الگوریتم برای مطالعه کامل یک تابع. طرح کلی برای مطالعه تابع و رسم

برای مطالعه کامل تابع و رسم نمودار آن، توصیه می شود از طرح زیر استفاده کنید:

1) محدوده تابع را پیدا کنید.

2) نقاط ناپیوستگی تابع و مجانب عمودی (در صورت وجود) را پیدا کنید.

3) رفتار تابع را در بی نهایت بررسی کنید، مجانب افقی و مایل را پیدا کنید.

4) تابع را برای یکنواختی (غرابی) و تناوب (برای توابع مثلثاتی) بررسی کنید.

5) حداکثر و فواصل یکنواختی تابع را بیابید.

6) فواصل تحدب و نقاط عطف را تعیین کنید.

7) نقاط تقاطع را با محورهای مختصات، در صورت امکان، و چند نقطه اضافی که نمودار را اصلاح می کند، پیدا کنید.

مطالعه تابع به طور همزمان با ساخت نمودار آن انجام می شود.

مثال 9تابع را کاوش کرده و یک نمودار بسازید.

1. دامنه تعریف: ;

2. تابع در نقاط شکسته می شود
,
;

ما تابع حضور مجانب عمودی را بررسی می کنیم.

;
,
─ مجانب عمودی.

3. تابع وجود مجانب مایل و افقی را بررسی می کنیم.

سر راست
─ مجانب مایل، اگر
,
.

,
.

سر راست
─ مجانب افقی.

4. تابع حتی به این دلیل است
. برابری تابع نشان دهنده تقارن نمودار نسبت به محور y است.

5. فواصل یکنواختی و مادون تابع را بیابید.

بیایید نقاط بحرانی را پیدا کنیم، یعنی. نقاطی که مشتق 0 است یا وجود ندارد:
;
. ما سه امتیاز داریم
;

. این نقاط کل محور واقعی را به چهار بازه تقسیم می کنند. بیایید علائم را تعریف کنیم روی هر یک از آنها

در بازه های (-∞؛ -1) و (-1؛ 0) تابع افزایش می یابد، در بازه های (0؛ 1) و (1؛ +∞) کاهش می یابد. هنگام عبور از یک نقطه
علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند، بنابراین، در این نقطه، تابع دارای حداکثر است
.

6. فواصل تحدب، نقاط عطف را پیدا کنیم.

بیایید نقاطی را پیدا کنیم که در آن 0 است یا وجود ندارد.

ریشه واقعی ندارد
,
,

نکته ها
و
محور واقعی را به سه بازه تقسیم کنید. بیایید علامت را تعریف کنیم در هر بازه زمانی

بنابراین، منحنی در فواصل
و
محدب به سمت پایین، در فاصله (-1;1) محدب به سمت بالا. هیچ نقطه عطفی وجود ندارد، زیرا تابع در نقاط است
و
نامشخص

7. نقاط تقاطع با محورها را بیابید.

با محور
نمودار تابع در نقطه (0؛ -1) و با محور قطع می شود
نمودار قطع نمی شود، زیرا شمارنده این تابع هیچ ریشه واقعی ندارد.

نمودار تابع داده شده در شکل 1 نشان داده شده است.

شکل 1 ─ نمودار تابع

کاربرد مفهوم مشتق در اقتصاد. قابلیت ارتجاعی عملکرد

برای مطالعه فرآیندهای اقتصادی و حل سایر مسائل کاربردی، اغلب از مفهوم کشش یک تابع استفاده می شود.

تعریف.قابلیت ارتجاعی عملکرد
حد نسبت افزایش نسبی تابع نامیده می شود به افزایش نسبی متغیر در
، . (VII)

کشش یک تابع تقریباً چند درصد تغییر تابع را نشان می دهد
هنگام تغییر متغیر مستقل 1 درصد

کشش یک تابع در تجزیه و تحلیل تقاضا و مصرف استفاده می شود. اگر کشش تقاضا (به مقدار مطلق)
، در این صورت تقاضا الاستیک در نظر گرفته می شود اگر
─ خنثی اگر
─ بی کشش نسبت به قیمت (یا درآمد).

مثال 10کشش یک تابع را محاسبه کنید
و مقدار شاخص کشش را برای = 3.

راه حل: طبق فرمول (VII) کشش تابع:

اجازه دهید x=3 سپس
به این معنی که اگر متغیر مستقل 1% افزایش یابد، مقدار متغیر وابسته 1.42% افزایش می یابد.

مثال 11اجازه دهید تقاضا عملکرد داشته باشد در مورد قیمت فرم را دارد
، جایی که ─ ضریب ثابت. مقدار شاخص کشش تابع تقاضا را به قیمت x = 3 den بیابید. واحدها

راه حل: با استفاده از فرمول (VII) کشش تابع تقاضا را محاسبه کنید.

با فرض اینکه
واحدهای پولی دریافت می کنیم
. این بدان معنی است که در قیمت
واحد پولی افزایش قیمت 1 درصدی باعث کاهش 6 درصدی تقاضا می شود. تقاضا کشش است

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اخطارها و ارتباطات مهم برای شما استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلفبرای بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم.
اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین در برابر دسترسی، افشا، تغییر و تخریب غیرمجاز انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

دستورالعمل

محدوده تابع را پیدا کنید. برای مثال، تابع sin(x) در کل بازه از -∞ تا +∞، و تابع 1/x از -∞ تا +∞ تعریف می‌شود، به جز نقطه x = 0.

مناطق تداوم و نقاط شکست را تعریف کنید. معمولاً یک تابع در همان دامنه ای که تعریف شده است پیوسته است. برای تشخیص ناپیوستگی ها، باید محاسبه کنید که آرگومان به نقاط ایزوله در محدوده تعریف نزدیک می شود. به عنوان مثال، تابع 1/x وقتی x→0+ به بی نهایت و در x→0- به منهای بی نهایت میل می کند. این بدان معنی است که در نقطه x = 0 دارای ناپیوستگی نوع دوم است.
اگر حدود در نقطه ناپیوستگی متناهی باشد اما مساوی نباشد، آنگاه این ناپیوستگی از نوع اول است. اگر برابر باشند، تابع پیوسته در نظر گرفته می شود، اگرچه در یک نقطه ایزوله تعریف نشده است.

مجانب عمودی را در صورت وجود پیدا کنید. محاسبات مرحله قبل در اینجا به شما کمک می کند، زیرا مجانب عمودی تقریباً همیشه در نقطه ناپیوستگی نوع دوم است. با این حال، گاهی اوقات این نقاط منفرد نیستند که از دامنه تعریف حذف می شوند، بلکه کل فواصل نقاط هستند و سپس مجانب های عمودی را می توان در لبه های این فواصل قرار داد.

بررسی کنید که آیا تابع دارای ویژگی های خاص است: زوج، فرد و دوره ای.
تابع حتی اگر برای هر x در دامنه f(x) = f(-x) خواهد بود. به عنوان مثال، cos(x) و x^2 توابع زوج هستند.

دوره تناوب خاصیتی است که می گوید یک عدد T وجود دارد که دوره نامیده می شود که برای هر x f(x) = f(x + T) است. مثلا همه رشته ها توابع مثلثاتی(سینوس، کسینوس، مماس) - تناوبی.

امتیاز پیدا کنید برای این کار مشتق از را محاسبه کنید عملکرد داده شدهو آن مقادیر x را در جایی که ناپدید می شود، پیدا کنید. به عنوان مثال، تابع f(x) = x^3 + 9x^2 -15 دارای مشتق g(x) = 3x^2 + 18x است که در x = 0 و x = -6 ناپدید می شود.

برای تعیین اینکه کدام نقطه ماکزیمم و کدام نقطه حداقل است، تغییر نشانه های مشتق را در صفرهای یافت شده ردیابی کنید. g(x) علامت مثبت را در x = -6 و از منفی به مثبت در x = 0 تغییر می دهد. بنابراین تابع f(x) در نقطه اول دارای حداقل و در نقطه دوم حداقل است.

بنابراین، نواحی یکنواختی را نیز پیدا کرده‌اید: f(x) به‌طور یکنواخت در بازه -∞;-6 افزایش می‌یابد، یکنواخت در -6;0 کاهش می‌یابد و دوباره در 0;+∞ افزایش می‌یابد.

مشتق دوم را بیابید. ریشه های آن نشان می دهد که نمودار یک تابع معین کجا محدب و کجا مقعر خواهد بود. به عنوان مثال، مشتق دوم تابع f(x) h(x) = 6x + 18 خواهد بود. در x = -3 ناپدید می شود و علامت خود را از منفی به مثبت تغییر می دهد. بنابراین، نمودار f (x) قبل از این نقطه محدب، پس از آن - مقعر خواهد بود، و این نقطه خود یک نقطه عطف خواهد بود.

یک تابع ممکن است مجانب های دیگری داشته باشد، به جز موارد عمودی، اما فقط در صورتی که دامنه تعریف آن شامل . برای پیدا کردن آنها، حد f(x) را در زمانی که x→∞ یا x→-∞ محاسبه کنید. اگر متناهی باشد، مجانب افقی را پیدا کرده اید.

مجانب مایل یک خط مستقیم به شکل kx + b است. برای یافتن k، حد f(x)/x را به صورت x→∞ محاسبه کنید. برای یافتن b - حد (f(x) – kx) با همان x→∞.

تابع را روی داده های محاسبه شده رسم کنید. مجانبی ها را در صورت وجود برچسب بزنید. نقاط انتهایی و مقادیر تابع را در آنها علامت گذاری کنید. برای دقت بیشتر نمودار، مقادیر تابع را در چندین نقطه میانی دیگر محاسبه کنید. تحقیق تکمیل شد.

بیایید تابع $y= \frac(x^3)(1-x) $ را بررسی کنیم و نمودار آن را بسازیم.

1. حوزه تعریف.
دامنه تعریف تابع گویا (کسری) خواهد بود: مخرج برابر با صفر نیست، یعنی. $1 -x \ne 0 => x \ne 1$. دامنه $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. نقاط شکست یک تابع و طبقه بندی آنها.
تابع یک نقطه شکست x = 1 دارد
نقطه x= 1 را بررسی کنید. حد تابع را در سمت راست و چپ نقطه ناپیوستگی در سمت راست پیدا کنید $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x )) = -\infty $$ و در سمت چپ نقطه $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ محدودیت های یک طرفه $\infty$ هستند.

خط مستقیم $x = 1$ مجانبی عمودی است.

3. یکنواختی عملکرد.
بررسی برابری $f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) $ تابع نه زوج است و نه فرد.

4. صفرهای تابع (نقاط تقاطع با محور Ox). فواصل پایداری تابع.
تابع صفر (نقطه تقاطع با محور Ox): $y=0$ را برابر می کنیم، $\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 $ بدست می آوریم. منحنی یک نقطه تقاطع با محور Ox با مختصات $(0;0)$ دارد.

فواصل پایداری تابع
در فواصل در نظر گرفته شده $(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$ منحنی یک نقطه تقاطع با محور Ox دارد، بنابراین دامنه تعریف را در سه بازه در نظر خواهیم گرفت.

اجازه دهید علامت تابع را در فواصل دامنه تعریف تعیین کنیم:
فاصله $(-\infty; 0) $ مقدار تابع را در هر نقطه پیدا کنید $f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox
فاصله $(0; 1) $ مقدار تابع را در هر نقطه پیدا کنید $f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 $، در این بازه تابع مثبت است $f(x) > 0 $، یعنی. بالای محور x است.
فاصله $(1;+\infty) $ مقدار تابع را در هر نقطه پیدا کنید $f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox

5. نقاط تقاطع با محور Oy: $x=0 $ را معادل کنید، $f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0$ را بدست می آوریم. مختصات نقطه تقاطع با محور Oy $(0; 0)$

6. فواصل یکنواختی. افراط در عملکرد
بیایید نقاط بحرانی (ایستا) را پیدا کنیم، برای این، اولین مشتق را پیدا کرده و آن را برابر با صفر $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) می کنیم. -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ معادل 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ مقدار تابع را در این نقطه پیدا کنید $f (0) = 0$ و $f(\frac(3)(2)) = -6.75$. دو نقطه بحرانی با مختصات $(0;0)$ و $(1.5;-6.75)$ دریافت کرد.

فواصل یکنواختی.
تابع دارای دو نقطه بحرانی است (نقاط انتهایی ممکن)، بنابراین ما یکنواختی را در چهار بازه در نظر خواهیم گرفت:
بازه $(-\infty; 0) $ مقدار اولین مشتق را در هر نقطه از بازه پیدا کنید $f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
فاصله \((0;1)$ مقدار اولین مشتق را در هر نقطه از بازه پیدا کنید $f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0$ ، تابع در این بازه افزایش می یابد.
بازه $(1;1.5)$ مقدار اولین مشتق را در هر نقطه از بازه پیدا کنید $f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0$ ، تابع در این بازه افزایش می یابد.
بازه $(1.5; +\infty)$ مقدار اولین مشتق را در هر نقطه از بازه پیدا کنید $f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0$, на этом интервале функция убывает.

افراط در عملکرد

در بررسی تابع، دو نقطه بحرانی (ایستا) در بازه دامنه تعریف به دست آمد. اجازه دهید تعیین کنیم که آیا آنها افراطی هستند یا خیر. تغییر علامت مشتق را هنگام عبور از نقاط بحرانی در نظر بگیرید:

نقطه $x = 0$ مشتق علامت را از $\quad +\quad 0 \quad + \quad$ تغییر می‌دهد - نقطه افراطی نیست.
نقطه $x = 1.5$ مشتق علامت را از $\quad +\quad 0 \quad - \quad$ تغییر می‌دهد - نقطه حداکثر نقطه است.

7. فواصل تحدب و تقعر. نقاط عطف

برای یافتن فواصل تحدب و تقعر، مشتق دوم تابع را پیدا کرده و آن را با صفر $$y برابر می کنیم" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$$$ را برابر با صفر تنظیم کنید \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ تابع دارای یک نقطه بحرانی از نوع دوم با مختصات \((0;0)\ ).
اجازه دهید با در نظر گرفتن نقطه بحرانی نوع دوم (نقطه عطف احتمالی) تحدب را در فواصل حوزه تعریف تعریف کنیم.

فاصله $(-\infty; 0)$ مقدار مشتق دوم را در هر نقطه پیدا کنید $f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
فاصله $(0; 1)$ مقدار مشتق دوم را در هر نقطه پیدا کنید $f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 $، در این بازه مشتق دوم تابع مثبت است $f""(x) > 0 $ تابع محدب رو به پایین است (محدب).
فاصله $(1; \infty)$ مقدار مشتق دوم را در هر نقطه پیدا کنید $f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

نقاط عطف

تغییر علامت مشتق دوم را هنگام عبور از نقطه بحرانی نوع دوم در نظر بگیرید:
در نقطه $x =0$ مشتق دوم علامت $\quad - \quad 0 \quad + \quad\ را تغییر می‌دهد)، نمودار تابع تحدب را تغییر می‌دهد، یعنی. این نقطه عطف با مختصات \((0;0)$ است.

8. مجانب.

مجانب عمودی. نمودار تابع دارای یک مجانب عمودی $x =1$ است (به مورد 2 مراجعه کنید).
مجانب مایل.
برای اینکه نمودار تابع $y= \frac(x^3)(1-x) $ برای $x \to \infty$ مجانبی مورب $y = kx+b$ داشته باشد. ، لازم و کافی است، به طوری که دو حد وجود دارد $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ آن را پیدا کنید $$ \lim_(x \ به \infty) (\frac(x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ و محدودیت دوم $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $، زیرا $k = \infty$ - هیچ مجانبی مورب وجود ندارد.

مجانب افقی:برای اینکه مجانب افقی وجود داشته باشد، لازم است که حد $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ وجود داشته باشد، آن را پیدا کنید $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac(x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
هیچ مجانبی افقی وجود ندارد.

9. نمودار تابع.

نقاط مرجع در مطالعه توابع و ساخت نمودارهای آنها نقاط مشخصه هستند - نقاط ناپیوستگی، منتهی، عطف، تقاطع با محورهای مختصات. با کمک حساب دیفرانسیل می توان تعیین کرد مشخصاتتغییرات تابع: افزایش و کاهش، حداکثر و حداقل، جهت تحدب و تقعر نمودار، وجود مجانب.

طرحی از نمودار تابع را می توان (و باید) پس از یافتن مجانب و نقاط انتهایی ترسیم کرد و پر کردن جدول خلاصه مطالعه تابع در طول مطالعه راحت است.

معمولاً از طرح تحقیق تابع زیر استفاده می شود.

1.دامنه، فواصل پیوستگی و نقاط شکست یک تابع را بیابید.

2.تابع را برای زوج یا فرد (تقارن محوری یا مرکزی نمودار) بررسی کنید.

3.مجانبی (عمودی، افقی یا مایل) را پیدا کنید.

4.فواصل افزایش و کاهش تابع، نقاط انتهایی آن را بیابید و بررسی کنید.

5.فواصل تحدب و تقعر منحنی، نقاط عطف آن را بیابید.

6.نقاط تلاقی منحنی با محورهای مختصات را در صورت وجود پیدا کنید.

7.یک جدول خلاصه از مطالعه را تهیه کنید.

8.با در نظر گرفتن مطالعه تابع، مطابق با نکات بالا، یک نمودار بسازید.

مثال.تابع کاوش

و آن را ترسیم کنید.

7. بیایید یک جدول خلاصه از مطالعه تابع ایجاد کنیم که در آن تمام نقاط مشخصه و فواصل بین آنها را وارد می کنیم. با توجه به برابری تابع، جدول زیر را دریافت می کنیم:

		ویژگی های نمودار
[-1, 0[	در حال افزایش است	محدب
		(0؛ 1) - حداکثر امتیاز
]0, 1[	کاهش می دهد	محدب
		نقطه عطف، با محور تشکیل می شود گاو نرزاویه مبهم