Lösen Sie das Gleichungssystem online mit der Methode der inversen Matrix. Cramersche Regel. Methode der inversen Matrix
Im ersten Teil haben wir theoretisches Material, die Substitutionsmethode sowie die Methode der Term-für-Term-Addition von Systemgleichungen betrachtet. Allen, die über diese Seite auf die Website gekommen sind, empfehle ich, den ersten Teil zu lesen. Vielleicht finden manche Besucher den Stoff zu einfach, aber im Zuge des Lösens von Systemen lineare Gleichungen ich habe viel gemacht wichtige Notizen und Schlussfolgerungen zur Lösung mathematischer Probleme im Allgemeinen.
Und jetzt analysieren wir die Cramersche Regel sowie die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der inversen Matrix (Matrixmethode). Alle Materialien werden einfach, detailliert und klar präsentiert, fast alle Leser werden in der Lage sein, zu lernen, wie man Systeme mit den oben genannten Methoden löst.
Wir betrachten zunächst die Cramersche Regel im Detail für ein System aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten. Wozu? - Letztendlich das einfachste System kann durch die Schulmethode gelöst werden, durch Begriffsaddition!
Tatsache ist, dass es manchmal eine solche Aufgabe gibt, ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten mit Cramers Formeln zu lösen. Zweitens hilft Ihnen ein einfacheres Beispiel zu verstehen, wie Sie die Cramer-Regel für mehr nutzen können schwieriger Fall– Systeme aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.
Außerdem gibt es lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen, die man am besten exakt nach der Cramerschen Regel löst!
Betrachten Sie das Gleichungssystem
Im ersten Schritt berechnen wir die Determinante , heißt sie die Hauptdeterminante des Systems.
Gauss-Methode.
Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir zwei weitere Determinanten berechnen:
und
In der Praxis können die obigen Qualifier auch mit dem lateinischen Buchstaben bezeichnet werden.
Die Wurzeln der Gleichung werden durch die Formeln gefunden:
,
Beispiel 7
Löse ein lineares Gleichungssystem 
Entscheidung: Wir sehen, dass die Koeffizienten der Gleichung ziemlich groß sind, auf der rechten Seite gibt es Dezimalstellen mit einem Komma. Das Komma ist ein eher seltener Gast bei praktischen Aufgaben in der Mathematik, dieses System habe ich einem ökonometrischen Problem entnommen.
Wie löst man ein solches System? Sie können versuchen, eine Variable durch eine andere auszudrücken, aber in diesem Fall werden Sie sicherlich schreckliche, ausgefallene Brüche erhalten, mit denen Sie äußerst unbequem arbeiten können, und das Design der Lösung wird einfach schrecklich aussehen. Du kannst die zweite Gleichung mit 6 multiplizieren und Term für Term subtrahieren, aber hier erscheinen dieselben Brüche.
Was zu tun ist? In solchen Fällen helfen Cramers Formeln.
;
;
Antworten: ,
Beide Wurzeln haben unendliche Schwänze und werden ungefähr gefunden, was für ökonometrische Probleme durchaus akzeptabel (und sogar alltäglich) ist.
Kommentare sind hier nicht erforderlich, da die Aufgabe nach vorgefertigten Formeln gelöst wird, es gibt jedoch eine Einschränkung. Wenn Sie diese Methode verwenden, verpflichtend Das Fragment der Aufgabe ist das folgende Fragment: „Das System hat also eine einzigartige Lösung“. Andernfalls kann der Rezensent Sie dafür bestrafen, dass Sie Cramers Theorem nicht respektieren.
Es ist nicht überflüssig zu überprüfen, was auf einem Taschenrechner bequem durchzuführen ist: Wir ersetzen die ungefähren Werte auf der linken Seite jeder Gleichung des Systems. Als Ergebnis sollten mit einem kleinen Fehler Zahlen erhalten werden, die auf der rechten Seite stehen.
Beispiel 8
Drücken Sie Ihre Antwort in gewöhnlichen unechten Brüchen aus. Machen Sie einen Scheck.
Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung (Beispiel für feines Design und Antwort am Ende der Lektion).
Wir wenden uns der Betrachtung der Cramerschen Regel für ein System von drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu: 
Wir finden die Hauptdeterminante des Systems: 
Wenn , dann hat das System unendlich viele Lösungen oder ist inkonsistent (hat keine Lösungen). In diesem Fall hilft die Cramer-Regel nicht, Sie müssen die Gauß-Methode verwenden.
Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir drei weitere Determinanten berechnen: 
, 
, 
Und schließlich wird die Antwort durch die Formeln berechnet: 
Wie Sie sehen, unterscheidet sich der Fall „drei mal drei“ grundsätzlich nicht vom Fall „zwei mal zwei“, die Spalte der freien Terme „wandert“ nacheinander von links nach rechts entlang der Spalten der Hauptdeterminante.
Beispiel 9
Lösen Sie das System mit Cramers Formeln. 
Entscheidung: Lösen wir das System mit Cramers Formeln. 
, also hat das System eine eindeutige Lösung.
Antworten: 
.
Eigentlich gibt es hier wieder nichts Besonderes zu kommentieren, in Anbetracht der Tatsache, dass die Entscheidung nach vorgefertigten Formeln getroffen wird. Aber es gibt ein paar Anmerkungen.
Es kommt vor, dass als Ergebnis von Berechnungen „schlechte“ irreduzible Brüche erhalten werden, zum Beispiel: .
Ich empfehle den folgenden „Behandlungs“-Algorithmus. Wenn kein Computer zur Hand ist, machen wir Folgendes:
1) Möglicherweise liegt ein Fehler in den Berechnungen vor. Sobald Sie auf einen „schlechten“ Schuss stoßen, müssen Sie sofort prüfen, ob ist die Bedingung richtig umgeschrieben. Wenn die Bedingung fehlerfrei umgeschrieben wird, müssen Sie die Determinanten mithilfe der Erweiterung in einer anderen Zeile (Spalte) neu berechnen.
2) Wenn bei der Überprüfung keine Fehler gefunden wurden, dann wurde höchstwahrscheinlich ein Tippfehler in der Bedingung der Aufgabe gemacht. Lösen Sie in diesem Fall die Aufgabe ruhig und SORGFÄLTIG bis zum Ende und dann unbedingt prüfen und nach der Entscheidung in Reinschrift zu erstellen. Natürlich ist es eine unangenehme Aufgabe, eine Teilantwort zu überprüfen, aber es wird ein entwaffnendes Argument für den Lehrer sein, der, nun ja, wirklich gerne ein Minus für so etwas wie Schlechtes setzt. Wie mit Brüchen umgegangen wird, ist in der Antwort zu Beispiel 8 beschrieben.
Wenn Sie einen Computer zur Hand haben, überprüfen Sie ihn mit einem automatisierten Programm, das Sie gleich zu Beginn des Unterrichts kostenlos herunterladen können. Übrigens ist es am vorteilhaftesten, das Programm gleich (noch bevor Sie mit der Lösung beginnen) zu verwenden, Sie sehen sofort den Zwischenschritt, bei dem Sie einen Fehler gemacht haben! Derselbe Rechner berechnet automatisch die Lösung des Systems Matrix-Methode.
Zweite Bemerkung. Von Zeit zu Zeit gibt es Systeme, in deren Gleichungen einige Variablen fehlen, zum Beispiel: 
Hier gibt es in der ersten Gleichung keine Variable, in der zweiten keine Variable. In solchen Fällen ist es sehr wichtig, die Hauptdeterminante richtig und SORGFÄLTIG aufzuschreiben: 
– Fehlende Variablen werden durch Nullen ersetzt.
Übrigens ist es sinnvoll, Determinanten mit Nullen in der Zeile (Spalte) zu öffnen, in der die Null steht, da es merklich weniger Berechnungen gibt.
Beispiel 10
Lösen Sie das System mit Cramers Formeln. 
Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung (Abschlussprobe und Antwort am Ende der Lektion).
Für den Fall eines Systems aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten werden die Formeln von Cramer nach ähnlichen Prinzipien geschrieben. Sie können ein Live-Beispiel in der Lektion Determinanteneigenschaften sehen. Reduzieren der Ordnung der Determinante - fünf Determinanten 4. Ordnung sind gut lösbar. Wobei die Aufgabe schon sehr an den Schuh eines Professors auf der Brust eines glücklichen Studenten erinnert.
Lösung des Systems mit der inversen Matrix
Die inverse Matrixmethode ist im Wesentlichen besonderer Fall Matrixgleichung(Siehe Beispiel Nr. 3 der angegebenen Lektion).
Um diesen Abschnitt zu studieren, müssen Sie in der Lage sein, die Determinanten zu erweitern, die inverse Matrix zu finden und eine Matrixmultiplikation durchzuführen. Relevante Links werden im Verlauf der Erläuterung angegeben.
Beispiel 11
Lösen Sie das System mit der Matrixmethode 
Entscheidung: Wir schreiben das System in Matrixform:
, wo 
Bitte schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Matrizen an. Nach welchem Prinzip schreiben wir Elemente in Matrizen, ich denke, jeder versteht es. Einziger Kommentar: Wenn in den Gleichungen einige Variablen fehlen würden, müssten an den entsprechenden Stellen in der Matrix Nullen eingesetzt werden.
Wir finden die inverse Matrix durch die Formel:
, wobei die transponierte Matrix ist algebraische Additionen entsprechende Elemente der Matrix .
Befassen wir uns zunächst mit der Determinante:
Hier wird die Determinante um die erste Zeile erweitert.
Beachtung! Wenn , dann existiert die inverse Matrix nicht, und es ist unmöglich, das System mit der Matrixmethode zu lösen. In diesem Fall wird das System durch Elimination von Unbekannten (Gauß-Verfahren) gelöst.
Jetzt müssen Sie 9 Minoren berechnen und in die Minorenmatrix eintragen 
Referenz: Es ist nützlich, die Bedeutung doppelter Indizes in der linearen Algebra zu kennen. Die erste Ziffer ist die Zeilennummer, auf der die gegebenes Element. Die zweite Ziffer ist die Nummer der Spalte, in der sich das Element befindet: 
Das heißt, ein doppelter Index gibt an, dass sich das Element in der ersten Zeile, dritten Spalte befindet, während sich das Element beispielsweise in der 3. Zeile, 2. Spalte befindet
Prüfen System linearer algebraischer Gleichungen(LANGSAM) bzgl n Unbekannt x 1 , x 2 , ..., x n :
Dieses System in "gefalteter" Form kann wie folgt geschrieben werden:
S n i=1 a ij x j = b ich , i=1,2, ..., n.
Nach der Regel der Matrizenmultiplikation lässt sich das betrachtete lineare Gleichungssystem einschreiben Matrixform ax=b, wo
,
,.
Matrix EIN, deren Spalten die Koeffizienten für die entsprechenden Unbekannten und die Zeilen die Koeffizienten für die Unbekannten in der entsprechenden Gleichung sind, heißt Systemmatrix. Spaltenmatrix b, deren Elemente die rechten Teile der Gleichungen des Systems sind, heißt die Matrix des rechten Teils oder einfach rechte Seite des Systems. Spaltenmatrix x , dessen Elemente unbekannte Unbekannte sind, heißt Systemlösung.
Das System der linearen algebraischen Gleichungen geschrieben als ax=b, ist ein Matrixgleichung.
Wenn die Matrix des Systems nicht entartet, dann hat es inverse Matrix und dann die Lösung des Systems ax=b ergibt sich aus der Formel:
x=A -1 b.
Beispiel Löse das System 
Matrix-Methode.
Entscheidung Finden Sie die inverse Matrix für die Koeffizientenmatrix des Systems
Berechnen Sie die Determinante, indem Sie über die erste Zeile expandieren:
Soweit Δ ≠ 0 , dann EIN -1 existieren.
Die inverse Matrix wird korrekt gefunden.
Lassen Sie uns eine Lösung für das System finden 
Somit, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Untersuchung: 
7. Der Satz von Kronecker-Capelli über die Kompatibilität eines Systems linearer algebraischer Gleichungen.
System linearer Gleichungen sieht aus wie:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
ein m1 x 1 + ein m1 x 2 +... + ein mn x n = b m .
Hier sind a i j und b i (i = ; j = ) gegeben, und x j sind unbekannte reelle Zahlen. Unter Verwendung des Konzepts eines Produkts von Matrizen können wir System (5.1) in die Form umschreiben:
wobei A = (a i j) die Matrix ist, die aus den Koeffizienten der Unbekannten des Systems (5.1) besteht, das aufgerufen wird Systemmatrix, X = (x 1 , x 2 , ..., x n) T , B = (b 1 , b 2 , ..., b m) T - Spaltenvektoren, die jeweils aus unbekannten x j und freien Termen b i zusammengesetzt sind.
Bestellte Abholung n reelle Zahlen (c 1 , c 2 ,..., c n) genannt Systemlösung(5.1) wenn infolge der Substitution dieser Zahlen anstelle der entsprechenden Variablen x 1 , x 2 ,..., x n jede Gleichung des Systems zu einer arithmetischen Identität wird; mit anderen Worten, wenn es einen Vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T gibt, so dass AC B.
System (5.1) wird aufgerufen gemeinsam, oder lösbar wenn es mindestens eine Lösung gibt. Das System wird aufgerufen unvereinbar, oder unlöslich wenn es keine Lösungen hat.
,
gebildet durch Zuweisung einer Spalte freier Terme zur Matrix A auf der rechten Seite, heißt Erweitertes Matrixsystem.
Die Frage der Kompatibilität des Systems (5.1) wird durch den folgenden Satz gelöst.
Satz von Kronecker-Capelli . Das lineare Gleichungssystem ist genau dann konsistent, wenn die Ränge der Matrizen A und A übereinstimmen, d.h. r(A) = r(A) = r.
Für die Lösungsmenge M des Systems (5.1) gibt es drei Möglichkeiten:
1) M = (in diesem Fall ist das System inkonsistent);
2) M besteht aus einem Element, d.h. das System hat eine eindeutige Lösung (in diesem Fall heißt das System sicher);
3) M besteht aus mehr als einem Element (dann heißt das System unsicher). Im dritten Fall hat System (5.1) unendlich viele Lösungen.
Das System hat nur dann eine eindeutige Lösung, wenn r(A) = n. In diesem Fall ist die Anzahl der Gleichungen nicht kleiner als die Anzahl der Unbekannten (mn); wenn m>n, dann m-n Gleichungen sind Folgen der anderen. Wenn 0 Um ein beliebiges lineares Gleichungssystem zu lösen, muss man Systeme lösen können, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist, die sogenannten Systeme vom Cramer-Typ: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3) ...
... ... ...
... ... ein n1 x 1 + ein n1 x 2 +... + ein nn x n = b n . Systeme (5.3) werden auf eine der folgenden Arten gelöst: 1) durch das Gauß-Verfahren oder durch das Verfahren der Eliminierung von Unbekannten; 2) nach Cramers Formeln; 3) nach der Matrixmethode. Beispiel 2.12. Untersuchen Sie das Gleichungssystem und lösen Sie es, wenn es kompatibel ist: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, x 1 - 3 x 2 - 6 x 3 + 5 x 4 = 0. Entscheidung. Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems auf:
Berechnen wir den Rang der Hauptmatrix des Systems. Es ist offensichtlich, dass zum Beispiel das Moll zweiter Ordnung in der oberen linken Ecke = 7 0; die Minderjährigen dritter Ordnung, die es enthalten, sind gleich Null: Daher ist der Rang der Hauptmatrix des Systems 2, d.h. r(A) = 2. Um den Rang der erweiterten Matrix A zu berechnen, betrachte den angrenzenden Minor daher ist der Rang der erweiterten Matrix r(A) = 3. Da r(A) r(A) ist, ist das System inkonsistent. Es gebe eine quadratische Matrix n-ter Ordnung Matrix A -1 wird aufgerufen inverse Matrix bezüglich der Matrix A, wenn A * A -1 = E, wobei E die Identitätsmatrix n-ter Ordnung ist. Identitätsmatrix- eine solche quadratische Matrix, in der alle Elemente entlang der Hauptdiagonale, die von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke verläuft, Einsen sind und der Rest Nullen sind, zum Beispiel: inverse Matrix kann existieren nur für quadratische Matrizen jene. für die Matrizen, die die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben. Damit eine Matrix eine inverse Matrix hat, ist es notwendig und ausreichend, dass sie nicht entartet ist. Die Matrix A = (A1, A2,...A n) wird aufgerufen nicht entartet wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren einer Matrix wird als Rang der Matrix bezeichnet. Daher können wir sagen, dass es für die Existenz einer inversen Matrix notwendig und ausreichend ist, dass der Rang der Matrix gleich ihrer Dimension ist, d.h. r = n. Finden Sie für Matrix A die inverse Matrix A -1 Lösung: Wir schreiben die Matrix A auf und weisen rechts die Einheitsmatrix E zu. Mit Hilfe von Jordan-Transformationen reduzieren wir die Matrix A auf die Einheitsmatrix E. Die Berechnungen sind in Tabelle 31.1 dargestellt. Überprüfen wir die Richtigkeit der Berechnungen, indem wir die ursprüngliche Matrix A und die inverse Matrix A -1 multiplizieren. Als Ergebnis der Matrixmultiplikation wird die Identitätsmatrix erhalten. Daher sind die Berechnungen korrekt. Antworten: Matrixgleichungen können wie folgt aussehen: AX = B, XA = B, AXB = C, wobei A, B, C gegebene Matrizen sind, X die gewünschte Matrix ist. Matrixgleichungen werden gelöst, indem die Gleichung mit inversen Matrizen multipliziert wird.
Um beispielsweise die Matrix aus einer Gleichung zu finden, müssen Sie diese Gleichung mit links multiplizieren. Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, müssen Sie daher die inverse Matrix finden und sie mit der Matrix auf der rechten Seite der Gleichung multiplizieren. Andere Gleichungen werden ähnlich gelöst. Lösen Sie die Gleichung AX = B, wenn Entscheidung: Da die Inverse der Matrix gleich ist (siehe Beispiel 1) Zusammen mit anderen finden sie auch Anwendung Matrixmethoden. Diese Methoden basieren auf linearer und Vektor-Matrix-Algebra. Solche Methoden dienen der Analyse komplexer und mehrdimensionaler wirtschaftlicher Phänomene. Am häufigsten werden diese Methoden verwendet, wenn es notwendig ist, die Funktionsweise von Organisationen und ihre strukturellen Unterteilungen zu vergleichen. Bei der Anwendung von Matrixanalyseverfahren können mehrere Stufen unterschieden werden. In der ersten Phase Es wird ein System von Wirtschaftsindikatoren gebildet und auf seiner Grundlage eine Matrix von Ausgangsdaten erstellt, bei der es sich um eine Tabelle handelt, in der Systemnummern in ihren einzelnen Zeilen angezeigt werden (i = 1,2,....,n), und entlang der vertikalen Diagramme - Anzahl der Indikatoren (j = 1,2,....,m). Auf der zweiten Stufe Für jede vertikale Spalte wird der größte der verfügbaren Werte der Indikatoren angezeigt, der als Einheit genommen wird. Danach werden alle in dieser Spalte wiedergegebenen Beträge durch den größten Wert dividiert und eine Matrix standardisierter Koeffizienten gebildet. In der dritten Stufe alle Komponenten der Matrix werden quadriert. Wenn sie unterschiedliche Bedeutung haben, wird jedem Indikator der Matrix ein bestimmter Gewichtungskoeffizient zugewiesen k. Der Wert des letzteren wird von einem Sachverständigen ermittelt. Am letzten vierte Stufe gefundene Werte von Bewertungen RJ gruppiert nach aufsteigender oder absteigender Reihenfolge. Die obigen Matrixmethoden sollten beispielsweise bei einer vergleichenden Analyse verschiedener Investitionsprojekte sowie bei der Bewertung anderer wirtschaftlicher Leistungsindikatoren von Organisationen verwendet werden. Thema 2. SYSTEME LINEARER ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN. Grundlegendes Konzept. Bestimmung 1. System m lineare Gleichungen mit n unbekannt ist ein System der Form: wo und Zahlen sind. Bestimmung 2. Die Lösung des Systems (I) ist eine solche Menge von Unbekannten, in der jede Gleichung dieses Systems in eine Identität übergeht. Bestimmung 3. System (I) wird aufgerufen gemeinsam wenn es mindestens eine Lösung hat und unvereinbar wenn es keine Lösungen hat. Das gemeinsame System heißt sicher wenn es eine eindeutige Lösung hat, und unsicher sonst. Bestimmung 4. Gleichung eingeben namens Null, und eine Gleichung der Form namens unvereinbar. Offensichtlich ist ein Gleichungssystem, das eine inkonsistente Gleichung enthält, inkonsistent. Bestimmung 5. Die beiden linearen Gleichungssysteme werden aufgerufen gleichwertig wenn jede Lösung eines Systems eine Lösung eines anderen und umgekehrt jede Lösung des zweiten Systems eine Lösung des ersten ist. Matrixschreibweise für ein System linearer Gleichungen. Betrachten Sie System (I) (siehe §1). Bezeichnen: Koeffizientenmatrix für Unbekannte Matrix - Spalte der freien Mitglieder Matrix - Spalte von Unbekannten Bestimmung 1. Die Matrix wird aufgerufen die Hauptmatrix des Systems(I), und die Matrix ist die erweiterte Matrix des Systems (I). Durch die Definition der Matrixgleichheit entspricht System (I) der Matrixgleichheit: Die rechte Seite dieser Gleichheit durch die Definition des Produkts von Matrizen ( siehe Definition 3 § 5 Kapitel 1) kann faktorisiert werden: Gleichberechtigung (2)
namens Matrixschreibweise des Systems (I). Lösen eines linearen Gleichungssystems nach Cramers Methode. Einlasssystem (I) (siehe §1) m=n, d.h. die Anzahl der Gleichungen ist gleich der Anzahl der Unbekannten, und die Hauptmatrix des Systems ist nicht entartet, d.h. . Dann hat System (I) aus §1 eine eindeutige Lösung wo ∆ = det A Haupt genannt Systemdeterminante(I), ∆ ich erhält man aus der Determinante Δ durch Ersetzen ich-te Spalte zur Spalte der freien Mitglieder des Systems (I). Beispiel: Lösen Sie das System nach Cramers Methode: Durch Formeln (3)
Wir berechnen die Determinanten des Systems: Um die Determinante zu erhalten, haben wir die erste Spalte in der Determinante durch eine Spalte mit freien Elementen ersetzt; indem wir die 2. Spalte in der Determinante durch eine Spalte mit freien Elementen ersetzen, erhalten wir ; In ähnlicher Weise erhalten wir, wenn wir die dritte Spalte in der Determinante durch eine Spalte mit freien Elementen ersetzen, . Systemlösung: Lösen von linearen Gleichungssystemen mit einer inversen Matrix. Einlasssystem (I) (siehe §1) m=n und die Hauptmatrix des Systems ist nicht entartet. Wir schreiben System (I) in Matrixform ( siehe §2): da Matrix EIN nicht ausgeartet ist, dann hat sie eine inverse Matrix ( siehe Theorem 1 §6 von Kapitel 1). Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung (2)
dann zur Matrix Per Definition der inversen Matrix . Von der Gleichberechtigung (3)
wir haben Lösen Sie das System mit der inversen Matrix Bezeichnen Im Beispiel (§ 3) haben wir die Determinante berechnet, also die Matrix EIN hat eine inverse Matrix. Dann in Kraft (4)
, d.h. Finden Sie die Matrix ( siehe §6 Kapitel 1) Gauss-Methode. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem: Es ist erforderlich, alle Lösungen des Systems (I) zu finden oder sicherzustellen, dass das System inkonsistent ist. Bestimmung 1.Nennen wir die elementare Transformation des Systems(I) eine der drei Aktionen: 1) Streichung der Nullgleichung; 2) Hinzufügen der entsprechenden Teile der anderen Gleichung zu beiden Teilen der Gleichung, multipliziert mit der Zahl l; 3) Vertauschen von Termen in den Gleichungen des Systems, so dass Unbekannte mit denselben Zahlen in allen Gleichungen dieselben Stellen einnehmen, d.h. Wenn wir zum Beispiel in der 1. Gleichung den 2. und 3. Term geändert haben, dann muss das gleiche in allen Gleichungen des Systems gemacht werden. Das Gauss-Verfahren besteht darin, dass das System (I) mit Hilfe elementarer Transformationen auf ein äquivalentes System reduziert wird, dessen Lösung direkt gefunden oder dessen Unlösbarkeit festgestellt wird. Wie in §2 beschrieben, ist System (I) eindeutig durch seine erweiterte Matrix bestimmt, und jede elementare Transformation von System (I) entspricht einer elementaren Transformation der erweiterten Matrix: Transformation 1) entspricht dem Löschen der Null-Zeile in der Matrix , Transformation 2) ist äquivalent dem Hinzufügen der anderen Zeile der Matrix zu der entsprechenden Zeile der Matrix, multipliziert mit der Zahl l, Transformation 3) ist äquivalent dem Neuanordnen der Spalten in der Matrix . Es ist leicht einzusehen, dass im Gegenteil jeder elementaren Transformation der Matrix eine elementare Transformation des Systems (I) entspricht. Im Hinblick auf das Gesagte werden wir anstelle von Operationen mit dem System (I) mit der erweiterten Matrix dieses Systems arbeiten. In der Matrix besteht die 1. Spalte aus Koeffizienten bei x 1, 2. Spalte - von den Koeffizienten bei x 2 usw. Bei der Umordnung von Spalten ist zu berücksichtigen, dass diese Bedingung verletzt wird. Wenn wir zum Beispiel die 1. und 2. Spalte vertauschen, dann gibt es jetzt in der 1. Spalte Koeffizienten bei x 2, und in der 2. Spalte - Koeffizienten bei x 1. Wir werden das System (I) nach der Gauß-Methode lösen. 1. Streiche alle Nullzeilen in der Matrix, falls vorhanden (d. h. streiche alle Nullgleichungen im System (I). 2. Prüfen Sie, ob es unter den Zeilen der Matrix eine Zeile gibt, in der alle Elemente außer dem letzten gleich Null sind (nennen wir eine solche Zeile inkonsistent). Offensichtlich entspricht eine solche Linie einer inkonsistenten Gleichung in System (I), daher hat System (I) keine Lösungen, und hier endet der Prozess. 3. Die Matrix möge keine inkonsistenten Zeilen enthalten (System (I) enthält keine inkonsistenten Gleichungen). Wenn ein a 11 = 0, dann finden wir in der 1. Zeile ein Element (außer dem letzten), das von Null verschieden ist, und ordnen die Spalten so an, dass in der 1. Zeile keine Null an erster Stelle steht. Das nehmen wir jetzt an (d.h. wir vertauschen die entsprechenden Terme in den Gleichungen des Systems (I)). 4. Multiplizieren Sie die 1. Reihe mit und addieren Sie das Ergebnis zur 2. Reihe, dann multiplizieren Sie die 1. Reihe mit und addieren Sie das Ergebnis zur 3. Reihe usw. Offensichtlich ist dieser Prozess gleichbedeutend mit der Eliminierung des Unbekannten x 1 aus allen Gleichungen des Systems (I), außer der 1. In der neuen Matrix erhalten wir Nullen in der 1. Spalte unter dem Element eine 11: 5. Streichen Sie alle Nullzeilen in der Matrix, falls vorhanden, prüfen Sie, ob es eine inkonsistente Zeile gibt (wenn es eine gibt, dann ist das System inkonsistent und die Lösung ist abgeschlossen). Lassen Sie uns prüfen, ob a 22 / =0, wenn ja, dann finden wir in der 2. Zeile ein von Null verschiedenes Element und ordnen die Spalten so um, dass . Als nächstes multiplizieren wir die Elemente der 2. Reihe mit Die durchgeführten Handlungen sind gleichbedeutend mit der Beseitigung des Unbekannten x 2 aus allen Gleichungen des Systems (I), außer der 1. und 2. Da die Anzahl der Zeilen endlich ist, erhalten wir nach einer endlichen Anzahl von Schritten, dass entweder das System inkonsistent ist oder wir am Ende eine Schrittmatrix ( siehe Definition 2 §7 Kapitel 1) : Schreiben wir das der Matrix entsprechende Gleichungssystem auf. Dieses System entspricht dem System (I) Aus der letzten Gleichung drücken wir aus; wir setzen in die vorherige Gleichung ein, finden usw., bis wir erhalten. Bemerkung 1. Wenn wir also das System (I) nach dem Gauß-Verfahren lösen, gelangen wir zu einem der folgenden Fälle. 1. System (I) ist inkonsistent. 2. System (I) hat eine eindeutige Lösung, wenn die Anzahl der Zeilen in der Matrix gleich der Anzahl der Unbekannten ist (). 3. System (I) hat unendlich viele Lösungen, wenn die Anzahl der Zeilen in der Matrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten (). Daher gilt der folgende Satz. Satz. Das lineare Gleichungssystem ist entweder inkonsistent oder hat eine eindeutige Lösung, oder es gibt eine unendliche Menge von Lösungen. Beispiele. Lösen Sie das Gleichungssystem nach dem Gauß-Verfahren oder beweisen Sie seine Widersprüchlichkeit: b) a) Schreiben wir das gegebene System um in die Form: Wir haben die 1. und 2. Gleichung des ursprünglichen Systems vertauscht, um die Berechnungen zu vereinfachen (statt mit Brüchen werden wir mit einer solchen Permutation nur mit ganzen Zahlen operieren). Wir erstellen eine erweiterte Matrix: Es gibt keine Nullzeilen; keine inkompatiblen Zeilen, ; wir schließen die 1. Unbekannte aus allen Gleichungen des Systems außer der 1. aus. Dazu multiplizieren wir die Elemente der 1. Reihe der Matrix mit „-2“ und addieren sie zu den entsprechenden Elementen der 2. Reihe, was gleichbedeutend damit ist, die 1. Gleichung mit „-2“ zu multiplizieren und zu addieren 2. Gleichung. Dann multiplizieren wir die Elemente der 1. Reihe mit „-3“ und addieren sie zu den entsprechenden Elementen der dritten Reihe, also multipliziere die 2. Gleichung des gegebenen Systems mit "-3" und addiere es zur 3. Gleichung. Werden Die Matrix entspricht einem Gleichungssystem). - (siehe Definition 3 § 7 von Kapitel 1). Ein Sonderfall ist die Inverse-Matrix-Methode Matrixgleichung Lösen Sie das System mit der Matrixmethode Entscheidung: Wir schreiben das System in Matrixform Wir finden die Lösung des Systems durch die Formel (siehe letzte Formel) Wir finden die inverse Matrix durch die Formel: Befassen wir uns zunächst mit der Determinante: Hier wird die Determinante um die erste Zeile erweitert. Beachtung! Wenn, dann existiert die inverse Matrix nicht, und es ist unmöglich, das System mit der Matrixmethode zu lösen. In diesem Fall wird das System durch die Methode der Elimination von Unbekannten (Gauß-Methode) gelöst. Jetzt müssen Sie 9 Minoren berechnen und in die Minorenmatrix eintragen Referenz: Es ist nützlich, die Bedeutung doppelter Indizes in der linearen Algebra zu kennen. Die erste Ziffer ist die Zeilennummer, in der sich das Element befindet. Die zweite Ziffer ist die Nummer der Spalte, in der sich das Element befindet: Im Laufe des Lösens ist es besser, die Berechnung von Minderjährigen detailliert zu beschreiben, obwohl sie mit einer gewissen Erfahrung angepasst werden können, um mündlich mit Fehlern zu zählen. Die Reihenfolge der Berechnung der Minderjährigen ist absolut nicht wichtig, hier habe ich sie von links nach rechts Zeile für Zeile berechnet. Es war möglich, Minderjährige nach Spalten zu berechnen (das ist noch bequemer). Auf diese Weise: ist die Matrix der algebraischen Additionen. ist die transponierte Matrix algebraischer Additionen. Ich wiederhole, die Schritte, die wir ausgeführt haben, wurden in der Lektion ausführlich analysiert. Wie findet man die inverse Matrix? Jetzt schreiben wir die inverse Matrix: In keinem Fall werden wir in die Matrix eingetragen, dies wird weitere Berechnungen ernsthaft erschweren. Die Division müsste durchgeführt werden, wenn alle Zahlen in der Matrix ohne Rest durch 60 teilbar wären. In diesem Fall ist es jedoch sehr wichtig, der Matrix ein Minus hinzuzufügen, im Gegenteil, es vereinfacht weitere Berechnungen. Es bleibt die Matrixmultiplikation durchzuführen. In der Lektion lernen Sie, wie man Matrizen multipliziert Aktionen mit Matrizen. Übrigens gibt es genau das gleiche Beispiel. Beachten Sie, dass die Division durch 60 durchgeführt wird letzte. Antworten: Beispiel 12 Lösen Sie das System mit der inversen Matrix. Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung (Abschlussprobe und Antwort am Ende der Lektion). Der universellste Weg, das System zu lösen, ist Methode zur Elimination von Unbekannten (Gauß-Methode). Es ist nicht so einfach, den Algorithmus auf zugängliche Weise zu erklären, aber ich habe es versucht!. Wünsch dir Glück! Antworten: Beispiel 3:
Beispiel 6:
Beispiel 8:
,
. Sie können eine Beispiellösung für dieses Beispiel anzeigen oder herunterladen (Link unten). Beispiele 10, 12: Wir betrachten weiterhin lineare Gleichungssysteme. Diese Lektion ist die dritte zu diesem Thema. Wenn Sie eine vage Vorstellung davon haben, was ein lineares Gleichungssystem im Allgemeinen ist, Sie sich wie eine Teekanne fühlen, dann empfehle ich, mit den Grundlagen auf der Seite zu beginnen. Als nächstes ist es nützlich, die Lektion zu studieren. Gauß-Methode ist einfach! Wieso den? Der berühmte deutsche Mathematiker Johann Carl Friedrich Gauß erhielt zu Lebzeiten Anerkennung als der größte Mathematiker aller Zeiten, ein Genie und sogar den Spitznamen „König der Mathematik“. Und alles Geniale ist bekanntlich einfach!Übrigens kommen nicht nur Trottel, sondern auch Genies ins Geld - das Porträt von Gauß prangte auf einem 10-D-Mark-Schein (vor der Einführung des Euro), und Gauß lächelt die Deutschen immer noch geheimnisvoll von gewöhnlichen Briefmarken an. Die Gauß-Methode ist insofern einfach, als das WISSEN EINES SCHÜLERS DER FÜNFTEN KLASSE AUSREICHT, um sie zu beherrschen. Muss addieren und multiplizieren können! Es ist kein Zufall, dass die Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten oft von Lehrern in mathematischen Wahlfächern in der Schule berücksichtigt wird. Es ist paradox, aber die Gauss-Methode bereitet den Schülern die größten Schwierigkeiten. Nichts Überraschendes - es dreht sich alles um die Methodik, und ich werde versuchen, in zugänglicher Form über den Algorithmus der Methode zu erzählen. Zunächst systematisieren wir das Wissen über lineare Gleichungssysteme ein wenig. Ein lineares Gleichungssystem kann: 1) Haben Sie eine eindeutige Lösung. Die Gauß-Methode ist das mächtigste und vielseitigste Werkzeug zur Lösungsfindung irgendein Systeme linearer Gleichungen. Wie wir uns erinnern Cramersche Regel und Matrixmethode sind ungeeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Eine Methode zur sukzessiven Eliminierung von Unbekannten auf jeden Fall führen Sie uns zur Antwort! In dieser Lektion betrachten wir erneut die Gauß-Methode für Fall Nr. 1 (die einzige Lösung des Systems), ein Artikel ist für die Situationen der Punkte Nr. 2-3 reserviert. Ich stelle fest, dass der Methodenalgorithmus selbst in allen drei Fällen auf die gleiche Weise funktioniert. Kehren wir zum einfachsten System aus der Lektion zurück Wie löst man ein lineares Gleichungssystem? Der erste Schritt ist das Schreiben Erweitertes Matrixsystem: Referenz:
Ich empfehle, sich zu erinnernBedingungen
Lineare Algebra.Systemmatrix
ist eine Matrix, die nur aus Koeffizienten für Unbekannte besteht, in diesem Beispiel die Matrix des Systems:
.
Erweiterte Systemmatrix
ist die gleiche Matrix des Systems plus eine Spalte mit freien Mitgliedern, in diesem Fall:
. Jede der Matrizen kann der Kürze halber einfach als Matrix bezeichnet werden. Nachdem das erweiterte Matrixsystem geschrieben ist, müssen einige Aktionen damit ausgeführt werden, die auch aufgerufen werden elementare Transformationen. Es gibt folgende elementare Transformationen: 1) Saiten Matrizen neu geordnet werden können setzt. In der betrachteten Matrix können Sie beispielsweise die erste und zweite Zeile sicher neu anordnen: 2) Wenn es (oder erschienen) proportionale (als Sonderfall - identische) Zeilen in der Matrix gibt, dann folgt es löschen aus der Matrix alle diese Zeilen bis auf eine. Betrachten wir zum Beispiel die Matrix 3) Wenn während der Transformationen eine Nullzeile in der Matrix auftaucht, folgt dies auch löschen. Ich werde natürlich nicht zeichnen, die Nulllinie ist die Linie, in der nur Nullen. 4) Die Zeile der Matrix kann sein multiplizieren (dividieren) für jede Zahl nicht null. Betrachten wir zum Beispiel die Matrix . Hier empfiehlt es sich, die erste Zeile durch -3 zu teilen und die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren: 5) Diese Transformation verursacht die meisten Schwierigkeiten, aber eigentlich ist es auch nichts Kompliziertes. Auf die Zeile der Matrix können Sie füge eine weitere Zeichenfolge hinzu, die mit einer Zahl multipliziert wird, von Null verschieden. Betrachten Sie unsere Matrix aus einem praktischen Beispiel: . Zuerst werde ich die Transformation sehr detailliert beschreiben. Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -2: In der Praxis malen sie natürlich nicht so ausführlich, sondern schreiben kürzer: "Ich schreibe die Matrix neu und schreibe die erste Zeile neu:" Erste Spalte zuerst. Unten muss ich Null bekommen. Deshalb multipliziere ich die obige Einheit mit -2:, und addiere die erste zur zweiten Zeile: 2 + (-2) = 0. Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile: „Nun die zweite Spalte. Über -1 mal -2: . Ich füge die erste zur zweiten Zeile hinzu: 1 + 2 = 3. Ich schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile: " „Und die dritte Spalte. Über -5 mal -2: . Ich füge die erste Zeile zur zweiten Zeile hinzu: -7 + 10 = 3. Ich schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile: Bitte denken Sie genau über dieses Beispiel nach und verstehen Sie den sequentiellen Berechnungsalgorithmus, wenn Sie dies verstehen, dann haben Sie die Gauß-Methode praktisch "in der Tasche". Aber natürlich arbeiten wir noch an dieser Transformation. Elementare Transformationen verändern die Lösung des Gleichungssystems nicht ! BEACHTUNG: als Manipulationen angesehen Kann ich nicht benutzen, wenn Ihnen eine Aufgabe angeboten wird, bei der die Matrizen "von selbst" vorgegeben sind. Zum Beispiel mit "klassisch" Matrizen auf keinen Fall sollten Sie innerhalb der Matrizen etwas umstellen! Kehren wir zu unserem System zurück. Sie ist fast fertig. Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems und reduzieren sie mit elementaren Transformationen auf gestufte Ansicht: (1) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Übrigens, warum multiplizieren wir die erste Zeile mit -2? Um unten auf Null zu kommen, bedeutet das, eine Variable in der zweiten Zeile loszuwerden. (2) Teilen Sie die zweite Reihe durch 3. Der Zweck elementarer Transformationen–
Wandeln Sie die Matrix in Stufenform um: Als Ergebnis elementarer Transformationen haben wir erhalten gleichwertig ursprüngliches Gleichungssystem: Nun muss das System in die entgegengesetzte Richtung „aufgedreht“ werden – von unten nach oben heißt dieser Vorgang Reverse-Gauß-Methode. In der unteren Gleichung haben wir bereits das fertige Ergebnis: . Betrachten Sie die erste Gleichung des Systems und setzen Sie den bereits bekannten Wert von „y“ ein: Betrachten wir die häufigste Situation, wenn die Gaußsche Methode erforderlich ist, um ein System von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten zu lösen. Beispiel 1 Lösen Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode: Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems: Jetzt zeichne ich gleich das Ergebnis, zu dem wir im Laufe der Lösung kommen werden: Sehen Sie sich zuerst die Nummer oben links an: Jetzt bleibt die erste Zeile bis zum Ende der Lösung unverändert. Jetzt gut. Die Einheit oben links ist organisiert. Jetzt müssen Sie an diesen Stellen Nullen erhalten: Nullstellen erhält man nur mit Hilfe einer "schwierigen" Transformation. Zunächst beschäftigen wir uns mit der zweiten Zeile (2, -1, 3, 13). Was muss getan werden, um Null an der ersten Position zu erhalten? Brauchen zur zweiten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -2. In Gedanken oder auf einem Entwurf multiplizieren wir die erste Zeile mit -2: (-2, -4, 2, -18). Und wir führen konsequent (wieder gedanklich oder auf einem Entwurf) hinzu, Zur zweiten Zeile fügen wir die erste Zeile hinzu, die bereits mit -2 multipliziert ist: Das Ergebnis steht in der zweiten Zeile: Ähnlich behandeln wir die dritte Zeile (3, 2, -5, -1). Um Null an der ersten Position zu erhalten, müssen Sie zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -3. In Gedanken oder auf einem Entwurf multiplizieren wir die erste Zeile mit -3: (-3, -6, 3, -27). Und zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit -3: Das Ergebnis steht in der dritten Zeile: In der Praxis werden diese Handlungen meist mündlich ausgeführt und in einem Schritt niedergeschrieben: Sie müssen nicht alles auf einmal und gleichzeitig zählen. Die Reihenfolge der Berechnungen und das "Einfügen" der Ergebnisse konsistent und normalerweise so: zuerst schreiben wir die erste zeile um, und pusten uns leise - KONSEQUENT und AUFMERKSAM: In diesem Beispiel geht das ganz einfach, wir teilen die zweite Zeile durch -5 (da dort alle Zahlen ohne Rest durch 5 teilbar sind). Gleichzeitig teilen wir die dritte Zeile durch -2, denn je kleiner die Zahl, desto einfacher die Lösung: In der Endphase der elementaren Transformationen muss hier noch eine Null erhalten werden: Dafür zur dritten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -2: Die letzte durchgeführte Aktion ist die Frisur des Ergebnisses, teilen Sie die dritte Zeile durch 3. Als Ergebnis elementarer Transformationen wurde ein äquivalentes anfängliches lineares Gleichungssystem erhalten: Nun kommt der umgekehrte Verlauf der Gaußschen Methode ins Spiel. Die Gleichungen "wickeln" sich von unten nach oben ab. In der dritten Gleichung haben wir bereits das fertige Ergebnis: Schauen wir uns die zweite Gleichung an: . Die Bedeutung von "z" ist bereits bekannt, also: Und schließlich die erste Gleichung: . „Y“ und „Z“ sind bekannt, die Sache ist klein: Antworten: Wie schon mehrfach angemerkt wurde, ist es für jedes Gleichungssystem möglich und notwendig, die gefundene Lösung zu überprüfen, glücklicherweise ist dies nicht schwierig und schnell. Beispiel 2 Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung, eine Probe für die Fertigstellung und eine Antwort am Ende der Lektion. Es ist zu beachten, dass Ihre Vorgehensweise kann nicht mit meiner Vorgehensweise übereinstimmen, und dies ist ein Merkmal der Gauß-Methode. Aber die Antworten müssen die gleichen sein! Beispiel 3 Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform: Wir betrachten die obere linke "Stufe". Da sollten wir eine Einheit haben. Das Problem ist, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einsen gibt, also kann nichts durch Umordnen der Zeilen gelöst werden. In solchen Fällen muss die Einheit durch eine elementare Transformation organisiert werden. Dies kann in der Regel auf mehrere Arten erfolgen. Ich habe das gemacht: (1) Zur ersten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -1. Das heißt, wir haben die zweite Zeile gedanklich mit -1 multipliziert und die Addition der ersten und zweiten Zeile durchgeführt, während sich die zweite Zeile nicht geändert hat. Jetzt oben links -1, was uns gut passt. Wer +1 erhalten möchte, kann eine zusätzliche Geste ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -1 (ändern Sie ihr Vorzeichen). (2) Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile addiert. (3) Die erste Zeile wurde mit -1 multipliziert, im Prinzip steht dies für Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, somit hatten wir auf der zweiten „Stufe“ die gewünschte Einheit. (4) Die zweite Zeile multipliziert mit 2 wurde zur dritten Zeile hinzugefügt. (5) Die dritte Reihe wurde durch 3 geteilt. Ein schlechtes Zeichen, das auf einen Rechenfehler hinweist (seltener ein Tippfehler), ist ein „schlechtes“ Endergebnis. Das heißt, wenn wir etwas wie unten haben und dementsprechend Wir berechnen den umgekehrten Zug, bei der Gestaltung von Beispielen wird das System selbst oft nicht umgeschrieben, und die Gleichungen werden „direkt aus der gegebenen Matrix entnommen“. Ich erinnere Sie daran, dass die umgekehrte Bewegung von unten nach oben funktioniert: Antworten: Beispiel 4 Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung, es ist etwas komplizierter. Es ist in Ordnung, wenn jemand verwirrt ist. Vollständige Lösung und Designbeispiel am Ende der Lektion. Ihre Lösung kann von meiner abweichen. Im letzten Teil betrachten wir einige Merkmale des Gauß-Algorithmus. Das zweite Merkmal ist folgendes. In allen betrachteten Beispielen haben wir entweder –1 oder +1 auf die „Stufen“ gesetzt. Könnte es andere Nummern geben? In einigen Fällen können sie. Betrachten Sie das System: Hier auf der oberen linken "Stufe" haben wir eine Zwei. Aber wir bemerken, dass alle Zahlen in der ersten Spalte ohne Rest durch 2 teilbar sind - und noch durch zwei und sechs. Und die Zwei oben links wird uns passen! Im ersten Schritt müssen Sie die folgenden Transformationen durchführen: Fügen Sie die erste Zeile multipliziert mit -1 zur zweiten Zeile hinzu; zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -3. So erhalten wir die gewünschten Nullen in der ersten Spalte. Oder ein anderes hypothetisches Beispiel: Die Gauß-Methode ist universell, aber es gibt eine Besonderheit. Das Lösen von Systemen mit anderen Methoden (Cramers Methode, Matrixmethode) kann man buchstäblich vom ersten Mal an souverän lernen – es gibt einen sehr starren Algorithmus. Aber um sich in der Gauß-Methode sicher zu fühlen, sollten Sie „Ihre Hand füllen“ und mindestens 5-10 Zehnersysteme lösen. Daher kann es zunächst zu Verwirrung und Berechnungsfehlern kommen, und daran ist nichts Ungewöhnliches oder Tragisches. Regnerisches Herbstwetter vor dem Fenster .... Daher für alle ein komplexeres Beispiel für eine eigenständige Lösung: Beispiel 5 Lösen Sie ein System von 4 linearen Gleichungen mit vier Unbekannten mit der Gauß-Methode. Eine solche Aufgabe ist in der Praxis gar nicht so selten. Ich denke, dass selbst eine Teekanne, die diese Seite ausführlich studiert hat, den Algorithmus zur Lösung eines solchen Systems intuitiv versteht. Im Grunde dasselbe – nur mehr Action. In der Lektion werden die Fälle betrachtet, in denen das System keine Lösungen hat (inkonsistent) oder unendlich viele Lösungen hat. Inkompatible Systeme und Systeme mit einer gemeinsamen Lösung. Dort können Sie den betrachteten Algorithmus der Gauß-Methode festlegen. Wünsch dir Glück! Lösungen und Antworten: Beispiel 2: Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mit Hilfe elementarer Transformationen auf die Stufenform. Rückwärtsbewegung:
Beispiel 4: Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform: Durchgeführte Konvertierungen: Beim zweiten „Schritt“ wird alles noch schlimmer
, die "Kandidaten" dafür sind die Nummern 17 und 23, und wir brauchen entweder eins oder -1. Die Transformationen (3) und (4) zielen darauf ab, die gewünschte Einheit zu erhalten (3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit -1.
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Existenzbedingungssatz der inversen Matrix
Algorithmus zum Finden der inversen Matrix
Beispiel 1 
Lösung von Matrixgleichungen
Matrixmethode in der Wirtschaftsanalyse
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, d.h.
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,
,
. .
. (5)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
. (ICH) .
.
und addiere mit den entsprechenden Elementen der 3. Reihe, dann - die Elemente der 2. Reihe an und addiere mit den entsprechenden Elementen der 4. Reihe, usw., bis wir Nullen darunter bekommen a 22 /
.
,
.
;
.
.
.
, wo ist die transponierte Matrix der algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix .
Das heißt, ein doppelter Index gibt an, dass sich das Element in der ersten Zeile, dritten Spalte befindet, während sich das Element beispielsweise in der 3. Zeile, 2. Spalte befindet
ist die Matrix der Minderjährigen der entsprechenden Elemente der Matrix .
Manchmal ist es möglicherweise nicht vollständig geteilt, d.h. kann "schlechte" Brüche bekommen. Was in solchen Fällen zu tun ist, habe ich bereits gesagt, als wir Cramers Regel analysierten.
2) Unendlich viele Lösungen haben.
3) Habe keine Lösungen (be unvereinbar).
und löse es mit der Gaußschen Methode.
. Nach welchem Prinzip die Koeffizienten aufgezeichnet werden, kann jeder sehen, denke ich. Die vertikale Linie innerhalb der Matrix hat keine mathematische Bedeutung – sie ist nur ein Durchstrich zur einfacheren Gestaltung.
. In dieser Matrix sind die letzten drei Zeilen proportional, daher reicht es aus, nur eine davon zu belassen: 
.
. Diese Aktion ist sehr nützlich, da sie weitere Transformationen der Matrix vereinfacht.
, und zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit -2: . Jetzt kann die erste Zeile durch -2 "zurück" geteilt werden: . Wie Sie sehen können, ist die Zeile HINZUGEFÜGT LI – hat sich nicht geändert. Stets die Zeile wird geändert, ZU DENEN HINZUGEFÜGT UT.
Noch einmal: zur zweiten Zeile fügte die erste Zeile multipliziert mit -2 hinzu. Die Linie wird normalerweise mündlich oder auf einem Entwurf multipliziert, während der mentale Ablauf der Berechnungen ungefähr so ist:
» »
. Bei der Gestaltung der Aufgabe zeichnen sie die „Leiter“ direkt mit einem einfachen Bleistift und kreisen auch die Zahlen ein, die sich auf den „Stufen“ befinden. Der Begriff „Stepped View“ selbst ist nicht ganz theoretisch; in der wissenschaftlichen und pädagogischen Literatur wird er oft genannt trapezförmige Ansicht oder dreieckige Ansicht.
Und ich wiederhole, unser Ziel ist es, die Matrix durch elementare Transformationen in eine Stufenform zu bringen. Wo anfangen zu handeln?
Sollte fast immer hier sein Einheit. Im Allgemeinen passt auch -1 (und manchmal andere Zahlen), aber irgendwie ist es traditionell vorgekommen, dass eine Einheit normalerweise dort platziert wird. Wie organisiere ich eine Einheit? Wir schauen uns die erste Spalte an - wir haben eine fertige Einheit! Transformation eins: Vertausche die erste und dritte Zeile: 
Und den gedanklichen Ablauf der Berechnungen selbst habe ich oben schon betrachtet.
Versuchen Sie, diese Aktion selbst zu analysieren - multiplizieren Sie die zweite Zeile gedanklich mit -2 und führen Sie die Addition durch.
Cool.
, dann kann mit hoher Wahrscheinlichkeit argumentiert werden, dass bei elementaren Transformationen ein Fehler gemacht wurde.
Ja, hier ist ein Geschenk: 
.
Das erste Merkmal ist, dass manchmal einige Variablen in den Gleichungen des Systems fehlen, zum Beispiel: 
Wie schreibe ich die erweiterte Matrix des Systems richtig? Über diesen Moment habe ich bereits im Unterricht gesprochen. Cramersche Regel. Matrix-Methode. In der erweiterten Matrix des Systems setzen wir Nullen anstelle der fehlenden Variablen: 
Übrigens ist dies ein ziemlich einfaches Beispiel, da in der ersten Spalte bereits eine Null steht und weniger elementare Transformationen durchgeführt werden müssen. .
. Hier passt uns auch das Tripel auf der zweiten „Sprosse“, da 12 (die Stelle, an der wir die Null bekommen müssen) ohne Rest durch 3 teilbar ist. Es ist notwendig, die folgende Transformation durchzuführen: Fügen Sie der dritten Zeile die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit -4, wodurch die benötigte Null erhalten wird.
Durchgeführte elementare Transformationen:
(1) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit -1.Beachtung!
Hier mag es verlockend sein, die erste von der dritten Zeile abzuziehen, ich rate dringend davon ab - das Fehlerrisiko steigt stark an. Wir folden einfach!
(2) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit -1). Die zweite und dritte Zeile wurden vertauscht.beachten Sie
dass wir uns auf den „Stufen“ nicht nur mit einem zufrieden geben, sondern auch mit -1, was noch bequemer ist.
(3) Zur dritten Zeile addieren Sie die zweite Zeile, multipliziert mit 5.
(4) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit -1). Die dritte Zeile wurde durch 14 geteilt.
Antworten: 
.
(1) Die zweite Zeile wurde der ersten Zeile hinzugefügt. Somit wird die gewünschte Einheit auf der oberen linken „Stufe“ organisiert.
(2) Die erste Zeile multipliziert mit 7 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 6 wurde zur dritten Zeile addiert.
(4) Die dritte Zeile, multipliziert mit -3, wurde zur zweiten Zeile hinzugefügt.
Das Notwendige im zweiten Schritt wird empfangen
.
(5) Zur dritten Zeile wird die zweite addiert, multipliziert mit 6.
(6) Die zweite Reihe wurde mit -1 multipliziert, die dritte Reihe wurde durch -83 dividiert..Offensichtlich ist die Ebene durch drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, eindeutig bestimmt. Daher sind Drei-Buchstaben-Bezeichnungen von Flugzeugen sehr beliebt - zum Beispiel nach den zu ihnen gehörenden Punkten; .Wenn kostenlose Mitglieder
