Transformation von Ausdrücken mit den Eigenschaften von Logarithmen, Beispielen, Lösungen. Konvertieren von Ausdrücken mit Logarithmen, Beispiele, Lösungen Konvertieren von exponentiellen und logarithmischen Ausdrücken Beispiele

Grundeigenschaften.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

gleiche Gründe

log6 4 + log6 9.

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x >

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Übergang in eine neue Stiftung

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Siehe auch:

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

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Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
aber). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

Beispiel 2 Finde x wenn

Beispiel 3. Gegeben sei der Wert von Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner.

Formeln von Logarithmen. Logarithmen sind Beispiele für Lösungen.

Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass es möglich ist, die Basis und das Argument des Logarithmus zu vertauschen, aber in diesem Fall wird der gesamte Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine solche Potenz x () zu finden, bei der die Gleichheit wahr ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Die obigen Eigenschaften müssen bekannt sein, da auf ihrer Grundlage fast alle Probleme und Beispiele mit Logarithmen gelöst werden. Die restlichen exotischen Eigenschaften können durch mathematische Manipulationen mit diesen Formeln abgeleitet werden

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Bei der Berechnung der Formeln für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) begegnet man recht häufig. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gewöhnlichen Logarithmen sind solche, bei denen die Basis sogar zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird normalerweise als Logarithmus zur Basis zehn bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus dem Protokoll ist ersichtlich, dass die Grundlagen nicht im Protokoll festgehalten sind. Beispielsweise

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus, dessen Basis der Exponent ist (als ln(x) bezeichnet).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und ein weiterer wichtiger Logarithmus zur Basis zwei ist

Die Ableitung des Logarithmus der Funktion ist gleich Eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Abhängigkeit bestimmt

Das obige Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um das Material zu assimilieren, werde ich nur einige gängige Beispiele aus dem Schullehrplan und den Universitäten geben.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
aber). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.
Durch die Differenzeneigenschaft von Logarithmen haben wir

3.
Unter Verwendung der Eigenschaften 3.5 finden wir

Ein scheinbar komplexer Ausdruck, der eine Reihe von Regeln verwendet, wird zur Form vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2 Finde x wenn

Lösung. Für die Berechnung wenden wir die Eigenschaften 5 und 13 bis zum letzten Term an

Ersatz in der Aufzeichnung und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Erste Ebene.

Gegeben seien die Werte der Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nimm den Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe der Terme zu schreiben

Dies ist nur der Anfang der Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie Rechnen, bereichern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – schon bald benötigen Sie das erworbene Wissen, um logarithmische Gleichungen zu lösen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zum Lösen solcher Gleichungen studiert haben, erweitern wir Ihr Wissen um ein weiteres ebenso wichtiges Thema - logarithmische Ungleichungen ...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

Logarithmen lösen

Das wird am häufigsten verlangt.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Übergang in eine neue Stiftung

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Akzeptabler Bereich (ODZ) des Logarithmus

Lassen Sie uns nun über Einschränkungen sprechen (ODZ - der Bereich der zulässigen Werte von Variablen).

Wir erinnern uns, dass zum Beispiel die Quadratwurzel nicht aus negativen Zahlen gezogen werden kann; oder wenn wir einen Bruch haben, dann kann der Nenner nicht gleich Null sein. Es gibt ähnliche Einschränkungen für Logarithmen:

Das heißt, sowohl das Argument als auch die Basis müssen größer als Null sein, und die Basis kann nicht gleich sein.

Warum so?

Fangen wir einfach an: Sagen wir das. Dann existiert zum Beispiel die Zahl nicht, denn egal welchen Grad wir erhöhen, es stellt sich immer heraus. Außerdem existiert es für keinen. Aber gleichzeitig kann es allem gleich sein (aus dem gleichen Grund - es ist in jedem Grad gleich). Daher ist das Objekt uninteressant und wurde einfach aus der Mathematik geworfen.

Wir haben in diesem Fall ein ähnliches Problem: in jedem positiven Grad - dies, aber es kann überhaupt nicht in eine negative Potenz erhoben werden, da dies zu einer Division durch Null führt (ich erinnere Sie daran).

Wenn wir mit dem Problem konfrontiert sind, zu einer gebrochenen Potenz zu erheben (die als Wurzel dargestellt wird: z. B. (das ist), aber nicht existiert.

Daher sind negative Gründe leichter wegzuwerfen als mit ihnen herumzuspielen.

Nun, da die Basis a für uns nur positiv ist, erhalten wir, egal wie stark wir sie erhöhen, immer eine streng positive Zahl. Das Argument muss also positiv sein. Zum Beispiel existiert sie nicht, da sie in keiner Weise eine negative Zahl sein wird (und sogar Null, daher existiert sie auch nicht).

Bei Problemen mit Logarithmen ist der erste Schritt, die ODZ aufzuschreiben. Ich gebe ein Beispiel:

Lösen wir die Gleichung.

Erinnern Sie sich an die Definition: Der Logarithmus ist die Potenz, mit der die Basis potenziert werden muss, um ein Argument zu erhalten. Und durch die Bedingung ist dieser Grad gleich: .

Wir erhalten die übliche quadratische Gleichung: . Wir lösen es mit dem Satz von Vieta: Die Summe der Wurzeln ist gleich, und das Produkt. Einfach zu verstehen, das sind Zahlen und.

Wenn Sie diese beiden Zahlen jedoch sofort in die Antwort aufnehmen und aufschreiben, können Sie 0 Punkte für die Aufgabe erhalten. Warum? Denken wir darüber nach, was passiert, wenn wir diese Wurzeln in die Anfangsgleichung einsetzen?

Dies ist eindeutig falsch, da die Basis nicht negativ sein kann, dh die Wurzel "Drittanbieter" ist.

Um solche unangenehmen Tricks zu vermeiden, müssen Sie die ODZ aufschreiben, noch bevor Sie mit dem Lösen der Gleichung beginnen:

Dann, nachdem wir die Wurzeln erhalten haben, verwerfen wir sofort die Wurzel und schreiben die richtige Antwort.

Beispiel 1(versuch es selbst zu lösen) :

Finden Sie die Wurzel der Gleichung. Wenn es mehrere Wurzeln gibt, geben Sie in Ihrer Antwort die kleinere an.

Lösung:

Lassen Sie uns zunächst die ODZ schreiben:

Jetzt erinnern wir uns, was ein Logarithmus ist: Mit welcher Potenz müssen Sie die Basis erhöhen, um ein Argument zu erhalten? In dieser Sekunde. Also:

Es scheint, dass die kleinere Wurzel gleich ist. Dem ist aber nicht so: Laut ODZ ist die Wurzel fremd, das heißt, sie ist überhaupt nicht die Wurzel dieser Gleichung. Die Gleichung hat also nur eine Wurzel: .

Antworten: .

Grundlegende logarithmische Identität

Erinnern Sie sich an die allgemeine Definition eines Logarithmus:

Ersetzen Sie in der zweiten Gleichheit anstelle des Logarithmus:

Diese Gleichheit heißt grundlegende logarithmische Identität. Obwohl im Wesentlichen diese Gleichheit nur anders geschrieben wird Definition des Logarithmus:

Dies ist die Kraft, die Sie erhöhen müssen, um zu gelangen.

Zum Beispiel:

Lösen Sie die folgenden Beispiele:

Beispiel 2

Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Lösung:

Erinnern Sie sich an die Regel aus dem Abschnitt: Das heißt, wenn Sie einen Grad potenzieren, werden die Indikatoren multipliziert. Wenden wir es an:

Beispiel 3

Beweise das.

Lösung:

Eigenschaften von Logarithmen

Leider sind die Aufgaben nicht immer so einfach - oft müssen Sie den Ausdruck zuerst vereinfachen, in die übliche Form bringen und erst dann können Sie den Wert berechnen. Es ist am einfachsten, dies zu wissen Eigenschaften von Logarithmen. Lernen wir also die grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen. Ich werde jede von ihnen beweisen, denn jede Regel ist leichter zu merken, wenn Sie wissen, woher sie kommt.

All diese Eigenschaften müssen beachtet werden, ohne sie können die meisten Probleme mit Logarithmen nicht gelöst werden.

Und nun zu allen Eigenschaften von Logarithmen im Detail.

Eigenschaft 1:

Nachweisen:

Dann lassen Sie.

Wir haben: , h.t.d.

Eigenschaft 2: Summe von Logarithmen

Die Summe der Logarithmen mit gleicher Basis ist gleich dem Logarithmus des Produkts: .

Nachweisen:

Dann lassen Sie. Dann lassen Sie.

Beispiel: Finden Sie den Wert des Ausdrucks: .

Lösung: .

Die Formel, die Sie gerade gelernt haben, hilft, die Summe der Logarithmen zu vereinfachen, nicht die Differenz, sodass diese Logarithmen nicht sofort kombiniert werden können. Aber man kann auch das Gegenteil tun – den ersten Logarithmus in zwei „brechen“: Und hier ist die versprochene Vereinfachung:
.
Warum wird das benötigt? Nun, zum Beispiel: Was macht es aus?

Jetzt ist es offensichtlich.

Jetzt mach es dir einfach:

Aufgaben:

Antworten:

Eigenschaft 3: Differenz der Logarithmen:

Nachweisen:

Alles ist genau so wie in Absatz 2:

Dann lassen Sie.

Dann lassen Sie. Wir haben:

Das Beispiel aus dem letzten Punkt ist jetzt noch einfacher:

Komplizierteres Beispiel: . Raten Sie selbst, wie Sie sich entscheiden sollen?

Hier ist zu beachten, dass wir keine einzige Formel über Logarithmen zum Quadrat haben. Das ist so etwas wie ein Ausdruck – das lässt sich nicht gleich vereinfachen.

Lassen Sie uns daher von den Formeln über Logarithmen abschweifen und darüber nachdenken, welche Formeln wir in der Mathematik am häufigsten verwenden? Seit der 7. Klasse!

Das - . Man muss sich daran gewöhnen, dass sie überall sind! Und in exponentiellen und in trigonometrischen und in irrationalen Problemen werden sie gefunden. Daher müssen sie in Erinnerung bleiben.

Schaut man sich die ersten beiden Begriffe genau an, wird klar, dass dies der Fall ist Differenz der Quadrate:

Antwort zur Überprüfung:

Vereinfache dich.

Beispiele

Antworten.

Eigenschaft 4: Ableitung des Exponenten aus dem Argument des Logarithmus:

Nachweisen: Und auch hier verwenden wir die Definition des Logarithmus: let, then. Wir haben: , h.t.d.

Sie können diese Regel so verstehen:

Das heißt, der Grad des Arguments wird dem Logarithmus als Koeffizient vorangestellt.

Beispiel: Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Lösung: .

Entscheide dich selbst:

Beispiele:

Antworten:

Eigenschaft 5: Ableitung des Exponenten aus der Basis des Logarithmus:

Nachweisen: Dann lassen Sie.

Wir haben: , h.t.d.
Denken Sie daran: von Gründen Grad wird wiedergegeben als umkehren Nummer, anders als im vorherigen Fall!

Eigenschaft 6: Ableitung des Exponenten aus der Basis und dem Argument des Logarithmus:

Oder wenn die Abschlüsse gleich sind: .

Eigenschaft 7: Übergang auf neue Basis:

Nachweisen: Dann lassen Sie.

Wir haben: , h.t.d.

Eigenschaft 8: Vertauschen der Basis und des Arguments des Logarithmus:

Nachweisen: Dies ist ein Spezialfall von Formel 7: Wenn wir ersetzen, erhalten wir: , p.t.d.

Sehen wir uns noch ein paar weitere Beispiele an.

Beispiel 4

Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Wir verwenden die Eigenschaft der Logarithmen Nr. 2 - die Summe der Logarithmen mit derselben Basis ist gleich dem Logarithmus des Produkts:

Beispiel 5

Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Lösung:

Wir verwenden die Eigenschaft der Logarithmen Nr. 3 und Nr. 4:

Beispiel 6

Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Lösung:

Verwenden Sie die Eigenschaft Nummer 7 - gehen Sie zu Basis 2:

Beispiel 7

Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Lösung:

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Und ja, viel Glück bei deinen Prüfungen.

Beim Einheitlichen Staatsexamen und OGE und allgemein im Leben

Problem B7 gibt einen Ausdruck an, der vereinfacht werden muss. Das Ergebnis sollte eine regelmäßige Zahl sein, die auf den Antwortbogen geschrieben werden kann. Alle Ausdrücke werden bedingt in drei Typen unterteilt:

logarithmisch,
Demonstration,
Kombiniert.

Exponential- und Logarithmusausdrücke in ihrer reinen Form werden fast nie gefunden. Es ist jedoch wichtig zu wissen, wie sie berechnet werden.

Im Allgemeinen ist Problem B7 recht einfach zu lösen und liegt durchaus in der Macht des durchschnittlichen Absolventen. Das Fehlen klarer Algorithmen wird durch seinen Standard und seine Einheitlichkeit kompensiert. Sie können lernen, solche Probleme einfach durch viel Training zu lösen.

Logarithmische Ausdrücke

Die überwiegende Mehrheit der B7-Aufgaben enthält Logarithmen in der einen oder anderen Form. Dieses Thema gilt traditionell als schwierig, da es meist in der 11. Klasse – der Ära der Massenvorbereitung auf Abschlussprüfungen – studiert wird. Infolgedessen haben viele Absolventen eine sehr vage Vorstellung von Logarithmen.

Aber bei dieser Aufgabe braucht niemand tiefes theoretisches Wissen. Wir werden nur den einfachsten Ausdrücken begegnen, die eine einfache Argumentation erfordern und gut unabhängig beherrscht werden können. Nachfolgend finden Sie die grundlegenden Formeln, die Sie kennen müssen, um mit Logarithmen umzugehen:

Außerdem muss man Wurzeln und Brüche durch Potenzen mit rationalem Exponenten ersetzen können, sonst gibt es in manchen Ausdrücken einfach nichts unter dem Vorzeichen des Logarithmus herauszunehmen. Ersatzformeln:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:
log 6 270 − log 6 7,5
Protokoll 5 775 − Protokoll 5 6.2

Die ersten beiden Ausdrücke werden als Differenz von Logarithmen umgewandelt:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Um den dritten Ausdruck zu berechnen, müssen Sie Grade auswählen - sowohl in der Basis als auch im Argument. Lassen Sie uns zuerst den internen Logarithmus finden:

Dann - extern:

Konstruktionen wie log a log b x erscheinen vielen kompliziert und missverstanden. Inzwischen ist dies nur der Logarithmus des Logarithmus, d.h. log a (log b x ). Zuerst wird der innere Logarithmus berechnet (setze log b x = c ), dann der äußere: log a c .

Exponentialausdrücke

Als Exponentialausdruck bezeichnen wir jede Konstruktion der Form a k , bei der die Zahlen a und k willkürliche Konstanten und a > 0 sind. Methoden zur Arbeit mit solchen Ausdrücken sind recht einfach und werden im Algebraunterricht der 8. Klasse behandelt.

Unten sind die grundlegenden Formeln, die Sie kennen müssen. Die Anwendung dieser Formeln in der Praxis bereitet in der Regel keine Probleme.

ein n ein m = ein n + m ;
ein n / ein m = ein n - - m ;
(ein n ) m = ein n m ;
(ein b) n = ein n b n ;
(a : b ) n = ein n : b n .

Wenn ein komplexer Ausdruck mit Potenzen auftritt und nicht klar ist, wie man sich ihm nähert, wird eine universelle Technik verwendet - die Zerlegung in Primfaktoren. Infolgedessen werden große Zahlen in den Studiengrundlagen durch einfache und verständliche Elemente ersetzt. Dann müssen nur noch die obigen Formeln angewendet werden - und das Problem wird gelöst.

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Lösung. Wir zerlegen alle Potenzbasen in Primfaktoren:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinierte Aufgaben

Wenn Sie die Formeln kennen, werden alle Exponential- und Logarithmusausdrücke buchstäblich in einer Zeile gelöst. In Aufgabe B7 können Potenzen und Logarithmen jedoch zu ziemlich starken Kombinationen kombiniert werden.

Betrachten wir nun die Transformation von Ausdrücken, die Logarithmen enthalten, aus allgemeiner Sicht. Hier analysieren wir nicht nur die Transformation von Ausdrücken mit den Eigenschaften von Logarithmen, sondern wir betrachten die Transformation von Ausdrücken mit allgemeinen Logarithmen, die nicht nur Logarithmen, sondern auch Potenzen, Brüche, Wurzeln usw. enthalten. Wie gewohnt werden wir alle Materialien mit charakteristischen Beispielen mit ausführlichen Lösungsbeschreibungen versehen.

Seitennavigation.

Ausdrücke mit Logarithmen und logarithmische Ausdrücke

Aktionen mit Brüchen ausführen

Im vorherigen Absatz haben wir die wichtigsten Transformationen analysiert, die mit einzelnen Brüchen durchgeführt werden, die Logarithmen enthalten. Diese Transformationen können natürlich mit jedem einzelnen Bruch durchgeführt werden, der Teil eines komplexeren Ausdrucks ist, der beispielsweise die Summe, die Differenz, das Produkt und den Quotienten ähnlicher Brüche darstellt. Aber neben der Arbeit mit einzelnen Brüchen geht es bei der Umformung solcher Ausdrücke oft auch darum, entsprechende Aktionen mit Brüchen durchzuführen. Als nächstes betrachten wir die Regeln, nach denen diese Aktionen ausgeführt werden.

Von den Klassen 5-6 kennen wir die Regeln, nach denen . Im Artikel Gesamtansicht der Operationen mit Brüchen Wir haben diese Regeln von gewöhnlichen Brüchen auf Brüche der allgemeinen Form A/B erweitert, wobei A und B numerische, wörtliche oder Ausdrücke mit Variablen sind und B identisch nicht Null ist. Es ist klar, dass Brüche mit Logarithmen Sonderfälle allgemeiner Brüche sind. Und in dieser Hinsicht ist klar, dass Aktionen mit Brüchen, die Logarithmen in ihren Aufzeichnungen enthalten, nach denselben Regeln ausgeführt werden. Nämlich:

Um zwei Brüche mit demselben Nenner zu addieren oder zu subtrahieren, addieren oder subtrahieren Sie die Zähler entsprechend und lassen den Nenner gleich.
Um zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen und die entsprechenden Aktionen gemäß der vorherigen Regel ausführen.
Um zwei Brüche zu multiplizieren, müssen Sie einen Bruch schreiben, dessen Zähler das Produkt der Zähler der ursprünglichen Brüche ist und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist.
Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, muss der teilbare Bruch mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert werden, also mit dem Bruch, bei dem Zähler und Nenner neu angeordnet sind.

Hier sind einige Beispiele für Operationen mit Brüchen, die Logarithmen enthalten.

Beispiel.

Führen Sie Aktionen mit Brüchen durch, die Logarithmen enthalten: a), b) , in) , G) .

Lösung.

a) Die Nenner der addierten Brüche sind offensichtlich gleich. Daher addieren wir gemäß der Regel zum Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner die Zähler und lassen den Nenner gleich: .

b) Hier sind die Nenner unterschiedlich. Daher müssen Sie zuerst Brüche auf den gleichen Nenner bringen. In unserem Fall sind die Nenner bereits als Produkte dargestellt, und es bleibt uns, den Nenner des ersten Bruchs zu nehmen und die fehlenden Faktoren aus dem Nenner des zweiten Bruchs hinzuzufügen. So erhalten wir einen gemeinsamen Nenner der Form . Dabei werden die subtrahierten Brüche durch zusätzliche Faktoren in Form eines Logarithmus bzw. des Ausdrucks x 2 ·(x+1) auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Danach bleibt es, Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, was nicht schwierig ist.

Die Lösung lautet also:

c) Es ist bekannt, dass das Ergebnis der Multiplikation von Brüchen ein Bruch ist, dessen Zähler das Produkt der Zähler und der Nenner das Produkt der Nenner ist

Es ist leicht zu sehen, dass es möglich ist Fraktionsreduktion durch zwei und durch den dezimalen Logarithmus, als Ergebnis haben wir .

d) Wir gehen von der Bruchteilung zur Multiplikation über und ersetzen den Bruchteiler durch seinen Kehrwert. Damit

Der Zähler des resultierenden Bruchs kann dargestellt werden als , aus dem der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner gut ersichtlich ist - der Faktor x, mit dem Sie den Bruch kürzen können:

Antworten:

a), b) , in) , G) .

Es ist zu beachten, dass Aktionen mit Brüchen unter Berücksichtigung der Reihenfolge ausgeführt werden, in der Aktionen ausgeführt werden: zuerst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion, und wenn Klammern vorhanden sind, werden zuerst Aktionen in Klammern ausgeführt.

Beispiel.

Führe Aktionen mit Brüchen aus .

Lösung.

Zuerst führen wir die Addition von Brüchen in Klammern durch, danach führen wir die Multiplikation durch:

Antworten:

An dieser Stelle bleiben drei ziemlich offensichtliche, aber gleichzeitig wichtige Punkte laut zu sagen:

Konvertieren von Ausdrücken mit den Eigenschaften von Logarithmen

Meistens beinhaltet die Transformation von Ausdrücken mit Logarithmen die Verwendung von Identitäten, die die Definition des Logarithmus und ausdrücken. Beispielsweise können wir unter Bezugnahme auf die logarithmische Grundidentität a log ab =b , a>0 , a≠1 , b>0 den Ausdruck x−5 log 5 7 als x−7 und die Formel für den Übergang zu darstellen die neue Basis des Protokolls , wobei a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , c > 0 , c ≠ 1 , ermöglicht den Übergang vom Ausdruck zur Differenz 1 – lnx .

Anwendung von Eigenschaften von Wurzeln, Potenzen, trigonometrischen Identitäten usw.

Ausdrücke mit Logarithmen enthalten neben den Logarithmen selbst fast immer Potenzen, Wurzeln, trigonometrische Funktionen usw. Es ist klar, dass zur Transformation solcher Ausdrücke neben den Eigenschaften von Logarithmen auch die Eigenschaften von Potenzen, Wurzeln usw. erforderlich sein können. Wir haben die Anwendung jedes Eigenschaftsblocks auf die Transformation von Ausdrücken separat analysiert, Links zu den entsprechenden Artikeln finden Sie im Abschnitt der Website www.site expressions and their transformation. Hier zeigen wir die Lösung einiger Beispiele zur Verwendung von Eigenschaften in Verbindung mit Logarithmen.

Beispiel.

Ausdruck vereinfachen .

Lösung.

Lassen Sie uns zuerst Ausdrücke mit Wurzeln umwandeln. Bei der ODZ-Variablen x für den ursprünglichen Ausdruck (in unserem Fall ein Satz positiver reeller Zahlen) können Sie von den Wurzeln zu Potenzen mit gebrochenen Exponenten gehen und dann die Eigenschaft nutzen, Potenzen mit denselben Basen zu multiplizieren: . Auf diese Weise,

Jetzt stellen wir den Zähler in der Form dar (was es uns ermöglicht, die Grad-Eigenschaft in einem Grad zu machen, sehen Sie sich bei Bedarf die Transformation von Ausdrücken unter Verwendung der Grad-Eigenschaften sowie die Darstellung einer Zahl an, mit der Sie die Summe der Quadrate des Sinus ersetzen können und Kosinus des gleichen Arguments mit 1. So erhalten wir die Einheit unter dem Vorzeichen des Logarithmus A, Wie Sie wissen, ist der Logarithmus der Einheit gleich Null.

Schreiben wir die durchgeführten Transformationen:

Null im Würfel ist Null, also gehen wir zum Ausdruck .

Ein Bruch, dessen Zähler Null ist und dessen Nenner nicht Null ist (in unserem Fall ist das richtig, weil es leicht zu begründen ist, dass der Wert des Ausdrucks unter dem Vorzeichen des natürlichen Logarithmus von Eins verschieden ist), ist gleich Null . Auf diese Weise,

Weitere Transformationen werden auf der Grundlage der Bestimmung der Wurzel eines ungeraden Grades aus einer negativen Zahl durchgeführt: .

Da 2 15 eine positive Zahl ist, können wir die Eigenschaften der Wurzeln anwenden, was zu dem Endergebnis führt: .

Antworten: