Die Gauß-Methode ist eine universelle Formel. Reverse-Gauß-Methode

Heute beschäftigen wir uns mit dem Gauß-Verfahren zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen. Was diese Systeme sind, können Sie im vorherigen Artikel nachlesen, der der Lösung desselben SLAE mit der Cramer-Methode gewidmet ist. Die Gauß-Methode erfordert keine besonderen Kenntnisse, nur Sorgfalt und Konsequenz sind erforderlich. Trotz der Tatsache, dass aus mathematischer Sicht die Schulvorbereitung für ihre Anwendung ausreicht, bereitet die Beherrschung dieser Methode den Schülern oft Schwierigkeiten. In diesem Artikel werden wir versuchen, sie auf nichts zu reduzieren!

Gauss-Methode

m Gauss-Methode ist die universellste Methode zur Lösung von SLAE (mit Ausnahme von, naja, sehr große Systeme). Im Gegensatz zu dem zuvor besprochenen ist es nicht nur für Systeme geeignet, die eine eindeutige Lösung haben, sondern auch für Systeme, die eine unendliche Anzahl von Lösungen haben. Hier gibt es drei Möglichkeiten.

Das System hat eine eindeutige Lösung (die Determinante der Hauptmatrix des Systems ist ungleich Null);
Das System hat unendlich viele Lösungen;
Es gibt keine Lösungen, das System ist inkonsistent.

Wir haben also ein System (es soll eine Lösung haben) und wir werden es mit der Gaußschen Methode lösen. Wie es funktioniert?

Die Gaußsche Methode besteht aus zwei Stufen - direkt und invers.

Direkte Gauß-Methode

Zuerst schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems. Dazu fügen wir der Hauptmatrix eine Spalte mit freien Mitgliedern hinzu.

Die ganze Essenz der Gaußschen Methode besteht darin, diese Matrix durch elementare Transformationen auf eine abgestufte (oder, wie sie sagen, dreieckige) Form zu bringen. In dieser Form sollten unter (oder über) der Hauptdiagonalen der Matrix nur Nullen stehen.

Was kann getan werden:

Sie können die Zeilen der Matrix neu anordnen;
Wenn es identische (oder proportionale) Zeilen in der Matrix gibt, können Sie alle bis auf eine davon löschen;
Sie können eine Zeichenfolge mit einer beliebigen Zahl (außer Null) multiplizieren oder dividieren;
Nulllinien werden entfernt;
Sie können eine Zeichenfolge multipliziert mit einer Zahl ungleich Null zu einer Zeichenfolge hinzufügen.

Reverse-Gauß-Methode

Nachdem wir das System auf diese Weise transformiert haben, ist man unbekannt xn bekannt wird, und es ist möglich, alle verbleibenden Unbekannten in umgekehrter Reihenfolge zu finden, indem die bereits bekannten x in die Gleichungen des Systems bis zur ersten eingesetzt werden.

Wenn das Internet immer zur Hand ist, können Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode lösen online. Alles, was Sie tun müssen, ist die Quoten in den Online-Rechner einzugeben. Aber Sie müssen zugeben, es ist viel angenehmer zu erkennen, dass das Beispiel nicht von einem Computerprogramm, sondern von Ihrem eigenen Gehirn gelöst wurde.

Ein Beispiel für die Lösung eines Gleichungssystems mit der Gauß-Methode

Und jetzt - ein Beispiel, damit alles klar und verständlich wird. Lassen Sie das System lineare Gleichungen, und Sie müssen es mit der Gauß-Methode lösen:

Lassen Sie uns zuerst die erweiterte Matrix schreiben:

Schauen wir uns nun die Transformationen an. Denken Sie daran, was wir erreichen müssen dreieckig Matrizen. Multiplizieren Sie die 1. Reihe mit (3). Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-1). Addieren wir die 2. Zeile zur 1. und erhalten:

Dann multiplizieren Sie die 3. Reihe mit (-1). Fügen wir die 3. Zeile zur 2. hinzu:

Multiplizieren Sie die 1. Reihe mit (6). Multiplizieren Sie die 2. Reihe mit (13). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

Voila - das System wird in die entsprechende Form gebracht. Es bleibt, die Unbekannten zu finden:

System ein dieses Beispiel hat eine einzigartige Lösung. Wir werden die Lösung von Systemen mit unendlich vielen Lösungen in einem separaten Artikel betrachten. Vielleicht wissen Sie zunächst nicht, wo Sie mit Matrizentransformationen anfangen sollen, aber nach entsprechender Übung werden Sie es in den Griff bekommen und die Gaußsche SLAE wie Nüsse klicken. Und wenn Sie plötzlich auf einen SLAU stoßen, der sich als zu harte Nuss herausstellt, wenden Sie sich an unsere Autoren! Sie können dies tun, indem Sie eine Bewerbung in der Korrespondenz hinterlassen. Gemeinsam lösen wir jedes Problem!

Seit Beginn des 16. bis 18. Jahrhunderts begannen Mathematiker, sich intensiv mit den Funktionen zu beschäftigen, wodurch sich so viel in unserem Leben verändert hat. Computertechnologie würde ohne dieses Wissen einfach nicht existieren. Für Lösungen herausfordernde Aufgaben, lineare Gleichungen und Funktionen wurden verschiedene Konzepte, Theoreme und Lösungsmethoden erstellt. Eines dieser universellen und rationalen Verfahren und Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen und ihrer Systeme war das Gauß-Verfahren. Matrizen, ihr Rang, Determinante - alles kann ohne komplexe Operationen berechnet werden.

Was ist SLAU

In der Mathematik gibt es das Konzept von SLAE – ein System linearer algebraischer Gleichungen. Was stellt sie dar? Dies ist ein Satz von m Gleichungen mit den erforderlichen n Unbekannten, die normalerweise als x, y, z oder x 1 , x 2 ... x n oder andere Symbole bezeichnet werden. Löse nach der Gauß-Methode dieses System- bedeutet, alle erforderlichen Unbekannten zu finden. Wenn das System hat die gleiche Nummer Unbekannten und Gleichungen, dann spricht man von einem System n-ter Ordnung.

Die beliebtesten Methoden zur Lösung von SLAE

v Bildungsinstitutionen Sekundarstufe studieren verschiedene Techniken zur Lösung solcher Systeme. Meistens dies einfache Gleichungen, bestehend aus zwei Unbekannten, so dass jede bestehende Methode, um die Antwort darauf zu finden, nicht viel Zeit in Anspruch nimmt. Es kann wie eine Substitutionsmethode sein, wenn eine andere Gleichung aus einer Gleichung abgeleitet und in die ursprüngliche eingesetzt wird. Oder Term für Term Subtraktion und Addition. Die Gauß-Methode gilt jedoch als die einfachste und universellste. Es ermöglicht das Lösen von Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten. Warum gilt diese Technik als rational? Alles ist einfach. Die Matrixmethode ist gut, da unnötige Zeichen nicht mehrmals in Form von Unbekannten neu geschrieben werden müssen. Es reicht aus, arithmetische Operationen an den Koeffizienten durchzuführen - und Sie erhalten ein zuverlässiges Ergebnis.

Wo werden SLAEs in der Praxis eingesetzt?

Die Lösung von SLAE sind die Schnittpunkte der Geraden auf den Funktionsgraphen. In unserem Hightech-Computerzeitalter müssen Menschen, die eng mit der Entwicklung von Spielen und anderen Programmen befasst sind, wissen, wie man solche Systeme löst, was sie darstellen und wie man die Korrektheit des resultierenden Ergebnisses überprüft. Meistens entwickeln Programmierer spezielle lineare Algebra-Rechner, dazu gehört ein System linearer Gleichungen. Mit der Gauß-Methode können Sie alle vorhandenen Lösungen berechnen. Andere vereinfachte Formeln und Techniken werden ebenfalls verwendet.

SLAE-Kompatibilitätskriterium

Ein solches System kann nur gelöst werden, wenn es kompatibel ist. Zur Verdeutlichung präsentieren wir die SLAE in der Form Ax=b. Es hat eine Lösung, wenn rang(A) gleich rang(A,b) ist. In diesem Fall ist (A,b) eine Matrix in erweiterter Form, die aus Matrix A durch Umschreiben mit freien Termen erhalten werden kann. Es stellt sich heraus, dass das Lösen linearer Gleichungen mit der Gaußschen Methode recht einfach ist.

Vielleicht ist eine Notation nicht ganz klar, daher ist es notwendig, alles mit einem Beispiel zu betrachten. Nehmen wir an, es gibt ein System: x+y=1; 2x-3y=6. Es besteht aus nur zwei Gleichungen, in denen es 2 Unbekannte gibt. Das System hat nur dann eine Lösung, wenn der Rang seiner Matrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist. Was ist ein Rang? Dies ist die Anzahl der unabhängigen Linien des Systems. In unserem Fall ist der Rang der Matrix 2. Matrix A besteht aus den Koeffizienten, die sich in der Nähe der Unbekannten befinden, und die Koeffizienten hinter dem Zeichen „=“ passen auch in die erweiterte Matrix.

Warum SLAE in Matrixform dargestellt werden kann

Basierend auf dem Kompatibilitätskriterium nach dem bewährten Satz von Kronecker-Capelli lässt sich das System linearer algebraischer Gleichungen in Matrixform darstellen. Mit der Gaußschen Kaskadenmethode können Sie die Matrix lösen und erhalten die einzig zuverlässige Antwort für das gesamte System. Wenn der Rang einer gewöhnlichen Matrix gleich dem Rang ihrer erweiterten Matrix ist, aber kleiner als die Anzahl der Unbekannten, dann hat das System unendlich viele Antworten.

Matrixtransformationen

Bevor Sie mit dem Lösen von Matrizen fortfahren, müssen Sie wissen, welche Aktionen an ihren Elementen ausgeführt werden können. Es gibt mehrere elementare Transformationen:

Durch Umschreiben des Systems in Matrixform und Durchführen seiner Lösung ist es möglich, alle Elemente der Reihe mit demselben Koeffizienten zu multiplizieren.
Um eine Matrix in eine kanonische Form umzuwandeln, können zwei parallele Zeilen vertauscht werden. Die kanonische Form impliziert, dass alle Elemente der Matrix, die sich entlang der Hauptdiagonalen befinden, Einsen werden und die verbleibenden Einsen Nullen werden.
Die entsprechenden Elemente der parallelen Zeilen der Matrix können miteinander addiert werden.

Jordan-Gauß-Verfahren

Das Wesentliche beim Lösen von Systemen linearer homogener und inhomogener Gleichungen nach der Gauß-Methode besteht darin, die Unbekannten schrittweise zu eliminieren. Nehmen wir an, wir haben ein System aus zwei Gleichungen, in dem es zwei Unbekannte gibt. Um sie zu finden, müssen Sie das System auf Kompatibilität überprüfen. Die Gaußsche Gleichung wird sehr einfach gelöst. Es ist notwendig, die Koeffizienten, die sich in der Nähe jeder Unbekannten befinden, in Matrixform aufzuschreiben. Um das System zu lösen, müssen Sie die erweiterte Matrix schreiben. Wenn eine der Gleichungen eine geringere Anzahl von Unbekannten enthält, muss "0" anstelle des fehlenden Elements eingesetzt werden. Alle gelten für die Matrix bekannte Methoden Transformationen: Multiplikation, Division durch eine Zahl, Addition der entsprechenden Elemente der Reihe und andere. Es stellt sich heraus, dass in jeder Zeile eine Variable mit dem Wert "1" belassen werden muss, der Rest sollte auf Null reduziert werden. Zum genaueren Verständnis ist es notwendig, das Gauß-Verfahren anhand von Beispielen zu betrachten.

Ein einfaches Beispiel für die Lösung eines 2x2-Systems

Nehmen wir zunächst ein einfaches System algebraischer Gleichungen, in dem es 2 Unbekannte gibt.

Schreiben wir es in eine erweiterte Matrix um.

Um dieses lineare Gleichungssystem zu lösen, sind nur zwei Operationen erforderlich. Wir müssen die Matrix in die kanonische Form bringen, damit es Einheiten entlang der Hauptdiagonalen gibt. Wenn wir also von der Matrixform zurück in das System übersetzen, erhalten wir die Gleichungen: 1x+0y=b1 und 0x+1y=b2, wobei b1 und b2 die Antworten sind, die beim Lösungsprozess erhalten werden.

Der erste Schritt zur Lösung der erweiterten Matrix sieht folgendermaßen aus: Die erste Zeile muss mit -7 multipliziert und die entsprechenden Elemente zur zweiten Zeile hinzugefügt werden, um eine Unbekannte in der zweiten Gleichung loszuwerden.
Da die Lösung von Gleichungen nach der Gauß-Methode impliziert, die Matrix in die kanonische Form zu bringen, ist es notwendig, die gleichen Operationen mit der ersten Gleichung durchzuführen und die zweite Variable zu entfernen. Dazu subtrahieren wir die zweite Zeile von der ersten und erhalten die notwendige Antwort – die Lösung der SLAE. Oder wir multiplizieren, wie in der Abbildung gezeigt, die zweite Reihe mit dem Faktor -1 und addieren die Elemente der zweiten Reihe zur ersten Reihe. Das ist das gleiche.

Wie Sie sehen, wird unser System nach der Jordan-Gauß-Methode gelöst. Wir schreiben es in der erforderlichen Form um: x=-5, y=7.

Ein Beispiel für das Lösen von SLAE 3x3

Angenommen, wir haben ein komplexeres System linearer Gleichungen. Die Gauß-Methode ermöglicht es, die Antwort selbst für das scheinbar verwirrendste System zu berechnen. Um tiefer in die Berechnungsmethodik einzutauchen, können wir daher zu einem komplexeren Beispiel mit drei Unbekannten übergehen.

Wie im vorherigen Beispiel schreiben wir das System in Form einer erweiterten Matrix um und beginnen, es in die kanonische Form zu bringen.

Um dieses System zu lösen, müssen Sie viel mehr Aktionen ausführen als im vorherigen Beispiel.

Zuerst müssen Sie in der ersten Spalte ein einzelnes Element und den Rest Nullen machen. Multiplizieren Sie dazu die erste Gleichung mit -1 und addieren Sie die zweite Gleichung dazu. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir die erste Zeile in ihrer ursprünglichen Form und die zweite - bereits in einer modifizierten Form - neu schreiben.
Als nächstes entfernen wir dieselbe erste Unbekannte aus der dritten Gleichung. Dazu multiplizieren wir die Elemente der ersten Reihe mit -2 und addieren sie zur dritten Reihe. Jetzt werden die erste und zweite Zeile in ihrer ursprünglichen Form neu geschrieben und die dritte - bereits mit Änderungen. Wie Sie dem Ergebnis entnehmen können, haben wir die erste Eins am Anfang der Hauptdiagonalen der Matrix und der Rest sind Nullen. Noch ein paar Aktionen, und das Gleichungssystem nach der Gauß-Methode ist zuverlässig gelöst.
Jetzt müssen Sie Operationen an anderen Elementen der Zeilen ausführen. Der dritte und der vierte Schritt können zu einem kombiniert werden. Wir müssen die zweite und dritte Linie durch -1 teilen, um die negativen auf der Diagonalen loszuwerden. Die dritte Zeile haben wir bereits in die geforderte Form gebracht.
Als nächstes kanonisieren wir die zweite Zeile. Dazu multiplizieren wir die Elemente der dritten Zeile mit -3 und addieren sie zur zweiten Zeile der Matrix. Aus dem Ergebnis ist ersichtlich, dass auch die zweite Zeile auf die von uns benötigte Form reduziert wird. Es müssen noch einige Operationen durchgeführt und die Koeffizienten der Unbekannten aus der ersten Reihe entfernt werden.
Um aus dem zweiten Element der Reihe 0 zu machen, musst du die dritte Reihe mit -3 multiplizieren und zur ersten Reihe addieren.
Der nächste entscheidende Schritt ist die Ergänzung der ersten Zeile notwendige Elemente zweite Reihe. So erhalten wir die kanonische Form der Matrix und dementsprechend die Antwort.

Wie Sie sehen können, ist die Lösung von Gleichungen nach der Gauß-Methode recht einfach.

Ein Beispiel für die Lösung eines 4x4-Gleichungssystems

Etwas mehr komplexe Systeme Gleichungen können nach der Gaußschen Methode gelöst werden Computerprogramme. Es ist notwendig, Koeffizienten für Unbekannte in vorhandene leere Zellen zu treiben, und das Programm berechnet das erforderliche Ergebnis Schritt für Schritt und beschreibt jede Aktion im Detail.

Nachstehend beschrieben Schritt-für-Schritt-Anleitung Lösungen zu diesem Beispiel.

Im ersten Schritt werden freie Koeffizienten und Zahlen für Unbekannte in leere Zellen eingetragen. Somit erhalten wir die gleiche erweiterte Matrix, die wir von Hand schreiben.

Und alle notwendigen arithmetischen Operationen werden durchgeführt, um die erweiterte Matrix in die kanonische Form zu bringen. Es muss verstanden werden, dass die Antwort auf ein Gleichungssystem nicht immer ganze Zahlen sind. Manchmal kann die Lösung aus Bruchzahlen bestehen.

Überprüfung der Richtigkeit der Lösung

Das Jordan-Gauß-Verfahren sieht eine Überprüfung der Richtigkeit des Ergebnisses vor. Um herauszufinden, ob die Koeffizienten korrekt berechnet werden, müssen Sie nur das Ergebnis in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen. Die linke Seite der Gleichung muss übereinstimmen rechte Seite, befindet sich hinter dem "Gleichheitszeichen". Wenn die Antworten nicht übereinstimmen, müssen Sie das System neu berechnen oder versuchen, eine andere Ihnen bekannte Methode zur Lösung von SLAE anzuwenden, z. B. Substitution oder Term-für-Term-Subtraktion und -Addition. Schließlich ist die Mathematik eine Wissenschaft, die hat große Menge verschiedene Lösungsmethoden. Aber denken Sie daran: Das Ergebnis sollte immer dasselbe sein, egal welche Lösungsmethode Sie verwendet haben.

Gauss-Methode: die häufigsten Fehler beim Lösen von SLAE

Bei der Lösung linearer Gleichungssysteme treten am häufigsten Fehler auf, wie z. B. falsche Übertragung von Koeffizienten in eine Matrixform. Es gibt Systeme, in denen einige Unbekannte in einer der Gleichungen fehlen, die dann beim Übertragen der Daten in die erweiterte Matrix verloren gehen können. Infolgedessen entspricht das Ergebnis beim Lösen dieses Systems möglicherweise nicht dem tatsächlichen.

Ein weiterer Hauptfehler kann das falsche Schreiben des Endergebnisses sein. Es muss klar sein, dass der erste Koeffizient der ersten Unbekannten aus dem System entspricht, der zweite - der zweiten und so weiter.

Das Gauß-Verfahren beschreibt detailliert die Lösung linearer Gleichungen. Dank ihm ist es einfach, die notwendigen Operationen durchzuführen und das richtige Ergebnis zu finden. Außerdem diese Allheilmittel nach einer zuverlässigen Antwort auf Gleichungen beliebiger Komplexität zu suchen. Vielleicht wird es deshalb so oft bei der Lösung von SLAE verwendet.

Wir betrachten weiterhin lineare Gleichungssysteme. Diese Lektion ist die dritte zu diesem Thema. Wenn Sie eine vage Vorstellung davon haben, was ein lineares Gleichungssystem im Allgemeinen ist, Sie sich wie eine Teekanne fühlen, dann empfehle ich, mit den Grundlagen auf der nächsten Seite zu beginnen. Es ist nützlich, die Lektion zu studieren.

Gauß-Methode ist einfach! Wieso den? Der berühmte deutsche Mathematiker Johann Carl Friedrich Gauß erhielt schon zu Lebzeiten Anerkennung der größte Mathematiker aller Zeiten, ein Genie und sogar der Spitzname „König der Mathematik“. Und alles Geniale ist bekanntlich einfach!Übrigens kommen nicht nur Trottel, sondern auch Genies ins Geld - das Porträt von Gauß prangte auf einem 10-D-Mark-Schein (vor der Einführung des Euro), und Gauß lächelt die Deutschen immer noch geheimnisvoll von gewöhnlichen Briefmarken an.

Die Gauß-Methode ist insofern einfach, als das WISSEN EINES SCHÜLERS DER FÜNFTEN KLASSE AUSREICHT, um sie zu beherrschen. Muss addieren und multiplizieren können! Es ist kein Zufall, dass die Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten oft von Lehrern in mathematischen Wahlfächern in der Schule berücksichtigt wird. Es ist paradox, aber die Gauss-Methode bereitet den Schülern die größten Schwierigkeiten. Nichts Überraschendes - es dreht sich alles um die Methodik, und ich werde versuchen, in zugänglicher Form über den Algorithmus der Methode zu erzählen.

Zunächst systematisieren wir das Wissen über lineare Gleichungssysteme ein wenig. Ein lineares Gleichungssystem kann:

1) Haben Sie eine eindeutige Lösung. 2) Unendlich viele Lösungen haben. 3) Habe keine Lösungen (be unvereinbar).

Die Gauß-Methode ist das mächtigste und vielseitigste Werkzeug zur Lösungsfindung beliebig Systeme linearer Gleichungen. Wie wir uns erinnern Cramersche Regel und Matrixmethode sind ungeeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Eine Methode zur sukzessiven Eliminierung von Unbekannten auf jeden Fall führen Sie uns zur Antwort! Auf der diese Lektion Wir werden das Gauß-Verfahren für Fall Nr. 1 (die einzige Lösung des Systems) erneut betrachten, der Artikel ist den Situationen der Punkte Nr. 2-3 vorbehalten. Ich stelle fest, dass der Methodenalgorithmus selbst in allen drei Fällen auf die gleiche Weise funktioniert.

Zurück zu das einfachste System aus dem Unterricht Wie löst man ein lineares Gleichungssystem? und löse es mit der Gaußschen Methode.

Der erste Schritt ist das Schreiben Erweitertes Matrixsystem: . Nach welchem Prinzip die Koeffizienten aufgezeichnet werden, kann jeder sehen, denke ich. Die vertikale Linie innerhalb der Matrix hat keine mathematische Bedeutung – sie ist nur ein Durchstrich zur einfacheren Gestaltung.

Hinweis : Ich empfehle, sich zu erinnern Bedingungen Lineare Algebra. Systemmatrix ist eine Matrix, die nur aus Koeffizienten für Unbekannte besteht, in diesem Beispiel die Matrix des Systems: . Erweiterte Systemmatrix ist die gleiche Matrix des Systems plus eine Spalte mit freien Mitgliedern, in diesem Fall: . Jede der Matrizen kann der Kürze halber einfach als Matrix bezeichnet werden.

Nachdem die erweiterte Matrix des Systems geschrieben wurde, müssen einige Aktionen damit ausgeführt werden, die auch aufgerufen werden elementare Transformationen.

Es gibt folgende elementare Transformationen:

1) Saiten Matrizen kann neu anordnen setzt. In der betrachteten Matrix können Sie beispielsweise die erste und zweite Zeile sicher neu anordnen:

2) Wenn die Matrix proportionale (wie besonderer Fall gleich sind) Saiten, dann folgt es löschen aus der Matrix alle diese Zeilen bis auf eine. Betrachten wir zum Beispiel die Matrix . In dieser Matrix sind die letzten drei Zeilen proportional, daher reicht es aus, nur eine davon zu belassen: .

3) Wenn während der Transformationen eine Nullzeile in der Matrix auftaucht, folgt dies auch löschen. Ich werde natürlich nicht zeichnen, die Nulllinie ist die Linie, in der nur Nullen.

4) Die Zeile der Matrix kann sein multiplizieren (dividieren) für jede Zahl nicht null. Betrachten wir zum Beispiel die Matrix . Hier empfiehlt es sich, die erste Zeile durch -3 zu teilen und die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren: . Diese Aktion ist sehr nützlich, da sie weitere Transformationen der Matrix vereinfacht.

5) Diese Transformation verursacht die meisten Schwierigkeiten, aber eigentlich ist es auch nichts Kompliziertes. Auf die Zeile der Matrix können Sie füge eine weitere Zeichenfolge hinzu, die mit einer Zahl multipliziert wird, von Null verschieden. Betrachten Sie unsere Matrix aus Fallstudie: . Zuerst werde ich die Transformation sehr detailliert beschreiben. Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -2: , und zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit -2: . Jetzt kann die erste Zeile durch -2 "zurück" geteilt werden: . Wie Sie sehen können, ist die Zeile HINZUGEFÜGT LI – hat sich nicht geändert. Ist immer die Zeile wird geändert, ZU DENEN HINZUGEFÜGT UT.

In der Praxis malen sie natürlich nicht so ausführlich, sondern schreiben kürzer: Noch einmal: zur zweiten Zeile fügte die erste Zeile multipliziert mit -2 hinzu. Die Linie wird normalerweise mündlich oder auf einem Entwurf multipliziert, während der mentale Ablauf der Berechnungen ungefähr so ist:

„Ich schreibe die Matrix um und schreibe die erste Zeile neu: »

Erste Spalte zuerst. Unten muss ich Null bekommen. Daher multipliziere ich die obige Einheit mit -2: und addiere die erste zur zweiten Zeile: 2 + (-2) = 0. Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile: »

„Nun die zweite Spalte. Über -1 mal -2: . Ich füge die erste zur zweiten Zeile hinzu: 1 + 2 = 3. Ich schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile: »

„Und die dritte Spalte. Über -5 mal -2: . Ich füge die erste Zeile zur zweiten Zeile hinzu: -7 + 10 = 3. Ich schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile: »

Bitte denken Sie genau über dieses Beispiel nach und verstehen Sie den sequentiellen Berechnungsalgorithmus, wenn Sie dies verstehen, dann haben Sie die Gauß-Methode praktisch "in der Tasche". Aber natürlich arbeiten wir noch an dieser Transformation.

Elementare Transformationen verändern die Lösung des Gleichungssystems nicht

! AUFMERKSAMKEIT: betrachtete Manipulationen Kann ich nicht benutzen, wenn Ihnen eine Aufgabe angeboten wird, bei der die Matrizen "von selbst" vorgegeben sind. Zum Beispiel mit "klassisch" Matrizen auf keinen Fall sollten Sie innerhalb der Matrizen etwas umstellen! Kehren wir zu unserem System zurück. Sie ist praktisch in Stücke gebrochen.

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems und reduzieren sie mit elementaren Transformationen auf gestufte Ansicht:

(1) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Und nochmal: Warum multiplizieren wir die erste Zeile mit -2? Um unten auf Null zu kommen, bedeutet das, eine Variable in der zweiten Zeile loszuwerden.

(2) Teilen Sie die zweite Reihe durch 3.

Der Zweck elementarer Transformationen – Wandeln Sie die Matrix in Stufenform um: . Bei der Gestaltung der Aufgabe zeichnen sie die „Leiter“ direkt mit einem einfachen Bleistift und kreisen auch die Zahlen ein, die sich auf den „Stufen“ befinden. Der Begriff "gestufte Ansicht" selbst ist nicht ganz theoretisch, wissenschaftlich und pädagogische Literatur es wird oft genannt trapezförmige Ansicht oder dreieckige Ansicht.

Als Ergebnis elementarer Transformationen haben wir erhalten gleichwertig ursprüngliches Gleichungssystem:

Nun muss das System in die entgegengesetzte Richtung „aufgedreht“ werden – von unten nach oben heißt dieser Vorgang Reverse-Gauß-Methode.

In der unteren Gleichung haben wir bereits das fertige Ergebnis: .

Betrachten Sie die erste Gleichung des Systems und setzen Sie den bereits bekannten Wert von „y“ ein:

Betrachten wir die häufigste Situation, wenn die Gaußsche Methode erforderlich ist, um ein System von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten zu lösen.

Beispiel 1

Lösen Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode:

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems:

Jetzt zeichne ich gleich das Ergebnis, zu dem wir im Laufe der Lösung kommen werden: Und ich wiederhole, unser Ziel ist es, die Matrix durch elementare Transformationen in eine Stufenform zu bringen. Wo anfangen zu handeln?

Sehen Sie sich zuerst die Nummer oben links an: Sollte fast immer hier sein Einheit. Im Allgemeinen passt auch -1 (und manchmal andere Zahlen), aber irgendwie ist es traditionell vorgekommen, dass eine Einheit normalerweise dort platziert wird. Wie organisiere ich eine Einheit? Wir schauen uns die erste Spalte an - wir haben eine fertige Einheit! Transformation eins: Vertausche die erste und dritte Zeile:

Jetzt bleibt die erste Zeile bis zum Ende der Lösung unverändert. Jetzt gut.

Die Einheit oben links ist organisiert. Jetzt müssen Sie an diesen Stellen Nullen erhalten:

Nullstellen erhält man nur mit Hilfe einer "schwierigen" Transformation. Zunächst beschäftigen wir uns mit der zweiten Zeile (2, -1, 3, 13). Was muss getan werden, um Null an der ersten Position zu erhalten? Müssen zur zweiten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -2. In Gedanken oder auf einem Entwurf multiplizieren wir die erste Zeile mit -2: (-2, -4, 2, -18). Und wir führen konsequent (wieder gedanklich oder auf einem Entwurf) hinzu, Zur zweiten Zeile fügen wir die erste Zeile hinzu, die bereits mit -2 multipliziert ist:

Das Ergebnis steht in der zweiten Zeile:

Ähnlich behandeln wir die dritte Zeile (3, 2, -5, -1). Um Null an der ersten Position zu erhalten, müssen Sie zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -3. In Gedanken oder auf einem Entwurf multiplizieren wir die erste Zeile mit -3: (-3, -6, 3, -27). UND zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit -3:

Das Ergebnis steht in der dritten Zeile:

In der Praxis werden diese Handlungen meist mündlich ausgeführt und in einem Schritt niedergeschrieben:

Sie müssen nicht alles auf einmal und gleichzeitig zählen. Die Reihenfolge der Berechnungen und das "Einfügen" der Ergebnisse konsistent und normalerweise so: zuerst schreiben wir die erste zeile um, und pusten uns leise - KONSEQUENT und SORGSAM:
Und den gedanklichen Ablauf der Berechnungen selbst habe ich oben schon betrachtet.

In diesem Beispiel geht das ganz einfach, wir teilen die zweite Zeile durch -5 (da dort alle Zahlen ohne Rest durch 5 teilbar sind). Gleichzeitig dividieren wir die dritte Zeile durch -2, denn je kleiner die Zahl, desto einfacher die Lösung:

In der Endphase der elementaren Transformationen muss hier noch eine Null erhalten werden:

Dafür zur dritten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -2:
Versuchen Sie, diese Aktion selbst zu analysieren - multiplizieren Sie die zweite Zeile gedanklich mit -2 und führen Sie die Addition durch.

Die letzte durchgeführte Aktion ist die Frisur des Ergebnisses, teilen Sie die dritte Zeile durch 3.

Als Ergebnis elementarer Transformationen wurde ein äquivalentes anfängliches lineares Gleichungssystem erhalten: Cool.

Nun kommt der umgekehrte Verlauf der Gaußschen Methode ins Spiel. Die Gleichungen "wickeln" sich von unten nach oben ab.

In der dritten Gleichung haben wir bereits das fertige Ergebnis:

Schauen wir uns die zweite Gleichung an: . Die Bedeutung von "z" ist bereits bekannt, also:

Und schließlich die erste Gleichung: . „Y“ und „Z“ sind bekannt, die Sache ist klein:

Antworten:

Wie schon mehrfach angemerkt wurde, ist es für jedes Gleichungssystem möglich und notwendig, die gefundene Lösung zu überprüfen, glücklicherweise ist dies nicht schwierig und schnell.

Beispiel 2

Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung, eine Probe für die Fertigstellung und eine Antwort am Ende der Lektion.

Es ist zu beachten, dass Ihre Vorgehensweise kann nicht mit meiner Vorgehensweise übereinstimmen, und dies ist ein Merkmal der Gauß-Methode. Aber die Antworten müssen die gleichen sein!

Beispiel 3

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Wir betrachten die obere linke "Stufe". Da sollten wir eine Einheit haben. Das Problem ist, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einsen gibt, also kann nichts durch Umordnen der Zeilen gelöst werden. In solchen Fällen muss die Einheit durch eine elementare Transformation organisiert werden. Dies kann in der Regel auf mehrere Arten erfolgen. Ich habe das gemacht: (1) Zur ersten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -1. Das heißt, wir haben die zweite Zeile gedanklich mit -1 multipliziert und die Addition der ersten und zweiten Zeile durchgeführt, während sich die zweite Zeile nicht geändert hat.

Jetzt oben links "minus eins", was perfekt zu uns passt. Wer +1 erhalten möchte, kann eine zusätzliche Geste ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -1 (ändern Sie ihr Vorzeichen).

(2) Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile addiert.

(3) Die erste Zeile wurde mit -1 multipliziert, im Prinzip steht dies für Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, somit hatten wir auf der zweiten „Stufe“ die gewünschte Einheit.

(4) Die zweite Zeile multipliziert mit 2 wurde zur dritten Zeile hinzugefügt.

(5) Die dritte Reihe wurde durch 3 geteilt.

Ein schlechtes Zeichen, das auf einen Rechenfehler hinweist (seltener ein Tippfehler), ist ein „schlechtes“ Endergebnis. Das heißt, wenn wir etwas wie unten haben und dementsprechend , dann kann mit hoher Wahrscheinlichkeit argumentiert werden, dass bei elementaren Transformationen ein Fehler gemacht wurde.

Wir berechnen den umgekehrten Zug, bei der Gestaltung von Beispielen wird das System selbst oft nicht umgeschrieben, und die Gleichungen werden „direkt aus der gegebenen Matrix entnommen“. Ich erinnere Sie daran, dass die umgekehrte Bewegung von unten nach oben funktioniert. Ja, hier ist ein Geschenk:

Antworten: .

Beispiel 4

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung, es ist etwas komplizierter. Es ist in Ordnung, wenn jemand verwirrt ist. Vollständige Lösung und Designbeispiel am Ende der Lektion. Ihre Lösung kann von meiner abweichen.

Im letzten Teil betrachten wir einige Merkmale des Gauß-Algorithmus. Das erste Merkmal ist, dass manchmal einige Variablen in den Gleichungen des Systems fehlen, zum Beispiel: Wie schreibe ich die erweiterte Matrix des Systems richtig? Über diesen Moment habe ich bereits im Unterricht gesprochen. Cramersche Regel. Matrix-Methode. In der erweiterten Matrix des Systems setzen wir Nullen anstelle der fehlenden Variablen: Übrigens ist dies ein ziemlich einfaches Beispiel, da in der ersten Spalte bereits eine Null steht und weniger elementare Transformationen durchgeführt werden müssen.

Das zweite Merkmal ist folgendes. In allen betrachteten Beispielen haben wir entweder –1 oder +1 auf die „Stufen“ gesetzt. Könnte es andere Nummern geben? In einigen Fällen können sie. Betrachten Sie das System: .

Hier auf der oberen linken "Stufe" haben wir eine Zwei. Aber wir bemerken, dass alle Zahlen in der ersten Spalte ohne Rest durch 2 teilbar sind - und noch durch zwei und sechs. Und die Zwei oben links wird uns passen! Im ersten Schritt müssen Sie die folgenden Transformationen durchführen: Fügen Sie die erste Zeile multipliziert mit -1 zur zweiten Zeile hinzu; zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -3. So werden wir bekommen erforderliche Nullen in der ersten Spalte.

Oder ein anderes hypothetisches Beispiel: . Hier passt uns auch das Tripel auf der zweiten „Sprosse“, da 12 (die Stelle, an der wir die Null bekommen müssen) ohne Rest durch 3 teilbar ist. Es ist notwendig, die folgende Transformation durchzuführen: Fügen Sie der dritten Zeile die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit -4, wodurch die benötigte Null erhalten wird.

Die Gauß-Methode ist universell, aber es gibt eine Besonderheit. Souverän lernen, Systeme mit anderen Methoden zu lösen (Cramers Methode, Matrix-Methode) kann buchstäblich das erste Mal sein - es gibt einen sehr strengen Algorithmus. Aber um sich in der Gauß-Methode sicher zu fühlen, sollten Sie „Ihre Hand füllen“ und mindestens 5-10 Zehnersysteme lösen. Daher kann es zunächst zu Verwirrung und Berechnungsfehlern kommen, und daran ist nichts Ungewöhnliches oder Tragisches.

Regnerisches Herbstwetter vor dem Fenster.... Daher für alle mehr komplexes Beispiel für unabhängige Lösung:

Beispiel 5

Lösen Sie ein System aus 4 linearen Gleichungen mit vier Unbekannten mit der Gauß-Methode.

Eine solche Aufgabe ist in der Praxis gar nicht so selten. Ich denke, dass selbst eine Teekanne, die diese Seite ausführlich studiert hat, den Algorithmus zur Lösung eines solchen Systems intuitiv versteht. Im Grunde dasselbe – nur mehr Action.

In der Lektion werden die Fälle betrachtet, in denen das System keine Lösungen hat (inkonsistent) oder unendlich viele Lösungen hat. Inkompatible Systeme und Systeme mit einer gemeinsamen Lösung. Dort können Sie den betrachteten Algorithmus der Gauß-Methode festlegen.

Wünsche dir Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung : Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie durch elementare Transformationen in eine Stufenform.
Durchgeführte elementare Transformationen: (1) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit -1. Aufmerksamkeit! Hier mag es verlockend sein, die erste von der dritten Zeile abzuziehen, ich rate dringend davon ab - das Fehlerrisiko steigt stark an. Wir folden einfach! (2) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit -1). Die zweite und dritte Zeile wurden vertauscht. beachten Sie dass wir uns auf den „Stufen“ nicht nur mit einem zufrieden geben, sondern auch mit -1, was noch bequemer ist. (3) Zur dritten Zeile addieren Sie die zweite Zeile, multipliziert mit 5. (4) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit -1). Die dritte Zeile wurde durch 14 geteilt.

Rückwärtsbewegung:

Antworten : .

Beispiel 4: Lösung : Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform:

Durchgeführte Konvertierungen: (1) Die zweite Zeile wurde der ersten Zeile hinzugefügt. Somit wird die gewünschte Einheit auf der oberen linken „Stufe“ organisiert. (2) Die erste Zeile multipliziert mit 7 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 6 wurde zur dritten Zeile addiert.

Beim zweiten „Schritt“ wird alles noch schlimmer , die "Kandidaten" dafür sind die Nummern 17 und 23, und wir brauchen entweder eins oder -1. Die Transformationen (3) und (4) zielen darauf ab, die gewünschte Einheit zu erhalten (3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit -1. (4) Die dritte Zeile, multipliziert mit -3, wurde zur zweiten Zeile hinzugefügt. Das Notwendige im zweiten Schritt wird empfangen . (5) Zur dritten Zeile wird die zweite addiert, multipliziert mit 6. (6) Die zweite Reihe wurde mit -1 multipliziert, die dritte Reihe wurde durch -83 dividiert.

Rückwärtsbewegung:

Antworten :

Beispiel 5: Lösung : Schreiben wir die Matrix des Systems auf und bringen sie durch elementare Transformationen in eine schrittweise Form:

Durchgeführte Konvertierungen: (1) Die erste und zweite Zeile wurden vertauscht. (2) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit -2. Die erste Zeile wurde zur vierten Zeile addiert, multipliziert mit -3. (3) Die zweite Zeile multipliziert mit 4 wurde zur dritten Zeile addiert.Die zweite Zeile multipliziert mit –1 wurde zur vierten Zeile addiert. (4) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert. Die vierte Zeile wurde durch 3 geteilt und anstelle der dritten Zeile platziert. (5) Die dritte Zeile wurde zur vierten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit -5.

Rückwärtsbewegung:

Antworten :

Hier können Sie kostenlos ein lineares Gleichungssystem lösen Gauß-Methode online große Größen in komplexen Zahlen mit einer sehr detaillierten Lösung. Unser Rechner kann online sowohl konventionelle definite als auch undefinite lineare Gleichungssysteme mit der Gaußschen Methode lösen, die eine unendliche Anzahl von Lösungen hat. In diesem Fall erhalten Sie in der Antwort die Abhängigkeit einiger Variablen von anderen, freien. Sie können das Gleichungssystem auch online anhand der Gaußschen Lösung auf Kompatibilität prüfen.

Über Methode

Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems Online-Methode Gauss führt die folgenden Schritte aus.

Wir schreiben die erweiterte Matrix.
Tatsächlich ist die Lösung in die Vorwärts- und Rückwärtsschritte der Gaußschen Methode unterteilt. Die direkte Verschiebung der Gauß-Methode wird als Reduktion der Matrix auf eine Stufenform bezeichnet. Die Umkehrung der Gauß-Methode ist die Reduktion einer Matrix auf eine spezielle Stufenform. In der Praxis ist es jedoch bequemer, sofort zu nullen, was sowohl über als auch unter dem betreffenden Element liegt. Unser Rechner verwendet genau diesen Ansatz.
Es ist wichtig zu beachten, dass beim Lösen nach der Gauß-Methode das Vorhandensein von mindestens einer Nullzeile mit einer rechten Seite ungleich Null (Spalte freier Elemente) in der Matrix die Inkonsistenz des Systems anzeigt. Die Lösung des linearen Systems existiert in diesem Fall nicht.

Um besser zu verstehen, wie der Gaußsche Algorithmus online funktioniert, geben Sie ein beliebiges Beispiel ein, wählen Sie „sehr detaillierte Lösung“ und sehen Sie sich die Lösung online an.

Definition und Beschreibung der Gauß-Methode

Die Gaußsche Transformationsmethode (auch als Methode der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen aus einer Gleichung oder Matrix bekannt) zum Lösen von Systemen linearer Gleichungen ist eine klassische Methode zum Lösen eines Systems algebraischer Gleichungen (SLAE). Diese klassische Methode wird auch verwendet, um Probleme wie das Erhalten zu lösen inverse Matrizen und Bestimmen des Rangs der Matrix.

Die Transformation nach der Gauß-Methode besteht darin, kleine (elementare) sukzessive Änderungen im System linearer algebraischer Gleichungen vorzunehmen, die zur Eliminierung von Variablen von oben nach unten führen, wobei ein neues dreieckiges Gleichungssystem gebildet wird, das äquivalent ist zu das Original.

Bestimmung 1

Dieser Teil der Lösung wird Gaußsche Vorwärtslösung genannt, da der gesamte Prozess von oben nach unten durchgeführt wird.

Nachdem das ursprüngliche Gleichungssystem in ein dreieckiges System gebracht wurde, werden alle Variablen des Systems von unten nach oben gefunden (d. h. die ersten gefundenen Variablen befinden sich genau auf den letzten Zeilen des Systems oder der Matrix). Dieser Teil der Lösung wird auch als umgekehrte Gauß-Lösung bezeichnet. Sein Algorithmus besteht aus folgendem: Zuerst werden die Variablen berechnet, die dem unteren Rand des Gleichungssystems oder einer Matrix am nächsten sind, dann werden die erhaltenen Werte oben ersetzt und somit eine andere Variable gefunden, und so weiter.

Beschreibung des Algorithmus der Gauß-Methode

Die Abfolge der Aktionen zur allgemeinen Lösung des Gleichungssystems nach dem Gauß-Verfahren besteht darin, die Matrix basierend auf dem SLAE abwechselnd mit den Vorwärts- und Rückwärtsstrichen zu beaufschlagen. Das ursprüngliche Gleichungssystem habe die folgende Form:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Um SLAE nach der Gauß-Methode zu lösen, ist es notwendig, das anfängliche Gleichungssystem in Form einer Matrix aufzuschreiben:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Die Matrix $A$ wird als Hauptmatrix bezeichnet und stellt die Koeffizienten der Variablen dar, die der Reihe nach geschrieben sind, und $b$ wird als Spalte ihrer freien Terme bezeichnet. Die Matrix $A$, die durch die Zeile mit einer Spalte freier Elemente geschrieben wird, wird als erweiterte Matrix bezeichnet:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Nun ist es notwendig, es durch elementare Transformationen über das Gleichungssystem (oder über die Matrix, wie es bequemer ist) auf die folgende Form zu bringen:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Die aus den Koeffizienten des transformierten Gleichungssystems (1) erhaltene Matrix wird Stufenmatrix genannt, so sehen Stufenmatrizen üblicherweise aus:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Diese Matrizen sind durch die folgenden Eigenschaften gekennzeichnet:

Alle seine Null-Zeilen kommen nach Nicht-Null-Zeilen
Wenn eine Zeile der Matrix mit dem Index $k$ ungleich Null ist, dann gibt es in der vorherigen Zeile derselben Matrix weniger Nullen als in dieser Zeile mit dem Index $k$.

Nach dem Erhalten der Schrittmatrix ist es notwendig, die erhaltenen Variablen in die verbleibenden Gleichungen einzusetzen (beginnend am Ende) und die verbleibenden Werte der Variablen zu erhalten.

Grundregeln und erlaubte Transformationen bei der Anwendung der Gauß-Methode

Bei der Vereinfachung einer Matrix oder eines Gleichungssystems mit dieser Methode sollten nur elementare Transformationen verwendet werden.

Solche Transformationen sind Operationen, die auf eine Matrix oder ein Gleichungssystem angewendet werden können, ohne deren Bedeutung zu ändern:

Stellenweise Permutation mehrerer Zeilen,
Hinzufügen oder Subtrahieren von einer Zeile der Matrix einer anderen Zeile davon,
Multiplizieren oder Dividieren einer Zeichenfolge mit einer Konstanten ungleich Null,
eine Linie, die nur aus Nullen besteht, die bei der Berechnung und Vereinfachung des Systems erhalten wurde, muss gelöscht werden,
Sie müssen auch unnötige Proportionallinien entfernen und für das System die einzige mit Koeffizienten auswählen, die für weitere Berechnungen geeigneter und bequemer sind.

Alle elementaren Transformationen sind umkehrbar.

Analyse der drei Hauptfälle, die beim Lösen linearer Gleichungen mit der Methode der einfachen Gaußschen Transformationen auftreten

Bei der Anwendung der Gauß-Methode zur Lösung von Systemen treten drei Fälle auf:

Wenn das System inkonsistent ist, das heißt, es hat keine Lösungen
Das Gleichungssystem hat eine Lösung, und die einzige, und die Anzahl der Zeilen und Spalten ungleich Null in der Matrix ist gleich.
Das System hat eine Nummer oder einen Satz mögliche Lösungen, und die Anzahl der Zeilen darin ist kleiner als die Anzahl der Spalten.

Lösungsergebnis mit inkonsistentem System

Für diese Option beim Lösen Matrixgleichung Die Gaußsche Methode zeichnet sich dadurch aus, dass sie eine Linie mit der Unmöglichkeit der Erfüllung der Gleichheit erhält. Wenn also mindestens eine falsche Gleichheit auftritt, haben das resultierende und das ursprüngliche System keine Lösungen, unabhängig von den anderen Gleichungen, die sie enthalten. Ein Beispiel für eine inkonsistente Matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

In der letzten Zeile erschien eine nicht erfüllte Gleichheit: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Ein Gleichungssystem, das nur eine Lösung hat

Die Daten des Systems nach Reduktion auf eine Stufenmatrix und Löschung von Zeilen mit Nullen haben in der Hauptmatrix die gleiche Zeilen- und Spaltenzahl. Hier das einfachste Beispiel so ein System:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Schreiben wir es in Form einer Matrix:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Um die erste Zelle der zweiten Zeile auf Null zu bringen, multiplizieren Sie die obere Zeile mit $-2$ und subtrahieren Sie sie von der unteren Zeile der Matrix und lassen Sie die obere Zeile in ihrer ursprünglichen Form. Als Ergebnis haben wir Folgendes:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Dieses Beispiel kann als System geschrieben werden:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Der folgende Wert von $x$ ergibt sich aus der unteren Gleichung: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Setzen wir diesen Wert in die obere Gleichung ein: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, erhalten wir $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Ein System mit vielen Lösungsmöglichkeiten

Dieses System zeichnet sich durch eine geringere Anzahl signifikanter Zeilen als die Anzahl der darin enthaltenen Spalten aus (die Zeilen der Hauptmatrix werden berücksichtigt).

Variablen in einem solchen System werden in zwei Typen unterteilt: einfach und frei. Bei der Transformation eines solchen Systems müssen die darin enthaltenen Hauptvariablen im linken Bereich vor dem „=“-Zeichen belassen und die restlichen Variablen auf die rechte Seite der Gleichheit übertragen werden.

Ein solches System hat nur einige gemeinsame Entscheidung.

Lass uns mal sehen nächstes System Gleichungen:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Schreiben wir es in Form einer Matrix:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Unsere Aufgabe ist es, eine allgemeine Lösung für das System zu finden. Für diese Matrix sind die Basisvariablen $y_1$ und $y_3$ (für $y_1$ - da es an erster Stelle steht, und im Fall von $y_3$ - es befindet sich hinter den Nullen).

Als Basisvariablen wählen wir genau die, die in der Zeile an erster Stelle ungleich Null sind.

Die verbleibenden Variablen werden als frei bezeichnet, durch sie müssen wir die grundlegenden ausdrücken.

Mit dem sogenannten Reverse Move zerlegen wir das System von unten nach oben, dazu drücken wir zunächst $y_3$ aus der untersten Zeile des Systems aus:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Nun setzen wir das ausgedrückte $y_3$ in die obere Gleichung des Systems $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ ein: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Wir drücken $y_1$ durch die freien Variablen $y_2$ und $y_4$ aus:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Die Lösung ist fertig.

Beispiel 1

Lösen Sie den Sumpf mit der Gaußschen Methode. Beispiele. Ein Beispiel für die Lösung eines linearen Gleichungssystems, das durch eine 3-mal-3-Matrix mit der Gauß-Methode gegeben ist

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(cases)$

Wir schreiben unser System in Form einer erweiterten Matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Jetzt müssen wir der Einfachheit halber die Matrix so transformieren, dass sich $1$ in der oberen Ecke der letzten Spalte befindet.

Dazu müssen wir die Zeile aus der Mitte multipliziert mit $-1$ zur 1. Zeile hinzufügen und die mittlere Zeile selbst schreiben, wie sie ist, wie sich herausstellt:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Multiplizieren Sie die oberste und die letzte Reihe mit $-1$ und tauschen Sie die letzte und die mittlere Reihe aus:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Und teilen Sie die letzte Zeile durch $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Wir erhalten das folgende Gleichungssystem, das dem ursprünglichen entspricht:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

Aus der oberen Gleichung drücken wir $x_1$ aus:

$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1$.

Beispiel 2

Ein Beispiel für die Lösung eines Systems, das mit einer 4-mal-4-Matrix unter Verwendung der Gauß-Methode definiert ist

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Am Anfang tauschen wir die oberen Zeilen, die darauf folgen, um $1$ in der oberen linken Ecke zu erhalten:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Jetzt multiplizieren wir die oberste Zeile mit $-2$ und addieren zur 2. und zur 3. Zeile. Zur 4. fügen wir die 1. Zeile hinzu, multipliziert mit $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Jetzt fügen wir zu Zeile 3 Zeile 2 multipliziert mit $4$ hinzu, und zu Zeile 4 fügen wir Zeile 2 multipliziert mit $-1$ hinzu.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Multipliziere Zeile 2 mit $-1$, dividiere Zeile 4 durch $3$ und ersetze Zeile 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$

Jetzt addieren wir zur letzten Zeile die vorletzte, multipliziert mit $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Wir lösen das resultierende Gleichungssystem:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$