So finden Sie allgemeine Matrixlösungen mit der Gaußschen Methode. Die Gauss-Methode oder warum Kinder Mathematik nicht verstehen

In diesem Artikel wird die Methode als eine Möglichkeit betrachtet, lineare Gleichungssysteme (SLAE) zu lösen. Die Methode ist analytisch, dh Sie können einen Lösungsalgorithmus in allgemeiner Form schreiben und dort dann Werte aus bestimmten Beispielen ersetzen. Im Gegensatz zur Matrixmethode oder den Cramerschen Formeln können Sie beim Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Gauß-Methode mit solchen arbeiten, die unendlich viele Lösungen haben. Oder habe es gar nicht.

Was bedeutet es, mit der Gaußschen Methode zu lösen?

Zuerst müssen Sie unser Gleichungssystem in schreiben Es sieht so aus. Das System wird übernommen:

Die Koeffizienten sind in Form einer Tabelle und rechts in einer separaten Spalte freie Begriffe geschrieben. Die Spalte mit freien Elementen ist der Einfachheit halber getrennt. Die Matrix, die diese Spalte enthält, wird als erweitert bezeichnet.

Weiterhin muss die Hauptmatrix mit den Koeffizienten auf die obere Dreiecksform reduziert werden. Dies ist der Hauptpunkt der Lösung des Systems mit der Gaußschen Methode. Einfach ausgedrückt sollte die Matrix nach bestimmten Manipulationen so aussehen, dass in ihrem unteren linken Teil nur Nullen vorhanden sind:

Wenn Sie dann die neue Matrix wieder als Gleichungssystem aufschreiben, werden Sie feststellen, dass die letzte Zeile bereits den Wert einer der Wurzeln enthält, der dann in die obige Gleichung eingesetzt wird, es gibt eine weitere Wurzel, und so an.

Dies ist eine sehr allgemeine Beschreibung einer Gaußschen Lösung. Was passiert, wenn das System plötzlich keine Lösung hat? Oder sind es unendlich viele davon? Um diese und viele weitere Fragen zu beantworten, müssen alle Elemente, die bei der Lösung des Gauß-Verfahrens verwendet werden, separat betrachtet werden.

Matrizen, ihre Eigenschaften

Es gibt keine versteckte Bedeutung in der Matrix. Es ist nur eine bequeme Möglichkeit, Daten zur späteren Bearbeitung aufzuzeichnen. Auch Schulkinder brauchen keine Angst vor ihnen zu haben.

Die Matrix ist immer rechteckig, weil es so bequemer ist. Selbst bei der Gauß-Methode, bei der alles auf die Konstruktion einer Dreiecksmatrix hinausläuft, erscheint im Datensatz ein Rechteck, nur mit Nullen an den Stellen, an denen keine Zahlen sind. Nullen müssen nicht geschrieben werden, sind aber impliziert.

Die Matrix ist bemessen. Seine "Breite" ist die Anzahl der Zeilen (m), seine "Länge" ist die Anzahl der Spalten (n). Dann wird die Größe der Matrix A (zu ihrer Bezeichnung werden üblicherweise lateinische Großbuchstaben verwendet) als A m × n bezeichnet. Wenn m = n ist, ist diese Matrix quadratisch und m = n ist ihre Ordnung. Dementsprechend kann jedes Element der Matrix A durch die Nummer seiner Zeile und Spalte bezeichnet werden: a xy; x - Zeilennummer, ändernd, y - Spaltennummer, ändernd.

B ist nicht der Hauptpunkt der Entscheidung. Im Prinzip können alle Operationen direkt mit den Gleichungen selbst durchgeführt werden, aber die Aufzeichnung wird viel umständlicher und es wird viel einfacher, sich darin zu verwirren.

Bestimmend

Die Matrix hat auch eine Determinante. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft. Es lohnt sich nicht, jetzt seine Bedeutung herauszufinden. Sie können einfach zeigen, wie es berechnet wird, und dann sagen, welche Eigenschaften der Matrix es definiert. Der einfachste Weg, die Determinante zu finden, führt über die Diagonalen. In der Matrix sind imaginäre Diagonalen eingezeichnet; die Elemente auf jedem von ihnen werden multipliziert, und dann werden die resultierenden Produkte addiert: Diagonalen mit einer Neigung nach rechts - mit einem Pluszeichen, mit einer Neigung nach links - mit einem Minuszeichen.

Es ist äußerst wichtig zu beachten, dass die Determinante nur für eine quadratische Matrix berechnet werden kann. Bei einer rechteckigen Matrix können Sie Folgendes tun: Wählen Sie die kleinste Anzahl von Zeilen und Spalten (seien Sie k) und markieren Sie dann auf beliebige Weise k Spalten und k Zeilen in der Matrix. Elemente am Schnittpunkt der ausgewählten Spalten und Zeilen bilden eine neue quadratische Matrix. Wenn die Determinante einer solchen Matrix eine Zahl ungleich Null ist, wird sie als Basis-Minor der ursprünglichen rechteckigen Matrix bezeichnet.

Bevor mit der Lösung des Gleichungssystems nach der Gauß-Methode fortgefahren wird, stört es die Berechnung der Determinante nicht. Wenn er Null ist, können wir sofort sagen, dass die Matrix entweder unendlich viele Lösungen hat oder es gibt überhaupt keine. In einem so traurigen Fall müssen Sie weiter gehen und den Rang der Matrix herausfinden.

Systemklassifizierung

Es gibt so etwas wie den Rang einer Matrix. Dies ist die maximale Ordnung ihrer von Null verschiedenen Determinante (wenn wir uns an das grundlegende Moll erinnern, können wir sagen, dass der Rang einer Matrix die Ordnung des grundlegenden Moll ist).

Übrigens ist es mit dem Rang, SLAE kann unterteilt werden in:

Gemeinsam. Verfügen über Bei kompatiblen Systemen stimmt der Rang der Hauptmatrix (die nur aus Koeffizienten besteht) mit dem Rang der erweiterten (mit einer Spalte von freien Elementen) überein. Solche Systeme haben eine Lösung, aber nicht unbedingt eine, daher werden gemeinsame Systeme zusätzlich unterteilt in:
- sicher- eine einzige Lösung haben. In bestimmten Systemen sind der Rang der Matrix und die Anzahl der Unbekannten (oder die Anzahl der Spalten, die gleich sind) gleich;
- nicht definiert - mit unendlich vielen Lösungen. Der Rang der Matrizen für solche Systeme ist geringer als die Anzahl der Unbekannten.
Unvereinbar. Verfügen über Bei solchen Systemen stimmen die Ränge der Haupt- und der erweiterten Matrizen nicht überein. Inkompatible Systeme haben keine Lösungen.

Die Gauss-Methode ist gut, weil sie es erlaubt, entweder einen eindeutigen Beweis der Inkompatibilität des Systems (ohne die Determinanten großer Matrizen zu berechnen) oder eine allgemeine Lösung für ein System mit unendlich vielen Lösungen zu erhalten.

Elementare Transformationen

Bevor Sie direkt mit der Lösung des Systems fortfahren, können Sie es weniger umständlich und bequemer für Berechnungen machen. Dies wird durch elementare Transformationen erreicht – so dass ihre Umsetzung nichts an der endgültigen Antwort ändert. Es sollte beachtet werden, dass einige der obigen elementaren Transformationen nur für Matrizen gültig sind, deren Quelle genau das SLAE war. Hier ist eine Liste dieser Transformationen:

Permutation von Zeilen. Wenn Sie die Reihenfolge der Gleichungen in der Systemnotation ändern, hat dies natürlich keinen Einfluss auf die Lösung. Folglich können Sie in der Matrix dieses Systems auch Zeilen tauschen, nicht zu vergessen natürlich die Spalte der freien Elemente.
Multiplikation aller Elemente der Linie mit einem Faktor. Sehr hilfreich! Es kann verwendet werden, um große Zahlen in der Matrix zu reduzieren oder Nullen zu entfernen. Viele Lösungen werden sich wie gewohnt nicht ändern und die weitere Bedienung wird bequemer. Die Hauptsache ist, dass der Koeffizient nicht gleich Null ist.
Zeilen mit proportionalen Koeffizienten löschen. Dies folgt teilweise aus dem vorherigen Punkt. Wenn zwei oder mehr Zeilen in der Matrix Proportionalitätskoeffizienten haben, werden beim Multiplizieren / Dividieren einer der Zeilen mit dem Proportionalitätskoeffizienten zwei (oder mehr) absolut identische Zeilen erhalten, und Sie können die zusätzlichen entfernen, so dass nur übrig bleibt eins.
Entfernen einer Nulllinie. Wenn sich bei den Transformationen irgendwo ein String herausgestellt hat, in dem alle Elemente, auch der freie Term, Null sind, dann kann man einen solchen String Null nennen und aus der Matrix werfen.
Addieren zu den Elementen einer Reihe von Elementen einer anderen (gemäß den entsprechenden Spalten), multipliziert mit einem bestimmten Koeffizienten. Die subtilste und wichtigste Transformation von allen. Es lohnt sich, näher darauf einzugehen.

Hinzufügen einer Zeile multipliziert mit einem Faktor

Um das Verständnis zu erleichtern, lohnt es sich, diesen Prozess Schritt für Schritt durchzuführen. Aus der Matrix werden zwei Zeilen entnommen:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Angenommen, Sie müssen den ersten zum zweiten addieren, multipliziert mit dem Koeffizienten "-2".

a "21 = a 21 + -2 × a 11

a "22 = a 22 + -2 × a 12

a "2n = a 2n + -2 × a 1n

Dann wird die zweite Zeile in der Matrix durch eine neue ersetzt und die erste bleibt unverändert.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Es ist zu beachten, dass der Multiplikationsfaktor so gewählt werden kann, dass durch die Addition von zwei Zeilen eines der Elemente der neuen Zeile gleich Null ist. Daher ist es möglich, eine Gleichung in einem System zu erhalten, in dem eine weniger unbekannt ist. Und wenn Sie zwei solcher Gleichungen erhalten, kann die Operation erneut durchgeführt werden und eine Gleichung erhalten, die bereits zwei Unbekannte weniger enthält. Und wenn Sie jedes Mal, wenn Sie einen Koeffizienten für alle Zeilen, die niedriger als das Original sind, auf Null setzen, können Sie, wie in Schritten, bis zum Ende der Matrix gehen und eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten. Dies wird als Lösen des Systems mit der Gaußschen Methode bezeichnet.

Im Allgemeinen

Lass es ein System sein. Es hat m Gleichungen und n unbekannte Wurzeln. Es kann wie folgt geschrieben werden:

Die Hauptmatrix besteht aus den Systemkoeffizienten. Der erweiterten Matrix wird eine Spalte mit freien Elementen hinzugefügt und der Einfachheit halber durch eine Linie getrennt.

die erste Zeile der Matrix wird mit dem Koeffizienten k = (-a 21 / a 11) multipliziert;
die erste modifizierte Zeile und die zweite Zeile der Matrix werden hinzugefügt;
statt der zweiten Zeile wird das Additionsergebnis aus dem vorherigen Absatz in die Matrix eingefügt;
jetzt ist der erste Koeffizient in der neuen zweiten Reihe a 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Jetzt wird die gleiche Reihe von Transformationen durchgeführt, nur die erste und dritte Zeile sind beteiligt. Dementsprechend wird bei jedem Schritt des Algorithmus das Element a 21 durch a 31 ersetzt. Dann wird alles für a 41, ... a m1 wiederholt. Das Ergebnis ist eine Matrix, bei der das erste Element in den Zeilen gleich Null ist. Jetzt müssen wir Zeile Nummer eins vergessen und den gleichen Algorithmus ausführen, beginnend mit der zweiten Zeile:

Koeffizient k = (-a 32 / a 22);
die zweite modifizierte Zeile wird der "aktuellen" Zeile hinzugefügt;
das Additionsergebnis wird in die dritte, vierte usw. Zeile eingesetzt, während die erste und zweite unverändert bleiben;
in den Zeilen der Matrix sind die ersten beiden Elemente bereits gleich Null.

Der Algorithmus muss wiederholt werden, bis der Koeffizient k = (-am, m-1 / a mm) erscheint. Dies bedeutet, dass der Algorithmus das letzte Mal nur für die untere Gleichung ausgeführt wurde. Die Matrix sieht jetzt wie ein Dreieck aus oder hat eine abgestufte Form. Die untere Zeile enthält die Gleichheit a mn × x n = b m. Der Koeffizient und der Achsenabschnitt sind bekannt und die Wurzel wird durch sie ausgedrückt: x n = b m / a mn. Die resultierende Wurzel wird in die obere Reihe eingesetzt, um x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) a m-1, n-1 zu finden. Und so weiter analog: In jeder nächsten Zeile gibt es eine neue Wurzel, und wenn Sie oben im System ankommen, finden Sie viele Lösungen. Es wird der einzige sein.

Wenn es keine Lösungen gibt

Wenn in einer der Matrixzeilen alle Elemente außer dem freien Term gleich Null sind, dann sieht die dieser Zeile entsprechende Gleichung 0 = b aus. Es hat keine Lösung. Und da eine solche Gleichung in ein System eingeschlossen ist, ist die Lösungsmenge des Gesamtsystems leer, also entartet.

Wenn Lösungen endlos sind

Es kann sich herausstellen, dass es in der reduzierten Dreiecksmatrix keine Zeilen mit einem Elementkoeffizienten der Gleichung und einem freien Term gibt. Es gibt nur solche Zeilen, die, wenn sie umgeschrieben werden, die Form einer Gleichung mit zwei oder mehr Variablen haben. Das bedeutet, dass das System unendlich viele Lösungen hat. In diesem Fall kann die Antwort in Form einer allgemeinen Lösung gegeben werden. Wie kann man das machen?

Alle Variablen in der Matrix sind in Basic und Free unterteilt. Basic sind diejenigen, die sich "am Rand" der Zeilen in der Stufenmatrix befinden. Der Rest ist kostenlos. In der allgemeinen Lösung werden Basisvariablen in Form von freien Variablen geschrieben.

Der Einfachheit halber wird die Matrix zunächst wieder in das Gleichungssystem zurückgeschrieben. Im letzten von ihnen, wo genau nur eine Basisvariable übrigbleibt, bleibt sie auf der einen Seite und alles andere wird auf die andere übertragen. Dies erfolgt für jede Gleichung mit einer Basisvariablen. Dann wird, wo möglich, der dafür erhaltene Ausdruck in die restlichen Gleichungen anstelle der Basisvariable eingesetzt. Erscheint dadurch wieder ein Ausdruck, der nur eine Basisvariable enthält, wird er von dort aus wieder ausgedrückt usw., bis jede Basisvariable als Ausdruck mit freien Variablen geschrieben wird. Dies ist die allgemeine Lösung des SLAE.

Sie können auch eine grundlegende Lösung für das System finden - geben Sie freien Variablen beliebige Werte und berechnen Sie dann für diesen speziellen Fall die Werte der Basisvariablen. Private Lösungen gibt es unendlich viele.

Lösung anhand konkreter Beispiele

Hier ist ein Gleichungssystem.

Der Einfachheit halber ist es besser, die Matrix sofort zusammenzustellen

Es ist bekannt, dass beim Lösen nach der Gauß-Methode die Gleichung, die der ersten Zeile am Ende der Transformationen entspricht, unverändert bleibt. Daher ist es rentabler, wenn das obere linke Element der Matrix das kleinste ist - dann verschwinden die ersten Elemente der verbleibenden Zeilen nach den Operationen. Dies bedeutet, dass es in der erstellten Matrix vorteilhaft ist, die erste Zeile durch die zweite zu ersetzen.

zweite Zeile: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

dritte Zeile: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Um nicht zu verwirren, ist es nun notwendig, eine Matrix mit Zwischenergebnissen von Transformationen zu schreiben.

Es liegt auf der Hand, dass eine solche Matrix mit Hilfe einiger Operationen lesbarer gemacht werden kann. In der zweiten Zeile können Sie beispielsweise alle "Minuspunkte" entfernen, indem Sie jedes Element mit "-1" multiplizieren.

Es ist auch erwähnenswert, dass in der dritten Zeile alle Elemente Vielfache von drei sind. Dann können Sie die Zeichenfolge um diese Zahl kürzen und jedes Element mit "-1/3" multiplizieren (minus - gleichzeitig um negative Werte zu entfernen).

Es sieht viel schöner aus. Jetzt müssen wir die erste Zeile in Ruhe lassen und mit der zweiten und dritten arbeiten. Die Aufgabe besteht darin, zur dritten Zeile die zweite zu addieren, multipliziert mit einem solchen Koeffizienten, so dass das Element a 32 gleich Null wird.

k = (-a 32 / a 22) = (-3 / 7) = -3/7 Brüche, und erst später, wenn die Antworten eingegangen sind, entscheiden, ob es sich lohnt zu runden und in eine andere Schreibweise zu übersetzen)

a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a "33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b "3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Die Matrix wird mit neuen Werten neu geschrieben.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Wie Sie sehen, hat die resultierende Matrix bereits eine gestufte Form. Daher sind weitere Transformationen des Systems nach dem Gauß-Verfahren nicht erforderlich. Hier können Sie den Gesamtkoeffizienten "-1/7" aus der dritten Zeile entfernen.

Jetzt ist alles schön. Die Sache ist klein - die Matrix noch einmal in Form eines Gleichungssystems schreiben und die Wurzeln berechnen

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Der Algorithmus, mit dem nun die Wurzeln gefunden werden, wird im Gaußschen Verfahren als Rückwärtsbewegung bezeichnet. Gleichung (3) enthält den Wert von z:

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

Und die erste Gleichung ermöglicht es Ihnen, x zu finden:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Wir haben das Recht, ein solches System gemeinsam zu nennen, und zwar auch definitiv, das heißt, eine einzigartige Lösung zu haben. Die Antwort wird in folgender Form geschrieben:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Ein Beispiel für ein undefiniertes System

Die Variante, ein bestimmtes System nach der Gauss-Methode zu lösen, wurde analysiert, nun muss der Fall betrachtet werden, dass das System unsicher ist, d. h. unendlich viele Lösungen dafür gefunden werden können.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Schon die Form des Systems ist alarmierend, denn die Zahl der Unbekannten n = 5, und der Rang der Matrix des Systems ist bereits genau kleiner als diese Zahl, denn die Anzahl der Zeilen ist m = 4, d. h. die die größte Ordnung des Determinantenquadrats ist 4. Daher gibt es unendlich viele Lösungen, und es ist notwendig, nach ihrer allgemeinen Erscheinung zu suchen. Die Methode von Gauß für lineare Gleichungen ermöglicht Ihnen dies.

Zunächst wird wie gewohnt eine erweiterte Matrix erstellt.

Zweite Zeile: Koeffizient k = (-a 21 / a 11) = -3. In der dritten Zeile steht das erste Element noch vor den Transformationen, Sie müssen also nichts anfassen, Sie müssen es so lassen, wie es ist. Vierte Zeile: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

Multiplizieren wir die Elemente der ersten Zeile nacheinander mit jedem ihrer Koeffizienten und addieren Sie sie mit den erforderlichen Zeilen, erhalten wir eine Matrix der folgenden Form:

Wie Sie sehen, bestehen die zweite, dritte und vierte Zeile aus zueinander proportionalen Elementen. Die zweite und vierte sind im Allgemeinen gleich, sodass eine von ihnen sofort entfernt werden kann und die verbleibende mit dem Koeffizienten "-1" multipliziert werden kann, um die Zeilennummer 3 zu erhalten. Und wieder eine der beiden identischen Zeilen verlassen.

Das Ergebnis ist eine solche Matrix. Das System ist noch nicht aufgeschrieben, hier gilt es, die Basisvariablen zu bestimmen - stehend mit den Koeffizienten a 11 = 1 und a 22 = 1 und frei - alles andere.

In der zweiten Gleichung gibt es nur eine Basisvariable - x 2. Daher kann es von dort durch Schreiben in den Variablen x 3, x 4, x 5 ausgedrückt werden, die frei sind.

Setze den resultierenden Ausdruck in die erste Gleichung ein.

Das Ergebnis ist eine Gleichung, in der die einzige Basisvariable x 1 ist. Machen wir damit dasselbe wie mit x 2.

Alle Basisvariablen, von denen es zwei gibt, werden in Form von drei freien Variablen ausgedrückt, jetzt können Sie die Antwort in allgemeiner Form schreiben.

Sie können auch eine der speziellen Lösungen des Systems angeben. Für solche Fälle werden in der Regel Nullen als Werte für freie Variablen gewählt. Dann wäre die Antwort:

16, 23, 0, 0, 0.

Ein Beispiel für ein inkonsistentes System

Die Lösung inkonsistenter Gleichungssysteme nach der Gauss-Methode ist am schnellsten. Es endet sofort, sobald auf einer der Stufen eine Gleichung erhalten wird, die keine Lösung hat. Das heißt, die Phase mit der Berechnung der Wurzeln, die ziemlich lang und trist ist, verschwindet. Es wird folgendes System betrachtet:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Wie üblich wird eine Matrix erstellt:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Und es reduziert sich auf eine Stufenansicht:

k1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nach der ersten Transformation enthält die dritte Zeile eine Gleichung der Form

keine Lösung haben. Daher ist das System inkonsistent, und die Antwort ist die leere Menge.

Vor- und Nachteile der Methode

Wenn Sie sich für eine Methode zum Lösen von SLAEs auf Papier mit einem Stift entscheiden, sieht die in diesem Artikel beschriebene Methode am attraktivsten aus. Elementare Transformationen sind viel schwieriger zu verwechseln, als wenn Sie manuell nach einer Determinante oder einer cleveren inversen Matrix suchen müssen. Wenn Sie jedoch Programme zum Arbeiten mit Daten dieser Art verwenden, beispielsweise Tabellenkalkulationen, stellt sich heraus, dass solche Programme bereits über Algorithmen zur Berechnung der Hauptparameter von Matrizen verfügen - Determinante, Nebenwerte, Inverse usw. Und wenn Sie sicher sein können, dass die Maschine diese Werte selbst berechnet und sich nicht irrt, ist es sinnvoller, die Matrixmethode oder die Cramerschen Formeln zu verwenden, da ihre Anwendung mit der Berechnung von Determinanten und inversen Matrizen beginnt und endet.

Anwendung

Da eine Gaußsche Lösung ein Algorithmus ist und eine Matrix tatsächlich ein zweidimensionales Array ist, kann sie in der Programmierung verwendet werden. Da sich der Artikel jedoch als Leitfaden "für Dummies" positioniert, sei gesagt, dass der einfachste Ort, an dem die Methode eingeschoben werden kann, Tabellenkalkulationen, beispielsweise Excel, sind. Auch hier wird jede SLAE, die in Form einer Matrix in eine Tabelle eingegeben wird, von Excel als zweidimensionales Array betrachtet. Und für Operationen mit ihnen gibt es viele nette Befehle: Addition (nur Matrizen der gleichen Größe können addiert werden!), Multiplikation mit einer Zahl, Matrixmultiplikation (auch mit gewissen Einschränkungen), Finden der inversen und transponierten Matrizen und, die meisten Wichtig ist, die Determinante zu berechnen. Wird diese mühsame Aufgabe durch einen Befehl ersetzt, ist es möglich, den Rang der Matrix viel schneller zu bestimmen und damit deren Kompatibilität bzw. Inkonsistenz festzustellen.

Gauss-Methode perfekt zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen (SLAE). Es hat mehrere Vorteile gegenüber anderen Methoden:

erstens muss das Gleichungssystem nicht erst auf Kompatibilität untersucht werden;
zweitens können mit der Gauß-Methode nicht nur SLAEs gelöst werden, bei denen die Zahl der Gleichungen mit der Zahl der unbekannten Variablen übereinstimmt und die Hauptmatrix des Systems nicht entartet ist, sondern auch Gleichungssysteme, bei denen die Zahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmen oder die Determinante der Hauptmatrix Null ist;
drittens führt das Gauß-Verfahren zu einem Ergebnis mit relativ wenigen Rechenoperationen.

Kurzer Überblick über den Artikel.

Zuerst geben wir die notwendigen Definitionen und führen die Notation ein.

Als nächstes beschreiben wir den Algorithmus der Gauß-Methode für den einfachsten Fall, d. h. für Systeme linearer algebraischer Gleichungen, bei denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt und die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich . ist Null. Bei der Lösung solcher Gleichungssysteme wird das Wesen der Gauß-Methode am deutlichsten sichtbar, das in der sukzessiven Eliminierung unbekannter Variablen besteht. Daher wird das Gauss-Verfahren auch als Verfahren der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten bezeichnet. Lassen Sie uns detaillierte Lösungen von mehreren Beispielen zeigen.

Betrachten wir abschließend die Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen, deren Hauptmatrix entweder rechteckig oder entartet ist, nach der Gauß-Methode. Die Lösung solcher Systeme weist einige Features auf, die wir anhand von Beispielen im Detail analysieren werden.

Seitennavigation.

Grundlegende Definitionen und Notation.

Betrachten Sie ein System von p linearen Gleichungen mit n Unbekannten (p kann gleich n sein):

Wo sind unbekannte Variablen, sind Zahlen (reell oder komplex) und sind freie Mitglieder.

Wenn , dann heißt das lineare algebraische Gleichungssystem homogen, sonst - heterogen.

Die Menge der Werte unbekannter Variablen, für die alle Gleichungen des Systems zu Identitäten werden, heißt Entscheidung des SLAE.

Gibt es mindestens eine Lösung eines linearen algebraischen Gleichungssystems, dann heißt es gemeinsam, sonst - inkonsistent.

Wenn die SLAE eine eindeutige Lösung hat, heißt sie ein bestimmter... Wenn es mehr als eine Lösung gibt, heißt das System nicht definiert.

Das System heißt geschrieben in Koordinatenform wenn es die form hat
.

Dieses System in Matrixform Datensatz hat die Form, wo - die Hauptmatrix des SLAE, - die Matrix der Spalte der unbekannten Variablen, - die Matrix der freien Terme.

Fügen wir der Matrix A als (n + 1)-te Spalte die Matrixspalte der freien Terme hinzu, so erhalten wir das sogenannte erweiterte Matrix lineare Gleichungssysteme. Normalerweise wird die erweiterte Matrix mit dem Buchstaben T bezeichnet und die Spalte der freien Elemente ist durch eine vertikale Linie vom Rest der Spalten getrennt, dh

Die quadratische Matrix A heißt degenerieren wenn seine Determinante null ist. Wenn, dann heißt die Matrix A nicht entartet.

Der nächste Punkt sollte besprochen werden.

Wenn Sie die folgenden Aktionen mit einem System linearer algebraischer Gleichungen durchführen

vertausche zwei Gleichungen,
beide Seiten einer Gleichung mit einer beliebigen von Null verschiedenen reellen (oder komplexen) Zahl k multiplizieren,
zu beiden Seiten einer Gleichung addieren Sie die entsprechenden Teile der anderen Gleichung, multipliziert mit einer beliebigen Zahl k,

dann erhalten wir ein äquivalentes System, das die gleichen Lösungen hat (oder, wie das Original, keine Lösungen hat).

Für eine erweiterte Matrix eines Systems linearer algebraischer Gleichungen bedeuten diese Aktionen die Durchführung elementarer Transformationen mit Zeilen:

Permutation von zwei Linien an Stellen,
Multiplikation aller Elemente einer beliebigen Zeile der Matrix T mit einer von Null verschiedenen Zahl k,
Addieren zu den Elementen einer beliebigen Reihe der Matrix die entsprechenden Elemente einer anderen Reihe, multipliziert mit einer beliebigen Zahl k.

Nun können Sie mit der Beschreibung der Gauß-Methode fortfahren.

Die Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist und die Hauptmatrix des Systems nicht entartet ist, nach der Gauß-Methode.

Was würden wir in der Schule machen, wenn wir die Aufgabe hätten, eine Lösung für das Gleichungssystem zu finden .

Manche würden das tun.

Beachten Sie, dass wir durch Addieren der linken Seite der ersten zur linken Seite der zweiten Gleichung und der rechten Seite zur rechten Seite die unbekannten Variablen x 2 und x 3 loswerden und sofort x 1 finden können:

Setze den gefundenen Wert x 1 = 1 in die erste und dritte Gleichung des Systems ein:

Multiplizieren wir beide Seiten der dritten Gleichung des Systems mit -1 und addieren sie zu den entsprechenden Teilen der ersten Gleichung, dann werden wir die unbekannte Variable x 3 los und können x 2 finden:

Setze den resultierenden Wert x 2 = 2 in die dritte Gleichung ein, um die verbleibende unbekannte Variable x 3 zu finden:

Andere hätten es anders gemacht.

Lösen wir die erste Gleichung des Systems nach der unbekannten Variablen x 1 und setzen wir den resultierenden Ausdruck in die zweite und dritte Gleichung des Systems ein, um diese Variable daraus auszuschließen:

Lösen wir nun die zweite Gleichung des Systems nach x 2 und setzen wir das erhaltene Ergebnis in die dritte Gleichung ein, um die unbekannte Variable x 2 daraus auszuschließen:

Aus der dritten Gleichung des Systems kann man sehen, dass x 3 = 3. Aus der zweiten Gleichung finden wir , und aus der ersten Gleichung erhalten wir.

Bekannte Lösungen, nicht wahr?

Das Interessanteste dabei ist, dass die zweite Lösung im Wesentlichen die Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten ist, also die Gauss-Methode. Als wir unbekannte Variablen ausdrückten (zuerst x 1, in der nächsten Stufe x 2) und sie in die restlichen Gleichungen des Systems einsetzten, schlossen wir sie dadurch aus. Wir haben den Ausschluss so lange durchgeführt, bis in der letzten Gleichung nur noch eine unbekannte Variable übrig war. Der Vorgang der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten heißt durch den direkten Verlauf der Gauß-Methode... Nach Abschluss des direkten Zuges haben wir die Möglichkeit, die in der letzten Gleichung gefundene unbekannte Variable zu berechnen. Mit ihrer Hilfe finden wir aus der vorletzten Gleichung die nächste unbekannte Variable und so weiter. Der Prozess des sequentiellen Findens unbekannter Variablen, während wir von der letzten Gleichung zur ersten gehen, heißt Rückwärts-Gaußsche Methode.

Es sollte beachtet werden, dass, wenn wir x 1 bis x 2 und x 3 in der ersten Gleichung ausdrücken und dann den resultierenden Ausdruck in der zweiten und dritten Gleichung ersetzen, die folgenden Aktionen zum gleichen Ergebnis führen:

Tatsächlich ermöglicht es ein solches Verfahren auch, die unbekannte Variable x 1 aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems zu eliminieren:

Nuancen bei der Eliminierung unbekannter Variablen durch das Gauss-Verfahren treten auf, wenn die Gleichungen des Systems einige Variablen nicht enthalten.

Zum Beispiel in SLAE die erste Gleichung enthält nicht die unbekannte Variable x 1 (mit anderen Worten, der Koeffizient davor ist gleich Null). Daher können wir die erste Gleichung des Systems nicht nach x 1 lösen, um diese unbekannte Variable aus den restlichen Gleichungen auszuschließen. Der Ausweg aus dieser Situation besteht darin, die Gleichungen des Systems neu zu ordnen. Da wir lineare Gleichungssysteme betrachten, deren Determinanten der Hauptmatrizen von Null verschieden sind, gibt es immer eine Gleichung, in der die von uns benötigte Variable vorhanden ist, und wir können diese Gleichung an die von uns benötigte Position umstellen. Für unser Beispiel reicht es, die erste und die zweite Gleichung des Systems zu vertauschen , dann können Sie die erste Gleichung nach x 1 lösen und aus den restlichen Gleichungen des Systems ausschließen (obwohl x 1 in der zweiten Gleichung bereits fehlt).

Wir hoffen, Sie verstehen das Wesentliche.

Lass uns beschreiben Algorithmus der Gauß-Methode.

Angenommen, wir müssen ein System von n linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen der Form . lösen , und die Determinante ihrer Hauptmatrix sei von Null verschieden.

Wir gehen davon aus, da wir dies immer erreichen können, indem wir die Gleichungen des Systems umstellen. Eliminieren Sie die unbekannte Variable x 1 aus allen Gleichungen des Systems, beginnend mit der zweiten. Dazu addieren wir zur zweiten Gleichung des Systems die erste, multipliziert mit, zur dritten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit. Das Gleichungssystem nach solchen Transformationen hat die Form

wo und .

Wir würden zum gleichen Ergebnis kommen, wenn wir x 1 durch andere unbekannte Variablen in der ersten Gleichung des Systems ausdrücken und den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen einsetzen. Somit wird die Variable x 1 aus allen Gleichungen ausgeschlossen, beginnend mit der zweiten.

Als nächstes verfahren wir ähnlich, aber nur mit einem Teil des resultierenden Systems, der in der Abbildung markiert ist

Dazu addieren wir zur dritten Gleichung des Systems die zweite multipliziert mit, zur vierten Gleichung addieren wir die zweite multipliziert mit usw. Zur n-ten Gleichung addieren wir die zweite multipliziert mit. Das Gleichungssystem nach solchen Transformationen hat die Form

wo und ... Somit wird die Variable x 2 aus allen Gleichungen ausgeschlossen, beginnend mit der dritten.

Als nächstes fahren wir mit der Eliminierung der Unbekannten x 3 fort, während wir mit dem in der Abbildung markierten Teil des Systems ähnlich vorgehen

Wir setzen also den direkten Verlauf des Gauß-Verfahrens fort, bis das System die Form annimmt

Von diesem Moment an beginnen wir den umgekehrten Ablauf der Gauß-Methode: Wir berechnen xn aus der letzten Gleichung, indem wir mit dem erhaltenen Wert von xn x n-1 aus der vorletzten Gleichung finden, und so weiter, wir finden x 1 aus die erste Gleichung.

Analysieren wir den Algorithmus anhand eines Beispiels.

Beispiel.

nach der Gauß-Methode.

Lösung.

Der Koeffizient a 11 ist ungleich Null, also fahren wir mit dem direkten Ablauf des Gauß-Verfahrens fort, dh zur Eliminierung der unbekannten Variablen x 1 aus allen Gleichungen des Systems, mit Ausnahme der ersten. Addiere dazu die linke und rechte Seite der ersten Gleichung zur linken und rechten Seite der zweiten, dritten und vierten Gleichung, jeweils multipliziert mit und :

Die unbekannte Variable x 1 wurde ausgeschlossen, fahren Sie mit dem Ausschluss von x 2 fort. Zur linken und rechten Seite der dritten und vierten Gleichung des Systems addieren wir die linke und rechte Seite der zweiten Gleichung, jeweils multipliziert mit und :

Um den direkten Verlauf des Gauß-Verfahrens zu vervollständigen, bleibt uns noch übrig, die unbekannte Variable x 3 aus der letzten Gleichung des Systems auszuschließen. Addiere zur linken bzw. rechten Seite der vierten Gleichung die linke und rechte Seite der dritten Gleichung, multipliziert mit :

Sie können damit beginnen, die Gaußsche Methode umzukehren.

Aus der letzten Gleichung haben wir ,
aus der dritten Gleichung erhalten wir
vom zweiten,
vom ersten.

Zur Überprüfung können Sie die erhaltenen Werte unbekannter Variablen in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen. Alle Gleichungen werden zu Identitäten, was bedeutet, dass die Lösung nach der Gauß-Methode richtig gefunden wird.

Antworten:

Und jetzt geben wir die Lösung desselben Beispiels mit der Gauß-Methode in Matrixnotation.

Beispiel.

Finden Sie die Lösung des Gleichungssystems nach der Gauß-Methode.

Lösung.

Die erweiterte Matrix des Systems hat die Form ... Über jeder Spalte stehen unbekannte Variablen, die den Elementen der Matrix entsprechen.

Der direkte Verlauf des Gauß-Verfahrens besteht hier darin, die erweiterte Matrix des Systems durch elementare Transformationen auf eine Trapezform zu reduzieren. Dieser Vorgang ähnelt der Eliminierung unbekannter Variablen, die wir mit einem Koordinatensystem durchgeführt haben. Davon werden Sie jetzt überzeugt sein.

Lassen Sie uns die Matrix so transformieren, dass alle Elemente in der ersten Spalte, beginnend mit der zweiten, Null werden. Dazu addieren Sie zu den Elementen der zweiten, dritten und vierten Zeile die entsprechenden Elemente der ersten Zeile multipliziert mit, bzw. auf:

Als nächstes transformieren wir die resultierende Matrix so, dass in der zweiten Spalte alle Elemente ab der dritten Null werden. Dies entspricht der Eliminierung der unbekannten Variablen x 2. Dazu addieren wir zu den Elementen der dritten und vierten Zeile die entsprechenden Elemente der ersten Zeile der Matrix, jeweils multipliziert mit und :

Es bleibt noch die unbekannte Variable x 3 aus der letzten Gleichung des Systems zu eliminieren. Dazu addieren wir zu den Elementen der letzten Zeile der resultierenden Matrix die entsprechenden Elemente der vorletzten Zeile, multipliziert mit :

Es ist zu beachten, dass diese Matrix dem linearen Gleichungssystem entspricht

die früher nach dem direkten Umzug erhalten wurde.

Es ist Zeit, zurückzukehren. In der Matrixschreibweise setzt die Umkehrung der Gaußschen Methode eine solche Transformation der resultierenden Matrix voraus, sodass die in der Abbildung markierte Matrix

wurde diagonal, das heißt, nahm die Form an

wo sind einige zahlen.

Diese Transformationen ähneln den Gaußschen Vorwärtstransformationen, werden jedoch nicht von der ersten bis zur letzten Zeile, sondern von der letzten zur ersten durchgeführt.

Addiere zu den Elementen der dritten, zweiten und ersten Zeile die entsprechenden Elemente der letzten Zeile, multipliziert mit , und weiter bzw:

Fügen wir nun zu den Elementen der zweiten und ersten Zeile die entsprechenden Elemente der dritten Zeile hinzu, multipliziert mit bzw.:

Im letzten Schritt des umgekehrten Schritts der Gaußschen Methode addieren Sie die entsprechenden Elemente der zweiten Reihe, multipliziert mit:

Die resultierende Matrix entspricht dem Gleichungssystem , woher wir unbekannte Variablen finden.

Antworten:

BEACHTEN SIE.

Bei der Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode sollten Näherungsrechnungen vermieden werden, da dies zu völlig falschen Ergebnissen führen kann. Wir empfehlen, Dezimalstellen nicht zu runden. Es ist besser, von Dezimalbrüchen zu gewöhnlichen Brüchen zu wechseln.

Beispiel.

Lösen Sie ein System von drei Gleichungen mit der Gaußschen Methode .

Lösung.

Beachten Sie, dass die unbekannten Variablen in diesem Beispiel eine andere Schreibweise haben (nicht x 1, x 2, x 3, sondern x, y, z). Kommen wir zu den gewöhnlichen Brüchen:

Eliminieren Sie das unbekannte x aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems:

Im resultierenden System gibt es in der zweiten Gleichung keine unbekannte Variable y und in der dritten Gleichung ist y vorhanden, daher werden wir die zweite und dritte Gleichung vertauschen:

Damit ist der direkte Durchlauf des Gauß-Verfahrens abgeschlossen (es ist nicht notwendig, y aus der dritten Gleichung auszuschließen, da diese unbekannte Variable nicht mehr existiert).

Wir gehen in umgekehrter Reihenfolge vor.

Aus der letzten Gleichung finden wir ,
vom vorletzten

aus der ersten Gleichung haben wir

Antworten:

X = 10, y = 5, z = -20.

Die Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen, bei denen die Zahl der Gleichungen nicht mit der Zahl der Unbekannten übereinstimmt oder die Grundmatrix des Systems entartet ist, erfolgt nach der Gauß-Methode.

Gleichungssysteme, deren Hauptmatrix rechteckig oder quadratisch entartet ist, haben möglicherweise keine Lösungen, können eine eindeutige Lösung haben und können eine unendliche Menge von Lösungen haben.

Wir werden nun herausfinden, wie es uns mit der Gauß-Methode ermöglicht, die Kompatibilität oder Inkompatibilität eines linearen Gleichungssystems festzustellen und im Falle seiner Kompatibilität alle Lösungen (oder eine einzelne Lösung) zu bestimmen.

Im Prinzip bleibt der Prozess der Eliminierung unbekannter Variablen bei solchen SLAEs gleich. Sie sollten jedoch auf einige Situationen eingehen, die auftreten können.

Wir gehen zur wichtigsten Phase über.

Nehmen wir also an, dass das lineare algebraische Gleichungssystem nach Abschluss des direkten Verlaufs des Gauß-Verfahrens die Form und keine einzige Gleichung wurde reduziert (in diesem Fall würden wir schließen, dass das System inkompatibel ist). Es stellt sich eine logische Frage: "Was ist als nächstes zu tun?"

Schreiben wir die unbekannten Variablen auf, die an erster Stelle aller Gleichungen des resultierenden Systems stehen:

In unserem Beispiel sind dies x 1, x 4 und x 5. Auf der linken Seite der Gleichungen des Systems belassen wir nur die Terme, die die ausgeschriebenen unbekannten Variablen x 1, x 4 und x 5 enthalten, die restlichen Terme werden mit dem auf die rechte Seite der Gleichungen übertragen entgegengesetztem Vorzeichen:

Weisen wir den unbekannten Variablen, die sich auf der rechten Seite der Gleichungen befinden, beliebige Werte zu, wobei - beliebige Zahlen:

Danach finden sich auf der rechten Seite aller Gleichungen unseres SLAE Zahlen, und wir können zur Umkehrung der Gauß-Methode übergehen.

Aus den letzten Gleichungen des Systems haben wir, aus der vorletzten Gleichung finden wir, aus der ersten Gleichung erhalten wir

Die Lösung des Gleichungssystems ist eine Menge von Werten unbekannter Variablen

Zahlen geben unterschiedlichen Werten, erhalten wir unterschiedliche Lösungen des Gleichungssystems. Das heißt, unser Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Antworten:

wo - willkürliche Zahlen.

Um das Material zu festigen, werden wir die Lösungen mehrerer weiterer Beispiele im Detail analysieren.

Beispiel.

Löse ein homogenes System linearer algebraischer Gleichungen nach der Gauß-Methode.

Lösung.

Eliminieren Sie die unbekannte Variable x aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems. Dazu addieren wir zur linken und rechten Seite der zweiten Gleichung jeweils die linke und rechte Seite der ersten Gleichung multipliziert mit und zur linken und rechten Seite der dritten Gleichung - die linke und rechte Seite von die erste Gleichung, multipliziert mit:

Nun schließen wir y aus der dritten Gleichung des resultierenden Gleichungssystems aus:

Das resultierende SLAE entspricht dem System .

Wir belassen auf der linken Seite der Gleichungen des Systems nur die Terme mit den unbekannten Variablen x und y und übertragen die Terme mit der unbekannten Variablen z auf die rechte Seite:

Die Methode von Gauß ist einfach! Wieso den? Der berühmte deutsche Mathematiker Johann Karl Friedrich Gauß wurde zu Lebzeiten als der größte Mathematiker aller Zeiten, als Genie und sogar als „König der Mathematik“ anerkannt. Und alles Geniale ist bekanntlich einfach! Für Geld werden übrigens nicht nur Wichser, sondern auch Genies bezahlt - das Porträt von Gauß war auf der 10-D-Mark-Banknote (vor der Euro-Einführung), und Gauß lächelt die Deutschen noch immer geheimnisvoll von gewöhnlichen Briefmarken an.

Die Gauss-Methode ist insofern einfach, als das Wissen eines 5-Klassen-Schülers GENUG ist, um sie zu beherrschen. Sie müssen addieren und multiplizieren können! Es ist kein Zufall, dass Lehrer oft die Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten in Mathematik-Wahlfächern in der Schule in Betracht ziehen. Paradoxerweise ist die Gauss-Methode für Studenten am schwierigsten. Kein Wunder - der springende Punkt liegt in der Methodik, und ich werde versuchen, Ihnen den Algorithmus der Methode in zugänglicher Form zu erklären.

Lassen Sie uns zunächst das Wissen über lineare Gleichungssysteme ein wenig systematisieren. Ein lineares Gleichungssystem kann:

1) Habe eine einzigartige Lösung.
2) Habe unendlich viele Lösungen.
3) Habe keine Lösungen (be inkonsistent).

Die Gaußsche Methode ist das mächtigste und vielseitigste Werkzeug, um eine Lösung zu finden beliebig lineare Gleichungssysteme. Wie wir uns erinnern Cramersche Regel und Matrixmethode ungeeignet in Fällen, in denen das System unendlich viele Lösungen hat oder inkompatibel ist. Und die Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten auf jeden Fall führt uns zur Antwort! In dieser Lektion betrachten wir wieder die Gauß-Methode für Fall Nr. 1 (die einzige Lösung des Systems), ein Artikel ist der Situation der Punkte Nr. 2-3 vorbehalten. Beachten Sie, dass der Algorithmus der Methode selbst in allen drei Fällen gleich funktioniert.

Kehren wir zum einfachsten System aus der Lektion zurück Wie löst man ein lineares Gleichungssystem?
und löse sie nach der Gauß-Methode.

In der ersten Phase müssen Sie schreiben erweiterte Systemmatrix:
... Nach welchem Prinzip die Koeffizienten geschrieben sind, kann meiner Meinung nach jeder sehen. Der vertikale Balken innerhalb der Matrix hat keine mathematische Bedeutung - er ist nur eine Unterstreichung zur Vereinfachung des Designs.

Hinweis :Ich empfehle, sich zu erinnern Bedingungen Lineare Algebra. Systemmatrix Ist eine Matrix, die nur aus den Koeffizienten mit Unbekannten besteht, in diesem Beispiel die Matrix des Systems:. Erweiterte Systemmatrix- Dies ist die gleiche Matrix des Systems plus eine Spalte mit freien Elementen, in diesem Fall:. Jede der Matrizen kann der Kürze halber einfach als Matrix bezeichnet werden.

Nachdem die erweiterte Matrix des Systems aufgeschrieben wurde, müssen einige Aktionen damit ausgeführt werden, die auch als . bezeichnet werden elementare Transformationen.

Es gibt folgende elementare Transformationen:

1) Saiten Matrizen kann neu anordnen setzt. In der betrachteten Matrix können Sie beispielsweise die erste und zweite Reihe schmerzlos neu anordnen:

2) Wenn die Matrix proportionale (als Sonderfall - gleiche) Zeilen enthält (oder erscheint), dann folgt löschen aus der Matrix alle diese Zeilen außer einer. Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix ... In dieser Matrix sind die letzten drei Zeilen proportional, daher reicht es aus, nur eine davon zu belassen: .

3) Wenn während der Transformationen eine Nullzeile in der Matrix auftauchte, dann folgt auch löschen... Ich werde natürlich nicht zeichnen, die Nulllinie ist die Linie, in der nur Nullen.

4) Die Zeile der Matrix kann sein multiplizieren (dividieren) nach beliebiger Zahl, ungleich null... Betrachten Sie zum Beispiel eine Matrix. Hier empfiehlt es sich, die erste Zeile durch –3 zu teilen und die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren: ... Diese Aktion ist sehr nützlich, da sie weitere Matrixtransformationen vereinfacht.

5) Diese Transformation ist die schwierigste, aber tatsächlich ist sie auch nicht kompliziert. Zu einer Zeile einer Matrix können Sie füge eine weitere Zeichenfolge multipliziert mit einer Zahl hinzu ungleich null. Betrachten Sie unsere Matrix an einem praktischen Beispiel:. Zuerst beschreibe ich die Konvertierung im Detail. Multiplizieren Sie die erste Zeile mit –2: , und zur zweiten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit –2: ... Jetzt kann die erste Zeile durch –2: „zurück“ geteilt werden. Wie Sie sehen können, ist die Zeile, die ADD LEE – hat sich nicht geändert. Ist immerändert die Zeile, AUF WELCHE DIE ERHÖHUNG UT.

In der Praxis beschreiben sie natürlich nicht so detailliert, sondern schreiben kürzer:

Nochmals: zur zweiten Zeile addierte die erste Zeile multipliziert mit –2... Die Zeichenfolge wird meist mündlich oder auf einem Entwurf multipliziert, während der mentale Ablauf der Berechnungen etwa so ist:

„Ich schreibe die Matrix um und schreibe die erste Zeile neu: »

„Erste Spalte zuerst. Unten muss ich null bekommen. Daher multipliziere ich die obere Einheit mit –2: und füge die erste zur zweiten Zeile hinzu: 2 + (–2) = 0. Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile: »

„Nun zur zweiten Spalte. Oben –1 multipliziert mit –2:. Ich füge die erste in die zweite Zeile ein: 1 + 2 = 3. Ich schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile: »

„Und die dritte Spalte. Oben –5 multipliziert mit –2:. Ich füge die erste in die zweite Zeile ein: –7 + 10 = 3. Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile: »

Bitte verstehen Sie dieses Beispiel sorgfältig und verstehen Sie den sequentiellen Algorithmus der Berechnungen. Wenn Sie dies verstehen, ist die Gauss-Methode praktisch "in Ihrer Tasche". Aber natürlich werden wir an dieser Transformation arbeiten.

Elementare Transformationen ändern nichts an der Lösung des Gleichungssystems

! AUFMERKSAMKEIT: überlegte Manipulationen Kann ich nicht benutzen, wenn Ihnen eine Aufgabe angeboten wird, bei der die Matrizen "von selbst" vorgegeben werden. Zum Beispiel mit "klassisch" Aktionen mit Matrizen Auf keinen Fall sollten Sie innerhalb der Matrizen etwas umordnen!

Kehren wir zu unserem System zurück. Sie ist praktisch in Stücke zerlegt.

Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems auf und reduzieren sie mit elementaren Transformationen auf Stufenansicht:

(1) Die erste Zeile multipliziert mit –2 wurde zur zweiten Zeile addiert. Und noch einmal: Warum wird die erste Zeile genau mit –2 multipliziert? Um unten Null zu bekommen, was bedeutet, eine Variable in der zweiten Zeile loszuwerden.

(2) Teilen Sie die zweite Reihe durch 3.

Das Ziel elementarer Transformationen – bringe die Matrix in eine Stufenform: ... Bei der Gestaltung der Aufgabe wird die "Leiter" mit einem einfachen Bleistift markiert und die Zahlen, die sich auf den "Stufen" befinden, eingekreist. Der Begriff "Stufentyp" selbst ist nicht ganz theoretisch; in der wissenschaftlichen und pädagogischen Literatur wird er oft als trapezförmige Ansicht oder Dreiecksansicht.

Als Ergebnis elementarer Transformationen erhalten wir Äquivalent ursprüngliches Gleichungssystem:

Nun muss das System in die entgegengesetzte Richtung "abgerollt" werden - von unten nach oben heißt dieser Vorgang Rückwärts-Gaußsche Methode.

In der unteren Gleichung haben wir bereits ein fertiges Ergebnis:.

Betrachten wir die erste Gleichung des Systems und setzen Sie den bereits bekannten Wert von "game" ein:

Betrachten wir die häufigste Situation, in der die Gauß-Methode die Lösung eines Systems von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten erfordert.

Beispiel 1

Lösen Sie das Gleichungssystem nach der Gauß-Methode:

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf:

Jetzt ziehe ich gleich das Ergebnis, zu dem wir im Laufe der Lösung kommen werden:

Und wieder ist es unser Ziel, die Matrix durch elementare Transformationen in eine gestufte Form zu bringen. Wo soll die Aktion beginnen?

Zuerst schauen wir uns die Nummer oben links an:

Es sollte fast immer hier sein Einheit... Im Allgemeinen ist –1 in Ordnung (und manchmal auch andere Zahlen), aber irgendwie ist es so traditionell passiert, dass die Einheit normalerweise dort platziert wird. Wie organisiert man eine Einheit? Wir schauen uns die erste Spalte an - wir haben eine fertige Einheit! Erste Transformation: Vertauschen Sie die erste und dritte Zeile:

Nun bleibt die erste Zeile bis zum Ende der Lösung unverändert.... Nun gut.

Die Einheit oben links ist organisiert. Jetzt müssen Sie an diesen Stellen Nullen erhalten:

Die Nullstellen bekommen wir nur mit Hilfe der "schwierigen" Transformation. Zuerst beschäftigen wir uns mit der zweiten Zeile (2, –1, 3, 13). Was ist zu tun, um Null an erster Stelle zu bekommen? Müssen zur zweiten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit –2... Multiplizieren Sie die erste Zeile gedanklich oder in einem Entwurf mit –2: (–2, –4, 2, –18). Und wir führen konsequent (wieder gedanklich oder auf Entwurf) Ergänzungen durch, zur zweiten Zeile fügen wir die erste Zeile hinzu, bereits mit –2 . multipliziert:

Das Ergebnis schreiben wir in die zweite Zeile:

Die dritte Zeile behandeln wir analog (3, 2, –5, –1). Um Null an erster Stelle zu bekommen, brauchst du zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit –3... Multiplizieren Sie die erste Zeile gedanklich oder in einem Entwurf mit –3: (–3, –6, 3, –27). UND zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit –3:

Das Ergebnis schreiben wir in die dritte Zeile:

In der Praxis werden diese Handlungen meist mündlich durchgeführt und in einem Schritt protokolliert:

Du musst nicht alles auf einmal und gleichzeitig zählen... Die Reihenfolge der Berechnungen und das "Schreiben" der Ergebnisse konsistent und normalerweise so: Zuerst schreiben wir die erste Zeile um und blasen uns heimlich auf - SEQUENTIAL und SORGSAM:

Und den mentalen Ablauf der Berechnungen selbst habe ich oben bereits untersucht.

In diesem Beispiel ist dies einfach zu bewerkstelligen, die zweite Zeile wird durch –5 geteilt (da alle Zahlen ohne Rest durch 5 teilbar sind). Gleichzeitig teilen wir die dritte Zeile durch –2, denn je kleiner die Zahlen, desto einfacher die Lösung:

In der letzten Phase der elementaren Transformationen müssen Sie hier eine weitere Null erhalten:

Dafür zur dritten Zeile addieren Sie die zweite Zeile multipliziert mit –2:

Versuchen Sie, diese Aktion selbst zu analysieren - multiplizieren Sie die zweite Zeile gedanklich mit –2 und addieren Sie.

Die zuletzt ausgeführte Aktion ist die Frisur des Ergebnisses, dividiere die dritte Zeile durch 3.

Als Ergebnis elementarer Transformationen wurde ein äquivalentes Ausgangssystem linearer Gleichungen erhalten:

Cool.

Jetzt kommt die Umkehrung der Gaußschen Methode ins Spiel. Die Gleichungen "entwickeln" sich von unten nach oben.

In der dritten Gleichung haben wir bereits ein fertiges Ergebnis:

Wir betrachten die zweite Gleichung:. Die Bedeutung von "z" ist bereits bekannt, also:

Und schließlich die erste Gleichung:. "Y" und "z" sind bekannt, die Sache ist klein:

Antworten:

Wie bereits mehrfach erwähnt, ist es für jedes Gleichungssystem möglich und notwendig, die gefundene Lösung zu überprüfen, zum Glück einfach und schnell.

Beispiel 2

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel, ein Abschlussbeispiel und die Antwort am Ende des Tutorials.

Es ist zu beachten, dass Ihr Entscheidungskurs kann nicht mit meiner Entscheidung übereinstimmen, und dies ist ein Merkmal der Gauss-Methode... Aber die Antworten müssen die gleichen sein!

Beispiel 3

Löse ein lineares Gleichungssystem mit der Gaußschen Methode

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mit elementaren Transformationen in eine schrittweise Form:

Wir schauen uns die obere linke "Stufe" an. Wir sollten dort eine Einheit haben. Das Problem ist, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einsen gibt, sodass das Neuanordnen der Zeilen nichts löst. In solchen Fällen muss die Einheit mit einer elementaren Transformation organisiert werden. Dies kann normalerweise auf verschiedene Weise erfolgen. Ich tat dies:
(1) Zur ersten Zeile addieren Sie die zweite Zeile multipliziert mit -1... Das heißt, wir haben die zweite Zeile gedanklich mit –1 multipliziert und die erste und zweite Zeile addiert, während sich die zweite Zeile nicht verändert hat.

Jetzt oben links ist "minus eins", was für uns in Ordnung ist. Jeder, der +1 erreichen möchte, kann eine zusätzliche Körperbewegung ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -1 (ändern Sie das Vorzeichen).

(2) Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile addiert Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile addiert.

(3) Die erste Zeile wurde mit -1 multipliziert, im Prinzip ist dies für die Schönheit. Wir haben auch das Vorzeichen der dritten Zeile geändert und an die zweite Stelle verschoben, somit haben wir im zweiten Schritt die erforderliche Einheit.

(4) Die zweite Reihe, multipliziert mit 2, wurde zur dritten Reihe addiert.

(5) Die dritte Zeile wurde durch 3 geteilt.

Ein schlechtes Zeichen, das auf einen Rechenfehler (seltener - ein Tippfehler) hinweist, ist das "schlechte" Endergebnis. Das heißt, wenn wir unten so etwas wie und dementsprechend , dann kann mit hoher Wahrscheinlichkeit argumentiert werden, dass bei elementaren Transformationen ein Fehler gemacht wurde.

Wir berechnen den umgekehrten Strich, bei der Gestaltung von Beispielen wird das System selbst oft nicht neu geschrieben, und die Gleichungen "werden direkt aus der gegebenen Matrix entnommen". Ich erinnere Sie daran, dass der umgekehrte Zug von unten nach oben funktioniert. Ja, hier stellte sich das Geschenk heraus:

Antworten: .

Beispiel 4

Löse ein lineares Gleichungssystem mit der Gaußschen Methode

Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung, es ist etwas komplizierter. Es ist in Ordnung, wenn jemand verwirrt ist. Komplette Lösung und Beispieldesign am Ende des Tutorials. Ihre Lösung kann von meiner abweichen.

Im letzten Teil werden wir einige der Funktionen des Gauss-Algorithmus betrachten.
Das erste Merkmal ist, dass manchmal einige Variablen in den Gleichungen des Systems fehlen, zum Beispiel:

Wie schreibt man die erweiterte Systemmatrix richtig? Über diesen Moment habe ich bereits in der Stunde gesprochen. Cramersche Regel. Matrixmethode... In der erweiterten Matrix des Systems setzen wir Nullen an die Stelle der fehlenden Variablen:

Dies ist übrigens ein recht einfaches Beispiel, da in der ersten Spalte bereits eine Null steht und weniger elementare Transformationen durchgeführt werden müssen.

Das zweite Merkmal ist wie folgt. In allen betrachteten Beispielen haben wir entweder –1 oder +1 auf die „Stufen“ gesetzt. Könnten noch andere Nummern da sein? In einigen Fällen können sie. Betrachten Sie das System: .

Hier oben links "Stufe" haben wir eine Zwei. Wir bemerken jedoch, dass alle Zahlen in der ersten Spalte ohne Rest durch 2 teilbar sind – und die anderen zwei und sechs. Und die Zwei oben links wird uns gefallen! Im ersten Schritt müssen Sie die folgenden Transformationen durchführen: Addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit –1 zur zweiten Zeile; zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit –3. Dadurch erhalten wir die gewünschten Nullen in der ersten Spalte.

Oder ein anderes bedingtes Beispiel: ... Hier passt uns auch die Drei auf der zweiten "Stufe", da 12 (die Stelle, an der wir Null bekommen müssen) ohne Rest durch 3 teilbar ist. Es ist notwendig, die folgende Transformation durchzuführen: Zur dritten Zeile addieren Sie die zweite Zeile multipliziert mit –4, wodurch die von uns benötigte Null erhalten wird.

Die Methode von Gauß ist universell, aber es gibt eine Besonderheit. Sie können buchstäblich das erste Mal souverän lernen, wie man Systeme mit anderen Methoden (Cramer-Methode, Matrixmethode) löst - es gibt einen sehr starren Algorithmus. Um sich jedoch in der Gauss-Methode sicher zu fühlen, sollten Sie Ihre Hand füllen und mindestens 5-10 Systeme lösen. Daher sind zunächst Verwirrung und Berechnungsfehler möglich, und daran ist nichts Ungewöhnliches oder Tragisches.

Verregnetes Herbstwetter vor dem Fenster ... Daher für alle ein komplexeres Beispiel für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 5

Löse das System der vier linearen Gleichungen mit vier Unbekannten nach der Gauß-Methode.

Eine solche Aufgabe in der Praxis ist nicht so selten. Ich denke, dass selbst einer Teekanne, die diese Seite gründlich studiert hat, der Algorithmus zur Lösung eines solchen Systems intuitiv klar ist. Im Grunde ist alles gleich - es gibt nur mehr Aktionen.

Fälle, in denen ein System keine Lösungen (inkonsistent) oder unendlich viele Lösungen hat, werden in der Lektion Inkompatible Systeme und Systeme mit einer gemeinsamen Lösung betrachtet. Auch der betrachtete Algorithmus des Gauß-Verfahrens kann dort festgelegt werden.

Wünsche dir Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung : Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mit elementaren Transformationen in eine schrittweise Form.

Elementare Transformationen durchgeführt:
(1) Die erste Zeile multipliziert mit –2 wurde zur zweiten Zeile addiert. Die erste Zeile multipliziert mit -1 wurde zur dritten Zeile addiert. Aufmerksamkeit! Hier mag es verlockend sein, die erste von der dritten Linie zu subtrahieren, ich rate dringend davon ab - das Fehlerrisiko ist stark erhöht. Einfach addieren!
(2) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit –1). Die zweite und dritte Zeile wurden vertauscht. beachten Sie dass wir auf den "Stufen" nicht nur mit einer, sondern auch mit -1 zufrieden sind, was noch bequemer ist.
(3) Die zweite Reihe wurde zur dritten Reihe addiert, mit 5 multipliziert.
(4) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit –1). Die dritte Zeile wurde durch 14 geteilt.

Umkehren:

Antworten: .

Beispiel 4: Lösung : Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mit elementaren Transformationen in eine schrittweise Form:

Durchgeführte Konvertierungen:
(1) Die zweite wurde der ersten Zeile hinzugefügt. Somit wird die gewünschte Einheit auf der oberen linken "Sprung" organisiert.
(2) Die erste Zeile multipliziert mit 7 wurde zur zweiten Zeile addiert Die erste Zeile multipliziert mit 6 wurde zur dritten Zeile addiert.

Der zweite Schritt wird schlimmer , "Kandidaten" dafür sind die Zahlen 17 und 23, und wir brauchen entweder eine oder -1. Die Transformationen (3) und (4) zielen darauf ab, die gewünschte Einheit zu erhalten

(3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit -1.
(4) Die dritte Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –3.
(3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit 4. Die zweite Zeile wurde zur vierten Zeile addiert, multipliziert mit -1.
(4) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert. Die vierte Zeile wurde durch 3 geteilt und anstelle der dritten Zeile platziert.
(5) Die dritte Zeile multipliziert mit –5 wurde zur vierten Zeile addiert.

Umkehren:

Wir betrachten weiterhin lineare Gleichungssysteme. Diese Lektion ist die dritte zu diesem Thema. Wenn Sie eine vage Vorstellung davon haben, was ein lineares Gleichungssystem im Allgemeinen ist, Sie sich wie eine Teekanne fühlen, dann empfehle ich, mit den Grundlagen auf der Seite Weiter zu beginnen, ist es sinnvoll, die Lektion zu studieren.

Lassen Sie uns zunächst das Wissen über lineare Gleichungssysteme ein wenig systematisieren. Ein lineares Gleichungssystem kann:

1) Habe eine einzigartige Lösung. 2) Habe unendlich viele Lösungen. 3) Habe keine Lösungen (be inkonsistent).

Kehren wir zum einfachsten System aus der Lektion zurück Wie löst man ein lineares Gleichungssystem? und löse sie nach der Gauß-Methode.

In der ersten Phase müssen Sie schreiben erweiterte Systemmatrix:. Nach welchem Prinzip die Koeffizienten geschrieben sind, kann meiner Meinung nach jeder sehen. Der vertikale Balken innerhalb der Matrix hat keine mathematische Bedeutung - er ist nur eine Unterstreichung zur Vereinfachung des Designs.

Hinweis : Ich empfehle, sich zu erinnern Bedingungen Lineare Algebra. Systemmatrix Ist eine Matrix, die nur aus den Koeffizienten mit Unbekannten besteht, in diesem Beispiel die Matrix des Systems: . Erweiterte Systemmatrix - Dies ist die gleiche Matrix des Systems plus eine Spalte mit freien Elementen, in diesem Fall: ... Jede der Matrizen kann der Kürze halber einfach als Matrix bezeichnet werden.

Nachdem die erweiterte Matrix des Systems aufgeschrieben wurde, müssen einige Aktionen damit ausgeführt werden, die auch als . bezeichnet werden elementare Transformationen.

Es gibt folgende elementare Transformationen:

1) Saiten Matrizen kann neu anordnen setzt. In der betrachteten Matrix können Sie beispielsweise die erste und zweite Reihe schmerzlos neu anordnen:

3) Wenn während der Transformationen eine Nullzeile in der Matrix auftauchte, dann folgt auch löschen... Ich werde natürlich nicht zeichnen, die Nulllinie ist die Linie, in der nur Nullen.

In der Praxis beschreiben sie natürlich nicht so detailliert, sondern schreiben kürzer: Nochmals: zur zweiten Zeile addierte die erste Zeile multipliziert mit –2... Die Zeichenfolge wird meist mündlich oder auf einem Entwurf multipliziert, während der mentale Ablauf der Berechnungen etwa so ist:

„Ich schreibe die Matrix um und schreibe die erste Zeile neu: »

„Nun zur zweiten Spalte. Oben –1 multipliziert mit –2:. Ich füge die erste in die zweite Zeile ein: 1 + 2 = 3. Ich schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile: »

„Und die dritte Spalte. Oben –5 multipliziert mit –2:. Ich füge die erste in die zweite Zeile ein: –7 + 10 = 3. Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile: »

Elementare Transformationen ändern nichts an der Lösung des Gleichungssystems

Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems auf und reduzieren sie mit elementaren Transformationen auf Stufenansicht:

(2) Teilen Sie die zweite Reihe durch 3.

Als Ergebnis elementarer Transformationen erhalten wir Äquivalent ursprüngliches Gleichungssystem:

Nun muss das System in die entgegengesetzte Richtung "abgerollt" werden - von unten nach oben heißt dieser Vorgang Rückwärts-Gaußsche Methode.

In der unteren Gleichung haben wir bereits ein fertiges Ergebnis:.

Betrachten wir die erste Gleichung des Systems und setzen Sie den bereits bekannten Wert von "game" ein:

Betrachten wir die häufigste Situation, in der die Gauß-Methode die Lösung eines Systems von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten erfordert.

Beispiel 1

Lösen Sie das Gleichungssystem nach der Gauß-Methode:

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf:

Jetzt ziehe ich gleich das Ergebnis, zu dem wir im Laufe der Lösung kommen werden: Und wieder ist es unser Ziel, die Matrix durch elementare Transformationen in eine gestufte Form zu bringen. Wo soll die Aktion beginnen?

Zuerst schauen wir uns die Nummer oben links an: Es sollte fast immer hier sein Einheit... Im Allgemeinen ist –1 in Ordnung (und manchmal auch andere Zahlen), aber irgendwie ist es so traditionell passiert, dass die Einheit normalerweise dort platziert wird. Wie organisiert man eine Einheit? Wir schauen uns die erste Spalte an - wir haben eine fertige Einheit! Erste Transformation: Vertauschen Sie die erste und dritte Zeile:

Nun bleibt die erste Zeile bis zum Ende der Lösung unverändert.... Nun gut.

Die Einheit oben links ist organisiert. Jetzt müssen Sie an diesen Stellen Nullen erhalten:

Das Ergebnis schreiben wir in die zweite Zeile:

Das Ergebnis schreiben wir in die dritte Zeile:

In der Praxis werden diese Handlungen meist mündlich durchgeführt und in einem Schritt protokolliert:

Du musst nicht alles auf einmal und gleichzeitig zählen... Die Reihenfolge der Berechnungen und das "Schreiben" der Ergebnisse konsistent und normalerweise so: Zuerst schreiben wir die erste Zeile um und blasen uns heimlich auf - SEQUENTIAL und SORGSAM:
Und den mentalen Ablauf der Berechnungen selbst habe ich oben bereits untersucht.

In der letzten Phase der elementaren Transformationen müssen Sie hier eine weitere Null erhalten:

Dafür zur dritten Zeile addieren Sie die zweite Zeile multipliziert mit –2:
Versuchen Sie, diese Aktion selbst zu analysieren - multiplizieren Sie die zweite Zeile gedanklich mit –2 und addieren Sie.

Die zuletzt ausgeführte Aktion ist die Frisur des Ergebnisses, dividiere die dritte Zeile durch 3.

Als Ergebnis elementarer Transformationen wurde ein äquivalentes Ausgangssystem linearer Gleichungen erhalten: Cool.

Jetzt kommt die Umkehrung der Gaußschen Methode ins Spiel. Die Gleichungen "entwickeln" sich von unten nach oben.

In der dritten Gleichung haben wir bereits ein fertiges Ergebnis:

Wir betrachten die zweite Gleichung:. Die Bedeutung von "z" ist bereits bekannt, also:

Und schließlich die erste Gleichung:. "Y" und "z" sind bekannt, die Sache ist klein:

Antworten:

Wie bereits mehrfach erwähnt, ist es für jedes Gleichungssystem möglich und notwendig, die gefundene Lösung zu überprüfen, zum Glück einfach und schnell.

Beispiel 2

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel, ein Abschlussbeispiel und die Antwort am Ende des Tutorials.

Es ist zu beachten, dass Ihr Entscheidungskurs kann nicht mit meiner Entscheidung übereinstimmen, und dies ist ein Merkmal der Gauss-Methode... Aber die Antworten müssen die gleichen sein!

Beispiel 3

Löse ein lineares Gleichungssystem mit der Gaußschen Methode

Wir schauen uns die obere linke "Stufe" an. Wir sollten dort eine Einheit haben. Das Problem ist, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einsen gibt, sodass das Neuanordnen der Zeilen nichts löst. In solchen Fällen muss die Einheit mit einer elementaren Transformation organisiert werden. Dies kann normalerweise auf verschiedene Weise erfolgen. Ich habe das gemacht: (1) Zur ersten Zeile addieren Sie die zweite Zeile multipliziert mit -1... Das heißt, wir haben die zweite Zeile gedanklich mit –1 multipliziert und die erste und zweite Zeile addiert, während sich die zweite Zeile nicht verändert hat.

(2) Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile addiert Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile addiert.

(4) Die zweite Reihe, multipliziert mit 2, wurde zur dritten Reihe addiert.

(5) Die dritte Zeile wurde durch 3 geteilt.

Antworten: .

Beispiel 4

Löse ein lineares Gleichungssystem mit der Gaußschen Methode

Im letzten Teil werden wir einige der Funktionen des Gauss-Algorithmus betrachten. Das erste Merkmal ist, dass manchmal einige Variablen in den Gleichungen des Systems fehlen, zum Beispiel: Wie schreibt man die erweiterte Systemmatrix richtig? Über diesen Moment habe ich bereits in der Stunde gesprochen. Cramersche Regel. Matrixmethode... In der erweiterten Matrix des Systems setzen wir Nullen an die Stelle der fehlenden Variablen: Dies ist übrigens ein recht einfaches Beispiel, da in der ersten Spalte bereits eine Null steht und weniger elementare Transformationen durchgeführt werden müssen.

Die Methode von Gauß ist universell, aber es gibt eine Besonderheit. Sie können buchstäblich das erste Mal souverän lernen, wie man Systeme mit anderen Methoden (Cramer-Methode, Matrixmethode) löst - es gibt einen sehr starren Algorithmus. Um sich jedoch in der Gauss-Methode sicher zu fühlen, sollten Sie "Ihre Hand füllen" und mindestens 5-10 Zehnersysteme lösen. Daher sind zunächst Verwirrung, Berechnungsfehler möglich, und daran ist nichts Ungewöhnliches oder Tragisches.

Verregnetes Herbstwetter vor dem Fenster ... Daher für alle ein komplexeres Beispiel für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 5

Löse das System der 4 linearen Gleichungen mit vier Unbekannten nach der Gauß-Methode.

Fälle, in denen das System keine Lösungen hat (inkonsistent) oder unendlich viele Lösungen hat, werden in der Lektion betrachtet Inkompatible Systeme und Systeme mit einer gemeinsamen Lösung... Auch der betrachtete Algorithmus des Gauß-Verfahrens kann dort festgelegt werden.

Wünsche dir Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung : Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mit elementaren Transformationen in eine schrittweise Form.
Elementare Transformationen durchgeführt: (1) Die erste Zeile multipliziert mit –2 wurde zur zweiten Zeile addiert. Die erste Zeile multipliziert mit -1 wurde zur dritten Zeile addiert. Aufmerksamkeit! Hier mag es verlockend sein, die erste von der dritten Linie zu subtrahieren, ich rate dringend davon ab - das Fehlerrisiko ist stark erhöht. Einfach addieren! (2) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit –1). Die zweite und dritte Zeile wurden vertauscht. beachten Sie dass wir auf den "Stufen" nicht nur mit einer, sondern auch mit -1 zufrieden sind, was noch bequemer ist. (3) Die zweite Reihe wurde zur dritten Reihe addiert, mit 5 multipliziert. (4) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit –1). Die dritte Zeile wurde durch 14 geteilt.

Umkehren:

Antworten : .

Beispiel 4: Lösung : Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mit elementaren Transformationen in eine schrittweise Form:

Durchgeführte Konvertierungen: (1) Die zweite wurde der ersten Zeile hinzugefügt. Somit wird die gewünschte Einheit auf der oberen linken "Sprung" organisiert. (2) Die erste Zeile multipliziert mit 7 wurde zur zweiten Zeile addiert Die erste Zeile multipliziert mit 6 wurde zur dritten Zeile addiert.

Der zweite Schritt wird schlimmer , "Kandidaten" dafür sind die Zahlen 17 und 23, und wir brauchen entweder eine oder -1. Die Transformationen (3) und (4) zielen darauf ab, die gewünschte Einheit zu erhalten (3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit -1. (4) Die dritte Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –3. Das Notwendige im zweiten Schritt ist erhalten . (5) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, mit 6 multipliziert. (6) Die zweite Zeile wurde mit -1 multipliziert, die dritte Zeile wurde durch -83 dividiert.

Umkehren:

Antworten :

Beispiel 5: Lösung : Schreiben wir die Matrix des Systems auf und bringen sie mit elementaren Transformationen in eine schrittweise Form:

Durchgeführte Konvertierungen: (1) Die erste und zweite Zeile sind vertauscht. (2) Die erste Zeile multipliziert mit –2 wurde zur zweiten Zeile addiert. Die erste Zeile multipliziert mit –2 wurde zur dritten Zeile addiert. Die erste Zeile multipliziert mit –3 wurde zur vierten Zeile addiert. (3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit 4. Die zweite Zeile wurde zur vierten Zeile addiert, multipliziert mit -1. (4) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert. Die vierte Zeile wurde durch 3 geteilt und anstelle der dritten Zeile platziert. (5) Die dritte Zeile multipliziert mit –5 wurde zur vierten Zeile addiert.

Umkehren:

Antworten :

1. System linearer algebraischer Gleichungen

1.1 Das Konzept eines Systems linearer algebraischer Gleichungen

Ein Gleichungssystem ist eine Bedingung, die in der gleichzeitigen Ausführung mehrerer Gleichungen in mehreren Variablen besteht. Ein System linearer algebraischer Gleichungen (im Folgenden - SLAE) mit m Gleichungen und n Unbekannten ist ein System der Form:

wobei die Zahlen a ij die Koeffizienten des Systems genannt werden, die Zahlen b i freie Terme sind, ein ij und b ich(i = 1, ..., m; b = 1, ..., n) sind einige bekannte Zahlen, und x 1, ..., x n- Unbekannt. In der Bezeichnung der Koeffizienten ein ij der erste Index i bezeichnet die Nummer der Gleichung und der zweite j - die Nummer der Unbekannten, bei der dieser Koeffizient steht. Um die Zahl x n zu finden. Es ist praktisch, ein solches System in einer kompakten Matrixform zu schreiben: AX = B. Hier ist A die Matrix der Koeffizienten des Systems, die als Hauptmatrix bezeichnet wird;

Ist ein Spaltenvektor von Unbekannten xj.
Ist ein Spaltenvektor von freien Termen bi.

Das Produkt der Matrizen A * X ist definiert, da es in der Matrix A so viele Spalten wie in der Matrix X Zeilen (n Stück) gibt.

Die erweiterte Matrix des Systems ist die Matrix A des Systems, ergänzt um die Spalte der freien Terme

1.2 Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen

Eine Lösung für ein Gleichungssystem ist eine geordnete Menge von Zahlen (Werte von Variablen), wenn sie anstelle von Variablen eingesetzt werden, wird jede der Gleichungen des Systems zu einer echten Gleichheit.

Die Lösung des Systems heißt n Werte von Unbekannten х1 = c1, x2 = c2,…, xn = cn, wenn sie eingesetzt werden, werden alle Gleichungen des Systems zu wahren Gleichungen. Jede Lösung des Systems kann in Form einer Spaltenmatrix geschrieben werden

Ein Gleichungssystem heißt konsistent, wenn es mindestens eine Lösung hat, und inkompatibel, wenn es keine Lösung hat.

Ein gemeinsames System heißt definitiv, wenn es eine einzige Lösung hat, und unbestimmt, wenn es mehr als eine Lösung hat. Im letzteren Fall wird jede seiner Lösungen als spezielle Lösung des Systems bezeichnet. Die Sammlung aller Einzellösungen wird als allgemeine Lösung bezeichnet.

Ein System zu lösen bedeutet herauszufinden, ob es kompatibel oder inkonsistent ist. Wenn das System kompatibel ist, finden Sie seine allgemeine Lösung.

Zwei Systeme heißen äquivalent (äquivalent), wenn sie dieselbe allgemeine Lösung haben. Mit anderen Worten, Systeme sind äquivalent, wenn jede Lösung des einen eine Lösung des anderen ist und umgekehrt.

Eine Transformation, deren Anwendung ein System in ein dem ursprünglichen gleichwertiges neues System macht, wird als äquivalente oder äquivalente Transformation bezeichnet. Beispiele für äquivalente Transformationen sind die folgenden Transformationen: Permutation zweier Gleichungen des Systems, Permutation zweier Unbekannter zusammen mit den Koeffizienten aller Gleichungen, Multiplikation beider Teile einer beliebigen Gleichung des Systems mit einer Zahl ungleich Null.

Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn alle freien Terme gleich Null sind:

Ein homogenes System ist immer kompatibel, da x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 eine Lösung des Systems ist. Diese Lösung wird null oder trivial genannt.

2. Gaußsche Eliminationsmethode

2.1 Das Wesen der Gaußschen Eliminationsmethode

Die klassische Methode zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen ist die Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten - Gauss-Methode(auch Gaußsche Eliminationsmethode genannt). Dies ist eine Methode der sukzessiven Eliminierung von Variablen, bei der ein Gleichungssystem mit elementaren Transformationen auf ein äquivalentes System von schrittweiser (oder dreieckiger) Form reduziert wird, aus dem alle anderen Variablen sequentiell gefunden werden, beginnend mit der letzten (um Zahl) Variablen.

Der Gaußsche Lösungsprozess besteht aus zwei Phasen: Vorwärts- und Rückwärtsbewegungen.

1. Direkter Kurs.

In der ersten Stufe wird der sogenannte Direktzug durchgeführt, wenn durch elementare Transformationen über die Linien das System in eine gestufte oder dreieckige Form gebracht wird oder festgestellt wird, dass das System nicht kompatibel ist. Wählen Sie nämlich unter den Elementen der ersten Spalte der Matrix ein Nicht-Null-Element aus, verschieben Sie es durch Permutieren der Zeilen an die oberste Position und subtrahieren Sie die nach der Permutation erhaltene erste Zeile von den verbleibenden Zeilen, indem Sie sie mit einem Wert gleich . multiplizieren Verhältnis des ersten Elements jeder dieser Zeilen zum ersten Element der ersten Zeile, wodurch die darunter liegende Spalte auf Null gesetzt wird.

Nachdem die angegebenen Transformationen durchgeführt wurden, werden die erste Zeile und die erste Spalte gedanklich durchgestrichen und fortgesetzt, bis eine Matrix der Größe Null vorliegt. Wenn bei einigen Iterationen unter den Elementen der ersten Spalte kein Wert ungleich Null gefunden wird, gehen Sie zur nächsten Spalte und führen Sie eine ähnliche Operation durch.

In der ersten Stufe (direkter Lauf) wird das System auf eine gestufte (insbesondere dreieckige) Form reduziert.

Das folgende System ist gestuft:

Die Koeffizienten aii werden als die wichtigsten (führenden) Elemente des Systems bezeichnet.

(wenn a11 = 0, ordnen wir die Zeilen der Matrix so um, dass ein 11 war ungleich 0. Dies ist immer möglich, da sonst die Matrix eine Nullspalte enthält, ihre Determinante Null ist und das System inkonsistent ist).

Wir transformieren das System, indem wir die Unbekannte x1 in allen Gleichungen außer der ersten eliminieren (unter Verwendung elementarer Transformationen des Systems). Multiplizieren Sie dazu beide Seiten der ersten Gleichung mit

und addiere es Term für Term mit der zweiten Gleichung des Systems (oder von der zweiten Gleichung subtrahieren wir den ersten Term multipliziert mit). Dann multiplizieren wir beide Seiten der ersten Gleichung mit und addieren sie zur dritten Gleichung des Systems (oder subtrahieren von der dritten die erste multipliziert mit). Daher multiplizieren wir die erste Zeile sequentiell mit einer Zahl und addieren zu ich Zeile, für ich = 2, 3, …,n.

Wenn wir diesen Prozess fortsetzen, erhalten wir ein äquivalentes System:

- neue Werte der Koeffizienten für Unbekannte und freie Terme in den letzten m-1-Gleichungen des Systems, die durch die Formeln bestimmt werden:

Somit werden im ersten Schritt alle Koeffizienten, die unter dem ersten Schwenkelement liegen, a 11

0, der zweite Schritt zerstört die Elemente, die unter dem zweiten Schwenkelement liegen a 22 (1) (wenn a 22 (1) 0), usw. Wenn wir diesen Prozess weiter fortsetzen, reduzieren wir schließlich im Schritt (m-1) das ursprüngliche System auf ein Dreieckssystem.

Wenn bei der schrittweisen Reduktion des Systems Nullgleichungen auftreten, d.h. Gleichheiten der Form 0 = 0 werden verworfen. Wenn eine Gleichung der Form erscheint

dann weist dies auf die Inkompatibilität des Systems hin.

Hier endet der direkte Ablauf des Gauß-Verfahrens.

2. Rückwärts.

In der zweiten Stufe wird der sogenannte Reverse-Move ausgeführt, dessen Essenz darin besteht, alle resultierenden Basisvariablen in Form von Nicht-Basisvariablen auszudrücken und ein grundlegendes Lösungssystem zu konstruieren, oder, wenn alle Variablen basisch sind, dann in numerischer Form die einzige Lösung des linearen Gleichungssystems ausdrücken.

Dieses Verfahren beginnt mit der letzten Gleichung, aus der die entsprechende Basisvariable ausgedrückt wird (es gibt nur eine darin) und in die vorherigen Gleichungen eingesetzt wird, und so weiter, die "Stufen" hinauf.

Jede Zeile entspricht genau einer Basisvariable, daher wiederholt sich die Situation bei jedem Schritt, mit Ausnahme der letzten (obersten), genau wie bei der letzten Zeile.

Hinweis: In der Praxis ist es bequemer, nicht mit dem System, sondern mit seiner erweiterten Matrix zu arbeiten und alle elementaren Transformationen an seinen Zeilen durchzuführen. Es ist zweckmäßig, dass der Koeffizient a11 gleich 1 ist (die Gleichungen neu anordnen oder beide Seiten der Gleichung durch a11 teilen).

2.2 Beispiele für die Lösung von SLAEs nach der Gaußschen Methode

In diesem Abschnitt zeigen wir anhand von drei verschiedenen Beispielen, wie die Gaußsche Methode zur Lösung von SLAEs verwendet werden kann.

Beispiel 1. Lösen Sie das SLAE 3. Ordnung.

Lassen Sie uns die Koeffizienten bei nullen

in der zweiten und dritten Zeile. Multiplizieren Sie sie dazu mit 2/3 bzw. 1 und fügen Sie sie in die erste Zeile ein: