Um mit dem Begriff des Rangs einer Matrix arbeiten zu können, benötigen wir Informationen aus dem Thema „Algebraische Komplemente und Minoren. Arten von Minoren und algebraischen Komplementen“ . Dies betrifft zunächst den Begriff "Matrix-Minor", da wir den Rang einer Matrix genau durch Minoren bestimmen werden.

Matrix-Rang Nennen Sie die maximale Ordnung ihrer Minoren, von denen mindestens eine ungleich Null ist.

Äquivalente Matrizen sind Matrizen, deren Ränge einander gleich sind.

Lassen Sie uns das genauer erklären. Angenommen, es gibt mindestens einen Minderjährigen zweiter Ordnung, der von Null verschieden ist. Und alle Minoren, deren Ordnung höher als zwei ist, sind gleich Null. Fazit: Der Rang der Matrix ist 2. Oder es gibt beispielsweise unter den Minderjährigen der zehnten Ordnung mindestens einen, der ungleich Null ist. Und alle Minderjährigen, deren Ordnung größer als 10 ist, sind gleich Null. Fazit: Der Rang der Matrix ist 10.

Der Rang der Matrix $A$ wird wie folgt bezeichnet: $\rang A$ oder $r(A)$. Der Rang der Nullmatrix $O$ wird gleich Null gesetzt, $\rang O=0$. Ich möchte Sie daran erinnern, dass es zum Bilden einer Matrix Minor erforderlich ist, Zeilen und Spalten zu streichen, aber es ist unmöglich, mehr Zeilen und Spalten zu streichen, als die Matrix selbst enthält. Wenn zum Beispiel die Matrix $F$ die Größe $5\times 4$ hat (d. h. sie enthält 5 Zeilen und 4 Spalten), dann ist die maximale Ordnung ihrer Untergeordneten vier. Es wird nicht mehr möglich sein, Minderjährige der fünften Ordnung zu bilden, da sie 5 Spalten benötigen (und wir haben nur 4). Das bedeutet, dass der Rang der Matrix $F$ nicht größer als vier sein kann, d.h. $\rang F≤4$.

In einer allgemeineren Form bedeutet das Obige, dass, wenn die Matrix $m$ Zeilen und $n$ Spalten enthält, ihr Rang die kleinste der Zahlen $m$ und $n$ nicht überschreiten kann, d.h. $\rang A≤\min(m,n)$.

Im Prinzip ergibt sich die Methode, ihn zu finden, aus der eigentlichen Definition des Ranges. Der Prozess, den Rang einer Matrix per Definition zu finden, kann wie folgt schematisch dargestellt werden:

Lassen Sie mich dieses Diagramm näher erläutern. Beginnen wir mit der Argumentation ganz am Anfang, d.h. mit Minoren erster Ordnung einer Matrix $A$.

1. Wenn alle Minoren erster Ordnung (also Elemente der Matrix $A$) gleich Null sind, dann ist $\rang A=0$. Wenn unter den Minoren erster Ordnung mindestens eine ungleich Null ist, dann ist $\rang A≥ 1$. Wir gehen zur Überprüfung von Minderjährigen zweiter Ordnung über.
2. Wenn alle Minoren zweiter Ordnung gleich Null sind, dann ist $\rang A=1$. Wenn unter den Minoren zweiter Ordnung mindestens eine ungleich Null ist, dann ist $\rang A≥ 2$. Wir gehen zur Überprüfung Minderjähriger dritter Ordnung über.
3. Wenn alle Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null sind, dann ist $\rang A=2$. Wenn unter den Minoren dritter Ordnung mindestens eine ungleich Null ist, dann ist $\rang A≥ 3$. Kommen wir zur Überprüfung der Minderjährigen der vierten Ordnung.
4. Wenn alle Minderjährigen vierter Ordnung gleich Null sind, dann ist $\rang A=3$. Wenn es mindestens einen von Null verschiedenen Minor vierter Ordnung gibt, dann ist $\rang A≥ 4$. Wir gehen zur Überprüfung von Minderjährigen der fünften Ordnung über und so weiter.

Was erwartet uns am Ende dieses Verfahrens? Es ist möglich, dass unter den Minoren der k-ten Ordnung mindestens eine von Null verschieden ist und alle Minoren der (k + 1)-ten Ordnung gleich Null sind. Das bedeutet, dass k die maximale Ordnung von Minoren ist, unter denen es mindestens eine gibt, die nicht gleich Null ist, d.h. der Rang ist gleich k. Es kann eine andere Situation geben: Unter den Minoren der k-ten Ordnung wird es mindestens eine geben, die nicht gleich Null ist, und die Minoren der (k + 1)-ten Ordnung können nicht gebildet werden. In diesem Fall ist der Rang der Matrix ebenfalls gleich k. Kurz gesagt, die Ordnung des zuletzt komponierten Molls ungleich Null und ist gleich dem Rang der Matrix.

Lassen Sie uns zu Beispielen übergehen, in denen der Prozess zum Finden des Rangs einer Matrix per Definition klar veranschaulicht wird. Ich betone noch einmal, dass wir in den Beispielen zu diesem Thema den Rang von Matrizen finden werden, indem wir nur die Definition des Rangs verwenden. Andere Methoden (Berechnung des Rangs einer Matrix nach der Methode der angrenzenden Minderjährigen, Berechnung des Rangs einer Matrix nach der Methode der elementaren Transformationen) werden in den folgenden Themen behandelt.

Übrigens ist es überhaupt nicht notwendig, das Verfahren zum Ermitteln des Ranges von Minderjährigen der kleinsten Ordnung zu beginnen, wie dies in den Beispielen Nr. 1 und Nr. 2 getan wurde. Sie können sofort zu Minderjährigen höherer Ordnung gehen (siehe Beispiel Nr. 3).

Beispiel 1

Finde den Rang einer Matrix $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array)\right)$.

Diese Matrix hat die Größe $3\times 5$, d.h. enthält drei Zeilen und fünf Spalten. Von den Zahlen 3 und 5 ist 3 das Minimum, also ist der Rang der Matrix $A$ höchstens 3, d.h. $\rank A≤ 3$. Und diese Ungleichheit ist offensichtlich, da wir keine Minorzahlen der vierten Ordnung mehr bilden können - sie brauchen 4 Zeilen, und wir haben nur 3. Fahren wir direkt mit dem Prozess fort, den Rang einer gegebenen Matrix zu finden.

Unter den Minoren erster Ordnung (d. h. unter den Elementen der Matrix $A$) gibt es Nicht-Null-Einsen. Zum Beispiel 5, -3, 2, 7. Im Allgemeinen interessiert uns nicht die Gesamtzahl der Nicht-Null-Elemente. Es gibt mindestens ein Nicht-Null-Element - und das reicht. Da unter den Minoren erster Ordnung mindestens eine Nicht-Null ist, folgern wir, dass $\rang A≥ 1$ und fahren mit der Überprüfung der Minoren zweiter Ordnung fort.

Beginnen wir mit der Erforschung von Minderjährigen zweiter Ordnung. Beispielsweise befinden sich am Schnittpunkt der Zeilen Nr. 1, Nr. 2 und Spalten Nr. 1, Nr. 4 Elemente des folgenden Untersatzes: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (Array) \right| $. Für diese Determinante sind alle Elemente der zweiten Spalte gleich Null, also ist die Determinante selbst gleich Null, d.h. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (siehe Eigenschaft #3 in der Eigenschaft der Determinanten). Oder Sie berechnen diese Determinante einfach mit Formel Nr. 1 aus dem Abschnitt zur Berechnung von Determinanten zweiter und dritter Ordnung:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Der erste Minor zweiter Ordnung, den wir überprüften, stellte sich als gleich Null heraus. Was sagt es? Über die Notwendigkeit, Minderjährige zweiter Ordnung weiter zu überprüfen. Entweder sind sie alle Null (und dann ist der Rang gleich 1), oder unter ihnen gibt es mindestens einen Minor, der von Null verschieden ist. Versuchen wir, eine bessere Wahl zu treffen, indem wir einen Minor zweiter Ordnung schreiben, dessen Elemente sich am Schnittpunkt der Zeilen #1, #2 und der Spalten #1 und #5 befinden: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array)\right|$. Finden wir den Wert dieses Molls zweiter Ordnung:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Dieser Minor ist nicht gleich Null. Fazit: Unter den Minoren zweiter Ordnung gibt es mindestens eine andere als Null. Also $\rank A≥ 2$. Es ist notwendig, mit dem Studium von Minderjährigen dritter Ordnung fortzufahren.

Wenn wir für die Bildung von Minderjährigen dritter Ordnung Spalte Nr. 2 oder Spalte Nr. 4 wählen, dann sind solche Minderjährigen gleich Null (weil sie eine Nullspalte enthalten). Es bleibt nur ein Untergeordneter dritter Ordnung zu überprüfen, dessen Elemente sich am Schnittpunkt der Spalten Nr. 1, Nr. 3, Nr. 5 und der Zeilen Nr. 1, Nr. 2, Nr. 3 befinden. Lassen Sie uns diesen Minor schreiben und seinen Wert finden:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Also sind alle Minoren dritter Ordnung gleich Null. Der letzte Moll ungleich Null, den wir zusammengestellt haben, war von zweiter Ordnung. Schlussfolgerung: Die maximale Ordnung von Minoren, unter denen es mindestens eine andere als Null gibt, ist gleich 2. Daher ist $\rang A=2$.

Antworten: $\rank A=2$.

Beispiel #2

Finde den Rang einer Matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Wir haben eine quadratische Matrix vierter Ordnung. Wir bemerken sofort, dass der Rang dieser Matrix 4 nicht überschreitet, d.h. $\rank A≤ 4$. Beginnen wir damit, den Rang einer Matrix zu ermitteln.

Unter den Minoren erster Ordnung (also unter den Elementen der Matrix $A$) gibt es mindestens eines, das ungleich Null ist, also ist $\rang A≥ 1$. Wir gehen zur Überprüfung von Minderjährigen zweiter Ordnung über. Zum Beispiel erhalten wir am Schnittpunkt der Zeilen Nr. 2, Nr. 3 und Spalten Nr. 1 und Nr. 2 den folgenden Minor zweiter Ordnung: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Rechnen wir es aus:

$$ \links| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Unter den Minoren zweiter Ordnung gibt es mindestens eine, die ungleich Null ist, also $\rang A≥ 2$.

Kommen wir zu Minderjährigen dritter Ordnung. Suchen wir zum Beispiel einen Minor, dessen Elemente sich am Schnittpunkt der Zeilen Nr. 1, Nr. 3, Nr. 4 und der Spalten Nr. 1, Nr. 2, Nr. 4 befinden:

$$ \links | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Da sich herausstellte, dass dieser Minor dritter Ordnung gleich Null ist, muss ein weiterer Minor dritter Ordnung untersucht werden. Entweder sind alle gleich Null (dann ist der Rang gleich 2), oder unter ihnen gibt es mindestens einen, der ungleich Null ist (dann beginnen wir mit dem Studium von Minderjährigen der vierten Ordnung). Stellen Sie sich einen Minor dritter Ordnung vor, dessen Elemente sich am Schnittpunkt der Zeilen Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 und der Spalten Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 befinden:

$$ \links| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Unter den Minderjährigen dritter Ordnung gibt es mindestens einen Nicht-Null-Minor, also $\rang A≥ 3$. Kommen wir zur Überprüfung der Minderjährigen der vierten Ordnung.

Jeder Minor der vierten Ordnung befindet sich am Schnittpunkt von vier Zeilen und vier Spalten der Matrix $A$. Mit anderen Worten, der Moll vierter Ordnung ist die Determinante der Matrix $A$, da diese Matrix nur 4 Zeilen und 4 Spalten enthält. Die Determinante dieser Matrix wurde in Beispiel Nr. 2 des Themas „Reduzierung der Ordnung der Determinante. Zerlegung der Determinante in einer Zeile (Spalte)“ berechnet, also nehmen wir einfach das fertige Ergebnis:

$$ \links| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (Array)\right|=86. $$

Der Moll vierter Ordnung ist also ungleich Null. Minderjährige fünfter Ordnung können wir nicht mehr bilden. Fazit: Die höchste Ordnung von Minderjährigen, unter denen mindestens eine von Null verschieden ist, ist 4. Ergebnis: $\rang A=4$.

Antworten: $\rank A=4$.

Beispiel #3

Finde den Rang einer Matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end(array)\right)$.

Beachte gleich, dass diese Matrix 3 Zeilen und 4 Spalten enthält, also $\rang A≤ 3$. In den vorherigen Beispielen haben wir den Prozess der Ermittlung des Ranges begonnen, indem wir Minderjährige der kleinsten (ersten) Ordnung betrachteten. Hier werden wir versuchen, die Minderjährigen der höchstmöglichen Ordnung sofort zu überprüfen. Für die Matrix $A$ sind dies Minoren dritter Ordnung. Betrachten Sie einen Minor dritter Ordnung, dessen Elemente am Schnittpunkt der Zeilen Nr. 1, Nr. 2, Nr. 3 und Spalten Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 liegen:

$$ \links| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Die höchste Ordnung der Minderjährigen, unter denen es mindestens eine gibt, die nicht gleich Null ist, ist also 3. Daher ist der Rang der Matrix 3, d.h. $\rank A=3$.

Antworten: $\rank A=3$.

Im Allgemeinen ist das Finden des Rangs einer Matrix per Definition im allgemeinen Fall eine ziemlich zeitaufwändige Aufgabe. Zum Beispiel hat eine relativ kleine $5\times 4$-Matrix 60 Nebenwerte zweiter Ordnung. Und selbst wenn 59 von ihnen gleich Null sind, kann sich herausstellen, dass die 60. Minor nicht Null ist. Dann müssen Sie die Minderjährigen dritter Ordnung erforschen, von denen diese Matrix 40 Teile hat. Üblicherweise versucht man, weniger umständliche Methoden zu verwenden, wie etwa die Methode der Umrandung von Minderjährigen oder die Methode der äquivalenten Transformationen.

Der Rang einer Matrix ist ein wichtiges numerisches Merkmal. Das typischste Problem, das das Ermitteln des Rangs einer Matrix erfordert, ist die Überprüfung der Kompatibilität eines Systems linearer algebraischer Gleichungen. In diesem Artikel geben wir das Konzept des Rangs einer Matrix und betrachten Methoden, um es zu finden. Zur besseren Aufnahme des Materials werden wir die Lösungen mehrerer Beispiele im Detail analysieren.

Seitennavigation.

Bestimmung des Rangs einer Matrix und notwendiger Zusatzbegriffe.

Bevor man die Definition des Rangs einer Matrix äußert, sollte man ein gutes Verständnis des Konzepts eines Minors haben, und das Finden der Minors einer Matrix impliziert die Fähigkeit, die Determinante zu berechnen. Wir empfehlen daher, sich bei Bedarf an die Theorie des Artikels, Methoden zum Auffinden der Matrixdeterminante und Eigenschaften der Determinante zu erinnern.

Nehmen Sie eine Matrix A der Ordnung . Sei k eine natürliche Zahl, die die kleinste der Zahlen m und n nicht überschreitet, d. h. .

Definition.

Kleinere k-te Ordnung Matrix A ist die Determinante der quadratischen Matrix der Ordnung, zusammengesetzt aus den Elementen der Matrix A, die in vorgewählten k Zeilen und k Spalten sind, und die Position der Elemente der Matrix A wird bewahrt.

Mit anderen Worten, wenn wir (p–k) Zeilen und (n–k) Spalten in Matrix A löschen und aus den verbleibenden Elementen eine Matrix bilden, wobei die Anordnung der Matrixelemente A beibehalten wird, dann ist die Determinante der resultierenden Matrix ​a-Minor der Ordnung k der Matrix A.

Schauen wir uns die Definition eines Matrixminors anhand eines Beispiels an.

Betrachten Sie die Matrix .

Schreiben wir einige Minoren erster Ordnung dieser Matrix auf. Wenn wir zum Beispiel die dritte Reihe und die zweite Spalte der Matrix A wählen, dann entspricht unsere Wahl einem Moll erster Ordnung . Mit anderen Worten, um diesen Moll zu erhalten, haben wir die erste und zweite Zeile sowie die erste, dritte und vierte Spalte aus der Matrix A durchgestrichen und die Determinante aus dem verbleibenden Element gebildet. Wenn wir die erste Zeile und die dritte Spalte der Matrix A wählen, erhalten wir ein Moll .

Lassen Sie uns das Verfahren zum Erhalten der betrachteten Minderjährigen erster Ordnung veranschaulichen
und .

Somit sind die Untergeordneten erster Ordnung einer Matrix die Matrixelemente selbst.

Lassen Sie uns einige Minderjährige zweiter Ordnung zeigen. Wählen Sie zwei Zeilen und zwei Spalten aus. Nehmen Sie zum Beispiel die erste und zweite Zeile und die dritte und vierte Spalte. Mit dieser Wahl haben wir einen Minderjährigen zweiter Ordnung . Dieser Minor könnte auch gebildet werden, indem die dritte Zeile, die erste und die zweite Spalte aus Matrix A gelöscht werden.

Ein weiterer Minor zweiter Ordnung der Matrix A ist .

Lassen Sie uns die Konstruktion dieser Minoren zweiter Ordnung veranschaulichen
und .

Die Minoren dritter Ordnung der Matrix A können ähnlich gefunden werden. Da es in Matrix A nur drei Zeilen gibt, wählen wir sie alle aus. Wählen wir für diese Zeilen die ersten drei Spalten aus, so erhalten wir einen Minor dritter Ordnung

Sie kann auch konstruiert werden, indem die letzte Spalte der Matrix A gelöscht wird.

Ein weiterer Minor dritter Ordnung ist

erhalten durch Streichen der dritten Spalte der Matrix A.

Hier ist eine Zeichnung, die den Aufbau dieser Minderjährigen dritter Ordnung zeigt
und .

Für eine gegebene Matrix A gibt es keine Minoren höherer Ordnung als die dritte, da .

Wie viele Minoren k-ter Ordnung der Ordnungsmatrix A gibt es?

Die Anzahl der Unterordnungen k kann berechnet werden als , wobei und - die Anzahl der Kombinationen von p bis k bzw. von n bis k.

Wie konstruiert man alle Minoren der Ordnung k der Matrix A der Ordnung p auf n?

Wir brauchen einen Satz Matrixzeilennummern und einen Satz Spaltennummern. Alles aufnehmen Kombinationen von p Elementen durch k(Sie entsprechen den ausgewählten Zeilen der Matrix A, wenn ein Minor der Ordnung k konstruiert wird). Zu jeder Kombination von Zeilennummern addieren wir sequentiell alle Kombinationen von n Elementen durch k Spaltennummern. Diese Sätze von Kombinationen von Zeilennummern und Spaltennummern der Matrix A helfen dabei, alle Minoren der Ordnung k zusammenzusetzen.

Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel.

Finden Sie alle Minoren zweiter Ordnung der Matrix.

Lösung.

Da die Reihenfolge der ursprünglichen Matrix 3 mal 3 ist, werden die Minderjährigen zweiter Ordnung insgesamt sein .

Schreiben wir alle Kombinationen von 3 bis 2 Zeilennummern der Matrix A auf: 1, 2; 1, 3 und 2, 3. Alle Kombinationen von 3 mal 2 Spaltennummern sind 1, 2 ; 1, 3 und 2, 3.

Nehmen Sie die erste und zweite Reihe von Matrix A. Durch Auswahl der ersten und zweiten Spalte für diese Zeilen, der ersten und dritten Spalte, der zweiten und dritten Spalte erhalten wir jeweils die Minderjährigen

Für die erste und dritte Zeile haben wir eine ähnliche Auswahl an Spalten

Es bleibt, die erste und zweite, erste und dritte, zweite und dritte Spalte zur zweiten und dritten Zeile hinzuzufügen:

Damit sind alle neun Minoren zweiter Ordnung der Matrix A gefunden.

Jetzt können wir mit der Bestimmung des Rangs der Matrix fortfahren.

Definition.

Matrix-Rang ist die höchste Ordnung des Matrixminors ungleich Null.

Der Rang der Matrix A wird als Rank(A) bezeichnet. Sie können auch die Bezeichnungen Rg(A) oder Rang(A) sehen.

Aus den Definitionen des Rangs einer Matrix und des Minors einer Matrix können wir schließen, dass der Rang einer Nullmatrix gleich Null ist und der Rang einer Nicht-Null-Matrix mindestens eins ist.

Definition des Rangs einer Matrix.

Die erste Methode zum Ermitteln des Rangs einer Matrix ist also kleine Aufzählungsmethode. Dieses Verfahren basiert auf der Bestimmung des Rangs der Matrix.

Lassen Sie uns den Rang einer Matrix A der Ordnung finden.

Beschreibe kurz Algorithmus Lösung dieses Problems durch die Methode der Zählung von Minderjährigen.

Wenn es mindestens ein Matrixelement gibt, das nicht Null ist, dann ist der Rang der Matrix mindestens gleich eins (da es einen Minor erster Ordnung gibt, der nicht gleich Null ist).

Als nächstes iterieren wir über die Minderjährigen zweiter Ordnung. Wenn alle Minderjährigen zweiter Ordnung gleich Null sind, dann ist der Rang der Matrix gleich eins. Wenn es mindestens einen Minor zweiter Ordnung ungleich Null gibt, gehen wir zur Aufzählung der Minors dritter Ordnung über, und der Rang der Matrix ist mindestens gleich zwei.

Wenn alle Minderjährigen dritter Ordnung Null sind, ist der Rang der Matrix in ähnlicher Weise zwei. Wenn es mindestens einen Minor dritter Ordnung ungleich Null gibt, ist der Rang der Matrix mindestens drei, und wir fahren mit der Aufzählung der Minoren vierter Ordnung fort.

Beachten Sie, dass der Rang einer Matrix den kleinsten von p und n nicht überschreiten kann.

Beispiel.

Finde den Rang einer Matrix .

Lösung.

Da die Matrix nicht Null ist, ist ihr Rang nicht kleiner als eins.

Moll zweiter Ordnung von Null verschieden ist, daher ist der Rang der Matrix A mindestens zwei. Wir gehen zur Aufzählung der Minderjährigen dritter Ordnung über. Alle von ihnen Dinge.

Alle Minderjährigen dritter Ordnung sind gleich Null. Daher ist der Rang der Matrix zwei.

Antworten:

Rang(A) = 2 .

Ermitteln des Rangs einer Matrix mit der Methode des Einsäumens von Minoren.

Es gibt andere Methoden, um den Rang einer Matrix zu ermitteln, mit denen Sie das Ergebnis mit weniger Rechenaufwand erhalten.

Eine dieser Methoden ist Fransen Moll-Methode.

Beschäftigen wir uns mit der Begriff eines angrenzenden Minderjährigen.

Man sagt, dass der Moll M ok der (k+1)-ten Ordnung der Matrix A den Moll M der Ordnung k der Matrix A umgibt, wenn die dem Moll M ok entsprechende Matrix die dem Moll entsprechende Matrix "enthält". M .

Mit anderen Worten, die Matrix, die dem umrandeten Moll M entspricht, wird aus der Matrix erhalten, die dem umrandeten Moll M OK entspricht, indem die Elemente einer Zeile und einer Spalte gelöscht werden.

Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix und nimm ein Moll zweiter Ordnung. Schreiben wir alle angrenzenden Minderjährigen auf:

Die Methode der Eingrenzung von Minderjährigen wird durch den folgenden Satz gerechtfertigt (wir präsentieren seine Formulierung ohne Beweis).

Satz.

Wenn alle Minoren, die an den Minor k-ter Ordnung einer Matrix A der Ordnung p mal n grenzen, gleich Null sind, dann sind alle Minoren der Ordnung (k + 1) der Matrix A gleich Null.

Um den Rang einer Matrix zu finden, ist es also nicht notwendig, alle ausreichend begrenzenden Minderjährigen aufzuzählen. Die Anzahl der Minoren, die an den Minor k-ter Ordnung der Matrix A der Ordnung grenzen, wird durch die Formel gefunden . Beachten Sie, dass es nicht mehr Nebenwerte gibt, die an den Nebenwert der k-ten Ordnung der Matrix A grenzen, als es Nebenwerte (k + 1)-ter Ordnung der Matrix A gibt. Daher ist in den meisten Fällen die Verwendung der Methode der Begrenzung von Minderjährigen rentabler als die einfache Aufzählung aller Minderjährigen.

Lassen Sie uns damit fortfahren, den Rang einer Matrix durch die Methode des Einsäumens von Minoren zu finden. Beschreibe kurz Algorithmus diese Methode.

Wenn die Matrix A nicht Null ist, nehmen wir jedes Element der Matrix A, das von Null verschieden ist, als Minor erster Ordnung. Wir betrachten seine angrenzenden Minderjährigen. Wenn sie alle gleich Null sind, dann ist der Rang der Matrix gleich eins. Wenn es mindestens einen angrenzenden Minor gibt, der nicht Null ist (seine Ordnung ist gleich zwei), dann gehen wir zur Betrachtung seiner angrenzenden Minors über. Wenn sie alle Null sind, dann ist Rang(A) = 2 . Wenn mindestens ein angrenzender Minor ungleich Null ist (seine Ordnung ist gleich drei), dann betrachten wir seine angrenzenden Minors. Usw. Als Ergebnis ist Rank(A) = k, wenn alle angrenzenden Minoren der (k + 1)-ten Ordnung der Matrix A gleich Null sind, oder Rank(A) = min(p, n), wenn es eine Nicht-Null gibt Moll grenzt an Moll der Ordnung (min( p, n) – 1) .

Lassen Sie uns anhand eines Beispiels die Methode zum Begrenzen von Minderjährigen analysieren, um den Rang einer Matrix zu ermitteln.

Beispiel.

Finde den Rang einer Matrix nach der Methode der angrenzenden Minderjährigen.

Lösung.

Da das Element a 1 1 der Matrix A nicht Null ist, nehmen wir es als Minor erster Ordnung. Beginnen wir mit der Suche nach einem angrenzenden Minor außer Null:

Ein von Null verschiedener angrenzender Nebenwert zweiter Ordnung wird gefunden. Lassen Sie uns seine angrenzenden Minderjährigen aufzählen (ihre Dinge):

Alle Minoren, die an den Minor zweiter Ordnung grenzen, sind gleich Null, daher ist der Rang der Matrix A gleich zwei.

Antworten:

Rang(A) = 2 .

Beispiel.

Finde den Rang einer Matrix mit Hilfe von angrenzenden Minderjährigen.

Lösung.

Als von Null verschiedenes Minor erster Ordnung nehmen wir das Element a 1 1 = 1 der Matrix A . Fransen es Moll zweiter Ordnung ist nicht gleich null. Dieser Moll wird von einem Moll dritter Ordnung begrenzt
. Da sie ungleich Null ist und es für sie kein angrenzendes Minor gibt, ist der Rang der Matrix A gleich drei.

Antworten:

Rang (A) = 3 .

Ermittlung des Rangs durch elementare Transformationen der Matrix (nach der Gauß-Methode).

Betrachten Sie einen anderen Weg, um den Rang einer Matrix zu ermitteln.

Die folgenden Matrizentransformationen heißen elementar:

• Permutation der Zeilen (oder Spalten) der Matrix;
• Multiplikation aller Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) der Matrix mit einer beliebigen Zahl k, die von Null verschieden ist;
• Hinzufügen der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) der Matrix zu den Elementen einer beliebigen Zeile (Spalte), multipliziert mit einer beliebigen Zahl k.

Matrix B heißt äquivalent zu Matrix A, wenn B mit Hilfe endlich vieler elementarer Transformationen aus A gewonnen wird. Die Äquivalenz von Matrizen wird mit dem Symbol "~" bezeichnet, dh es wird A ~ B geschrieben.

Die Bestimmung des Rangs einer Matrix durch elementare Matrixtransformationen basiert auf der Aussage: Wenn Matrix B aus Matrix A durch endlich viele elementare Transformationen erhalten wird, dann ist Rang(A) = Rang(B) .

Die Gültigkeit dieser Aussage folgt aus den Eigenschaften der Matrixdeterminante:

• Wenn die Zeilen (oder Spalten) einer Matrix permutiert werden, ändert ihre Determinante das Vorzeichen. Wenn es gleich Null ist, dann bleibt es beim Permutieren der Zeilen (Spalten) gleich Null.
• Wenn alle Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) der Matrix mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl k multipliziert werden, ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix, multipliziert mit k. Wenn die Determinante der ursprünglichen Matrix gleich Null ist, ist nach Multiplikation aller Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte mit der Zahl k die Determinante der resultierenden Matrix ebenfalls gleich Null.
• Das Hinzufügen der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) der Matrix zu den Elementen einer bestimmten Zeile (Spalte) der Matrix, multipliziert mit einer bestimmten Zahl k, ändert ihre Determinante nicht.

Das Wesen der Methode der elementaren Transformationen besteht darin, die Matrix, deren Rang wir finden müssen, durch elementare Transformationen auf ein Trapez (in einem bestimmten Fall auf ein oberes Dreieck) zu bringen.

Wofür ist das? Der Rang von Matrizen dieser Art ist sehr leicht zu finden. Es ist gleich der Anzahl der Zeilen, die mindestens ein Nicht-Null-Element enthalten. Und da sich der Rang der Matrix während elementarer Transformationen nicht ändert, ist der resultierende Wert der Rang der ursprünglichen Matrix.

Wir geben Abbildungen von Matrizen, von denen eine nach Transformationen erhalten werden sollte. Ihre Form hängt von der Ordnung der Matrix ab.

Diese Abbildungen sind Vorlagen, in die wir die Matrix A umwandeln werden.

Lassen Sie uns beschreiben Methodenalgorithmus.

Angenommen, wir müssen den Rang einer Nicht-Null-Matrix A der Ordnung finden (p kann gleich n sein).

So, . Lassen Sie uns alle Elemente der ersten Zeile der Matrix A mit multiplizieren. In diesem Fall erhalten wir eine äquivalente Matrix, bezeichnen Sie sie mit A (1) :

Zu den Elementen der zweiten Zeile der resultierenden Matrix A (1) addieren wir die entsprechenden Elemente der ersten Zeile, multipliziert mit . Zu den Elementen der dritten Reihe addieren Sie die entsprechenden Elemente der ersten Reihe, multipliziert mit . Und so weiter bis zur p-ten Zeile. Wir erhalten eine äquivalente Matrix, bezeichnen sie mit A (2) :

Wenn alle Elemente der resultierenden Matrix in den Zeilen von der zweiten bis zur p-ten gleich Null sind, ist der Rang dieser Matrix gleich eins und folglich ist der Rang der ursprünglichen Matrix gleich eins .

Wenn es in den Zeilen von der zweiten bis zur p-ten mindestens ein Element ungleich Null gibt, führen wir weitere Transformationen durch. Außerdem verfahren wir genauso, aber nur mit dem in der Abbildung markierten Teil der Matrix A (2)

Wenn , dann ordnen wir die Zeilen und (oder) Spalten der Matrix A (2) neu an, so dass das "neue" Element ungleich Null wird.

Die Zahl r heißt Rang der Matrix A, wenn:
1) die Matrix A enthält einen von Null verschiedenen Minor der Ordnung r;
2) alle Minoren der Ordnung (r + 1) und höher, falls vorhanden, gleich Null sind.
Andernfalls ist der Rang einer Matrix die höchste Ordnung eines von Null verschiedenen Minors.
Bezeichnungen: rangA , r A oder r .
Aus der Definition folgt, dass r eine positive ganze Zahl ist. Bei einer Nullmatrix wird der Rang als Null betrachtet.

Dienstzuweisung. Der Online-Rechner dient zum Finden Matrix Rang. Die Lösung wird im Word- und Excel-Format gespeichert. siehe Lösungsbeispiel.

Anweisung. Wählen Sie die Dimension der Matrix aus und klicken Sie auf Weiter.

Wählen Sie die Dimension der Matrix 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Bestimmung . Gegeben sei eine Matrix vom Rang r. Jede kleinere Matrix außer Null und mit der Ordnung r wird Basis genannt, und die Zeilen und Spalten ihrer Komponenten werden Basiszeilen und -spalten genannt.
Gemäß dieser Definition kann die Matrix A mehrere Basisminoren haben.

Der Rang der Identitätsmatrix E ist n (Anzahl der Zeilen).

Beispiel 1 . Gegeben zwei Matrizen, und ihre Minderjährigen , . Welche davon können zugrunde gelegt werden?
Lösung. Der Minor M 1 = 0, kann also keine Basis für irgendeine der Matrizen sein. Minor M 2 = –9 ≠ 0 und hat die Ordnung 2, kann also als Basismatrizen von A oder / und B genommen werden, vorausgesetzt, sie haben Ränge gleich 2 . Da detB=0 (als Determinante mit zwei Proportionalspalten), dann kann rangB=2 und M 2 als Basisminor von Matrix B genommen werden. Der Rang von Matrix A ist 3, aufgrund der Tatsache, dass detA=-27≠ 0 und daher muss die Ordnung der Basis-Minor dieser Matrix 3 sein, das heißt, M 2 ist keine Basis für die Matrix A . Beachten Sie, dass die Matrix A einen eindeutigen Basisminor hat, der gleich der Determinante der Matrix A ist.

Satz (auf Basis Moll). Jede Zeile (Spalte) einer Matrix ist eine Linearkombination ihrer Grundzeilen (Spalten).
Konsequenzen aus dem Theorem.

1. Alle (r+1) Spalten (Zeilen) einer Matrix vom Rang r sind linear abhängig.
2. Wenn der Rang einer Matrix kleiner ist als die Anzahl ihrer Zeilen (Spalten), dann sind ihre Zeilen (Spalten) linear abhängig. Wenn rangA gleich der Anzahl seiner Zeilen (Spalten) ist, dann sind die Zeilen (Spalten) linear unabhängig.
3. Die Determinante einer Matrix A ist genau dann gleich Null, wenn ihre Zeilen (Spalten) linear abhängig sind.
4. Wenn der Zeile (Spalte) der Matrix eine weitere Zeile (Spalte) multipliziert mit einer anderen Zahl als Null hinzugefügt wird, ändert sich der Rang der Matrix nicht.
5. Wenn Sie eine Zeile (Spalte) in der Matrix streichen, die eine Linearkombination anderer Zeilen (Spalten) ist, ändert sich der Rang der Matrix nicht.
6. Der Rang einer Matrix ist gleich der maximalen Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen (Spalten).
7. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten.

Beispiel 2 . Finde den Rang einer Matrix .
Lösung. Ausgehend von der Definition des Rangs einer Matrix suchen wir nach einem von Null verschiedenen Minor höchster Ordnung. Zuerst transformieren wir die Matrix in eine einfachere Form. Multiplizieren Sie dazu die erste Zeile der Matrix mit (-2) und addieren Sie zur zweiten, dann multiplizieren Sie sie mit (-1) und addieren Sie zur dritten.

Sei A eine Matrix der Dimensionen m\times n und k eine natürliche Zahl, die m und n nicht überschreitet: k\leqslant\min\(m;n\). Kleinere k-te Ordnung Matrix A ist die Determinante der Matrix k-ter Ordnung, die durch die Elemente am Schnittpunkt von willkürlich gewählten k Zeilen und k Spalten der Matrix A gebildet wird. Untergeordnete Zahlen bezeichnend, werden die Nummern der ausgewählten Zeilen durch obere Indizes und die ausgewählten Spalten durch untere Indizes angezeigt, wobei sie in aufsteigender Reihenfolge angeordnet werden.

Beispiel 3.4. Schreiben Sie Minoren verschiedener Matrizenordnungen

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Lösung. Matrix A hat die Dimension 3\times4 . Es hat: 12 Moll 1. Ordnung, zB Moll M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 Minderjährige 2. Ordnung, zum Beispiel M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 Minderjährige 3. Ordnung, zum Beispiel,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

In einer m\times n Matrix A heißt der Minor r-ter Ordnung Basic, wenn es nicht null ist und alle Minoren (r + 1)-ro der Ordnung gleich null sind oder überhaupt nicht existieren.

Matrix-Rang heißt die Ordnung der Basis Minor. Es gibt keinen Basisminor in der Nullmatrix. Daher wird der Rang einer Nullmatrix definitionsgemäß als Null angenommen. Der Rang einer Matrix A wird bezeichnet \operatorname(rg)A.

Beispiel 3.5. Finden Sie alle Basisminoren und den Rang einer Matrix

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Lösung. Alle Minoren dritter Ordnung dieser Matrix sind gleich Null, da die dritte Reihe dieser Determinanten Null ist. Daher kann nur ein Moll zweiter Ordnung, der sich in den ersten beiden Zeilen der Matrix befindet, basisch sein. Beim Durchgehen von 6 möglichen Minderjährigen wählen wir Nicht-Null aus

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Jeder dieser fünf Minderjährigen ist grundlegend. Daher ist der Rang der Matrix 2.

Bemerkungen 3.2

1. Wenn in der Matrix alle Minoren k-ter Ordnung gleich Null sind, dann sind auch die Minoren höherer Ordnung gleich Null. In der Tat erhalten wir durch Erweitern des Minors (k + 1)-ro-Ordnung über eine beliebige Zeile die Summe der Produkte der Elemente dieser Zeile durch Minoren k-ter Ordnung, und sie sind gleich Null.

2. Der Rang einer Matrix ist gleich der größten Ordnung des von Null verschiedenen Minors dieser Matrix.

3. Wenn eine quadratische Matrix nicht entartet ist, entspricht ihr Rang ihrer Ordnung. Wenn eine quadratische Matrix entartet ist, dann ist ihr Rang kleiner als ihre Ordnung.

4. Die Bezeichnungen werden auch für den Rang verwendet \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rang)A.

5. Block-Matrix-Rang ist definiert als der Rang einer gewöhnlichen (numerischen) Matrix, d.h. unabhängig von seiner Blockstruktur. In diesem Fall ist der Rang der Blockmatrix nicht geringer als die Ränge ihrer Blöcke: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)A und \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, da alle Minoren der Matrix A (oder B ) auch Minoren der Blockmatrix (A\mid B) sind.

Sätze auf der Basis Minor und auf dem Rang einer Matrix

Betrachten wir die Hauptsätze, die die Eigenschaften der linearen Abhängigkeit und der linearen Unabhängigkeit von Spalten (Zeilen) einer Matrix ausdrücken.

Satz 3.1 über das grundlegende Moll. In einer beliebigen Matrix A ist jede Spalte (Zeile) eine Linearkombination von Spalten (Zeilen), in denen sich der Basisminor befindet.

Tatsächlich nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass in der m\times n-Matrix A der Basis-Minor in den ersten r Zeilen und den ersten r Spalten liegt. Betrachten Sie die Determinante

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

die man erhält, indem man die entsprechenden Elemente der s-ten Zeile und der k-ten Spalte dem Basisminor der Matrix A zuordnet. Beachten Sie das für alle 1\leqslant s\leqslant m und diese Determinante ist Null. Wenn s\leqslant r oder k\leqslant r , dann enthält die Determinante D zwei identische Zeilen oder zwei identische Spalten. Wenn s > r und k > r , dann ist die Determinante D gleich Null, da sie ein Minor der Ordnung (r+l)-ro ist. Wenn wir die Determinante über die letzte Zeile erweitern, erhalten wir

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

wobei D_(r+1\,j) die algebraischen Komplemente der Elemente der letzten Zeile sind. Beachten Sie, dass D_(r+1\,r+1)\ne0 , da dies ein grundlegendes Moll ist. So

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), wo \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Schreiben wir die letzte Gleichheit für s=1,2,\ldots,m , erhalten wir

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

jene. k-te Spalte (für beliebige 1\leqslant k\leqslant n) ist eine zu beweisende Linearkombination der Spalten des Basis-Molls.

Der grundlegende kleine Satz dient zum Beweis der folgenden wichtigen Sätze.

Die Bedingung, dass die Determinante gleich Null ist

Satz 3.2 (notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Determinante gleich Null ist). Damit eine Determinante gleich Null ist, ist es notwendig und ausreichend, dass eine ihrer Spalten (eine ihrer Zeilen) eine Linearkombination der verbleibenden Spalten (Zeilen) ist.

Tatsächlich folgt die Notwendigkeit aus dem grundlegenden kleinen Satz. Wenn die Determinante einer quadratischen Matrix n-ter Ordnung gleich Null ist, dann ist ihr Rang kleiner als n, d.h. Mindestens eine Spalte ist nicht im Basisminor enthalten. Dann ist diese gewählte Spalte nach Satz 3.1 eine Linearkombination der Spalten, in denen sich der Basisminor befindet. Indem wir dieser Kombination gegebenenfalls weitere Spalten mit Nullkoeffizienten hinzufügen, erhalten wir, dass die ausgewählte Spalte eine lineare Kombination der verbleibenden Spalten der Matrix ist. Suffizienz folgt aus den Eigenschaften der Determinante. Wenn zum Beispiel die letzte Spalte A_n der Determinante \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) linear durch den Rest ausgedrückt

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

dann addieren Sie zu A_n die Spalte A_1 multipliziert mit (-\lambda_1) , dann die Spalte A_2 multipliziert mit (-\lambda_2) , und so weiter. Spalte A_(n-1) multipliziert mit (-\lambda_(n-1)) erhalten wir die Determinante \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) mit einer Nullspalte, die gleich Null ist (Eigenschaft 2 der Determinante).

Ranginvarianz der Matrix unter elementaren Transformationen

Satz 3.3 (über Ranginvarianz unter elementaren Transformationen). Bei elementaren Transformationen von Spalten (Zeilen) einer Matrix ändert sich ihr Rang nicht.

In der Tat, lassen Sie . Angenommen, wir haben als Ergebnis einer elementaren Transformation der Spalten der Matrix A die Matrix A " erhalten. Wenn eine Transformation vom Typ I durchgeführt wurde (Permutation von zwei Spalten), dann jeder kleinere (r + l) - ro der Ordnung der Matrix A" oder gleich dem entsprechenden Minor (r + l )-ro der Ordnung der Matrix A , oder unterscheidet sich davon im Vorzeichen (Eigenschaft 3 der Determinante). Wenn eine Transformation vom Typ II durchgeführt wurde (Spaltenmultiplikation mit der Zahl \lambda\ne0 ), dann ist jeder Minor (r+l)-ro der Ordnung der Matrix A" entweder gleich dem entsprechenden Minor (r+l)- ro von der Ordnung der Matrix A , oder davon abweichender Multiplikator \lambda\ne0 (Eigenschaft 6 der Determinante). Wenn eine Transformation vom Typ III durchgeführt wurde (Hinzufügen einer Spalte zu einer anderen Spalte multipliziert mit der Zahl \Lambda ), dann Jeder Minor der (r + 1)-ten Ordnung der Matrix A" ist entweder gleich dem entsprechenden Minor der (r + 1)-ten Ordnung der Matrix A (Eigenschaft 9 der Determinante) oder gleich der Summe von zwei Minoren der Ordnung (r+l)-ro der Matrix A (Eigenschaft 8 der Determinante). Daher sind bei einer elementaren Transformation jeglicher Art alle Minoren (r + l) - ro der Ordnung der Matrix A "gleich Null, da alle Minoren (r + l) - ro der Ordnung der Matrix A sind gleich 0. Damit ist bewiesen, dass bei elementaren Transformationen von Spalten die Rangmatrizen nicht zunehmen können bewiesen ähnlich, dass sich der Rang einer Matrix unter elementaren Transformationen von Zeilen nicht ändert.

Folge 1. Wenn eine Zeile (Spalte) einer Matrix eine Linearkombination ihrer anderen Zeilen (Spalten) ist, kann diese Zeile (Spalte) aus der Matrix gelöscht werden, ohne ihren Rang zu ändern.

In der Tat kann eine solche Zeichenfolge unter Verwendung elementarer Transformationen zu Null gemacht werden, und die Nullzeichenfolge kann nicht in das grundlegende Moll eingeschlossen werden.

Folge 2. Wenn die Matrix auf ihre einfachste Form (1,7) reduziert wird, dann

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Tatsächlich hat die Matrix der einfachsten Form (1.7) einen Basis-Minor r-ter Ordnung.

Folge 3. Jede nicht-singuläre quadratische Matrix ist elementar, mit anderen Worten, jede nicht-singuläre quadratische Matrix ist äquivalent zur Identitätsmatrix derselben Ordnung.

In der Tat, wenn A eine nichtsinguläre quadratische Matrix der Ordnung n ist, dann \operatorname(rg)A=n(siehe Punkt 3 der Bemerkungen 3.2). Wenn wir also die Matrix A durch elementare Transformationen auf die einfachste Form (1.7) reduzieren, erhalten wir die Einheitsmatrix \Lambda=E_n , da \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(siehe Folgerung 2). Die Matrix A ist also äquivalent zur Identitätsmatrix E_n und kann aus ihr durch endlich viele elementare Transformationen gewonnen werden. Das bedeutet, dass die Matrix A elementar ist.

Satz 3.4 (über den Rang einer Matrix). Der Rang einer Matrix ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen dieser Matrix.

In der Tat, lassen Sie \operatorname(rg)A=r. Dann hat die Matrix A r linear unabhängige Zeilen. Dies sind die Zeilen, in denen sich das grundlegende Moll befindet. Wenn sie linear abhängig wären, dann wäre dieser Minor nach Satz 3.2 gleich Null, und der Rang der Matrix A wäre nicht gleich r . Zeigen wir, dass r die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen ist, d.h. alle p Zeilen sind für p > r linear abhängig. Tatsächlich bilden wir aus diesen p Zeilen eine Matrix B. Da Matrix B Teil von Matrix A ist, dann \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Das bedeutet, dass mindestens eine Zeile der Matrix B nicht im Basisminor dieser Matrix enthalten ist. Dann ist es nach dem Basis-Moll-Theorem gleich einer Linearkombination von Zeilen, in denen sich die Basis-Moll befindet. Daher sind die Zeilen der Matrix B linear abhängig. Die Matrix A hat also höchstens r linear unabhängige Zeilen.

Folge 1. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen in einer Matrix ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Diese Behauptung folgt aus Satz 3.4, wenn man sie auf die Zeilen der transponierten Matrix anwendet und berücksichtigt, dass sich die Minoren bei der Transposition nicht ändern (Eigenschaft 1 der Determinante).

Folge 2. Bei elementaren Transformationen der Zeilen einer Matrix bleibt die lineare Abhängigkeit (oder lineare Unabhängigkeit) eines beliebigen Spaltensystems dieser Matrix erhalten.

Wir wählen nämlich beliebige k Spalten der gegebenen Matrix A und bilden daraus die Matrix B. Angenommen, als Ergebnis elementarer Transformationen der Zeilen der Matrix A wurde die Matrix A" erhalten, und als Ergebnis der gleichen Transformationen der Zeilen der Matrix B wurde die Matrix B" erhalten. Nach Satz 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Wenn also die Spalten der Matrix B linear unabhängig wären, d.h. k=\operatorname(rg)B(siehe Korollar 1), dann sind auch die Spalten der Matrix B" linear unabhängig, da k=\operatorname(rg)B". Wenn die Spalten der Matrix B linear abhängig wären (k>\operatorname(rg)B), dann sind auch die Spalten der Matrix B" linear abhängig (k>\operatorname(rg)B"). Daher bleibt für beliebige Spalten der Matrix A die lineare Abhängigkeit oder lineare Unabhängigkeit unter elementaren Zeilentransformationen erhalten.

Bemerkungen 3.3

1. Aufgrund von Korollar 1 von Satz 3.4 gilt die in Korollar 2 angegebene Spalteneigenschaft auch für jedes System von Matrixzeilen, wenn elementare Transformationen nur an seinen Spalten durchgeführt werden.

2. Korollar 3 von Theorem 3.3 kann wie folgt verfeinert werden: Jede nicht singuläre quadratische Matrix kann unter Verwendung elementarer Transformationen nur ihrer Zeilen (oder nur ihrer Spalten) auf eine Identitätsmatrix derselben Ordnung reduziert werden.

In der Tat kann jede Matrix A nur mit elementaren Zeilentransformationen auf die vereinfachte Form \Lambda (Abb. 1.5) reduziert werden (siehe Satz 1.1). Da die Matrix A nichtsingulär ist (\det(A)\ne0) , sind ihre Spalten linear unabhängig. Daher sind auch die Spalten der Matrix \Lambda linear unabhängig (Korollar 2 von Theorem 3.4). Daher stimmt die vereinfachte Form \Lambda der nichtsingulären Matrix A mit ihrer einfachsten Form (Abb. 1.6) überein und ist die Identitätsmatrix \Lambda=E (siehe Korollar 3 von Theorem 3.3). Somit kann durch Transformieren nur der Zeilen einer nichtsingulären Matrix diese auf die Identitätsmatrix reduziert werden. Ähnliche Überlegungen gelten auch für elementare Transformationen der Spalten einer nichtsingulären Matrix.

Rang von Produkt und Summe von Matrizen

Satz 3.5 (über den Rang des Produkts von Matrizen). Der Rang des Produkts von Matrizen überschreitet nicht den Rang von Faktoren:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Die Matrizen A und B seien nämlich m\times p und p\times n groß. Weisen wir der Matrix A die Matrix zu C=AB\Doppelpunkt\,(A\Mitte C). Das versteht sich von selbst \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), denn C ist Teil der Matrix (A\mid C) (siehe Punkt 5 von Bemerkung 3.2). Beachten Sie, dass jede Spalte von C_j gemäß der Matrixmultiplikationsoperation eine lineare Kombination der Spalten ist A_1,A_2,\ldots,A_p Matrizen A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Eine solche Spalte kann aus der Matrix (A\mid C) gelöscht werden, ohne ihren Rang zu ändern (Korollar 1 von Theorem 3.3). Wenn wir alle Spalten der Matrix C streichen, erhalten wir: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Von hier, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Ebenso kann man beweisen, dass die Bedingung \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, und ziehen Sie eine Schlussfolgerung über die Gültigkeit des Theorems.

Folge. Wenn A ist dann eine nicht ausgeartete quadratische Matrix \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)B und \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, d.h. der Rang einer Matrix ändert sich nicht, wenn sie links oder rechts mit einer nichtsingulären quadratischen Matrix multipliziert wird.

Satz 3.6 über den Rang der Summe von Matrizen. Der Rang der Summe der Matrizen überschreitet nicht die Summe der Ränge der Terme:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Lassen Sie uns tatsächlich eine Matrix erstellen (A+B\Mitte A\Mitte B). Beachten Sie, dass jede Spalte der Matrix A+B eine Linearkombination der Spalten der Matrizen A und B ist. So \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Unter Berücksichtigung, dass die Anzahl der linear unabhängigen Spalten in der Matrix (A\mid B) nicht überschritten wird \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, ein \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(siehe Punkt 5 von Bemerkung 3.2) erhalten wir die geforderte Ungleichung.

>>Matrix-Rang

Matrix-Rang

Bestimmung des Rangs einer Matrix

Betrachten Sie eine rechteckige Matrix. Wenn wir in dieser Matrix willkürlich auswählen k Linien u k Spalten, dann bilden die Elemente am Schnittpunkt der ausgewählten Zeilen und Spalten eine quadratische Matrix k-ter Ordnung. Die Determinante dieser Matrix heißt k-ter Moll Matrix A. Offensichtlich hat die Matrix A Minoren beliebiger Ordnung von 1 bis zur kleinsten der Zahlen m und n. Unter allen von Null verschiedenen Minoren der Matrix A gibt es mindestens einen Minor, dessen Ordnung am größten ist. Die größte der Nicht-Null-Ordnungen der Minderjährigen einer bestimmten Matrix wird aufgerufen Rang Matrizen. Wenn der Rang von Matrix A ist R, dann bedeutet dies, dass die Matrix A eine von Null verschiedene Ordnung hat R, aber jeder Minor der Ordnung größer als R, gleich Null. Der Rang einer Matrix A wird mit r(A) bezeichnet. Es ist offensichtlich, dass die Beziehung

Berechnung des Rangs einer Matrix mit Minoren

Der Rang einer Matrix wird entweder durch das Eingrenzen von Minderjährigen oder durch die Methode der elementaren Transformationen gefunden. Wenn man den Rang einer Matrix auf die erste Weise berechnet, sollte man von Minoren niedrigerer Ordnung zu Minoren höherer Ordnung übergehen. Wenn bereits ein von Null verschiedener Minor D der k-ten Ordnung der Matrix A gefunden wurde, müssen nur die an den Minor D angrenzenden (k + 1)-ten Minoren berechnet werden, d.h. enthält es als Minderjährigen. Wenn sie alle Null sind, dann ist der Rang der Matrix k.

Beispiel 1Ermitteln Sie den Rang einer Matrix mit der Methode der Begrenzung von Minderjährigen

.

Lösung.Wir beginnen mit Minderjährigen 1. Ordnung, d.h. aus den Elementen der Matrix A. Wählen wir zum Beispiel das Minor (Element) Ì 1 = 1, das sich in der ersten Zeile und der ersten Spalte befindet. Angrenzend mit Hilfe der zweiten Zeile und der dritten Spalte erhalten wir den von Null verschiedenen Minor M 2 = . Wir wenden uns nun Minoren 3. Ordnung zu, die an M 2 angrenzen. Es gibt nur zwei davon (Sie können eine zweite oder vierte Spalte hinzufügen). Wir berechnen sie: = 0. Somit erwiesen sich alle angrenzenden Minoren dritter Ordnung als gleich Null. Der Rang der Matrix A ist zwei.

Berechnung des Rangs einer Matrix mit elementaren Transformationen

ElementarDie folgenden Matrixtransformationen werden aufgerufen:

1) Permutation zweier beliebiger Zeilen (oder Spalten),

2) Multiplizieren einer Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl ungleich Null,

3) Hinzufügen einer weiteren Zeile (oder Spalte) zu einer Zeile (oder Spalte) multipliziert mit einer Zahl.

Die beiden Matrizen werden aufgerufen gleichwertig, wenn die eine mit Hilfe einer endlichen Menge elementarer Transformationen aus der anderen gewonnen wird.

Äquivalente Matrizen sind im Allgemeinen nicht gleich, aber ihre Ränge sind gleich. Wenn die Matrizen A und B äquivalent sind, dann schreibt man das wie folgt: A~b.

Kanonischeine Matrix ist eine Matrix, die am Anfang der Hauptdiagonalen mehrere Einsen hintereinander hat (deren Anzahl Null sein kann) und alle anderen Elemente gleich Null sind, zum Beispiel,

.

Mit Hilfe elementarer Transformationen von Zeilen und Spalten kann jede Matrix auf eine kanonische reduziert werden. Der Rang einer kanonischen Matrix ist gleich der Anzahl der Einsen auf ihrer Hauptdiagonalen.

Beispiel 2Finde den Rang einer Matrix

A=

und bringe es in kanonische Form.

Lösung. Subtrahieren Sie die erste Zeile von der zweiten Zeile und ordnen Sie diese Zeilen neu an:

.

Subtrahieren Sie nun von der zweiten und dritten Reihe die erste, multipliziert mit 2 bzw. 5:

;

subtrahiere die erste von der dritten Reihe; Wir bekommen die Matrix

B = ,

was der Matrix A äquivalent ist, da sie aus ihr unter Verwendung einer endlichen Menge elementarer Transformationen erhalten wird. Offensichtlich ist der Rang der Matrix B 2, und daher ist r(A)=2. Die Matrix B lässt sich leicht auf die kanonische zurückführen. Indem wir die erste Spalte, multipliziert mit geeigneten Zahlen, von allen nachfolgenden subtrahieren, setzen wir alle Elemente der ersten Zeile mit Ausnahme der ersten auf Null, und die Elemente der verbleibenden Zeilen ändern sich nicht. Wenn wir dann die zweite Spalte, multipliziert mit den entsprechenden Zahlen, von allen nachfolgenden subtrahieren, setzen wir alle Elemente der zweiten Zeile mit Ausnahme der zweiten auf Null und erhalten die kanonische Matrix:

.