Dieser Artikel zeigt die Ableitung der Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei geht gegebene Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, das auf einer Ebene liegt. Wir leiten die Gleichung einer Geraden her, die durch zwei gegebene Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem verläuft. Wir werden mehrere Beispiele im Zusammenhang mit dem behandelten Material visuell zeigen und lösen.

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Bevor Sie die Gleichung einer geraden Linie erhalten, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, müssen einige Tatsachen beachtet werden. Es gibt ein Axiom, das besagt, dass es möglich ist, durch zwei nicht zusammenfallende Punkte auf einer Ebene eine gerade Linie zu zeichnen und nur eine. Mit anderen Worten, zwei gegebene Punkte der Ebene werden durch eine gerade Linie bestimmt, die durch diese Punkte verläuft.

Wenn die Ebene durch das rechteckige Koordinatensystem Oxy gegeben ist, entspricht jede darin dargestellte gerade Linie der Gleichung der geraden Linie in der Ebene. Es besteht auch ein Zusammenhang mit dem Richtungsvektor der Geraden, diese Daten reichen aus, um die Gleichung einer Geraden aufzustellen, die durch zwei gegebene Punkte geht.

Betrachten Sie ein Beispiel für die Lösung eines ähnlichen Problems. Es ist notwendig, die Gleichung einer geraden Linie a zu erstellen, die durch zwei nicht übereinstimmende Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft, die sich im kartesischen Koordinatensystem befinden.

In der kanonischen Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene mit der Form x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay wird ein rechteckiges Koordinatensystem O xy mit einer geraden Linie angegeben, die es an einem Punkt mit den Koordinaten M schneidet 1 (x 1, y 1) mit einem Führungsvektor a → = (ax , ay) .

Es ist notwendig, zu erstellen kanonische gleichung Gerade a, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft.

Die Gerade a hat einen Richtungsvektor M 1 M 2 → mit Koordinaten (x 2 - x 1, y 2 - y 1), da sie die Punkte M 1 und M 2 schneidet. Wir haben die notwendigen Daten erhalten, um die kanonische Gleichung mit den Koordinaten des Richtungsvektors M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) und den Koordinaten der darauf liegenden Punkte M 1 umzuwandeln (x 1, y 1) und M 2 (x 2 , y 2) . Wir erhalten eine Gleichung der Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 oder x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Nach den Berechnungen schreiben wir die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft. Wir erhalten eine Gleichung der Form x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ oder x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Schauen wir uns einige Beispiele genauer an.

Beispiel 1

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch 2 gegebene Punkte mit den Koordinaten M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 geht.

Lösung

Die kanonische Gleichung für eine gerade Linie, die sich in zwei Punkten mit den Koordinaten x 1 , y 1 und x 2 , y 2 schneidet, hat die Form x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 . Entsprechend der Bedingung des Problems haben wir das x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Es ist notwendig, numerische Werte in der Gleichung x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 zu ersetzen. Daraus ergibt sich, dass die kanonische Gleichung die Form x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 annehmen wird.

Antwort: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Wenn es notwendig ist, ein Problem mit einer anderen Art von Gleichung zu lösen, können Sie zunächst zur kanonischen gehen, da es einfacher ist, von ihr zu einer anderen zu gelangen.

Beispiel 2

Stellen Sie die allgemeine Gleichung einer geraden Linie auf, die durch Punkte mit den Koordinaten M 1 (1, 1) und M 2 (4, 2) im O x y-Koordinatensystem verläuft.

Lösung

Zuerst müssen Sie die kanonische Gleichung einer gegebenen Linie aufschreiben, die durch die gegebenen zwei Punkte verläuft. Wir erhalten eine Gleichung der Form x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Wir bringen die kanonische Gleichung auf die gewünschte Form, dann erhalten wir:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Antworten: x - 3 y + 2 = 0 .

Beispiele für solche Aufgaben wurden in diskutiert Schulbücher im Algebra-Unterricht. Schulaufgaben unterschieden sich dadurch, dass die Gleichung einer Geraden mit Neigungsfaktor, mit der Form y = k x + b . Wenn Sie den Wert der Steigung k und die Zahl b finden müssen, bei der die Gleichung y \u003d kx + b eine Linie im O xy-System definiert, die durch die Punkte M 1 (x 1, y 1) und M verläuft 2 (x 2, y 2) , wobei x 1 ≠ x 2 . Wenn x 1 = x 2 , dann nimmt die Steigung den Wert unendlich an, und die Gerade M 1 M 2 wird durch eine allgemeine unvollständige Gleichung der Form x - x 1 = 0 definiert .

Weil die Punkte M 1 und M 2 auf einer Geraden liegen, dann erfüllen ihre Koordinaten die Gleichung y 1 = k x 1 + b und y 2 = k x 2 + b. Es ist notwendig, das Gleichungssystem y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b bezüglich k und b zu lösen.

Dazu finden wir k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 oder k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Mit solchen Werten von k und b nimmt die Gleichung einer geraden Linie, die durch die gegebenen zwei Punkte verläuft, die folgende Form an y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 oder y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Erinnere dich gleich daran große Menge Formeln funktionieren nicht. Dazu ist es notwendig, die Anzahl der Wiederholungen beim Lösen von Problemen zu erhöhen.

Beispiel 3

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung, die durch Punkte mit den Koordinaten M 2 (2, 1) und y = k x + b verläuft.

Lösung

Um das Problem zu lösen, verwenden wir eine Formel mit einer Steigung der Form y \u003d k x + b. Die Koeffizienten k und b müssen einen solchen Wert annehmen, dass diese Gleichung einer geraden Linie entspricht, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (–7, –5) und M 2 (2, 1) geht.

Punkte M 1 und M 2 auf einer geraden Linie befinden, dann sollten ihre Koordinaten die Gleichung y = k x + b umkehren die richtige Gleichheit. Daraus ergibt sich - 5 = k · (- 7) + b und 1 = k · 2 + b. Lassen Sie uns die Gleichung in das System - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b kombinieren und lösen.

Bei Substitution bekommen wir das

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nun werden die Werte k = 2 3 und b = - 1 3 in die Gleichung y = k x + b eingesetzt. Wir erhalten, dass die gewünschte Gleichung, die durch die gegebenen Punkte geht, eine Gleichung sein wird, die die Form y = 2 3 x - 1 3 hat.

Diese Art der Lösung bestimmt die Ausgaben eine große Anzahl Zeit. Es gibt eine Möglichkeit, die Aufgabe buchstäblich in zwei Schritten zu lösen.

Wir schreiben die kanonische Gleichung einer geraden Linie, die durch M 2 (2, 1) und M 1 (- 7, - 5) verläuft und die Form x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) hat ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Kommen wir nun zur Steigungsgleichung. Wir erhalten das: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Antwort: y = 2 3 x - 1 3 .

Wenn es im dreidimensionalen Raum ein rechtwinkliges Koordinatensystem O xyz mit zwei gegebenen nicht zusammenfallenden Punkten mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) gibt, so ist das gerade Linie M, die durch sie verläuft 1 M 2 , ist es notwendig, die Gleichung dieser Linie zu erhalten.

Wir haben kanonische Gleichungen der Form x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az und parametrische Gleichungen der Form x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ können im Koordinatensystem O x y z eine Linie durch Punkte mit den Koordinaten (x 1, y 1, z 1) mit einem Richtungsvektor a → = (ax, ay, az) setzen.

Gerade M 1 M 2 hat einen Richtungsvektor der Form M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , wobei die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2), daher kann die kanonische Gleichung die Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z haben 2 - z 1 oder x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1 wiederum parametrisch x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ oder x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Stellen Sie sich eine Figur vor, die 2 gegebene Punkte im Raum und die Gleichung einer geraden Linie zeigt.

Beispiel 4

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die in einem rechteckigen Koordinatensystem O xyz des dreidimensionalen Raums definiert ist und durch die gegebenen zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (2, - 3, 0) und M 2 (1, - 3, - 5) verläuft ) .

Lösung

Wir müssen die kanonische Gleichung finden. Als wir redenüber den dreidimensionalen Raum, was bedeutet, dass, wenn eine gerade Linie durch bestimmte Punkte verläuft, die gewünschte kanonische Gleichung die Form x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - hat z 1 z 2 - z 1.

Als Bedingung haben wir, dass x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Daraus folgt, dass die notwendigen Gleichungen wie folgt geschrieben werden können:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Antwort: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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Gleichung einer durchgehenden Geraden gegebener Punkt in diese Richtung. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht. Winkel zwischen zwei Geraden. Bedingung der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden

1. Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft EIN(x 1 , j 1) in eine bestimmte Richtung, bestimmt durch die Neigung k,

j - j 1 = k(x - x 1). (1)

Diese Gleichung definiert ein Linienbündel, das durch einen Punkt verläuft EIN(x 1 , j 1), die als Strahlmittelpunkt bezeichnet wird.

2. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: EIN(x 1 , j 1) und B(x 2 , j 2) wird so geschrieben:

Die Steigung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, wird durch die Formel bestimmt

3. Winkel zwischen geraden Linien EIN und B ist der Winkel, um den die erste Gerade gedreht werden muss EIN um den Schnittpunkt dieser Linien gegen den Uhrzeigersinn herum, bis er mit der zweiten Linie zusammenfällt B. Wenn zwei Geraden durch Steigungsgleichungen gegeben sind

j = k 1 x + B 1 ,

Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.

Es gibt unendlich viele Linien, die durch jeden Punkt gezogen werden können.

Durch zwei beliebige Punkte, die nicht zusammenfallen, gibt es nur eine Gerade.

Zwei nicht zusammenfallende Linien in der Ebene schneiden sich entweder in einem einzigen Punkt oder sind es

parallel (folgt aus dem vorherigen).

Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten für die relative Position zweier Linien:

• Linien schneiden sich;

• gerade Linien sind parallel;

• Geraden schneiden sich.

Gerade Linie- algebraische Kurve erster Ordnung: im kartesischen Koordinatensystem eine Gerade

ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.

Allgemeine Gleichung gerade.

Definition. Jede Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung gegeben werden

Ah + Wu + C = 0,

und konstant A, B gleichzeitig nicht gleich Null. Diese Gleichung erster Ordnung wird aufgerufen Allgemeines

Gerade Gleichung. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und MIT Folgende Sonderfälle sind möglich:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- Die Linie geht durch den Ursprung

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse OU

. B = C = 0, A ≠ 0- Die Linie fällt mit der Achse zusammen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- Die Linie fällt mit der Achse zusammen Oh

Die Geradengleichung lässt sich darstellen in verschiedene Formen je nach Vorgabe

Anfangsbedingungen.

Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und einen Normalenvektor.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit den Komponenten (A, B)

senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Linie

Ah + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt geht A(1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).

Lösung. Lassen Sie uns bei A \u003d 3 und B \u003d -1 die Gleichung der geraden Linie zusammenstellen: 3x - y + C \u003d 0. Um den Koeffizienten C zu finden

wir setzen die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck ein und erhalten somit: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Gesamt: die gewünschte Gleichung: 3x - y - 1 \u003d 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht.

Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1 , y 1 , z 1) und M2 (x 2, y 2 , z 2), dann Gerade Gleichung,

diese Punkte durchlaufen:

Wenn einer der Nenner gleich Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden. Auf der

Ebene wird die oben geschriebene Geradengleichung vereinfacht:

wenn x1 ≠ x2 und x = x 1, wenn x1 = x2 .

Fraktion = k namens Neigungsfaktor gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Lösung. Wenden wir die obige Formel an, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und eine Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung einer geraden Linie Ah + Wu + C = 0 ins Formular bringen:

und benennen , dann wird die resultierende Gleichung aufgerufen

Gleichung einer Geraden mit Steigung k.

Die Gleichung einer Geraden auf einem Punkt und einem Richtungsvektor.

Analog zum Punkt, der die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor betrachtet, können Sie die Aufgabe eingeben

eine Gerade durch einen Punkt und einen Richtungsvektor einer Geraden.

Definition. Jeder Nicht-Null-Vektor (α 1 , α 2), deren Komponenten die Bedingung erfüllen

Aα 1 + Bα 2 = 0 namens Richtungsvektor der Geraden.

Ah + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie mit Richtungsvektor (1, -1) und durch den Punkt A(1, 2) verlaufend.

Lösung. Wir suchen die Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Laut Definition ist

Koeffizienten müssen die Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

beim x=1, y=2 wir bekommen C/A = -3, d.h. Gewünschte Gleichung:

x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der geraden Linie Ah + Wu + C = 0 C≠0, dann erhalten wir durch Teilen durch -C:

oder wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunkts ist

gerade mit Achse Oh, ein B- die Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse OU.

Beispiel. Die allgemeine Geradengleichung ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser geraden Linie in Segmenten.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Ah + Wu + C = 0 durch Zahl dividieren , welches heisst

normalisierender Faktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 -Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden, dass μ * C< 0.

R- die Länge der vom Ursprung zur Linie fallenden Senkrechten,

ein φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.

Beispiel. Gegeben sei die allgemeine Geradengleichung 12x - 5y - 65 = 0. Zum Schreiben erforderlich verschiedene Typen Gleichungen

diese Gerade.

Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Die Gleichung dieser Geraden mit Steigung: (durch 5 teilen)

Gleichung einer geraden Linie:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Zu beachten ist, dass nicht jede Gerade durch eine Segmentgleichung dargestellt werden kann, z. B. Geraden,

parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung gehend.

Winkel zwischen Linien in einer Ebene.

Definition. Wenn zwei Zeilen angegeben sind y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, dann der spitze Winkel zwischen diesen Linien

wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k1 = k2. Zwei Geraden sind senkrecht

wenn k1 \u003d -1 / k2 .

Satz.

Direkte Ah + Wu + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Wenn auch С 1 \u003d λС, dann fallen die Linien zusammen. Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden

werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.

Die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft, steht senkrecht auf einer gegebenen Geraden.

Definition. Eine Linie, die durch einen Punkt verläuft M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b

dargestellt durch die Gleichung:

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Satz. Wenn ein Punkt vergeben wird M(x 0, y 0), dann die Entfernung zur Linie Ah + Wu + C = 0 definiert als:

Nachweisen. Lassen Sie den Punkt M 1 (x 1, y 1)- Die Basis der Senkrechten fällt vom Punkt ab m für ein gegebenes

Direkte. Dann der Abstand zwischen den Punkten m und M 1:

(1)

Koordinaten x 1 und 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer geraden Linie, die senkrecht durch einen gegebenen Punkt M 0 verläuft

gegebene Zeile. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Setzen wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) ein, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Die Gerade soll durch die Punkte M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2) verlaufen. Die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Punkt M 1 verläuft, hat die Form y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

wo k - noch unbekannter Koeffizient.

Da die Gerade durch den Punkt M 2 (x 2 y 2) verläuft, müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung (10.6) erfüllen: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Von hier aus finden wir den gefundenen Wert ersetzen k In Gleichung (10.6) erhalten wir die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte M 1 und M 2 verläuft:

Es wird angenommen, dass in dieser Gleichung x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Wenn x 1 \u003d x 2, dann ist die gerade Linie, die durch die Punkte M 1 (x 1, y I) und M 2 (x 2, y 2) verläuft, parallel zur y-Achse. Seine Gleichung ist x = x 1 .

Wenn y 2 \u003d y I, dann kann die Gleichung der geraden Linie geschrieben werden als y \u003d y 1, die gerade Linie M 1 M 2 ist parallel zur x-Achse.

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Lassen Sie die gerade Linie die Ox-Achse am Punkt M 1 (a; 0) und die Oy-Achse - am Punkt M 2 (0; b) schneiden. Die Gleichung nimmt die Form an:
jene.
. Diese Gleichung heißt die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten, weil die Zahlen a und b geben an, welche Segmente die Gerade auf den Koordinatenachsen abschneidet.

Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft

Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie finden, die durch einen gegebenen Punkt Mo (x O; y o) senkrecht zu einem gegebenen Nicht-Null-Vektor n = (A; B) verläuft.

Nimm einen beliebigen Punkt M(x; y) auf der Geraden und betrachte den Vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (siehe Abb. 1). Da die Vektoren n und M o M senkrecht zueinander stehen, ist ihr Skalarprodukt gleich Null: das heißt,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Gleichung (10.8) wird aufgerufen Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft .

Der Vektor n = (A; B) senkrecht zur Geraden heißt normal Normalenvektor dieser Linie .

Gleichung (10.8) kann umgeschrieben werden als Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

wobei A und B die Koordinaten des Normalenvektors sind, C \u003d -Ax o - Vu o - freies Mitglied. Gleichung (10.9) ist die allgemeine Geradengleichung(siehe Abb.2).

Abb.1 Abb.2

Kanonische Gleichungen der Geraden

,

Wo
sind die Koordinaten des Punktes, durch den die Linie verläuft, und
- Richtungsvektor.

Kurven zweiter Ordnung Kreis

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind.

Kanonische Gleichung eines Radiuskreises R auf einen Punkt zentriert
:

Wenn insbesondere der Mittelpunkt des Einsatzes mit dem Ursprung zusammenfällt, sieht die Gleichung folgendermaßen aus:

Ellipse

Eine Ellipse ist eine Menge von Punkten in einer Ebene, die Summe der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten und , die Foci genannt werden, ist ein konstanter Wert
, größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten
.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse, deren Brennpunkte auf der Ox-Achse liegen und deren Ursprung in der Mitte zwischen den Brennpunkten liegt, hat die Form
g de ein die Länge der großen Halbachse; B ist die Länge der kleinen Halbachse (Abb. 2).

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht. Im Artikel" " Ich habe Ihnen versprochen, den zweiten Weg zur Lösung der vorgestellten Probleme zum Finden der Ableitung mit einem gegebenen Funktionsgraphen und einer Tangente an diesen Graphen zu analysieren. Wir werden diese Methode in untersuchen , nicht verpassen! Warum nächste?

Tatsache ist, dass dort die Formel der Gleichung einer geraden Linie verwendet wird. Man könnte natürlich auch einfach zeigen diese Formel und raten Ihnen, es zu lernen. Aber es ist besser zu erklären, woher es kommt (wie es abgeleitet wird). Es ist notwendig! Wenn Sie es vergessen haben, stellen Sie es schnell wieder herwird nicht schwierig sein. Alles ist unten detailliert. Wir haben also zwei Punkte A auf der Koordinatenebene(x 1; y 1) und B (x 2; y 2) wird eine gerade Linie durch die angegebenen Punkte gezogen:

Hier ist die direkte Formel:

*Das heißt, wenn wir die spezifischen Koordinaten der Punkte ersetzen, erhalten wir eine Gleichung der Form y=kx+b.

** Wenn diese Formel einfach „auswendig gelernt“ wird, dann besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass man sie mit Indizes verwechselt x. Darüber hinaus können Indizes auf unterschiedliche Weise bezeichnet werden, zum Beispiel:

Deshalb ist es wichtig, die Bedeutung zu verstehen.

Nun die Herleitung dieser Formel. Alles ist sehr einfach!

Die Dreiecke ABE und ACF sind ähnlich in Bezug auf einen spitzen Winkel (das erste Zeichen für die Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken). Daraus folgt, dass die Verhältnisse der entsprechenden Elemente gleich sind, das heißt:

Jetzt drücken wir diese Segmente einfach durch die Differenz der Koordinaten der Punkte aus:

Natürlich wird es keinen Fehler geben, wenn Sie die Beziehungen der Elemente in einer anderen Reihenfolge schreiben (die Hauptsache ist, die Korrespondenz beizubehalten):

Das Ergebnis ist die gleiche Gleichung einer geraden Linie. Das ist alles!

Das heißt, egal wie die Punkte selbst (und ihre Koordinaten) bezeichnet werden, wenn Sie diese Formel verstehen, finden Sie immer die Gleichung einer geraden Linie.

Die Formel kann anhand der Eigenschaften von Vektoren abgeleitet werden, aber das Prinzip der Ableitung ist dasselbe, da wir über die Proportionalität ihrer Koordinaten sprechen werden. In diesem Fall funktioniert die gleiche Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke. Meiner Meinung nach ist die oben beschriebene Schlussfolgerung verständlicher)).

Ausgabe über Vektorkoordinaten anzeigen >>>

Es sei eine Gerade auf der Koordinatenebene konstruiert, die durch zwei gegebene Punkte A (x 1; y 1) und B (x 2; y 2) geht. Markieren wir einen beliebigen Punkt C auf der Geraden mit Koordinaten ( x; j). Wir bezeichnen auch zwei Vektoren:

Es ist bekannt, dass für Vektoren, die auf parallelen Linien (oder auf einer Linie) liegen, ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind, das heißt:

- wir schreiben die Gleichheit der Verhältnisse der entsprechenden Koordinaten:

Betrachten Sie ein Beispiel:

Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten (2;5) und (7:3) verläuft.

Sie können nicht einmal die Leitung selbst bauen. Wir wenden die Formel an:

Es ist wichtig, dass Sie die Korrespondenz bei der Erstellung der Quote erfassen. Sie können nichts falsch machen, wenn Sie schreiben:

Antwort: y=-2/5x+29/5 geht y=-0,4x+5,8

Um sicherzustellen, dass die resultierende Gleichung korrekt gefunden wird, überprüfen Sie sie unbedingt - ersetzen Sie die Datenkoordinaten in der Bedingung der Punkte. Sie sollten korrekte Gleichheiten erhalten.

Das ist alles. Ich hoffe, das Material war hilfreich für Sie.

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.