Paprasčiausios sprendinio trigonometrinės lygtys. Trigonometrinių lygčių sprendimas. Kaip išspręsti trigonometrinę lygtį

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai

2 įvadas

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai 5

Algebrinė 5

Lygčių sprendimas naudojant lygybės sąlygą to paties pavadinimo trigonometrinėms funkcijoms 7

Faktoringas 8

Redukcija į homogeninę 10 lygtį

Pagalbinio kampo įvadas 11

Konvertuoti darbą į sumą 14

Universalus pakaitalas 14

17 išvada

Įvadas

Iki dešimtos klasės daugelio pratimų, vedančių į tikslą, veiksmų tvarka, kaip taisyklė, yra vienareikšmiškai apibrėžta. Pavyzdžiui, linijinis ir kvadratines lygtis ir nelygybės, trupmeninės ir kvadratinės lygtys ir kt. Išsamiai nenagrinėdami kiekvieno iš aukščiau pateiktų pavyzdžių sprendimo principo, atkreipkime dėmesį į tai, kas yra bendra, reikalinga sėkmingam jų sprendimui.

Daugeliu atvejų reikia nustatyti, kokio tipo užduotis priklauso, prisiminti veiksmų seką, vedančią į tikslą, ir atlikti šiuos veiksmus. Akivaizdu, kad studento sėkmė ar nesėkmė įsisavinant lygčių sprendimo būdus daugiausia priklauso nuo to, kaip jis sugeba teisingai nustatyti lygties tipą ir atsiminti visų jos sprendimo etapų seką. Žinoma, tai daro prielaidą, kad studentas turi įgūdžių atlikti identiškos transformacijos ir kompiuterija.

Visai kitokia situacija susiklosto mokiniui susidūrus su trigonometrinėmis lygtimis. Tuo pačiu metu nėra sunku nustatyti faktą, kad lygtis yra trigonometrinė. Sunkumai iškyla ieškant veiksmų eilės, kuri lemtų teigiamas rezultatas... Ir čia studentas susiduria su dviem problemomis. Autorius išvaizda lygtis sunku nustatyti tipą. O nežinant rūšies iš kelių dešimčių turimų išsirinkti tinkamą formulę beveik neįmanoma.

Siekiant padėti mokiniams rasti teisingą kelią sudėtingame trigonometrinių lygčių labirinte, jie pirmiausia supažindinami su lygtimis, kurios, įvedus naują kintamąjį, sumažinamos iki kvadratinių. Tada vienarūšės lygtys išsprendžiamos ir į jas redukuojamos. Viskas, kaip taisyklė, baigiasi lygtimis, kurių sprendimui reikia koeficientuoti kairę pusę, tada kiekvieną veiksnį prilyginant nuliui.

Supratęs, kad pamokose analizuotų pusantros tuzino lygčių aiškiai neužtenka, kad mokinys pradėtų savarankišką kelionę trigonometrine „jūra“, mokytojas prideda dar keletą rekomendacijų iš savęs.

Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, turėtumėte pabandyti:

Sumažinti visas į lygtį įtrauktas funkcijas iki „lygių kampų“;

Sumažinkite lygtį iki „identiškų funkcijų“;

Kairiosios lygties pusės koeficientas ir kt.

Tačiau, nepaisant žinių apie pagrindinius trigonometrinių lygčių tipus ir keletą jų sprendimo principų, daugelis studentų vis tiek atsiduria aklavietėje prieš kiekvieną lygtį, kuri šiek tiek skiriasi nuo tų, kurios buvo išspręstos anksčiau. Lieka neaišku, ko reikia siekti, turint tą ar kitą lygtį, kodėl vienu atveju reikia taikyti dvigubo kampo, kitu – pusės, o trečiu – sudėjimo formules ir pan.

1 apibrėžimas. Trigonometrinė yra lygtis, kurioje nežinomasis yra po trigonometrinių funkcijų ženklu.

2 apibrėžimas. Jie sako, kad trigonometrinė lygtis turi tuos pačius kampus, jei visos į ją įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi vienodus argumentus. Sakoma, kad trigonometrinė lygtis turi tas pačias funkcijas, jei joje yra tik viena iš trigonometrinių funkcijų.

3 apibrėžimas. Monomalio, kuriame yra trigonometrinių funkcijų, laipsnis yra į jį įtrauktų trigonometrinių funkcijų laipsnių suma.

4 apibrėžimas. Lygtis vadinama vienalyte, jei visi joje esantys monomai yra vienodo laipsnio. Šis laipsnis vadinamas lygties tvarka.

5 apibrėžimas. Trigonometrinė lygtis, kurioje yra tik funkcijos nuodėmė ir cos, vadinamas vienarūšiu, jei turi visi monomai trigonometrinių funkcijų atžvilgiu tas pats laipsnis, o pačios trigonometrinės funkcijos turi vienodus kampus, o monomijų skaičius yra 1 didesnis nei lygties tvarka.

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.

Trigonometrinių lygčių sprendimas susideda iš dviejų etapų: lygties transformavimas, kad būtų gauta paprasčiausia forma, ir gautos paprasčiausios trigonometrinės lygties sprendimas. Yra septyni pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.

aš. Algebrinis metodas.Šis metodas gerai žinomas iš algebros. (Kintamojo pakeitimo ir pakeitimo metodas).

Išspręskite lygtis.

Supažindinkime su užrašu x=2 nuodėmė3 t, mes gauname

Išspręsdami šią lygtį, gauname:
arba

tie. galima parašyti

Užfiksuojant gautą sprendimą dėl ženklų buvimo laipsnį
nėra prasmės užsirašyti.

Atsakymas:

Mes pažymime

Gauname kvadratinę lygtį
... Jo šaknys yra skaičiai
ir
... Štai kodėl duota lygtis redukuoja iki paprasčiausių trigonometrinių lygčių
ir
... Išspręsdami juos, mes tai surandame
arba
.

Atsakymas:
;
.

Mes pažymime

sąlygos netenkina

Reiškia

Atsakymas:

Transformuokime kairę lygties pusę:

Taigi šią pradinę lygtį galima parašyti taip:

, t.y.

Nurodant
, mes gauname
Išsprendę šią kvadratinę lygtį, turime:

sąlygos netenkina

Užrašome pradinės lygties sprendimą:

Atsakymas:

Pakeitimas
sumažina šią lygtį į kvadratinę lygtį
... Jo šaknys yra skaičiai
ir
... Nes
, tada duotoji lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: nėra šaknų.

II... Lygčių sprendimas naudojant tų pačių trigonometrinių funkcijų lygybės sąlygą.

a)
, jei

b)
, jei

v)
, jei

Naudodamiesi šiomis sąlygomis, apsvarstykite šių lygčių sprendimą:

Naudodamiesi tuo, kas buvo pasakyta a dalyje, nustatome, kad lygtis turi sprendimą tada ir tik tada
.

Išspręsdami šią lygtį, randame
.

Turime dvi sprendimų grupes:

.

7) Išspręskite lygtį:
.

Naudodami sąlygą b), išvedame tai
.

Išspręsdami šias kvadratines lygtis, gauname:

8) Išspręskite lygtį
.

Iš šios lygties mes tai išvedame. Išspręsdami šią kvadratinę lygtį, mes randame tai

.

III... Faktorizavimas.

Mes svarstome šį metodą pavyzdžiais.

9) Išspręskite lygtį
.

Sprendimas. Perkelkite visus lygties narius į kairę:.

Transformuokite ir padalykite koeficientus kairėje lygties pusėje esančią išraišką:
.

1)
2)

Nes
ir
neimkite vertės nulio

tuo pačiu metu, tada padaliname abi dalis

lygtys už
,

Atsakymas:

10) Išspręskite lygtį:

Sprendimas.

arba

Atsakymas:

11) Išspręskite lygtį

Sprendimas:

1)
2)
3)

Atsakymas:

IV... Redukcija į homogeninę lygtį.

Išspręsti vienalytė lygtis būtina:

Perkelkite visus jo narius į kairę pusę;

Iš skliaustų iškelkite visus įprastus veiksnius;

Nustatyti visus veiksnius ir skliaustus į nulius;

Nuliui prilyginti skliaustai duoda homogeninę mažesnio laipsnio lygtį, kurią reikia padalyti iš
(arba
) vyresnysis laipsnis;

Išspręskite gautą algebrinė lygtis palyginti
.

Panagrinėkime keletą pavyzdžių:

12) Išspręskite lygtį:

Sprendimas.

Padalinkite abi lygties puses iš
,

Pristatome užrašą
, pavadintas

šios lygties šaknys:

taigi 1)
2)

Atsakymas:

13) Išspręskite lygtį:

Sprendimas. Naudodami dvigubo kampo formules ir pagrindinę trigonometrinę tapatybę, šią lygtį sumažiname iki pusės argumento:

Sumažinus panašius terminus, turime:

Paskutinę vienalytę lygtį padalijus iš
, mes gauname

paskirsiu
, gauname kvadratinę lygtį
kurių šaknys yra skaičiai

Taigi

Išraiška
dingsta ties
, t.y. adresu
,
.

Mūsų lygties sprendimas neapima šių skaičių.

Atsakymas:
, .

V... Pagalbinio kampo įvedimas.

Apsvarstykite formos lygtį

Kur a, b, c- koeficientai, x- Nežinomasis.

Abi šios lygties puses padalijame iš

Dabar lygties koeficientai turi sinuso ir kosinuso savybes, būtent: kiekvieno iš jų modulis neviršija vieneto, o jų kvadratų suma yra 1.

Tada galime juos atitinkamai pažymėti
(čia - pagalbinis kampas) ir mūsų lygtis yra tokia:.

Tada

Ir jo sprendimas

Atkreipkite dėmesį, kad įvesti pavadinimai yra tarpusavyje keičiami.

14) Išspręskite lygtį:

Sprendimas. čia
, todėl abi lygties puses padaliname iš

Atsakymas:

15) Išspręskite lygtį

Sprendimas. Nes
, tada ši lygtis yra lygi lygčiai

Nes
, tada yra toks kampas, kad
,
(tie.
).

Mes turime

Nes
, tada pagaliau gauname:

Atkreipkite dėmesį, kad formos lygtis turi sprendimą tada ir tik tada

16) Išspręskite lygtį:

Norėdami išspręsti šią lygtį, trigonometrines funkcijas sugrupuojame su tais pačiais argumentais

Padalinkite abi lygties puses iš dviejų

Trigonometrinių funkcijų sumą paverčiame sandauga:

Atsakymas:

VI... Kūrinio pavertimas suma.

Čia naudojamos atitinkamos formulės.

17) Išspręskite lygtį:

Sprendimas. Konvertuokite kairę pusę į sumą:

Vii.Bendrasis pakeitimas.

šios formulės tinka visiems

Pakeitimas
vadinamas universaliu.

18) Išspręskite lygtį:

Sprendimas: pakeiskite ir
į jų išraišką per
ir žymėti
.

Gauname racionalią lygtį
kuris paverčiamas kvadratu
.

Šios lygties šaknys yra skaičiai
.

Todėl problema buvo sumažinta iki dviejų lygčių sprendimo
.

Mes tai randame
.

Žiūrėti vertę
netenkina pradinės lygties, kuri patikrinama tikrinant – šios reikšmės pakeitimu tį pradinę lygtį.

Atsakymas:
.

komentuoti. 18 lygtis gali būti išspręsta kitaip.

Abi šios lygties puses padalinkite iš 5 (ty iš
):
.

Nes
, tada yra toks skaičius
, ką
ir
... Todėl lygtis įgauna tokią formą:
arba
... Iš to mes tai sužinome
kur
.

19) Išspręskite lygtį
.

Sprendimas. Kadangi funkcijos
ir
kurių didžiausia reikšmė lygi 1, tada jų suma lygi 2, jei
ir
, tuo pačiu metu, tai yra
.

Atsakymas:
.

Sprendžiant šią lygtį, buvo naudojamasi funkcijų ir ribos.

Išvada.

Dirbant su tema „Trigonometrinių lygčių sprendimai“, kiekvienam mokytojui naudinga laikytis šių rekomendacijų:

Susisteminti trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.

Pasirinkite patys lygties analizės atlikimo žingsnius ir vieno ar kito sprendimo metodo tinkamumo požymius.

Pagalvokite apie savo veiklos savikontrolės būdus metodo įgyvendinimui.

Išmokite sudaryti „savo“ lygtis kiekvienam iš tiriamų metodų.

1 priedėlis

Išspręskite vienarūšes arba vienarūšes lygtis.

1.	Resp.
	Resp.

	Resp.
5.	Resp.
	Resp.
7.	Resp.
	Resp.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai paliekate užklausą svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir pranešti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus įvykius bei artėjančius renginius.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir pateikti Jums rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašiame reklaminiame renginyje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją toms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Jei reikia – pagal įstatymus, teismo įsakymą, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais ar vyriausybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų socialiai svarbių priežasčių.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai – teisių perėmėjui.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir piktnaudžiavimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Pagarba jūsų privatumui įmonės lygiu

Siekdami įsitikinti, kad Jūsų asmeninė informacija yra saugi, savo darbuotojams pristatome konfidencialumo ir saugumo taisykles bei griežtai stebime konfidencialumo priemonių įgyvendinimą.

Kompleksinio žinių taikymo pamoka.

Pamokos tikslai.

Apsvarstykite skirtingi metodai trigonometrinių lygčių sprendiniai.
Mokinių kūrybiškumo ugdymas sprendžiant lygtis.
Mokinių skatinimas susivaldyti, savikontrolę, savistabą savo ugdomojoje veikloje.

Įranga: ekranas, projektorius, informacinė medžiaga.

Per užsiėmimus

Įžanginis pokalbis.

Pagrindinis trigonometrinių lygčių sprendimo būdas – jas sumažinti iki paprasčiausių. Tokiu atveju, įprastiniais būdais, pavyzdžiui, faktorizacija, taip pat metodai, naudojami tik trigonometrinėms lygtims spręsti. Tokių technikų yra nemažai, pavyzdžiui, įvairūs trigonometriniai pakaitalai, kampų transformacijos, trigonometrinių funkcijų transformacijos. Beatodairiškas bet kokių trigonometrinių transformacijų taikymas paprastai lygties nesupaprastina, o katastrofiškai apsunkina. Norėdami sportuoti bendras kontūras suplanuokite lygtį, nubrėžkite būdą, kaip sumažinti lygtį iki paprasčiausio, pirmiausia turite išanalizuoti kampus - į lygtį įtrauktų trigonometrinių funkcijų argumentus.

Šiandien kalbėsime apie trigonometrinių lygčių sprendimo būdus. Teisingai parinktas metodas dažnai leidžia gerokai supaprastinti sprendimą, todėl visi mūsų tyrinėti metodai visada turi būti mūsų dėmesio zonoje, kad būtų galima išspręsti trigonometrines lygtis tinkamiausias būdas.

II. (Naudodami projektorių pakartojame lygčių sprendimo būdus.)

1. Trigonometrinės lygties redukavimo į algebrinę metodas.

Visas trigonometrines funkcijas reikia išreikšti vienetu, tuo pačiu argumentu. Tai galima padaryti naudojant pagrindinę trigonometrinę tapatybę ir jos pasekmes. Gaukime lygtį su viena trigonometrine funkcija. Laikydami jį kaip naują nežinomąjį, gauname algebrinę lygtį. Surandame jo šaknis ir grįžtame į seną nežinomybę, išspręsdami paprasčiausias trigonometrines lygtis.

2. Faktorizacijos metodas.

Norint pakeisti kampus, dažnai praverčia konvertavimo formulės, argumentų sumos ir skirtumo formulės, taip pat trigonometrinių funkcijų sumos (skirtumo) konvertavimo į sandaugą formulės ir atvirkščiai.

sin x + nuodėmė 3x = nuodėmė 2x + sin4x

3. Papildomo kampo įvedimo būdas.

4. Universalaus pakeitimo panaudojimo būdas.

F (sinx, cosx, tgx) = 0 formos lygtys redukuojamos į algebrinę, naudojant universalų trigonometrinį pakaitalą

Išreikšdami sinusą, kosinusą ir liestinę pusės kampo liestine. Šis triukas gali sukelti aukštesnės eilės lygtį. Kurio sprendimas yra sunkus.

Trigonometrinės lygtys nėra pati lengviausia tema. Skausmingai jie yra įvairūs.) Pavyzdžiui, tokie:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Ir tt...

Tačiau šie (ir visi kiti) trigonometriniai monstrai turi dvi bendras ir privalomas savybes. Pirma – nepatikėsite – lygtyse yra trigonometrinių funkcijų.) Antra: randamos visos išraiškos su x tų pačių funkcijų viduje. Ir tik ten! Jei x pasirodo bet kur lauke, pavyzdžiui, sin2x + 3x = 3, tai jau bus lygtis mišrus tipas... Tokios lygtys reikalauja individualaus požiūrio. Mes jų čia nenagrinėsime.

Šioje pamokoje irgi nespręsime blogio lygčių.) Čia nagrinėsime Paprasčiausios trigonometrinės lygtys. Kodėl? Taip, nes sprendimas bet koks trigonometrinės lygtys turi dvi stadijas. Pirmajame etape blogio lygtis redukuojama į paprastą, naudojant įvairias transformacijas. Antruoju atveju ši paprasčiausia lygtis išspręsta. Jokiu kitu būdu.

Taigi, jei turite problemų antrajame etape, pirmasis etapas nėra labai prasmingas.)

Kaip atrodo elementarios trigonometrinės lygtys?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

čia a žymi bet kurį skaičių. bet kas.

Beje, funkcijos viduje gali būti ne grynas x, o kažkokia išraiška, pavyzdžiui:

cos (3x + π / 3) = 1/2

ir tt Tai apsunkina gyvenimą, bet neturi įtakos trigonometrinės lygties sprendimo būdui.

Kaip išspręsti trigonometrines lygtis?

Trigonometrines lygtis galima išspręsti dviem būdais. Pirmasis būdas: naudojant logiką ir trigonometrinį apskritimą. Mes apsvarstysime šį kelią čia. Antrasis būdas – naudojant atmintį ir formules – bus aptartas kitoje pamokoje.

Pirmasis būdas yra aiškus, patikimas ir sunkiai pamirštamas.) Jis tinka sprendžiant trigonometrines lygtis, nelygybes ir visokius keblius nestandartinius pavyzdžius. Logika stipresnė už atmintį!)

Lygčių sprendimas naudojant trigonometrinį apskritimą.

Įtraukiame elementarią logiką ir galimybę naudotis trigonometriniu apskritimu. Nežinau kaip!? Tačiau... Tau sunku trigonometrijoje...) Bet tai nesvarbu. Pažiūrėkite į pamokas "Trigonometrinis ratas ...... Kas tai?" ir „Kampų skaičiavimas trigonometriniame apskritime“. Ten viskas paprasta. Skirtingai nuo vadovėlių...)

O, žinai!? Ir net įvaldęs „Praktinį darbą su trigonometriniu apskritimu“!? Sveikinu. Ši tema bus jums artima ir suprantama.) Kas ypač džiugina, trigonometriniam apskritimui nesvarbu, kurią lygtį išspręsite. Sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas – jam viskas viena. Yra tik vienas sprendimo principas.

Taigi imame bet kurią elementariąją trigonometrinę lygtį. Bent jau šita:

cosx = 0,5

Turime rasti X. Žmoniškai, tau reikia raskite kampą (x), kurio kosinusas lygus 0,5.

Kaip mes naudojome ratą anksčiau? Ant jo nubrėžėme kampą. Laipsniais arba radianais. Ir iš karto matytas šio kampo trigonometrinės funkcijos. Dabar darykime atvirkščiai. Ant apskritimo nubrėžkime kosinusą, lygų 0,5 ir iš karto pamatyti injekcija. Belieka tik užrašyti atsakymą.) Taip, taip!

Nubrėžkite apskritimą ir pažymėkite kosinusą 0,5. Žinoma, kosinuso ašyje. Kaip šitas:

Dabar nubrėžkime kampą, kurį mums suteikia šis kosinusas. Perkelkite pelės žymeklį ant piešinio (arba bakstelėkite paveikslėlį planšetiniame kompiuteryje) ir pamatytišiame kampelyje NS.

Koks kampas yra kosinusas 0,5?

x = π / 3

cos 60 °= cos ( π / 3) = 0,5

Kažkas skeptiškai nusijuoks, taip... Sako, ar buvo verta sukti ratą, kai jau viskas aišku... Galima, žinoma, kikenti...) Bet faktas, kad tai klaidingas atsakymas. O tiksliau, nepakankamai. Apskritimo žinovai supranta, kad čia dar yra visa krūva kampų, kurie taip pat suteikia kosinusą, lygų 0,5.

Jei pasukate kilnojamąją OA pusę pilnas apsisukimas, taškas A grįš į pradinę padėtį. Su tuo pačiu kosinusu, lygiu 0,5. Tie. kampas pasikeis 360 ° arba 2π radianų ir kosinuso nėra. Naujasis kampas 60 ° + 360 ° = 420 ° taip pat bus mūsų lygties sprendimas, nes

Galite apsukti be galo daug tokių pilnų posūkių... Ir visi šie nauji kampai bus mūsų trigonometrinės lygties sprendimai. Ir visi jie turi būti kažkaip užrašyti atsakant. Viskas. Kitu atveju sprendimas neįskaitomas, taip...)

Matematika žino, kaip tai padaryti paprastai ir elegantiškai. Viename trumpame atsakyme parašykite begalinis rinkinys sprendimus. Štai kaip atrodo mūsų lygtis:

x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Aš iššifruosiu. Vis tiek rašyk prasmingai maloniau, nei kvailai piešti paslaptingas raides, tiesa?)

π / 3 – tai tas pats kampelis kaip ir mes pamačiau ant apskritimo ir nustatyta pagal kosinusų lentelę.

2π yra viena visiška radianų revoliucija.

n yra skaičius pilnų, t.y. visas revoliucijos. Aišku, kad n gali būti 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... ir pan. Kuris nurodytas trumpa pastaba:

n ∈ Z

n priklauso ( ∈ ) į sveikųjų skaičių aibę ( Z ). Beje, vietoj laiško n raidės gali būti naudojamos k, m, t ir tt

Šis įrašas reiškia, kad galite paimti bet kurią visumą n ... Mažiausiai -3, bent 0, mažiausiai +55. Ko tu nori. Jei įtrauksite šį skaičių į savo atsakymą, gausite konkretų kampą, kuris tikrai išspręs mūsų griežtą lygtį.)

Arba, kitaip tariant, x = π / 3 yra vienintelė begalinės aibės šaknis. Norint gauti visas kitas šaknis, pakanka pridėti bet kokį pilnų apsisukimų skaičių prie π / 3 ( n ) radianais. Tie. 2π n radianas.

Viskas? Nr. Sąmoningai ištempiu malonumą. Kad geriau prisimintume.) Gavome tik dalį atsakymų į mūsų lygtį. Šią pirmąją sprendimo dalį parašysiu taip:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne viena šaknis, tai visa eilė šaknų, parašytų trumpa forma.

Tačiau yra ir kampų, kurie taip pat suteikia 0,5 kosinusą!

Grįžkime prie mūsų paveikslėlio, kuris buvo naudojamas užrašant atsakymą. Štai ir ji:

Užveskite pelės žymeklį ant nuotraukos ir pamatyti kitas kampas, kad taip pat suteikia kosinusą 0,5. Kaip manote, kam jis lygus? Trikampiai yra vienodi... Taip! Jis lygus kampui NS , grąžinkite tik neigiama kryptimi. Tai yra kampas -NS. Bet mes jau išsiaiškinome x. π / 3 arba 60 °. Todėl galime drąsiai rašyti:

x 2 = - π / 3

Na, žinoma, pridedame visus kampus, kurie gaunami per visą apsisukimą:

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Dabar viskas.) Trigonometriniame apskritime mes pamačiau(kas supranta, žinoma)) visi kampai, suteikiantys kosinusą, lygų 0,5. Ir jie parašė šiuos kampus trumpa matematine forma. Atsakymas sukūrė dvi begales šaknų serijas:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Tai yra teisingas atsakymas.

viltis, bendrasis trigonometrinių lygčių sprendimo principas naudojant apskritimą aišku. Ant apskritimo pažymime kosinusą (sinusą, liestinę, kotangentą) iš pateiktos lygties, nubrėžiame jį atitinkančius kampus ir užrašome atsakymą.Žinoma, reikia išsiaiškinti, kokie mes užkampiai pamačiau ant rato. Kartais tai nėra taip akivaizdu. Na, taigi aš sakiau, kad čia reikalinga logika.)

Pavyzdžiui, pažvelkime į kitą trigonometrinę lygtį:

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius 0,5 nėra vienintelis galimas skaičius lygtyse!) Man tiesiog patogiau jį rašyti nei šaknis ir trupmenas.

Dirbame pagal bendrą principą. Nubrėžkite apskritimą, pažymėkite (žinoma, ant sinuso ašies!) 0,5. Iš karto nubrėžiame visus kampus, atitinkančius šį sinusą. Gaukime tokį paveikslėlį:

Pirmiausia susitvarkykite su kampu NS pirmąjį ketvirtį. Prisimename sinusų lentelę ir nustatome šio kampo vertę. Tai paprastas dalykas:

x = π / 6

Prisimename visus posūkius ir ramia sąžine užrašome pirmąją atsakymų seriją:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Pusiau padaryta. Bet dabar turime apibrėžti antras kampas... Tai gudriau nei kosinusuose, taip... Bet logika mus išgelbės! Kaip nustatyti antrąjį kampą per x? Taip Lengva! Trikampiai paveikslėlyje yra vienodi, o raudonas kampas NS lygus kampui NS ... Tik jis matuojamas nuo kampo π neigiama kryptimi. Todėl jis raudonas.) O atsakymui reikia kampo, teisingai išmatuoto, nuo teigiamos OX pusašio, t.y. nuo 0 laipsnių kampo.

Užveskite žymeklį ant nuotraukos ir pamatysite viską. Pirmą kampą nuėmiau, kad neapsunkinčiau nuotraukos. Mus dominantis kampas (nupieštas žaliai) bus lygus:

π - x

X mes tai žinome π / 6 ... Todėl antrasis kampas bus:

π – π / 6 = 5π / 6

Dar kartą primename pilnų apsisukimų pridėjimą ir užrašome antrąją atsakymų seriją:

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Tai viskas. Visą atsakymą sudaro dvi šaknų serijos:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Lygtys su liestine ir kotangentu gali būti lengvai išspręstos naudojant tą patį bendrąjį trigonometrinių lygčių sprendimo principą. Jei, žinoma, žinote, kaip trigonometriniame apskritime nubrėžti liestinę ir kotangentą.

Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose naudojau lentelės sinuso ir kosinuso reikšmę: 0,5. Tie. viena iš tų reikšmių, kurias mokinys žino privalo. Dabar išplėskime savo galimybes iki visos kitos vertybės. Nuspręsk, todėl nuspręsk!)

Taigi, tarkime, kad turime išspręsti šią trigonometrinę lygtį:

Tokios kosinuso reikšmės trumpose lentelėse nėra. Mes šaltakraujiškai ignoruojame šį baisų faktą. Nubrėžkite apskritimą, kosinuso ašyje pažymėkite 2/3 ir nubrėžkite atitinkamus kampus. Gauname būtent tokį vaizdą.

Išsiaiškinkime tai pirmame ketvirtyje su kampu. Jei būčiau žinojęs, kas yra X, jie iš karto būtų parašę atsakymą! Mes nežinome... Nesėkmė!? Ramus! Matematika neapleidžia savųjų bėdoje! Šiai bylai ji sugalvojo arckosines. Nežinau? Veltui. Sužinokite, tai daug lengviau, nei manote. Po šia nuoroda nėra nei vieno gudraus užkeikimo apie „atvirkštines trigonometrines funkcijas“... Tai šioje temoje nereikalinga.

Jei žinai, pakanka pasakyti sau: „X yra kampas, kurio kosinusas yra 2/3“. Ir iš karto, grynai pagal arckosino apibrėžimą, galite parašyti:

Prisimename papildomus posūkius ir ramiai užrašome pirmąją mūsų trigonometrinės lygties šaknų seriją:

x 1 = lankas 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Antroji šaknų serija taip pat beveik automatiškai įrašoma antrajam kampui. Viskas tas pats, tik x (arccos 2/3) bus su minusu:

x 2 = - lankas 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ir viskas! Tai yra teisingas atsakymas. Net lengviau nei naudojant lentelės reikšmes. Nereikia nieko atsiminti.) Beje, dėmesingiausi pastebės, kad šis paveikslėlis su sprendimu per atvirkštinį kosinusą iš esmės nesiskiria nuo paveikslėlio, kai lygtis cosx = 0,5.

tiksliai! Bendrasis principas už tai ir bendras! Specialiai nupiešiau du beveik vienodus paveikslus. Apskritimas rodo mums kampą NS pagal jo kosinusą. Lentelė yra kosinusas, ar ne - apskritimas nežino. Koks yra šis kampas, π / 3, arba koks atvirkštinis kosinusas - tai priklauso nuo mūsų.

Su sine ta pati daina. Pavyzdžiui:

Dar kartą nubrėžkite apskritimą, pažymėkite sinusą, lygų 1/3, nubrėžkite kampus. Nuotrauka atrodo taip:

Ir vėl vaizdas beveik toks pat kaip ir lygties sinx = 0,5. Vėlgi, pirmajame ketvirtyje pradėkite nuo kampo. Kas yra x, jei jo sinusas yra 1/3? Jokiu problemu!

Taigi pirmoji šaknų pakuotė yra paruošta:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Mes susidorojame su antruoju kampu. Pavyzdyje, kurio lentelės reikšmė yra 0,5, buvo:

π - x

Taigi čia bus lygiai taip pat! Skiriasi tik x, arcsin 1/3. Tai kas!? Galite saugiai užsirašyti antrąją šaknų pakuotę:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Tai visiškai teisingas atsakymas. Nors atrodo nelabai pažįstama. Bet tai suprantama, tikiuosi.)

Taip trigonometrinės lygtys sprendžiamos naudojant apskritimą. Šis kelias yra aiškus ir suprantamas. Būtent jis taupo trigonometrinėse lygtyse, pasirinkdamas šaknis tam tikru intervalu, trigonometrinėse nelygybėse - jos paprastai beveik visada sprendžiamos apskritime. Trumpai tariant, atliekant bet kokias užduotis, kurios yra šiek tiek sunkesnės nei standartinės.

Pritaikykime savo žinias praktikoje?)

Išspręskite trigonometrines lygtis:

Iš pradžių viskas paprasčiau, nuo šios pamokos.

Dabar sunkiau.

Užuomina: čia turite apmąstyti ratą. Asmeniškai.)

O dabar jie išoriškai nepretenzingi... Jie dar vadinami ypatingais atvejais.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Užuomina: čia reikia išsiaiškinti, kur yra dvi atsakymų serijos, o kur viena... Ir kaip vietoj dviejų atsakymų serijų parašykite vieną. Taip, kad nebūtų prarasta nė viena begalinio skaičiaus šaknis!)

Na, labai paprasti):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Užuomina: čia reikia žinoti, kas yra arcsinusas, arkosinas? Kas yra lanko tangentas, lanko kotangentas? Labiausiai paprasti apibrėžimai... Bet jums nereikia atsiminti jokių lentelės verčių!)

Atsakymai, žinoma, yra netvarka):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ne viskas pavyksta? Taip atsitinka. Dar kartą perskaitykite pamoką. Tik apgalvotai(yra toks pasenęs žodis...) Ir sekite nuorodas. Pagrindinės nuorodos yra apie ratą. Be jo, trigonometrijoje, tai tarsi kirsti kelią užrištomis akimis. Kartais tai veikia.)

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Momentinis patvirtinimo testas. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Daugelis matematikos uždaviniai, ypač tie, kurie įvyksta iki 10 klasės, aiškiai apibrėžta atliekamų veiksmų, kurie leis pasiekti tikslą, tvarka. Šios problemos apima, pavyzdžiui, tiesines ir kvadratines lygtis, tiesines ir kvadratines nelygybes, trupmenines lygtis ir lygtis, redukuojančias į kvadratines. Kiekvienos iš paminėtų problemų sėkmingo sprendimo principas yra toks: reikia nustatyti, kokio tipo problemą reikia spręsti, prisiminti reikiamą veiksmų seką, kuri leis pasiekti norimą rezultatą, t.y. atsakykite ir atlikite šiuos veiksmus.

Akivaizdu, kad sėkmė ar nesėkmė sprendžiant konkrečią problemą daugiausia priklauso nuo to, kaip teisingai nustatytas sprendžiamos lygties tipas, kaip teisingai atkurta visų jos sprendimo etapų seka. Žinoma, būtina turėti įgūdžių atlikti identiškas transformacijas ir skaičiavimus.

Situacija kitokia su trigonometrines lygtis. Nustatyti faktą, kad lygtis yra trigonometrinė, visai nesunku. Iškyla sunkumų nustatant veiksmų seką, kuri leistų gauti teisingą atsakymą.

Kartais gali būti sunku nustatyti lygties tipą. O nežinant lygties tipo iš kelių dešimčių trigonometrinių formulių išsirinkti norimą beveik neįmanoma.

Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, turėtumėte pabandyti:

1. visas į lygtį įtrauktas funkcijas suvesti į „lygius kampus“;
2. suvesti lygtį į „tas pačias funkcijas“;
3. koeficientas kairėje lygties pusėje ir kt.

Apsvarstykite pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo metodai.

I. Redukcija į paprasčiausias trigonometrines lygtis

Sprendimo schema

1 žingsnis. Express trigonometrinė funkcija per žinomus komponentus.

2 žingsnis. Raskite funkcijos argumentą pagal formules:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

3 veiksmas. Raskite nežinomą kintamąjį.

Pavyzdys.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

Sprendimas.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Atsakymas: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Kintamasis pakeitimas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Išveskite lygtį į algebrinę formą vienos iš trigonometrinių funkcijų atžvilgiu.

2 žingsnis. Gautą funkciją pažymėkite kintamuoju t (jei reikia, įveskite t apribojimus).

3 veiksmas. Užrašykite ir išspręskite gautą algebrinę lygtį.

4 veiksmas. Atlikite atvirkštinį pakeitimą.

5 veiksmas. Išspręskite paprasčiausią trigonometrinę lygtį.

Pavyzdys.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

Sprendimas.

1) 2 (1 – nuodėmės 2 (x / 2)) – 5 nuodėmės (x / 2) – 5 = 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) Tegul sin (x / 2) = t, kur | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 arba e = -3/2, netenkina sąlygos | t | ≤ 1.

4) nuodėmė (x / 2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Atsakymas: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Lygčių eilės mažinimo metodas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Pakeiskite pateiktą lygtį tiesine, naudodami laipsnio mažinimo formules:

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2 žingsnis. Išspręskite gautą lygtį naudodami I ir II metodus.

Pavyzdys.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Sprendimas.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

Atsakymas: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeninės lygtys

Sprendimo schema

1 žingsnis. Pateikite šią lygtį į formą

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeninė pirmojo laipsnio lygtis)

arba į protą

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

2 žingsnis. Padalinkite abi lygties puses iš

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ir gaukite tg x lygtį:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.

3 veiksmas. Išspręskite lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Sprendimas.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Tada tegul tg x = t

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 arba t = -4, taigi

tg x = 1 arba tg x = -4.

Iš pirmosios lygties x = π / 4 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Atsakymas: x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Lygties transformavimo naudojant trigonometrines formules metodas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Naudojant visas rūšis trigonometrines formules, perkelkite šią lygtį į lygtį, išspręstą I, II, III, IV metodais.

2 žingsnis. Išspręskite gautą lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Sprendimas.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 arba 2cos x + 1 = 0;

Iš pirmosios lygties 2x = π / 2 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties cos x = -1/2.

Turime x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; iš antrosios lygties x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Dėl to x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Atsakymas: x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Gebėjimas spręsti trigonometrines lygtis yra labai svarbu, jų kūrimas reikalauja didelių pastangų tiek iš mokinio, tiek iš dėstytojo pusės.

Su trigonometrinių lygčių sprendimu siejama daug stereometrijos, fizikos ir kt. uždavinių.. Tokių uždavinių sprendimo procese tarsi yra daug žinių ir įgūdžių, kurie įgyjami studijuojant trigonometrijos elementus.

Trigonometrinės lygtys užima svarbią vietą matematikos mokymo ir apskritai asmenybės ugdymo procese.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti trigonometrines lygtis?
Norėdami gauti dėstytojo pagalbą – užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.