Komplexe Zahlen

Imaginär und komplexe Zahlen. Abszisse und Ordinate

komplexe Zahl. Komplexe zahlen konjugieren.

Operationen mit komplexen Zahlen. Geometrisch

Darstellung komplexer Zahlen. komplexe Ebene.

Modul und Argument einer komplexen Zahl. trigonometrisch

Komplexe Zahlenform. Operationen mit komplexen

Zahlen in trigonometrischer Form. Moivre-Formel.

Grundlegende Informationen zu imaginär und komplexe Zahlen finden Sie im Abschnitt "Imaginäre und komplexe Zahlen". Die Notwendigkeit für diese Zahlen eines neuen Typs erschien beim Lösen quadratischer Gleichungen für den FallD< 0 (здесь Dist die Diskriminante der quadratischen Gleichung). Lange Zeit fanden diese Zahlen keine physische Verwendung, weshalb sie als „imaginäre“ Zahlen bezeichnet wurden. Mittlerweile sind sie jedoch in verschiedenen Bereichen der Physik sehr weit verbreitet.

und Technik: Elektrotechnik, Hydro- und Aerodynamik, Elastizitätstheorie etc.

Komplexe Zahlen werden geschrieben als:a+bi. Hier ein und B – reale Nummern , ein ich – imaginäre Einheit. e. ich 2 = –1. Nummer ein namens Abszisse, ein b - Ordinatekomplexe Zahla+b.Zwei komplexe Zahlena+bi und a-bi namens konjugieren komplexe Zahlen.

Hauptvereinbarungen:

1. Reelle Zahleinkann auch in das Formular geschrieben werdenkomplexe Zahl:ein + 0 ich oder ein - 0 ich. Zum Beispiel Einträge 5 + 0ich und 5 - 0 ichmeine die gleiche Zahl 5 .

2. Komplexe Zahl 0 + Binamens rein eingebildet Nummer. AufzeichnungBibedeutet das gleiche wie 0 + Bi.

3. Zwei komplexe Zahlena+bi undc + digelten als gleich, wenna = c und b = d. Sonst Komplexe Zahlen sind nicht gleich.

Zusatz. Die Summe komplexer Zahlena+bi und c + diheißt komplexe Zahl (a+c ) + (b+t ) ich .Auf diese Weise, wenn hinzugefügt Bei komplexen Zahlen werden ihre Abszissen und Ordinaten separat addiert.

Diese Definition folgt den Regeln für den Umgang mit gewöhnlichen Polynomen.

Subtraktion. Der Unterschied zwischen zwei komplexen Zahlena+bi(reduziert) und c + di(subtrahiert) heißt komplexe Zahl (a-c ) + (b-d ) ich .

Auf diese Weise, Bei der Subtraktion zweier komplexer Zahlen werden ihre Abszissen und Ordinaten separat subtrahiert.

Multiplikation. Das Produkt komplexer Zahlena+bi und c + di heißt komplexe Zahl.

(ac-bd ) + (ad+bc ) ich .Diese Definition ergibt sich aus zwei Anforderungen:

1) Zahlen a+bi und c + disollte wie algebraisch multiplizieren Binome,

2) Nummer ichhat die Haupteigenschaft:ich 2 = – 1.

BEISPIEL ( ein + bi )(a-bi) = ein 2 +b 2 . Somit, arbeiten

zwei konjugierte komplexe Zahlen sind gleich der reellen Zahl

positive Zahl.

Teilung. Dividiere eine komplexe Zahla+bi (teilbar) zu einem anderenc + di(Teiler) - bedeutet, die dritte Zahl zu findene + fi(Chat), die, wenn sie mit einem Divisor multipliziert werdenc + di, was die Dividende ergibta+b.

Wenn der Divisor nicht Null ist, ist eine Division immer möglich.

BEISPIEL Finde (8+ich ) : (2 – 3 ich) .

Lösung: Schreiben wir dieses Verhältnis als Bruch um:

Multiplizieren von Zähler und Nenner mit 2 + 3ich

UND Nach Durchführung aller Transformationen erhalten wir:

Geometrische Darstellung komplexer Zahlen. Reelle Zahlen werden durch Punkte auf dem Zahlenstrahl dargestellt:

Hier ist der Punkt EINbedeutet Zahl -3, PunktB ist die Zahl 2, und Ö- Null. Im Gegensatz dazu werden komplexe Zahlen durch Punkte auf der Koordinatenebene dargestellt. Dazu wählen wir rechtwinklige (kartesische) Koordinaten mit gleichen Maßstäben auf beiden Achsen. Dann die komplexe Zahla+bi wird durch einen Punkt dargestellt P mit Abszisse a und Ordinate b (siehe Abb.). Dieses Koordinatensystem heißt komplexe Ebene .

Modul komplexe Zahl heißt die Länge des VektorsOP, die eine komplexe Zahl auf der Koordinate darstellt ( umfassend) Flugzeug. Komplexer Zahlenmodula+bi bezeichnet mit | a+bi| oder Brief R

Komplexe Zahlen sind eine minimale Erweiterung der Menge der uns bekannten reellen Zahlen. Ihr grundlegender Unterschied besteht darin, dass ein Element erscheint, dessen Quadrat -1 ergibt, d.h. ich, oder .

Jede komplexe Zahl besteht aus zwei Teilen: real und imaginär:

Damit ist klar, dass die Menge der reellen Zahlen mit der Menge der komplexen Zahlen mit null Imaginärteil übereinstimmt.

Das beliebteste Modell für die Menge der komplexen Zahlen ist die gewöhnliche Ebene. Die erste Koordinate jedes Punktes ist sein Realteil und die zweite - imaginär. Dann wird die Rolle der komplexen Zahlen selbst Vektoren sein, die am Punkt (0,0) beginnen.

Operationen auf komplexen Zahlen.

In der Tat, wenn wir das Modell der Menge komplexer Zahlen berücksichtigen, ist es intuitiv klar, dass Addition (Subtraktion) und Multiplikation zweier komplexer Zahlen auf die gleiche Weise durchgeführt werden wie die entsprechenden Operationen auf Vektoren. Außerdem meinen wir das Kreuzprodukt von Vektoren, denn das Ergebnis dieser Operation ist wieder ein Vektor.

1.1 Zusatz.

(Wie Sie sehen können, entspricht diese Operation genau )

1.2 Subtraktion, wird in ähnlicher Weise gemäß der folgenden Regel durchgeführt:

2. Multiplikation.

3. Teilung.

Sie wird einfach als Umkehroperation der Multiplikation definiert.

trigonometrische Form.

Der Modul einer komplexen Zahl z ist die folgende Größe:

,

es ist offensichtlich, dass dies wiederum einfach der Betrag (Länge) des Vektors (a, b) ist.

Am häufigsten wird der Modul einer komplexen Zahl als bezeichnet ρ.

Es stellt sich heraus, dass

z = ρ(cosφ+isinφ).

Das Folgende folgt direkt aus der trigonometrischen Schreibweise einer komplexen Zahl. Formeln :

Die letzte Formel wird aufgerufen De Moivre-Formel. Die Formel leitet sich direkt daraus ab. n-te Wurzel einer komplexen Zahl:

also gibt es n n-te Wurzeln der komplexen Zahl z.

Unterrichtsplan.

1. Organisatorischer Moment.

2. Präsentation des Materials.

3. Hausaufgaben.

4. Zusammenfassung der Lektion.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment.

II. Präsentation des Materials.

Motivation.

Die Erweiterung der Menge der reellen Zahlen besteht darin, dass den reellen Zahlen neue (imaginäre) Zahlen hinzugefügt werden. Die Einführung dieser Zahlen hängt mit der Unmöglichkeit zusammen, die Wurzel aus einer negativen Zahl in der Menge der reellen Zahlen zu ziehen.

Einführung in den Begriff der komplexen Zahl.

Die imaginären Zahlen, mit denen wir die reellen Zahlen ergänzen, schreiben wir als Bi, wo ich ist die imaginäre Einheit, und ich 2 = - 1.

Darauf basierend erhalten wir die folgende Definition einer komplexen Zahl.

Definition. Eine komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form a+bi, wo ein und B sind reelle Zahlen. In diesem Fall sind folgende Bedingungen erfüllt:

a) Zwei komplexe Zahlen a 1 + b 1 ich und a 2 + b 2 ich gleich wenn und nur wenn eine 1 = eine 2, b1=b2.

b) Die Addition komplexer Zahlen wird durch die Regel bestimmt:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) ich.

c) Die Multiplikation komplexer Zahlen wird durch die Regel bestimmt:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) ich.

Algebraische Form einer komplexen Zahl.

Schreiben einer komplexen Zahl in das Formular a+bi heißt die algebraische Form einer komplexen Zahl, wobei ein- Realteil Bi ist der Imaginärteil, und B ist eine reelle Zahl.

Komplexe Zahl a+bi gilt als gleich Null, wenn sein Real- und Imaginärteil gleich Null sind: a=b=0

Komplexe Zahl a+bi beim b = 0 als reelle Zahl betrachtet ein: a + 0i = a.

Komplexe Zahl a+bi beim a = 0 heißt rein imaginär und wird bezeichnet Bi: 0 + bi = bi.

Zwei komplexe Zahlen z = a + bi und = ein – bi, die sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden, heißen konjugiert.

Aktionen auf komplexen Zahlen in algebraischer Form.

Die folgenden Operationen können mit komplexen Zahlen in algebraischer Form durchgeführt werden.

1) Ergänzung.

Definition. Die Summe komplexer Zahlen z 1 = ein 1 + b 1 ich und z 2 = ein 2 + b 2 ich wird komplexe Zahl genannt z, deren Realteil gleich der Summe der Realteile ist z1 und z2, und der Imaginärteil ist die Summe der Imaginärteile der Zahlen z1 und z2, also z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Zahlen z1 und z2 werden Begriffe genannt.

Die Addition komplexer Zahlen hat folgende Eigenschaften:

1º. Kommutativität: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Assoziativität: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Komplexe Zahl -ein -bi heißt das Gegenteil einer komplexen Zahl z = a + bi. Komplexe Zahl gegenüber komplexer Zahl z, bezeichnet -z. Summe komplexer Zahlen z und -z gleich Null: z + (-z) = 0

Beispiel 1: Hinzufügen (3 - ich) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Subtraktion.

Definition. Subtrahiere von einer komplexen Zahl z1 komplexe Zahl z2 z, was z + z 2 = z 1.

Satz. Der Unterschied der komplexen Zahlen existiert und ist zudem eindeutig.

Beispiel 2: Subtrahieren (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Multiplikation.

Definition. Das Produkt komplexer Zahlen z 1 = a 1 + b 1 ich und z 2 \u003d a 2 + b 2 ich wird komplexe Zahl genannt z, definiert durch die Gleichheit: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Zahlen z1 und z2 werden Faktoren genannt.

Die Multiplikation komplexer Zahlen hat folgende Eigenschaften:

1º. Kommutativität: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Assoziativität: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivität der Multiplikation bezüglich der Addition:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 ist eine reelle Zahl.

In der Praxis wird die Multiplikation komplexer Zahlen nach der Regel durchgeführt, Summe mit Summe zu multiplizieren und Real- und Imaginärteil zu trennen.

Betrachten Sie im folgenden Beispiel die Multiplikation komplexer Zahlen auf zwei Arten: durch die Regel und durch Multiplizieren der Summe mit der Summe.

Beispiel 3: Multiplizieren (2 + 3i) (5 – 7i).

1 Weg. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

2-Wege. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Teilung.

Definition. Dividiere eine komplexe Zahl z1 zu einer komplexen Zahl z2, bedeutet, eine solche komplexe Zahl zu finden z, was z z 2 = z 1.

Satz. Der Quotient komplexer Zahlen existiert und ist eindeutig, wenn z2 ≠ 0 + 0i.

In der Praxis wird der Quotient komplexer Zahlen ermittelt, indem Zähler und Nenner mit dem Konjugierten des Nenners multipliziert werden.

Lassen z 1 = ein 1 + b 1 ich, z 2 = ein 2 + b 2 ich, dann

.

Im folgenden Beispiel führen wir die Division durch die Formel und die Multiplikationsregel mit dem Konjugierten des Nenners durch.

Beispiel 4. Finden Sie einen Quotienten .

5) Erhöhen auf eine positive ganzzahlige Potenz.

a) Kräfte der imaginären Einheit.

Ausnutzung der Gleichberechtigung ich 2 \u003d -1, ist es einfach, jede positive ganzzahlige Potenz der imaginären Einheit zu definieren. Wir haben:

ich 3 \u003d ich 2 ich \u003d -i,

ich 4 \u003d ich 2 ich 2 \u003d 1,

ich 5 \u003d ich 4 ich \u003d ich,

ich 6 \u003d ich 4 ich 2 \u003d -1,

ich 7 \u003d ich 5 ich 2 \u003d -i,

ich 8 = ich 6 ich 2 = 1 usw.

Dies zeigt, dass die Gradwerte in, wo n- eine positive ganze Zahl, die periodisch wiederholt wird, wenn der Indikator ansteigt 4 .

Deshalb, um die Zahl zu erhöhen ich zu einer positiven ganzzahligen Potenz dividieren Sie den Exponenten durch 4 und aufrecht ich zur Potenz, deren Exponent der Rest der Division ist.

Beispiel 5 Berechnen: (i 36 + i 17) i 23.

ich 36 = (ich 4) 9 = 1 9 = 1,

ich 17 = ich 4 × 4+1 = (ich 4) 4 × ich = 1 ich = ich.

ich 23 = ich 4 × 5+3 = (ich 4) 5 × ich 3 = 1 ich 3 = - ich.

(i 36 + i 17) ich 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - ich.

b) Das Potenzieren einer komplexen Zahl mit einer positiven ganzen Zahl erfolgt nach der Regel des Potenzierens einer Binomialzahl mit der entsprechenden Potenz, da es sich um einen Sonderfall der Multiplikation identischer komplexer Faktoren handelt.

Beispiel 6 Berechnen: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.