این ماشین حساب آنلاین به شما امکان می دهد معادلات دیفرانسیل را بصورت آنلاین حل کنید. کافی است معادله خود را در فیلد مربوطه وارد کنید که عبارت "مشتق تابع" را از طریق آپستروف نشان می دهد و بر روی دکمه "حل معادله" کلیک کنید و سیستم پیاده سازی شده بر اساس سایت محبوب WolframAlpha جزئیات کامل را ارائه می دهد. حل معادله دیفرانسیلکاملا رایگان همچنین می توانید مسئله کوشی را تنظیم کنید تا ضریب مربوط به شرایط اولیه داده شده را از کل مجموعه راه حل های ممکن انتخاب کنید. مشکل کوشی در یک فیلد جداگانه وارد می شود.

معادله دیفرانسیل

تابع پیش فرض در معادله است yتابعی از یک متغیر است ایکس... با این حال، شما می توانید نام خود را برای متغیر تعیین کنید، اگر برای مثال، y (t) را در معادله بنویسید، ماشین حساب به طور خودکار تشخیص می دهد که yتابعی از یک متغیر وجود دارد تی... با ماشین حساب می توانید حل معادلات دیفرانسیلاز هر پیچیدگی و نوع: همگن و ناهمگن، خطی یا غیرخطی، مرتبه اول یا مرتبه دوم و بالاتر، معادلات با متغیرهای قابل تفکیک یا غیرقابل تفکیک و غیره. راه حل دیفرانسیل معادله به صورت تحلیلی ارائه شده است، دارای توضیحات مفصلی است. معادلات دیفرانسیل در فیزیک و ریاضیات بسیار رایج هستند. بدون محاسبه آنها، حل بسیاری از مسائل (به ویژه در فیزیک ریاضی) غیرممکن است.

یکی از مراحل حل معادلات دیفرانسیل، ادغام توابع است. روش های استانداردی برای حل معادلات دیفرانسیل وجود دارد. لازم است معادلات را با متغیرهای قابل تفکیک y و x به شکل درآورده و توابع جدا شده را به صورت جداگانه یکپارچه کنیم. برای انجام این کار، گاهی اوقات باید یک جایگزین خاص انجام شود.

در برخی مسائل فیزیک، نمی توان ارتباط مستقیمی بین کمیت های توصیف کننده فرآیند ایجاد کرد. اما می توان یک برابری حاوی مشتقات توابع مورد مطالعه به دست آورد. معادلات دیفرانسیل و نیاز به حل آنها برای یافتن یک تابع مجهول اینگونه است.

این مقاله برای کسانی است که با مشکل حل یک معادله دیفرانسیل مواجه هستند که در آن تابع مجهول تابعی از یک متغیر است. ساختار تئوری به گونه ای است که با نمایش صفر معادلات دیفرانسیل، شما قادر خواهید بود از پس وظیفه خود برآیید.

به هر نوع معادلات دیفرانسیل یک روش حل با توضیحات دقیق و راه حل برای مثال ها و مسائل معمولی اختصاص داده می شود. شما فقط باید شکل معادله دیفرانسیل مسئله خود را تعیین کنید، یک مثال تحلیل شده مشابه پیدا کنید و اقدامات مشابهی را انجام دهید.

برای حل موفقیت آمیز معادلات دیفرانسیل، همچنین باید بتوانید مجموعه ای از پاد مشتق ها (انتگرال های نامشخص) از توابع مختلف را پیدا کنید. در صورت لزوم توصیه می کنیم به بخش مراجعه کنید.

ابتدا انواع معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را که با توجه به مشتق قابل حل هستند در نظر می گیریم، سپس به ODE مرتبه دوم می پردازیم، سپس به معادلات مرتبه بالاتر می پردازیم و با سیستم های دیفرانسیل پایان می دهیم. معادلات

به یاد بیاورید که اگر y تابعی از آرگومان x باشد.

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول.

ساده ترین معادلات دیفرانسیل مرتبه اول فرم.

بیایید چند نمونه از چنین DE ها را بنویسیم .

معادلات دیفرانسیل را می توان با توجه به مشتق با تقسیم هر دو طرف تساوی بر f (x) حل کرد. در این حالت به معادله ای می رسیم که معادل معادله اصلی برای f (x) ≠ 0 خواهد بود. نمونه هایی از این ODE ها هستند.

اگر مقادیری از آرگومان x وجود داشته باشد که توابع f (x) و g (x) به طور همزمان ناپدید شوند، راه حل های اضافی ظاهر می شوند. راه حل های اضافی معادله x داده شده هر تابعی است که برای آن مقادیر آرگومان تعریف شده است. نمونه هایی از این معادلات دیفرانسیل را می توان ارائه داد.

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم.

معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت.

LODE با ضرایب ثابت شکل بسیار رایجی از معادلات دیفرانسیل است. راه حل آنها به خصوص دشوار نیست. ابتدا ریشه های معادله مشخصه پیدا می شود ... برای p و q مختلف، سه حالت ممکن است: ریشه های معادله مشخصه می تواند واقعی و متمایز، واقعی و همزمان باشد. یا مزدوج پیچیده بسته به مقادیر ریشه های معادله مشخصه، جواب کلی معادله دیفرانسیل به صورت نوشته می شود. ، یا ، یا به ترتیب.

به عنوان مثال، یک معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت را در نظر بگیرید. ریشه معادله مشخصه آن k 1 = -3 و k 2 = 0 است. ریشه ها واقعی و متفاوت هستند، بنابراین، جواب کلی LODE با ضرایب ثابت شکل دارد


معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت.

جواب کلی LDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت y به صورت مجموع جواب کلی LDE مربوطه جستجو می شود. و یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن اصلی، یعنی. بخش قبل به یافتن یک جواب کلی برای معادله دیفرانسیل همگن با ضرایب ثابت اختصاص دارد. یک راه حل خاص یا با روش ضرایب نامشخص برای شکل خاصی از تابع f (x) که در سمت راست معادله اصلی قرار دارد، یا با روش تغییر ضرایب دلخواه تعیین می شود.

به عنوان نمونه هایی از LDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت، ما ارائه می دهیم


برای درک نظریه و آشنایی با حل های دقیق مثال ها، در صفحه معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت را به شما پیشنهاد می کنیم.

معادلات دیفرانسیل همگن خطی (LODE) و معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی (LDE) مرتبه دوم.

یک مورد خاص از معادلات دیفرانسیل از این نوع LODE و LDE با ضرایب ثابت هستند.

جواب کلی LODE در یک بخش معین با ترکیب خطی دو راه حل خاص خطی مستقل y 1 و y 2 این معادله نشان داده می شود، یعنی: .

مشکل اصلی دقیقاً در یافتن راه حل های خاص مستقل خطی از یک معادله دیفرانسیل از این نوع نهفته است. معمولاً راه‌حل‌های خاصی از سیستم‌های زیر با توابع مستقل خطی انتخاب می‌شوند:


با این حال، راه حل های خصوصی همیشه به این شکل ارائه نمی شوند.

نمونه ای از LODU است .

راه‌حل کلی LHDE به این شکل جستجو می‌شود، جایی که راه‌حل کلی LHDE مربوطه است، و راه‌حل خاصی از معادله دیفرانسیل اصلی است. ما به تازگی در مورد یافتن صحبت کردیم، اما می توان آن را با استفاده از روش تغییر ثابت های دلخواه تعیین کرد.

نمونه ای از LNDE است .

معادلات دیفرانسیل مرتبه های بالاتر

معادلات دیفرانسیل پذیرش کاهش سفارش.

ترتیب معادلات دیفرانسیل که تابع مورد نظر و مشتقات آن تا مرتبه k-1 را ندارد، می توان با جایگزینی به n-k کاهش داد.

در این حالت معادله دیفرانسیل اصلی به کاهش می یابد. پس از یافتن جواب آن p (x)، باقی می ماند که به جایگزین برگردیم و تابع مجهول y را تعیین کنیم.

مثلا معادله دیفرانسیل پس از جایگزینی تبدیل به یک معادله قابل تفکیک می شود و ترتیب آن از سوم به اول کاهش می یابد.

معادله دیفرانسیل معمولی معادله اتصال متغیر مستقل، تابع مجهول این متغیر و مشتقات (یا دیفرانسیل) آن از مرتبه های مختلف نامیده می شود.

ترتیب معادله دیفرانسیل مرتبه بالاترین مشتق موجود در آن نامیده می شود.

علاوه بر معادلات معمولی، معادلات دیفرانسیل جزئی نیز مورد مطالعه قرار گرفته است. اینها معادلاتی هستند که متغیرهای مستقل، تابع مجهول این متغیرها و مشتقات جزئی آن را با توجه به متغیرهای مشابه به هم متصل می کنند. اما ما فقط در نظر خواهیم گرفت معادلات دیفرانسیل معمولی و از این رو برای اختصار از کلمه «معمولی» صرف نظر می کنیم.

نمونه هایی از معادلات دیفرانسیل:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

معادله (1) مرتبه چهارم، معادله (2) مرتبه سوم، معادلات (3) و (4) مرتبه دوم و معادله (5) مرتبه اول هستند.

معادله دیفرانسیل nمرتبه -ام نباید به طور صریح شامل یک تابع، تمام مشتقات آن از اول تا باشد nمرتبه و متغیر مستقل. ممکن است مشتقات برخی از دستورات، یک تابع، یک متغیر مستقل را به صراحت نداشته باشد.

به عنوان مثال، در معادله (1) به وضوح هیچ مشتقی از مرتبه سوم و دوم و همچنین تابع وجود ندارد. در معادله (2) - مشتق و تابع مرتبه دوم؛ در معادله (4) - یک متغیر مستقل. در معادله (5) - توابع. فقط معادله (3) به طور صریح شامل تمام مشتقات، تابع و متغیر مستقل است.

با حل معادله دیفرانسیل هر تابعی فراخوانی می شود y = f (x)، هنگامی که به یک معادله جایگزین شود، به یک هویت تبدیل می شود.

فرآیند یافتن راه حل برای معادله دیفرانسیل آن را می گویند یکپارچه سازی.

مثال 1.یک راه حل برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید این معادله را به شکل بنویسیم. راه حل این است که تابع را با مشتق آن پیدا کنید. تابع اولیه، همانطور که از حساب انتگرال مشخص است، ضد مشتق برای، i.e.

همین است حل یک معادله دیفرانسیل معین ... در آن تغییر می کند سی، راه حل های مختلفی دریافت خواهیم کرد. ما دریافتیم که راه حل های بی نهایت زیادی برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول وجود دارد.

حل کلی معادله دیفرانسیل nمرتبه -ام راه حل آن است که به صراحت با توجه به یک تابع ناشناخته بیان می شود و حاوی است nثابت های دلخواه مستقل، یعنی

راه حل معادله دیفرانسیل در مثال 1 عمومی است.

با حل خاصی از معادله دیفرانسیل راه حل آن نامیده می شود که در آن مقادیر عددی خاصی به ثابت های دلخواه داده می شود.

مثال 2.جواب کلی معادله دیفرانسیل و جواب خاص را پیدا کنید .

راه حل. ما هر دو طرف معادله را به تعداد مرتبه معادله دیفرانسیل ادغام می کنیم.

,

.

در نتیجه، ما یک راه حل کلی دریافت کردیم -

معادله دیفرانسیل داده شده از مرتبه سوم.

اکنون ما یک راه حل خاص در شرایط مشخص شده پیدا خواهیم کرد. برای انجام این کار، مقادیر آنها را به جای ضرایب دلخواه جایگزین کنید و بدست آورید

.

اگر علاوه بر معادله دیفرانسیل، یک شرط اولیه در فرم داده شود، چنین مسئله ای نامیده می شود مشکل کوشی ... مقادیر و در حل کلی معادله جایگزین می شوند و مقدار یک ثابت دلخواه پیدا می شود سیو سپس یک راه حل خاص از معادله برای مقدار یافت شده سی... این راه حل مشکل کوشی است.

مثال 3.حل مشکل کوشی برای معادله دیفرانسیل از مثال 1 تحت شرط.

راه حل. اجازه دهید مقادیر از شرایط اولیه را در راه حل کلی جایگزین کنیم y = 3, ایکس= 1. می گیریم

ما حل مسئله کوشی را برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول می نویسیم:

حل معادلات دیفرانسیل، حتی ساده ترین آنها، به مهارت های خوبی در ادغام و گرفتن مشتقات، از جمله توابع پیچیده نیاز دارد. این را می توان در مثال زیر مشاهده کرد.

مثال 4.جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید.

راه حل. معادله به گونه ای نوشته شده است که می توانید بلافاصله هر دو قسمت آن را ادغام کنید.

.

روش ادغام با تغییر متغیر (جایگزینی) را اعمال می کنیم. بگذار پس

اخذ آن الزامی است dxو اکنون - توجه - ما آن را طبق قوانین تمایز یک تابع پیچیده انجام می دهیم، زیرا ایکسو یک تابع پیچیده وجود دارد ("سیب" استخراج ریشه دوم یا همان چیزی است که قدرت "یک دوم" است و "mince" همان عبارت زیر ریشه است):

انتگرال را پیدا کنید:

بازگشت به متغیر ایکس، ما گرفتیم:

.

این جواب کلی این معادله دیفرانسیل درجه یک است.

در حل معادلات دیفرانسیل نه تنها مهارت‌های بخش‌های قبلی ریاضیات عالی، بلکه مهارت‌های ابتدایی، یعنی ریاضی مدرسه نیز مورد نیاز است. همانطور که قبلا ذکر شد، در یک معادله دیفرانسیل از هر مرتبه ممکن است یک متغیر مستقل، یعنی یک متغیر وجود نداشته باشد. ایکس... دانش در مورد نسبت، فراموش نشده (اما، چگونه کسی) از مدرسه، به حل این مشکل کمک می کند. این مثال بعدی است.

حل معادلات دیفرانسیل. به لطف خدمات آنلاین ما می توانید معادلات دیفرانسیل از هر نوع و پیچیدگی را حل کنید: ناهمگن، همگن، غیر خطی، خطی، مرتبه اول، دوم، با متغیرهای قابل تفکیک یا غیر قابل تفکیک و غیره. حل معادلات دیفرانسیل را به صورت تحلیلی با توضیحات دقیق بدست می آورید. بسیاری از مردم تعجب می کنند: چرا حل معادلات دیفرانسیل به صورت آنلاین ضروری است؟ این نوع معادلات در ریاضیات و فیزیک بسیار رایج است، جایی که حل بسیاری از مسائل بدون محاسبه معادله دیفرانسیل غیرممکن خواهد بود. معادلات دیفرانسیل در اقتصاد، پزشکی، زیست شناسی، شیمی و سایر علوم نیز رایج است. حل چنین معادله ای به صورت آنلاین وظایف محول شده شما را تا حد زیادی تسهیل می کند، این امکان را فراهم می کند که مطالب را بهتر جذب کنید و خود را آزمایش کنید. مزایای حل معادلات دیفرانسیل آنلاین یک سایت خدمات ریاضی مدرن به شما امکان می دهد معادلات دیفرانسیل را با هر پیچیدگی به صورت آنلاین حل کنید. همانطور که می دانید معادلات دیفرانسیل انواع مختلفی دارند و هر کدام راه حل های مخصوص به خود را دارند. در سرویس ما می توانید راه حل های معادلات دیفرانسیل از هر نوع و مرتبه ای را به صورت آنلاین پیدا کنید. برای به دست آوردن راه حل، پیشنهاد می کنیم داده های اولیه را پر کرده و روی دکمه "راه حل" کلیک کنید. خطاهای سرویس مستثنی هستند، بنابراین می توانید 100٪ مطمئن باشید که پاسخ صحیح را دریافت کرده اید. معادلات دیفرانسیل را با سرویس ما حل کنید. معادلات دیفرانسیل را به صورت آنلاین حل کنید. به طور پیش فرض، در چنین معادله ای، تابع y تابعی از متغیر x است. اما می توانید نام متغیر خود را نیز مشخص کنید. به عنوان مثال، اگر y (t) را در معادله دیفرانسیل مشخص کنید، سرویس ما به طور خودکار تعیین می کند که y تابعی از متغیر t است. ترتیب کل معادله دیفرانسیل به ترتیب حداکثر مشتق تابع موجود در معادله بستگی دارد. حل چنین معادله ای به معنای یافتن تابع مورد نظر است. خدمات ما به شما کمک می کند معادلات دیفرانسیل را به صورت آنلاین حل کنید. برای حل معادله تلاش زیادی از طرف شما نمی خواهد. فقط باید سمت چپ و راست معادله خود را در فیلدهای مورد نیاز وارد کنید و روی دکمه "Solution" کلیک کنید. هنگام وارد کردن مشتق یک تابع، لازم است که آن را از طریق آپوستروف نشان دهیم. در عرض چند ثانیه، یک راه حل دقیق و آماده برای معادله دیفرانسیل دریافت خواهید کرد. خدمات ما کاملا رایگان است. معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک. اگر در یک معادله دیفرانسیل در سمت چپ عبارتی وجود داشته باشد که به y بستگی دارد و در سمت راست عبارتی وجود داشته باشد که به x بستگی دارد، آنگاه چنین معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک فراخوانی می شود. در سمت چپ می توان یک مشتق از y وجود داشته باشد، حل معادلات دیفرانسیل از این نوع به شکل تابع y خواهد بود که از طریق انتگرال سمت راست معادله بیان می شود. اگر دیفرانسیل تابع y در سمت چپ باشد، هر دو طرف معادله یکپارچه می شوند. زمانی که متغیرها در یک معادله دیفرانسیل از هم جدا نیستند، برای به دست آوردن معادله دیفرانسیل تقسیم، باید تقسیم شوند. معادله دیفرانسیل خطی معادله دیفرانسیل خطی یک معادله دیفرانسیل است که تابع و تمام مشتقات آن در درجه اول قرار دارند. نمای کلی معادله: y '+ a1 (x) y = f (x). f (x) و a1 (x) توابع پیوسته x هستند. حل معادلات دیفرانسیل از این نوع به ادغام دو معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا کاهش می یابد. ترتیب معادله دیفرانسیل. معادله دیفرانسیل می تواند از مرتبه اول، دوم، n ام باشد. ترتیب یک معادله دیفرانسیل، ترتیب بالاترین مشتق را تعیین می کند. در سرویس ما می توانید معادلات دیفرانسیل را به صورت آنلاین اول، دوم، سوم و غیره حل کنید. سفارش. راه حل معادله هر تابع y = f (x) خواهد بود، با جایگزینی آن در معادله، هویت را دریافت می کنید. فرآیند یافتن جواب معادله دیفرانسیل را انتگرال می گویند. مشکل کوشی اگر علاوه بر خود معادله دیفرانسیل، شرط اولیه y (x0) = y0 مشخص شود، به این مسئله کوشی می گویند. شاخص‌های y0 و x0 به حل معادله اضافه می‌شوند و مقدار ثابت دلخواه C را تعیین می‌کنند و سپس یک راه‌حل خاص از معادله در این مقدار C را تعیین می‌کنند. این راه‌حل مسئله کوشی است. به مسئله کوشی، مسئله شرایط مرزی نیز گفته می شود که در فیزیک و مکانیک بسیار رایج است. شما همچنین این فرصت را دارید که مسئله کوشی را تنظیم کنید، یعنی از بین تمام راه حل های ممکن برای معادله، ضریبی را انتخاب کنید که شرایط اولیه داده شده را داشته باشد.

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول. نمونه هایی از راه حل ها
معادلات دیفرانسیل قابل تفکیک

معادلات دیفرانسیل (DE). این دو کلمه معمولاً افراد عادی را به وحشت می اندازند. معادلات دیفرانسیل برای بسیاری از دانش آموزان چیزی ظالمانه و دشوار به نظر می رسد. Uuuuuuu ... معادلات دیفرانسیل، چگونه می توانم از این همه جان سالم به در ببرم؟!

این نظر و این نگرش از اساس اشتباه است، زیرا در واقع معادلات دیفرانسیل ساده و حتی سرگرم کننده هستند... برای یادگیری نحوه حل معادلات دیفرانسیل چه چیزهایی باید بدانید و بتوانید؟ برای مطالعه موفقیت آمیز دیفورا، باید در ادغام و تمایز خوب باشید. هر چه موضوعات بهتر مطالعه شوند مشتق تابع یک متغیرو انتگرال نامعین، درک معادلات دیفرانسیل آسان تر خواهد بود. من بیشتر می گویم، اگر مهارت های یکپارچه سازی کم و بیش مناسبی دارید، پس موضوع عملا تسلط دارد! هر چه انتگرال های انواع مختلف بیشتری را بتوانید حل کنید، بهتر است. چرا؟ چیزهای زیادی برای ادغام وجود دارد. و متمایز کند. همچنین به شدت توصیه می شودپیدا کردن را یاد بگیر

در 95 درصد موارد، 3 نوع معادله دیفرانسیل مرتبه اول در مقالات کنترلی مشاهده می شود: معادلات قابل تفکیککه در این درس به آن خواهیم پرداخت؛ معادلات همگنو معادلات ناهمگن خطی... برای مبتدیان برای مطالعه انتشار، به شما توصیه می کنم که با درس های این دنباله آشنا شوید و پس از مطالعه دو مقاله اول، تثبیت مهارت های آنها در یک کارگاه اضافی ضرری ندارد - معادلات کاهش به همگن.

حتی انواع نادری از معادلات دیفرانسیل وجود دارد: معادلات در دیفرانسیل کل، معادلات برنولی، و برخی دیگر. مهمترین دو نوع آخر معادلات در مجموع دیفرانسیل هستند، زیرا علاوه بر این DE من یک ماده جدید را در نظر دارم - ادغام جزئی.

اگر فقط یک یا دو روز فرصت دارید، سپس برای آماده سازی فوق العاده سریعوجود دارد دوره رعد اسادر قالب pdf

بنابراین، نشانه ها تنظیم شده اند - بیایید برویم:

اجازه دهید ابتدا معادلات جبری معمول را یادآوری کنیم. آنها حاوی متغیرها و اعداد هستند. ساده ترین مثال:. حل یک معادله معمولی به چه معناست؟ یعنی پیدا کردن تعداد زیادیکه این معادله را برآورده می کند. به راحتی می توان فهمید که معادله کودکان یک ریشه دارد:. برای سرگرمی، بیایید بررسی کنیم، ریشه یافت شده را در معادله خود جایگزین کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، یعنی راه حل به درستی پیدا شده است.

تفاوت ها شبیه هم هستند!

معادله دیفرانسیل سفارش اولبه طور کلی شامل:
1) متغیر مستقل؛
2) متغیر وابسته (تابع)؛
3) اولین مشتق تابع:.

در برخی از معادلات مرتبه 1، ممکن است "x" یا (و) "بازی" وجود نداشته باشد، اما این ضروری نیست - مهمبه طوری که در DU بودمشتق اول، و نداشتمشتقات مرتبه بالاتر - و غیره

یعنی چی؟حل معادله دیفرانسیل یعنی پیدا کردن بسیاری از همه توابعکه این معادله را برآورده می کند. چنین مجموعه ای از توابع اغلب دارای شکل (یک ثابت دلخواه است) است که نامیده می شود حل کلی معادله دیفرانسیل.

مثال 1

حل معادله دیفرانسیل

بار کامل مهمات از کجا شروع کنیم راه حل?

اول از همه، شما باید مشتق را به شکل کمی متفاوت بازنویسی کنید. ما نام دست و پا گیر را به یاد می آوریم، که احتمالاً اکثر شما مضحک و غیر ضروری به نظر می رسید. در diffura این است که رانندگی می کند!

در مرحله دوم، بیایید ببینیم آیا امکان پذیر است یا خیر متغیرها را تقسیم کنیم؟تقسیم متغیرها به چه معناست؟ به طور کلی، در سمت چپما باید ترک کنیم فقط "گیمرها"، آ در سمت راستسازمان دادن فقط "x"... جداسازی متغیرها با استفاده از دستکاری های "مدرسه ای" انجام می شود: پرانتز، انتقال اصطلاحات از قسمتی به جزء با تغییر علامت، انتقال عوامل از قسمتی به جزء طبق قاعده تناسب و غیره.

دیفرانسیل و ضریب کامل و شرکت کننده فعال در خصومت ها هستند. در مثال مورد بررسی، متغیرها به راحتی با پرتاب ضریب بر اساس قاعده تناسب از هم جدا می شوند:

متغیرها از هم جدا شده اند. در سمت چپ فقط "بازی" وجود دارد، در سمت راست - فقط "X".

مرحله بعد - ادغام یک معادله دیفرانسیل... ساده است، ما انتگرال ها را در هر دو طرف آویزان می کنیم:

البته انتگرال ها را باید گرفت. در این مورد، آنها به صورت جدولی هستند:

همانطور که به یاد داریم، یک ثابت به هر پاد مشتق اختصاص داده می شود. در اینجا دو انتگرال وجود دارد، اما کافی است ثابت را یک بار بنویسیم (از آنجایی که ثابت + ثابت همچنان با یک ثابت دیگر برابر است)... در بیشتر موارد در سمت راست قرار می گیرد.

به بیان دقیق، پس از گرفتن انتگرال ها، معادله دیفرانسیل حل شده در نظر گرفته می شود. تنها چیزی که وجود دارد این است که "بازی" ما از طریق "x" بیان نمی شود، یعنی راه حل ارائه می شود به صورت ضمنیفرم. حل معادله دیفرانسیل به صورت ضمنی نامیده می شود انتگرال کلی یک معادله دیفرانسیل... یعنی یک انتگرال کلی است.

پاسخ در این فرم کاملا قابل قبول است، اما آیا گزینه بهتری وجود ندارد؟ بیایید برای بدست آوردن تلاش کنیم تصمیم مشترک.

لطفا، اولین تکنیک را به خاطر بسپار، بسیار رایج است و اغلب در تمرینات عملی استفاده می شود: اگر لگاریتم پس از ادغام در سمت راست ظاهر شود، در بسیاری از موارد (اما نه همیشه!) توصیه می شود ثابت را زیر لگاریتم بنویسید..

به این معنا که، بجایمدخل ها معمولا نوشته می شوند .

چرا این مورد نیاز است؟ و به منظور سهولت در بیان "بازی". استفاده از خاصیت لگاریتم ... در این مورد:

اکنون لگاریتم ها و ماژول ها را می توان حذف کرد:

تابع به صراحت ارائه شده است. این راه حل کلی است.

پاسخ: تصمیم مشترک: .

تأیید پاسخ به بسیاری از معادلات دیفرانسیل نسبتاً آسان است. در مورد ما، این کار به سادگی انجام می شود، ما راه حل پیدا شده را می گیریم و آن را متمایز می کنیم:

سپس مشتق را به معادله اصلی جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که جواب کلی معادله ای را برآورده می کند که باید تأیید شود.

با دادن مقادیر مختلف به یک ثابت، می توانید بی نهایت مقادیر را بدست آورید راه حل های خصوصیمعادله دیفرانسیل. واضح است که هر یک از توابع و غیره. معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

راه حل کلی گاهی اوقات به عنوان نامیده می شود خانواده توابع... در این مثال راه حل کلی این است خانواده ای از توابع خطی، یا بهتر است بگوییم، خانواده ای از نسبت های مستقیم است.

پس از جویدن کامل مثال اول، مناسب است به چند سوال ساده در مورد معادلات دیفرانسیل پاسخ دهیم:

1)در این مثال، ما موفق شدیم متغیرها را تقسیم کنیم. آیا می توان این کار را همیشه انجام داد؟نه همیشه نه و حتی بیشتر اوقات، متغیرها را نمی توان تقسیم کرد. به عنوان مثال، در معادلات مرتبه اول همگن، ابتدا باید تعویض کنید. در انواع دیگر معادلات، به عنوان مثال، در یک معادله مرتبه اول ناهمگن خطی، باید از تکنیک ها و روش های مختلفی برای یافتن یک راه حل کلی استفاده کنید. معادلات قابل تفکیک که در درس اول در نظر می گیریم ساده ترین نوع معادلات دیفرانسیل هستند.

2) آیا همیشه امکان ادغام یک معادله دیفرانسیل وجود دارد؟نه همیشه نه رسیدن به معادله "فانتزی" که قابل ادغام نباشد بسیار آسان است، علاوه بر این، انتگرال های غیر پیش پا افتاده نیز وجود دارد. اما چنین DE ها را می توان تقریباً با استفاده از روش های خاص حل کرد. دالامبر و کوشی تضمین می کنند ... ... اوه، لورکمور. فقط زیاد بخوانید، تقریباً "از دنیای دیگر" اضافه شده است.

3) در این مثال راه حلی به صورت یک انتگرال کلی به دست آورده ایم ... آیا همیشه می توان از یک انتگرال کلی یک راه حل کلی یافت، یعنی «بازی» را به صورت صریح بیان کرد؟نه همیشه نه مثلا: . خوب ، چگونه می توانم "بازی" را بیان کنم؟! در این گونه موارد، پاسخ باید به صورت یک انتگرال کلی نوشته شود. علاوه بر این، گاهی اوقات می توان یک راه حل کلی پیدا کرد، اما آنقدر دست و پا گیر و ناشیانه نوشته شده است که بهتر است پاسخ را به صورت یک انتگرال کلی بگذاریم.

4) ... احتمالاً در حال حاضر کافی است. در مثال اول با هم آشنا شدیم یک نکته مهم دیگر، اما برای اینکه "دومیک ها" را با بهمن اطلاعات جدید نپوشانم، آن را تا درس بعدی می گذارم.

عجله نکنیم یک کنترل از راه دور ساده دیگر و یک راه حل معمولی دیگر:

مثال 2

یک راه حل خاص از یک معادله دیفرانسیل که شرط اولیه را برآورده می کند، پیدا کنید

راه حل: بر اساس شرط لازم است پیدا شود راه حل خصوصی DE یک شرط اولیه معین را برآورده می کند. به این صورت بندی سوال نیز گفته می شود مشکل کوشی.

ابتدا یک راه حل کلی پیدا می کنیم. هیچ متغیر "x" در معادله وجود ندارد، اما این نباید گیج کننده باشد، نکته اصلی این است که مشتق اول را شامل می شود.

مشتق را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم:

بدیهی است که متغیرها را می توان تقسیم کرد، پسران به چپ، دختران به راست:

معادله را ادغام می کنیم:

انتگرال کلی به دست می آید. در اینجا من یک ثابت را با یک ستاره بزرگ رسم کردم، واقعیت این است که خیلی زود به ثابت دیگری تبدیل می شود.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را به یک راه حل کلی تبدیل کنیم (بازی را به صراحت بیان کنید). ما مدرسه قدیمی و خوب را به یاد می آوریم: ... در این مورد:

ثابت موجود در اندیکاتور به نوعی غیرقابل توصیف به نظر می رسد، بنابراین معمولاً از آسمان به زمین پایین می آید. در جزئیات، این اتفاق می افتد. با استفاده از ویژگی power، تابع را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

اگر ثابت است، پس مقداری هم ثابت است، آن را با یک حرف دوباره تعیین می کنیم:

به یاد داشته باشید "تخریب" ثابت است تکنیک دومکه اغلب در حل معادلات دیفرانسیل استفاده می شود.

بنابراین راه حل کلی این است:. چنین خانواده خوبی از توابع نمایی.

در مرحله نهایی، لازم است راه حل خاصی پیدا شود که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند. این هم آسان است.

تکلیف چیست؟ برداشتن ضروری است چنینمقدار ثابت برای شرطی که باید برآورده شود.

شما می توانید به روش های مختلف طراحی کنید، اما قابل درک ترین، شاید این باشد. در راه حل کلی به جای "x" صفر و به جای "بازی" دو را جایگزین می کنیم:



به این معنا که،

نسخه طراحی استاندارد:

اکنون مقدار ثابت یافت شده را جایگزین جواب کلی می کنیم:
- این راه حل خاصی است که ما نیاز داریم.

پاسخ: راه حل خصوصی:

بیایید بررسی کنیم. تأیید یک راه حل خصوصی شامل دو مرحله است:

ابتدا، لازم است بررسی شود که آیا راه حل خاص یافت شده واقعاً شرایط اولیه را برآورده می کند؟ به جای "x" صفر را جایگزین می کنیم و می بینیم چه اتفاقی می افتد:
- بله، در واقع یک دو حاصل می شود، یعنی شرط اولیه محقق می شود.

مرحله دوم از قبل آشناست. راه حل خاص به دست آمده را می گیریم و مشتق را پیدا می کنیم:

جایگزین در معادله اصلی:

- برابری صحیح به دست می آید.

نتیجه گیری: راه حل خاصی به درستی پیدا شد.

به سراغ مثال های معنادارتر برویم.

مثال 3

حل معادله دیفرانسیل

راه حل:مشتق را به شکلی که نیاز داریم بازنویسی می کنیم:

ارزیابی اینکه آیا متغیرها را می توان تقسیم کرد؟ می توان. عبارت دوم را با تغییر علامت به سمت راست منتقل می کنیم:

و ضریب ها را طبق قاعده تناسب می اندازیم:

متغیرها از هم جدا می شوند، ما هر دو بخش را ادغام می کنیم:

باید هشدار بدهم، روز قیامت در راه است. اگر خوب درس نخوانده اید انتگرال های نامعین، چند نمونه را حل کرده اید، پس جایی برای رفتن وجود ندارد - اکنون باید به آنها تسلط داشته باشید.

انتگرال سمت چپ به راحتی پیدا می شود، می توانیم با استفاده از تکنیک استانداردی که در درس در نظر گرفتیم با انتگرال کوتانژانت مقابله کنیم. ادغام توابع مثلثاتیدر سال گذشته:

در سمت راست ما یک لگاریتم داریم و طبق اولین توصیه فنی من، ثابت نیز باید زیر لگاریتم نوشته شود.

اکنون در تلاشیم تا انتگرال کلی را ساده کنیم. از آنجایی که ما لگاریتم های یکسانی داریم، خلاص شدن از شر آنها کاملاً ممکن (و ضروری) است. با استفاده از خواص شناخته شدهلگاریتم ها را تا حد امکان بسته بندی می کنیم. من با جزئیات کامل خواهم نوشت:

بسته بندی کامل است تا به طرز وحشیانه ای پاک شود:

آیا می توانید "بازی" را بیان کنید؟ می توان. هر دو طرف باید مربع باشند.

اما شما نیازی به انجام این کار ندارید.

نکته فنی سوم:اگر برای به دست آوردن یک راه حل کلی باید به قدرت برسانید یا ریشه ها را استخراج کنید، پس در بیشتر مواردباید از این اعمال خودداری کرد و جواب را در قالب یک انتگرال کلی گذاشت. واقعیت این است که راه حل کلی فقط افتضاح به نظر می رسد - با ریشه های بزرگ، علائم و زباله های دیگر.

بنابراین پاسخ را به صورت انتگرال کلی می نویسیم. ارائه آن به صورت فرم خوب در نظر گرفته می شود، یعنی در سمت راست در صورت امکان فقط یک ثابت باقی بگذارید. انجام این کار ضروری نیست، اما خوشحال کردن استاد همیشه مفید است ;-)

پاسخ:انتگرال عمومی:

! توجه داشته باشید: انتگرال کلی هر معادله را می توان به بیش از یک روش نوشت. بنابراین، اگر نتیجه شما با پاسخ شناخته شده قبلی مطابقت نداشته باشد، به این معنی نیست که معادله را اشتباه حل کرده اید.

انتگرال کلی نیز به راحتی بررسی می شود، نکته اصلی این است که بتوانیم پیدا کنیم مشتق تابع ضمنی... متمایز کردن پاسخ:

هر دو عبارت را ضرب می کنیم:

و تقسیم می کنیم بر:

دقیقا معادله دیفرانسیل اصلی به دست می آید، یعنی انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 4

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند. بررسی.

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید.

یادآوری می کنم که الگوریتم شامل دو مرحله است:
1) یافتن راه حل مشترک؛
2) یافتن راه حل خصوصی مورد نیاز.

بررسی نیز در دو مرحله انجام می شود (نمونه در مثال شماره 2 را ببینید)، شما نیاز دارید:
1) مطمئن شوید که راه حل خاص یافت شده شرایط اولیه را برآورده می کند.
2) بررسی کنید که راه حل خاص به طور کلی معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

مثال 5

یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل پیدا کنید ارضای شرایط اولیه بررسی.

راه حل:ابتدا جواب کلی را می یابیم، این معادله از قبل دارای دیفرانسیل های آماده است و بنابراین، راه حل ساده شده است. جداسازی متغیرها:

معادله را ادغام می کنیم:

انتگرال سمت چپ جدولی است، انتگرال سمت راست گرفته شده است با روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل:

انتگرال کلی به دست می آید، آیا می توان جواب کلی را با موفقیت بیان کرد؟ می توان. لگاریتم ها را از دو طرف آویزان می کنیم. از آنجایی که آنها مثبت هستند، علائم مدول اضافی هستند:

(امیدوارم همه این تحول را درک کنند، چنین چیزهایی باید قبلاً شناخته شده باشند)

بنابراین راه حل کلی این است:

اجازه دهید یک راه حل خاص مطابق با شرایط اولیه داده شده پیدا کنیم.
در جواب کلی به جای «x» صفر و به جای «بازی» لگاریتم دو را جایگزین می کنیم:

طراحی آشناتر:

مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم.

پاسخ:راه حل خصوصی:

بررسی: ابتدا، بیایید بررسی کنیم که آیا شرط اولیه برآورده شده است:
- همه چیز خوب است.

حال اجازه دهید بررسی کنیم که آیا راه حل خاص یافت شده به طور کلی معادله دیفرانسیل را برآورده می کند یا خیر. مشتق را بیابید:

ما به معادله اصلی نگاه می کنیم: - به صورت دیفرانسیل ارائه می شود. دو راه برای بررسی وجود دارد. می توان دیفرانسیل را از مشتق یافت شده بیان کرد:

ما جواب خاص پیدا شده و دیفرانسیل حاصل را در معادله اصلی جایگزین می کنیم :

ما از هویت لگاریتمی پایه استفاده می کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل خاص به درستی پیدا شده است.

راه دوم برای بررسی آینه ای و آشناتر است: از معادله ما مشتق را بیان می کنیم، برای این کار تمام قطعات را بر اساس تقسیم می کنیم:

و در DE تبدیل شده، راه حل خاص به دست آمده و مشتق مشتق شده را جایگزین می کنیم. در نتیجه ساده سازی ها باید برابری صحیح نیز به دست آید.

مثال 6

معادله دیفرانسیل را حل کنید. پاسخ در قالب یک انتگرال کلی ارائه شده است.

این یک مثال برای خودتان انجام دهید، راه حل کامل و پاسخ در انتهای آموزش است.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک چه مشکلاتی در کمین است؟

1) این که متغیرها را می توان به اشتراک گذاشت همیشه واضح نیست (مخصوصاً برای "قوری"). بیایید یک مثال شرطی را در نظر بگیریم:. در اینجا باید فاکتورگیری را از براکت ها انجام دهید: و ریشه ها را جدا کنید:. نحوه ادامه کار مشخص است.

2) مشکلات در خود ادغام. انتگرال ها اغلب خیلی ساده نیستند و در صورت وجود نقص در مهارت های یافتن انتگرال نامعین، پس از آن با بسیاری از انتشار دشوار خواهد بود. علاوه بر این، در میان کامپایلرهای مجموعه ها و راهنماها، منطق رایج است "از آنجایی که معادله دیفرانسیل ساده است، حداقل انتگرال ها پیچیده تر خواهند شد."

3) تبدیل با یک ثابت. همانطور که همه اشاره کردند، ثابت در معادلات دیفرانسیل را می توان کاملا آزادانه مدیریت کرد، و برخی از تبدیل ها همیشه برای یک مبتدی واضح نیستند. مثال مشروط دیگری را در نظر بگیرید: ... در آن، توصیه می شود همه عبارت ها را در 2 ضرب کنید: ... ثابت حاصل نیز نوعی ثابت است که می توان آن را با: ... بله، و از آنجایی که لگاریتم در سمت راست است، توصیه می شود ثابت را به شکل ثابت دیگری بازنویسی کنید: .

مشکل این است که آنها اغلب با نمایه ها زحمت نمی کشند و از همان حرف استفاده می کنند. در نتیجه، رکورد تصمیم به شکل زیر است:

چه نوع بدعتی؟ اشتباهاتی وجود دارد! به طور دقیق، بله. با این حال، از دیدگاه معنادار، هیچ خطایی وجود ندارد، زیرا در نتیجه تبدیل یک ثابت متغیر، همچنان یک ثابت متغیر به دست می آید.

یا مثال دیگری فرض کنید در جریان حل معادله یک انتگرال کلی به دست می آید. این پاسخ زشت به نظر می رسد، بنابراین توصیه می شود علامت را برای هر عبارت تغییر دهید: ... به طور رسمی، اشتباه دیگری در اینجا وجود دارد - باید در سمت راست نوشته شود. اما به طور غیررسمی منظور این است که "منهای tse" هنوز یک ثابت است ( که به همین راحتی هر ارزشی را می گیرد!)، بنابراین گذاشتن "منهای" معنی ندارد و می توانید از همان حرف استفاده کنید.

من سعی خواهم کرد از یک رویکرد نامرتب اجتناب کنم، و همچنان هنگام تبدیل آنها، شاخص های مختلفی را به ثابت ها اختصاص می دهم.

مثال 7

معادله دیفرانسیل را حل کنید. بررسی.

راه حل:این معادله امکان جداسازی متغیرها را فراهم می کند. جداسازی متغیرها:

ما ادغام می کنیم:

ثابت در اینجا لازم نیست به عنوان لگاریتم تعریف شود، زیرا هیچ چیز خوبی از آن حاصل نخواهد شد.

پاسخ:انتگرال عمومی:

تأیید: پاسخ را متمایز کنید (عملکرد ضمنی):

ما از شر کسرها خلاص می شویم، برای این کار هر دو جمله را در ضرب می کنیم:

معادله دیفرانسیل اصلی به دست می آید، به این معنی که انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 8

یک راه حل خصوصی برای کنترل از راه دور پیدا کنید.
,

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. تنها سرنخ این است که در اینجا شما یک انتگرال کلی به دست می آورید، و به عبارت صحیح تر، باید برای یافتن یک راه حل خاص تلاش کنید. انتگرال جزئی... حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.