Lösen von Gleichungen Online-Rechner mit detaillierter Lösung. Lösen einfacher linearer Gleichungen

In diesem Video werden wir eine ganze Reihe von linearen Gleichungen analysieren, die mit demselben Algorithmus gelöst werden – deshalb werden sie als die einfachsten bezeichnet.

Zunächst definieren wir: Was ist eine lineare Gleichung und was ist die einfachste davon?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der es nur eine Variable gibt, und zwar nur im ersten Grad.

Die einfachste Gleichung bedeutet die Konstruktion:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf die einfachsten reduziert:

1. Erweitern Sie Klammern, falls vorhanden;
2. Verschieben Sie Terme, die eine Variable enthalten, auf eine Seite des Gleichheitszeichens und Terme ohne Variable auf die andere.
3. Bringen Sie ähnliche Begriffe links und rechts vom Gleichheitszeichen ein;
4. Dividiere die resultierende Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen $ x $.

Natürlich hilft dieser Algorithmus nicht immer. Tatsache ist, dass manchmal nach all diesen Manipulationen der Koeffizient bei der Variablen $ x $ Null ist. In diesem Fall sind zwei Möglichkeiten möglich:

1. Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn Sie beispielsweise etwas wie $ 0 \ cdot x = 8 $ erhalten, d.h. Links steht eine Null und rechts eine Zahl ungleich Null. Im Video unten werden wir mehrere Gründe gleichzeitig betrachten, warum eine solche Situation möglich ist.
2. Die Lösung sind alle Zahlen. Der einzige Fall, in dem dies möglich ist - die Gleichung wurde auf die Konstruktion $ 0 \ cdot x = 0 $ reduziert. Es ist ganz logisch, dass, egal was $ x $ wir ersetzen, es immer noch "Null gleich Null" ergibt, d.h. korrekte numerische Gleichheit.

Sehen wir uns nun am Beispiel realer Probleme an, wie das Ganze funktioniert.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Heute haben wir es mit linearen Gleichungen zu tun, und zwar nur mit den einfachsten. Im Allgemeinen bedeutet eine lineare Gleichung jede Gleichheit, die genau eine Variable enthält, und sie geht nur bis zum ersten Grad.

Solche Konstruktionen werden in etwa auf die gleiche Weise gelöst:

1. Zuerst müssen Sie die Klammern, falls vorhanden, erweitern (wie in unserem letzten Beispiel);
2. Dann bring ähnliches mit
3. Schließlich erfassen Sie die Variable, d.h. alles, was mit einer Variablen verbunden ist - die Terme, in denen sie enthalten ist - sollte in die eine Richtung übertragen werden, und alles, was ohne sie bleibt, sollte in die andere Richtung übertragen werden.

Dann müssen Sie in der Regel ähnliche auf jeder Seite der erhaltenen Gleichheit bringen, und danach müssen Sie nur noch durch den Koeffizienten am "x" dividieren, und wir erhalten die endgültige Antwort.

Theoretisch sieht das schön und einfach aus, aber in der Praxis können selbst erfahrene Gymnasiasten bei recht einfachen linearen Gleichungen beleidigende Fehler machen. Normalerweise werden Fehler gemacht, entweder beim Erweitern von Klammern oder bei der Berechnung von "Plus" und "Minus".

Außerdem kommt es vor, dass eine lineare Gleichung überhaupt keine Lösungen hat, oder dass die Lösung die gesamte Zahlengeraden ist, d.h. irgendeine Nummer. Diese Feinheiten werden wir in der heutigen Lektion analysieren. Aber wir beginnen, wie Sie bereits verstanden haben, mit den einfachsten Aufgaben.

Schema zum Lösen der einfachsten linearen Gleichungen

Lassen Sie mich zunächst noch einmal das gesamte Schema zur Lösung der einfachsten linearen Gleichungen schreiben:

1. Erweitern Sie die Klammern, falls vorhanden.
2. Wir sekretieren die Variablen, d.h. alles, was "x" enthält, wird auf eine Seite übertragen und ohne "x" - auf die andere.
3. Wir stellen ähnliche Begriffe vor.
4. Wir teilen alles in den Koeffizienten bei "x".

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer, es gibt bestimmte Feinheiten und Tricks, und jetzt werden wir sie kennenlernen.

Lösen von Beispielen aus der Praxis für einfache lineare Gleichungen

Problem Nummer 1

Im ersten Schritt müssen wir die Klammern erweitern. In diesem Beispiel sind sie jedoch nicht enthalten, daher überspringen wir diese Phase. Im zweiten Schritt müssen wir die Variablen erfassen. Bitte beachten Sie: Es handelt sich hier nur um einzelne Begriffe. Lass uns schreiben:

Links und rechts stellen wir ähnliche Begriffe vor, dies ist aber bereits geschehen. Daher gehen wir zum vierten Schritt über: dividieren durch den Koeffizienten:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Also haben wir die Antwort bekommen.

Problem Nummer 2

In diesem Problem können wir die Klammern beobachten, also erweitern wir sie:

Sowohl links als auch rechts sehen wir ungefähr den gleichen Aufbau, gehen wir aber nach dem Algorithmus vor, d.h. Wir sekretieren die Variablen:

Hier sind ähnliche:

An welchen Wurzeln wird es durchgeführt. Antwort: für jeden. Daher können wir schreiben, dass $ x $ eine beliebige Zahl ist.

Problem Nummer 3

Interessanter ist schon die dritte lineare Gleichung:

\ [\ links (6-x \ rechts) + \ links (12 + x \ rechts) - \ links (3-2x \ rechts) = 15 \]

Es gibt hier ein paar Klammern, aber sie werden mit nichts multipliziert, sie haben nur andere Zeichen davor. Öffnen wir sie:

Den zweiten uns bereits bekannten Schritt führen wir durch:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Lass uns zählen:

Wir führen den letzten Schritt aus - wir teilen alles durch den Koeffizienten bei "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Dinge, die Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Abgesehen von zu einfachen Aufgaben möchte ich Folgendes sagen:

• Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung - manchmal gibt es einfach keine Wurzeln;
• Selbst wenn es Wurzeln gibt, kann es null darunter geben - daran ist nichts auszusetzen.

Null ist die gleiche Zahl wie der Rest, Sie sollten sie in keiner Weise diskriminieren oder annehmen, dass Sie etwas falsch gemacht haben, wenn Sie Null erhalten.

Ein weiteres Merkmal bezieht sich auf die Klammererweiterung. Bitte beachten: Wenn ein "Minus" davor steht, entfernen wir es, aber in Klammern ändern wir die Zeichen zu Gegenteil... Und dann können wir es mit Standardalgorithmen öffnen: Wir erhalten, was wir in den obigen Berechnungen gesehen haben.

Wenn Sie diese einfache Tatsache verstehen, können Sie dumme und verletzende Fehler in der High School vermeiden, wenn solche Handlungen als selbstverständlich angesehen werden.

Komplexe lineare Gleichungen lösen

Kommen wir zu komplexeren Gleichungen. Jetzt werden die Konstruktionen komplexer und es erscheint eine quadratische Funktion, wenn verschiedene Transformationen durchgeführt werden. Sie sollten sich jedoch nicht davor fürchten, denn wenn wir nach der Absicht des Autors eine lineare Gleichung lösen, werden bei der Transformation zwangsläufig alle Monome, die eine quadratische Funktion enthalten, gelöscht.

Beispiel 1

Der erste Schritt besteht natürlich darin, die Klammern zu erweitern. Machen wir es ganz vorsichtig:

Jetzt zum Datenschutz:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Hier sind ähnliche:

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, daher schreiben wir die Antwort wie folgt:

\ [\ Varnothing \]

oder keine Wurzeln.

Beispiel Nr. 2

Wir folgen den gleichen Schritten. Erster Schritt:

Verschiebe alles mit der Variablen nach links und ohne nach rechts:

Hier sind ähnliche:

Offensichtlich hat diese lineare Gleichung keine Lösung, also schreiben wir sie so:

\ [\ Varnothing \],

oder es gibt keine Wurzeln.

Lösungsnuancen

Beide Gleichungen sind vollständig gelöst. Am Beispiel dieser beiden Ausdrücke haben wir noch einmal dafür gesorgt, dass selbst bei den einfachsten linearen Gleichungen nicht alles so einfach sein kann: Es kann entweder eine Wurzel geben oder keine oder unendlich viele. In unserem Fall haben wir zwei Gleichungen betrachtet, in beiden gibt es einfach keine Wurzeln.

Aber ich möchte Sie auf eine andere Tatsache aufmerksam machen: wie man mit Klammern arbeitet und wie man sie öffnet, wenn ein Minuszeichen davor steht. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Vor der Offenlegung müssen Sie alles mit "X" multiplizieren. Hinweis: multipliziert jeder einzelne Begriff... Im Inneren befinden sich zwei Terme - bzw. zwei Terme und multipliziert.

Und erst nachdem diese scheinbar elementaren, aber sehr wichtigen und gefährlichen Transformationen durchgeführt wurden, können Sie die Klammer im Hinblick darauf erweitern, dass dahinter ein Minuszeichen steht. Ja, ja: Erst jetzt, wenn die Transformationen abgeschlossen sind, erinnern wir uns daran, dass vor den Klammern ein Minuszeichen steht, was bedeutet, dass alles, was untergeht, nur das Vorzeichen ändert. Gleichzeitig verschwinden die Klammern selbst und vor allem verschwindet auch das vordere "Minus".

Das gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung:

Es ist kein Zufall, dass ich auf diese kleinen, scheinbar unbedeutenden Tatsachen aufmerksam mache. Denn das Lösen von Gleichungen ist immer eine Abfolge elementarer Transformationen, wobei die Unfähigkeit, einfache Handlungen klar und kompetent auszuführen, dazu führt, dass Gymnasiasten zu mir kommen und wieder lernen, solche einfachen Gleichungen zu lösen.

Natürlich wird der Tag kommen und Sie werden diese Fähigkeiten zum Automatismus verfeinern. Sie müssen nicht mehr jedes Mal so viele Transformationen durchführen, Sie schreiben alles in eine Zeile. Aber während Sie gerade lernen, müssen Sie jede Aktion separat schreiben.

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, ist schon schwer die einfachste Aufgabe zu nennen, aber der Sinn bleibt gleich.

Problem Nummer 1

\ [\ links (7x + 1 \ rechts) \ links (3x-1 \ rechts) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Lassen Sie uns alle Elemente im ersten Teil multiplizieren:

Machen wir die Abgeschiedenheit:

Hier sind ähnliche:

Den letzten Schritt führen wir durch:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Hier ist unsere letzte Antwort. Und trotz der Tatsache, dass sich die Koeffizienten beim Lösen mit einer quadratischen Funktion gegenseitig vernichten, was die Gleichung exakt linear und nicht quadratisch macht.

Problem Nummer 2

\ [\ links (1-4x \ rechts) \ links (1-3x \ rechts) = 6x \ links (2x-1 \ rechts) \]

Machen wir den ersten Schritt sauber: Multiplizieren Sie jedes Element in der ersten Klammer mit jedem Element in der zweiten. Insgesamt soll es nach den Transformationen vier neue Begriffe geben:

Führen wir nun die Multiplikation in jedem Term sorgfältig durch:

Verschieben wir die Begriffe mit "x" nach links und ohne - nach rechts:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wieder haben wir die endgültige Antwort erhalten.

Lösungsnuancen

Die wichtigste Anmerkung zu diesen beiden Gleichungen ist wie folgt: Sobald wir anfangen, die Klammern zu multiplizieren, in denen mehr als ein Term steht, dann geschieht dies nach folgender Regel: Wir nehmen den ersten Term vom ersten und multiplizieren Sie mit jedem Element aus dem zweiten; dann nehmen wir das zweite Element aus dem ersten und multiplizieren auf ähnliche Weise mit jedem Element aus dem zweiten. Als Ergebnis erhalten wir vier Terme.

Algebraische Summe

Mit dem letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was eine algebraische Summe ist. In der klassischen Mathematik meinen wir mit 1-7 $ eine einfache Konstruktion: Subtrahiere sieben von eins. In der Algebra meinen wir damit folgendes: Zur Zahl „eins“ fügen wir eine weitere Zahl hinzu, nämlich „minus sieben“. Dadurch unterscheidet sich die algebraische Summe von der üblichen arithmetischen Summe.

Sobald Sie bei der Durchführung aller Transformationen, jeder Addition und Multiplikation beginnen, Konstruktionen zu sehen, die den oben beschriebenen ähnlich sind, werden Sie bei der Arbeit mit Polynomen und Gleichungen einfach keine Probleme in der Algebra haben.

Lassen Sie uns abschließend noch ein paar weitere Beispiele betrachten, die noch komplexer sind als die, die wir gerade betrachtet haben, und um sie zu lösen, müssen wir unseren Standardalgorithmus leicht erweitern.

Gleichungen mit einem Bruch lösen

Um solche Probleme zu lösen, müssen wir unserem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen. Aber zuerst werde ich unseren Algorithmus daran erinnern:

1. Klammern erweitern.
2. Variablen trennen.
3. Bringen Sie ähnliche mit.
4. Durch Faktor dividieren.

Leider erweist sich dieser hervorragende Algorithmus trotz seiner Effektivität als nicht ganz angemessen, wenn wir es mit Brüchen zu tun haben. Und in dem, was wir unten sehen werden, haben wir in beiden Gleichungen links und rechts einen Bruch.

Wie ist in diesem Fall zu arbeiten? Alles ist ganz einfach! Dazu müssen Sie dem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen, der sowohl vor als auch nach der ersten Aktion durchgeführt werden kann, nämlich Brüche loszuwerden. Somit lautet der Algorithmus wie folgt:

1. Befreien Sie sich von Brüchen.
2. Klammern erweitern.
3. Variablen trennen.
4. Bringen Sie ähnliche mit.
5. Durch Faktor dividieren.

Was bedeutet "Brüche loswerden"? Und warum kann dies sowohl nach als auch vor dem ersten Standardschritt erfolgen? Tatsächlich sind in unserem Fall alle Brüche numerisch im Nenner, d.h. überall im Nenner ist nur eine Zahl. Wenn wir also beide Seiten der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren, werden wir Brüche los.

Beispiel 1

\ [\ frac (\ links (2x + 1 \ rechts) \ links (2x-3 \ rechts)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Lassen Sie uns die Brüche in dieser Gleichung loswerden:

\ [\ frac (\ links (2x + 1 \ rechts) \ links (2x-3 \ rechts) \ cdot 4) (4) = \ links (((x) ^ (2)) - 1 \ rechts) \ cdot 4\]

Achtung: alles wird einmal mit "vier" multipliziert, dh. Nur weil Sie zwei Klammern haben, heißt das nicht, dass Sie jede von ihnen mit vier multiplizieren müssen. Schreiben wir auf:

\ [\ links (2x + 1 \ rechts) \ links (2x-3 \ rechts) = \ links (((x) ^ (2)) - 1 \ rechts) \ cdot 4 \]

Jetzt öffnen wir:

Wir machen die Abgrenzung der Variablen:

Wir führen die Reduzierung ähnlicher Bedingungen durch:

\ [- 4x = -1 \ links | : \ links (-4 \ rechts) \ rechts. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Wir haben die endgültige Lösung, wir gehen zur zweiten Gleichung über.

Beispiel Nr. 2

\ [\ frac (\ links (1-x \ rechts) \ links (1 + 5x \ rechts)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Hier führen wir alle die gleichen Aktionen aus:

\ [\ frac (\ links (1-x \ rechts) \ links (1 + 5x \ rechts) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Das Problem ist gelöst worden.

Das war eigentlich alles, was ich heute sagen wollte.

Wichtige Punkte

Die wichtigsten Erkenntnisse sind wie folgt:

• Kennen Sie den Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen.
• Fähigkeit, Klammern zu öffnen.
• Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie irgendwo quadratische Funktionen haben, sie werden höchstwahrscheinlich bei weiteren Transformationen schrumpfen.
• Es gibt drei Arten von Wurzeln in linearen Gleichungen, selbst in den einfachsten: eine einzelne Wurzel, der ganze Zahlenstrahl ist eine Wurzel, und es gibt überhaupt keine Wurzeln.

Ich hoffe, diese Lektion wird Ihnen helfen, ein einfaches, aber sehr wichtiges Thema für das weitere Verständnis der gesamten Mathematik zu meistern. Wenn etwas nicht klar ist, gehen Sie auf die Website und lösen Sie die dort vorgestellten Beispiele. Bleiben Sie dran, es warten noch viele weitere interessante Dinge auf Sie!

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Darauf aufbauend werden verschiedene Methoden und Theoreme für Gleichungen verwendet, um Lösungen zu finden. Gleichungen dieser Art zu lösen bedeutet, die gewünschten Wurzeln in allgemeiner Form zu finden. Unser Service ermöglicht es Ihnen, selbst die komplexesten algebraischen Gleichungen online zu lösen. Sie können sowohl die allgemeine Lösung der Gleichung als auch den Quotienten für die Zahlenwerte der von Ihnen angegebenen Koeffizienten erhalten. Um eine algebraische Gleichung auf der Site zu lösen, reicht es aus, nur zwei Felder korrekt auszufüllen: die linke und rechte Seite der gegebenen Gleichung. Algebraische Gleichungen mit variablen Koeffizienten haben eine unendliche Anzahl von Lösungen, und nach dem Festlegen bestimmter Bedingungen werden bestimmte aus der Menge der Lösungen ausgewählt. Quadratische Gleichung. Die quadratische Gleichung hat die Form ax ^ 2 + bx + c = 0 für a> 0. Das Lösen von Gleichungen einer quadratischen Form impliziert das Finden der Werte von x, bei denen die Gleichheit ax ^ 2 + bx + c = 0 erfüllt ist. Dazu wird der Wert der Diskriminante nach der Formel D = b ^ 2-4ac ermittelt. Wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, hat die Gleichung keine reellen Nullstellen (die Nullstellen werden aus dem Körper der komplexen Zahlen gefunden), ist sie Null, dann hat die Gleichung eine reelle Nullstelle, und wenn die Diskriminante größer Null ist, dann hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln, die durch die Formel gefunden werden: D = -b + -sqrt / 2a. Um eine quadratische Gleichung online zu lösen, müssen Sie nur die Koeffizienten einer solchen Gleichung eingeben (Ganzzahlen, Brüche oder Dezimalwerte). Wenn die Gleichung Subtraktionszeichen enthält, müssen Sie den entsprechenden Termen der Gleichung ein Minus voranstellen. Abhängig vom Parameter, also den Variablen in den Koeffizienten der Gleichung, können Sie die quadratische Gleichung auch online lösen. Diese Aufgabe übernimmt unser Online-Service zur gemeinsamen Lösungsfindung perfekt. Lineare Gleichungen. Es gibt vier Hauptmethoden, die in der Praxis verwendet werden, um lineare Gleichungen (oder Gleichungssysteme) zu lösen. Lassen Sie uns jede Methode im Detail beschreiben. Substitutionsmethode. Um Gleichungen durch Substitution zu lösen, muss eine Variable durch die anderen ausgedrückt werden. Danach wird der Ausdruck in andere Gleichungen des Systems eingesetzt. Daher der Name der Lösungsmethode, dh anstelle einer Variablen wird ihr Ausdruck durch die restlichen Variablen ersetzt. In der Praxis erfordert die Methode komplexe, wenn auch leicht verständliche Berechnungen, so dass das Online-Lösen einer solchen Gleichung Zeit spart und die Berechnungen erleichtert. Sie müssen nur die Anzahl der Unbekannten in der Gleichung angeben und die Daten aus linearen Gleichungen eingeben, dann führt der Dienst die Berechnung durch. Gauss-Methode. Das Verfahren basiert auf einfachsten Systemtransformationen, um zu einem äquivalenten Dreieckssystem zu gelangen. Daraus werden nacheinander die Unbekannten ermittelt. In der Praxis müssen Sie eine solche Gleichung online mit einer detaillierten Beschreibung lösen, dank der Sie die Gaußsche Methode zum Lösen von linearen Gleichungssystemen gut lernen. Schreiben Sie das lineare Gleichungssystem im richtigen Format auf und berücksichtigen Sie die Anzahl der Unbekannten, um das System genau zu lösen. Cramers Methode. Diese Methode wird verwendet, um Gleichungssysteme in Fällen zu lösen, in denen das System eine eindeutige Lösung hat. Die mathematische Hauptaktion ist hier die Berechnung von Matrixdeterminanten. Die Lösung von Gleichungen nach der Cramer-Methode erfolgt online, Sie erhalten das Ergebnis sofort mit einer vollständigen und detaillierten Beschreibung. Es genügt, das System mit Koeffizienten zu füllen und die Anzahl der unbekannten Variablen zu wählen. Matrix-Methode. Diese Methode besteht darin, die Koeffizienten für Unbekannte in Matrix A, Unbekannte in Spalte X und freie Terme in Spalte B zu sammeln. Damit reduziert sich das lineare Gleichungssystem auf eine Matrixgleichung der Form AxX = B. Diese Gleichung hat nur dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix A ungleich Null ist, andernfalls hat das System keine oder unendlich viele Lösungen. Die Lösung von Gleichungen nach der Matrixmethode besteht darin, die inverse Matrix A zu finden.

Betrachten wir zwei Arten von Lösungen von Gleichungssystemen:

1. Lösung des Systems nach der Substitutionsmethode.
2. Lösung des Systems durch termweise Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems.

Um das Gleichungssystem zu lösen Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Wir drücken aus. Drücken Sie eine Variable aus einer beliebigen Gleichung aus.
2. Ersatz. Wir setzen den erhaltenen Wert in eine andere Gleichung anstelle der ausgedrückten Variablen ein.
3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) notwendig:
1.Wählen Sie eine Variable, für die wir die gleichen Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren Gleichungen, am Ende erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen.
3. Lösen Sie die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Graphen der Funktion.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lassen Sie uns durch die Substitutionsmethode lösen

Lösen eines Gleichungssystems mit der Substitutionsmethode

2x + 5y = 1 (1 Gleichung)
x-10y = 3 (2 Gleichung)

1. Wir drücken aus
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, woraus sich herausstellt, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x = 3 + 10y

2. Nachdem wir ausgedrückt haben, setzen wir 3 + 10y in die erste Gleichung anstelle der Variablen x ein.
2 (3 + 10 Jahre) + 5 Jahre = 1

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung in einer Variablen auf.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (Klammern erweitern)
6 + 20 Jahre + 5 Jahre = 1
25y = 1-6
25y = -5 |: (25)
y = -5: 25
y = -0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, daher müssen wir x und y finden, da der Schnittpunkt aus x und y besteht.Finden Sie x, im ersten Absatz, wo wir dort ausgedrückt haben, ersetzen wir y.
x = 3 + 10y
x = 3 + 10 * (- 0,2) = 1

Es ist üblich, Punkte zu schreiben, an erster Stelle schreiben wir die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0.2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns mit der Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems nach der Additionsmethode

3x-2y = 1 (1 Gleichung)
2x-3y = -10 (2 Gleichung)

1.Wählen Sie eine Variable, sagen wir x. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten 2. Es ist notwendig, die Koeffizienten gleich zu machen, dazu haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Die erste Gleichung wird mit 2 und die zweite mit 3 multipliziert, und wir erhalten einen Gesamtfaktor von 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y = -30

2. Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung, um die Variable x loszuwerden. Löse die lineare Gleichung.
__6x-4y = 2

5y = 32 | :5
y = 6,4

3. Finden Sie x. Setzen Sie das gefundene y in eine der Gleichungen ein, sagen wir in die erste Gleichung.
3x-2y = 1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 + 12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Der Schnittpunkt ist x = 4,6; y = 6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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So arbeiten Sie mit dem Mathe-Rechner

1. Das Display (Rechnerbildschirm) zeigt den eingegebenen Ausdruck und das Ergebnis seiner Berechnung in gewöhnlichen Symbolen an, wie wir auf Papier schreiben. Dieses Feld dient nur zum Anzeigen des aktuellen Vorgangs. Der Eintrag wird auf dem Display angezeigt, während Sie einen mathematischen Ausdruck in die Eingabezeile eingeben.

2. Das Eingabefeld Ausdruck soll den zu berechnenden Ausdruck erfassen. Dabei ist zu beachten, dass die in Computerprogrammen verwendeten mathematischen Symbole nicht immer mit denen übereinstimmen, die wir normalerweise auf Papier verwenden. In der Übersicht zu jeder Funktion des Taschenrechners finden Sie die richtige Bezeichnung für eine bestimmte Operation und Beispiele für Berechnungen im Taschenrechner. Auf dieser Seite unten finden Sie eine Liste aller möglichen Operationen des Rechners mit Angabe der korrekten Schreibweise.

3. Symbolleiste - Dies sind Rechnerschaltflächen, die die manuelle Eingabe mathematischer Symbole ersetzen, um die entsprechende Operation anzuzeigen. Einige Rechnerschaltflächen (Zusatzfunktionen, Einheitenumrechner, Lösung von Matrizen und Gleichungen, Grafiken) ergänzen die Taskleiste um neue Felder, in denen Daten für eine bestimmte Berechnung eingegeben werden. Das Feld Verlauf enthält Beispiele für das Schreiben von mathematischen Ausdrücken sowie Ihre letzten sechs Einträge.

Bitte beachten Sie, dass beim Drücken der Tasten zum Aufrufen zusätzlicher Funktionen, eines Mengenumrechners, zum Lösen von Matrizen und Gleichungen, zum Zeichnen von Graphen das gesamte Taschenrechnerfeld nach oben bewegt wird und einen Teil der Anzeige bedeckt. Füllen Sie die erforderlichen Felder aus und drücken Sie die Taste „I“ (in der Abbildung rot hervorgehoben), um die Anzeige in voller Größe anzuzeigen.

4. Der Ziffernblock enthält Zahlen und Zeichen für arithmetische Operationen. Die Schaltfläche "C" löscht den gesamten Eintrag im Ausdruckseingabefeld. Um Zeichen einzeln zu löschen, müssen Sie den Pfeil rechts neben der Eingabezeile verwenden.

Versuchen Sie, am Ende eines Ausdrucks immer Klammern zu schließen. Für die meisten Operationen ist dies unkritisch, der Online-Rechner berechnet alles richtig. In einigen Fällen sind jedoch Fehler möglich. Wenn zum Beispiel in eine gebrochene Potenz erhöht wird, führen nicht geschlossene Klammern dazu, dass der Nenner des Bruchs im Exponenten in den Nenner der Basis geht. Auf dem Display wird die Verschlussklammer in blassgrauer Farbe angezeigt, sie muss geschlossen werden, wenn die Aufnahme beendet ist.

Taste	Symbol	Betrieb
Pi	Pi	Konstanter pi
e	e	Eulersche Zahl
%	%	Prozent
()	()	Klammern öffnen / schließen
,	,	Komma
Sünde	Sünde (?)	Sinuswinkel
cos	weil (?)	Kosinus
bräunen	braun (ja)	Tangente
sinh	sinh ()	Hyperbolischer Sinus
cosh	kosch ()	Hyperbolischer Kosinus
tanh	tanh ()	Hyperbolischer Tangens
Sünde -1	wie in ()	Inverser Sinus
cos -1	acos ()	Inverser Kosinus
braun -1	eine Lohe ()	Tangente umkehren
sinh -1	asinh ()	Inverser hyperbolischer Sinus
cosh -1	acosh ()	Inverser hyperbolischer Kosinus
tanh -1	atanh ()	Inverser hyperbolischer Tangens
x 2	^2	Quadrieren
x 3	^3	Würfel
x y	^	Potenzierung
10 x	10^()	Potenzierung zur Basis 10
Ex	exp ()	Potenzierung der Eulerschen Zahl
vx	Quadrat (x)	Quadratwurzel
3 vx	sqrt3 (x)	Wurzel 3. Grad
y vx	Quadrat (x, y)	Extraktion der Wurzel
log 2 x	log2 (x)	Binärer Logarithmus
Protokoll	log (x)	Dezimallogarithmus
ln	ln (x)	Natürlicher Logarithmus
log y x	log (x, y)	Logarithmus
I / II		Zuklappen / Zusatzfunktionen aufrufen
Einheit		Einheitenumwandler
Matrix		Matrizen
Lösen		Gleichungen und Gleichungssysteme
		Plotten
Zusatzfunktionen (Aufruf mit Taste II)
mod	mod	Division mit Rest
!	!	Fakultät
ich / j	ich / j	Imaginäre Einheit
Betreff	Betreff ()	Auswahl des gesamten Realteils
Ich bin	Ich bin ()	Ausschluss des gültigen Teils
| x |	Abs ()	Der absolute Wert einer Zahl
Arg	arg ()	Funktionsargument
nCr	ncr ()	Binomialkoeffizient
gcd	gcd()	Gcd
lcm	lcm ()	NOK
Summe	Summe ()	Der Gesamtwert aller Entscheidungen
Gesicht	faktorisieren ()	Primfaktorzerlegung
unterschied	unterschied ()	Unterscheidung
Deg		Abschlüsse
Rad		Radiant

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, im Bauwesen und sogar im Sport verwendet. Der Mensch hat in der Antike Gleichungen verwendet, und seitdem hat ihre Anwendung nur zugenommen. Potenz- oder Exponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen die Variablen in Potenzen stehen und die Basis eine Zahl ist. Zum Beispiel:

Das Lösen der Exponentialgleichung besteht aus 2 ziemlich einfachen Schritten:

1. Es ist zu prüfen, ob die Gleichungsbasen rechts und links gleich sind. Wenn die Gründe nicht die gleichen sind, suchen wir nach Möglichkeiten, dieses Beispiel zu lösen.

2. Nachdem die Basen gleich geworden sind, setzen wir die Grade gleich und lösen die resultierende neue Gleichung.

Nehmen wir an, eine Exponentialgleichung der folgenden Form ist gegeben:

Es lohnt sich, die Lösung dieser Gleichung mit der Analyse der Basis zu beginnen. Die Basen sind unterschiedlich - 2 und 4, aber für die Lösung müssen wir gleich sein, also transformieren wir 4 nach der folgenden Formel - \ [(a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Zur ursprünglichen Gleichung hinzufügen:

Entferne die Klammern \

Wir drücken \

Da die Abschlüsse gleich sind, verwerfen wir sie:

Antworten: \

Wo kann man die Exponentialgleichung mit einem Online-Solver lösen?

Sie können die Gleichung auf unserer Website https://site lösen. Ein kostenloser Online-Solver ermöglicht es Ihnen, eine Gleichung beliebiger Komplexität in Sekundenschnelle online zu lösen. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Solver eingeben. Auf unserer Website können Sie sich auch eine Videoanleitung ansehen und lernen, wie Sie die Gleichung lösen. Und wenn Sie noch Fragen haben, können Sie diese in unserer Vkontakte-Gruppe http://vk.com/pocketeacher stellen. Treten Sie unserer Gruppe bei, wir helfen Ihnen gerne weiter.