Formeln zum Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Trigonometrische Gleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)

Das Konzept der Lösung trigonometrischer Gleichungen.

• Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, konvertieren Sie sie in eine oder mehrere trigonometrische Grundgleichungen. Das Lösen der trigonometrischen Gleichung läuft letztlich darauf hinaus, die vier grundlegenden trigonometrischen Gleichungen zu lösen.

Lösung grundlegender trigonometrischer Gleichungen.

• Es gibt 4 Arten von grundlegenden trigonometrischen Gleichungen:
• Sünde x = a; cos x = a
• tan x = a; ctgx = a
• Das Lösen grundlegender trigonometrischer Gleichungen beinhaltet das Betrachten der verschiedenen x-Positionen auf dem Einheitskreis sowie die Verwendung einer Umrechnungstabelle (oder eines Taschenrechners).
• Beispiel 1. sin x = 0,866. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: 2π/3. Denken Sie daran: Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch, dh ihre Werte werden wiederholt. Beispielsweise beträgt die Periodizität von sin x und cos x 2πn, und die Periodizität von tg x und ctg x beträgt πn. Die Antwort ist also so geschrieben:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Beispiel 2 cos x = -1/2. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = 2π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Beispiel 3. tg (x - π/4) = 0.
• Antwort: x \u003d π / 4 + πn.
• Beispiel 4. ctg 2x = 1,732.
• Antwort: x \u003d π / 12 + πn.

Transformationen zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

• Um trigonometrische Gleichungen umzuwandeln, verwenden Sie algebraische Transformationen(Faktorisierung, Reduktion homogener Terme etc.) und trigonometrische Identitäten.
• Beispiel 5. Unter Verwendung trigonometrischer Identitäten wird die Gleichung sin x + sin 2x + sin 3x = 0 in die Gleichung 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 umgewandelt. Somit ergeben sich die folgenden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen müssen gelöst werden: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Winkel finden durch bekannte Werte Funktionen.

  • Bevor Sie lernen, wie man trigonometrische Gleichungen löst, müssen Sie lernen, wie man Winkel aus bekannten Werten von Funktionen findet. Dies kann mit einer Umrechnungstabelle oder einem Taschenrechner erfolgen.
  • Beispiel: cos x = 0,732. Der Taschenrechner gibt die Antwort x = 42,95 Grad. Der Einheitskreis ergibt zusätzliche Winkel, deren Kosinus ebenfalls 0,732 beträgt.

• Lege die Lösung auf dem Einheitskreis beiseite.

  • Sie können Lösungen der trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis platzieren. Die Lösungen der trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Vielecks.
  • Beispiel: Die Lösungen x = π/3 + πn/2 auf dem Einheitskreis sind die Ecken des Quadrats.
  • Beispiel: Die Lösungen x = π/4 + πn/3 auf dem Einheitskreis sind die Ecken eines regelmäßigen Sechsecks.

• Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

  • Wenn eine gegebene trigonometrische Gleichung nur eine enthält Trigonometrische Funktion, lösen Sie diese Gleichung als trigonometrische Grundgleichung. Wenn ein gegebene Gleichung enthält zwei oder mehr trigonometrische Funktionen, dann gibt es 2 Methoden zum Lösen einer solchen Gleichung (abhängig von der Möglichkeit ihrer Transformation).
    • Methode 1
  • Transformieren Sie diese Gleichung in eine Gleichung der Form: f(x)*g(x)*h(x) = 0, wobei f(x), g(x), h(x) die grundlegenden trigonometrischen Gleichungen sind.
  • Beispiel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Entscheidung. Verwenden Sie die Doppelwinkelformel sin 2x = 2*sin x*cos x und ersetzen Sie sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Löse nun zwei grundlegende trigonometrische Gleichungen: cos x = 0 und (sin x + 1) = 0.
  • Beispiel 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösung: Transformiere diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Löse nun zwei grundlegende trigonometrische Gleichungen: cos 2x = 0 und (2cos x + 1) = 0.
  • Beispiel 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Lösung: Transformieren Sie diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lösen Sie nun zwei grundlegende trigonometrische Gleichungen: cos 2x = 0 und (2sin x + 1) = 0.
    • Methode 2
  • Wandeln Sie die gegebene trigonometrische Gleichung in eine Gleichung um, die nur eine trigonometrische Funktion enthält. Ersetzen Sie dann diese trigonometrische Funktion durch eine Unbekannte, zum Beispiel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t usw.).
  • Beispiel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Entscheidung. Ersetzen Sie in dieser Gleichung (cos^2 x) durch (1 - sin^2 x) (entsprechend der Identität). Die transformierte Gleichung sieht so aus:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersetze sin x durch t. Jetzt sieht die Gleichung so aus: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung mit zwei Wurzeln: t1 = -1 und t2 = 9/5. Die zweite Wurzel t2 erfüllt nicht den Wertebereich der Funktion (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Beispiel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Entscheidung. Ersetze tg x durch t. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung wie folgt um: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Finden Sie nun t und dann x für t = tg x.

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Erfordert Kenntnisse der Grundformeln der Trigonometrie - die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus, der Ausdruck der Tangente durch Sinus und Cosinus und andere. Für diejenigen, die sie vergessen haben oder nicht kennen, empfehlen wir die Lektüre des Artikels "".
Also die Hauptsache trigonometrische Formeln Wir wissen, dass es an der Zeit ist, sie in die Praxis umzusetzen. Lösen trigonometrischer Gleichungen Mit der richtigen Herangehensweise ist es eine ziemlich spannende Aktivität, wie zum Beispiel das Lösen eines Zauberwürfels.

Anhand des Namens selbst ist klar, dass eine trigonometrische Gleichung eine Gleichung ist, in der die Unbekannte unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion steht.
Es gibt sogenannte einfache trigonometrische Gleichungen. So sehen sie aus: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Prüfen, wie man solche trigonometrischen Gleichungen löst, verwenden wir zur Verdeutlichung den bereits bekannten trigonometrischen Kreis.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

Kinderbett x = a

Jede trigonometrische Gleichung wird in zwei Schritten gelöst: Wir bringen die Gleichung auf die einfachste Form und lösen sie dann als einfachste trigonometrische Gleichung.
Es gibt 7 Hauptmethoden, mit denen trigonometrische Gleichungen gelöst werden.

1. Variablensubstitution und Substitutionsverfahren

Lösen Sie die Gleichung 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Mit den Reduktionsformeln erhalten wir:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Ersetzen wir der Einfachheit halber cos(x + /6) durch y und erhalten die übliche quadratische Gleichung:

2 Jahre 2 – 3 Jahre + 1 + 0

Die Wurzeln davon sind y 1 = 1, y 2 = 1/2

Gehen wir jetzt rückwärts

Wir ersetzen die gefundenen Werte von y und erhalten zwei Antworten:

2. Lösen trigonometrischer Gleichungen durch Faktorisierung

Wie löst man die Gleichung sin x + cos x = 1 ?

Verschieben wir alles nach links, damit 0 rechts bleibt:

sin x + cos x - 1 = 0

Wir verwenden die obigen Identitäten, um die Gleichung zu vereinfachen:

Sünde x - 2 Sünde 2 (x/2) = 0

Machen wir die Faktorisierung:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Wir erhalten zwei Gleichungen

3. Reduktion auf eine homogene Gleichung

Eine Gleichung ist bezüglich Sinus und Cosinus homogen, wenn alle ihre Terme bezüglich Sinus und Cosinus denselben Winkelgrad haben. Um eine homogene Gleichung zu lösen, gehen Sie wie folgt vor:

a) alle seine Mitglieder auf die linke Seite übertragen;

b) Setzen Sie alle gemeinsamen Faktoren in Klammern;

c) alle Faktoren und Klammern gleich 0 setzen;

d) erhalten in Klammern homogene Gleichung in geringerem Maße wird es wiederum in höherem Maße in einen Sinus oder Cosinus unterteilt;

e) Löse die resultierende Gleichung nach tg.

Löse die Gleichung 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Verwenden wir die Formel sin 2 x + cos 2 x = 1 und entfernen wir die offenen zwei rechts:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Teilen durch cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Wir ersetzen tg x durch y und erhalten eine quadratische Gleichung:

y 2 + 4y +3 = 0, dessen Wurzeln y 1 =1, y 2 = 3 sind

Von hier aus finden wir zwei Lösungen für die ursprüngliche Gleichung:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Lösen von Gleichungen, durch den Übergang zu einem halben Winkel

Lösen Sie die Gleichung 3sin x - 5cos x = 7

Kommen wir zu x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Alles nach links verschieben:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Teilen durch cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Einführung eines Hilfswinkels

Nehmen wir zur Überlegung eine Gleichung der Form: a sin x + b cos x \u003d c,

wobei a, b, c einige willkürliche Koeffizienten sind und x eine Unbekannte ist.

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch:



Nun haben die Koeffizienten der Gleichung nach trigonometrischen Formeln die Eigenschaften von sin und cos, nämlich: ihr Modul ist nicht größer als 1 und die Summe der Quadrate = 1. Lassen Sie uns sie jeweils als cos und sin bezeichnen, wo ist die sogenannte Hilfswinkel. Dann nimmt die Gleichung die Form an:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

oder sin(x + ) = C

Die Lösung dieser einfachen trigonometrischen Gleichung lautet

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, wobei



Es sei darauf hingewiesen, dass die Bezeichnungen cos und sin austauschbar sind.

Lösen Sie die Gleichung sin 3x - cos 3x = 1

In dieser Gleichung sind die Koeffizienten:

a \u003d, b \u003d -1, also teilen wir beide Teile durch \u003d 2

Beim Lösen vieler Mathe Probleme, insbesondere vor der 10. Klasse, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Solche Aufgaben umfassen beispielsweise lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, Bruchgleichungen und Gleichungen, die sich auf quadratisch reduzieren lassen. Das Prinzip der erfolgreichen Lösung jeder der genannten Aufgaben lautet wie folgt: Es muss festgestellt werden, welche Art von Aufgabe gelöst wird, und sich an die erforderliche Abfolge von Aktionen erinnern, die zum gewünschten Ergebnis führen, d. H. beantworten und diesen Schritten folgen.

Offensichtlich hängt der Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon ab, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird, wie richtig die Reihenfolge aller Schritte ihrer Lösung wiedergegeben wird. Natürlich ist es notwendig, die Fähigkeiten zu haben, um aufzutreten identische Transformationen und Rechnen.

Eine andere Situation tritt auf mit trigonometrische Gleichungen. Es ist nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Schwierigkeiten ergeben sich bei der Bestimmung der Handlungsabfolge, die zur richtigen Antwort führen würde.

Von Aussehen Gleichungen manchmal ist es schwierig, ihren Typ zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um die trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen wir versuchen:

1. Bringe alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf "die gleichen Winkel";
2. Bringe die Gleichung auf "die gleichen Funktionen";
3. faktorisiere die linke Seite der Gleichung usw.

Prüfen grundlegende Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Drücken Sie die trigonometrische Funktion durch bekannte Komponenten aus.

Schritt 2 Funktionsargument mithilfe von Formeln finden:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ´Z.

Sünde x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3 Finden Sie eine unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Entscheidung.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n ä Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n ´ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

II. Variable Substitution

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie die Gleichung bezüglich einer der trigonometrischen Funktionen in eine algebraische Form.

Schritt 2 Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie gegebenenfalls Einschränkungen für t ein).

Schritt 3 Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4 Führen Sie eine umgekehrte Substitution durch.

Schritt 5 Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Entscheidung.

1) 2(1 - Sünde 2 (x/2)) - 5 Sünde (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2 erfüllt die Bedingung |t| nicht ≤ 1.

4) Sünde (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ´ Z;

x = π + 4πn, n ´ Z.

Antwort: x = π + 4πn, n ´ Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsschema

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare, indem Sie die Formeln zur Leistungsreduzierung verwenden:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos2x + cos2x = 5/4.

Entscheidung.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ´ Z;

x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung in die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2 Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Schritt 3 Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Entscheidung.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Sei also tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, also

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k ´ Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n ´ Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Verfahren zum Transformieren einer Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Formeln

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung unter Verwendung aller Arten von trigonometrischen Formeln in eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst werden kann.

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Entscheidung.

1) (Sünde x + Sünde 3x) + Sünde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) Sünde 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Antwort: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Die Fähigkeit und Fähigkeiten, trigonometrische Gleichungen zu lösen, sind sehr gut wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl auf Seiten des Schülers als auch des Lehrers.

Mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen sind viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. verbunden.Der Prozess der Lösung solcher Probleme enthält sozusagen viele der Kenntnisse und Fähigkeiten, die beim Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen nehmen einen wichtigen Platz im Prozess des Mathematikunterrichts und der Persönlichkeitsentwicklung im Allgemeinen ein.

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Beim Lösen vieler Mathe Probleme, insbesondere vor der 10. Klasse, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Solche Probleme umfassen beispielsweise lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, Bruchgleichungen und Gleichungen, die sich auf quadratische reduzieren. Das Prinzip der erfolgreichen Lösung jeder der genannten Aufgaben lautet wie folgt: Es muss festgestellt werden, welche Art von Aufgabe gelöst wird, und sich an die erforderliche Abfolge von Aktionen erinnern, die zum gewünschten Ergebnis führen, d. H. beantworten und diesen Schritten folgen.

Offensichtlich hängt der Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon ab, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird, wie richtig die Reihenfolge aller Schritte ihrer Lösung wiedergegeben wird. Natürlich ist es in diesem Fall notwendig, die Fähigkeiten zu haben, identische Transformationen und Berechnungen durchzuführen.

Eine andere Situation tritt auf mit trigonometrische Gleichungen. Es ist nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Schwierigkeiten ergeben sich bei der Bestimmung der Handlungsabfolge, die zur richtigen Antwort führen würde.

Es ist manchmal schwierig, seinen Typ durch das Auftreten einer Gleichung zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um die trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen wir versuchen:

1. Bringe alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf "die gleichen Winkel";
2. Bringe die Gleichung auf "die gleichen Funktionen";
3. faktorisiere die linke Seite der Gleichung usw.

Prüfen grundlegende Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Drücken Sie die trigonometrische Funktion durch bekannte Komponenten aus.

Schritt 2 Funktionsargument mithilfe von Formeln finden:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ´Z.

Sünde x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3 Finden Sie eine unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Entscheidung.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n ä Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n ´ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

II. Variable Substitution

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie die Gleichung bezüglich einer der trigonometrischen Funktionen in eine algebraische Form.

Schritt 2 Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie gegebenenfalls Einschränkungen für t ein).

Schritt 3 Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4 Führen Sie eine umgekehrte Substitution durch.

Schritt 5 Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Entscheidung.

1) 2(1 - Sünde 2 (x/2)) - 5 Sünde (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2 erfüllt die Bedingung |t| nicht ≤ 1.

4) Sünde (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ´ Z;

x = π + 4πn, n ´ Z.

Antwort: x = π + 4πn, n ´ Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsschema

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare, indem Sie die Formeln zur Leistungsreduzierung verwenden:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos2x + cos2x = 5/4.

Entscheidung.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ´ Z;

x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung in die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2 Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Schritt 3 Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Entscheidung.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Sei also tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, also

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k ´ Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n ´ Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Verfahren zum Transformieren einer Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Formeln

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung unter Verwendung aller Arten von trigonometrischen Formeln in eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst werden kann.

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Entscheidung.

1) (Sünde x + Sünde 3x) + Sünde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) Sünde 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Antwort: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Die Fähigkeit und Fähigkeiten, trigonometrische Gleichungen zu lösen, sind sehr gut wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl auf Seiten des Schülers als auch des Lehrers.

Mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen sind viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. verbunden.Der Prozess der Lösung solcher Probleme enthält sozusagen viele der Kenntnisse und Fähigkeiten, die beim Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen nehmen einen wichtigen Platz im Prozess des Mathematikunterrichts und der Persönlichkeitsentwicklung im Allgemeinen ein.

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