Präsentation zum Thema: Ableitung. Entstehungsgeschichte des Begriffs „Derivat“ „Wer sich auf die Gegenwart beschränken will, ohne die Vergangenheit zu kennen, wird sie nie verstehen“ Leibniz Gottfried Friedrich. Ableitung in der Elektrotechnik

Die Geschichte des Begriffs der Ableitung

Funktionen, Grenzen, Ableitung und Integral sind die Grundkonzepte der mathematischen Analyse, die im Laufe der High School studiert werden. Und der Begriff der Ableitung ist untrennbar mit dem Begriff der Funktion verbunden.

Der Begriff "Funktion" wurde erstmals 1692 von einem deutschen Philosophen und Mathematiker vorgeschlagen, um verschiedene Segmente zu charakterisieren, die die Punkte einer bestimmten Kurve verbinden. Die erste Definition einer Funktion, die nicht mehr mit geometrischen Darstellungen verbunden war, wurde 1718 formuliert. Schüler von Johann Bernoulli

1748. klärte die Definition der Funktion. Euler wird die Einführung des Symbols f(x) zugeschrieben, um eine Funktion zu bezeichnen.

Eine strenge Definition des Grenzwerts und der Stetigkeit einer Funktion wurde 1823 von dem französischen Mathematiker formuliert Augustin Louis Cauchy . Die Definition der Stetigkeit einer Funktion wurde noch früher von dem tschechischen Mathematiker Bernard Bolzano formuliert. Gemäß diesen Definitionen wurde auf der Grundlage der Theorie der reellen Zahlen eine strenge Begründung der wichtigsten Bestimmungen der mathematischen Analyse durchgeführt.

Der Entdeckung der Ansätze und Grundlagen der Differentialrechnung ging die Arbeit eines französischen Mathematikers und Juristen voraus, der 1629 Methoden vorschlug, um die größten und kleinsten Werte von Funktionen zu finden, Tangenten an beliebige Kurven zu ziehen und sich tatsächlich auf die zu verlassen Einsatz von Derivaten. Dies wurde auch durch die Arbeit erleichtert, die die Koordinatenmethode und die Grundlagen der analytischen Geometrie entwickelt hat. Erst 1666 und wenig später bauten sie unabhängig voneinander die Theorie der Differentialrechnung auf. Newton kam zum Konzept einer Ableitung, indem er Probleme der Momentangeschwindigkeit löste, und , - indem er das geometrische Problem des Zeichnens einer Tangente an eine Kurve betrachtete. und untersuchte das Problem der Maxima und Minima von Funktionen.

Die Integralrechnung und das eigentliche Konzept des Integrals entstand aus der Notwendigkeit, die Flächen von ebenen Figuren und die Volumina beliebiger Körper zu berechnen. Die Ideen der Integralrechnung stammen aus den Werken antiker Mathematiker. Dies zeugt jedoch von der „Methode der Erschöpfung“ des Eudoxus, die er später im 3. Jahrhundert anwandte. BC e Das Wesentliche dieser Methode war, dass sie zur Berechnung der Fläche einer flachen Figur und durch Erhöhen der Seitenzahl des Polygons die Grenze fanden, in die die Flächen der abgestuften Figuren gerichtet waren. Die Berechnung der Grenze hing jedoch für jede Figur von der Wahl einer speziellen Technik ab. Und das Problem der allgemeinen Methode zur Berechnung der Flächen und Volumen von Figuren blieb ungelöst. Archimedes hat das allgemeine Konzept von Grenze und Integral noch nicht explizit angewendet, obwohl diese Konzepte implizit verwendet wurden.

Im 17. Jahrhundert , der die Gesetze der Planetenbewegung entdeckte, gelang der erste Ideenfindungsversuch. Kepler berechnete die Flächen von flachen Figuren und die Volumina von Körpern, basierend auf der Idee, eine Figur und einen Körper in unendlich viele unendlich kleine Teile zu zerlegen. Als Ergebnis der Addition bestanden diese Teile aus einer Figur, deren Fläche bekannt ist und die es uns ermöglicht, die Fläche der gewünschten zu berechnen. In die Geschichte der Mathematik ging das sogenannte „Cavalieri-Prinzip“ ein, mit dessen Hilfe Flächen und Volumina berechnet wurden. Dieses Prinzip wurde später mit Hilfe der Integralrechnung theoretisch untermauert.
Die Ideen anderer Wissenschaftler wurden zur Grundlage, auf der Newton und Leibniz die Integralrechnung entdeckten. Die Entwicklung der Integralrechnung ging viel später weiter Pafnuty Lvovich Chebyshev entwickelte Methoden zur Integration einiger Klassen irrationaler Funktionen.

Die moderne Definition des Integrals als Grenzwert von Integralsummen geht auf Cauchy zurück. Symbol

Um die Vorschau von Präsentationen zu verwenden, erstellen Sie ein Google-Konto (Konto) und melden Sie sich an: https://accounts.google.com

Beschriftungen der Folien:

Geschichte des Derivats

„Diese Welt war in tiefe Dunkelheit gehüllt. Es werde Licht! Und hier kommt Newton. Epitaph des Dichters A. Papst:

Die Geschichte des Auftretens des Derivats Ende des 12. Jahrhunderts bewies der große englische Wissenschaftler Isaac Newton, dass Weg und Geschwindigkeit durch die Formel miteinander verbunden sind: V (t) \u003d S '(t) und eine solche Beziehung besteht zwischen den quantitativen Merkmalen der unterschiedlichsten untersuchten Prozesse: Physik, Chemie, Biologie und technische Wissenschaften. Diese Entdeckung von Newton war ein Wendepunkt in der Geschichte der Naturwissenschaften.

Die Ehre, zusammen mit Newton die Grundgesetze der mathematischen Analyse entdeckt zu haben, gebührt dem deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz. Die Entstehungsgeschichte des Derivats Leibniz kam zu diesen Gesetzen, indem sie das Problem löste, eine Tangente an eine beliebige Kurve zu ziehen, d.h. formulierte die geometrische Bedeutung der Ableitung, dass der Wert der Ableitung am Berührungspunkt die Steigung der Tangente oder tg die Steigung der Tangente mit der positiven Richtung der Achse О X ist.

Der Begriff Ableitung und moderne Bezeichnungen y ’ , f ’ wurden 1797 von J. Lagrange eingeführt. Die Geschichte des Auftretens des Derivats

Benötigen Sie ein Derivat in Ihrem zukünftigen Beruf? Vertreter verschiedener Fachrichtungen müssen sich in unserer Zeit mit solchen Aufgaben auseinandersetzen: Verfahrenstechniker versuchen, die Produktion so zu organisieren, dass möglichst viele Produkte entstehen; Konstrukteure versuchen, ein Instrument für das Raumschiff so zu entwickeln, dass die Masse des Instruments so gering wie möglich ist; Ökonomen versuchen, die Verbindungen zwischen Werk und Rohstoffquellen so zu planen, dass die Transportkosten minimal sind.

Die Arbeit wurde durchgeführt von: Lysenko Anastasia Posochova Marika Shalnov Denis Struchenkov Nikita Betreuende Lehrerin: Novikova Lyubov Anatolyevna Verwendete Materialien: FileLand.RU

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

Zum Thema: Methodische Entwicklungen, Präsentationen und Notizen

Präsentation "Historische Informationen zu quadratischen Gleichungen"

Die Präsentation bietet interessante historische Informationen über quadratische Gleichungen sowie nicht standardmäßige Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen....

Historische Informationen über die Kunst der Glasmalerei, ihre Typen. Die Verwendung von Glasmalereien in der Innenarchitektur

Derzeit hat Buntglas ein neues Leben gefunden: Es schmückt öffentliche Gebäude (Fenster, Türen, Innenwände) und verändert ihr Aussehen. Buntglasfenster in Russland werden immer modischer. Dekorative Merkmale...

Diese außerschulische Veranstaltung trägt zur Entwicklung des Horizonts der Schüler bei und weckt das Interesse an Mathematik....

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist das Grundkonzept der Differentialrechnung. Sie charakterisiert die Änderungsgeschwindigkeit der Funktion an der angegebenen Stelle. Die Ableitung wird häufig zur Lösung einer Reihe von Problemen in Mathematik, Physik und anderen Wissenschaften verwendet, insbesondere zur Untersuchung der Geschwindigkeit verschiedener Arten von Prozessen.

Grundlegende Definitionen

Die Ableitung ist gleich der Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments, sofern letzteres gegen Null geht:

$y^(\prime)\left(x_(0)\right)=\lim _(\Delta x \rightarrow 0) \frac(\Delta y)(\Delta x)$

Definition

Eine Funktion, die irgendwann eine endliche Ableitung hat, wird aufgerufen an einem bestimmten Punkt differenzierbar. Der Vorgang zur Berechnung der Ableitung wird aufgerufen Funktionsdifferenzierung.

Geschichtlicher Bezug

Der russische Begriff „Ableitung einer Funktion“ wurde erstmals von dem russischen Mathematiker V.I. Wiskowatow (1780 - 1812).

Die Bezeichnung eines Inkrements (Argument/Funktion) mit dem griechischen Buchstaben $\Delta$ (Delta) wurde erstmals von dem Schweizer Mathematiker und Mechaniker Johann Bernoulli (1667 - 1748) verwendet. Die Notation für das Differential , die Ableitung $d x$ gehört dem deutschen Mathematiker G.V. Leibniz (1646 - 1716). Die Bezeichnung der Zeitableitung mit einem Punkt über dem Buchstaben - $\dot(x)$ - stammt von dem englischen Mathematiker, Mechaniker und Physiker Isaac Newton (1642 - 1727). Die Kurzbezeichnung der Ableitung mit Strich – $f^(\prime)(x)$ – gehört dem französischen Mathematiker, Astronomen und Mechaniker J.L. Lagrange (1736 - 1813), den er 1797 einführte. Das partielle Ableitungssymbol $\frac(\partial)(\partial x)$ wurde in seinen Werken aktiv vom deutschen Mathematiker Karl G.Ya verwendet. Jacobi (1805 - 1051) und dann der herausragende deutsche Mathematiker Karl T.W. Weierstraß (1815 - 1897), obwohl diese Bezeichnung schon früher in einem Werk des französischen Mathematikers A.M. Legendre (1752 - 1833). Das Differentialoperatorsymbol $\nabla$ wurde von dem herausragenden irischen Mathematiker, Mechaniker und Physiker W.R. Hamilton (1805 - 1865) im Jahr 1853, und der Name "nabla" wurde 1892 von dem englischen Autodidakten Wissenschaftler, Ingenieur, Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850 - 1925) vorgeschlagen.

Https://ppt4web.ru/images/1345/36341/310/img0.jpg" alt="(!LANG: Präsentation zum Thema: Ableitung. Abgeschlossen von Schülern der 11. Klasse "a": Chelobitchikova Mar" title="Präsentation zum Thema: Ableitung. Abgeschlossen von Schülern der 11. "a"-Klasse: Chelobitchikova Mar">!}

Beschreibung der Folie:

Folie Nummer 2

Beschreibung der Folie:

Folie Nummer 3

Beschreibung der Folie:

Aus der Geschichte: In der Geschichte der Mathematik werden traditionell mehrere Stadien in der Entwicklung mathematischen Wissens unterschieden: Bildung des Begriffs einer geometrischen Figur und Zahl als Idealisierung realer Objekte und Mengen homogener Objekte. Das Aufkommen des Zählens und Messens, das es ermöglichte, verschiedene Zahlen, Längen, Flächen und Volumina zu vergleichen. Die Erfindung der Rechenoperationen. Empirische Ansammlung (durch Versuch und Irrtum) von Wissen über die Eigenschaften von Rechenoperationen, über Methoden zur Flächen- und Volumenmessung einfacher Figuren und Körper. Sumero-babylonische, chinesische und indische Mathematiker des Altertums sind in dieser Richtung weit fortgeschritten. Das Erscheinen eines deduktiven mathematischen Systems im antiken Griechenland, das zeigte, wie man neue mathematische Wahrheiten auf der Grundlage bestehender Wahrheiten erhält. Die Krönung der antiken griechischen Mathematik waren Euklids Elemente, die zwei Jahrtausende lang die Rolle eines Maßstabs für mathematische Strenge spielten. Die Mathematiker der islamischen Länder bewahrten nicht nur die antiken Errungenschaften, sondern konnten sie auch mit den Entdeckungen indischer Mathematiker synthetisieren, die in der Zahlentheorie weiter vordrangen als die Griechen. In den XVI-XVIII Jahrhunderten wird die europäische Mathematik wiedergeboren und geht weit voran. Ihre konzeptionelle Grundlage in dieser Zeit war der Glaube, dass mathematische Modelle eine Art ideales Skelett des Universums sind und daher die Entdeckung mathematischer Wahrheiten gleichzeitig die Entdeckung neuer Eigenschaften der realen Welt ist. Der Haupterfolg auf diesem Weg war die Entwicklung mathematischer Modelle der Abhängigkeit (Funktion) und der beschleunigten Bewegung (Analyse von Infinitesimalen). Alle Naturwissenschaften wurden auf der Grundlage neu entdeckter mathematischer Modelle neu aufgebaut, was zu ihrem kolossalen Fortschritt führte. Im 19. und 20. Jahrhundert wird deutlich, dass die Beziehung zwischen Mathematik und Realität bei weitem nicht so einfach ist, wie es früher schien. Auf eine Art "grundlegende Frage der Philosophie der Mathematik", die Ursache für die "unverständliche Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften" zu finden, gibt es keine allgemein akzeptierte Antwort. Darin, und nicht nur in dieser Hinsicht, haben sich die Mathematiker in viele Debattierschulen geteilt. Mehrere gefährliche Trends haben sich herauskristallisiert: zu enge Spezialisierung, Isolierung von praktischen Problemen usw. Gleichzeitig sind die Macht der Mathematik und ihr Prestige, unterstützt durch die Effektivität ihrer Anwendung, höher als je zuvor.

Folie Nummer 4

Beschreibung der Folie:

Folie Nummer 5

Beschreibung der Folie:

Differenzierbarkeit Die Ableitung f "(x0) der Funktion f am Punkt x0, die ein Grenzwert ist, kann nicht existieren oder existieren und endlich oder unendlich sein. Die Funktion f ist am Punkt x0 genau dann differenzierbar, wenn ihre Ableitung an diesem Punkt ist existiert und ist endlich: Für die in x0 differenzierbare Funktion f in einer Umgebung U(x0) genügt die Darstellung f(x) = f(x0) + f"(x0)(x − x0) + o(x − x0)

Folie Nummer 6

Beschreibung der Folie:

Bemerkungen Nennen wir Δx = x − x0 das Inkrement des Funktionsarguments und Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) das Inkrement des Funktionswerts am Punkt x0. Dann Lassen Sie die Funktion an jedem Punkt eine endliche Ableitung haben. Dann wird die Ableitungsfunktion definiert. Eine Funktion, die an einem Punkt eine endliche Ableitung hat, ist dort stetig. Das Gegenteil ist nicht immer der Fall. Wenn die Ableitungsfunktion selbst stetig ist, dann heißt die Funktion f stetig differenzierbar und wird geschrieben:

Folie Nummer 7

Beschreibung der Folie:

Die geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Auf dem Graphen der Funktion wird die Abszisse x0 ausgewählt und die entsprechende Ordinate f(x0) berechnet. In der Nähe des Punktes x0 wird ein beliebiger Punkt x gewählt. Durch die entsprechenden Punkte auf dem Graphen der Funktion F wird eine Sekante gezogen (die erste hellgraue Linie C5). Der Abstand Δx = x - x0 geht gegen Null, dadurch wird die Sekante zur Tangente (allmählich dunkler werdende Linien C5 - C1). Der Tangens des Steigungswinkels α dieser Tangente ist die Ableitung im Punkt x0.

Folie Nummer 8

Beschreibung der Folie:

Ableitungen höherer Ordnungen Der Begriff einer Ableitung beliebiger Ordnung ist rekursiv gegeben. Wir setzen Wenn die Funktion f bei x0 differenzierbar ist, dann ist die Ableitung erster Ordnung durch die Beziehung gegeben. Nun sei die Ableitung n-ter Ordnung f(n) in einer Umgebung des Punktes x0 definiert und differenzierbar. Dann

Folie Nummer 9

Beschreibung der Folie:

Methoden zum Schreiben von Ableitungen Je nach Zielsetzung, Umfang und mathematischem Apparat kommen verschiedene Methoden zum Schreiben von Ableitungen zum Einsatz. Die Ableitung der n-ten Ordnung kann also in den Notationen geschrieben werden: Lagrange f (n) (x0), während für kleine n häufig Primzahlen und römische Ziffern verwendet werden: f (1) (x0) \u003d f "(x0) \u003d fI ( x0),f(2)(x0) = f""(x0) = fII(x0),f(3)(x0) = f"""(x0) = fIII(x0),f( 4)(x0 ) = fIV(x0) usw. Lagrange). Die Ordnung der Ableitung wird durch die Anzahl der Punkte über der Funktion angegeben, zum Beispiel: - die erste Ableitung von x nach t bei t = t0 oder - die zweite Ableitung von f nach x am Punkt x0 , usw. Euler mit einem Differentialoperator (genau genommen ein Differentialausdruck, während der entsprechende Funktionenraum nicht eingeführt wurde), und daher praktisch in Sachen der Funktionalanalysis: Man darf natürlich nicht vergessen, dass sie alle der Bezeichnung dienen die gleichen Objekte:

Folie Nummer 10

Beschreibung der Folie:

Beispiele: Sei f(x) = x2. Dann sei f(x) = | x | . Dann wenn dann f "(x0) = sgnx0, wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet. Wenn x0 = 0, dann existiert f" (x0) nicht

Folie Nummer 11

Beschreibung der Folie:

Ableitungsregeln Die Operation, eine Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt. Bei dieser Operation müssen Sie häufig mit Quotienten, Summen, Produkten von Funktionen sowie mit „Funktionen von Funktionen“, also komplexen Funktionen, arbeiten. Aus der Definition der Ableitung lassen sich Ableitungsregeln ableiten, die diese Arbeit erleichtern. (die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen) (daraus folgt insbesondere, dass die Ableitung des Produkts einer Funktion und einer Konstanten gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion durch eine Konstante ist) Wenn die Funktion parametrisch gegeben ist: dann