Eigenschaften von Quadratwurzeln, wenn a größer als 0 ist. Quadratwurzel. Umfassender Leitfaden (2019)

Eigenschaften Quadratwurzeln

Bisher haben wir fünf arithmetische Operationen mit Zahlen durchgeführt: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung, und in den Berechnungen, die sie aktiv verwendet haben verschiedene Eigenschaften diese Operationen, zum Beispiel a + b = b + a, an-bn = (ab) n usw.

Dieses Kapitel stellt eine neue Operation vor - extrahieren Quadratwurzel aus einer nicht negativen Zahl. Um es erfolgreich zu verwenden, müssen Sie sich mit den Eigenschaften dieser Operation vertraut machen, was wir in diesem Abschnitt tun werden.

Nachweisen. Wir führen folgende Notation ein: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg "alt =" (! SPRACHE: Gleichheit" width="120" height="25 id=">!}.

Genau so werden wir den nächsten Satz formulieren.

(Eine kurze Formulierung, die in der Praxis bequemer zu verwenden ist: die Wurzel eines Bruchs ist gleich Bruch aus den Wurzeln oder die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.)

Diesmal bringen wir nur kurze Anmerkung Beweis, und Sie versuchen, die entsprechenden Kommentare zu machen, ähnlich denen, die die Essenz des Beweises von Satz 1 bildeten.

Bemerkung 3. Dieses Beispiel lässt sich natürlich auch anders lösen, besonders wenn man einen Taschenrechner zur Hand hat: Multipliziere die Zahlen 36, 64, 9 und ziehe dann die Quadratwurzel des resultierenden Produkts. Sie müssen jedoch zugeben, dass die oben vorgeschlagene Lösung eher kulturell aussieht.

Bemerkung 4. Bei der ersten Methode haben wir die Berechnungen „frontal“ durchgeführt. Der zweite Weg ist eleganter:
wir haben uns beworben Formel a2 - b2 = (a - b) (a + b) und verwendet die Eigenschaft der Quadratwurzeln.

Bemerkung 5. Einige Hitzköpfe bieten manchmal diese Lösung für Beispiel 3:

Das stimmt natürlich nicht: Sie sehen - das Ergebnis ist nicht dasselbe wie in unserem Beispiel 3. Der Punkt ist, dass es keine Eigenschaft gibt https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg "alt =" (! SPRACHE: Aufgabe" width="148" height="26 id=">!} Es gibt nur Eigenschaften, die sich auf die Multiplikation und Division von Quadratwurzeln beziehen. Seien Sie vorsichtig und achten Sie nicht auf Wunschdenken.

Zum Abschluss des Abschnitts bemerken wir noch eine eher einfache und gleichzeitig wichtige Eigenschaft:
wenn a> 0 und n - natürliche Zahl, dann

Konvertieren von Ausdrücken mit Quadratwurzel

Bis jetzt haben Sie und ich nur Transformationen durchgeführt rationale Ausdrücke, dazu die Wirkungsregeln auf Polynomen und algebraische Brüche, Formeln für die abgekürzte Multiplikation usw. In diesem Kapitel haben wir eine neue Operation eingeführt - die Operation des Ziehens der Quadratwurzel; wir haben das gefunden

wobei, erinnern Sie sich, a, b nicht-negative Zahlen sind.

Diese verwenden Formeln, können Sie verschiedene Transformationen an Ausdrücken durchführen, die die Quadratwurzeloperation enthalten. Betrachten wir mehrere Beispiele, und in allen Beispielen gehen wir davon aus, dass die Variablen nur nicht negative Werte annehmen.

Beispiel 3. Führe einen Multiplikator unter das Quadratwurzelzeichen ein:

Beispiel 6... Ausdruckslösung vereinfachen. Lassen Sie uns sequentielle Transformationen durchführen:

Unterricht und Präsentation zum Thema:
"Eigenschaften einer Quadratwurzel. Formeln. Beispiele für Lösungen, Probleme mit Antworten"

Zusätzliche Materialien
Liebe Benutzer, vergessen Sie nicht, Ihre Kommentare, Bewertungen und Wünsche zu hinterlassen. Alle Materialien wurden von einem Antivirenprogramm überprüft.

Lehrmittel und Simulatoren im Integral Online-Shop für Klasse 8
Geometrie in 10 Minuten Interaktives Tutorial für Klasse 8
Bildungskomplex "1C: Schule. Geometrie, Klasse 8"

Quadratwurzeleigenschaften

Wir studieren weiterhin Quadratwurzeln. Heute werden wir die Haupteigenschaften der Wurzeln betrachten. Alle grundlegenden Eigenschaften sind intuitiv und stimmen mit allen Operationen überein, die wir zuvor durchgeführt haben.

Eigenschaft 1. Die Quadratwurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Zahlen: $ \ sqrt (a * b) = \ sqrt (a) * \ sqrt (b) $.

Es ist üblich, irgendwelche Eigenschaften zu beweisen, lass es uns tun.
Sei $ \ sqrt (a * b) = x $, $ \ sqrt (a) = y $, $ \ sqrt (b) = z $. Dann beweisen wir, dass $ x = y * z $ ist.
Lassen Sie uns jeden Ausdruck quadrieren.
Wenn $ \ sqrt (a * b) = x $, dann $ a * b = x ^ 2 $.
Wenn $ \ sqrt (a) = y $, $ \ sqrt (b) = z $ ist, dann erhält man durch Quadrieren beider Ausdrücke: $ a = y ^ 2 $, $ b = z ^ 2 $.
$ a * b = x ^ 2 = y ^ 2 * z ^ 2 $, dh $ x ^ 2 = (y * z) ^ 2 $. Wenn die Quadrate zweier nicht negativer Zahlen gleich sind, dann sind auch die Zahlen selbst, wie erforderlich, gleich.

Aus unserer Eigenschaft folgt beispielsweise $ \ sqrt (5) * \ sqrt (3) = \ sqrt (15) $.

Bemerkung 1. Die Eigenschaft gilt auch für den Fall, dass mehr als zwei nicht negative Faktoren unter der Wurzel liegen.
Eigentum 2. Wenn $ a≥0 $ und $ b> 0 $ gilt, dann gilt folgende Gleichheit: $ \ sqrt (\ frac (a) (b)) = \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) $

Das heißt, die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.
Nachweisen.
Lassen Sie uns die Tabelle benutzen und unsere Eigenschaft kurz beweisen.

Beispiele für die Verwendung der Eigenschaften von Quadratwurzeln

Beispiel 1.
Berechnen Sie: $ \ sqrt (81 * 25 * 121) $.

Lösung.
Natürlich können wir einen Taschenrechner nehmen, alle Zahlen unter der Wurzel multiplizieren und die Quadratwurzeloperation ausführen. Und wenn Sie keinen Taschenrechner zur Hand haben, was tun?
$ \ sqrt (81 * 25 * 121) = \ sqrt (81) * \ sqrt (25) * \ sqrt (121) = 9 * 5 * 11 = 495 $.
Antwort: 495.

Beispiel 2. Berechne: $ \ sqrt (11 \ frac (14) (25)) $.

Lösung.
Wir stellen die Wurzelzahl als unechten Bruch dar: $ 11 \ frac (14) (25) = \ frac (11 * 25 + 14) (25) = \ frac (275 + 14) (25) = \ frac (289) (25) $.
Verwenden wir Eigenschaft 2.
$ \ sqrt (\ frac (289) (25)) = \ frac (\ sqrt (289)) (\ sqrt (25)) = \ frac (17) (5) = 3 \ frac (2) (5) = 3,4 $.
Antwort: 3.4.

Beispiel 3.
Berechnen Sie: $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) $.

Lösung.
Wir können unseren Ausdruck direkt auswerten, aber wir können ihn fast immer vereinfachen. Versuchen wir dies.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Also $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) = \ sqrt (16 * 64) = \ sqrt (16) * \ sqrt (64) = 4 * 8 = 32 $.
Antwort: 32.

Leute, bitte beachten Sie, dass für die Operationen der Addition und Subtraktion von radikalen Ausdrücken keine Formeln existieren und die folgenden Ausdrücke nicht korrekt sind.
$ \ sqrt (a + b) ≠ \ sqrt (a) + \ sqrt (b) $.
$ \ sqrt (a-b) ≠ \ sqrt (a) - \ sqrt (b) $.

Beispiel 4.
Berechnen Sie: a) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) $; b) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) $.
Lösung.
Die oben dargestellten Eigenschaften funktionieren sowohl von links nach rechts als auch in umgekehrter Reihenfolge, d. h.:
$ \ sqrt (a) * \ sqrt (b) = \ sqrt (a * b) $.
$ \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) = \ sqrt (\ frac (a) (b)) $.
Lassen Sie uns damit unser Beispiel lösen.
a) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) = \ sqrt (32 * 8) = \ sqrt (256) = 16. $

B) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) = \ sqrt (\ frac (32) (8)) = \ sqrt (4) = 2 $.

Antwort: a) 16; b) 2.

Eigentum 3. Wenn $ a≥0 $ und n eine natürliche Zahl ist, dann gilt die Gleichheit: $ \ sqrt (a ^ (2n)) = a ^ n $.

Zum Beispiel. $ \ sqrt (a ^ (16)) = a ^ 8 $, $ \ sqrt (a ^ (24)) = a ^ (12) $ und so weiter.

Beispiel 5.
Berechnen Sie: $ \ sqrt (129600) $.

Lösung.
Die uns präsentierte Zahl ist ziemlich groß, zerlegen wir sie in Primfaktoren.
Wir haben: $ 129600 = 5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4 $ oder $ \ sqrt (129600) = \ sqrt (5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4) = 5 * 2 ^ 3 * 3 ^ 2 = 5 * 8 * 9 = 360 $.
Antwort: 360.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung

1. Berechnen Sie: $ \ sqrt (144 * 36 * 64) $.
2. Berechnen Sie: $ \ sqrt (8 \ frac (1) (36)) $.
3. Berechnen Sie: $ \ sqrt (52 ^ 2-48 ^ 2) $.
4. Berechnen Sie:
a) $ \ Quadrat (128 * \ Quadrat (8)) $;
b) $ \ frac (\ sqrt (128)) (\ sqrt (8)) $.

Dieser Artikel ist eine Sammlung detaillierter Informationen zum Thema Stammeigenschaften. In Anbetracht des Themas werden wir mit Eigenschaften beginnen, alle Formulierungen studieren und Beweise liefern. Zur Vertiefung des Themas betrachten wir die Eigenschaften des n-ten Grades.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Root-Eigenschaften

Wir sprechen über Eigenschaften.

Eigentum multiplizierte Zahlen ein und B, die als Gleichheit a b = a b dargestellt wird. Es kann als Faktoren dargestellt werden, positiv oder gleich Null a 1, a 2,…, a k als a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k;
aus dem Quotienten a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 kann er auch in dieser Form a b = a b geschrieben werden;
Eigentum aus einer Potenz einer Zahl ein mit geradem Exponenten a 2 m = a m für eine beliebige Zahl ein, zum Beispiel eine Eigenschaft aus dem Quadrat der Zahl a 2 = a.

In jeder der vorgestellten Gleichungen können Sie die Teile vor und nach dem Bindestrich stellenweise vertauschen, zum Beispiel wird die Gleichheit a b = a b in a b = a b umgewandelt. Gleichheitseigenschaften werden häufig verwendet, um komplexe Gleichungen zu vereinfachen.

Der Beweis der ersten Eigenschaften basiert auf der Definition der Quadratwurzel und der Gradeigenschaften mit natürlichen Exponenten. Zur Begründung der dritten Eigenschaft ist auf die Definition des Moduls einer Zahl zu verweisen.

Der erste Schritt besteht darin, die Eigenschaften der Quadratwurzel a b = a b zu beweisen. Gemäß der Definition ist zu berücksichtigen, dass a b eine Zahl ist, positiv oder gleich Null, die gleich ist ein b beim Aufrichten in einem Quadrat. Der Wert des Ausdrucks a b ist positiv oder gleich Null als Produkt nicht negativer Zahlen. Die Eigenschaft des Grades der multiplizierten Zahlen ermöglicht es Ihnen, Gleichheit in der Form (a b) 2 = a 2 b 2 darzustellen. Nach der Definition der Quadratwurzel a 2 = a und b 2 = b gilt a b = a 2 b 2 = a b.

In ähnlicher Weise kann man das anhand des Produkts beweisen k Multiplikatoren a 1, a 2,…, a k gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Faktoren. Tatsächlich ist a 1 · a 2 ·… · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 = a 1 · a 2 ·… · a k.

Aus dieser Gleichheit folgt a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an, um das Thema zu festigen.

Beispiel 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 und 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0, 2 (1).

Es gilt die Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Quotienten zu beweisen: a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0. Mit der Eigenschaft können Sie die Gleichheit a: b 2 = a 2: b 2 und a 2: b 2 = a: b schreiben, wobei a: b eine positive Zahl oder gleich Null ist. Dieser Ausdruck wird zum Beweis.

Zum Beispiel 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 und 3 0, 121 = 3 0, 121.

Betrachten Sie die Eigenschaft der Quadratwurzel des Quadrats einer Zahl. Es kann als Gleichheit geschrieben werden als a 2 = a Um diese Eigenschaft zu beweisen, ist es notwendig, mehrere Gleichungen für im Detail zu betrachten a 0 und bei ein< 0 .

Offensichtlich gilt für a ≥ 0 die Gleichheit a 2 = a. Beim ein< 0 die Gleichheit a 2 = - a wird wahr sein. Tatsächlich in diesem Fall - a> 0 und (-a) 2 = a 2. Daraus kann geschlossen werden, dass a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Schauen wir uns einige Beispiele an.

Beispiel 2

5 2 = 5 = 5 und – 0,36 2 = – 0,36 = 0,36.

Die bewiesene Eigenschaft wird helfen, a 2 m = a m zu rechtfertigen, wobei ein- echt, und m-natürliche Zahl. Tatsächlich ermöglicht Ihnen die Eigenschaft, eine Macht zu erhöhen, die Macht zu ersetzen ein 2 m² Ausdruck (m) 2, dann a 2 m = (a m) 2 = a m.

Beispiel 3

3 8 = 3 4 = 3 4 und (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.

Eigenschaften der n-ten Wurzel

Zuerst müssen Sie die Haupteigenschaften der Wurzeln des n-ten Grades berücksichtigen:

Eigenschaft aus dem Produkt der Zahlen ein und B, die positiv oder gleich Null sind, als Gleichheit a b n = a n b n ausgedrückt werden kann, gilt diese Eigenschaft für das Produkt k Zahlen a 1, a 2,…, a k als a 1 · a 2 ·… · a k n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
aus einer gebrochenen Zahl hat die Eigenschaft a b n = a n b n, wobei ein- jede reelle Zahl, die positiv oder gleich Null ist, und B- positive reelle Zahl;
Für alle ein und sogar Indikatoren n = 2 m a 2 m 2 m = a, und für ungerade n = 2 m - 1 die Gleichheit a 2 m - 1 2 m - 1 = a gilt.
Extraktionseigenschaft aus a m n = a n m, wobei ein- eine beliebige Zahl, positiv oder gleich Null, n und m- natürliche Zahlen, diese Eigenschaft kann auch dargestellt werden als. ... ... a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2. ... ... · Nk;
Für jedes nicht negative a und willkürlich n und m, die natürlich sind, können Sie auch die faire Gleichheit bestimmen a m n · m = a n;
Eigentumsabschluss n von der Macht der Zahl ein, die positiv oder gleich Null ist, in natürlichem Grad m definiert durch die Gleichheit a m n = a n m;
Vergleichseigenschaft mit denselben Indikatoren: für beliebige positive Zahlen ein und B so dass ein< b , die Ungleichung a n< b n ;
Vergleichseigenschaft mit die gleichen Zahlen unter der Wurzel: wenn m und n - natürliche Zahlen, die m> nein, dann um 0 < a < 1 die Ungleichung a m> a n ist wahr, und für a> 1 bin< a n .

Die oben angegebenen Gleichheiten gelten, wenn die Teile vor und nach dem Gleichheitszeichen vertauscht sind. Sie können als solche verwendet werden. Dies wird häufig beim Vereinfachen oder Konvertieren von Ausdrücken verwendet.

Der Beweis der obigen Eigenschaften der Wurzel basiert auf der Definition, den Eigenschaften des Grades und der Definition des Moduls einer Zahl. Diese Eigenschaften müssen nachgewiesen werden. Aber alles ist in Ordnung.

Zunächst beweisen wir die Eigenschaften der n-ten Wurzel des Produkts a b n = a n b n. Für ein und b was sind positiv oder gleich Null , auch der Wert a n · b n ist positiv oder gleich Null, da er eine Folge der Multiplikation nicht negativer Zahlen ist. Die Eigenschaft des Produkts in natürlichem Grad erlaubt uns, die Gleichheit a n b n n = a n n b n n zu schreiben. Nach Definition der Wurzel n-ten Grades a n n = a und b n n = b, also a n b n n = a b. Die resultierende Gleichheit ist genau das, was nachgewiesen werden musste.

Diese Eigenschaft wird für das Produkt ähnlich bewiesen k Faktoren: für nicht negative Zahlen a 1, a 2,…, a n, a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0.

Hier sind einige Beispiele für die Verwendung der root-Eigenschaft n-ter Grad vom Produkt: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 und 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 5 7 4.

Beweisen wir die Eigenschaft der Wurzel des Quotienten a b n = a n b n. Beim a 0 und b> 0 die Bedingung a n b n ≥ 0 ist erfüllt und a n b n n = a n n b n n = a b.

Lassen Sie uns Beispiele zeigen:

Beispiel 4

8 27 3 = 8 3 27 3 und 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

Für nächster Schritt es ist notwendig, die Eigenschaften des n-ten Grades von der Zahl bis zum Grad zu beweisen n... Wir stellen dies dar als die Gleichheit a 2 m 2 m = a und a 2 m - 1 2 m - 1 = a für jede reelle ein und natürlich m... Beim a 0 wir erhalten a = a und a 2 m = a 2 m, was die Gleichheit a 2 m 2 m = a beweist, und die Gleichheit a 2 m - 1 2 m - 1 = a ist offensichtlich. Beim ein< 0 wir erhalten a = - a bzw. a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Die letzte Umwandlung der Zahl ist gemäß der Eigenschaft des Abschlusses gerecht. Dies beweist die Gleichheit a 2 m 2 m = a, und a 2 m - 1 2 m - 1 = a wird wahr sein, denn für ungeraden Grad betrachten wir - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 für jede Zahl C, positiv oder gleich Null.

Um die erhaltenen Informationen zu konsolidieren, betrachten Sie mehrere Beispiele, die die Eigenschaft verwenden:

Beispiel 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 und (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

Beweisen wir die folgende Gleichheit a m n = a n · m. Dazu müssen Sie die Zahlen vor dem Gleichheitszeichen und danach stellenweise a n · m = a m n ändern. Es wird bedeuten richtiger Eintrag... Für ein, was positiv ist oder gleich null , aus der Form a m n ist eine Zahl positiv oder gleich Null. Wenden wir uns der Eigenschaft der Erhöhung eines Grades zu einem Exponenten und ihrer Definition zu. Sie können verwendet werden, um Gleichheiten in der Form a m n n · m = a m n n m = a m m = a zu transformieren. Dies beweist die Eigenschaft der Wurzel aus der betrachteten Wurzel.

Andere Eigenschaften werden ähnlich bewiesen. Wirklich, . ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2 ... ... · Nk =. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3 ... ... · Nk =. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... · Nk =. ... ... = a n k n k = a.

Zum Beispiel 7 3 5 = 7 5 3 und 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Lass es uns beweisen nächste Immobilie ein m n m = ein n. Dazu muss gezeigt werden, dass a n eine Zahl ist, positiv oder gleich Null. Potenziert ist n m gleich bin... Wenn die Zahl ein positiv oder gleich Null ist, dann n-ter Grad von unter ein eine Zahl positiv oder gleich Null ist. In diesem Fall gilt je nach Bedarf a n · m n = a n n m.

Um die gewonnenen Erkenntnisse zu festigen, betrachten Sie einige Beispiele.

Beweisen wir folgende Eigenschaft - die Eigenschaft einer Wurzel eines Grades der Form a m n = a n m. Offensichtlich für a 0 der Grad a n m ist eine nicht negative Zahl. Außerdem ist es n-ter Grad ist bin, tatsächlich, a n m n = a n m · n = a n n m = a m. Damit ist die Eigenschaft des betrachteten Abschlusses nachgewiesen.

Beispiel: 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

Es ist zu beweisen, dass für alle positiven Zahlen ein und b die Bedingung ein< b ... Betrachten Sie die Ungleichung a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ein< b ... Daher ein n< b n при ein< b .

Geben wir zum Beispiel 12 4< 15 2 3 4 .

Betrachten Sie die Wurzeleigenschaft n-ten Grad. Zuerst müssen wir uns den ersten Teil der Ungleichung ansehen. Beim m> nein und 0 < a < 1 wahr a m> a n. Angenommen a m ≤ a n. Die Eigenschaften vereinfachen den Ausdruck zu a n m · n a m m · n. Dann ist nach den Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten die Ungleichung a n m n m n ≤ a m m n m n erfüllt, d. h. ein n ≤ ein m... Der erhaltene Wert bei m> nein und 0 < a < 1 stimmt nicht mit den obigen Eigenschaften überein.

Auf die gleiche Weise kann man beweisen, dass für m> nein und a> 1 die Bedingung ein m< a n .

Um die obigen Eigenschaften zu konsolidieren, betrachten Sie mehrere konkrete Beispiele... Betrachten Sie Ungleichungen mit bestimmten Zahlen.

Beispiel 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, wählen Sie ihn aus und drücken Sie Strg + Eingabetaste

Fakt 1.
\ (\ bullet \) Nehmen Sie eine nicht negative Zahl \ (a \) (dh \ (a \ geqslant 0 \)). Dann (arithmetisch) Quadratwurzel aus der Zahl \ (a \) heißt nicht-negative Zahl \ (b \), beim Quadrieren erhalten wir die Zahl \ (a \): \ [\ sqrt a = b \ quad \ text (wie) \ quad a = b ^ 2 \] Aus der Definition folgt, dass \ (a \ geqslant 0, b \ geqslant 0 \). Diese Einschränkungen sind wichtige Bedingung die Existenz einer Quadratwurzel und sie sollten nicht vergessen werden!
Denken Sie daran, dass jede Zahl, wenn sie quadriert wird, ein nicht-negatives Ergebnis liefert. Das heißt, \ (100 ^ 2 = 10000 \ geqslant 0 \) und \ ((- 100) ^ 2 = 10000 \ geqslant 0 \).
\ (\ bullet \) Was ist \ (\ sqrt (25) \)? Wir wissen, dass \ (5 ^ 2 = 25 \) und \ ((- 5) ^ 2 = 25 \). Da wir per Definition eine nicht-negative Zahl finden müssen, dann passt \ (- 5 \) nicht, also \ (\ sqrt (25) = 5 \) (da \ (25 = 5 ^ 2 \)) .
Den Wert \ (\ sqrt a \) zu finden nennt man Ziehen der Quadratwurzel aus der Zahl \ (a \), und die Zahl \ (a \) heißt Wurzelausdruck.
\ (\ bullet \) Basierend auf der Definition wird der Ausdruck \ (\ sqrt (-25) \), \ (\ sqrt (-4) \) usw. macht keinen Sinn.

Fakt 2.
Für schnelle Berechnung es wird nützlich sein, die Quadrattabelle der natürlichen Zahlen von \ (1 \) bis \ (20 \) zu lernen: \ [\ begin (array) (| ll |) \ hline 1 ^ 2 = 1 & \ quad11 ^ 2 = 121 \\ 2 ^ 2 = 4 & \ quad12 ^ 2 = 144 \\ 3 ^ 2 = 9 & \ quad13 ^ 2 = 169 \\ 4 ^ 2 = 16 & \ quad14 ^ 2 = 196 \\ 5 ^ 2 = 25 & \ quad15 ^ 2 = 225 \\ 6 ^ 2 = 36 & \ quad16 ^ 2 = 256 \\ 7 ^ 2 = 49 & \ quad17 ^ 2 = 289 \\ 8 ^ 2 = 64 & \ quad18 ^ 2 = 324 \\ 9 ^ 2 = 81 & \ quad19 ^ 2 = 361 \\ 10 ^ 2 = 100 & \ quad20 ^ 2 = 400 \\ \ hline \ end (array) \]

Fakt 3.
Was kann man mit Quadratwurzeln machen?
\ (\ Patrone \) Die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln ist NICHT GLEICH der Quadratwurzel der Summe oder Differenz, d.h. \ [\ sqrt a \ pm \ sqrt b \ ne \ sqrt (a \ pm b) \] Wenn Sie also beispielsweise \ (\ sqrt (25) + \ sqrt (49) \) berechnen müssen, sollten Sie zunächst die Werte \ (\ sqrt (25) \) und \ (\ sqrt (49) \ ) und dann falten. Somit, \ [\ Quadrat (25) + \ Quadrat (49) = 5 + 7 = 12 \] Wenn die Werte \ (\ sqrt a \) oder \ (\ sqrt b \) beim Addieren von \ (\ sqrt a + \ sqrt b \) nicht gefunden werden, dann wird ein solcher Ausdruck nicht weiter transformiert und bleibt gleich. Zum Beispiel können wir in der Summe \ (\ sqrt 2+ \ sqrt (49) \) \ (\ sqrt (49) \) finden - das ist \ (7 \), aber \ (\ sqrt 2 \) kann nicht sein in keiner Weise umgebaut, deshalb \ (\ Quadrat 2+ \ Quadrat (49) = \ Quadrat 2 + 7 \)... Leider lässt sich dieser Ausdruck nicht weiter vereinfachen.\ (\ bullet \) Das Produkt / Quotient der Quadratwurzeln ist gleich der Quadratwurzel des Produkts / Quotienten, also \ [\ sqrt a \ cdot \ sqrt b = \ sqrt (ab) \ quad \ text (und) \ quad \ sqrt a: \ sqrt b = \ sqrt (a: b) \] (sofern beide Seiten der Gleichheit Sinn machen)
Beispiel: \ (\ sqrt (32) \ cdot \ sqrt 2 = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8 \); \ (\ Quadrat (768): \ Quadrat3 = \ Quadrat (768: 3) = \ Quadrat (256) = 16 \); \ (\ sqrt ((- 25) \ cdot (-64)) = \ sqrt (25 \ cdot 64) = \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (64) = 5 \ cdot 8 = 40 \)... \ (\ bullet \) Mit diesen Eigenschaften ist es praktisch, die Quadratwurzeln von zu finden große Zahlen indem man sie faktorisiert.
Schauen wir uns ein Beispiel an. Finden Sie \ (\ sqrt (44100) \). Da \ (44100: 100 = 441 \), dann \ (44100 = 100 \ cdot 441 \). Aufgrund der Teilbarkeit ist die Zahl \ (441 \) durch \ (9 \) teilbar (da die Summe ihrer Ziffern 9 ist und durch 9 teilbar ist), also \ (441: 9 = 49 \), also ist \ (441 = 9 \ cdot 49 \).
Somit haben wir: \ [\ sqrt (44100) = \ sqrt (9 \ cdot 49 \ cdot 100) = \ sqrt9 \ cdot \ sqrt (49) \ cdot \ sqrt (100) = 3 \ cdot 7 \ cdot 10 = 210 \] Nehmen wir ein anderes Beispiel: \ [\ sqrt (\ dfrac (32 \ cdot 294) (27)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 49 \ cdot 2) (9 \ cdot 3)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot4 \ cdot49) (9) = \ dfrac (\ sqrt (16) \ cdot \ sqrt4 \ cdot \ sqrt (49)) (\ sqrt9) = \ dfrac (4 \ cdot 2 \ cdot 7) 3 = \ dfrac (56) 3 \]
\ (\ bullet \) Am Beispiel des Ausdrucks \ (5 \ sqrt2 \) (Abkürzung für den Ausdruck \ (5 \ cdot \ sqrt2 \)) zeigen wir, wie man Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen eingibt. Da \ (5 = \ sqrt (25) \), dann \ Beachten Sie auch, dass z.
1) \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 = 4 \ sqrt2 \),
2) \ (5 \ sqrt3- \ sqrt3 = 4 \ sqrt3 \)
3) \ (\ sqrt a + \ sqrt a = 2 \ sqrt a \).

Warum so? Lassen Sie es uns anhand von Beispiel 1) erklären. Wie Sie bereits verstanden haben, können wir die Zahl \ (\ sqrt2 \) nicht irgendwie umwandeln. Stellen wir uns vor, \ (\ sqrt2 \) sei eine Zahl \ (a \). Dementsprechend ist der Ausdruck \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 \) nichts anderes als \ (a + 3a \) (eine Zahl \ (a \) plus drei weitere der gleichen Zahl \ (a \)). Und wir wissen, dass es gleich vier solcher Zahlen \ (a \) ist, also \ (4 \ sqrt2 \).

Fakt 4.
\ (\ bullet \) Es wird oft gesagt, dass Sie die Wurzel nicht extrahieren können, wenn Sie das Zeichen \ (\ sqrt () \ \) der Wurzel (Radikal) nicht loswerden können, wenn Sie den Wert einer Zahl finden. Sie können zum Beispiel die Wurzel der Zahl \ (16 \) extrahieren, weil \ (16 = 4 ^ 2 \), also \ (\ sqrt (16) = 4 \). Aber es ist unmöglich, die Wurzel aus der Zahl \ (3 \) zu ziehen, d. h. \ (\ sqrt3 \) zu finden, weil es keine solche Zahl gibt, die \ (3 \) im Quadrat ergibt.
Solche Zahlen (oder Ausdrücke mit solchen Zahlen) sind irrational. Zum Beispiel die Zahlen \ (\ sqrt3, \ 1+ \ sqrt2, \ \ sqrt (15) \) usw. sind irrational.
Также иррациональными являются числа $\pi$ (число “пи”, приблизительно равное $3,14$ ), $e$ (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно $2,7$ ) usw.
\ (\ bullet \) Bitte beachten Sie, dass jede Zahl entweder rational oder irrational ist. Und zusammen ist alles rational und alles irrationale Zahlen Bilde eine Menge namens Menge reeller (reeller) Zahlen. Diese Menge wird mit dem Buchstaben \ (\ mathbb (R) \) bezeichnet.
Daher alle Zahlen, die eingeschaltet sind dieser Moment wir wissen, dass man reelle Zahlen nennt.

Fakt 5.
\ (\ bullet \) Der Modul einer reellen Zahl \ (a \) ist eine nicht negative Zahl \ (| a | \) gleich dem Abstand vom Punkt \ (a \) zu \ (0 \) auf dem echte Linie. Zum Beispiel sind \ (| 3 | \) und \ (| -3 | \) gleich 3, da die Abstände von den Punkten \ (3 \) und \ (- 3 \) zu \ (0 \) gleich sind und gleich \ (3\).
\ (\ bullet \) Wenn \ (a \) eine nicht negative Zahl ist, dann ist \ (| a | = a \).
Beispiel: \ (| 5 | = 5 \); \ (\ qquad | \ sqrt2 | = \ sqrt2 \). \ (\ bullet \) Wenn \ (a \) eine negative Zahl ist, dann ist \ (| a | = -a \).
Beispiel: \ (| -5 | = - (- 5) = 5 \); \ (\ qquad | - \ sqrt3 | = - (- \ sqrt3) = \ sqrt3 \).
Sie sagen, dass der Modul negativer Zahlen das Minus "frisst", und positive Zahlen sowie die Zahl \ (0 \), der Modul lässt unverändert.
ABER Diese Regel funktioniert nur für Zahlen. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная $x$ (или какая-то другая неизвестная), например, $|x|$ , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля wir können nicht. In diesem Fall bleibt dieser Ausdruck so: \ (| x | \). \ (\ bullet \) Es gelten folgende Formeln: \ [(\ large (\ sqrt (a ^ 2) = | a |)) \] \ [(\ large ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a)), \ text (unter Bedingung) a \ geqslant 0 \] Ein sehr häufiger Fehler wird gemacht: Sie sagen, dass \ (\ sqrt (a ^ 2) \) und \ ((\ sqrt a) ^ 2 \) ein und dasselbe sind. Dies gilt nur, wenn \ (a \) eine positive Zahl oder Null ist. Aber wenn \ (a \) eine negative Zahl ist, dann ist dies nicht wahr. Es genügt, ein solches Beispiel zu betrachten. Nehmen wir die Zahl \ (- 1 \) anstelle von \ (a \). Dann ist \ (\ sqrt ((- 1) ^ 2) = \ sqrt (1) = 1 \), aber der Ausdruck \ ((\ sqrt (-1)) ^ 2 \) existiert überhaupt nicht (schließlich es ist unmöglich, negative Zahlen unter das Wurzelzeichen zu setzen!).
Daher machen wir Sie darauf aufmerksam, dass \ (\ sqrt (a ^ 2) \) nicht gleich \ ((\ sqrt a) ^ 2 \) ist! Beispiel 1) \ (\ sqrt (\ links (- \ sqrt2 \ rechts) ^ 2) = | - \ sqrt2 | = \ sqrt2 \) seit \ (- \ sqrt2<0\) ;

\ (\ phantom (00000) \) 2) \ ((\ sqrt (2)) ^ 2 = 2 \). \ (\ bullet \) Da \ (\ sqrt (a ^ 2) = | a | \), dann \ [\ sqrt (a ^ (2n)) = | a ^ n | \] (Ausdruck \ (2n \) bezeichnet eine gerade Zahl)
Das heißt, beim Ziehen einer Wurzel aus einer Zahl, die bis zu einem gewissen Grad ist, wird dieser Grad halbiert.
Beispiel:
1) \ (\ Quadrat (4 ^ 6) = | 4 ^ 3 | = 4 ^ 3 = 64 \)
2) \ (\ sqrt ((- 25) ^ 2) = | -25 | = 25 \) (beachten Sie, dass, wenn das Modul nicht installiert ist, die Wurzel der Zahl \ (- 25 \) ist; aber wir erinnern uns, dass dies nach der Definition einer Wurzel nicht sein kann: wir haben immer eine positive Zahl oder Null beim Ziehen einer Wurzel)
3) \ (\ sqrt (x ^ (16)) = | x ^ 8 | = x ^ 8 \) (da jede Zahl in gerader Potenz nicht negativ ist)

Fakt 6.
Wie vergleicht man zwei Quadratwurzeln?
\ (\ bullet \) Für Quadratwurzeln gilt: if \ (\ sqrt a<\sqrt b\) , то $aBeispiel:
1) vergleiche \ (\ sqrt (50) $ und \ (6 \ sqrt2 \). Konvertieren wir zuerst den zweiten Ausdruck in \ (\ sqrt (36) \ cdot \ sqrt2 = \ sqrt (36 \ cdot 2) = \ sqrt (72) \)... Da \ (50<72\) , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt \ (\ sqrt (50) \)?
Da \ (\ sqrt (49) = 7 \), \ (\ sqrt (64) = 8 \) und \ (49<50<64\) , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Vergleiche \ (\ sqrt 2-1 \) und \ (0,5 \). Angenommen \ (\ sqrt2-1> 0,5 \): \ [\ begin (ausgerichtet) & \ sqrt 2-1> 0,5 \ \ big | +1 \ quad \ text ((eins zu beiden Seiten hinzufügen)) \\ & \ sqrt2> 0,5 + 1 \ \ big | \ ^ 2 \ quad \ text ((Quadrat auf beiden Seiten)) \\ & 2> 1,5 ^ 2 \\ & 2> 2,25 \ Ende (ausgerichtet) \] Wir sehen, dass wir die falsche Ungleichung haben. Daher war unsere Annahme falsch und \ (\ sqrt 2-1<0,5\) .
Beachten Sie, dass das Hinzufügen einer Zahl zu beiden Seiten der Ungleichung das Vorzeichen nicht beeinflusst. Multiplikation / Division beider Seiten der Ungleichung mit einer positiven Zahl beeinflusst auch ihr Vorzeichen nicht, und Multiplikation / Division mit einer negativen Zahl kehrt das Vorzeichen der Ungleichung um!
Sie können beide Seiten der Gleichung / Ungleichung NUR quadrieren, wenn beide Seiten nicht negativ sind. In der Ungleichung aus dem vorherigen Beispiel können beispielsweise beide Seiten quadriert werden, in der Ungleichung \ (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \ (\ bullet \) Denken Sie daran, dass \ [\ begin (bündig) & \ sqrt 2 \ ca. 1,4 \\ & \ sqrt 3 \ ca. 1,7 \ end (bündig) \] Wenn Sie den ungefähren Wert dieser Zahlen kennen, können Sie Zahlen vergleichen! \ (\ bullet \) Um die Wurzel (wenn sie gezogen wird) aus einer großen Zahl zu ziehen, die nicht in der Quadrattabelle steht, müssen Sie zuerst bestimmen, zwischen welchen „Hunderten“ sie liegt, dann zwischen welchen „Zehnern“ , und bestimmen Sie dann die letzte Ziffer dieser Nummer. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie es funktioniert.
Nehmen Sie \ (\ sqrt (28224) \). Wir wissen, dass \ (100 ^ 2 = 10 \, 000 \), \ (200 ^ 2 = 40 \, 000 \) usw. Beachten Sie, dass \ (28224 \) zwischen \ (10 \, 000 \) und \ (40 \, 000 \) liegt. Daher liegt \ (\ sqrt (28224) \) zwischen \ (100 \) und \ (200 \).
Lassen Sie uns nun feststellen, zwischen welchen „Zehnern“ unsere Zahl liegt (also zum Beispiel zwischen \ (120 \) und \ (130 \)). Auch aus der Quadrattafel wissen wir, dass \ (11 ^ 2 = 121 \), \ (12 ^ 2 = 144 \), usw., dann \ (110 ^ 2 = 12100 \), \ (120 ^ 2 = 14400 \), \ (130 ^ 2 = 16900 \), \ (140 ^ 2 = 19600 \), \ (150 ^ 2 = 22500 \), \ (160 ^ 2 = 25600 \), \ (170 ^ 2 = 28900 \). Wir sehen also, dass \ (28224 \) zwischen \ (160 ^ 2 \) und \ (170 ^ 2 \) liegt. Daher liegt die Zahl \ (\ sqrt (28224) \) zwischen \ (160 \) und \ (170 \).
Versuchen wir, die letzte Ziffer zu bestimmen. Erinnern wir uns, welche einstelligen Zahlen am Ende von \ (4 \) wenn quadriert? Dies sind \ (2 ^ 2 \) und \ (8 ^ 2 \). Daher endet \ (\ sqrt (28224) \) entweder mit 2 oder 8. Lassen Sie uns das überprüfen. Suche \ (162 ^ 2 \) und \ (168 ^ 2 \):
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \).
Daher \ (\ sqrt (28224) = 168 \). Voila!

Um die Prüfung in Mathematik adäquat zu lösen, ist es zunächst notwendig, das theoretische Material zu studieren, das zahlreiche Sätze, Formeln, Algorithmen usw. einführt. Auf den ersten Blick mag dies recht einfach erscheinen. Eine Quelle zu finden, in der die Theorie für die Mathematikprüfung leicht und verständlich für Studierende aller Ausbildungsstufen dargestellt wird, ist jedoch in der Tat eine eher schwierige Aufgabe. Schulbücher sind nicht immer griffbereit. Und selbst im Internet kann es schwierig sein, die Grundformeln für die Prüfung in Mathematik zu finden.

Warum ist es so wichtig, Theorie in der Mathematik nicht nur für diejenigen zu studieren, die die Prüfung ablegen?

Weil es Ihren Horizont erweitert.... Das Studium von theoretischem Material in Mathematik ist für alle nützlich, die Antworten auf eine Vielzahl von Fragen zum Wissen der Welt erhalten möchten. Alles in der Natur ist geordnet und hat eine klare Logik. Genau dies spiegelt sich in der Wissenschaft wider, durch die es möglich ist, die Welt zu verstehen.
Weil es Intelligenz entwickelt... Durch das Studium von Nachschlagewerken für die Prüfung in Mathematik sowie das Lösen verschiedener Probleme lernt eine Person, logisch zu denken und zu argumentieren, Gedanken kompetent und klar zu formulieren. Er entwickelt die Fähigkeit zu analysieren, zu verallgemeinern und Schlussfolgerungen zu ziehen.

Wir laden Sie ein, alle Vorteile unseres Ansatzes zur Systematisierung und Präsentation von Bildungsmaterialien persönlich zu bewerten.

Die Mathematik wurde geboren, als der Mensch sich seiner selbst bewusst wurde und begann, sich als autonome Einheit der Welt zu positionieren. Der Wunsch zu messen, zu vergleichen, zu berechnen, was Sie umgibt - das war die Grundlage einer der grundlegenden Wissenschaften unserer Tage. Zunächst waren dies Teilchen der elementaren Mathematik, die es ermöglichten, Zahlen mit ihren physikalischen Ausdrücken zu verbinden, später wurden Schlussfolgerungen nur theoretisch (wegen ihrer Abstraktheit) vorgelegt, aber nach einer Weile, wie ein Wissenschaftler es ausdrückte, „Mathematik“ erreichte die Grenze der Komplexität, als alle Zahlen verschwanden." Das Konzept der "Quadratwurzel" erschien zu einer Zeit, als es leicht durch empirische Daten gestützt werden konnte, die über die Berechnungsebene hinausgingen.

Wie alles begann

Die erste Erwähnung der Wurzel, die heute als √ bezeichnet wird, wurde in den Werken babylonischer Mathematiker verzeichnet, die den Grundstein für die moderne Arithmetik legten. Natürlich ähnelten sie nicht der aktuellen Form - die Wissenschaftler dieser Jahre verwendeten zuerst sperrige Tabletten. Aber im zweiten Jahrtausend v. e. Sie haben eine ungefähre Berechnungsformel entwickelt, die zeigt, wie die Quadratwurzel gezogen wird. Das Foto unten zeigt einen Stein, auf dem die babylonischen Wissenschaftler den Schlussprozess √2 eingraviert haben, und dieser erwies sich als so richtig, dass die Diskrepanz in der Antwort nur an der zehnten Dezimalstelle gefunden wurde.

Außerdem wurde die Wurzel verwendet, wenn die Seite eines Dreiecks gefunden werden musste, sofern die anderen beiden bekannt sind. Nun, beim Lösen quadratischer Gleichungen kommt man nicht um das Ziehen der Wurzel herum.

Neben den babylonischen Werken wurde der Gegenstand des Artikels auch im chinesischen Werk "Mathematik in neun Büchern" untersucht, und die alten Griechen kamen zu dem Schluss, dass jede Zahl, deren Wurzel nicht ohne Rest gezogen wird, ein irrationales Ergebnis liefert .

Der Ursprung dieses Begriffs ist mit der arabischen Darstellung der Zahl verbunden: Antike Wissenschaftler glaubten, dass das Quadrat einer beliebigen Zahl wie eine Pflanze aus der Wurzel wächst. Im Lateinischen klingt dieses Wort wie Radix (Sie können ein Muster verfolgen - alles, was eine "Wurzel"-Semantik hat, ist Konsonant, sei es Rettich oder Radikulitis).

Wissenschaftler nachfolgender Generationen griffen diese Idee auf und nannten sie Rx. Im 15. Jahrhundert schrieben sie beispielsweise R 2 a, um anzuzeigen, dass die Quadratwurzel einer beliebigen Zahl a gezogen wurde. Das dem modernen Look bekannte "Häkchen" tauchte erst im 17. Jahrhundert dank René Descartes auf.

Unsere Tage

Mathematisch ist die Quadratwurzel von y die Zahl z, deren Quadrat y ist. Mit anderen Worten, z 2 = y ist äquivalent zu √y = z. Diese Definition ist jedoch nur für die arithmetische Wurzel relevant, da sie den nicht-negativen Wert des Ausdrucks impliziert. Mit anderen Worten, √y = z, wobei z größer oder gleich 0 ist.

Im allgemeinen Fall, der für die Bestimmung einer algebraischen Wurzel gilt, kann der Wert eines Ausdrucks entweder positiv oder negativ sein. Da z 2 = y und (-z) 2 = y gilt also: √y = ± z oder √y = |z |.

Aufgrund der Tatsache, dass die Liebe zur Mathematik mit der Entwicklung der Wissenschaften nur zugenommen hat, gibt es verschiedene Manifestationen der Verbundenheit mit ihr, die sich nicht in trockenen Berechnungen ausdrücken. Zum Beispiel werden neben so amüsanten Phänomenen wie dem Tag der Zahl Pi auch die Quadratwurzelfeiertage gefeiert. Sie werden in hundert Jahren neunmal gefeiert und nach dem folgenden Prinzip bestimmt: Die Zahlen, die den Tag und den Monat bezeichnen, müssen die Quadratwurzel des Jahres sein. Das nächste Mal wird dieser Feiertag also am 4. April 2016 gefeiert.

Quadratwurzeleigenschaften auf dem Körper R

Fast alle mathematischen Ausdrücke sind geometrisch begründet, dieses Schicksal ist nicht verschont geblieben, und √y, das als Seite eines Quadrats mit der Fläche y definiert ist.

Wie finde ich die Wurzel einer Zahl?

Es gibt mehrere Berechnungsalgorithmen. Am einfachsten, aber gleichzeitig auch ziemlich umständlich, ist die übliche arithmetische Berechnung, die wie folgt lautet:

1) ungerade Zahlen werden von der Zahl abgezogen, deren Wurzel wir wiederum brauchen, bis der Rest am Ausgang kleiner als die subtrahierte oder sogar Null ist. Die Anzahl der Züge wird schließlich die erforderliche Anzahl. Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 25:

Die nächste ungerade Zahl ist 11, wir haben den folgenden Rest: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Für solche Fälle gibt es eine Taylor-Reihenentwicklung:

√ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, wobei n von 0 bis reicht

+ und |y|≤1.

Grafische Darstellung der Funktion z = √y

Betrachten Sie eine elementare Funktion z = √y auf dem Körper der reellen Zahlen R, wobei y größer oder gleich Null ist. Seine Grafik sieht so aus:

Die Kurve wächst vom Ursprung aus und schneidet notwendigerweise den Punkt (1; 1).

Eigenschaften der Funktion z = √y auf dem Körper der reellen Zahlen R

1. Der Definitionsbereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus Unendlich (Null ist eingeschlossen).

2. Der Wertebereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus Unendlich (Null ist wieder eingeschlossen).

3. Die Funktion nimmt den Minimalwert (0) nur an der Stelle (0; 0) an. Es gibt keinen Maximalwert.

4. Die Funktion z = √y ist weder gerade noch ungerade.

5. Die Funktion z = √y ist nicht periodisch.

6. Es gibt nur einen Schnittpunkt des Graphen der Funktion z = √y mit den Koordinatenachsen: (0; 0).

7. Der Schnittpunkt des Graphen der Funktion z = √y ist auch der Nullpunkt dieser Funktion.

8. Die Funktion z = √y wächst stetig.

9. Die Funktion z = √y nimmt nur positive Werte an, daher nimmt ihr Graph den ersten Koordinatenwinkel ein.

Varianten der Funktion z = √y

In der Mathematik verwenden sie manchmal die Potenzform der Quadratwurzel, um die Berechnung komplexer Ausdrücke zu erleichtern: √y = y 1/2. Diese Option ist beispielsweise praktisch, um eine Funktion zu potenzieren: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2. Diese Methode ist auch eine gute Darstellung für die Differentiation mit Integration, da dank ihr die Quadratwurzel durch eine gewöhnliche Potenzfunktion dargestellt wird.

Und in der Programmierung ist der Ersatz für das Symbol √ die Buchstabenkombination sqrt.

Anzumerken ist, dass in diesem Bereich die Quadratwurzel sehr gefragt ist, da sie in den meisten für Berechnungen benötigten geometrischen Formeln enthalten ist. Der Zählalgorithmus selbst ist ziemlich kompliziert und basiert auf Rekursion (einer Funktion, die sich selbst aufruft).

Quadratwurzel in einem komplexen Körper C

Im Großen und Ganzen war es das Thema dieses Artikels, das die Entdeckung des Körpers der komplexen Zahlen C anregte, da Mathematiker von der Frage verfolgt wurden, eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl zu erhalten. So entstand die imaginäre Einheit i, die sich durch eine sehr interessante Eigenschaft auszeichnet: ihr Quadrat ist -1. Aus diesem Grund erhalten quadratische Gleichungen und mit einer negativen Diskriminante eine Lösung. In C sind für die Quadratwurzel dieselben Eigenschaften relevant wie in R, nur dass die Restriktionen aus dem Wurzelausdruck entfernt wurden.