Matrixlösung durch inverse Methode online. Matrixmethode online
Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, Konstruktionen und sogar im Sport verwendet. Gleichungen werden seit der Antike vom Menschen verwendet, und seitdem hat ihre Verwendung nur zugenommen. Die Matrixmethode ermöglicht es, Lösungen für SLAE (System linearer algebraischer Gleichungen) beliebiger Komplexität zu finden. Der gesamte Prozess zur Lösung von SLAE besteht aus zwei Hauptschritten:
Bestimmung der inversen Matrix ausgehend von der Hauptmatrix:
Multiplikation der resultierenden inversen Matrix mit dem Spaltenvektor der Lösungen.
Angenommen, wir erhalten eine SLAE der folgenden Form:
\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]
Beginnen wir mit der Lösung gegebene Gleichung aus dem Ausschreiben der Matrix des Systems:
Rechte Matrix:
Lassen Sie uns eine inverse Matrix definieren. Sie können eine Matrix der 2. Ordnung wie folgt finden: 1 - die Matrix selbst muss nichtsingulär sein; 2 - seine Elemente, die sich auf der Hauptdiagonale befinden, werden vertauscht, und für die Elemente der Nebendiagonale führen wir einen Vorzeichenwechsel in das Gegenteil durch, wonach wir die Division der erhaltenen Elemente durch die Determinante der Matrix durchführen. Wir bekommen:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 Matrizen werden als gleich angesehen, wenn ihre entsprechenden Elemente gleich sind. Als Ergebnis haben wir die folgende Antwort der SLAE-Lösung:
Wo kann ich ein Gleichungssystem mit der Matrixmethode online lösen?
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Es gebe eine quadratische Matrix n-ter Ordnung
Matrix A -1 wird aufgerufen inverse Matrix bezüglich der Matrix A, wenn A * A -1 = E, wobei E die Einheitsmatrix n-ter Ordnung ist.
Identitätsmatrix- eine solche quadratische Matrix, in der alle Elemente entlang der Hauptdiagonale, die von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke verläuft, Einsen sind und der Rest Nullen sind, zum Beispiel:
inverse Matrix kann existieren nur für quadratische Matrizen jene. für die Matrizen, die die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben.
Existenzbedingungssatz der inversen Matrix
Damit eine Matrix eine inverse Matrix hat, ist es notwendig und ausreichend, dass sie nicht entartet ist.
Die Matrix A = (A1, A2,...A n) wird aufgerufen nicht entartet wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren einer Matrix wird als Rang der Matrix bezeichnet. Deshalb können wir das sagen, um zu existieren inverse Matrix, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der Matrix gleich ihrer Dimension ist, d.h. r = n.
Algorithmus zum Finden der inversen Matrix
- Tragen Sie die Matrix A in die Tabelle zum Lösen von Gleichungssystemen nach der Gauß-Methode ein und ordnen Sie ihr rechts (anstelle der rechten Teile der Gleichungen) die Matrix E zu.
- Bringen Sie Matrix A mit Hilfe von Jordan-Transformationen in eine Matrix, die aus einzelnen Spalten besteht; in diesem Fall muss gleichzeitig die Matrix E transformiert werden.
- Ordnen Sie gegebenenfalls die Zeilen (Gleichungen) der letzten Tabelle so um, dass die Identitätsmatrix E unter der Matrix A der ursprünglichen Tabelle erhalten wird.
- Schreiben Sie die inverse Matrix A -1, die in der letzten Tabelle steht, unter die Matrix E der Originaltabelle.
Finden Sie für Matrix A die inverse Matrix A -1
Lösung: Wir schreiben die Matrix A auf und weisen rechts die Einheitsmatrix E zu. Mit Hilfe von Jordan-Transformationen reduzieren wir die Matrix A auf die Einheitsmatrix E. Die Berechnungen sind in Tabelle 31.1 dargestellt.
Überprüfen wir die Richtigkeit der Berechnungen, indem wir die ursprüngliche Matrix A und die inverse Matrix A -1 multiplizieren.
Als Ergebnis der Matrixmultiplikation wird die Identitätsmatrix erhalten. Daher sind die Berechnungen korrekt.
Antworten: 
Lösung von Matrixgleichungen
Matrixgleichungen können wie folgt aussehen:
AX = B, XA = B, AXB = C,
wobei A, B, C gegebene Matrizen sind, X die gewünschte Matrix ist.
Matrixgleichungen werden gelöst, indem die Gleichung mit inversen Matrizen multipliziert wird.
Um beispielsweise die Matrix aus einer Gleichung zu finden, müssen Sie diese Gleichung mit links multiplizieren.
Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, müssen Sie daher die inverse Matrix finden und sie mit der Matrix auf der rechten Seite der Gleichung multiplizieren.
Andere Gleichungen werden ähnlich gelöst.
Lösen Sie die Gleichung AX = B, wenn 
Lösung: Da die Inverse der Matrix gleich ist (siehe Beispiel 1)
Matrixmethode in der Wirtschaftsanalyse
Zusammen mit anderen finden sie auch Anwendung Matrixmethoden. Diese Methoden basieren auf linearer und Vektor-Matrix-Algebra. Solche Methoden dienen der Analyse komplexer und mehrdimensionaler wirtschaftlicher Phänomene. Am häufigsten werden diese Methoden verwendet, wenn es notwendig ist, die Funktionsweise von Organisationen und ihre strukturellen Unterteilungen zu vergleichen.
Bei der Anwendung von Matrixanalyseverfahren können mehrere Stufen unterschieden werden.
In der ersten Phase System entsteht Ökonomische Indikatoren und auf ihrer Grundlage wird eine Matrix von Anfangsdaten erstellt, die eine Tabelle ist, in der die Systemnummern in ihren einzelnen Zeilen angezeigt werden (i = 1,2,....,n), und entlang der vertikalen Diagramme - Anzahl der Indikatoren (j = 1,2,....,m).
Auf der zweiten Stufe Für jede vertikale Spalte wird der größte der verfügbaren Werte der Indikatoren angezeigt, der als Einheit genommen wird.
Danach werden alle in dieser Spalte angezeigten Beträge durch dividiert Höchster Wert und eine Matrix standardisierter Koeffizienten wird gebildet.
In der dritten Stufe alle Komponenten der Matrix werden quadriert. Wenn sie unterschiedliche Bedeutung haben, wird jedem Indikator der Matrix ein bestimmter Gewichtungskoeffizient zugewiesen k. Der Wert des letzteren wird von einem Sachverständigen ermittelt.
Am letzten vierte Stufe gefundene Werte von Bewertungen RJ gruppiert nach aufsteigender oder absteigender Reihenfolge.
Die oben genannten Matrixmethoden sollten zum Beispiel verwendet werden, wenn vergleichende Analyse verschiedene Investitionsprojekte, sowie bei der Bewertung anderer wirtschaftlicher Leistungsindikatoren von Organisationen.
Dienstzuweisung. Mit diesem Online-Rechner werden die Unbekannten (x 1 , x 2 , ..., x n ) im Gleichungssystem berechnet. Die Entscheidung wird getroffen Methode der inversen Matrix. Dabei:- die Determinante der Matrix A wird berechnet;
- über algebraische Additionen die inverse Matrix A –1 ist;
- eine Lösungsvorlage wird in Excel erstellt;
Anweisung. Um eine Lösung nach der inversen Matrixmethode zu erhalten, ist es notwendig, die Dimension der Matrix anzugeben. Füllen Sie als Nächstes im neuen Dialogfeld die Matrix A und den Ergebnisvektor B aus.
Siehe auch Lösung von Matrixgleichungen.Lösungsalgorithmus
- Die Determinante der Matrix A wird berechnet. Wenn die Determinante Null ist, dann das Ende der Lösung. Das System hat unendlich viele Lösungen.
- Wenn die Determinante von Null verschieden ist, wird die inverse Matrix A -1 durch algebraische Additionen gefunden.
- Der Entscheidungsvektor X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) wird durch Multiplizieren der inversen Matrix mit dem Ergebnisvektor B erhalten.
Algebraische Additionen.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
XT = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Untersuchung:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Erwägen System linearer algebraischer Gleichungen(LANGSAM) bzgl n Unbekannt x 1 , x 2 , ..., x n :
Dieses System in "gefalteter" Form kann wie folgt geschrieben werden:
S n i=1 ein ij x J = b ich , i=1,2, ..., n.
In Übereinstimmung mit der Regel der Matrixmultiplikation das betrachtete System lineare Gleichungen eingeschrieben werden kann Matrixform ax=b, wo
,
,.
Matrix EIN, deren Spalten die Koeffizienten für die entsprechenden Unbekannten und die Zeilen die Koeffizienten für die Unbekannten in der entsprechenden Gleichung sind, heißt Systemmatrix. Spaltenmatrix B, deren Elemente die rechten Teile der Gleichungen des Systems sind, heißt die Matrix des rechten Teils oder einfach rechte Seite des Systems. Spaltenmatrix x , dessen Elemente unbekannte Unbekannte sind, heißt Systemlösung.
Das System der linearen algebraischen Gleichungen geschrieben als ax=b, ist ein Matrixgleichung.
Wenn die Matrix des Systems nicht entartet, dann hat es eine inverse Matrix und dann die Lösung des Systems ax=b ergibt sich aus der Formel:
x=A -1 B.
Beispiel Löse das System 
Matrix-Methode.
Lösung Finden Sie die inverse Matrix für die Koeffizientenmatrix des Systems
Berechnen Sie die Determinante, indem Sie über die erste Zeile expandieren:
Soweit Δ ≠ 0 , dann EIN -1 existiert.
Die inverse Matrix wird korrekt gefunden.
Lassen Sie uns eine Lösung für das System finden 
Somit, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Untersuchung: 
7. Der Satz von Kronecker-Capelli über die Kompatibilität eines Systems linearer algebraischer Gleichungen.
System linearer Gleichungen sieht aus wie:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
ein m1 x 1 + ein m1 x 2 +... + ein mn x n = b m .
Hier sind a i j und b i (i = ; j = ) gegeben, und x j sind unbekannte reelle Zahlen. Unter Verwendung des Konzepts eines Produkts von Matrizen können wir System (5.1) in die Form umschreiben:
wobei A = (a i j) die Matrix ist, die aus den Koeffizienten der Unbekannten des Systems (5.1) besteht, das aufgerufen wird Systemmatrix, X = (x 1 , x 2 , ..., x n) T , B = (b 1 , b 2 , ..., b m) T - Spaltenvektoren, die jeweils aus unbekannten x j und freien Termen b i zusammengesetzt sind.
Bestellte Abholung n reelle Zahlen (c 1 , c 2 ,..., c n) genannt Systemlösung(5.1) wenn infolge der Substitution dieser Zahlen anstelle der entsprechenden Variablen x 1 , x 2 ,..., x n jede Gleichung des Systems zu einer arithmetischen Identität wird; mit anderen Worten, wenn es einen Vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T gibt, so dass AC B.
System (5.1) wird aufgerufen gemeinsam, oder lösbar wenn es mindestens eine Lösung gibt. Das System wird aufgerufen unvereinbar, oder unlöslich wenn es keine Lösungen hat.
,
gebildet durch Zuweisung einer Spalte freier Terme zur Matrix A auf der rechten Seite, heißt Erweitertes Matrixsystem.
Die Frage der Kompatibilität des Systems (5.1) wird durch den folgenden Satz gelöst.
Satz von Kronecker-Capelli . Das lineare Gleichungssystem ist genau dann konsistent, wenn die Ränge der Matrizen A und A übereinstimmen, d.h. r(A) = r(A) = r.
Für die Lösungsmenge M des Systems (5.1) gibt es drei Möglichkeiten:
1) M = (in diesem Fall ist das System inkonsistent);
2) M besteht aus einem Element, d.h. das System hat eine eindeutige Lösung (in diesem Fall heißt das System sicher);
3) M besteht aus mehr als einem Element (dann heißt das System unsicher). Im dritten Fall hat System (5.1) unendlich viele Lösungen.
Das System hat nur dann eine eindeutige Lösung, wenn r(A) = n. In diesem Fall ist die Anzahl der Gleichungen nicht kleiner als die Anzahl der Unbekannten (mn); wenn m>n, dann m-n Gleichungen sind Folgen der anderen. Wenn 0 Um ein beliebiges System linearer Gleichungen zu lösen, muss man in der Lage sein, Systeme zu lösen, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist, die sogenannten Systeme vom Cramer-Typ: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3) ...
... ... ...
... ... ein n1 x 1 + ein n1 x 2 +... + ein nn x n = b n . Systeme (5.3) werden auf eine der folgenden Arten gelöst: 1) durch das Gauß-Verfahren oder durch das Verfahren der Eliminierung von Unbekannten; 2) nach Cramers Formeln; 3) nach der Matrixmethode. Beispiel 2.12. Untersuchen Sie das Gleichungssystem und lösen Sie es, wenn es kompatibel ist: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, x 1 - 3 x 2 - 6 x 3 + 5 x 4 = 0. Lösung. Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems auf:
Berechnen wir den Rang der Hauptmatrix des Systems. Es ist offensichtlich, dass zum Beispiel das Moll zweiter Ordnung in der oberen linken Ecke = 7 0; die Minderjährigen dritter Ordnung, die es enthalten, sind gleich Null: Daher ist der Rang der Hauptmatrix des Systems 2, d.h. r(A) = 2. Um den Rang der erweiterten Matrix A zu berechnen, betrachte den angrenzenden Minor daher ist der Rang der erweiterten Matrix r(A) = 3. Da r(A) r(A) ist, ist das System inkonsistent. Ein Sonderfall ist die Inverse-Matrix-Methode Matrixgleichung Lösen Sie das System mit der Matrixmethode Lösung: Wir schreiben das System in Matrixform Wir finden die Lösung des Systems durch die Formel (siehe letzte Formel) Wir finden die inverse Matrix durch die Formel: Befassen wir uns zunächst mit der Determinante: Hier wird die Determinante um die erste Zeile erweitert. Aufmerksamkeit! Wenn, dann existiert die inverse Matrix nicht, und es ist unmöglich, das System mit der Matrixmethode zu lösen. In diesem Fall wird das System durch die Methode der Elimination von Unbekannten (Gauß-Methode) gelöst. Jetzt müssen Sie 9 Minoren berechnen und in die Minorenmatrix eintragen Bezug: Es ist nützlich, die Bedeutung doppelter Indizes in der linearen Algebra zu kennen. Die erste Ziffer ist die Zeilennummer, in der sich das Element befindet. Die zweite Ziffer ist die Nummer der Spalte, in der sich das Element befindet: Im Laufe des Lösens ist es besser, die Berechnung von Minderjährigen ausführlich zu beschreiben, obwohl sie mit einer gewissen Erfahrung angepasst werden können, um mündlich mit Fehlern zu zählen. Die Reihenfolge der Berechnung der Minderjährigen ist absolut nicht wichtig, hier habe ich sie von links nach rechts Zeile für Zeile berechnet. Es war möglich, Minderjährige nach Spalten zu berechnen (das ist noch bequemer). Auf diese Weise: ist die Matrix der algebraischen Additionen. ist die transponierte Matrix algebraischer Additionen. Ich wiederhole, die Schritte, die wir ausgeführt haben, wurden in der Lektion ausführlich analysiert. Wie findet man die inverse Matrix? Jetzt schreiben wir die inverse Matrix: In keinem Fall werden wir in die Matrix eingetragen, dies wird weitere Berechnungen ernsthaft erschweren. Die Division müsste durchgeführt werden, wenn alle Zahlen in der Matrix ohne Rest durch 60 teilbar wären. In diesem Fall ist es jedoch sehr wichtig, der Matrix ein Minus hinzuzufügen, im Gegenteil, es vereinfacht weitere Berechnungen. Es bleibt die Matrixmultiplikation durchzuführen. In der Lektion lernen Sie, wie man Matrizen multipliziert Aktionen mit Matrizen. Übrigens gibt es genau das gleiche Beispiel. Beachten Sie, dass die Division durch 60 durchgeführt wird zuletzt. Antworten: Beispiel 12 Lösen Sie das System mit der inversen Matrix. Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung (Abschlussprobe und Antwort am Ende der Lektion). Der universellste Weg, das System zu lösen, ist Methode zur Elimination von Unbekannten (Gauß-Methode). Es ist nicht so einfach, den Algorithmus auf zugängliche Weise zu erklären, aber ich habe es versucht!. Wünsche dir Erfolg! Antworten: Beispiel 3:
Beispiel 6:
Beispiel 8:
,
. Sie können eine Beispiellösung für dieses Beispiel anzeigen oder herunterladen (Link unten). Beispiele 10, 12: Wir betrachten weiterhin lineare Gleichungssysteme. Diese Lektion ist die dritte zu diesem Thema. Wenn Sie eine vage Vorstellung davon haben, was ein lineares Gleichungssystem im Allgemeinen ist, Sie sich wie eine Teekanne fühlen, dann empfehle ich, mit den Grundlagen auf der Seite zu beginnen. Als nächstes ist es nützlich, die Lektion zu studieren. Gauß-Methode ist einfach! Wieso den? Der berühmte deutsche Mathematiker Johann Carl Friedrich Gauß erhielt zu Lebzeiten Anerkennung als der größte Mathematiker aller Zeiten, ein Genie und sogar den Spitznamen „König der Mathematik“. Und alles Geniale ist bekanntlich einfach!Übrigens kommen nicht nur Trottel, sondern auch Genies ins Geld - das Porträt von Gauß prangte auf einem 10-D-Mark-Schein (vor der Einführung des Euro), und Gauß lächelt die Deutschen immer noch geheimnisvoll von gewöhnlichen Briefmarken an. Die Gauß-Methode ist insofern einfach, als das WISSEN EINES SCHÜLERS DER FÜNFTEN KLASSE AUSREICHT, um sie zu beherrschen. Muss addieren und multiplizieren können! Es ist kein Zufall, dass die Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten oft von Lehrern in mathematischen Wahlfächern in der Schule berücksichtigt wird. Es ist paradox, aber die Gauss-Methode bereitet den Schülern die größten Schwierigkeiten. Nichts Überraschendes - es dreht sich alles um die Methodik, und ich werde versuchen, in zugänglicher Form über den Algorithmus der Methode zu erzählen. Zunächst systematisieren wir das Wissen über lineare Gleichungssysteme ein wenig. Ein lineares Gleichungssystem kann: 1) Haben Sie eine eindeutige Lösung. Die Gauß-Methode ist das mächtigste und vielseitigste Werkzeug zur Lösungsfindung beliebig Systeme linearer Gleichungen. Wie wir uns erinnern Cramersche Regel und Matrixmethode sind ungeeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Eine Methode zur sukzessiven Eliminierung von Unbekannten auf jeden Fall führen Sie uns zur Antwort! In dieser Lektion betrachten wir erneut die Gauß-Methode für Fall Nr. 1 (die einzige Lösung des Systems), ein Artikel ist für die Situationen der Punkte Nr. 2-3 reserviert. Ich stelle fest, dass der Methodenalgorithmus selbst in allen drei Fällen auf die gleiche Weise funktioniert. Kehren wir zum einfachsten System aus der Lektion zurück Wie löst man ein lineares Gleichungssystem? Der erste Schritt ist das Schreiben Erweitertes Matrixsystem: Bezug:
Ich empfehle, sich zu erinnernBedingungen
Lineare Algebra.Systemmatrix
ist eine Matrix, die nur aus Koeffizienten für Unbekannte besteht, in diesem Beispiel die Matrix des Systems:
.
Erweiterte Systemmatrix
ist die gleiche Matrix des Systems plus eine Spalte mit freien Mitgliedern, in diesem Fall:
. Jede der Matrizen kann der Kürze halber einfach als Matrix bezeichnet werden. Nachdem das erweiterte Matrixsystem geschrieben ist, müssen einige Aktionen damit ausgeführt werden, die auch aufgerufen werden elementare Transformationen. Es gibt folgende elementare Transformationen: 1) Saiten Matrizen neu geordnet werden können setzt. In der betrachteten Matrix können Sie beispielsweise die erste und zweite Zeile sicher neu anordnen: 2) Wenn es (oder erschienen) proportionale (als Sonderfall - identische) Zeilen in der Matrix gibt, dann folgt es löschen aus der Matrix alle diese Zeilen bis auf eine. Betrachten wir zum Beispiel die Matrix 3) Wenn während der Transformationen eine Nullzeile in der Matrix auftaucht, folgt dies auch löschen. Ich werde natürlich nicht zeichnen, die Nulllinie ist die Linie, in der nur Nullen. 4) Die Zeile der Matrix kann sein multiplizieren (dividieren) für jede Zahl nicht null. Betrachten wir zum Beispiel die Matrix . Hier empfiehlt es sich, die erste Zeile durch -3 zu teilen und die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren: 5) Diese Transformation verursacht die meisten Schwierigkeiten, aber eigentlich ist es auch nichts Kompliziertes. Auf die Zeile der Matrix können Sie füge eine weitere Zeichenfolge hinzu, die mit einer Zahl multipliziert wird, von Null verschieden. Betrachten Sie unsere Matrix aus einem praktischen Beispiel: . Zuerst werde ich die Transformation sehr detailliert beschreiben. Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -2: In der Praxis malen sie natürlich nicht so ausführlich, sondern schreiben kürzer: "Ich schreibe die Matrix neu und schreibe die erste Zeile neu:" Erste Spalte zuerst. Unten muss ich Null bekommen. Deshalb multipliziere ich die obige Einheit mit -2:, und addiere die erste zur zweiten Zeile: 2 + (-2) = 0. Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile: „Nun die zweite Spalte. Über -1 mal -2: . Ich füge die erste zur zweiten Zeile hinzu: 1 + 2 = 3. Ich schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile: " „Und die dritte Spalte. Über -5 mal -2: . Ich füge die erste Zeile zur zweiten Zeile hinzu: -7 + 10 = 3. Ich schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile: Bitte denken Sie genau über dieses Beispiel nach und verstehen Sie den sequentiellen Berechnungsalgorithmus, wenn Sie dies verstehen, dann haben Sie die Gauß-Methode praktisch "in der Tasche". Aber natürlich arbeiten wir noch an dieser Transformation. Elementare Transformationen verändern die Lösung des Gleichungssystems nicht ! AUFMERKSAMKEIT: als Manipulationen angesehen Kann ich nicht benutzen, wenn Ihnen eine Aufgabe angeboten wird, bei der die Matrizen "von selbst" vorgegeben sind. Zum Beispiel mit "klassisch" Matrizen auf keinen Fall sollten Sie innerhalb der Matrizen etwas umstellen! Kehren wir zu unserem System zurück. Sie ist fast fertig. Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems und reduzieren sie mit elementaren Transformationen auf gestufte Ansicht: (1) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Übrigens, warum multiplizieren wir die erste Zeile mit -2? Um unten auf Null zu kommen, bedeutet das, eine Variable in der zweiten Zeile loszuwerden. (2) Teilen Sie die zweite Reihe durch 3. Der Zweck elementarer Transformationen–
Wandeln Sie die Matrix in Stufenform um: Als Ergebnis elementarer Transformationen haben wir erhalten gleichwertig ursprüngliches Gleichungssystem: Nun muss das System in die entgegengesetzte Richtung „aufgedreht“ werden – von unten nach oben heißt dieser Vorgang Reverse-Gauß-Methode. In der unteren Gleichung haben wir bereits das fertige Ergebnis: . Betrachten Sie die erste Gleichung des Systems und setzen Sie den bereits bekannten Wert von „y“ ein: Betrachten wir die häufigste Situation, wenn die Gaußsche Methode erforderlich ist, um ein System von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten zu lösen. Beispiel 1 Lösen Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode: Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems: Jetzt zeichne ich gleich das Ergebnis, zu dem wir im Laufe der Lösung kommen werden: Sehen Sie sich zuerst die Nummer oben links an: Jetzt bleibt die erste Zeile bis zum Ende der Lösung unverändert. Jetzt gut. Die Einheit oben links ist organisiert. Jetzt müssen Sie an diesen Stellen Nullen erhalten: Nullstellen erhält man nur mit Hilfe einer "schwierigen" Transformation. Zunächst beschäftigen wir uns mit der zweiten Zeile (2, -1, 3, 13). Was muss getan werden, um Null an der ersten Position zu erhalten? Müssen zur zweiten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -2. In Gedanken oder auf einem Entwurf multiplizieren wir die erste Zeile mit -2: (-2, -4, 2, -18). Und wir führen konsequent (wieder gedanklich oder auf einem Entwurf) hinzu, Zur zweiten Zeile fügen wir die erste Zeile hinzu, die bereits mit -2 multipliziert ist: Das Ergebnis steht in der zweiten Zeile: Ähnlich behandeln wir die dritte Zeile (3, 2, -5, -1). Um Null an der ersten Position zu erhalten, müssen Sie zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -3. In Gedanken oder auf einem Entwurf multiplizieren wir die erste Zeile mit -3: (-3, -6, 3, -27). UND zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit -3: Das Ergebnis steht in der dritten Zeile: In der Praxis werden diese Handlungen meist mündlich ausgeführt und in einem Schritt niedergeschrieben: Sie müssen nicht alles auf einmal und gleichzeitig zählen. Die Reihenfolge der Berechnungen und das "Einfügen" der Ergebnisse konsistent und normalerweise so: zuerst schreiben wir die erste zeile um, und pusten uns leise - KONSEQUENT und SORGSAM: In diesem Beispiel geht das ganz einfach, wir teilen die zweite Zeile durch -5 (da dort alle Zahlen ohne Rest durch 5 teilbar sind). Gleichzeitig dividieren wir die dritte Zeile durch -2, denn je kleiner die Zahl, desto einfacher die Lösung: In der Endphase der elementaren Transformationen muss hier noch eine Null erhalten werden: Dafür zur dritten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -2: Die letzte durchgeführte Aktion ist die Frisur des Ergebnisses, teilen Sie die dritte Zeile durch 3. Als Ergebnis elementarer Transformationen wurde ein äquivalentes anfängliches lineares Gleichungssystem erhalten: Nun kommt der umgekehrte Verlauf der Gaußschen Methode ins Spiel. Die Gleichungen "wickeln" sich von unten nach oben ab. In der dritten Gleichung haben wir bereits das fertige Ergebnis: Schauen wir uns die zweite Gleichung an: . Die Bedeutung von "z" ist bereits bekannt, also: Und schließlich die erste Gleichung: . „Y“ und „Z“ sind bekannt, die Sache ist klein: Antworten: Wie schon mehrfach angemerkt wurde, ist es für jedes Gleichungssystem möglich und notwendig, die gefundene Lösung zu überprüfen, glücklicherweise ist dies nicht schwierig und schnell. Beispiel 2 Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung, eine Probe für die Fertigstellung und eine Antwort am Ende der Lektion. Es ist zu beachten, dass Ihre Vorgehensweise kann nicht mit meiner Vorgehensweise übereinstimmen, und dies ist ein Merkmal der Gauß-Methode. Aber die Antworten müssen die gleichen sein! Beispiel 3 Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform: Wir betrachten die obere linke "Stufe". Da sollten wir eine Einheit haben. Das Problem ist, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einsen gibt, also kann nichts durch Umordnen der Zeilen gelöst werden. In solchen Fällen muss die Einheit durch eine elementare Transformation organisiert werden. Dies kann in der Regel auf mehrere Arten erfolgen. Ich habe das gemacht: (1) Zur ersten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -1. Das heißt, wir haben die zweite Zeile gedanklich mit -1 multipliziert und die Addition der ersten und zweiten Zeile durchgeführt, während sich die zweite Zeile nicht geändert hat. Jetzt oben links -1, was uns gut passt. Wer +1 erhalten möchte, kann eine zusätzliche Geste ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -1 (ändern Sie ihr Vorzeichen). (2) Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile addiert. (3) Die erste Zeile wurde mit -1 multipliziert, im Prinzip steht dies für Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, somit hatten wir auf der zweiten „Stufe“ die gewünschte Einheit. (4) Die zweite Zeile multipliziert mit 2 wurde zur dritten Zeile hinzugefügt. (5) Die dritte Reihe wurde durch 3 geteilt. Ein schlechtes Zeichen, das auf einen Rechenfehler hinweist (seltener ein Tippfehler), ist ein „schlechtes“ Endergebnis. Das heißt, wenn wir etwas wie unten haben und dementsprechend Wir berechnen den umgekehrten Zug, bei der Gestaltung von Beispielen wird das System selbst oft nicht umgeschrieben, und die Gleichungen werden „direkt aus der gegebenen Matrix entnommen“. Ich erinnere Sie daran, dass die umgekehrte Bewegung von unten nach oben funktioniert: Antworten: Beispiel 4 Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung, es ist etwas komplizierter. Es ist in Ordnung, wenn jemand verwirrt ist. Vollständige Lösung und Designbeispiel am Ende der Lektion. Ihre Lösung kann von meiner abweichen. Im letzten Teil betrachten wir einige Merkmale des Gauß-Algorithmus. Das zweite Merkmal ist folgendes. In allen betrachteten Beispielen haben wir entweder –1 oder +1 auf die „Stufen“ gesetzt. Könnte es andere Nummern geben? In einigen Fällen können sie. Betrachten Sie das System: Hier auf der oberen linken "Stufe" haben wir eine Zwei. Aber wir bemerken, dass alle Zahlen in der ersten Spalte ohne Rest durch 2 teilbar sind - und noch zwei und sechs. Und die Zwei oben links wird uns passen! Im ersten Schritt müssen Sie die folgenden Transformationen durchführen: Fügen Sie die erste Zeile multipliziert mit -1 zur zweiten Zeile hinzu; zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -3. So erhalten wir die gewünschten Nullen in der ersten Spalte. Oder ein anderes hypothetisches Beispiel: Die Gauß-Methode ist universell, aber es gibt eine Besonderheit. Das Lösen von Systemen mit anderen Methoden (Cramers Methode, Matrixmethode) kann man buchstäblich vom ersten Mal an souverän lernen – es gibt einen sehr starren Algorithmus. Aber um sich in der Gauß-Methode sicher zu fühlen, sollten Sie „Ihre Hand füllen“ und mindestens 5-10 Zehnersysteme lösen. Daher kann es zunächst zu Verwirrung und Rechenfehlern kommen, und daran ist nichts Ungewöhnliches oder Tragisches. Regnerisches Herbstwetter vor dem Fenster .... Daher für alle ein komplexeres Beispiel für eine eigenständige Lösung: Beispiel 5 Lösen Sie ein System aus 4 linearen Gleichungen mit vier Unbekannten mit der Gauß-Methode. Eine solche Aufgabe ist in der Praxis gar nicht so selten. Ich denke, dass selbst eine Teekanne, die diese Seite ausführlich studiert hat, den Algorithmus zur Lösung eines solchen Systems intuitiv versteht. Im Grunde dasselbe – nur mehr Action. In der Lektion werden die Fälle betrachtet, in denen das System keine Lösungen hat (inkonsistent) oder unendlich viele Lösungen hat. Inkompatible Systeme und Systeme mit einer gemeinsamen Lösung. Dort können Sie den betrachteten Algorithmus der Gauß-Methode festlegen. Wünsche dir Erfolg! Lösungen und Antworten: Beispiel 2: Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mit Hilfe elementarer Transformationen auf die Stufenform. Rückwärtsbewegung:
Beispiel 4: Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform: Durchgeführte Konvertierungen: Beim zweiten „Schritt“ wird alles noch schlimmer
, die "Kandidaten" dafür sind die Nummern 17 und 23, und wir brauchen entweder eins oder -1. Die Transformationen (3) und (4) zielen darauf ab, die gewünschte Einheit zu erhalten (3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit -1.
.
, wo ist die transponierte Matrix der algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix .
Das heißt, ein doppelter Index gibt an, dass sich das Element in der ersten Zeile, dritten Spalte befindet, während sich das Element beispielsweise in der 3. Zeile, 2. Spalte befindet
ist die Matrix der Minderjährigen der entsprechenden Elemente der Matrix .
Manchmal ist es möglicherweise nicht vollständig geteilt, d.h. kann "schlechte" Brüche bekommen. Was in solchen Fällen zu tun ist, habe ich bereits gesagt, als wir Cramers Regel analysierten.
2) Unendlich viele Lösungen haben.
3) Habe keine Lösungen (be unvereinbar).
und löse es mit der Gaußschen Methode.
. Nach welchem Prinzip die Koeffizienten aufgezeichnet werden, kann jeder sehen, denke ich. Die vertikale Linie innerhalb der Matrix hat keine mathematische Bedeutung – sie ist nur ein Durchstrich zur einfacheren Gestaltung.
. In dieser Matrix sind die letzten drei Zeilen proportional, daher reicht es aus, nur eine davon zu belassen: 
.
. Diese Aktion ist sehr nützlich, da sie weitere Transformationen der Matrix vereinfacht.
, und zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit -2: . Jetzt kann die erste Zeile durch -2 "zurück" geteilt werden: . Wie Sie sehen können, ist die Zeile HINZUGEFÜGT LI – hat sich nicht geändert. Ist immer die Zeile wird geändert, ZU DENEN HINZUGEFÜGT UT.
Noch einmal: zur zweiten Zeile fügte die erste Zeile multipliziert mit -2 hinzu. Die Linie wird normalerweise mündlich oder auf einem Entwurf multipliziert, während der mentale Ablauf der Berechnungen ungefähr so ist:
» »
. Bei der Gestaltung der Aufgabe zeichnen sie die „Leiter“ direkt mit einem einfachen Bleistift und kreisen auch die Zahlen ein, die sich auf den „Stufen“ befinden. Der Begriff „Stepped View“ selbst ist nicht ganz theoretisch; in der wissenschaftlichen und pädagogischen Literatur wird er oft genannt trapezförmige Ansicht oder dreieckige Ansicht.
Und ich wiederhole, unser Ziel ist es, die Matrix durch elementare Transformationen in eine Stufenform zu bringen. Wo anfangen zu handeln?
Sollte fast immer hier sein Einheit. Im Allgemeinen passt auch -1 (und manchmal andere Zahlen), aber irgendwie ist es traditionell vorgekommen, dass eine Einheit normalerweise dort platziert wird. Wie organisiere ich eine Einheit? Wir schauen uns die erste Spalte an - wir haben eine fertige Einheit! Transformation eins: Vertausche die erste und dritte Zeile: 
Und den gedanklichen Ablauf der Berechnungen selbst habe ich oben schon betrachtet.
Versuchen Sie, diese Aktion selbst zu analysieren - multiplizieren Sie die zweite Zeile gedanklich mit -2 und führen Sie die Addition durch.
Cool.
, dann kann mit hoher Wahrscheinlichkeit argumentiert werden, dass bei elementaren Transformationen ein Fehler gemacht wurde.
Ja, hier ist ein Geschenk: 
.
Das erste Merkmal ist, dass manchmal einige Variablen in den Gleichungen des Systems fehlen, zum Beispiel: 
Wie schreibe ich die erweiterte Matrix des Systems richtig? Über diesen Moment habe ich bereits im Unterricht gesprochen. Cramersche Regel. Matrix-Methode. In der erweiterten Matrix des Systems setzen wir Nullen anstelle der fehlenden Variablen: 
Übrigens ist dies ein ziemlich einfaches Beispiel, da in der ersten Spalte bereits eine Null steht und weniger elementare Transformationen durchgeführt werden müssen. .
. Hier passt uns auch das Tripel auf der zweiten „Sprosse“, da 12 (die Stelle, an der wir Null bekommen müssen) ohne Rest durch 3 teilbar ist. Es ist notwendig, die folgende Transformation durchzuführen: Fügen Sie der dritten Zeile die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit -4, wodurch die benötigte Null erhalten wird.
Durchgeführte elementare Transformationen:
(1) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit -1.Aufmerksamkeit!
Hier mag es verlockend sein, die erste von der dritten Zeile abzuziehen, ich rate dringend davon ab - das Fehlerrisiko steigt stark an. Wir folden einfach!
(2) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit -1). Die zweite und dritte Zeile wurden vertauscht.beachten Sie
dass wir uns auf den „Stufen“ nicht nur mit einem zufrieden geben, sondern auch mit -1, was noch bequemer ist.
(3) Zur dritten Zeile addieren Sie die zweite Zeile, multipliziert mit 5.
(4) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit -1). Die dritte Zeile wurde durch 14 geteilt.
Antworten: 
.
(1) Die zweite Zeile wurde der ersten Zeile hinzugefügt. Somit wird die gewünschte Einheit auf der oberen linken „Stufe“ organisiert.
(2) Die erste Zeile multipliziert mit 7 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 6 wurde zur dritten Zeile addiert.
(4) Die dritte Zeile, multipliziert mit -3, wurde zur zweiten Zeile hinzugefügt.
Das Notwendige im zweiten Schritt wird empfangen
.
(5) Zur dritten Zeile wird die zweite addiert, multipliziert mit 6.
(6) Die zweite Reihe wurde mit -1 multipliziert, die dritte Reihe wurde durch -83 dividiert..Offensichtlich ist die Ebene durch drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, eindeutig bestimmt. Daher sind Drei-Buchstaben-Bezeichnungen von Flugzeugen sehr beliebt - zum Beispiel nach den zu ihnen gehörenden Punkten; .Wenn kostenlose Mitglieder
