پیشرفت های حسابی و هندسی

اطلاعات نظری

اطلاعات نظری

	پیشرفت حسابی	پیشرفت هندسی
تعریف	پیشرفت حسابی یک nدنباله ای نامیده می شود که هر جمله آن با شروع از دومی برابر است با جمله قبلی که با همان عدد اضافه می شود. د (د- تفاوت پیشرفت ها)	پیشرفت هندسی b nدنباله ای از اعداد غیرصفر است که هر جمله آن با شروع از دومی برابر است با جمله قبلی ضرب در همان عدد q (qمخرج پیشرفت است)
فرمول مکرر	برای هر طبیعی n a n + 1 = a n + d	برای هر طبیعی n b n + 1 = b n ∙ q، b n ≠ 0
فرمول ترم نهم	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1، b n ≠ 0
خاصیت مشخصه
مجموع n عضو اول

نمونه هایی از وظایف با نظرات

تمرین 1

در پیشرفت حسابی ( یک n) یک 1 = -6, یک 2

طبق فرمول ترم n:

یک 22 = یک 1+ d (22 - 1) = یک 1+ 21 روز

با شرط:

یک 1= -6، بنابراین یک 22= -6 + 21 روز.

لازم است تفاوت بین پیشرفت ها را پیدا کنید:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

یک 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

پاسخ : یک 22 = -48.

تکلیف 2

جمله پنجم یک تصاعد هندسی را پیدا کنید: -3; 6 ؛ ....

راه اول (با استفاده از فرمول n ترم)

با توجه به فرمول عضو n یک پیشرفت هندسی:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

زیرا ب 1 = -3,

راه دوم (با استفاده از فرمول مکرر)

از آنجایی که مخرج پیشرفت 2- است (q = -2)، پس:

ب 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ب 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ب 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

پاسخ : ب 5 = -48.

تکلیف 3

در پیشرفت حسابی ( a n) a 74 = 34; یک 76= 156. جمله هفتاد و پنجم این پیشروی را بیابید.

برای یک پیشرفت حسابی، ویژگی مشخصه است .

از این رو:

.

بیایید داده ها را با فرمول جایگزین کنیم:

جواب: 95.

تکلیف 4

در پیشرفت حسابی ( a n) a n= 3n - 4. مجموع هفده جمله اول را بیابید.

برای یافتن مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی، از دو فرمول استفاده می شود:

.

استفاده از کدام یک از آنها در این مورد راحت تر است؟

با شرط، فرمول nامین ترم پیشرفت اصلی مشخص است ( یک n) یک n= 3n - 4. بلافاصله می توانید و را پیدا کنید یک 1، و یک 16بدون یافتن د. بنابراین از فرمول اول استفاده خواهیم کرد.

جواب: 368.

تکلیف 5

در پیشرفت حسابی ( یک n) یک 1 = -6; یک 2= -8. عبارت بیست و دوم را در پیشروی پیدا کنید.

طبق فرمول ترم n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = یک 1+ 21 روز

با شرط، اگر یک 1= -6، پس یک 22= -6 + 21 روز. لازم است تفاوت بین پیشرفت ها را پیدا کنید:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

یک 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

پاسخ : یک 22 = -48.

تکلیف 6

چندین عضو متوالی از یک تصاعد هندسی نوشته شده است:

عبارت را در پیشروی که با حرف x نشان داده شده است پیدا کنید.

هنگام حل، از فرمول ترم n استفاده می کنیم b n = b 1 ∙ q n - 1برای پیشرفت های هندسی اولین عضو پیشرفت. برای پیدا کردن مخرج پیشروی q، باید هر یک از اعضای پیشروی داده شده را بگیرید و بر قبلی تقسیم کنید. در مثال ما، شما می توانید برش بگیرید و تقسیم کنید. به‌جای n در فرمول، 3 را جایگزین می‌کنیم، زیرا لازم است جمله سومی را که با یک پیشروی هندسی داده می‌شود، پیدا کنیم.

با جایگزینی مقادیر یافت شده در فرمول، دریافت می کنیم:

.

پاسخ : .

تکلیف 7

از پیشروی های محاسباتی که با فرمول جمله n ارائه می شود، موردی را که برای آن شرط است انتخاب کنید یک 27 > 9:

از آنجایی که شرط داده شده باید برای بیست و هفتمین ترم پیشرفت انجام شود، در هر چهار مرحله به جای n، 27 را جایگزین می کنیم. در مرحله چهارم، ما دریافت می کنیم:

.

جواب: 4.

تکلیف 8

در پیشرفت حسابی یک 1= 3، d = -1.5. بزرگترین مقدار n را که نابرابری را برآورده می کند، مشخص کنید یک n > -6.

I. V. Yakovlev | مواد ریاضی | MathUs.ru

پیشرفت حسابی

پیشروی حسابی نوع خاصی از دنباله است. بنابراین، قبل از تعریف یک پیشروی حسابی (و سپس هندسی)، لازم است به طور خلاصه مفهوم مهم دنباله اعداد را مورد بحث قرار دهیم.

دنباله

دستگاهی را تصور کنید که بر روی صفحه نمایش آن تعدادی اعداد یکی پس از دیگری نمایش داده می شود. فرض کنید 2; 7; 13; 1 6 0; 3; ::: این مجموعه اعداد فقط نمونه ای از یک دنباله است.

تعریف. دنباله عددی مجموعه ای از اعداد است که در آن به هر عدد می توان یک عدد منحصر به فرد اختصاص داد (یعنی یک عدد طبیعی منفرد را مرتبط کرد). عدد n را n-امین عضو دنباله می نامند.

بنابراین، در مثال بالا، عدد اول دارای عدد 2 است، این اولین عضو دنباله است که می توان آن را a1 نشان داد. عدد پنج دارای عدد 6 است. به طور کلی، عبارت n در دنباله با (یا bn، cn و غیره) نشان داده می شود.

زمانی که عبارت n-امین دنباله را بتوان با فرمولی مشخص کرد، وضعیت بسیار مناسب است. به عنوان مثال، فرمول an = 2n 3 دنباله را تعریف می کند: 1; 1 3; 5 7; ::: فرمول an = (1) n دنباله ای را تعریف می کند: 1; 1 1 1 :::

هر مجموعه ای از اعداد یک دنباله نیستند. بنابراین، یک قطعه یک دنباله نیست. این شامل اعداد "بیش از حد" برای شماره گذاری مجدد است. مجموعه R تمام اعداد حقیقی نیز دنباله ای نیست. این حقایق در دوره تجزیه و تحلیل ریاضی ثابت می شود.

پیشروی حسابی: تعاریف اساسی

اکنون ما آماده تعریف یک پیشرفت حسابی هستیم.

تعریف. پیشروی حسابی دنباله‌ای است که هر جمله آن (از دومی شروع می‌شود) برابر است با مجموع جمله قبلی و مقداری ثابت (به نام اختلاف پیشروی حسابی).

به عنوان مثال، دنباله 2; 5 هشت یازده ::: یک تصاعد حسابی با جمله اول 2 و اختلاف 3 است. دنباله 7; 2 3; هشت ::: یک تصاعد حسابی با جمله اول 7 و اختلاف 5 است. دنباله 3; 3; 3; ::: یک تصاعد حسابی با اختلاف صفر است.

تعریف معادل: اگر تفاوت an + 1 an یک مقدار ثابت (مستقل از n) باشد، دنباله an را پیشروی حسابی می نامند.

تصاعد حسابی را اگر اختلاف آن مثبت باشد افزایش و اگر اختلاف آن منفی باشد کاهش می گویند.

1 و در اینجا یک تعریف ساده تر وجود دارد: دنباله تابعی است که روی مجموعه اعداد طبیعی تعریف می شود. به عنوان مثال، دنباله ای از اعداد حقیقی تابع f: N است! آر.

به طور پیش فرض، دنباله ها بی نهایت در نظر گرفته می شوند، یعنی شامل تعداد نامتناهی اعداد هستند. اما هیچ کس به خود زحمت نمی دهد که دنباله های محدود را نیز در نظر بگیرد. در واقع، هر مجموعه محدودی از اعداد را می توان یک دنباله متناهی نامید. به عنوان مثال، دنباله نهایی 1 است. 2 3; 4 5 از پنج عدد تشکیل شده است.

فرمول nامین ترم یک پیشرفت حسابی

به راحتی می توان درک کرد که پیشرفت حسابی به طور کامل توسط دو عدد تعیین می شود: جمله اول و تفاوت. بنابراین، این سؤال مطرح می شود: چگونه با دانستن جمله اول و تفاوت، یک عضو دلخواه از پیشروی حسابی پیدا کنیم؟

به دست آوردن فرمول مورد نیاز برای ترم n یک پیشروی حسابی دشوار نیست. اجازه دهید یک

پیشروی حسابی با اختلاف د. ما داریم:
an + 1 = an + d (n = 1; 2;:: :):
به طور خاص می نویسیم:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
و اکنون مشخص می شود که فرمول an این است:
an = a1 + (n 1) d:

مسئله 1. در تصاعد حسابی 2; 5 هشت یازده ::: فرمول n ام را پیدا کنید و جمله صدم را محاسبه کنید.

راه حل. طبق فرمول (1) داریم:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

خاصیت و علامت سیر حسابی

خاصیت پیشرفت محاسباتی در پیشرفت حسابی برای هر

به عبارت دیگر، هر یک از اعضای پیشروی حسابی (شروع از دوم) میانگین حسابی اعضای همسایه است.

	اثبات ما داریم:
	a n 1 + a n + 1		(یک د) + (یک + د)

همان طور که خواسته شده.

به طور کلی تر، پیشرفت حسابی a برابری را برآورده می کند

a n = a n k + a n + k

برای هر n> 2 و هر k طبیعی< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

معلوم می شود که فرمول (2) نه تنها یک شرط لازم، بلکه شرط کافی برای اینکه یک دنباله یک پیشرفت حسابی باشد نیز هست.

نشانه پیشرفت حسابی. اگر برابری (2) برای همه n> 2 برقرار باشد، دنباله an یک تصاعد حسابی است.

اثبات بیایید فرمول (2) را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

a na n 1 = a n + 1a n:

این نشان می دهد که تفاوت an + 1 an به n بستگی ندارد، و این فقط به این معنی است که دنباله an یک پیشرفت حسابی است.

ویژگی و ویژگی یک پیشروی حسابی را می توان به صورت یک عبارت واحد فرموله کرد. برای راحتی، ما این کار را برای سه عدد انجام می دهیم (این وضعیتی است که اغلب در مشکلات رخ می دهد).

مشخص کردن پیشرفت حسابی سه عدد a، b، c یک تصاعد حسابی تشکیل می دهند اگر و فقط اگر 2b = a + c.

مسئله 2. (دانشگاه دولتی مسکو، دانشکده اقتصاد، 2007) سه عدد 8x، 3 x2 و 4 به ترتیب نشان داده شده یک پیشرفت محاسباتی کاهشی را تشکیل می دهند. x را پیدا کنید و تفاوت این پیشرفت را نشان دهید.

راه حل. با خاصیت پیشروی حسابی داریم:

2 (3 x2) = 8x 4، 2x2 + 8x 10 = 0، x2 + 4x 5 = 0، x = 1. x = 5:

اگر x = 1 باشد، یک پیشرفت کاهشی 8، 2، 4 با اختلاف 6 دریافت می کنیم. این مورد خوب نیست

پاسخ: x = 1، تفاوت 6 است.

مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی

در افسانه ها آمده است که یک بار معلم به بچه ها گفت که مجموع اعداد 1 تا 100 را پیدا کنند و با آرامش به خواندن روزنامه نشستند. اما کمتر از چند دقیقه بعد یکی از پسرها گفت که مشکل را حل کرده است. این کارل فردریش گاوس 9 ساله بود که بعدها یکی از بزرگترین ریاضیدانان تاریخ بود.

ایده گاوس کوچولو این بود. بگذار باشد

S = 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:

بیایید این مقدار را به ترتیب معکوس بنویسیم:

S = 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1;

و این دو فرمول را اضافه کنید:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

هر جمله داخل پرانتز برابر با 101 است و در مجموع 100 عبارت از این قبیل وجود دارد.

2S = 101 100 = 10100;

ما از این ایده برای استخراج فرمول جمع استفاده می کنیم

S = a1 + a2 +::: + an + a n n: (3)

یک اصلاح مفید از فرمول (3) با جایگزین کردن فرمول برای nامین جمله an = a1 + (n 1) d در آن به دست می آید:

		2a1 + (n 1) d

مسئله 3. مجموع تمام اعداد سه رقمی مثبت بخش پذیر بر 13 را بیابید.

راه حل. اعداد سه رقمی، مضرب 13، یک تصاعد حسابی را با اولین جمله 104 و اختلاف 13 تشکیل می دهند. ترم نهم این پیشرفت عبارت است از:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

بیایید دریابیم که پیشرفت ما شامل چند عضو است. برای انجام این کار، نابرابری را حل می کنیم:

یک 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

بنابراین، 69 عضو در پیشرفت ما وجود دارد. با استفاده از فرمول (4)، جمع مورد نیاز را پیدا می کنیم:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

پیشرفت حسابیدنباله ای از اعداد (اعضای یک پیشرفت) نامیده می شود.

که در آن هر عبارت بعدی با عبارت قبلی متفاوت است که به آن نیز گفته می شود تفاوت مرحله یا پیشرفت.

بنابراین، با تنظیم مرحله پیشرفت و اولین عبارت آن، می توانید هر یک از عناصر آن را با فرمول پیدا کنید

خواص پیشروی حسابی

1) هر عضو پیشروی حسابی، که از عدد دوم شروع می‌شود، میانگین حسابی عضو قبلی و بعدی پیشروی است.

عکس آن نیز صادق است. اگر میانگین حسابی اعضای فرد ( زوج) مجاور پیشروی برابر با عبارت بین آنها باشد، این دنباله از اعداد یک تصاعد حسابی است. این عبارت بررسی هر توالی را بسیار آسان می کند.

همچنین با خاصیت پیشروی حسابی می توان فرمول فوق را به موارد زیر تعمیم داد

اگر شرایط را در سمت راست علامت مساوی بنویسیم، تأیید این امر آسان است

اغلب در عمل برای ساده کردن محاسبات در مسائل استفاده می شود.

2) مجموع n جمله اول پیشروی حسابی با فرمول محاسبه می شود

فرمول مجموع یک پیشروی حسابی را به خوبی به خاطر بسپارید، این فرمول برای محاسبات ضروری است و در موقعیت های ساده زندگی بسیار رایج است.

3) اگر شما نیاز دارید که نه کل مجموع، بلکه بخشی از دنباله را که از جمله k -ام شروع می شود، پیدا کنید، فرمول جمع زیر مفید خواهد بود.

4) یافتن مجموع n ترم یک پیشروی حسابی که از عدد k ام شروع می شود بسیار جالب است. برای این کار از فرمول استفاده کنید

این مطالب نظری را به پایان می رساند و به سمت حل مشکلات رایج در عمل می رود.

مثال 1. جمله چهلم پیشروی حسابی 4؛ 7؛ ... را بیابید.

راه حل:

با توجه به شرط، داریم

مرحله پیشرفت را تعیین کنید

با استفاده از فرمول شناخته شده، چهلمین عبارت پیشرفت را پیدا می کنیم

مثال 2. پیشروی حسابی با ترم های سوم و هفتم آن به دست می آید. جمله اول پیشروی و مجموع ده را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید عناصر داده شده پیشرفت را با استفاده از فرمول ها بنویسیم

معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم، در نتیجه مرحله پیشرفت را پیدا می کنیم

مقدار پیدا شده را با هر یک از معادلات جایگزین می کنیم تا اولین جمله پیشرفت حسابی را پیدا کنیم

مجموع ده عضو اول پیشرفت را محاسبه می کنیم

بدون استفاده از محاسبات پیچیده، تمام مقادیر مورد نیاز را پیدا کردیم.

مثال 3. یک تصاعد حسابی توسط مخرج و یکی از اعضای آن داده می شود. اولین عضو پیشرفت را پیدا کنید، مجموع 50 عضو آن که با 50 شروع می شود و مجموع 100 نفر اول.

راه حل:

بیایید فرمول صدمین عنصر پیشرفت را بنویسیم

و اولی را پیدا کنید

بر اساس اولی، ترم 50 پیشرفت را پیدا می کنیم

مجموع قسمت پیشرفت را پیدا کنید

و مجموع 100 مورد اول

کل پیشرفت 250 است.

مثال 4.

تعداد اعضای یک پیشروی حسابی را بیابید اگر:

a3-a1 = 8، a2 + a4 = 14، Sn = 111.

راه حل:

معادلات را بر حسب جمله اول و گام پیشروی می نویسیم و تعریف می کنیم

مقادیر به دست آمده را با فرمول جمع جایگزین می کنیم تا تعداد اعضای جمع را مشخص کنیم

انجام ساده سازی ها

و معادله درجه دوم را حل کنید

از دو مقدار یافت شده برای شرایط مشکل، تنها عدد 8 مناسب است. بنابراین، مجموع هشت عضو اول پیشرفت 111 است.

مثال 5.

معادله را حل کنید

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

راه حل: این معادله حاصل جمع یک تصاعد حسابی است. بیایید اولین عبارت آن را بنویسیم و تفاوت در پیشرفت را پیدا کنیم

مشکلات پیشروی حسابی قبلاً در دوران باستان وجود داشته است. حضور پیدا کردند و خواستار راه حل شدند چون نیاز عملی داشتند.

بنابراین، در یکی از پاپیروس های مصر باستان که دارای محتوای ریاضی است - پاپیروس ریند (قرن نوزدهم قبل از میلاد) - این مشکل وجود دارد: ده پیمانه نان را به ده نفر تقسیم کنید، مشروط بر اینکه اختلاف بین هر یک از آنها یک باشد. -هشتم یک پیمانه

و در آثار ریاضی یونانیان باستان قضایای ظریف مربوط به پیشروی حسابی وجود دارد. بنابراین، Hypsicles of Alexandria (قرن دوم، که بسیاری از مسائل جالب را ایجاد کرد و کتاب چهاردهم را به "اصول" اقلیدس اضافه کرد، این ایده را تدوین کرد: "در یک پیشروی حسابی که تعداد اعضا زوج است، مجموع اعضای دوم نصف بیشتر از مجموع اعضای نیمه اول در هر مربع 1/2 تعداد اعضا است.

دنباله با یک نشان داده می شود. اعداد دنباله را اعضای آن می نامند و معمولاً با حروف با شاخص هایی نشان داده می شوند که نشان دهنده شماره ترتیبی این عضو است (a1، a2، a3 ... بخوانید: "a 1st"، "a 2nd"، "a 3rd" و غیره).

دنباله می تواند بی پایان یا متناهی باشد.

پیشروی حسابی چیست؟ به عنوان چیزی که با اضافه کردن عبارت قبلی (n) با همان عدد d به دست می‌آید، که تفاوت پیشروی است، درک می‌شود.

اگر د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0، سپس چنین پیشرفتی صعودی در نظر گرفته می شود.

یک تصاعد حسابی محدود نامیده می شود اگر فقط تعدادی از اعضای اولیه آن در نظر گرفته شود. با تعداد بسیار زیادی از اعضا، این یک پیشرفت بی پایان است.

هر پیشروی حسابی با فرمول زیر مشخص می شود:

an = kn + b، در حالی که b و k برخی از اعداد هستند.

گزاره مخالف کاملاً درست است: اگر دنباله ای با فرمول مشابهی داده شود، دقیقاً یک پیشرفت حسابی است که دارای ویژگی های زیر است:

1. هر عضو پیشرفت میانگین حسابی عضو قبلی و بعدی است.
2. برعکس: اگر با شروع از دوم، هر جمله میانگین حسابی جمله قبلی و بعدی باشد، یعنی. اگر شرط برآورده شود، این دنباله یک پیشرفت حسابی است. این برابری نیز نشانه پیشرفت است، از این رو معمولاً به آن ویژگی مشخصه پیشرفت می گویند.
   به همین ترتیب، قضیه ای که این ویژگی را منعکس می کند صادق است: یک دنباله فقط در صورتی یک پیشرفت حسابی است که این برابری برای هر یک از اعضای دنباله صادق باشد، که از دوم شروع می شود.

ویژگی مشخصه برای هر چهار عدد از یک پیشروی حسابی را می توان با فرمول an + am = ak + al بیان کرد، اگر n + m = k + l (m، n، k اعداد پیشروی هستند).

در یک پیشرفت حسابی، هر عبارت مورد نیاز (N) را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

به عنوان مثال: اولین جمله (a1) در پیشروی حسابی برابر با سه است و اختلاف (d) برابر با چهار است. شما باید ترم چهل و پنجم این پیشرفت را پیدا کنید. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

فرمول an = ak + d (n - k) به شما این امکان را می دهد که nامین ترم پیشروی حسابی را از طریق هر یک از جمله k ام آن تعیین کنید، مشروط بر اینکه مشخص باشد.

مجموع اعضای پیشروی حسابی (منظور n عضو اول پیشرفت نهایی است) به صورت زیر محاسبه می شود:

Sn = (a1 + an) n / 2.

اگر عبارت اول نیز شناخته شده باشد، فرمول دیگری برای محاسبه مناسب است:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

مجموع یک تصاعد حسابی که شامل n عضو است به صورت زیر محاسبه می شود:

انتخاب فرمول برای محاسبات به شرایط مسائل و داده های اولیه بستگی دارد.

سری طبیعی هر اعدادی مانند 1،2،3، ...، n، ... ساده ترین مثال یک تصاعد حسابی است.

علاوه بر پیشروی حسابی، هندسی نیز وجود دارد که خواص و ویژگی های خاص خود را دارد.

ماشین حساب آنلاین
حل پیشرفت حسابی
داده شده: a n، d، n
پیدا کنید: a 1

این برنامه ریاضی \ (a_1 \) پیشرفت حسابی را بر اساس اعداد مشخص شده توسط کاربر \ (a_n، d \) و \ (n \) پیدا می کند.
اعداد \ (a_n \) و \ (d \) را می توان نه تنها کل، بلکه به صورت کسری نیز مشخص کرد. علاوه بر این، یک عدد کسری را می توان به عنوان یک کسر اعشاری (\ (2.5 \)) و به عنوان یک کسری معمولی (\ (- 5 \ frac (2) (7) \) وارد کرد.

این برنامه نه تنها به مشکل پاسخ می دهد، بلکه روند یافتن راه حل را نیز نمایش می دهد.

این ماشین حساب آنلاین می تواند برای دانش آموزان سال آخر دبیرستان در آمادگی برای آزمون ها و امتحانات، هنگام بررسی دانش قبل از امتحان، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر مفید باشد. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این مورد، شما همچنین می توانید از برنامه های ما با یک راه حل دقیق استفاده کنید.

به این ترتیب شما می توانید تدریس خود و / یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید، ضمن اینکه سطح تحصیلات در زمینه مشکلات در حال حل افزایش می یابد.

اگر با قوانین درج اعداد آشنا نیستید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.

قوانین ورود شماره

اعداد \ (a_n \) و \ (d \) را می توان نه تنها کل، بلکه به صورت کسری نیز مشخص کرد.
عدد \ (n \) فقط می تواند یک عدد صحیح مثبت باشد.

قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
اجزای کل و کسری در کسرهای اعشاری را می توان با نقطه پایان یا کاما از هم جدا کرد.
به عنوان مثال، می توانید کسرهای اعشاری مانند این 2.5 یا بیشتر 2.5 را وارد کنید

قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد صحیح می تواند به عنوان صورت، مخرج و قسمت کامل یک کسر استفاده شود.

مخرج نمی تواند منفی باشد.

هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
ورودی:
نتیجه: \ (- \ فرک (2) (3) \)

کل قسمت با آمپرسند از کسری جدا می شود: &
ورودی:
نتیجه: \ (- 1 \ فراک (2) (3) \)

اعداد a n، d، n را وارد کنید

1 را پیدا کنید

مشخص شد که برخی از اسکریپت های مورد نیاز برای حل این مشکل بارگذاری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
شاید AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند، درخواست شما در صف است.
پس از چند ثانیه، راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا منتظر بمانید ثانیه...

اگر شما متوجه اشتباه در تصمیم گیری شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید و چه در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

دنباله اعداد

در تمرین روزمره، اغلب از شماره گذاری اشیاء مختلف برای نشان دادن ترتیب چینش آنها استفاده می شود. به عنوان مثال، خانه های هر خیابان شماره گذاری می شوند. اشتراک خوانندگان در کتابخانه شماره گذاری می شود و سپس به ترتیب شماره های اختصاص داده شده در فهرست های ویژه کارت مرتب می شود.

در یک پس انداز با شماره حساب شخصی سپرده گذار به راحتی می توانید این حساب را پیدا کنید و ببینید چه سپرده ای در آن وجود دارد. اجازه دهید حساب شماره 1 شامل سهم a1 روبل باشد، حساب شماره 2 دارای سهم a2 روبل و غیره باشد. دنباله عددی
a 1، a 2، a 3، ...، a N
که در آن N تعداد تمام حساب ها است. در اینجا به هر عدد طبیعی n از 1 تا N یک عدد a n اختصاص داده می شود.

ریاضیات هم مطالعه می کند دنباله های اعداد بی نهایت:
a 1، a 2، a 3، ...، a n، ....
عدد a 1 نامیده می شود اولین عضو سکانس، شماره a 2 - ترم دوم، شماره a 3 - ترم سومو غیره.
عدد a n نامیده می شود نهمین (nامین) جمله دنبالهو عدد طبیعی n آن است عدد.

به عنوان مثال، در یک دنباله از مربع های اعداد طبیعی 1، 4، 9، 16، 25، ...، n 2، (n + 1) 2، ... و 1 = 1 اولین عضو دنباله است. و n = n 2 n امین عضو دنباله است. a n + 1 = (n + 1) 2 جمله (n + 1) (en به اضافه اول) در دنباله است. غالباً یک دنباله را می توان با فرمول nامین جمله آن به دست آورد. برای مثال، فرمول \ (a_n = \ frac (1) (n), \; n \ در \ mathbb (N) \) دنباله \ (1, \; \ frac (1) (2), \; \ فراک (1) (3)، \؛ \ فراک (1) (4)، \ نقطه، \ فراک (1) (n)، \ نقطه \)

پیشرفت حسابی

طول سال تقریباً 365 روز است. مقدار دقیق تر \ (365 \ فراک (1) (4) \) روز است، بنابراین هر چهار سال یک خطای یک روز جمع می شود.

برای محاسبه این خطا، به هر سال چهارم یک روز اضافه می شود و سال طولانی را سال کبیسه می گویند.

به عنوان مثال در هزاره سوم سال های کبیسه سال های 2004، 2008، 2012، 2016، ....

در این دنباله، هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، برابر با قبلی است که با همان عدد 4 اضافه می شود. چنین دنباله هایی نامیده می شوند. پیشرفت های حسابی.

تعریف.
دنباله عددی a 1، a 2، a 3، ...، a n، ... نامیده می شود. پیشرفت حسابیاگر برای همه n برابری طبیعی است
\ (a_ (n + 1) = a_n + d، \)
جایی که d مقداری است

این فرمول نشان می دهد که a n + 1 - a n = d. عدد d را تفاضل می گویند پیشرفت حسابی.

با تعریف پیشروی حسابی، داریم:
\ (a_ (n + 1) = a_n + d، \ quad a_ (n-1) = a_n-d، \)
جایی که
\ (a_n = \ فراک (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \)، جایی که \ (n> 1 \)

بنابراین، هر عضو پیشروی حسابی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین حسابی دو عضو مجاور آن. این نام پیشرفت "حساب" را توضیح می دهد.

توجه داشته باشید که اگر 1 و d داده شوند، اعضای باقی‌مانده پیشرفت حسابی را می‌توان با استفاده از فرمول تکرارشونده a n + 1 = a n + d محاسبه کرد. به این ترتیب، محاسبه چند ترم اول پیشرفت کار دشواری نیست، با این حال، برای مثال، برای یک 100 محاسبات زیادی لازم است. معمولاً از فرمول عبارت n برای این استفاده می شود. با تعریف پیشروی حسابی
\ (a_2 = a_1 + d، \)
\ (a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d، \)
\ (a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d \)
و غیره.
بطور کلی،
\ (a_n = a_1 + (n-1) d، \)
از آنجایی که n-امین ترم پیشروی حسابی از جمله اول با جمع (n-1) ضربدر عدد d به دست می آید.
این فرمول نامیده می شود با فرمول nامین ترم پیشروی حسابی.

مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی

بیایید مجموع تمام اعداد طبیعی از 1 تا 100 را پیدا کنیم.
بیایید این جمع را به دو صورت بنویسیم:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100،
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
اجازه دهید این برابری ها را به صورت ترم اضافه کنیم:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
این جمع دارای 100 عبارت است
بنابراین، 2S = 101 * 100، از آنجا S = 101 * 50 = 5050.

اکنون یک پیشرفت حسابی دلخواه را در نظر بگیرید
a 1، a 2، a 3، ...، a n، ...
فرض کنید S n حاصل جمع n جمله اول این پیشرفت باشد:
S n = a 1، a 2، a 3، ...، a n
سپس مجموع n جمله اول پیشروی حسابی است
\ (S_n = n \ cdot \ frac (a_1 + a_n) (2) \)

از آنجایی که \ (a_n = a_1 + (n-1) d \)، سپس با جایگزینی n در این فرمول، فرمول دیگری برای یافتن دریافت می کنیم. مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی:
\ (S_n = n \ cdot \ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \)

کتاب ها (کتاب های درسی) چکیده ها استفاده و تست های OGE آنلاین بازی ها، پازل ها توابع رسم فرهنگ لغت گرافیکی زبان روسی فرهنگ لغت عامیانه جوانان کاتالوگ مدارس روسیه کاتالوگ مدارس متوسطه روسیه کاتالوگ دانشگاه های روسیه فهرست وظایف