Lösung modularer Gleichungen online. Gleichungen im Internet

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, Konstruktionen und sogar im Sport verwendet. Gleichungen werden seit der Antike vom Menschen verwendet, und seitdem hat ihre Verwendung nur zugenommen. Potenz- oder Exponentialgleichungen werden Gleichungen genannt, bei denen die Variablen Potenzen sind und die Basis eine Zahl ist. Zum Beispiel:

Das Lösen der Exponentialgleichung läuft auf 2 ziemlich einfache Schritte hinaus:

1. Es ist zu prüfen, ob die Basen der Gleichung rechts und links gleich sind. Wenn die Basen nicht gleich sind, suchen wir nach Möglichkeiten, dieses Beispiel zu lösen.

2. Nachdem die Basen gleich geworden sind, setzen wir die Grade gleich und lösen die resultierende neue Gleichung.

Angenommen, wir haben eine Exponentialgleichung der folgenden Form:

Lösung starten gegebene Gleichung steht mit einer Analyse der Gründe. Die Basen sind unterschiedlich - 2 und 4, und für die Lösung müssen sie gleich sein, also wandeln wir 4 nach der folgenden Formel um - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Ergänze zur ursprünglichen Gleichung:

Lassen Sie uns die Klammern entfernen \

Ausdrücken \

Da die Grade gleich sind, verwerfen wir sie:

Antworten: \

Wo kann ich eine Exponentialgleichung online mit einem Solver lösen?

Sie können die Gleichung auf unserer Website https: // site. Kostenlos Online-Löser ermöglicht es Ihnen, eine beliebig komplexe Gleichung in Sekundenschnelle online zu lösen. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Solver eingeben. Sie können sich auch die Videoanleitung ansehen und lernen, wie Sie die Gleichung auf unserer Website lösen. Und wenn Sie Fragen haben, können Sie diese in unserer Vkontakte-Gruppe http://vk.com/pocketteacher stellen. Treten Sie unserer Gruppe bei, wir helfen Ihnen gerne weiter.

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Die Lösung jeder Art von Gleichungen online auf der Website, um das von Studenten und Schülern gelernte Material zu konsolidieren. Gleichungen im Internet. Es gibt algebraische, parametrische, transzendente, funktionale, Differentialgleichungen und andere Arten von Gleichungen Einige Klassen von Gleichungen haben analytische Lösungen, die praktisch sind, da sie nicht nur geben genauer Wert root und ermöglichen es Ihnen, die Lösung in Form einer Formel zu schreiben, die Parameter enthalten kann. Analytische Ausdrücke ermöglichen nicht nur die Berechnung der Wurzeln, sondern auch die Analyse ihrer Existenz und ihrer Anzahl in Abhängigkeit von den Werten der Parameter, was oft noch wichtiger ist praktische Anwendung als bestimmte Wurzelwerte. Gleichungen online lösen Gleichungen online. Die Lösung der Gleichung ist die Aufgabe, solche Werte der Argumente zu finden, für die diese Gleichheit erreicht wird. Den möglichen Werten der Argumente können zusätzliche Bedingungen (Integer, Real usw.) auferlegt werden. Gleichungen online lösen Gleichungen online. Sie können die Gleichung online sofort und mit hoher Genauigkeit des Ergebnisses lösen. Die Argumente der gegebenen Funktionen (manchmal auch "Variablen" genannt) im Fall einer Gleichung werden als "Unbekannte" bezeichnet. Die Werte der Unbekannten, für die diese Gleichheit erreicht wird, heißen Lösungen oder Wurzeln der gegebenen Gleichung. Wurzeln sollen eine gegebene Gleichung erfüllen. Das Online-Lösen einer Gleichung bedeutet, die Menge aller ihrer Lösungen (Wurzeln) zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt. Gleichungen online lösen Gleichungen online. Äquivalent oder Äquivalent werden Gleichungen genannt, deren Wurzelsätze zusammenfallen. Äquivalent werden auch Gleichungen betrachtet, die keine Wurzeln haben. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Symmetrie: Wenn eine Gleichung mit einer anderen äquivalent ist, dann ist die zweite Gleichung mit der ersten äquivalent. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Transitivität: Wenn eine Gleichung mit einer anderen äquivalent ist und die zweite mit der dritten, dann ist die erste Gleichung mit der dritten äquivalent. Die Äquivalenzeigenschaft von Gleichungen ermöglicht es, mit ihnen Transformationen durchzuführen, auf denen die Methoden zu ihrer Lösung beruhen. Gleichungen online lösen Gleichungen online. Auf der Website können Sie die Gleichung online lösen. Zu den Gleichungen, für die analytische Lösungen bekannt sind, gehören algebraische Gleichungen nicht höher als vierten Grades: Lineargleichung, quadratische Gleichung, kubische Gleichung und Gleichung vierten Grades. Algebraische Gleichungen höhere Abschlüsse in Allgemeiner Fall Sie haben keine analytische Lösung, obwohl einige von ihnen auf Gleichungen niedrigeren Grades reduziert werden können. Gleichungen, die transzendente Funktionen enthalten, werden transzendental genannt. Darunter sind für einige analytische Lösungen bekannt trigonometrische Gleichungen, da die Nullen trigonometrische Funktionen sehr bekannt. Im allgemeinen Fall, wenn keine analytische Lösung gefunden werden kann, werden numerische Methoden verwendet. Numerische Verfahren liefern keine exakte Lösung, sondern erlauben nur das Eingrenzen des Intervalls, in dem die Wurzel liegt, auf einen bestimmten vorgegebenen Wert. Gleichungen online lösen.. Online-Gleichungen.. Anstelle einer Online-Gleichung zeigen wir, wie derselbe Ausdruck eine lineare Abhängigkeit bildet, und zwar nicht nur entlang einer geraden Tangente, sondern auch genau am Wendepunkt des Graphen. Diese Methode ist beim Studium des Faches jederzeit unentbehrlich. Es kommt oft vor, dass sich die Lösung von Gleichungen dem Endwert annähert endlose Zahlen und Schreiben von Vektoren. Es ist notwendig, die Ausgangsdaten zu überprüfen, und dies ist der Kern der Aufgabe. Andernfalls wird die lokale Bedingung in eine Formel umgewandelt. Geradeninversion von gegebene Funktion, die der Gleichungsrechner ohne große Verzögerung in der Ausführung berechnet, dient das Raumprivileg als Netz. Es geht um studentische Leistungen in einem wissenschaftlichen Umfeld. Wie alle oben genannten Punkte hilft es uns jedoch beim Finden, und wenn Sie die Gleichung vollständig gelöst haben, speichern Sie die Antwort an den Enden des geraden Liniensegments. Linien im Raum schneiden sich an einem Punkt, und dieser Punkt wird von Linien geschnitten genannt. Das Intervall auf der Linie ist wie zuvor angegeben markiert. Der höchste Posten zum Studium der Mathematik wird veröffentlicht. Das Zuweisen eines Argumentwerts aus einer parametrisch definierten Oberfläche und das Online-Lösen einer Gleichung können die Prinzipien eines produktiven Funktionsaufrufs aufzeigen. Das Möbiusband, oder wie es Unendlichkeit genannt wird, sieht aus wie eine Acht. Dies ist eine einseitige Oberfläche, keine zweiseitige. Nach dem allseits bekannten Prinzip werden wir lineare Gleichungen als Grundbezeichnung objektiv so akzeptieren, wie sie im Fachgebiet sind. Nur zwei Werte von nacheinander gegebenen Argumenten können die Richtung des Vektors offenbaren. Anzunehmen, dass eine andere Lösung der Online-Gleichungen viel mehr ist, als nur sie zu lösen, bedeutet, eine vollwertige Version der Invariante am Ausgang zu erhalten. Ohne einen integrierten Ansatz ist es für die Schüler schwierig, dieses Material zu lernen. Dennoch für jeden besonderen Anlass unser günstiges u intelligenter Rechner Online-Gleichungen helfen jedem in einem schwierigen Moment, da Sie nur die Eingabeparameter angeben müssen und das System die Antwort selbst berechnet. Bevor wir mit der Dateneingabe beginnen, benötigen wir ein Eingabetool, was ohne große Schwierigkeiten möglich ist. Die Zahl jeder Antwortpunktzahl wird eine quadratische Gleichung sein, die zu unseren Schlussfolgerungen führt, aber das ist nicht so einfach, weil es leicht ist, das Gegenteil zu beweisen. Die Theorie wird aufgrund ihrer Besonderheiten nicht durch praktisches Wissen gestützt. Einen Bruchrechner in der Phase der Veröffentlichung einer Antwort zu sehen, ist in der Mathematik keine leichte Aufgabe, da die Alternative, eine Zahl in eine Menge zu schreiben, das Wachstum der Funktion erhöht. Es wäre jedoch falsch, nichts über die Ausbildung der Schüler zu sagen, also werden wir jeden so viel wie nötig zum Ausdruck bringen. Die zuvor gefundene kubische Gleichung gehört zu Recht in den Definitionsbereich und enthält den Raum numerischer Werte sowie symbolischer Variablen. Nachdem sie den Satz gelernt oder auswendig gelernt haben, werden sich unsere Schüler nur mit beweisen bessere Seite und wir werden uns für sie freuen. Im Gegensatz zu den Schnittmengen von Feldern werden unsere Online-Gleichungen durch eine Bewegungsebene entlang der Multiplikation von zwei und drei numerischen kombinierten Linien beschrieben. Eine Menge in der Mathematik ist nicht eindeutig definiert. Die beste Lösung, so die Schüler, ist der zu Ende geführte schriftliche Ausdruck. Wie gesagt Wissenschaftliche Sprache, die Abstraktion von symbolischen Ausdrücken gehört nicht zum Stand der Dinge, aber die Lösung von Gleichungen liefert in allen bekannten Fällen ein eindeutiges Ergebnis. Die Dauer der Lehrersitzung richtet sich nach den Bedürfnissen in diesem Angebot. Die Analyse zeigte die Notwendigkeit aller Rechentechniken in vielen Bereichen, und es ist absolut klar, dass der Gleichungsrechner ein unverzichtbares Werkzeug in den begabten Händen eines Studenten ist. Eine loyale Herangehensweise an das Studium der Mathematik bestimmt die Bedeutung von Ansichten unterschiedlicher Richtungen. Sie wollen einen der Schlüsselsätze benennen und die Gleichung so lösen, je nach deren Antwort ein weiterer Bedarf für ihre Anwendung besteht. Analytik in diesem Bereich gewinnt an Bedeutung. Beginnen wir von vorne und leiten die Formel ab. Nach dem Durchbrechen des Anstiegsniveaus der Funktion führt die Tangentenlinie am Wendepunkt zwangsläufig dazu, dass das Online-Lösen der Gleichung einer der Hauptaspekte beim Erstellen desselben Graphen aus dem Funktionsargument sein wird. Der Amateuransatz hat das Recht, angewendet zu werden, wenn diese Bedingung nicht den Schlussfolgerungen der Schüler widerspricht. Genau diese Teilaufgabe beinhaltet die Analyse mathematischer Bedingungen als lineare Gleichungen bestehenden Bereich Objektdefinitionen. Eine Verschiebung in Richtung der Orthogonalität hebt den Vorteil eines einsamen Absolutwerts auf. Modulo, Online-Gleichungen lösen, ergibt die gleiche Anzahl von Lösungen, wenn Sie die Klammern zuerst mit einem Pluszeichen und dann mit einem Minuszeichen öffnen. In diesem Fall gibt es doppelt so viele Lösungen und das Ergebnis wird genauer. Ein stabiler und korrekter Online-Gleichungsrechner ist ein Erfolg, um das beabsichtigte Ziel in der vom Lehrer gestellten Aufgabe zu erreichen. Aufgrund der erheblichen Unterschiede in den Ansichten großer Wissenschaftler scheint es möglich, die notwendige Methode zu wählen. Die resultierende quadratische Gleichung beschreibt den Verlauf der Geraden, die sogenannte Parabel, und das Vorzeichen bestimmt ihre Konvexität im quadratischen Koordinatensystem. Aus der Gleichung erhalten wir sowohl die Diskriminante als auch die Wurzeln selbst gemäß dem Satz von Vieta. Es ist notwendig, den Ausdruck als echten oder unechten Bruch darzustellen und in der ersten Stufe den Bruchrechner zu verwenden. Abhängig davon wird ein Plan für unsere weiteren Berechnungen erstellt. Mathematik mit einem theoretischen Ansatz ist in jeder Phase nützlich. Wir werden das Ergebnis auf jeden Fall als kubische Gleichung darstellen, weil wir seine Wurzeln in diesem Ausdruck verstecken werden, um die Aufgabe für einen Studenten an einer Universität zu vereinfachen. Alle Methoden sind gut, wenn sie für eine oberflächliche Analyse geeignet sind. Zusätzliche Rechenoperationen führen nicht zu Rechenfehlern. Bestimmen Sie die Antwort mit einer bestimmten Genauigkeit. Mit der Lösung von Gleichungen, seien wir ehrlich - eine unabhängige Variable aus einer gegebenen Funktion zu finden, ist nicht so einfach, besonders während der Studienzeit parallele Linien bei unendlich. Angesichts der Ausnahme ist die Notwendigkeit sehr offensichtlich. Der Polaritätsunterschied ist eindeutig. Aus der Erfahrung des Unterrichtens in Instituten nahm unser Lehrer Hauptstunde, auf dem Gleichungen im vollen mathematischen Sinne online studiert wurden. Hier ging es um höhere Anstrengungen und besondere Fähigkeiten in der Anwendung der Theorie. Für unsere Schlussfolgerungen sollte man nicht durch ein Prisma schauen. Bis vor kurzem glaubte man, dass eine geschlossene Menge schnell über das Gebiet wächst, so wie es ist, und die Lösung von Gleichungen einfach untersucht werden muss. In der ersten Phase haben wir nicht alle berücksichtigt Möglichkeiten, aber ein solches Vorgehen ist gerechtfertigter denn je. Zusätzliche Aktionen mit Klammern rechtfertigen einige Fortschritte entlang der Ordinaten- und Abszissenachse, die mit bloßem Auge nicht zu übersehen sind. Es liegt ein Wendepunkt im Sinne eines breiten proportionalen Anstiegs einer Funktion vor. Wieder einmal beweisen wir, wie notwendige Bedingung wird während des gesamten absteigenden Intervalls der einen oder anderen absteigenden Position des Vektors angewendet. Auf engstem Raum wählen wir eine Variable aus dem Anfangsblock unseres Skripts aus. Das auf drei Vektoren basierende System ist für das Fehlen des Hauptkraftmoments verantwortlich. Der Gleichungsrechner leitete jedoch alle Terme der konstruierten Gleichung ab und half beim Auffinden, sowohl über der Oberfläche als auch entlang paralleler Linien. Lassen Sie uns einen Kreis um den Startpunkt beschreiben. Wir beginnen also, uns entlang der Schnittlinien nach oben zu bewegen, und die Tangente beschreibt den Kreis über seine gesamte Länge. Als Ergebnis erhalten wir eine Kurve, die als Evolvente bezeichnet wird. Übrigens, lassen Sie uns über diese Kurve ein wenig Geschichte sprechen. Tatsache ist, dass es in der Mathematik historisch gesehen keinen Begriff von Mathematik selbst im reinen Sinne gab, wie er es heute ist. Zuvor waren alle Wissenschaftler an einem beteiligt gemeinsame Sache d.h. Wissenschaft. Später, einige Jahrhunderte später, als die wissenschaftliche Welt mit einer kolossalen Menge an Informationen gefüllt war, hat die Menschheit dennoch viele Disziplinen herausgegriffen. Sie bleiben unverändert. Und doch versuchen Wissenschaftler auf der ganzen Welt jedes Jahr zu beweisen, dass die Wissenschaft grenzenlos ist und dass man eine Gleichung nicht lösen kann, wenn man nicht über naturwissenschaftliche Kenntnisse verfügt. Es kann nicht möglich sein, dem endgültig ein Ende zu bereiten. Daran zu denken ist so sinnlos wie die Luft draußen zu erwärmen. Lassen Sie uns das Intervall finden, in dem das Argument mit seinem positiven Wert den Modulus des Werts in einer stark ansteigenden Richtung bestimmt. Die Reaktion hilft, mindestens drei Lösungen zu finden, aber es ist notwendig, sie zu überprüfen. Beginnen wir mit der Tatsache, dass wir die Gleichung online lösen müssen, indem wir den einzigartigen Service unserer Website nutzen. Lassen Sie uns beide Teile der gegebenen Gleichung eingeben, die Schaltfläche "LÖSEN" drücken und innerhalb weniger Sekunden die genaue Antwort erhalten. In besonderen Fällen nehmen wir ein Buch über Mathematik und überprüfen unsere Antwort noch einmal, nämlich wir schauen uns nur die Antwort an und alles wird klar. Das gleiche Projekt wird auf einem künstlichen redundanten Parallelepiped ausfliegen. Es gibt ein Parallelogramm mit seinen parallelen Seiten, und es erklärt viele Prinzipien und Ansätze zur Untersuchung der räumlichen Beziehung des aufsteigenden Prozesses der Akkumulation von Hohlräumen in den Formeln natürliches Aussehen. Mehrdeutige lineare Gleichungen zeigen die Abhängigkeit der gesuchten Variablen von unserem Common dieser Moment Zeit durch Lösung und es ist notwendig, den unechten Bruch irgendwie abzuleiten und auf einen nicht-trivialen Fall zu reduzieren. Wir markieren zehn Punkte auf der Geraden und zeichnen durch jeden Punkt eine Kurve in einer bestimmten Richtung und mit einer Konvexität nach oben. Ohne große Schwierigkeiten stellt unser Gleichungsrechner einen Ausdruck in einer solchen Form dar, dass seine Überprüfung auf die Gültigkeit der Regeln bereits zu Beginn der Aufzeichnung offensichtlich ist. Das System der speziellen Stabilitätsdarstellungen steht für Mathematiker an erster Stelle, sofern die Formel nichts anderes vorsieht. Wir werden dies mit einer ausführlichen Präsentation eines Berichts über den isomorphen Zustand eines plastischen Systems von Körpern beantworten, und die Online-Lösung von Gleichungen wird die Bewegung jedes materiellen Punktes in diesem System beschreiben. Auf der Ebene einer eingehenden Untersuchung wird es notwendig sein, die Frage der Inversionen zumindest der unteren Raumschicht im Detail zu klären. Aufsteigend auf den Abschnitt der Unstetigkeit der Funktion wenden wir an allgemeine MethodeÜbrigens ein ausgezeichneter Forscher, unser Landsmann, und wir werden weiter unten über das Verhalten des Flugzeugs berichten. Aufgrund der starken Eigenschaften der analytisch gegebenen Funktion verwenden wir den Online-Gleichungsrechner nur für den vorgesehenen Zweck innerhalb der abgeleiteten Befugnisse. Wenn wir weiter argumentieren, beenden wir unsere Überprüfung der Homogenität der Gleichung selbst, das heißt, ihre rechte Seite ist gleich Null. Noch einmal werden wir die Richtigkeit unserer Entscheidung in Mathematik überprüfen. Um eine triviale Lösung zu vermeiden, werden wir einige Anpassungen an den Anfangsbedingungen für das Problem der bedingten Stabilität des Systems vornehmen. Lassen Sie uns eine quadratische Gleichung aufstellen, für die wir zwei Einträge mit der bekannten Formel schreiben und negative Wurzeln finden. Wenn eine Wurzel die zweite und dritte Wurzel um fünf Einheiten überschreitet, dann durch Änderungen an Hauptargument wir verfälschen also die Anfangsbedingungen des Teilproblems. Im Kern kann etwas Ungewöhnliches in der Mathematik immer auf das nächste Hundertstel einer positiven Zahl beschrieben werden. Der Bruchrechner ist seinen Gegenstücken auf ähnlichen Ressourcen im besten Moment der Serverlast um ein Vielfaches überlegen. Auf der Oberfläche des entlang der y-Achse wachsenden Geschwindigkeitsvektors zeichnen wir sieben gegeneinander gebogene Linien. Die Verhältnismäßigkeit des zugewiesenen Funktionsarguments führt den Wiederherstellungssaldozähler. In der Mathematik lässt sich dieses Phänomen sowohl durch eine kubische Gleichung mit imaginären Koeffizienten als auch durch einen bipolaren Verlauf abnehmender Geraden darstellen. Die kritischen Punkte der Temperaturdifferenz in vielen ihrer Bedeutung und Verlauf beschreiben den Prozess der Faktorisierung einer komplexen Bruchfunktion. Wenn Sie aufgefordert werden, die Gleichung zu lösen, beeilen Sie sich nicht, dies jetzt zu tun, bewerten Sie auf jeden Fall zuerst den gesamten Aktionsplan und wählen Sie erst dann den richtigen Ansatz. Es wird sicherlich Vorteile geben. Leichtigkeit in der Arbeit ist offensichtlich, und in der Mathematik ist es dasselbe. Lösen Sie die Gleichung online. Alle Online-Gleichungen sind eine bestimmte Art von Aufzeichnungen von Zahlen oder Parametern und eine Variable, die definiert werden muss. Berechnen Sie diese sehr variabel, dh finden Sie bestimmte Werte oder Intervalle einer Reihe von Werten, für die die Identität erfüllt ist. Die Anfangs- und Endbedingungen hängen direkt ab. IN gemeinsame Entscheidung Gleichungen enthalten normalerweise einige Variablen und Konstanten, deren Einstellung wir ganze Familien von Lösungen für eine gegebene Problemstellung erhalten. Im Allgemeinen rechtfertigt dies die Anstrengungen, die in die Richtung der Erhöhung der Funktionalität eines räumlichen Würfels mit einer Seitenlänge von 100 Zentimetern investiert wurden. Sie können einen Satz oder ein Lemma in jeder Phase der Konstruktion einer Antwort anwenden. Die Website gibt nach und nach einen Gleichungsrechner aus, der bei Bedarf den kleinsten Wert in einem beliebigen Intervall der Summierung von Produkten anzeigt. In der Hälfte der Fälle erfüllt eine solche Kugel als Hohlkugel nicht mehr die Voraussetzungen für das Setzen einer Zwischenantwort. Zumindest auf der y-Achse in Richtung abnehmender Vektordarstellung wird dieser Anteil zweifellos optimaler sein als der vorherige Ausdruck. In der Stunde, in der eine vollständige Punktanalyse an linearen Funktionen durchgeführt wird, werden wir tatsächlich alle unsere komplexen Zahlen und bipolaren Ebenenräume zusammentragen. Indem Sie eine Variable in den resultierenden Ausdruck einsetzen, lösen Sie die Gleichung schrittweise und geben die detaillierteste Antwort mit hoher Genauigkeit. Auch hier ist es eine gute Form eines Schülers, seine Handlungen in Mathematik zu überprüfen. Der Anteil im Verhältnis der Fraktionen fixiert die Integrität des Ergebnisses in allen wichtigen Wirkungsbereichen des Nullvektors. Trivialität wird am Ende der durchgeführten Aktionen bestätigt. Bei einer einfachen Aufgabenstellung können Schüler keine Schwierigkeiten haben, wenn sie die Gleichung in möglichst kurzer Zeit online lösen, aber dabei allerhand Regeln nicht vergessen. Die Menge der Teilmengen schneidet sich im Bereich der konvergierenden Notation. In verschiedenen Fällen wird das Produkt nicht fälschlicherweise faktorisiert. In unserem ersten Abschnitt über die Grundlagen mathematischer Techniken für wichtige Abschnitte für Studenten an Universitäten und Fachschulen wird Ihnen geholfen, die Gleichung online zu lösen. Die Beantwortung von Beispielen lässt uns nicht mehrere Tage warten, da das Verfahren des besten Zusammenspiels von Vektoranalyse mit sequentieller Lösungsfindung zu Beginn des letzten Jahrhunderts patentiert wurde. Es stellt sich heraus, dass die Bemühungen, sich mit dem umliegenden Team zu verbinden, nicht umsonst waren, etwas anderes war offensichtlich überhaupt erst überfällig. Einige Generationen später ließen Wissenschaftler auf der ganzen Welt glauben, dass die Mathematik die Königin der Wissenschaften ist. Ob es nun die linke Antwort oder die richtige Antwort ist, die erschöpfenden Begriffe müssen ohnehin in drei Zeilen geschrieben werden, da wir in unserem Fall eindeutig nur über die Vektoranalyse der Eigenschaften der Matrix sprechen werden. Nichtlineare und lineare Gleichungen haben zusammen mit biquadratischen Gleichungen einen besonderen Platz in unserem Buch eingenommen empfohlene Vorgehensweise Berechnung der Bewegungsbahn im Raum aller materiellen Punkte eines geschlossenen Systems. Eine lineare Analyse des Skalarprodukts von drei aufeinanderfolgenden Vektoren wird uns helfen, die Idee zum Leben zu erwecken. Am Ende jeder Einstellung wird die Aufgabe erleichtert, indem optimierte numerische Ausnahmen im Kontext der durchgeführten numerischen Raumüberlagerungen eingeführt werden. Ein weiteres Urteil wird der gefundenen Antwort in einer willkürlichen Form eines Dreiecks im Kreis nicht entgegenstehen. Der Winkel zwischen den beiden Vektoren enthält den erforderlichen Randprozentsatz, und das Online-Lösen von Gleichungen zeigt oft eine gemeinsame Wurzel der Gleichung im Gegensatz zu den Anfangsbedingungen. Die Ausnahme spielt die Rolle eines Katalysators im gesamten unvermeidlichen Prozess der Suche nach einer positiven Lösung auf dem Gebiet der Funktionsdefinition. Wenn nicht gesagt wird, dass Sie keinen Computer bedienen können, dann ist der Online-Gleichungsrechner genau das Richtige für Ihre schwierigen Aufgaben. Es reicht aus, nur Ihre bedingten Daten im richtigen Format einzugeben, und unser Server wird in kürzester Zeit eine vollwertige Ergebnisantwort ausgeben. Eine Exponentialfunktion wächst viel schneller als eine lineare. Dies wird durch die Talmuds der klugen Bibliotheksliteratur belegt. Führt die Berechnung im allgemeinen Sinne durch, wie es die gegebene quadratische Gleichung mit drei komplexen Koeffizienten tun würde. Die Parabel im oberen Teil der Halbebene kennzeichnet eine geradlinige parallele Bewegung entlang der Achsen des Punktes. Hier ist der Potentialunterschied im Arbeitsraum des Körpers zu erwähnen. Als Gegenleistung für ein suboptimales Ergebnis belegt unser Bruchrechner zu Recht den ersten Platz in der mathematischen Wertung der Überprüfung von Funktionsprogrammen im Backend. Die Benutzerfreundlichkeit dieses Dienstes wird von Millionen von Internetnutzern geschätzt. Wenn Sie nicht wissen, wie man es benutzt, helfen wir Ihnen gerne weiter. Wir möchten auch die kubische Gleichung aus einer Reihe von Aufgaben von Grundschülern hervorheben und hervorheben, wenn Sie schnell ihre Wurzeln finden und einen Funktionsgraphen auf einer Ebene zeichnen müssen. höhere Abschlüsse Reproduktion ist eines der schwierigsten mathematischen Probleme am Institut und genügend Std. Wie alle linearen Gleichungen ist auch unsere keine Ausnahme von vielen objektiven Regeln. Betrachten Sie sie aus verschiedenen Blickwinkeln, und es wird sich als einfach und ausreichend herausstellen, die Anfangsbedingungen festzulegen. Das Anstiegsintervall fällt mit dem Konvexitätsintervall der Funktion zusammen. Gleichungen online lösen. Das Studium der Theorie basiert auf Online-Gleichungen aus zahlreichen Abschnitten zum Studium der Hauptdisziplin. Bei einem solchen Ansatz bei unsicheren Problemen ist es sehr einfach, die Lösung von Gleichungen in einer vorgegebenen Form darzustellen und nicht nur Schlussfolgerungen zu ziehen, sondern auch das Ergebnis einer solchen positiven Lösung vorherzusagen. Der Dienst wird uns helfen, das Fachgebiet in den besten Traditionen der Mathematik zu lernen, so wie es im Osten üblich ist. In den besten Momenten des Zeitintervalls wurden ähnliche Aufgaben mit einem gemeinsamen Multiplikator zehnmal multipliziert. Mit einer Fülle von Multiplikationen mehrerer Variablen im Gleichungsrechner begann es, nach Qualität und nicht nach quantitativen Variablen wie Werten wie Masse oder Körpergewicht zu multiplizieren. Um Ungleichgewichtsfälle des materiellen Systems zu vermeiden, liegt uns die Ableitung eines dreidimensionalen Konverters auf der trivialen Konvergenz nicht entarteter mathematischer Matrizen nahe. Vervollständigen Sie die Aufgabe und lösen Sie die Gleichung in den angegebenen Koordinaten, da die Ausgabe im Voraus unbekannt ist, sowie alle Variablen, die in der Zeit nach dem Weltraum enthalten sind, unbekannt sind. Auf der kurzfristig schiebe den gemeinsamen Teiler aus der Klammer und dividiere vorher durch den größten gemeinsamen Teiler beider Teile. Aus unter der resultierenden abgedeckten Teilmenge von Nummern extrahieren ausführlicher Weg dreiunddreißig Punkte in Folge in kurzer Zeit. Soweit im von seiner besten Seite es ist jedem Schüler möglich, die Gleichung online zu lösen, mit Blick nach vorne, sagen wir mal eine wichtige, aber entscheidende Sache, ohne die wir in Zukunft nicht einfach zu leben sein werden. Im letzten Jahrhundert bemerkte der große Wissenschaftler eine Reihe von Regelmäßigkeiten in der Theorie der Mathematik. In der Praxis stellte sich nicht ganz der erwartete Eindruck der Ereignisse heraus. Grundsätzlich hilft jedoch gerade diese Online-Lösung von Gleichungen, das Verständnis und die Wahrnehmung eines ganzheitlichen Ansatzes für das Studium und die praktische Vertiefung des von den Studenten behandelten theoretischen Stoffs zu verbessern. Während der Studienzeit geht das viel einfacher.

I. Axt 2 \u003d 0 – unvollständig quadratische Gleichung (b=0, c=0 ). Lösung: x=0. Antwort: 0.

Gleichungen lösen.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Lösung. Erweitern Sie die Klammern durch Multiplizieren 2x für jeden Begriff in Klammern:

2x2 +6x=6x-x2 ; Verschieben der Begriffe von der rechten Seite auf die linke Seite:

2x2 +6x-6x+x2=0; Hier sind ähnliche Begriffe:

3x 2 =0, also x=0.

Antworten: 0.

II. ax2+bx=0 –unvollständig quadratische Gleichung (s=0 ). Lösung: x (ax+b)=0 → x 1 =0 oder ax+b=0 → x 2 =-b/a. Antwort: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Lösung. Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor heraus x für Klammern:

x(5x-26)=0; jeder Faktor kann Null sein:

x=0 oder 5x-26=0→ 5x=26, teile beide Seiten der Gleichheit durch 5 und wir bekommen: x \u003d 5.2.

Antworten: 0; 5,2.

Beispiel 3 64x+4x2=0.

Lösung. Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor heraus 4x für Klammern:

4x(16+x)=0. Wir haben drei Faktoren, also 4≠0, oder x=0 oder 16+x=0. Aus der letzten Gleichheit erhalten wir x=-16.

Antworten: -16; 0.

Beispiel 4(x-3) 2 +5x=9.

Lösung. Wenden Sie die Formel für das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke an und öffnen Sie die Klammern:

x 2 -6x+9+5x=9; transformieren in die Form: x 2 -6x+9+5x-9=0; Hier sind ähnliche Begriffe:

x2-x=0; ertragen x außerhalb der Klammern erhalten wir: x (x-1)=0. Von hier bzw x=0 oder x-1=0→ x=1.

Antworten: 0; 1.

III. ax2+c=0 –unvollständig quadratische Gleichung (b=0 ); Lösung: Axt 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

Wenn (-c/a)<0 , dann gibt es keine wirklichen Wurzeln. Wenn (-s/a)>0

Beispiel 5 x 2 -49 = 0.

Lösung.

x 2 \u003d 49, von hier x=±7. Antworten:-7; 7.

Beispiel 6 9x2-4=0.

Lösung.

Oft müssen Sie die Summe der Quadrate (x 1 2 + x 2 2) oder die Summe der Kubikzahlen (x 1 3 + x 2 3) der Wurzeln einer quadratischen Gleichung finden, seltener - die Summe der Kehrwerte der Quadrate der Wurzeln oder die Summe der Arithmetik Quadratwurzeln aus den Wurzeln der quadratischen Gleichung:

Der Satz von Vieta kann dabei helfen:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

ausdrücken über P Und Q:

1) die Summe der Quadrate der Wurzeln der Gleichung x2+px+q=0;

2) die Summe der Kuben der Wurzeln der Gleichung x2+px+q=0.

Lösung.

1) Ausdruck x 1 2 + x 2 2 erhält man durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung x 1 + x 2 \u003d-p;

(x 1 + x 2) 2 \u003d (-p) 2; öffne die Klammern: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; wir drücken den gewünschten Betrag aus: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Wir haben eine nützliche Gleichung: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

2) Ausdruck x 1 3 + x 2 3 darstellen durch die Formel der Summe der Kubikzahlen in der Form:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).

Eine weitere nützliche Gleichung: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).

Beispiele.

3) x 2 - 3 x - 4 = 0. Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks, ohne die Gleichung zu lösen x 1 2 + x 2 2.

Lösung.

x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, und die Arbeit x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003dim Beispiel 1) Gleichberechtigung:

x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q. Wir haben -P= x 1 + x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Dann x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.

Antworten: x 1 2 + x 2 2 = 17.

4) x2-2x-4=0. Berechnen Sie: x 1 3 + x 2 3 .

Lösung.

Nach dem Satz von Vieta die Summe der Wurzeln dieser reduzierten quadratischen Gleichung x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, und die Arbeit x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d-4. Wenden wir an, was wir erhalten haben ( im Beispiel 2) Gleichberechtigung: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.

Antworten: x 1 3 + x 2 3 = 32.

Frage: Was ist, wenn wir eine nicht reduzierte quadratische Gleichung erhalten? Antwort: Er kann immer „reduziert“ werden, indem Term für Term durch den ersten Koeffizienten dividiert wird.

5) 2x2 -5x-7=0. Berechnen Sie ohne Lösung: x 1 2 + x 2 2.

Lösung. Wir erhalten eine vollständige quadratische Gleichung. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 2 (den ersten Koeffizienten) und erhalten Sie die folgende quadratische Gleichung: x 2 -2,5 x -3,5 \u003d 0.

Nach dem Satz von Vieta ist die Summe der Wurzeln 2,5 ; das Produkt der Wurzeln ist -3,5 .

Wir lösen auf die gleiche Weise als Beispiel 3) mit der Gleichheit: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Antworten: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x2 – 5 x – 2 = 0. Finden:

Lassen Sie uns diese Gleichheit transformieren und durch Ersetzen der Summe der Wurzeln im Sinne des Vieta-Theorems -P, und das Produkt der Wurzeln durch Q, erhalten wir eine weitere nützliche Formel. Bei der Ableitung der Formel haben wir Gleichheit 1 verwendet): x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

In unserem Beispiel x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d-2. Setzen Sie diese Werte in die resultierende Formel ein:

7) x 2 -13x+36=0. Finden:

Lassen Sie uns diese Summe transformieren und eine Formel erhalten, mit der es möglich sein wird, die Summe der arithmetischen Quadratwurzeln aus den Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden.

Wir haben x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d 36. Setzen Sie diese Werte in die abgeleitete Formel ein:

Beratung : Überprüfen Sie immer die Möglichkeit, die Wurzeln der quadratischen Gleichung zu finden geeigneter Weg, Letztendlich 4 überprüft nützliche Formeln ermöglichen es Ihnen, die Aufgabe schnell zu erledigen, vor allem in Fällen, in denen die Diskriminante eine „unbequeme“ Zahl ist. Insgesamt einfache Fälle Wurzeln finden und an ihnen operieren. Zum Beispiel wählen wir im letzten Beispiel die Wurzeln mit dem Vieta-Theorem aus: Die Summe der Wurzeln sollte gleich sein 13 , und das Produkt der Wurzeln 36 . Was sind das für Zahlen? Bestimmt, 4 und 9. Berechnen Sie nun die Summe der Quadratwurzeln dieser Zahlen: 2+3=5. Das ist es!

I. Satz von Vieta für die reduzierte quadratische Gleichung.

Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 gleich dem zweiten entnommenen Koeffizienten ist entgegengesetztem Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Finden Sie die Nullstellen der gegebenen quadratischen Gleichung mit dem Satz von Vieta.

Beispiel 1) x 2 -x-30=0. Dies ist die reduzierte quadratische Gleichung ( x 2 +px+q=0), der zweite Koeffizient p=-1, und die freie Laufzeit q=-30. Stellen Sie zunächst sicher, dass die gegebene Gleichung Wurzeln hat und dass die Wurzeln (falls vorhanden) als ganze Zahlen ausgedrückt werden. Dazu reicht es aus, dass die Diskriminante das volle Quadrat einer ganzen Zahl ist.

Diskriminante finden D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Nun muss nach dem Vieta-Theorem die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten sein, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, d.h. ( -P), und das Produkt ist gleich der freien Laufzeit, d.h. ( Q). Dann:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Wir müssen solche zwei Zahlen so wählen, dass ihr Produkt gleich ist -30 , und die Summe ist Einheit. Das sind die Zahlen -5 Und 6 . Antwort: -5; 6.

Beispiel 2) x 2 +6x+8=0. Wir haben die reduzierte quadratische Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten p=6 und kostenloses Mitglied q=8. Stellen Sie sicher, dass es ganzzahlige Wurzeln gibt. Lassen Sie uns die Diskriminante finden D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Die Diskriminante D 1 ist das perfekte Quadrat der Zahl 1 , also sind die Wurzeln dieser Gleichung ganze Zahlen. Wir wählen die Wurzeln nach dem Satz von Vieta: Die Summe der Wurzeln ist gleich –p=-6, und das Produkt der Wurzeln ist q=8. Das sind die Zahlen -4 Und -2 .

Eigentlich: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Antwort: -4; -2.

Beispiel 3) x 2 +2x-4=0. In dieser reduzierten quadratischen Gleichung der zweite Koeffizient p=2, und die freie Laufzeit q=-4. Lassen Sie uns die Diskriminante finden D1, da der zweite Koeffizient eine gerade Zahl ist. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Die Diskriminante ist kein perfektes Quadrat einer Zahl, also tun wir es Ausgang: Die Wurzeln dieser Gleichung sind keine ganzen Zahlen und können nicht mit dem Satz von Vieta gefunden werden. Also lösen wir diese Gleichung wie gewohnt nach den Formeln (in diesem Fall nach den Formeln). Wir bekommen:

Beispiel 4). Schreiben Sie eine quadratische Gleichung unter Verwendung ihrer Wurzeln, wenn x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Lösung. Die gewünschte Gleichung wird in der Form geschrieben: x 2 +px+q=0, außerdem basierend auf dem Vieta-Theorem –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Dann nimmt die Gleichung die Form an: x2 +3x-28=0.

Beispiel 5). Schreiben Sie eine quadratische Gleichung unter Verwendung ihrer Wurzeln, wenn:

II. Satz von Vieta für die vollständige quadratische Gleichung ax2+bx+c=0.

Die Summe der Wurzeln ist minus B geteilt durch aber, ist das Produkt der Wurzeln von geteilt durch aber:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

Beispiel 6). Finden Sie die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung 2x2 -7x-11=0.

Lösung.

Wir sind davon überzeugt, dass diese Gleichung Wurzeln haben wird. Dazu reicht es aus, einen Ausdruck für die Diskriminante zu schreiben, und ohne ihn zu berechnen, stellen Sie einfach sicher, dass die Diskriminante größer als Null ist. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Und jetzt lass uns verwenden Satz Vieta für vollständige quadratische Gleichungen.

x 1 + x 2 = -b:a=- (-7):2=3,5.

Beispiel 7). Finden Sie das Produkt der Wurzeln einer quadratischen Gleichung 3x2 +8x-21=0.

Lösung.

Lassen Sie uns die Diskriminante finden D1, da der zweite Koeffizient ( 8 ) ist eine gerade Zahl. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Die quadratische Gleichung hat 2 Wurzel, nach dem Satz von Vieta das Produkt der Wurzeln x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.

I. Axt 2 +bx+c=0 ist eine allgemeine quadratische Gleichung

Diskriminant D=b 2 - 4ac.

Wenn D>0, dann haben wir zwei echte Wurzeln:

Wenn D=0, dann haben wir eine einzelne Wurzel (oder zwei gleiche Wurzeln) x=-b/(2a).

Wenn d<0, то действительных корней нет.

Beispiel 1) 2x2 +5x-3=0.

Lösung. ein=2; B=5; C=-3.

D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 echte Wurzeln.

4x2 +21x+5=0.

Lösung. ein=4; B=21; C=5.

D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 echte Wurzeln.

II. ax2+bx+c=0 – spezielle quadratische Gleichung für eine gerade Sekunde

Koeffizient B

Beispiel 3) 3x2 -10x+3=0.

Lösung. ein=3; B\u003d -10 (gerade Zahl); C=3.

Beispiel 4) 5x2-14x-3=0.

Lösung. ein=5; B= -14 (gerade Zahl); C=-3.

Beispiel 5) 71x2 +144x+4=0.

Lösung. ein=71; B=144 (gerade Zahl); C=4.

Beispiel 6) 9x 2 -30x+25=0.

Lösung. ein=9; B\u003d -30 (gerade Zahl); C=25.

III. ax2+bx+c=0 – quadratische Gleichung private Art, vorausgesetzt: a-b+c=0.

Die erste Wurzel ist immer minus eins und die zweite Wurzel ist minus von geteilt durch aber:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

Beispiel 7) 2x2+9x+7=0.

Lösung. ein=2; B=9; C=7. Prüfen wir die Gleichheit: a-b+c=0. Wir bekommen: 2-9+7=0 .

Dann x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3,5. Antworten: -1; -3,5.

IV. ax2+bx+c=0 – quadratische Gleichung einer bestimmten Form unter der Bedingung : a+b+c=0.

Die erste Wurzel ist immer gleich Eins und die zweite Wurzel ist gleich Eins von geteilt durch aber:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

Beispiel 8) 2x2 -9x+7=0.

Lösung. ein=2; B=-9; C=7. Prüfen wir die Gleichheit: a+b+c=0. Wir bekommen: 2-9+7=0 .

Dann x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3,5. Antworten: 1; 3,5.

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In diesem Video analysieren wir eine ganze Reihe linearer Gleichungen, die mit demselben Algorithmus gelöst werden – deshalb werden sie als die einfachsten bezeichnet.

Lassen Sie uns zunächst definieren: Was ist eine lineare Gleichung und welche davon sollte als die einfachste bezeichnet werden?

Eine lineare Gleichung ist eine, in der es nur eine Variable gibt, und zwar nur im ersten Grad.

Die einfachste Gleichung bedeutet die Konstruktion:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf die einfachsten reduziert:

Offene Klammern, falls vorhanden;
Verschieben Sie Begriffe, die eine Variable enthalten, auf eine Seite des Gleichheitszeichens und Begriffe ohne Variable auf die andere;
Bringen Sie gleiche Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen;
Teilen Sie die resultierende Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen $x$ .

Natürlich hilft dieser Algorithmus nicht immer. Tatsache ist, dass sich nach all diesen Machenschaften manchmal herausstellt, dass der Koeffizient der Variablen $x$ gleich Null ist. In diesem Fall sind zwei Optionen möglich:

Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn Sie beispielsweise etwas wie $0\cdot x=8$ erhalten, d.h. auf der linken Seite ist Null und auf der rechten Seite ist eine Zahl ungleich Null. Im folgenden Video werden wir uns einige Gründe ansehen, warum diese Situation möglich ist.
Die Lösung sind alle Zahlen. Dies ist nur dann möglich, wenn die Gleichung auf die Konstruktion $0\cdot x=0$ reduziert wurde. Es ist ziemlich logisch, dass egal, was $x$ wir ersetzen, es immer noch herauskommt „Null ist gleich Null“, d.h. korrekte numerische Gleichheit.

Und nun schauen wir uns am Beispiel echter Probleme an, wie das alles funktioniert.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Heute beschäftigen wir uns mit linearen Gleichungen, und zwar nur mit den einfachsten. Im Allgemeinen bedeutet eine lineare Gleichung jede Gleichung, die genau eine Variable enthält, und sie geht nur bis zum ersten Grad.

Solche Konstruktionen werden ungefähr auf die gleiche Weise gelöst:

Zuerst müssen Sie die Klammern öffnen, falls vorhanden (wie in unserem letzten Beispiel);
Dann ähnliches mitbringen
Isolieren Sie schließlich die Variable, d.h. alles, was mit der Variablen zusammenhängt – die Begriffe, in denen sie enthalten ist – wird auf die eine Seite übertragen, und alles, was ohne sie bleibt, wird auf die andere Seite übertragen.

Dann müssen Sie in der Regel auf jeder Seite der resultierenden Gleichheit ähnliche Ergebnisse erzielen, und danach müssen Sie nur noch durch den Koeffizienten bei "x" dividieren, und wir erhalten die endgültige Antwort.

Theoretisch sieht das nett und einfach aus, aber in der Praxis können selbst erfahrene Gymnasiasten in ziemlich einfachen linearen Gleichungen anstößige Fehler machen. Normalerweise werden Fehler entweder beim Öffnen von Klammern oder beim Zählen von "Plus" und "Minus" gemacht.

Außerdem kommt es vor, dass eine lineare Gleichung überhaupt keine Lösungen hat, oder dass die Lösung der ganze Zahlenstrahl ist, also irgendeine Nummer. Wir werden diese Feinheiten in der heutigen Lektion analysieren. Aber wir werden, wie Sie bereits verstanden haben, mit den einfachsten Aufgaben beginnen.

Schema zum Lösen einfacher linearer Gleichungen

Lassen Sie mich zunächst noch einmal das gesamte Schema zur Lösung der einfachsten linearen Gleichungen aufschreiben:

Erweitern Sie die Klammern, falls vorhanden.
Trennen Sie Variablen, d.h. alles, was "x" enthält, wird auf die eine Seite übertragen und ohne "x" - auf die andere.
Wir präsentieren ähnliche Begriffe.
Wir teilen alles durch den Koeffizienten bei "x".

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer, es hat gewisse Feinheiten und Tricks, die wir jetzt kennenlernen werden.

Reale Beispiele einfacher linearer Gleichungen lösen

Aufgabe 1

Im ersten Schritt müssen wir die Klammern öffnen. In diesem Beispiel sind sie jedoch nicht vorhanden, daher überspringen wir diesen Schritt. Im zweiten Schritt müssen wir die Variablen isolieren. Beachten Sie: wir reden nur über einzelne Begriffe. Lass uns schreiben:

Wir geben links und rechts ähnliche Begriffe, aber dies wurde hier bereits getan. Deshalb fahren wir mit dem vierten Schritt fort: Dividieren durch einen Faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Hier haben wir die Antwort bekommen.

Aufgabe Nr. 2

In dieser Aufgabe können wir die Klammern beobachten, also erweitern wir sie:

Sowohl links als auch rechts sehen wir ungefähr die gleiche Konstruktion, aber handeln wir nach dem Algorithmus, d.h. Sequester-Variablen:

Hier sind einige wie:

An welchen Wurzeln funktioniert das? Antwort: für alle. Daher können wir schreiben, dass $x$ eine beliebige Zahl ist.

Aufgabe Nr. 3

Interessanter ist schon die dritte lineare Gleichung:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Hier gibt es mehrere Klammern, aber sie werden mit nichts multipliziert, sie haben nur unterschiedliche Zeichen davor. Lassen Sie uns sie aufschlüsseln:

Wir führen den uns bereits bekannten zweiten Schritt durch:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Rechnen wir:

Wir führen den letzten Schritt aus - wir teilen alles durch den Koeffizienten bei "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Was Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Wenn wir zu einfache Aufgaben ignorieren, dann möchte ich Folgendes sagen:

Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung - manchmal gibt es einfach keine Nullstellen;
Auch wenn es Wurzeln gibt, kann Null dazwischen kommen - daran ist nichts auszusetzen.

Null ist die gleiche Zahl wie der Rest, Sie sollten sie nicht irgendwie diskriminieren oder davon ausgehen, dass Sie etwas falsch gemacht haben, wenn Sie Null erhalten.

Ein weiteres Merkmal bezieht sich auf die Erweiterung von Klammern. Bitte beachten Sie: Wenn ein „Minus“ davor steht, entfernen wir es, aber in Klammern ändern wir die Zeichen in Gegenteil. Und dann können wir es nach Standardalgorithmen öffnen: Wir erhalten, was wir in den obigen Berechnungen gesehen haben.

Das Verständnis dieser einfachen Tatsache wird Ihnen helfen, dumme und verletzende Fehler in der High School zu vermeiden, wenn solche Handlungen als selbstverständlich angesehen werden.

Lösen komplexer linearer Gleichungen

Kommen wir zu komplexeren Gleichungen. Jetzt werden die Konstruktionen komplizierter und es erscheint eine quadratische Funktion, wenn verschiedene Transformationen durchgeführt werden. Sie sollten sich davor jedoch nicht fürchten, denn wenn wir nach der Absicht des Autors eine lineare Gleichung lösen, werden im Transformationsprozess zwangsläufig alle Monome reduziert, die eine quadratische Funktion enthalten.

Beispiel 1

Offensichtlich besteht der erste Schritt darin, die Klammern zu öffnen. Gehen wir sehr vorsichtig vor:

Kommen wir nun zum Datenschutz:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier sind einige wie:

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, also schreiben wir in der Antwort wie folgt:

\[\Vielfalt \]

oder keine Wurzeln.

Beispiel #2

Wir führen die gleichen Schritte aus. Erster Schritt:

Lassen Sie uns alles mit einer Variablen nach links und ohne sie nach rechts verschieben:

Hier sind einige wie:

Offensichtlich hat diese lineare Gleichung keine Lösung, also schreiben wir sie so:

\[\varnothing\],

oder keine Wurzeln.

Nuancen der Lösung

Beide Gleichungen sind vollständig gelöst. Am Beispiel dieser beiden Ausdrücke haben wir noch einmal darauf geachtet, dass selbst in den einfachsten linearen Gleichungen nicht alles so einfach sein kann: Es kann entweder eine oder keine oder unendlich viele geben. In unserem Fall haben wir zwei Gleichungen betrachtet, in beiden gibt es einfach keine Wurzeln.

Aber ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf eine andere Tatsache lenken: wie man mit Klammern arbeitet und wie man sie öffnet, wenn ein Minuszeichen davor steht. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Vor dem Öffnen müssen Sie alles mit "x" multiplizieren. Achtung: multiplizieren jeden einzelnen Begriff. Darin befinden sich zwei Terme - bzw. zwei Terme und wird multipliziert.

Und erst nachdem diese scheinbar elementaren, aber sehr wichtigen und gefährlichen Transformationen abgeschlossen sind, darf die Klammer unter dem Gesichtspunkt geöffnet werden, dass dahinter ein Minuszeichen steht. Ja, ja: erst jetzt, wenn die Transformationen abgeschlossen sind, erinnern wir uns, dass vor den Klammern ein Minuszeichen steht, was bedeutet, dass alles nach unten nur das Vorzeichen wechselt. Gleichzeitig verschwinden die Klammern selbst und vor allem verschwindet auch das vordere „Minus“.

Das Gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung:

Es ist kein Zufall, dass ich auf diese kleinen, scheinbar unbedeutenden Tatsachen achte. Denn das Lösen von Gleichungen ist immer eine Abfolge elementare Transformationen, wo die Unfähigkeit, einfache Handlungen klar und kompetent auszuführen, dazu führt, dass Gymnasiasten zu mir kommen und wieder lernen, wie man solche einfachen Gleichungen löst.

Natürlich wird der Tag kommen, an dem Sie diese Fähigkeiten zum Automatismus verfeinern werden. Sie müssen nicht mehr jedes Mal so viele Transformationen durchführen, Sie schreiben alles in eine Zeile. Aber während Sie gerade lernen, müssen Sie jede Aktion separat schreiben.

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, kann kaum als die einfachste Aufgabe bezeichnet werden, aber die Bedeutung bleibt dieselbe.

Aufgabe 1

\[\links(7x+1 \rechts)\links(3x-1 \rechts)-21((x)^(2))=3\]

Lassen Sie uns alle Elemente im ersten Teil multiplizieren:

Machen wir ein Retreat:

Hier sind einige wie:

Machen wir den letzten Schritt:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier ist unsere letzte Antwort. Und obwohl wir beim Lösen Koeffizienten mit einer quadratischen Funktion hatten, heben sie sich gegenseitig auf, wodurch die Gleichung genau linear und nicht quadratisch wird.

Aufgabe Nr. 2

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Machen wir den ersten Schritt vorsichtig: Multiplizieren Sie jedes Element in der ersten Klammer mit jedem Element in der zweiten. Insgesamt sollten nach Transformationen vier neue Terme erhalten werden:

Und jetzt führen Sie die Multiplikation in jedem Term sorgfältig durch:

Verschieben wir die Terme mit "x" nach links und ohne - nach rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wir haben eine definitive Antwort erhalten.

Nuancen der Lösung

Die wichtigste Bemerkung zu diesen beiden Gleichungen ist folgende: Sobald wir anfangen, die Klammern zu multiplizieren, in denen ein größerer Term steht, dann geschieht dies entsprechend nächste Regel: wir nehmen den ersten Term aus dem ersten und multiplizieren mit jedem Element aus dem zweiten; dann nehmen wir das zweite Element aus dem ersten und multiplizieren auf ähnliche Weise mit jedem Element aus dem zweiten. Als Ergebnis erhalten wir vier Terme.

Über die algebraische Summe

Mit dem letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was eine algebraische Summe ist. In der klassischen Mathematik meinen wir mit $1-7$ einfaches Design: Subtrahiere sieben von eins. In der Algebra verstehen wir darunter folgendes: Zu der Zahl „eins“ fügen wir eine weitere Zahl hinzu, nämlich „minus sieben“. Diese algebraische Summe unterscheidet sich von der üblichen arithmetischen Summe.

Sobald Sie bei allen Transformationen, jeder Addition und Multiplikation ähnliche Konstruktionen wie oben beschrieben sehen, werden Sie in der Algebra einfach keine Probleme mehr haben, wenn Sie mit Polynomen und Gleichungen arbeiten.

Schauen wir uns abschließend noch ein paar weitere Beispiele an, die noch komplexer sein werden als die, die wir uns gerade angesehen haben, und um sie zu lösen, müssen wir unseren Standardalgorithmus leicht erweitern.

Gleichungen mit einem Bruch lösen

Um solche Aufgaben zu lösen, muss unserem Algorithmus ein weiterer Schritt hinzugefügt werden. Aber zuerst werde ich unseren Algorithmus daran erinnern:

Klammern öffnen.
Separate Variablen.
Ähnliches mitbringen.
Teile durch einen Faktor.

Leider ist dieser wunderbare Algorithmus bei aller Effizienz nicht ganz angemessen, wenn wir Brüche vor uns haben. Und in dem, was wir unten sehen werden, haben wir in beiden Gleichungen links und rechts einen Bruch.

Wie geht man in diesem Fall vor? Ja, es ist ganz einfach! Dazu müssen Sie dem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen, der sowohl vor als auch nach der ersten Aktion ausgeführt werden kann, nämlich Brüche beseitigen. Somit wird der Algorithmus wie folgt sein:

Befreien Sie sich von Brüchen.
Klammern öffnen.
Separate Variablen.
Ähnliches mitbringen.
Teile durch einen Faktor.

Was bedeutet es, "Brüche loszuwerden"? Und warum ist dies sowohl nach als auch vor dem ersten Standardschritt möglich? Tatsächlich sind in unserem Fall alle Brüche in Bezug auf den Nenner numerisch, d.h. überall ist der Nenner nur eine Zahl. Wenn wir also beide Teile der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren, werden wir Brüche los.

Beispiel 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Lassen Sie uns die Brüche in dieser Gleichung loswerden:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Achtung: Alles wird einmal mit „vier“ multipliziert, d.h. Nur weil Sie zwei Klammern haben, heißt das nicht, dass Sie jede von ihnen mit "vier" multiplizieren müssen. Lass uns schreiben:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Jetzt öffnen wir es:

Wir führen eine Absonderung einer Variablen durch:

Wir führen die Reduzierung ähnlicher Begriffe durch:

\[-4x=-1\links| :\links(-4 \rechts) \rechts.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Wir haben die endgültige Lösung erhalten, wir gehen zur zweiten Gleichung über.

Beispiel #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier führen wir dieselben Aktionen aus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem gelöst.

Das ist eigentlich alles, was ich heute sagen wollte.

Wichtige Punkte

Die wichtigsten Erkenntnisse lauten wie folgt:

Kennen Sie den Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen.
Fähigkeit, Klammern zu öffnen.
Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie irgendwo quadratische Funktionen haben, die höchstwahrscheinlich im Verlauf weiterer Transformationen reduziert werden.
Es gibt drei Arten von Wurzeln in linearen Gleichungen, selbst die einfachsten: eine einzelne Wurzel, der gesamte Zahlenstrahl ist eine Wurzel, es gibt überhaupt keine Wurzeln.

Ich hoffe, diese Lektion wird Ihnen helfen, ein einfaches, aber sehr wichtiges Thema für ein besseres Verständnis der gesamten Mathematik zu meistern. Wenn etwas nicht klar ist, gehen Sie auf die Website und lösen Sie die dort vorgestellten Beispiele. Bleiben Sie dran, es warten noch viele weitere interessante Dinge auf Sie!

Wir werden zwei Arten der Lösung von Gleichungssystemen analysieren:

1. Lösung des Systems nach der Substitutionsmethode.
2. Lösung des Systems durch gliedweise Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems.

Um das Gleichungssystem zu lösen Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Wir drücken aus. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir ersetzen in einer anderen Gleichung anstelle der ausgedrückten Variablen den resultierenden Wert.
3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) notwendig:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir dieselben Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren die Gleichungen, als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen.
3. Wir lösen die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Graphen der Funktion.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lösen wir nach der Substitutionsmethode

Lösen des Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. ausdrücken
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, daher stellt sich heraus, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nach dem Ausdrücken ersetzen wir in der ersten Gleichung 3 + 10y anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (offene Klammern)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, deshalb müssen wir x und y finden, denn der Schnittpunkt besteht aus x und y. Lassen Sie uns x finden, im ersten Absatz, wo wir ausgedrückt haben, ersetzen wir dort y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, an erster Stelle Punkte zu schreiben, wir schreiben die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems nach der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wählen Sie eine Variable aus, sagen wir, wir wählen x aus. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahiere von der ersten Gleichung die zweite, um die Variable x loszuwerden. Löse die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :fünf
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir ersetzen das gefundene y in jeder der Gleichungen, sagen wir in der ersten Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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