فرمول های حل ساده ترین معادلات مثلثاتی مثال هایی هستند. روش های حل معادلات مثلثاتی

معادلات مثلثاتی ساده ترین موضوع نیستند. به طور دردناکی آنها متنوع هستند.) به عنوان مثال، اینها:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

و غیره...

اما این هیولاهای مثلثاتی (و دیگر) دو ویژگی مشترک و اجباری دارند. اول - باور نمی کنید - توابع مثلثاتی در معادلات وجود دارد.) دوم: تمام عبارات با x هستند. در همین توابعو فقط آنجا! اگر x در جایی ظاهر شود خارج از،مثلا، sin2x + 3x = 3،این معادله خواهد بود نوع مختلط. چنین معادلاتی نیاز به رویکرد فردی دارد. در اینجا ما آنها را در نظر نخواهیم گرفت.

معادلات شیطانی را هم در این درس حل نمی کنیم.) در اینجا به آن می پردازیم ساده ترین معادلات مثلثاتیچرا؟ بله، به دلیل این تصمیم هرمعادلات مثلثاتی از دو مرحله تشکیل شده است. در مرحله اول، معادله شر با تبدیل های مختلف به یک معادله ساده کاهش می یابد. در مورد دوم - این ساده ترین معادله حل می شود. راه دیگری نیست.

بنابراین، اگر در مرحله دوم مشکل دارید، مرحله اول چندان منطقی نیست.)

معادلات مثلثاتی ابتدایی چگونه هستند؟

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

اینجا ولی مخفف هر عددی است. هر

به هر حال، در داخل تابع ممکن است یک x خالص نباشد، بلکه نوعی عبارت وجود داشته باشد، مانند:

cos(3x+π /3) = 1/2

و غیره. این زندگی را پیچیده می کند، اما روش حل معادله مثلثاتی را تحت تأثیر قرار نمی دهد.

چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنیم؟

معادلات مثلثاتی را می توان به دو روش حل کرد. راه اول: با استفاده از منطق و دایره مثلثاتی. در اینجا این مسیر را بررسی خواهیم کرد. راه دوم - استفاده از حافظه و فرمول - در درس بعدی بررسی خواهد شد.

راه اول واضح، قابل اعتماد است و به سختی فراموش می شود.) برای حل معادلات مثلثاتی، نابرابری ها و انواع مثال های غیراستاندارد مشکل ساز خوب است. منطق قوی تر از حافظه است!

معادلات را با استفاده از دایره مثلثاتی حل می کنیم.

ما منطق ابتدایی و توانایی استفاده از دایره مثلثاتی را شامل می‌شویم. نمیتونی!؟ با این حال... در مثلثات برای شما سخت خواهد بود...) اما مهم نیست. نگاهی به دروس "دایره مثلثاتی ...... چیست؟" و "شمارش زوایا روی دایره مثلثاتی." آنجا همه چیز ساده است. برخلاف کتاب های درسی...)

آه، میدونی!؟ و حتی به "کار عملی با دایره مثلثاتی" مسلط شد!؟ تبریک بپذیرید این موضوع برای شما نزدیک و قابل درک خواهد بود.) آنچه که به خصوص خوشایند است این است که دایره مثلثاتی اهمیتی نمی دهد که کدام معادله را حل کنید. سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت - همه چیز برای او یکسان است. اصل راه حل یکسان است.

در اینجا ما هر ابتدایی را در نظر می گیریم معادله مثلثاتی. حداقل این:

cosx = 0.5

من باید X را پیدا کنم. صحبت کردن به زبان انسانی، شما نیاز دارید زاویه (x) که کسینوس آن 0.5 است را پیدا کنید.

قبلاً چگونه از دایره استفاده می کردیم؟ گوشه ای روی آن کشیدیم. بر حسب درجه یا رادیان. و بلافاصله مشاهده گردید توابع مثلثاتی این زاویه حالا برعکس عمل کنیم. روی دایره و بلافاصله یک کسینوس مساوی 0.5 بکشید خواهیم دید تزریق. فقط نوشتن پاسخ باقی می ماند.) بله، بله!

دایره ای رسم می کنیم و کسینوس را برابر با 0.5 علامت گذاری می کنیم. البته در محور کسینوس. مثل این:

حالا بیایید زاویه ای را که این کسینوس به ما می دهد ترسیم کنیم. ماوس خود را روی تصویر نگه دارید (یا تصویر را در رایانه لوحی لمس کنید)، و دیدنهمین گوشه ایکس.

کسینوس کدام زاویه 0.5 است؟

x \u003d π / 3

cos 60 درجه= cos( π /3) = 0,5

بعضی ها شکاکانه غرغر خواهند کرد، بله... می گویند آیا ارزشش را داشت که دایره را حصار بکشی، وقتی همه چیز روشن است... البته می توانی غرغر کنی...) اما واقعیت این است که این یک اشتباه است. پاسخ. یا بهتر است بگوییم ناکافی است. خبره های دایره می دانند که هنوز یک دسته کامل از زاویه ها وجود دارد که کسینوس برابر با 0.5 را نیز می دهد.

اگر سمت متحرک OA را بچرخانید برای یک چرخش کامل، نقطه A به موقعیت اولیه خود باز می گردد. با کسینوس یکسان برابر با 0.5. آن ها زاویه تغییر خواهد کرد 360 درجه یا 2π رادیان، و کسینوس نیست.زاویه جدید 60 درجه + 360 درجه = 420 درجه نیز راه حلی برای معادله ما خواهد بود، زیرا

تعداد بی نهایتی از این چرخش های کامل وجود دارد... و همه این زوایای جدید راه حل هایی برای معادله مثلثاتی ما خواهند بود. و همه آنها باید به نحوی یادداشت شوند. همه چيز.در غیر این صورت، تصمیم در نظر گرفته نمی شود، بله ...)

ریاضیات می تواند این کار را به سادگی و زیبایی انجام دهد. در یک پاسخ کوتاه، یادداشت کنید مجموعه بی نهایتراه حل ها در اینجا به نظر می رسد معادله ما:

x = π /3 + 2π n، n ∈ Z

رمزگشایی خواهم کرد. هنوز بنویس معنی دارزیباتر از کشیدن احمقانه حروف مرموز است، درست است؟)

π /3 همان زاویه ای است که ما ارهروی دایره و شناخته شده استمطابق جدول کسینوس

2π یک دور کامل بر حسب رادیان است.

n - این تعداد کامل است، یعنی. کلانقلاب. واضح است که n می تواند 0، 1±، 2±، 3±... و غیره باشد. آنچه نشان داده شده است یادداشت کوتاه:

n ∈ Z

n متعلق ( ∈ ) به مجموعه اعداد صحیح ( ز ). اتفاقا به جای نامه n می توان از حروف استفاده کرد k، m، t و غیره.

این نماد به این معنی است که شما می توانید هر عدد صحیح را بگیرید n . حداقل -3، حداقل 0، حداقل +55. چه چیزی می خواهید. اگر آن عدد را به پاسخ خود متصل کنید، زاویه خاصی دریافت می کنید که مطمئناً راه حل معادله سخت ما خواهد بود.)

یا به عبارت دیگر x \u003d π / 3 تنها ریشه یک مجموعه نامتناهی است. برای به دست آوردن تمام ریشه های دیگر، کافی است هر تعداد دور کامل را به π / 3 اضافه کنید ( n ) به رادیان. آن ها 2πn رادیان

همه چيز؟ خیر من به طور خاص لذت را گسترش می دهم. برای اینکه بهتر به خاطر بسپاریم.) ما فقط بخشی از پاسخ های معادله خود را دریافت کردیم. این قسمت اول راه حل را به صورت زیر می نویسم:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 1 - نه یک ریشه، یک سری ریشه کامل است که به صورت کوتاه نوشته شده است.

اما زوایای دیگری نیز وجود دارند که کسینوس برابر با 0.5 می دهند!

برگردیم به تصویر خود که با توجه به آن پاسخ را یادداشت کردیم. او اینجاست:

ماوس را روی تصویر ببرید و دیدنگوشه ای دیگر که همچنین کسینوس 0.5 می دهد.به نظر شما برابر با چه چیزی است؟ مثلث ها هم همینطور... بله! برابر با زاویه است ایکس ، فقط در جهت منفی ترسیم شده است. این گوشه است -ایکس. اما ما قبلا x را محاسبه کرده ایم. π /3 یا 60 درجه بنابراین، می توانیم با خیال راحت بنویسیم:

x 2 \u003d - π / 3

و البته تمام زوایایی که از طریق چرخش کامل به دست می آیند را اضافه می کنیم:

x 2 = - π /3 + 2π n، n ∈ Z

اکنون تمام است.) در یک دایره مثلثاتی، ما اره(البته کی میفهمه)) همهزوایایی که کسینوس برابر با 0.5 می دهند. و این زوایا را به صورت ریاضی کوتاه یادداشت کردند. پاسخ دو سری بی نهایت ریشه است:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n، n ∈ Z

این جواب درست است.

امید، اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتیبا کمک یک دایره قابل درک است. کسینوس (سینوس، مماس، کتانژانت) را از معادله داده شده روی دایره علامت گذاری می کنیم، زوایای مربوطه را رسم می کنیم و جواب را یادداشت می کنیم.البته، شما باید بفهمید که ما چه نوع گوشه هایی هستیم ارهروی دایره گاهی اوقات آنقدر واضح نیست. خوب، همانطور که گفتم، منطق در اینجا لازم است.)

به عنوان مثال، بیایید یک معادله مثلثاتی دیگر را تجزیه و تحلیل کنیم:

لطفاً توجه داشته باشید که عدد 0.5 تنها عدد ممکن در معادلات نیست!) نوشتن آن از ریشه و کسر برای من راحت‌تر است.

ما طبق اصل کلی کار می کنیم. یک دایره می کشیم، علامت گذاری می کنیم (البته روی محور سینوس!) 0.5. همه زوایای مربوط به این سینوس را به یکباره رسم می کنیم. ما این تصویر را دریافت می کنیم:

بیایید ابتدا به زاویه بپردازیم. ایکس در سه ماهه اول جدول سینوس ها را به یاد می آوریم و مقدار این زاویه را تعیین می کنیم. موضوع ساده است:

x \u003d π / 6

ما نوبت های کامل را به یاد می آوریم و با وجدان آرام، سری اول پاسخ ها را یادداشت می کنیم:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

نیمی از کار انجام شده است. حالا باید تعریف کنیم گوشه دوم...این مشکل تر از کسینوس است، بله... اما منطق ما را نجات خواهد داد! نحوه تعیین زاویه دوم از طریق x بله آسان! مثلث های تصویر یکسان هستند و گوشه قرمز رنگ ایکس برابر با زاویه ایکس . فقط از زاویه π در جهت منفی شمارش می شود. به همین دلیل قرمز است.) و برای پاسخ، به زاویه ای نیاز داریم که به درستی از نیم محور مثبت OX اندازه گیری شود، یعنی. از زاویه 0 درجه

مکان نما را روی عکس ببرید و همه چیز را ببینید. گوشه اول را برداشتم تا تصویر پیچیده نشود. زاویه مورد علاقه ما (به رنگ سبز کشیده شده) برابر خواهد بود با:

π - x

x ما آن را می دانیم π /6 . بنابراین زاویه دوم به صورت زیر خواهد بود:

π - π /6 = 5π /6

مجدداً اضافه شدن چرخش های کامل را به یاد می آوریم و سری دوم پاسخ ها را می نویسیم:

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

همین. یک پاسخ کامل شامل دو سری ریشه است:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

معادلات با مماس و کتانژانت را می توان با استفاده از همان اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتی به راحتی حل کرد. مگر اینکه بدانید چگونه مماس و کتانژانت را روی یک دایره مثلثاتی رسم کنید.

در مثال های بالا از مقدار جدولی سینوس و کسینوس استفاده کردم: 0.5. آن ها یکی از آن معانی که دانش آموز می داند باید.حالا بیایید توانایی های خود را گسترش دهیم تمام ارزش های دیگرتصمیم بگیر پس تصمیم بگیر!)

بنابراین، فرض کنید باید معادله مثلثاتی زیر را حل کنیم:

چنین مقدار کسینوس در جداول کوتاه وجود ندارد. ما با خونسردی این واقعیت وحشتناک را نادیده می گیریم. دایره ای رسم می کنیم و روی محور کسینوس 2/3 علامت می زنیم و زوایای مربوطه را می کشیم. ما این عکس را دریافت می کنیم.

ما برای شروع، با یک زاویه در کوارتر اول درک می کنیم. برای اینکه بفهمند x برابر است بلافاصله جواب را یادداشت می کردند! نمی دانیم... شکست!؟ آرام! ریاضیات خودش را در دردسر نمی گذارد! او کسینوس های قوسی را برای این مورد اختراع کرد. نمیدانم؟ بیهوده. پیدا کنید. خیلی ساده تر از آن چیزی است که فکر می کنید. در این پیوند، حتی یک طلسم روی حیله و تزویر در مورد «معکوس توابع مثلثاتی«نه... در این موضوع اضافی است.

اگر می دانید، فقط به خود بگویید: "X زاویه ای است که کسینوس آن 2/3 است." و بلافاصله، صرفاً با تعریف آرکوزین، می توانیم بنویسیم:

ما در مورد چرخش های اضافی به یاد می آوریم و با آرامش اولین سری از ریشه های معادله مثلثاتی خود را یادداشت می کنیم:

x 1 = آرکوس 2/3 + 2π n، n ∈ Z

سری دوم ریشه ها نیز تقریباً به صورت خودکار، برای زاویه دوم نوشته می شود. همه چیز یکسان است، فقط x (arccos 2/3) با منهای خواهد بود:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n، n ∈ Z

و همه چیز! این جواب درست است. حتی ساده تر از مقادیر جدولی. نیازی نیست چیزی را به خاطر بسپارید.) به هر حال، بیشترین توجه متوجه خواهد شد که این تصویر با راه حل از طریق کسینوس قوس اساساً با تصویر معادله cosx = 0.5 تفاوتی ندارد.

دقیقا! اصل کلیبه همین دلیل رایج است! من به طور خاص دو تصویر تقریباً یکسان کشیدم. دایره زاویه را به ما نشان می دهد ایکس توسط کسینوس آن این یک کسینوس جدولی است یا نه - دایره نمی داند. این چه نوع زاویه است، π / 3، یا اینکه چه نوع کسینوس قوس به ما بستگی دارد که تصمیم بگیریم.

با یک سینوس همان آهنگ. مثلا:

دوباره یک دایره می کشیم، سینوس را برابر با 1/3 علامت گذاری می کنیم، گوشه ها را می کشیم. این عکس معلوم می شود:

و دوباره تصویر تقریباً مشابه معادله است sinx = 0.5.باز هم در کوارتر اول از کرنر شروع می کنیم. اگر سینوس آن 1/3 باشد x برابر با چه مقدار است؟ مشکلی نیست!

بنابراین اولین بسته ریشه آماده است:

x 1 = آرکسین 1/3 + 2π n، n∈ Z

بیایید نگاهی به زاویه دوم بیندازیم. در مثال با مقدار جدول 0.5 برابر بود با:

π - x

پس اینجا هم دقیقاً همینطور خواهد بود! فقط x متفاوت است، arcsin 1/3. پس چی!؟ می توانید با خیال راحت بسته دوم ریشه ها را بنویسید:

x 2 = π - آرکسین 1/3 + 2π n، n ∈ Z

این یک پاسخ کاملا صحیح است. اگرچه چندان آشنا به نظر نمی رسد. اما قابل درک است، امیدوارم.)

به این ترتیب معادلات مثلثاتی با استفاده از دایره حل می شوند. این مسیر روشن و قابل درک است. این اوست که در معادلات مثلثاتی با انتخاب ریشه ها در یک بازه معین، در نابرابری های مثلثاتی صرفه جویی می کند - آنها معمولاً تقریباً همیشه در یک دایره حل می شوند. به طور خلاصه، در هر کاری که کمی پیچیده تر از کارهای استاندارد است.

عملی کردن دانش؟

حل معادلات مثلثاتی:

در ابتدا ساده تر است، مستقیماً در این درس.

الان سخت تره

نکته: در اینجا باید به دایره فکر کنید. شخصا.)

و اکنون ظاهراً بی تکلف ... آنها نیز موارد خاص نامیده می شوند.

سینکس = 0

سینکس = 1

cosx = 0

cosx = -1

نکته: در اینجا باید در یک دایره بفهمید که کجا دو سری پاسخ وجود دارد، و کجا یک ... و چگونه به جای دو سری پاسخ، یکی را یادداشت کنید. بله، به طوری که یک ریشه از یک عدد نامتناهی گم نمی شود!)

خوب، کاملا ساده):

سینکس = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

نکته: در اینجا باید بدانید که آرکسین، آرکوزین چیست؟ مماس قوس، مماس قوس چیست؟ اکثر تعاریف ساده. اما شما نیازی به به خاطر سپردن مقادیر جدولی ندارید!)

پاسخ ها البته به هم ریخته است:

x 1= arcsin0،3 + 2πn، n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. دوباره درس را بخوانید. فقط متفکرانه(همچین چیزی وجود دارد کلمه منسوخ...) و لینک ها را دنبال کنید. لینک های اصلی در مورد دایره هستند. بدون آن در مثلثات - چگونه از جاده با چشم بسته عبور کنیم. گاهی اوقات کار می کند.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اخطارها و ارتباطات مهم برای شما استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلفبرای بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعات مربوط به شما را فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

نیاز به دانش فرمول های اساسی مثلثات - مجموع مربع های سینوس و کسینوس، بیان مماس از طریق سینوس و کسینوس، و دیگران است. برای کسانی که آنها را فراموش کرده اند یا آنها را نمی شناسند، خواندن مقاله "" را توصیه می کنیم.
بنابراین، ما فرمول های مثلثاتی اساسی را می دانیم، وقت آن است که آنها را عملی کنیم. حل معادلات مثلثاتیبا رویکرد درست، این یک فعالیت بسیار هیجان انگیز است، مانند حل مکعب روبیک.

بر اساس نام خود، مشخص است که معادله مثلثاتی معادله ای است که مجهول در آن تحت علامت تابع مثلثاتی قرار دارد.
به اصطلاح معادلات مثلثاتی ساده وجود دارد. شکل ظاهری آنها به این صورت است: sinх = a، cos x = a، tg x = a. در نظر گرفتن، چگونه می توان چنین معادلات مثلثاتی را حل کرد، برای وضوح، از دایره مثلثاتی آشنا استفاده خواهیم کرد.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

تخت x = a

هر معادله مثلثاتی در دو مرحله حل می شود: معادله را به ساده ترین شکل می آوریم و سپس آن را به عنوان ساده ترین معادله مثلثاتی حل می کنیم.
7 روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی وجود دارد.

1. جایگزینی متغیر و روش جایگزینی

حل معادله 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

با استفاده از فرمول های کاهش می گیریم:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

بیایید cos(x + /6) را با y برای سادگی جایگزین کنیم و معادله درجه دوم معمولی را بدست آوریم:

2 سال 2 - 3 سال + 1 + 0

ریشه های آن y 1 = 1، y 2 = 1/2

حالا بیایید به عقب برگردیم

مقادیر یافت شده y را جایگزین می کنیم و دو پاسخ می گیریم:

2. حل معادلات مثلثاتی از طریق فاکتورسازی

چگونه معادله sin x + cos x = 1 را حل کنیم؟

بیایید همه چیز را به سمت چپ حرکت دهیم تا 0 در سمت راست باقی بماند:

sin x + cos x - 1 = 0

ما از هویت های بالا برای ساده سازی معادله استفاده می کنیم:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

بیایید فاکتورسازی را انجام دهیم:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

دو معادله بدست می آوریم

3. کاهش به یک معادله همگن

یک معادله از نظر سینوس و کسینوس همگن است اگر تمام عبارات آن نسبت به سینوس و کسینوس از یک درجه از یک زاویه باشند. برای حل یک معادله همگن به صورت زیر عمل کنید:

الف) تمام اعضای خود را به سمت چپ منتقل کنید.

ب) همه عوامل مشترک را خارج از پرانتز قرار دهید.

ج) همه عوامل و براکت ها را با 0 برابر کنید.

د) در پرانتز دریافت شد معادله همگندر درجه ای کمتر، به نوبه خود به سینوس یا کسینوس در درجه بالاتر تقسیم می شود.

ه) معادله حاصل را برای tg حل کنید.

حل معادله 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

بیایید از فرمول sin 2 x + cos 2 x = 1 استفاده کنیم و از شر دو باز سمت راست خلاص شویم:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

تقسیم بر cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tg x را با y جایگزین می کنیم و یک معادله درجه دوم بدست می آوریم:

y 2 + 4y +3 = 0 که ریشه آن y 1 = 1، y 2 = 3 است

از اینجا دو راه حل برای معادله اصلی پیدا می کنیم:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. حل معادلات، از طریق انتقال به نیم زاویه

معادله 3sin x - 5cos x = 7 را حل کنید

بیایید به x/2 برویم:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

انتقال همه چیز به چپ:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

تقسیم بر cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg (x/2) + 6 = 0

5. معرفی یک زاویه کمکی

برای در نظر گرفتن، اجازه دهید معادله ای به شکل: a sin x + b cos x \u003d c،

که در آن a، b، c برخی از ضرایب دلخواه و x یک مجهول است.

دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنید:



حال ضرایب معادله با توجه به فرمول های مثلثاتیدارای خصوصیات sin و cos هستند، یعنی: مدول آنها بیشتر از 1 نیست و مجموع مربع ها 1 = است. آنها را به ترتیب cos و sin می کنیم که به اصطلاح زاویه کمکی است. سپس معادله به شکل زیر در می آید:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

یا sin(x + ) = C

راه حل این معادله مثلثاتی ساده است

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k، که در آن



لازم به ذکر است که نام های cos و sin قابل تعویض هستند.

معادله sin 3x - cos 3x = 1 را حل کنید

در این معادله ضرایب عبارتند از:

a \u003d، b \u003d -1، بنابراین هر دو قسمت را بر \u003d 2 تقسیم می کنیم

دوره ویدیویی "Get an A" شامل تمام موضوعاتی است که شما نیاز دارید تحویل موفقاستفاده در ریاضیات برای 60-65 امتیاز. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از نمایه استفاده در ریاضیات. همچنین برای گذراندن پایه استفاده در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید امتحان را با 90-100 امتیاز قبول کنید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای امتحان برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 امتحان ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه دانش آموز صد امتیازی و نه یک انسان گرا نمی تواند بدون آنها انجام دهد.

تمام تئوری لازم راه های سریعراه حل ها، تله ها و رازهای امتحان. تمام وظایف مربوط به بخش 1 از وظایف بانک FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات USE-2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها کار امتحانی مسائل متن و نظریه احتمال. الگوریتم های حل مسئله ساده و آسان برای به خاطر سپردن. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف USE. استریومتری. ترفندهای فریبندهراه حل ها، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا - تا کار 13. درک به جای پر کردن. توضیح تصویری مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. پایه برای راه حل کارهای چالش برانگیز 2 قسمت از امتحان

درس و ارائه با موضوع: "حل ساده ترین معادلات مثلثاتی"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

دستورالعمل ها و شبیه سازها در فروشگاه آنلاین "Integral" برای درجه 10 از 1C
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف تعاملی برای ساخت و ساز در فضا
محیط نرم افزار "1C: Mathematical constructor 6.1"

چه چیزی را مطالعه خواهیم کرد:
1. معادلات مثلثاتی چیست؟

3. دو روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی.
4. معادلات مثلثاتی همگن.
5. مثال ها.

معادلات مثلثاتی چیست؟

بچه ها، ما قبلاً آرکسین، آرکوزین، آرکتتانژانت و آرکوتانژانت را مطالعه کرده ایم. حال بیایید به طور کلی معادلات مثلثاتی را بررسی کنیم.

معادلات مثلثاتی - معادلاتی که در آنها متغیر تحت علامت تابع مثلثاتی قرار می گیرد.

شکل حل ساده ترین معادلات مثلثاتی را تکرار می کنیم:

1) اگر |а|≤ 1 باشد، معادله cos(x) = a یک راه حل دارد:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) اگر |а|≤ 1 باشد، معادله sin(x) = a دارای جواب است:

3) اگر |a| > 1، سپس معادله sin(x) = a و cos(x) = a هیچ راه حلی ندارند 4) معادله tg(x)=a یک راه حل دارد: x=arctg(a)+ πk

5) معادله ctg(x)=a یک راه حل دارد: x=arcctg(a)+ πk

برای همه فرمول ها، k یک عدد صحیح است

ساده ترین معادلات مثلثاتی به این شکل است: Т(kx+m)=a، T- هر تابع مثلثاتی.

مثال.

حل معادلات: الف) sin(3x)= √3/2

راه حل:

الف) 3x=t را نشان می دهیم، سپس معادله خود را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

راه حل این معادله خواهد بود: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

از جدول مقادیر بدست می آوریم: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

بیایید به متغیر خود برگردیم: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn،

سپس x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

پاسخ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3، که در آن n یک عدد صحیح است. (-1)^n - منهای یک به توان n.

نمونه های بیشتری از معادلات مثلثاتی.

معادلات را حل کنید: الف) cos(x/5)=1 ب) tg(3x- π/3)= √3

راه حل:

الف) این بار مستقیماً به محاسبه ریشه های معادله می رویم:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. سپس x/5= πk => x=5πk

پاسخ: x=5πk که k یک عدد صحیح است.

ب) به شکل می نویسیم: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. می دانیم که: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

پاسخ: x=2π/9 + πk/3 که k یک عدد صحیح است.

حل معادلات: cos(4x)= √2/2. و تمام ریشه ها را در بخش پیدا کنید.

راه حل:

ما تصمیم خواهیم گرفت نمای کلیمعادله ما: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

حالا بیایید ببینیم چه ریشه هایی در بخش ما می افتد. برای k برای k=0، x= π/16، ما در بخش داده شده هستیم.
با k=1 x= π/16+ π/2=9π/16 دوباره ضربه می زنند.
برای k=2، x= π/16+ π=17π/16، اما در اینجا ما ضربه ای نزدیم، یعنی برای k بزرگ هم نخواهیم زد.

پاسخ: x= π/16، x= 9π/16

دو روش اصلی راه حل

ما ساده ترین معادلات مثلثاتی را در نظر گرفته ایم، اما معادلات پیچیده تری نیز وجود دارد. برای حل آنها از روش معرفی متغیر جدید و روش فاکتورسازی استفاده می شود. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

بیایید معادله را حل کنیم:

راه حل:
برای حل معادله خود از روش معرفی یک متغیر جدید استفاده می کنیم که نشان داده می شود: t=tg(x).

در نتیجه جایگزینی، به دست می آوریم: t 2 + 2t -1 = 0

بیایید ریشه ها را پیدا کنیم معادله درجه دوم: t=-1 و t=1/3

سپس tg(x)=-1 و tg(x)=1/3، ساده ترین معادله مثلثاتی را بدست آوردیم، بیایید ریشه های آن را پیدا کنیم.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

پاسخ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

نمونه ای از حل معادله

حل معادلات: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

راه حل:

بیایید از هویت استفاده کنیم: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

معادله ما می شود: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

بیایید جایگزین t=cos(x) را معرفی کنیم: 2t 2 -3t - 2 = 0

راه حل معادله درجه دوم ما ریشه ها هستند: t=2 و t=-1/2

سپس cos(x)=2 و cos(x)=-1/2.

زیرا کسینوس نمی تواند مقادیر بیشتر از یک بگیرد، پس cos(x)=2 ریشه ندارد.

برای cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

پاسخ: x= ±2π/3 + 2πk

معادلات مثلثاتی همگن.

تعریف: معادله ای به شکل a sin(x)+b cos(x) معادلات مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

معادلات فرم

معادلات مثلثاتی همگن درجه دوم

برای حل یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول، آن را بر cos(x) تقسیم می کنیم: اگر برابر با صفر باشد، تقسیم بر کسینوس غیرممکن است، بیایید مطمئن شویم که اینطور نیست:
اجازه دهید cos(x)=0، سپس asin(x)+0=0 => sin(x)=0، اما سینوس و کسینوس همزمان با صفر برابر نیستند، ما یک تضاد گرفتیم، بنابراین می‌توانیم با خیال راحت تقسیم کنیم. با صفر

معادله را حل کنید:
مثال: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

راه حل:

فاکتور مشترک را حذف کنید: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

سپس باید دو معادله را حل کنیم:

cos(x)=0 و cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 برای x= π/2 + πk;

معادله cos(x)+sin(x)=0 را در نظر بگیرید معادله ما را بر cos(x) تقسیم کنید:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

پاسخ: x= π/2 + πk و x= -π/4+πk

چگونه معادلات مثلثاتی همگن درجه دو را حل کنیم؟
بچه ها، همیشه به این قوانین پایبند باشید!

1. ببینید ضریب a برابر است با چه چیزی، اگر a \u003d 0 باشد، معادله ما به شکل cos (x) (bsin (x) + ccos (x) خواهد بود که نمونه ای از راه حل آن در حالت قبلی است. اسلاید

2. اگر a≠0، پس باید هر دو بخش معادله را بر مجذور کسینوس تقسیم کنید، به دست می‌آید:

با تغییر متغیر t=tg(x) معادله بدست می آید:

حل مثال #:3

معادله را حل کنید:
راه حل:

دو طرف معادله را بر مربع کسینوس تقسیم کنید:

ما تغییری در متغیر t=tg(x) ایجاد می کنیم: t 2 + 2 t - 3 = 0

ریشه های معادله درجه دوم t=-3 و t=1 را بیابید

سپس: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

پاسخ: x=-arctg(3) + πk و x= π/4+ πk

حل مثال #:4

معادله را حل کنید:

راه حل:
بیایید بیان خود را تغییر دهیم:

ما می توانیم چنین معادلاتی را حل کنیم: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

پاسخ: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

حل مثال #:5

معادله را حل کنید:

راه حل:
بیایید بیان خود را تغییر دهیم:

ما جایگزین tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 را معرفی می کنیم

جواب معادله درجه دوم ما به صورت ریشه خواهد بود: t=-2 و t=1/2

سپس بدست می آوریم: tg(2x)=-2 و tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

پاسخ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 و x=arctg(1/2)/2+ πk/2

وظایف برای راه حل مستقل.

1) معادله را حل کنید

الف) sin(7x)= 1/2 ب) cos(3x)= √3/2 ج) cos(-x) = -1 د) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) معادلات را حل کنید: sin(3x)= √3/2. و تمام ریشه های قطعه [π/2; π].

3) معادله را حل کنید: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) معادله را حل کنید: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) معادله را حل کنید: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) معادله را حل کنید: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)