Sveikųjų skaičių išraiškų konvertavimas. Pamoka „Algebrinės trupmenos, racionalios ir trupmeninės išraiškos

„Polinomo pamoka“ - Ir patikrinkite: 2. Atlikite daugianario daugybą: 4. Atlikite daugianario A (x) padalijimą iš B (x). 3. Padalinkite daugianario faktorių. 1. Atlikite daugianario sudėjimą ir atimtį: P(x)=-2x3 + x2 -x-12 ir Q(x)= x3 -3x2 -4x+1. Veiksmai su daugianariais. 15 pamoka

„Sveiko skaičiaus išraiškos pavertimas daugianariu“ – ugdykite mokinių skaičiavimo įgūdžius. Pristatykite visos išraiškos sąvoką. Sveikųjų skaičių išraiškų konvertavimas. Polinomai ir ypač monomai yra sveikųjų skaičių išraiškos. Pratinkite mokinius tarti panašius terminus. Sveikųjų skaičių išraiškų pavyzdžiai: 10y?+(3x+y)(x?-10y?), 2b(b?-10c?)-(b?+2c?), 3a?-(a(a+2c) ) /5+2,5ac.

"Polinomo daugyba" - -x6+3x7-2x4+5x2 3 -1 0 -2 0 5 0 0 7 -8 3 5 -6 7x4-8x3+3x2+5x-6. Pristatymas. Polinomo padėties skaičius. Polinomų daugyba naudojant padėties skaičių. Ryabovas Pavelas Jurjevičius. Vadovas: Kaleturina A.S.

„Standartinės formos daugianomas“ – standartinė daugianario forma. Pavyzdžiai. 3x4 + 2x3 - x2 + 5. Daugiavardžių sudėjimas. Pasiruošimas s/r Nr.6. Žodynas. 2 skyriaus 1b punktas. Polinomams su viena raide pagrindinis terminas apibrėžiamas vienareikšmiškai. Išbandyk save. 6x4 - x3y + x2y2 + 2y4.

„Polinomai“ – mononomas laikomas daugianario, susidedančiu iš vieno nario. Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų. Algebra. Polinomai. Dauginamą a+b padauginkite iš daugianario c+d. Vienanario ir daugianaro sandauga Vienanario daugyba iš daugianaro. Panašūs terminai yra nariai 2 ir -7, kurie neturi raidinės dalies. Polinomo 4xz-5xy+3x-1 sąlygos yra 4xz, -5xy, 3x ir -1.

„Pamokų faktoringas“ – FSU taikymas. Sutrumpintos daugybos formulės. Pamokos tema: Atsakymai: var 1: b, d, b, d, c; 2 variantas: a, d, c, b, a; 3 variantas: c, c, c, a, b; 4 variantas: d, d, c, b, d. Taigi kaip? Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų. 3. Užbaikite faktorizavimą: Grupinis darbas: Bendrąjį koeficientą išrašykite skliausteliuose. 1. Užbaikite faktorizavimą: a).

« Algebrinės trupmenos, racionalios ir trupmeninės išraiškos.»

Pamokos tikslai:

Edukacinis: algebrinės trupmenos sampratos supažindinimas, racionalios ir trupmeninės išraiškos, priimtinų reikšmių diapazonas,

Tobulinimas: įgūdžių formavimas kritinis mąstymas, savarankiška informacijos paieška, tyrimo įgūdžiai.

Ugdomasis: sąmoningo požiūrio į darbą ugdymas, bendravimo įgūdžių formavimas, savigarbos formavimas.

Per užsiėmimus

1. Laiko organizavimas:

Sveikinimai. Pamokos temos paskelbimas.

2. Pamokos motyvacija.

Vokiečiai turi tokį posakį „Patekti į kadrą“, reiškiantį patekti į aklavietę, sunkią situaciją. Tai paaiškinama ilgam laikui Veiksmai su trupmeniniais skaičiais, kurie kartais buvo vadinami „nutrūkusiomis linijomis“, teisėtai buvo laikomi labai sunkiais.

Tačiau dabar įprasta atsižvelgti ne tik į skaitines, bet ir į algebrines trupmenas, ką darysime šiandien.

Sėkmė nėra tikslas. Šis judėjimas

T. Greičiau.

3. Bazinių žinių aktualizavimas.

priekinė apklausa.

Kas yra sveikųjų skaičių išraiškos? Iš ko jie pagaminti? Sveikojo skaičiaus išraiška turi prasmę bet kurioms jos kintamųjų reikšmėms.

Pateikite pavyzdžių.

Kas yra trupmena?

Ką reiškia sumažinti dalį?

Ką reiškia faktorizuoti?

Kokius skilimo būdus žinote?

Koks yra sumos (skirtumo) kvadratas?

Kuo skiriasi kvadratai?

4. Naujos medžiagos mokymasis.

8 klasėje susipažinsime su trupmeninėmis išraiškomis.

Jie skiriasi nuo sveikųjų skaičių tuo, kad juose yra dalybos veiksmas iš išraiškos su kintamuoju.

Jei algebrinė išraiška sudaryta iš skaičių ir kintamųjų, naudojant sudėties, atimties, daugybos, eksponencijos su natūraliuoju rodikliu ir dalybos operacijas bei naudojant padalijimą į išraiškas su kintamaisiais, tada ji vadinama trupmenine išraiška.

Trupmeninės išraiškos neturi prasmės toms kintamųjų reikšmėms, kurios vardiklį paverčia nuliu.

Algebrinės išraiškos leistinų verčių (ODV) sritis yra visų leistinų į šią išraišką įtrauktų raidžių verčių rinkinių rinkinys.

Sveikųjų skaičių ir trupmeninės išraiškos vadinamos racionaliosiomis išraiškomis

atskira racionalios išraiškos rūšis yra racionalioji trupmena. Tai trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai.

Kurios išraiškos yra sveikieji skaičiai, o kurios trupmeninės? (arba #1)

5. Fizinė minutė

6. Naujos medžiagos konsolidavimas.

Išspręskite #2, 3(1), 5(1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11), 7(1).

7. Savarankiškas darbas mokiniai (grupėse).

Išspręskite #3(2), 5(2, 5, 8, 12), 7(2).

8. Atspindys.

Ar pamokos medžiaga jums buvo sunki?

Kuriame pamokos etape buvo sunkiausia, lengviausia?

Ką naujo išmokote pamokoje? Ką tu išmokai?

Ar sunkiai dirbote klasėje?

Kaip emociškai jautėtės per pamoką?

D / z: išmokite 1 punktą, klausimai p.7, spręskite Nr. 4, 6, 8.

Sincwine.

Kiekviena grupė sukuria sinchronizavimą žodžiui „frakcija“.

Jei žinote trupmenas

Norėdami suprasti tikslią jų reikšmę

Net sunkios užduotys tampa lengvos.

Algebros kurso dėka žinoma, kad patogesniam sprendimui visos išraiškos reikalauja transformacijos. Apibrėžus sveikųjų skaičių išraiškas lengviau pradėti identiškos transformacijos. Išraišką transformuosime į daugianarį. Apibendrinant, pažvelkime į keletą pavyzdžių.

Sveikųjų skaičių išraiškų apibrėžimas ir pavyzdžiai

1 apibrėžimas

Sveikųjų skaičių išraiškos yra skaičiai, kintamieji arba reiškiniai su pridėjimu arba atėmimu, kurie rašomi kaip laipsnis su natūraliuoju rodikliu, kurie taip pat turi skliaustus arba dalybas, kurios skiriasi nuo nulio.

Remdamiesi apibrėžimu, turime sveikųjų skaičių išraiškų pavyzdžius: 7 , 0 , − 12 , 7 11 , 2 , 73 , - 3 5 6 ir pan. tipo kintamieji a , b , p , q , x , z skaičiuojami kaip sveikųjų skaičių išraiškos. Po jų transformacijos sumoms, skirtumams, sandaugoms, išraiškos įgaus formą

x + 1 , 5 y 3 2 3 7 - 2 y - 3 , 3 - x y z 4 , - 6 7 , 5 (2 x + 3 y 2) 2 - - ( 1 - x) (1 + x) (1 + x 2)

Jei reiškinyje yra padalijimas iš kito skaičiaus nei nulis formos x: 5 + 8: 2: 4 arba (x + y) : 6 , tada padalijimas gali būti pažymėtas pasviruoju brūkšniu, kaip x + 3 5 - 3 , 2 x + 2 . Nagrinėjant formos x: 5 + 5: x arba 4 + a 2 + 2 a - 6 a + b + 2 c išraiškas, aišku, kad tokios išraiškos negali būti sveikieji skaičiai, nes pirmajame yra dalijimas iš kintamąjį x, o antroje – išraišką su kintamuoju.

Polinomas ir monomialas yra sveikųjų skaičių išraiškos, kurias sutinkame mokykloje dirbdami racionalūs numeriai. Kitaip tariant, sveikųjų skaičių išraiškos neapima neracionalių trupmenų. Kitas pavadinimas yra ištisos neracionalios išraiškos.

Kokios galimos sveikųjų skaičių išraiškų transformacijos?

Sveikųjų skaičių išraiškos sprendžiamos kaip pagrindinės identiškos transformacijos, skliaustų atidarymas, grupavimas, panašių mažinimas.

1 pavyzdys

Atidarykite skliaustus ir panašius terminus įtraukite į 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .

Sprendimas

Pirmiausia turite taikyti skliaustų atidarymo taisyklę. Gauname formos išraišką 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = = 2 a 3 + 2 3 a b + 2 (− 2 a) − 2 a 3 − 5 ab + 6 a − b = = 2 a 3 + 6 ab − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b

Tada galime pridėti panašius terminus:

2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = (2 a 3 − 2 a 3) + (6 a b − 5 ab) + (− 4 a + 6 a) − b = = 0 + ab + 2 a − b = ab + 2 a − b .

Juos sumažinę gauname a · b + 2 · a − b formos daugianarį.

Atsakymas: 2 (a 3 + 3 a b - 2 a) - 2 a 3 - (5 a b - 6 a + b) = a b + 2 a - b.

2 pavyzdys

Atlikite transformacijas (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Sprendimas

Esamas padalijimas gali būti pakeistas daugyba, bet iš abipusis skaičius. Tada reikia atlikti transformacijas, po kurių išraiška įgaus formą (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Dabar turėtume spręsti panašių terminų mažinimą. Mes tai suprantame

(x - 1) 3 2 + 2 (x 2 + 1) 1 3 1 7 = 3 2 (x - 1) + 2 21 x 2 + 1 = = 3 2 x - 3 2 + 2 21 x 2 + 2 21 = 2 21 x 2 + 3 2 x - 59 42 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42

Atsakymas: (x - 1) : 2 3 + 2 (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42 .

3 pavyzdys

Išreikškite išraišką 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) kaip sandaugą.

Sprendimas

Išnagrinėjus išraišką, aišku, kad pirmieji trys nariai turi bendrą 6 · y formos koeficientą, kurį transformuojant reikia ištraukti iš skliaustų. Tada mes tai gauname 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = 6 y (x 2 + 3 x − 1) - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x)

Matyti, kad gavome dviejų 6 y (x 2 + 3 x - 1) ir (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x) formos išraiškų skirtumą su bendru koeficientu x 2 + 3 x − 1 , kurį reikia išimti iš skliaustų. Mes tai suprantame

6 m. (x 2 + 3 x - 1) - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x - 1) (6 m. - (x 3 + 4 x) )

Atidarę skliaustus, turime formos (x 2 + 3 x - 1) (6 y - x 3 - 4 x) išraišką, kurią reikėjo rasti pagal sąlygą.

Atsakymas:6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) ( 6 y − x 3 − 4 x)

Identiškos transformacijos reikalauja griežtai įgyvendinti operacijų tvarką.

4 pavyzdys

Konvertuoti išraišką (3 2 – 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8.

Sprendimas

Pirmiausia atlikite veiksmus skliausteliuose. Tada mes tai turime 3 2 - 6 2: 9 = 3 2 - 3 6: 9 = 6 - 4 = 2. Po transformacijų išraiška tampa 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . Yra žinoma, kad 2 3 = 8 ir (x 2) 4 = x 2 4 = x 8, tada galite gauti tokią išraišką kaip 8 x 8 + 4 x: 8 . Antrasis terminas reikalauja dalybą pakeisti daugyba iš 4x:8. Grupuodami veiksnius gauname tai

8 x 8 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 4 x 1 8 = 8 x 8 + 4 1 8 x = 8 x 8 + 1 2 x

Atsakymas:(3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 1 2 x .

Polinominis konvertavimas

Dauguma sveikųjų skaičių reiškinių konvertavimo yra daugianario atvaizdavimas. Bet kuri išraiška gali būti pavaizduota kaip polinomas.Bet kokia išraiška gali būti laikoma polinomu, sujungtu aritmetiniais ženklais. Bet kuri operacija su polinomais lemia daugianarį.

Tam, kad išraiška būtų pavaizduota kaip daugianario, reikia atlikti visus veiksmus su daugianariais, pagal algoritmą.

5 pavyzdys

Išreikškite kaip daugianario 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .

Sprendimas

Šioje išraiškoje transformacijas pradėkite 4 x − x (15 x + 1) formos išraiška, o pagal taisyklę pradžioje atlikite daugybą arba padalijimą, o po to sudėti arba atimti. Padauginkite - x iš 15 x + 1, tada gausime 4 x - x (15 x + 1) = 4 x - 15 x 2 - x = (4 x - x) - 15 x 2 = 3 x - 15 x 2. Pateikta išraiška bus 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (3 x - 15 x 2) .

Tada reikia pakelti daugianarį iki 2 laipsnio 2x-1, gauname formos išraišką (2 x - 1) 2 = (2 x - 1) (2 x - 1) = 4 x 2 + 2 x (- 1) - 1 2 x - 1 (- 1 ) = = 4 x 2 - 4 x + 1

Dabar galime eiti į vaizdą 2 (2 x 3 - 1) + (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) + (3 x - 15 x 2).

Pažiūrėkime į daugybą. Matyti, kad 2 (2 x 3 - 1) = 4 x 3 - 2 ir (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) = 12 x 2 - 4 x 3 - 12 x + 4 x 2 + 3 - x = = 16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3

tada galite pereiti prie formos išraiškos (4 x 3 – 2) + (16 x 2 – 4 x 3 – 13 x + 3) + (3 x – 15 x 2).

Atliekame papildymą, po kurio gauname išraišką:

(4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2) = = 4 x 3 - 2 + 16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3 + 3 x - 15 x 2 = = (4 x 3 - 4 x 3) + (16 x 2 - 15 x 2) + (− 13 x + 3 x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 - 10 x + 1 = x 2 - 10 x + 1 .

Iš to išplaukia, kad pirminė išraiška turi formą x 2 – 10 x + 1.

Atsakymas: 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (4 x - x (15 x + 1)) = x 2 - 10 x + 1.

Polinomo daugyba ir eksponencija rodo, kad norint pagreitinti konvertavimo procesą, būtina naudoti sutrumpintas daugybos formules. Tai prisideda prie to, kad veiksmai bus atliekami racionaliai ir teisingai.

6 pavyzdys

Konvertuoti 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .

Sprendimas

Iš kvadratinės formulės gauname tai (2 m + n) 2 = (2 m) 2 + 2 (2 m) n + n 2 = 4 m 2 + 4 m n + n 2, tada sandauga (m − 2 n) (m + 2 n) lygi kvadratų m ir 2 n skirtumui, taigi lygi m 2 − 4 n 2. Gauname, kad pirminė išraiška įgauna formą 4 (2 m + n) 2 + (m - 2 n) (m + 2 n) = 4 (4 m 2 + 4 m n + n 2) + (m 2 - 4 n 2) = = 16 m 2 + 16 mn + 4 n 2 + m 2 − 4 n 2 = 17 m 2 + 16 min.

Atsakymas: 4 (2 m + n) 2 + (m - 2 n) (m + 2 n) = 17 m 2 + 16 m n.

Kad transformacija nebūtų per ilga, reikia pateiktą išraišką perkelti į standartinę formą.

7 pavyzdys

Supaprastinkite išraišką (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + (5 a b (− 3) b 2)

Sprendimas

Dažniausiai daugianariai ir vienanaliai nenurodomi standartinis vaizdas, todėl jūs turite atlikti transformacijas. Reikėtų konvertuoti, kad būtų gauta formos išraiška − 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3. Norint gauti panašius, pirmiausia reikia atlikti daugybą pagal sudėtingos išraiškos transformavimo taisykles. Gauname tokią išraišką kaip

− 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + (2) a 3 b + ab) (6 a + 15 b 2) − 15 ab 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + 12 a 4 b + 30 a 3 b 3 + 6 a 2 b + 15 ab 3 − 15 ab 3 = = (− 12 a 4 b + 12 a 4 b) + (− 30 a 3 b 3 + 30 a 3 b 3) + 6 a 2 b + (15 a b 3 − 15 ab 3) = 6 a 2 b

Atsakymas: (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + + (5 ab (− 3) b 2) = 6 a 2 b

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Sveikojo skaičiaus išraiška yra matematinė išraiška, sudaryta iš skaičių ir pažodinių kintamųjų, naudojant sudėties, atimties ir daugybos operacijas. Sveikieji skaičiai taip pat apima išraiškas, apimančias padalijimą iš kito skaičiaus nei nulis.

Sveikųjų skaičių išraiškų pavyzdžiai

Žemiau pateikiami keli sveikųjų skaičių išraiškų pavyzdžiai:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

2.7*b

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Trupmeninės išraiškos

Jei išraiška yra padalinta iš kintamojo arba kitos išraiškos, kurioje yra kintamasis, tada tokia išraiška nėra sveikasis skaičius. Tokia išraiška vadinama trupmenine išraiška. Duokim pilnas apibrėžimas trupmeninė išraiška.

Trupmeninė išraiška yra matematinė išraiška, kuri, be sudėjimo, atimties ir daugybos operacijų, atliekamų su skaičiais ir pažodiniais kintamaisiais, taip pat dalybos iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, apima ir padalijimą į išraiškas su pažodiniais kintamaisiais.

Trupmeninių išraiškų pavyzdžiai:

1. (12*a^3 +4)/a

2,7/(x+3)

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Trupmenų ir sveikųjų skaičių išraiškos sudaro dvi dideles aibes matematines išraiškas. Jei šias aibes sujungiame, gauname naują aibę, kuri vadinama racionaliosiomis išraiškomis. Tai reiškia, kad racionalios išraiškos yra sveikosios ir trupmeninės išraiškos.

Žinome, kad sveikųjų skaičių išraiškos turi prasmę bet kurioms į jį įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Tai išplaukia iš to, kad norint rasti sveikojo skaičiaus išraiškos reikšmę, reikia atlikti veiksmus, kurie visada įmanomi: sudėti, atimti, dauginti, padalyti iš kito skaičiaus nei nulis.

Trupmeninės išraiškos, skirtingai nei sveikieji skaičiai, gali neturėti prasmės. Kadangi yra dalybos operacija iš kintamųjų arba išraiška, kurioje yra kintamųjų, ir ši išraiška gali virsti nuliu, tačiau dalyti iš nulio neįmanoma. Kintamųjų reikšmės, kurių trupmeninė išraiška bus prasminga, vadinamos galiojančiomis kintamųjų reikšmėmis.

racionalioji trupmena

Vienas iš ypatingų racionaliųjų reiškinių atvejų bus trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Tokiai trupmenai matematikoje taip pat yra pavadinimas - racionalioji trupmena.

Racionali trupmena bus prasminga, jei jos vardiklis nėra lygus nuliui. Tai reiškia, kad galios visos kintamųjų, kurių trupmenos vardiklis skiriasi nuo nulio, reikšmės.

Sveikųjų skaičių išraiškų pavyzdžiai

Žemiau pateikiami keli sveikųjų skaičių išraiškų pavyzdžiai:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Trupmeninės išraiškos

Jei išraiška yra padalinta iš kintamojo arba kitos išraiškos, kurioje yra kintamasis, tada tokia išraiška nėra sveikasis skaičius. Tokia išraiška vadinama trupmenine išraiška. Pateiksime išsamų trupmeninės išraiškos apibrėžimą.

Trupmeninių išraiškų pavyzdžiai:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Trupmenų ir sveikųjų skaičių išraiškos sudaro du didelius matematinių išraiškų rinkinius. Jei šias aibes sujungiame, gauname naują aibę, kuri vadinama racionaliosiomis išraiškomis. Tai reiškia, kad racionalios išraiškos yra sveikosios ir trupmeninės išraiškos.

racionalioji trupmena

Vienas iš ypatingų racionaliųjų reiškinių atvejų bus trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Tokiai trupmenai matematikoje taip pat yra pavadinimas - racionalioji trupmena.

Racionali trupmena bus prasminga, jei jos vardiklis nėra lygus nuliui. Tai reiškia, kad galios visos kintamųjų, kurių trupmenos vardiklis skiriasi nuo nulio, reikšmės.