai rasti daliniai dariniai. Prašom skaičiuoti pradedantiesiems ir manekenams neskaitykite ir nepraleiskite šios pastraipos, kitaip galva bus visiška netvarka.

Antruoju būdu raskite numanomos funkcijos išvestinę.

Visus terminus perkeliame į kairę pusę:

Ir apsvarstykite dviejų kintamųjų funkciją:

Tada mūsų išvestinę galima rasti pagal formulę
Raskime dalines išvestines:

Taigi:

Antrasis sprendimas leidžia atlikti patikrinimą. Tačiau nepageidautina jiems sudaryti galutinę užduoties versiją, nes dalinės išvestinės yra įsisavinamos vėliau, o studentas, studijuojantis temą „Vieno kintamojo funkcijos išvestinė“, neturėtų žinoti dalinių išvestinių.

Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.

2 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Pakabiname potėpius ant abiejų dalių:

Mes naudojame tiesiškumo taisykles:

Išvestinių priemonių paieška:

Išplečiant visus skliaustus:

Visus terminus perkeliame į kairę pusę, likusius - į dešinę:

Galutinis atsakymas:

3 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje.

Neretai po diferenciacijos atsiranda trupmenos. Tokiais atvejais frakcijas reikia išmesti. Pažvelkime į dar du pavyzdžius.

4 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Abi dalis užbaigiame potėpiais ir naudojame tiesiškumo taisyklę:

Diferencijuojame naudodami sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę ir dalinio diferenciacijos taisyklė :

Skliaustų išplėtimas:

Dabar turime atsikratyti frakcijos. Tai galima padaryti vėliau, tačiau racionaliau tai padaryti iš karto. Trupmenos vardiklis yra . Padauginti ant . Išsamiau tai atrodys taip:

Kartais po diferenciacijos atsiranda 2-3 frakcijos. Jei turėtume, pavyzdžiui, dar vieną trupmeną, tai operaciją tektų kartoti – padauginti kiekvienas kiekvienos dalies terminas ant

Kairėje pusėje mes jį ištraukiame iš skliaustų:

Galutinis atsakymas:

5 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Vienintelis dalykas jame, prieš atsikratydami frakcijos, pirmiausia turėsite atsikratyti pačios frakcijos trijų aukštų struktūros. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinė

Neįtempkite, šioje pastraipoje taip pat viskas gana paprasta. Galite užrašyti parametriškai pateiktos funkcijos bendrąją formulę, bet, kad būtų aišku, tuoj pat užsirašysiu konkretus pavyzdys. Parametrine forma funkcija pateikiama dviem lygtimis: . Dažnai lygtys rašomos ne po riestiniais skliaustais, o paeiliui:,.

Kintamasis vadinamas parametru ir gali paimti reikšmes nuo „minus begalybės“ iki „pliuso begalybės“. Apsvarstykite, pavyzdžiui, vertę ir pakeiskite ją į abi lygtis: . Arba žmogiškai: „jei x lygus keturiems, tai y lygus vienetui“. Galite pažymėti tašką koordinačių plokštumoje, ir šis taškas atitiks parametro reikšmę. Panašiai galite rasti tašką bet kuriai parametro „te“ reikšmei. Kalbant apie „įprastą“ funkciją, Amerikos indėnams parametriškai duotoje funkcijoje taip pat gerbiamos visos teisės: galima braižyti grafiką, rasti išvestinių ir pan. Beje, jei reikia sudaryti parametriškai pateiktos funkcijos grafiką, galite naudoti mano programą.

Paprasčiausiais atvejais funkciją galima pavaizduoti aiškiai. Parametrą išreiškiame iš pirmosios lygties: ir pakeiskite ją antrąja lygtimi: . Rezultatas yra įprasta kubinė funkcija.

„Sunkesniais“ atvejais toks triukas nepasiteisina. Bet tai nesvarbu, nes yra formulė, leidžianti rasti parametrinės funkcijos išvestinę:

Mes randame išvestinį „žaidėjas kintamojo te atžvilgiu“:

Visos diferenciacijos taisyklės ir išvestinių lentelė, žinoma, galioja raidei , taigi, darinių paieškos procese nėra naujovių. Tiesiog mintyse pakeiskite visus „x“ lentelėje raide „te“.

Mes randame "x" išvestinę kintamojo te atžvilgiu:

Dabar belieka rastus darinius pakeisti į mūsų formulę:

Paruošta. Išvestinė, kaip ir pati funkcija, taip pat priklauso nuo parametro .

Kalbant apie žymėjimą, užuot rašius formulėje, būtų galima tiesiog parašyti be indekso, nes tai yra „įprasta“ išvestinė „x“. Bet literatūroje visada yra variantas, todėl nuo standarto nenukrypsiu.

6 pavyzdys

Mes naudojame formulę

Tokiu atveju:

Taigi:

Parametrinės funkcijos išvestinės radimo bruožas yra tai, kad kiekviename žingsnyje naudinga kiek įmanoma supaprastinti rezultatą. Taigi, nagrinėjamame pavyzdyje, ieškodamas, atidariau skliaustus po šaknimi (nors to gal ir nepadariau). Yra didelė tikimybė, kad pakeičiant ir į formulę daug dalykų bus gerokai sumažinta. Nors, žinoma, yra pavyzdžių su nerangiais atsakymais.

7 pavyzdys

Raskite parametriškai pateiktos funkcijos išvestinę

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys.

Straipsnyje Paprasčiausios tipinės išvestinės problemos svarstėme pavyzdžius, kuriuose reikėjo rasti antrąją funkcijos išvestinę. Parametriškai duotai funkcijai taip pat galite rasti antrąją išvestinę, kuri randama pagal šią formulę: . Visiškai akivaizdu, kad norint rasti antrąjį vedinį, pirmiausia reikia rasti pirmąjį išvestinį.

8 pavyzdys

Raskite parametriškai pateiktos funkcijos pirmąją ir antrąją išvestines

Pirmiausia suraskime pirmąjį išvestinį.
Mes naudojame formulę

Tokiu atveju:

Rastus darinius pakeičiame į formulę. Paprastumo dėlei naudojame trigonometrinę formulę: