Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formulių pavyzdžiai. Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai

Trigonometrinės lygtys nėra pati lengviausia tema. Skausmingai jie yra įvairūs.) Pavyzdžiui, tokie:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Ir tt...

Tačiau šie (ir visi kiti) trigonometriniai monstrai turi dvi bendras ir privalomas savybes. Pirma – nepatikėsite – lygtyse yra trigonometrinių funkcijų.) Antra: randamos visos išraiškos su x tų pačių funkcijų viduje. Ir tik ten! Jei x pasirodo bet kur lauke, pavyzdžiui, sin2x + 3x = 3, tai jau bus lygtis mišrus tipas... Tokios lygtys reikalauja individualaus požiūrio. Mes jų čia nenagrinėsime.

Šioje pamokoje irgi nespręsime blogio lygčių.) Čia nagrinėsime Paprasčiausios trigonometrinės lygtys. Kodėl? Taip, nes sprendimas bet koks trigonometrinės lygtys turi dvi stadijas. Pirmajame etape blogio lygtis redukuojama į paprastą, naudojant įvairias transformacijas. Antruoju atveju ši paprasčiausia lygtis išspręsta. Jokiu kitu būdu.

Taigi, jei turite problemų antrajame etape, pirmasis etapas nėra labai prasmingas.)

Kaip atrodo elementarios trigonometrinės lygtys?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

čia a žymi bet kurį skaičių. bet kas.

Beje, funkcijos viduje gali būti ne grynas x, o kažkokia išraiška, pavyzdžiui:

cos (3x + π / 3) = 1/2

ir tt Tai apsunkina gyvenimą, bet neturi įtakos trigonometrinės lygties sprendimo būdui.

Kaip išspręsti trigonometrines lygtis?

Trigonometrines lygtis galima išspręsti dviem būdais. Pirmasis būdas: naudojant logiką ir trigonometrinį apskritimą. Mes apsvarstysime šį kelią čia. Antrasis būdas – naudojant atmintį ir formules – bus aptartas kitoje pamokoje.

Pirmasis būdas yra aiškus, patikimas ir sunkiai pamirštamas.) Jis tinka sprendžiant trigonometrines lygtis, nelygybes ir visokius keblius nestandartinius pavyzdžius. Logika stipresnė už atmintį!)

Lygčių sprendimas naudojant trigonometrinį apskritimą.

Įtraukiame elementarią logiką ir galimybę naudotis trigonometriniu apskritimu. Nežinau kaip!? Tačiau... Tau sunku trigonometrijoje...) Bet tai nesvarbu. Pažiūrėkite į pamokas "Trigonometrinis ratas ...... Kas tai?" ir „Kampų skaičiavimas trigonometriniame apskritime“. Ten viskas paprasta. Skirtingai nuo vadovėlių...)

O, žinai!? Ir net įvaldęs „Praktinį darbą su trigonometriniu apskritimu“!? Sveikinu. Ši tema bus jums artima ir suprantama.) Kas ypač džiugina, trigonometriniam apskritimui nesvarbu, kurią lygtį išspręsite. Sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas – jam viskas viena. Yra tik vienas sprendimo principas.

Taigi imame bet kokį elementarų trigonometrinė lygtis... Bent jau šita:

cosx = 0,5

Turime rasti X. Žmoniškai, tau reikia raskite kampą (x), kurio kosinusas lygus 0,5.

Kaip mes naudojome ratą anksčiau? Ant jo nubrėžėme kampą. Laipsniais arba radianais. Ir iš karto matytas šio kampo trigonometrinės funkcijos. Dabar darykime atvirkščiai. Ant apskritimo nubrėžkime kosinusą, lygų 0,5 ir iš karto pamatyti injekcija. Belieka tik užrašyti atsakymą.) Taip, taip!

Nubrėžkite apskritimą ir pažymėkite kosinusą 0,5. Žinoma, kosinuso ašyje. Kaip šitas:

Dabar nubrėžkime kampą, kurį mums suteikia šis kosinusas. Perkelkite pelės žymeklį ant piešinio (arba bakstelėkite paveikslėlį planšetiniame kompiuteryje) ir pamatytišiame kampelyje NS.

Koks kampas yra kosinusas 0,5?

x = π / 3

cos 60 °= cos ( π / 3) = 0,5

Kažkas skeptiškai nusijuoks, taip... Sako, ar buvo verta sukti ratą, kai jau viskas aišku... Galima, žinoma, kikenti...) Bet faktas, kad tai klaidingas atsakymas. O tiksliau, nepakankamai. Apskritimo žinovai supranta, kad čia dar yra visa krūva kampų, kurie taip pat suteikia kosinusą, lygų 0,5.

Jei pasukate kilnojamąją OA pusę pilnas apsisukimas, taškas A grįš į pradinę padėtį. Su tuo pačiu kosinusu, lygiu 0,5. Tie. kampas pasikeis 360 ° arba 2π radianų ir kosinuso nėra. Naujasis kampas 60 ° + 360 ° = 420 ° taip pat bus mūsų lygties sprendimas, nes

Galite apsukti be galo daug tokių pilnų posūkių... Ir visi šie nauji kampai bus mūsų trigonometrinės lygties sprendimai. Ir visi jie turi kažkaip užrašyti atsakymą. Viskas. Kitu atveju sprendimas neįskaitomas, taip...)

Matematika žino, kaip tai padaryti paprastai ir elegantiškai. Viename trumpame atsakyme parašykite begalinis rinkinys sprendimus. Štai kaip atrodo mūsų lygtis:

x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Aš iššifruosiu. Vis tiek rašyk prasmingai maloniau, nei kvailai piešti paslaptingas raides, tiesa?)

π / 3 – tai tas pats kampelis kaip ir mes pamačiau ant apskritimo ir nustatyta pagal kosinusų lentelę.

2π yra viena visiška radianų revoliucija.

n yra skaičius pilnų, t.y. visas revoliucijos. Aišku, kad n gali būti 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... ir pan. Kuris nurodytas trumpa pastaba:

n ∈ Z

n priklauso ( ∈ ) į sveikųjų skaičių aibę ( Z ). Beje, vietoj laiško n raidės gali būti naudojamos k, m, t ir tt

Šis įrašas reiškia, kad galite paimti bet kurią visumą n ... Mažiausiai -3, bent 0, mažiausiai +55. Ko tu nori. Jei įtrauksite šį skaičių į savo atsakymą, gausite konkretų kampą, kuris tikrai išspręs mūsų griežtą lygtį.)

Arba, kitaip tariant, x = π / 3 yra vienintelė begalinės aibės šaknis. Norint gauti visas kitas šaknis, pakanka pridėti bet kokį pilnų apsisukimų skaičių prie π / 3 ( n ) radianais. Tie. 2π n radianas.

Viskas? Nr. Sąmoningai ištempiu malonumą. Kad geriau prisimintume.) Gavome tik dalį atsakymų į mūsų lygtį. Šią pirmąją sprendimo dalį parašysiu taip:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne viena šaknis, tai visa eilė šaknų, parašytų trumpa forma.

Tačiau yra ir kampų, kurie taip pat suteikia 0,5 kosinusą!

Grįžkime prie mūsų paveikslėlio, kuris buvo naudojamas užrašant atsakymą. Štai ir ji:

Užveskite pelės žymeklį ant nuotraukos ir pamatyti kitas kampas, kad taip pat suteikia kosinusą 0,5. Kaip manote, kam jis lygus? Trikampiai yra vienodi... Taip! Jis lygus kampui NS , grąžinkite tik neigiama kryptimi. Tai yra kampas -NS. Bet mes jau išsiaiškinome x. π / 3 arba 60 °. Todėl galime drąsiai rašyti:

x 2 = - π / 3

Na, žinoma, pridedame visus kampus, kurie gaunami per visą apsisukimą:

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Dabar viskas.) Trigonometriniame apskritime mes pamačiau(kas supranta, žinoma)) visi kampai, suteikiantys kosinusą, lygų 0,5. Ir jie parašė šiuos kampus trumpa matematine forma. Atsakymas sukūrė dvi begales šaknų serijas:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Tai yra teisingas atsakymas.

viltis, bendrasis trigonometrinių lygčių sprendimo principas naudojant apskritimą aišku. Ant apskritimo pažymime kosinusą (sinusą, liestinę, kotangentą) iš pateiktos lygties, nubrėžiame jį atitinkančius kampus ir užrašome atsakymą.Žinoma, reikia išsiaiškinti, kokie mes užkampiai pamačiau ant rato. Kartais tai nėra taip akivaizdu. Na, taigi aš sakiau, kad čia reikalinga logika.)

Pavyzdžiui, pažvelkime į kitą trigonometrinę lygtį:

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius 0,5 nėra vienintelis galimas skaičius lygtyse!) Man tiesiog patogiau jį rašyti nei šaknis ir trupmenas.

Dirbame pagal bendrą principą. Nubrėžkite apskritimą, pažymėkite (žinoma, ant sinuso ašies!) 0,5. Iš karto nubrėžiame visus kampus, atitinkančius šį sinusą. Gaukime tokį paveikslėlį:

Pirmiausia susitvarkykite su kampu NS pirmąjį ketvirtį. Prisimename sinusų lentelę ir nustatome šio kampo vertę. Tai paprastas dalykas:

x = π / 6

Prisimename visus posūkius ir ramia sąžine užrašome pirmąją atsakymų seriją:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Pusiau padaryta. Bet dabar turime apibrėžti antras kampas... Tai gudriau nei kosinusuose, taip... Bet logika mus išgelbės! Kaip nustatyti antrąjį kampą per x? Taip Lengva! Trikampiai paveikslėlyje yra vienodi, o raudonas kampas NS lygus kampui NS ... Tik jis matuojamas nuo kampo π neigiama kryptimi. Todėl jis raudonas.) O atsakymui reikia kampo, teisingai išmatuoto, nuo teigiamos OX pusašio, t.y. nuo 0 laipsnių kampo.

Užveskite žymeklį ant nuotraukos ir pamatysite viską. Pirmą kampą nuėmiau, kad neapsunkinčiau nuotraukos. Mus dominantis kampas (nupieštas žaliai) bus lygus:

π - x

X mes tai žinome π / 6 ... Todėl antrasis kampas bus:

π – π / 6 = 5π / 6

Dar kartą primename pilnų apsisukimų pridėjimą ir užrašome antrąją atsakymų seriją:

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Tai viskas. Visą atsakymą sudaro dvi šaknų serijos:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Lygtys su liestine ir kotangentu gali būti lengvai išspręstos naudojant tą patį bendrąjį trigonometrinių lygčių sprendimo principą. Jei, žinoma, žinote, kaip trigonometriniame apskritime nubrėžti liestinę ir kotangentą.

Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose naudojau lentelės sinuso ir kosinuso reikšmę: 0,5. Tie. viena iš tų reikšmių, kurias mokinys žino privalo. Dabar išplėskime savo galimybes iki visos kitos vertybės. Nuspręsk, todėl nuspręsk!)

Taigi, tarkime, kad turime išspręsti šią trigonometrinę lygtį:

Tokios kosinuso reikšmės trumpose lentelėse nėra. Mes šaltakraujiškai ignoruojame šį baisų faktą. Nubrėžkite apskritimą, kosinuso ašyje pažymėkite 2/3 ir nubrėžkite atitinkamus kampus. Gauname būtent tokį vaizdą.

Išsiaiškinkime tai pirmame ketvirtyje su kampu. Jei būčiau žinojęs, kas yra X, jie iš karto būtų parašę atsakymą! Mes nežinome... Nesėkmė!? Ramus! Matematika neapleidžia savųjų bėdoje! Šiai bylai ji sugalvojo arckosines. Nežinau? Veltui. Sužinokite, tai daug lengviau, nei manote. Po šia nuoroda nėra nė vieno sudėtingo rašybos apie „atvirkštinį“. trigonometrinės funkcijos„Ne... Tai perteklinė šioje temoje.

Jei žinai, pakanka pasakyti sau: „X yra kampas, kurio kosinusas yra 2/3“. Ir iš karto, grynai pagal arckosino apibrėžimą, galite parašyti:

Prisimename papildomus posūkius ir ramiai užrašome pirmąją mūsų trigonometrinės lygties šaknų seriją:

x 1 = lankas 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Antroji šaknų serija taip pat beveik automatiškai įrašoma antrajam kampui. Viskas tas pats, tik x (arccos 2/3) bus su minusu:

x 2 = - lankas 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ir viskas! Tai yra teisingas atsakymas. Net lengviau nei naudojant lentelės reikšmes. Nereikia nieko atsiminti.) Beje, dėmesingiausi pastebės, kad šis paveikslas su sprendiniu per atvirkštinį kosinusą iš esmės nesiskiria nuo paveikslėlio, kai lygtis cosx = 0,5.

tiksliai! Bendrasis principas už tai ir bendras! Specialiai nupiešiau du beveik vienodus paveikslus. Apskritimas rodo mums kampą NS pagal jo kosinusą. Lentelė yra kosinusas, ar ne - apskritimas nežino. Koks yra šis kampas, π / 3, arba koks atvirkštinis kosinusas - tai priklauso nuo mūsų.

Su sine ta pati daina. Pavyzdžiui:

Dar kartą nubrėžkite apskritimą, pažymėkite sinusą, lygų 1/3, nubrėžkite kampus. Nuotrauka atrodo taip:

Ir vėl vaizdas beveik toks pat kaip ir lygties sinx = 0,5. Vėlgi, pirmajame ketvirtyje pradėkite nuo kampo. Kas yra x, jei jo sinusas yra 1/3? Jokiu problemu!

Taigi pirmoji šaknų pakuotė yra paruošta:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Mes susidorojame su antruoju kampu. Pavyzdyje, kurio lentelės reikšmė yra 0,5, buvo:

π - x

Taigi čia bus lygiai taip pat! Skiriasi tik x, arcsin 1/3. Tai kas!? Galite saugiai užsirašyti antrąją šaknų pakuotę:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Tai visiškai teisingas atsakymas. Nors atrodo nelabai pažįstama. Bet tai suprantama, tikiuosi.)

Taip trigonometrinės lygtys sprendžiamos naudojant apskritimą. Šis kelias yra aiškus ir suprantamas. Būtent jis taupo trigonometrinėse lygtyse, pasirinkdamas šaknis tam tikru intervalu, trigonometrinėse nelygybėse - jos paprastai beveik visada sprendžiamos apskritime. Trumpai tariant, atliekant bet kokias užduotis, kurios yra šiek tiek sunkesnės nei standartinės.

Pritaikykime savo žinias praktikoje?)

Išspręskite trigonometrines lygtis:

Iš pradžių viskas paprasčiau, nuo šios pamokos.

Dabar sunkiau.

Užuomina: čia turite apmąstyti ratą. Asmeniškai.)

O dabar jie išoriškai nepretenzingi... Jie dar vadinami ypatingais atvejais.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Užuomina: čia reikia išsiaiškinti, kur yra dvi atsakymų serijos, o kur viena... Ir kaip užrašyti vieną, o ne dvi atsakymų serijas. Taip, kad nebūtų prarasta nė viena begalinio skaičiaus šaknis!)

Na, labai paprasti):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Užuomina: čia reikia žinoti, kas yra arcsinusas, arkosinas? Kas yra lanko tangentas, lanko kotangentas? Labiausiai paprasti apibrėžimai... Bet jums nereikia atsiminti jokių lentelės verčių!)

Atsakymai, žinoma, yra netvarka):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ne viskas pavyksta? Taip atsitinka. Dar kartą perskaitykite pamoką. Tik apgalvotai(yra toks pasenęs žodis...) Ir sekite nuorodas. Pagrindinės nuorodos yra apie ratą. Be jo, trigonometrijoje, tai tarsi kirsti kelią užrištomis akimis. Kartais tai veikia.)

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Momentinis patvirtinimo testas. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai paliekate užklausą svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir pranešti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei būsimus renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir pateikti Jums rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašiame reklaminiame renginyje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją toms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei reikia – pagal įstatymus, teismo įsakymą, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais ar vyriausybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų socialiai svarbių priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai – teisių perėmėjui.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir piktnaudžiavimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Pagarba jūsų privatumui įmonės lygiu

Siekdami įsitikinti, kad Jūsų asmeninė informacija yra saugi, savo darbuotojams pristatome konfidencialumo ir saugumo taisykles bei griežtai stebime konfidencialumo priemonių įgyvendinimą.

Reikia žinoti pagrindines trigonometrijos formules – sinuso ir kosinuso kvadratų sumą, liestinės raišką per sinusą ir kosinusą ir kt. Tiems, kurie juos pamiršo ar nežino, rekomenduojame perskaityti straipsnį "".
Taigi, mes žinome pagrindines trigonometrines formules, laikas jas panaudoti praktiškai. Trigonometrinių lygčių sprendimas su tinkamu požiūriu tai gana įdomi veikla, kaip, pavyzdžiui, išspręsti Rubiko kubą.

Remiantis pačiu pavadinimu, aišku, kad trigonometrinė lygtis yra lygtis, kurioje nežinomasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu.
Yra vadinamosios paprasčiausios trigonometrinės lygtys. Taip jie atrodo: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Apsvarstykite kaip išspręsti tokias trigonometrines lygtis, aiškumo dėlei naudosime jau pažįstamą trigonometrinį apskritimą.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

vaikiška lovelė x = a

Bet kuri trigonometrinė lygtis sprendžiama dviem etapais: pateikiame lygtį į paprasčiausią formą ir išsprendžiame kaip paprasčiausią trigonometrinę lygtį.
Yra 7 pagrindiniai metodai, kuriais sprendžiamos trigonometrinės lygtys.

1. Kintamųjų pakeitimas ir pakeitimo metodas

Išspręskite lygtį 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0

Naudodami redukcijos formules gauname:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

Paprastumo dėlei cos (x + / 6) pakeiskite y ir gaukite įprastą kvadratinę lygtį:

2m 2 - 3m + 1 + 0

Kurių šaknys y 1 = 1, y 2 = 1/2

Dabar eikime atvirkštine tvarka

Pakeičiame rastas y reikšmes ir gauname du atsakymus:

2. Trigonometrinių lygčių sprendimas faktorizavimo būdu

Kaip išspręsti lygtį sin x + cos x = 1?

Viską perkelkite į kairę, kad 0 liktų dešinėje:

sin x + cos x - 1 = 0

Naudokime aukščiau pateiktas tapatybes, kad supaprastintume lygtį:

sin x – 2 sin 2 (x / 2) = 0

Atliekame faktorizaciją:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2sin (x / 2) * = 0

Gauname dvi lygtis

3. Redukcija į homogeninę lygtį

Lygtis yra vienalytė sinuso ir kosinuso atžvilgiu, jei visi jos nariai sinuso ir kosinuso atžvilgiu yra ta pati to paties kampo galia. Norėdami išspręsti homogeninę lygtį, atlikite šiuos veiksmus:

a) perkelti visus savo narius į kairę pusę;

b) išimkite visus bendruosius veiksnius iš skliaustų;

c) visus veiksnius ir skliaustus prilyginti 0;

d) skliausteliuose gaunama vienalytė lygtis mažesniu laipsniu jis, savo ruožtu, yra padalintas iš sinuso arba kosinuso aukščiausiu laipsniu;

e) išspręskite gautą tg lygtį.

Išspręskite lygtį 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Naudokime formulę sin 2 x + cos 2 x = 1 ir atsikratykime atvirų dviejų dešinėje:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Padalinkite iš cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Pakeiskite tg x į y ir gaukite kvadratinę lygtį:

y 2 + 4y +3 = 0, kurių šaknys y 1 = 1, y 2 = 3

Iš čia randame du pradinės lygties sprendinius:

x 2 = arctan 3 + k

4. Lygčių sprendimas einant į pusę kampo

Išspręskite lygtį 3sin x - 5cos x = 7

Pereinant prie x/2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Viską perkelkite į kairę:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

Padalinti iš cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3 tg (x / 2) + 6 = 0

5. Įveskite pagalbinį kampą

Apsvarstykite šios formos lygtį: a sin x + b cos x = c,

kur a, b, c yra kai kurie savavališki koeficientai, o x nežinomas.

Padalinkite abi lygties puses į:



Dabar lygties koeficientai pagal trigonometrines formules turi savybes sin ir cos, būtent: jų modulis ne didesnis kaip 1, o kvadratų suma = 1. Pažymime juos atitinkamai cos ir sin, kur yra vadinamasis pagalbinis kampas. Tada lygtis bus tokia:

cos * sin x + sin * cos x = С

arba nuodėmė (x +) = C

Šios paprasčiausios trigonometrinės lygties sprendimas yra

x = (-1) k * arcsin С - + k, kur



Atminkite, kad cos ir sin vartojami pakaitomis.

Išspręskite lygtį sin 3x - cos 3x = 1

Šioje lygtyje koeficientai yra:

a =, b = -1, todėl abi puses padaliname iš = 2

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas jums reikalingas temas sėkmingas pristatymas Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 60-65 balams. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti matematikos pagrindų egzaminą. Norint išlaikyti egzaminą 90-100 balų, 1 dalį reikia išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo egzaminui kursas 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti 1 matematikos egzamino dalį (pirmos 12 uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų per egzaminą, ir be jų neapsieina nei šimtabalsis, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa teorija, kurios jums reikia. Greiti būdai egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Iš FIPI užduočių banko išardytos visos atitinkamos 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka egzamino-2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprasta ir nesudėtinga.

Šimtai egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų tipų USE užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi triukai sprendimai, naudingi cheat lapai, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus sudėtingų sąvokų paaiškinimas. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sprendimo pagrindas sunkių užduočių 2 egzamino dalys.

Pamoka ir pristatymas tema: „Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios statybos užduotys erdvėje
Programinės įrangos aplinka „1C: Mathematical Constructor 6.1“

Ką mes studijuosime:
1. Kas yra trigonometrinės lygtys?

3. Du pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.
4. Homogeninės trigonometrinės lygtys.
5. Pavyzdžiai.

Kas yra trigonometrinės lygtys?

Vaikinai, mes jau ištyrėme arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir lanko kotangentą. Dabar pažvelkime į trigonometrines lygtis apskritai.

Trigonometrinės lygtys – lygtys, kuriose kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu.

Pakartokime paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formą:

1) Jei | a | ≤ 1, tai lygtis cos (x) = a turi sprendimą:

X = ± arccos (a) + 2πk

2) Jei | a | ≤ 1, tai lygtis sin (x) = a turi sprendimą:

3) Jei | a | > 1, tada lygtis sin (x) = a ir cos (x) = a neturi sprendinių 4) Lygtis tan (x) = a turi sprendimą: x = arctan (a) + πk

5) Lygtis ctg (x) = a turi sprendimą: x = arcctg (a) + πk

Visų formulių k yra sveikas skaičius

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys turi tokią formą: T (kx + m) = a, T- bet kuri trigonometrinė funkcija.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtis: a) sin (3x) = √3 / 2

Sprendimas:

A) Pažymime 3x = t, tada perrašome savo lygtį į formą:

Šios lygties sprendimas bus toks: t = ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.

Iš verčių lentelės gauname: t = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.

Grįžkime prie mūsų kintamojo: 3x = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,

Tada x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3

Atsakymas: x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, kur n yra sveikas skaičius. (-1) ^ n – minus vienas iki n-osios laipsnio.

Daugiau trigonometrinių lygčių pavyzdžių.

Išspręskite lygtis: a) cos (x / 5) = 1 b) tg (3x- π / 3) = √3

Sprendimas:

A) Šį kartą iš karto pereisime prie lygties šaknų skaičiavimo:

X / 5 = ± arccos (1) + 2πk. Tada x / 5 = πk => x = 5πk

Atsakymas: x = 5πk, kur k yra sveikas skaičius.

B) Rašome tokia forma: 3x- π / 3 = arctan (√3) + πk. Mes žinome, kad: arctan (√3) = π / 3

3x- π / 3 = π / 3 + πk => 3x = 2π / 3 + πk => x = 2π / 9 + πk / 3

Atsakymas: x = 2π / 9 + πk / 3, kur k yra sveikas skaičius.

Išspręskite lygtis: cos (4x) = √2 / 2. Ir raskite visas šaknis segmente.

Sprendimas:

Mes išspręsime bendras vaizdas mūsų lygtis: 4x = ± arckos (√2/2) + 2πk

4x = ± π / 4 + 2πk;

X = ± π / 16 + πk / 2;

Dabar pažiūrėkime, kokios šaknys pateks į mūsų segmentą. Ties k Kai k = 0, x = π / 16, patekome į duotąją atkarpą.
Kai k = 1, x = π / 16 + π / 2 = 9π / 16, jie vėl pataiko.
Esant k = 2, x = π / 16 + π = 17π / 16, bet čia nepataikėme, vadinasi, esant dideliam k tikrai nepataikysime.

Atsakymas: x = π / 16, x = 9π / 16

Yra du pagrindiniai sprendimo būdai.

Mes apsvarstėme paprasčiausias trigonometrines lygtis, tačiau yra ir sudėtingesnių. Jiems išspręsti naudojamas naujo kintamojo įvedimo ir faktorizavimo metodas. Pažvelkime į keletą pavyzdžių.

Išspręskime lygtį:

Sprendimas:
Norėdami išspręsti mūsų lygtį, naudosime naujo kintamojo įvedimo metodą, pažymėkite: t = tg (x).

Dėl pakeitimo gauname: t 2 + 2t -1 = 0

Raskite šaknis kvadratinė lygtis: t = -1 ir t = 1/3

Tada tg (x) = - 1 ir tg (x) = 1/3, gavome paprasčiausią trigonometrinę lygtį, randame jos šaknis.

X = arctan (-1) + πk = -π / 4 + πk; x = arctan (1/3) + πk.

Atsakymas: x = -π / 4 + πk; x = arctan (1/3) + πk.

Lygties sprendimo pavyzdys

Išspręskite lygtis: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Sprendimas:

Naudokime tapatybę: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

Mūsų lygtis bus tokia: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Įveskite pakeitimą t = cos (x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas yra šaknys: t = 2 ir t = -1 / 2

Tada cos (x) = 2 ir cos (x) = - 1/2.

Nes kosinusas negali būti didesnis už vieną, tada cos (x) = 2 neturi šaknų.

Jei cos (x) = - 1/2: x = ± arccos (-1/2) + 2πk; x = ± 2π / 3 + 2πk

Atsakymas: x = ± 2π / 3 + 2πk

Homogeninės trigonometrinės lygtys.

Apibrėžimas: a sin (x) + b cos (x) formos lygtys vadinamos pirmojo laipsnio vienarūšėmis trigonometrinėmis lygtimis.

Formos lygtys

antrojo laipsnio vienarūšės trigonometrinės lygtys.

Norėdami išspręsti homogeninę pirmojo laipsnio trigonometrinę lygtį, padalijame ją iš cos (x): Neįmanoma padalyti iš kosinuso, jei jis lygus nuliui, įsitikinkime, kad taip nėra:
Tegul cos (x) = 0, tada asin (x) + 0 = 0 => sin (x) = 0, bet sinusas ir kosinusas nėra lygūs nuliui tuo pačiu metu, gavome prieštaravimą, todėl galime saugiai padalinti iš nulio.

Išspręskite lygtį:
Pavyzdys: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Sprendimas:

Ištraukite bendrą koeficientą: cos (x) (c0s (x) + sin (x)) = 0

Tada turime išspręsti dvi lygtis:

Cos (x) = 0 ir cos (x) + sin (x) = 0

Cos (x) = 0, kai x = π / 2 + πk;

Apsvarstykite lygtį cos (x) + sin (x) = 0 Padalinkite mūsų lygtį iš cos (x):

1 + tg (x) = 0 => tg (x) = - 1 => x = arctan (-1) + πk = -π / 4 + πk

Atsakymas: x = π / 2 + πk ir x = -π / 4 + πk

Kaip išspręsti vienarūšes antrojo laipsnio trigonometrines lygtis?
Vaikinai, visada laikykitės šių taisyklių!

1. Pažiūrėkite, kam lygus koeficientas a, jei a = 0, mūsų lygtis bus tokia forma cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), kurios sprendimo pavyzdys ankstesnėje skaidrėje

2. Jei a ≠ 0, tuomet reikia padalyti abi lygties puses iš kosinuso kvadrato, gauname:

Keičiame kintamąjį t = tg (x) ir gauname lygtį:

Išspręskite pavyzdį Nr: 3

Išspręskite lygtį:
Sprendimas:

Abi lygties puses padalinkite iš kosinuso kvadrato:

Pakeiskite kintamąjį t = tg (x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Raskite kvadratinės lygties šaknis: t = -3 ir t = 1

Tada: tg (x) = - 3 => x = arctan (-3) + πk = -arctg (3) + πk

Tg (x) = 1 => x = π / 4 + πk

Atsakymas: x = -arctg (3) + πk ir x = π / 4 + πk

Išspręskite pavyzdį Nr: 4

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Galime išspręsti tokias lygtis: x = - π / 4 + 2πk ir x = 5π / 4 + 2πk

Atsakymas: x = - π / 4 + 2πk ir x = 5π / 4 + 2πk

Išspręskite pavyzdį Nr.: 5

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Pristatome pakaitinį tg (2x) = t: 2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas bus šaknys: t = -2 ir t = 1/2

Tada gauname: tg (2x) = - 2 ir tg (2x) = 1/2
2x = -arctg (2) + πk => x = -arctg (2) / 2 + πk / 2

2x = arctan (1/2) + πk => x = arctan (1/2) / 2 + πk / 2

Atsakymas: x = -arctg (2) / 2 + πk / 2 ir x = arctan (1/2) / 2 + πk / 2

Savarankiško sprendimo užduotys.

1) Išspręskite lygtį

A) sin (7x) = 1/2 b) cos (3x) = √3 / 2 c) cos (-x) = -1 d) įdegis (4x) = √3 e) ctg (0,5x) = -1,7

2) Išspręskite lygtis: sin (3x) = √3 / 2. Ir suraskite visas atkarpos šaknis [π / 2; π].

3) Išspręskite lygtį: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 = 0

4) Išspręskite lygtį: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) = 0

5) Išspręskite lygtį: 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) = 0

6) Išspręskite lygtį: cos 2 (2x) -1 - cos (x) = √3 / 2 -sin 2 (2x)