Vollständige reduzierte quadratische Gleichung. Online-Rechner. Lösen einer quadratischen Gleichung

Dieses Thema mag aufgrund der vielen nicht ganz einfachen Formeln zunächst kompliziert erscheinen. Nicht nur die quadratischen Gleichungen selbst haben lange Einträge, sondern auch die Wurzeln werden über die Diskriminante gefunden. Insgesamt gibt es drei neue Formeln. Nicht ganz leicht zu merken. Dies ist nur nach häufigem Lösen solcher Gleichungen möglich. Dann werden sich alle Formeln von selbst merken.

Gesamtansicht der quadratischen Gleichung

Hier wird ihre explizite Notation vorgeschlagen, wenn der größte Grad zuerst geschrieben wird und dann - in absteigender Reihenfolge. Oft gibt es Situationen, in denen die Begriffe auseinanderstehen. Dann ist es besser, die Gleichung in absteigender Reihenfolge des Grades der Variablen umzuschreiben.

Wir führen die Notation ein. Sie sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Wenn wir diese Notationen akzeptieren, werden alle quadratischen Gleichungen auf die folgende Notation reduziert.

Außerdem ist der Koeffizient a ≠ 0. Diese Formel sei mit der Nummer eins bezeichnet.

Wenn die Gleichung gegeben ist, ist nicht klar, wie viele Wurzeln in der Antwort sein werden. Denn eine von drei Möglichkeiten ist immer möglich:

die Lösung wird zwei Wurzeln haben;
die Antwort wird eine Zahl sein;
Die Gleichung hat überhaupt keine Wurzeln.

Und obwohl die Entscheidung nicht zu Ende geführt wird, ist es schwer zu verstehen, welche der Optionen in einem bestimmten Fall herausfallen wird.

Arten von Datensätzen quadratischer Gleichungen

Aufgaben können unterschiedliche Einträge haben. Sie werden nicht immer wie die allgemeine Formel einer quadratischen Gleichung aussehen. Manchmal fehlen einige Begriffe. Was oben geschrieben wurde, ist die vollständige Gleichung. Wenn Sie den zweiten oder dritten Begriff darin entfernen, erhalten Sie etwas anderes. Diese Datensätze werden auch quadratische Gleichungen genannt, nur unvollständig.

Außerdem können nur die Terme verschwinden, für die die Koeffizienten "b" und "c" verschwinden. Die Zahl „a“ darf unter keinen Umständen gleich Null sein. Denn in diesem Fall wird aus der Formel eine lineare Gleichung. Die Formeln für die unvollständige Form der Gleichungen lauten wie folgt:

Es gibt also nur zwei Arten, neben vollständigen gibt es auch unvollständige quadratische Gleichungen. Die erste Formel sei Nummer zwei und die zweite Nummer drei.

Die Diskriminante und die Abhängigkeit der Anzahl der Wurzeln von ihrem Wert

Diese Zahl muss bekannt sein, um die Wurzeln der Gleichung zu berechnen. Sie kann immer berechnet werden, egal wie die Formel der quadratischen Gleichung lautet. Um die Diskriminante zu berechnen, müssen Sie die unten geschriebene Gleichheit verwenden, die die Nummer vier hat.

Nachdem Sie die Werte der Koeffizienten in diese Formel eingesetzt haben, können Sie Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen erhalten. Wenn die Antwort ja ist, dann wird die Antwort auf die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln sein. Bei einer negativen Zahl fehlen die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Wenn es gleich Null ist, ist die Antwort eins.

Wie wird eine vollständige quadratische Gleichung gelöst?

Tatsächlich hat die Betrachtung dieser Frage bereits begonnen. Denn zuerst müssen Sie die Diskriminante finden. Nachdem klar ist, dass es Wurzeln der quadratischen Gleichung gibt und ihre Anzahl bekannt ist, müssen Sie die Formeln für die Variablen verwenden. Wenn es zwei Wurzeln gibt, müssen Sie eine solche Formel anwenden.

Da es das „±“-Zeichen enthält, gibt es zwei Werte. Der Ausdruck unter dem Quadratwurzelzeichen ist die Diskriminante. Daher kann die Formel auf andere Weise umgeschrieben werden.

Formel fünf. Aus derselben Aufzeichnung ist ersichtlich, dass, wenn die Diskriminante Null ist, beide Wurzeln dieselben Werte annehmen.

Wenn die Lösung quadratischer Gleichungen noch nicht ausgearbeitet wurde, ist es besser, die Werte aller Koeffizienten aufzuschreiben, bevor Sie die Diskriminanz- und Variablenformeln anwenden. Später wird dieser Moment keine Schwierigkeiten verursachen. Aber ganz am Anfang herrscht Verwirrung.

Wie wird eine unvollständige quadratische Gleichung gelöst?

Hier ist alles viel einfacher. Es sind auch keine zusätzlichen Formeln erforderlich. Und Sie brauchen keine, die bereits für die Diskriminante und das Unbekannte geschrieben wurden.

Betrachten Sie zunächst die unvollständige Gleichung Nummer zwei. In dieser Gleichung soll es den unbekannten Wert aus der Klammer nehmen und die lineare Gleichung lösen, die in der Klammer bleiben wird. Die Antwort wird zwei Wurzeln haben. Die erste ist notwendigerweise gleich Null, weil es einen Faktor gibt, der aus der Variablen selbst besteht. Die zweite erhält man durch Lösen einer linearen Gleichung.

Die unvollständige Gleichung bei Nummer drei wird gelöst, indem die Zahl von der linken Seite der Gleichung auf die rechte übertragen wird. Dann müssen Sie durch den Koeffizienten vor dem Unbekannten dividieren. Es bleibt nur noch die Quadratwurzel zu ziehen und nicht zu vergessen, sie zweimal mit entgegengesetzten Vorzeichen aufzuschreiben.

Im Folgenden finden Sie einige Aktionen, mit denen Sie lernen, wie Sie alle Arten von Gleichungen lösen, die sich in quadratische Gleichungen verwandeln. Sie helfen dem Schüler, Fehler durch Unaufmerksamkeit zu vermeiden. Diese Mängel sind die Ursache für schlechte Noten beim Studium des umfangreichen Themas „Quadrische Gleichungen (Klasse 8)“. Anschließend müssen diese Aktionen nicht ständig durchgeführt werden. Weil es eine stabile Gewohnheit geben wird.

Zuerst müssen Sie die Gleichung in Standardform schreiben. Das heißt, zuerst der Term mit dem größten Grad der Variablen und dann - ohne den Grad und den letzten - nur eine Zahl.

Wenn vor dem Koeffizienten "a" ein Minus steht, kann es einem Anfänger die Arbeit erschweren, quadratische Gleichungen zu studieren. Es ist besser, es loszuwerden. Dazu müssen alle Gleichheiten mit „-1“ multipliziert werden. Dies bedeutet, dass alle Terme das Vorzeichen in das Gegenteil ändern.

Auf die gleiche Weise wird empfohlen, Brüche loszuwerden. Multiplizieren Sie die Gleichung einfach mit dem entsprechenden Faktor, sodass sich die Nenner aufheben.

Beispiele

Es ist erforderlich, die folgenden quadratischen Gleichungen zu lösen:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Die erste Gleichung: x 2 - 7x \u003d 0. Sie ist unvollständig und wird daher wie für Formel Nummer zwei beschrieben gelöst.

Nach dem Klammern stellt sich heraus: x (x - 7) \u003d 0.

Die erste Wurzel nimmt den Wert an: x 1 \u003d 0. Die zweite ergibt sich aus der linearen Gleichung: x - 7 \u003d 0. Es ist leicht zu erkennen, dass x 2 \u003d 7.

Zweite Gleichung: 5x2 + 30 = 0. Wieder unvollständig. Nur sie wird wie für die dritte Formel beschrieben gelöst.

Nachdem Sie 30 auf die rechte Seite der Gleichung übertragen haben: 5x 2 = 30. Jetzt müssen Sie durch 5 teilen. Es stellt sich heraus: x 2 = 6. Die Antworten sind Zahlen: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Dritte Gleichung: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Hier und unten beginnt die Lösung quadratischer Gleichungen damit, sie in eine Standardform umzuschreiben: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Jetzt ist es Zeit, die zweite zu verwenden nützlicher Tipp und alles mit minus eins multiplizieren. Es stellt sich heraus, x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Nach der vierten Formel müssen Sie die Diskriminante berechnen: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Es ist a positive Zahl. Aus dem oben Gesagten geht hervor, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat. Sie müssen nach der fünften Formel berechnet werden. Demnach stellt sich heraus, dass x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Dann x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Die vierte Gleichung x 2 + 8 + 3x \u003d 0 wird wie folgt umgewandelt: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Ihre Diskriminante ist gleich diesem Wert: -23. Da diese Zahl negativ ist, lautet die Antwort auf diese Aufgabe der folgende Eintrag: "Es gibt keine Wurzeln."

Die fünfte Gleichung 12x + x 2 + 36 = 0 sollte wie folgt umgeschrieben werden: x 2 + 12x + 36 = 0. Nach Anwendung der Formel für die Diskriminante erhält man die Zahl Null. Dies bedeutet, dass es eine Wurzel haben wird, nämlich: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Die sechste Gleichung (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) erfordert Umformungen, die darin bestehen, dass man vor dem Öffnen der Klammern gleiche Terme bringen muss. Anstelle des ersten steht ein solcher Ausdruck: x 2 + 2x + 1. Nach Gleichheit erscheint dieser Eintrag: x 2 + 3x + 2. Nachdem ähnliche Terme gezählt wurden, nimmt die Gleichung die Form an: x 2 - x \u003d 0. Es ist unvollständig geworden . Ähnlich wurde es schon etwas höher angesetzt. Die Wurzeln davon werden die Zahlen 0 und 1 sein.

Diskriminanz ist ein mehrdeutiger Begriff. Dieser Artikel konzentriert sich auf die Diskriminante eines Polynoms, mit der Sie feststellen können, ob ein bestimmtes Polynom reelle Lösungen hat. Die Formel für ein quadratisches Polynom findet man im Schulkurs Algebra und Analysis. Wie finde ich die Diskriminante? Was wird benötigt, um die Gleichung zu lösen?

Ein quadratisches Polynom oder eine Gleichung zweiten Grades wird aufgerufen i * w ^ 2 + j * w + k gleich 0, wobei "i" und "j" der erste bzw. zweite Koeffizient sind, "k" eine Konstante ist, die manchmal als "Abschnitt" bezeichnet wird, und "w" ist eine Variable. Seine Wurzeln sind alle Werte der Variablen, bei denen es sich in eine Identität verwandelt. Eine solche Gleichheit kann als Produkt von i, (w - w1) und (w - w2) gleich 0 umgeschrieben werden. In diesem Fall ist es offensichtlich, dass, wenn der Koeffizient "i" nicht verschwindet, die Funktion auf der Die linke Seite wird nur dann Null, wenn x den Wert w1 oder w2 annimmt. Diese Werte sind das Ergebnis des Setzens des Polynoms auf Null.

Um den Wert einer Variablen zu finden, bei dem das quadratische Polynom verschwindet, wird eine Hilfskonstruktion verwendet, die auf ihren Koeffizienten aufbaut und Diskriminante genannt wird. Diese Konstruktion wird nach der Formel D gleich j * j - 4 * i * k berechnet. Warum wird es verwendet?

Sie sagt, ob es gültige Ergebnisse gibt.
Sie hilft bei der Berechnung.

Wie dieser Wert das Vorhandensein echter Wurzeln zeigt:

Wenn sie positiv ist, dann findest du zwei Nullstellen im Bereich der reellen Zahlen.
Wenn die Diskriminante Null ist, dann sind beide Lösungen gleich. Wir können sagen, dass es nur eine Lösung gibt, und zwar aus dem Bereich der reellen Zahlen.
Wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann hat das Polynom keine reellen Wurzeln.

Berechnungsmöglichkeiten zur Fixierung des Materials

Für sum (7 * w^2; 3 * w; 1) gleich 0 Wir berechnen D mit der Formel 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 und erhalten -19. Ein Diskriminanzwert unter Null zeigt an, dass es keine Ergebnisse auf der realen Linie gibt.

Betrachten wir 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 gleich 0, dann wird D berechnet als (-3) zum Quadrat minus dem Produkt der Zahlen (4; 2; 1) und ist gleich 9 - 8, also 1. Ein positiver Wert zeigt zwei Ergebnisse auf der reellen Linie an.

Wenn wir die Summe (w^2; 2 * w; 1) nehmen und 0 gleichsetzen, D wird als Zwei zum Quadrat minus dem Produkt der Zahlen (4; 1; 1) berechnet. Dieser Ausdruck vereinfacht sich zu 4 - 4 und wird zu Null. Es stellt sich heraus, dass die Ergebnisse die gleichen sind. Wenn Sie sich diese Formel genau ansehen, wird deutlich, dass es sich um ein „volles Quadrat“ handelt. Das bedeutet, dass die Gleichheit in die Form (w + 1) ^ 2 = 0 umgeschrieben werden kann. Es wurde offensichtlich, dass das Ergebnis bei dieser Aufgabe „-1“ ist. In einer Situation, in der D gleich 0 ist, kann die linke Seite der Gleichheit immer nach der Formel „Quadrat der Summe“ kollabiert werden.

Verwenden der Diskriminante zum Berechnen von Wurzeln

Diese Hilfskonstruktion zeigt nicht nur die Anzahl der echten Lösungen, sondern hilft auch, sie zu finden. Die allgemeine Formel zur Berechnung der Gleichung zweiten Grades lautet wie folgt:

w = (-j +/- d) / (2 * i), wobei d die Diskriminante hoch 1/2 ist.

Angenommen, die Diskriminante ist unter Null, dann ist d imaginär und die Ergebnisse sind imaginär.

D ist Null, dann ist d gleich D hoch 1/2 ebenfalls Null. Lösung: -j / (2 * i). Wenn wir 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0 erneut betrachten, finden wir Ergebnisse, die -2 / (2 * 1) = -1 entsprechen.

Angenommen, D > 0, also ist d eine reelle Zahl, und die Antwort teilt sich hier in zwei Teile auf: w1 = (-j + d) / (2 * i) und w2 = (-j - d) / (2 * i) . Beide Ergebnisse sind gültig. Betrachten wir 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Hier sind die Diskriminante und d Einsen. Also ist w1 (3 + 1) geteilt durch (2 * 2) oder 1, und w2 ist (3 - 1) geteilt durch 2 * 2 oder 1/2.

Das Ergebnis der Gleichsetzung eines quadratischen Ausdrucks mit Null wird gemäß dem Algorithmus berechnet:

Bestimmung der Anzahl gültiger Lösungen.
Berechnung d = D^(1/2).
Finden Sie das Ergebnis nach der Formel (-j +/- d) / (2 * i).
Die Substitution des bekommenen Ergebnisses in die Ausgangsgleichheit für die Prüfung.

Einige Sonderfälle

Abhängig von den Koeffizienten kann die Lösung etwas vereinfacht werden. Wenn der Koeffizient vor der Variablen zur zweiten Potenz Null ist, wird offensichtlich eine lineare Gleichheit erhalten. Wenn der Koeffizient vor der Variablen null hoch ist, dann sind zwei Optionen möglich:

das Polynom erweitert sich in die Differenz von Quadraten mit einem negativen freien Term;
für eine positive Konstante können keine echten Lösungen gefunden werden.

Wenn der freie Term Null ist, dann sind die Wurzeln (0; -j)

Aber es gibt noch andere Spezialfälle, die die Lösungsfindung vereinfachen.

Reduzierte Gleichung zweiten Grades

Das Gegebene wird gerufen ein solches quadratisches Trinom, bei dem der Koeffizient vor dem höchsten Term eins ist. Für diese Situation gilt das Vieta-Theorem, das besagt, dass die Summe der Wurzeln gleich dem Koeffizienten der Variablen zur ersten Potenz multipliziert mit -1 ist und das Produkt der Konstanten "k" entspricht.

Daher ist w1 + w2 gleich –j und w1 * w2 ist gleich k, wenn der erste Koeffizient eins ist. Um die Richtigkeit einer solchen Darstellung zu überprüfen, können wir w2 = -j - w1 aus der ersten Formel ausdrücken und in die zweite Gleichung w1 * (-j - w1) = k einsetzen. Das Ergebnis ist die ursprüngliche Gleichheit w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Es ist wichtig zu beachten dass i * w ^ 2 + j * w + k = 0 durch Division durch "i" reduziert werden kann. Das Ergebnis ist: w^2 + j1 * w + k1 = 0 wobei j1 gleich j/i und k1 gleich k/i ist.

Betrachten wir die bereits gelöste 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 mit den Ergebnissen w1 = 1 und w2 = 1/2. Es ist notwendig, es in zwei Hälften zu teilen, als Ergebnis w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Überprüfen wir, ob die Bedingungen des Theorems für die gefundenen Ergebnisse wahr sind: 1 + 1/2 = 3/2 und 1 * 1/2 = 1/2.

Sogar zweiter Faktor

Wenn der Faktor der Variablen zur ersten Potenz (j) durch 2 teilbar ist, dann ist es möglich, die Formel zu vereinfachen und nach einer Lösung durch ein Viertel der Diskriminante D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k zu suchen. es stellt sich heraus w = (-j +/- d/2) / i, wobei d/2 = D/4 hoch 1/2.

Wenn i = 1 und der Koeffizient j gerade ist, dann ist die Lösung das Produkt aus -1 und der Hälfte des Koeffizienten in der Variablen w, plus/minus der Wurzel des Quadrats dieser Hälfte, minus der Konstante "k". Formel: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Diskriminante höherer Ordnung

Die oben betrachtete Diskriminante zweiten Grades ist der am häufigsten verwendete Spezialfall. Im allgemeinen Fall ist die Diskriminante eines Polynoms die multiplizierten Quadrate der Differenzen der Wurzeln dieses Polynoms. Daher zeigt eine Diskriminante gleich Null das Vorhandensein von mindestens zwei Mehrfachlösungen an.

Betrachten Sie i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * ich * k ^ 3 - 4 * ich ^ 3 * k - 27 * ich ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Nehmen wir an, die Diskriminante ist größer als Null. Das bedeutet, dass es im Bereich der reellen Zahlen drei Wurzeln gibt. Bei Null gibt es mehrere Lösungen. Wenn d< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Unser Video erklärt Ihnen ausführlich die Berechnung der Diskriminante.

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Wir studieren das Thema weiter Lösung von Gleichungen". Wir haben uns bereits mit linearen Gleichungen vertraut gemacht und werden uns jetzt damit vertraut machen quadratische Gleichungen.

Zuerst werden wir diskutieren, was eine quadratische Gleichung ist, wie sie in allgemeiner Form geschrieben wird, und verwandte Definitionen geben. Anschließend analysieren wir anhand von Beispielen im Detail, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden. Als nächstes lösen wir vollständige Gleichungen, erhalten die Formel für die Wurzeln, machen uns mit der Diskriminante einer quadratischen Gleichung vertraut und betrachten Lösungen für typische Beispiele. Schließlich verfolgen wir die Verbindungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten.

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Was ist eine quadratische Gleichung? Ihre Typen

Zuerst müssen Sie klar verstehen, was eine quadratische Gleichung ist. Daher ist es logisch, mit der Definition einer quadratischen Gleichung sowie den damit verbundenen Definitionen über quadratische Gleichungen zu sprechen. Danach können Sie die Haupttypen quadratischer Gleichungen betrachten: reduzierte und nicht reduzierte sowie vollständige und unvollständige Gleichungen.

Definition und Beispiele quadratischer Gleichungen

Definition.

Quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a x 2 + b x + c = 0, wobei x eine Variable ist, a , b und c einige Zahlen sind und a von Null verschieden ist.

Nehmen wir gleich an, dass quadratische Gleichungen oft als Gleichungen zweiten Grades bezeichnet werden. Dies liegt daran, dass die quadratische Gleichung ist algebraische Gleichung zweiter Grad.

Die erklingende Definition erlaubt es uns, Beispiele für quadratische Gleichungen zu geben. Also 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 usw. sind quadratische Gleichungen.

Definition.

Zahlen a , b und c werden aufgerufen Koeffizienten der quadratischen Gleichung a x 2 + b x + c = 0, und der Koeffizient a wird der erste oder Senior oder Koeffizient bei x 2 genannt, b ist der zweite Koeffizient oder Koeffizient bei x, und c ist ein freies Mitglied.

Nehmen wir zum Beispiel eine quadratische Gleichung der Form 5 x 2 −2 x−3=0 , hier ist der führende Koeffizient 5 , der zweite Koeffizient ist −2 und der freie Term ist −3 . Beachten Sie, dass, wenn die Koeffizienten b und/oder c negativ sind, wie im gerade gegebenen Beispiel, die Kurzform der quadratischen Gleichung der Form 5 x 2 −2 x−3=0 verwendet wird, nicht 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Es ist erwähnenswert, dass, wenn die Koeffizienten a und / oder b gleich 1 oder −1 sind, sie normalerweise nicht explizit in der Notation der quadratischen Gleichung vorhanden sind, was auf die Besonderheiten der Notation solcher zurückzuführen ist. Beispielsweise ist in der quadratischen Gleichung y 2 – y+3 = 0 der führende Koeffizient eins und der Koeffizient bei y ist –1.

Reduzierte und nicht reduzierte quadratische Gleichungen

Je nach Wert des führenden Koeffizienten werden reduzierte und nicht reduzierte quadratische Gleichungen unterschieden. Geben wir die entsprechenden Definitionen an.

Definition.

Eine quadratische Gleichung, in der der führende Koeffizient 1 ist, wird aufgerufen reduzierte quadratische Gleichung. Andernfalls ist die quadratische Gleichung unvermindert.

Nach dieser Definition sind die quadratischen Gleichungen x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 usw. - reduziert, in jedem von ihnen ist der erste Koeffizient gleich eins. Und 5 x 2 −x−1=0 usw. - nicht reduzierte quadratische Gleichungen, deren führende Koeffizienten von 1 verschieden sind.

Aus jeder nicht reduzierten quadratischen Gleichung können Sie durch Dividieren ihrer beiden Teile durch den führenden Koeffizienten zu der reduzierten gehen. Diese Aktion ist eine äquivalente Transformation, dh die so erhaltene reduzierte quadratische Gleichung hat dieselben Wurzeln wie die ursprüngliche nicht reduzierte quadratische Gleichung oder hat wie diese keine Wurzeln.

Nehmen wir ein Beispiel dafür, wie der Übergang von einer nicht reduzierten quadratischen Gleichung zu einer reduzierten durchgeführt wird.

Beispiel.

Gehen Sie von der Gleichung 3 x 2 +12 x−7=0 zur entsprechenden reduzierten quadratischen Gleichung.

Lösung.

Es genügt uns, die Division beider Teile der ursprünglichen Gleichung durch den führenden Koeffizienten 3 durchzuführen, er ist ungleich Null, also können wir diese Aktion ausführen. Wir haben (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , was dasselbe ist wie (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , und so weiter (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , also . So haben wir die reduzierte quadratische Gleichung erhalten, die der ursprünglichen entspricht.

Antworten:

Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen

Es gibt eine Bedingung a≠0 in der Definition einer quadratischen Gleichung. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Gleichung a x 2 +b x+c=0 genau quadratisch ist, da sie mit a=0 eigentlich eine lineare Gleichung der Form b x+c=0 wird.

Die Koeffizienten b und c können sowohl getrennt als auch zusammen gleich Null sein. In diesen Fällen wird die quadratische Gleichung als unvollständig bezeichnet.

Definition.

Die quadratische Gleichung a x 2 +b x+c=0 wird aufgerufen unvollständig, wenn mindestens einer der Koeffizienten b , c gleich Null ist.

Wiederum

Definition.

Vervollständige die quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der alle Koeffizienten von Null verschieden sind.

Diese Namen sind nicht zufällig vergeben. Dies wird aus der folgenden Diskussion deutlich.

Wenn der Koeffizient b gleich Null ist, dann nimmt die quadratische Gleichung die Form a x 2 +0 x+c=0 an und ist äquivalent zu der Gleichung a x 2 +c=0 . Wenn c=0 , das heißt, die quadratische Gleichung hat die Form a x 2 +b x+0=0 , dann kann sie umgeschrieben werden als a x 2 +b x=0 . Und mit b=0 und c=0 erhalten wir die quadratische Gleichung a·x 2 =0. Die resultierenden Gleichungen unterscheiden sich von der vollständigen quadratischen Gleichung dadurch, dass ihre linken Seiten weder einen Term mit der Variablen x noch einen freien Term oder beides enthalten. Daher ihr Name - unvollständige quadratische Gleichungen.

Die Gleichungen x 2 +x+1=0 und −2 x 2 −5 x+0,2=0 sind also Beispiele für vollständige quadratische Gleichungen, und x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sind unvollständige quadratische Gleichungen.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Aus den Informationen des vorigen Absatzes folgt, dass dies der Fall ist drei Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen:

a x 2 =0 , die Koeffizienten b=0 und c=0 entsprechen ihm;
a x 2 + c = 0, wenn b = 0;
und a x 2 + b x = 0, wenn c = 0.

Lassen Sie uns der Reihe nach analysieren, wie die unvollständigen quadratischen Gleichungen jedes dieser Typen gelöst werden.

a x 2 \u003d 0

Beginnen wir damit, unvollständige quadratische Gleichungen zu lösen, bei denen die Koeffizienten b und c gleich Null sind, also mit Gleichungen der Form a x 2 = 0. Die Gleichung a·x 2 =0 ist äquivalent zu der Gleichung x 2 =0, die aus dem Original erhalten wird, indem ihre beiden Teile durch eine von Null verschiedene Zahl a dividiert werden. Offensichtlich ist die Wurzel der Gleichung x 2 \u003d 0 Null, da 0 2 \u003d 0. Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was erklärt wird, denn für jede Zahl p ungleich Null tritt die Ungleichung p 2 > 0 auf, was impliziert, dass für p ≠ 0 die Gleichheit p 2 = 0 niemals erreicht wird.

Die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 \u003d 0 hat also eine einzige Wurzel x \u003d 0.

Als Beispiel geben wir die Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung −4·x 2 =0 an. Es ist äquivalent zur Gleichung x 2 \u003d 0, seine einzige Wurzel ist x \u003d 0, daher hat die ursprüngliche Gleichung eine einzige Wurzel Null.

Eine kurze Lösung in diesem Fall kann wie folgt ausgegeben werden:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 + c = 0

Betrachten Sie nun, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden, bei denen der Koeffizient b gleich Null und c≠0 ist, dh Gleichungen der Form a x 2 + c=0. Wir wissen, dass die Übertragung eines Terms von einer Seite der Gleichung auf die andere mit entgegengesetztem Vorzeichen sowie die Division beider Seiten der Gleichung durch eine Zahl ungleich Null eine äquivalente Gleichung ergibt. Daher können die folgenden äquivalenten Transformationen der unvollständigen quadratischen Gleichung a x 2 + c = 0 durchgeführt werden:

bewege c auf die rechte Seite, was die Gleichung a x 2 =−c ergibt,
und dividieren beide Teile durch a , erhalten wir .

Die resultierende Gleichung erlaubt Rückschlüsse auf ihre Wurzeln. Abhängig von den Werten von a und c kann der Wert des Ausdrucks negativ sein (z. B. wenn a=1 und c=2 , dann ) oder positiv (z. B. wenn a=−2 und c=6 , dann ), ist sie ungleich Null , weil nach Bedingung c≠0 . Wir werden die Fälle und getrennt analysieren.

Wenn , dann hat die Gleichung keine Wurzeln. Diese Aussage folgt aus der Tatsache, dass das Quadrat einer beliebigen Zahl eine nicht negative Zahl ist. Daraus folgt, dass wenn , dann für jede Zahl p die Gleichheit nicht wahr sein kann.

Wenn , dann ist die Situation mit den Wurzeln der Gleichung anders. Wenn wir uns in diesem Fall daran erinnern, wird die Wurzel der Gleichung sofort offensichtlich, es ist die Zahl, da. Es ist leicht zu erraten, dass die Zahl auch die Wurzel der Gleichung ist, nämlich . Diese Gleichung hat keine weiteren Wurzeln, was sich zB durch Widerspruch zeigen lässt. Lass es uns tun.

Lassen Sie uns die stimmhaften Wurzeln der Gleichung als x 1 und −x 1 bezeichnen. Angenommen, die Gleichung hat eine andere Wurzel x 2 , die sich von den angegebenen Wurzeln x 1 und –x 1 unterscheidet. Es ist bekannt, dass das Einsetzen in die Gleichung anstelle von x ihrer Wurzeln die Gleichung in eine echte numerische Gleichheit verwandelt. Für x 1 und −x 1 haben wir , und für x 2 haben wir . Die Eigenschaften von numerischen Gleichheiten ermöglichen es uns, Term-für-Term-Subtraktionen von echten numerischen Gleichheiten durchzuführen, sodass die Subtraktion der entsprechenden Teile der Gleichheiten x 1 2 − x 2 2 = 0 ergibt. Die Eigenschaften von Operationen mit Zahlen erlauben es uns, die resultierende Gleichheit als (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 umzuschreiben. Wir wissen, dass das Produkt zweier Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn mindestens eine von ihnen gleich Null ist. Daher folgt aus der erhaltenen Gleichheit, dass x 1 – x 2 = 0 und/oder x 1 + x 2 = 0 , was dasselbe ist, x 2 = x 1 und/oder x 2 = –x 1 . Wir sind also auf einen Widerspruch gestoßen, da wir eingangs gesagt haben, dass die Wurzel der Gleichung x 2 von x 1 und −x 1 verschieden ist. Dies beweist, dass die Gleichung keine anderen Wurzeln als und hat.

Lassen Sie uns die Informationen in diesem Abschnitt zusammenfassen. Die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 +c=0 ist äquivalent zur Gleichung , die

hat keine Wurzeln, wenn
hat zwei Wurzeln und wenn .

Betrachten Sie Beispiele zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen der Form a·x 2 +c=0 .

Beginnen wir mit der quadratischen Gleichung 9 x 2 +7=0 . Nachdem der freie Term auf die rechte Seite der Gleichung übertragen wurde, nimmt er die Form 9·x 2 =−7 an. Wenn wir beide Seiten der resultierenden Gleichung durch 9 dividieren, erhalten wir . Da auf der rechten Seite eine negative Zahl erhalten wird, hat diese Gleichung keine Wurzeln, daher hat die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung 9 x 2 +7=0 keine Wurzeln.

Lösen wir eine weitere unvollständige quadratische Gleichung −x 2 +9=0. Wir übertragen die Neun auf die rechte Seite: -x 2 \u003d -9. Teilen wir nun beide Teile durch −1, erhalten wir x 2 =9. Die rechte Seite enthält eine positive Zahl, woraus wir schließen, dass oder . Nachdem wir die endgültige Antwort aufgeschrieben haben: Die unvollständige quadratische Gleichung −x 2 +9=0 hat zwei Wurzeln x=3 oder x=−3.

a x 2 + b x = 0

Es bleibt die Lösung des letzten Typs unvollständiger quadratischer Gleichungen für c=0 zu behandeln. Unvollständige quadratische Gleichungen der Form a x 2 +b x=0 können Sie lösen Faktorisierungsmethode. Offensichtlich können wir, auf der linken Seite der Gleichung gelegen, wofür es genügt, den gemeinsamen Faktor x aus Klammern zu nehmen. Dies erlaubt uns, von der ursprünglichen unvollständigen quadratischen Gleichung zu einer äquivalenten Gleichung der Form x·(a·x+b)=0 überzugehen. Und diese Gleichung ist äquivalent zu dem Satz von zwei Gleichungen x=0 und a x+b=0 , von denen die letzte linear ist und eine Wurzel x=−b/a hat.

Die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 +b x=0 hat also zwei Wurzeln x=0 und x=−b/a.

Um das Material zu festigen, analysieren wir die Lösung eines konkreten Beispiels.

Beispiel.

Löse die Gleichung.

Lösung.

Wir nehmen x aus Klammern heraus, das ergibt die Gleichung. Es ist äquivalent zu zwei Gleichungen x=0 und . Wir lösen die resultierende lineare Gleichung: , und nachdem wir die gemischte Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch dividiert haben, finden wir . Daher sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung x=0 und .

Mit der nötigen Übung lassen sich die Lösungen solcher Gleichungen kurz aufschreiben:

Antworten:

x=0 , .

Diskriminante, Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Um quadratische Gleichungen zu lösen, gibt es eine Wurzelformel. Schreiben wir auf die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung: , wo D=b 2 −4 a c- sogenannt Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Die Notation bedeutet im Wesentlichen, dass .

Es ist nützlich zu wissen, wie die Wurzelformel erhalten wurde und wie sie beim Finden der Wurzeln quadratischer Gleichungen angewendet wird. Lassen Sie uns damit umgehen.

Herleitung der Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Lassen Sie uns die quadratische Gleichung a·x 2 +b·x+c=0 lösen. Lassen Sie uns einige äquivalente Transformationen durchführen:

Wir können beide Teile dieser Gleichung durch eine von Null verschiedene Zahl a dividieren, als Ergebnis erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung.
Jetzt Wählen Sie ein ganzes Quadrat aus auf seiner linken Seite: . Danach nimmt die Gleichung die Form an.
An dieser Stelle ist es möglich, die letzten beiden Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen auf die rechte Seite zu übertragen, wir haben .
Und lassen Sie uns auch den Ausdruck auf der rechten Seite umwandeln: .

Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung , die der ursprünglichen quadratischen Gleichung a·x 2 +b·x+c=0 entspricht.

Wir haben bereits Gleichungen ähnlicher Form in den vorherigen Abschnitten gelöst, als wir analysierten. Dies erlaubt uns, die folgenden Schlussfolgerungen bezüglich der Wurzeln der Gleichung zu ziehen:

wenn , dann hat die Gleichung keine reellen Lösungen;
wenn , dann hat die Gleichung die Form , also , von der ihre einzige Wurzel sichtbar ist;
if , then or , was dasselbe ist wie oder , das heißt, die Gleichung hat zwei Wurzeln.

Somit hängt das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der Gleichung und damit der ursprünglichen quadratischen Gleichung vom Vorzeichen des Ausdrucks auf der rechten Seite ab. Das Vorzeichen dieses Ausdrucks wiederum wird durch das Vorzeichen des Zählers bestimmt, da der Nenner 4 a 2 immer positiv ist, also das Vorzeichen des Ausdrucks b 2 – 4 a c . Dieser Ausdruck wird b 2 −4 a c genannt Diskriminante einer quadratischen Gleichung und mit dem Buchstaben gekennzeichnet D. Von hier aus ist das Wesen der Diskriminante klar - aus ihrem Wert und Vorzeichen wird geschlossen, ob die quadratische Gleichung echte Wurzeln hat und wenn ja, wie groß ihre Nummer ist - eins oder zwei.

Wir kehren zur Gleichung zurück und schreiben sie unter Verwendung der Notation der Diskriminante um: . Und wir schließen:

wenn d<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
wenn D = 0, dann hat diese Gleichung eine einzelne Wurzel;
schließlich, wenn D>0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln oder , die in die Form oder umgeschrieben werden können, und nachdem wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitert und gekürzt haben, erhalten wir .

Also haben wir die Formeln für die Wurzeln der quadratischen Gleichung hergeleitet, sie sehen aus wie , wobei die Diskriminante D durch die Formel D=b 2 −4 a c berechnet wird.

Mit ihrer Hilfe lassen sich bei positiver Diskriminante die beiden reellen Wurzeln einer quadratischen Gleichung berechnen. Wenn die Diskriminante gleich Null ist, ergeben beide Formeln denselben Wurzelwert, der der einzigen Lösung der quadratischen Gleichung entspricht. Und mit einer negativen Diskriminante stehen wir beim Versuch, die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu verwenden, vor dem Ziehen der Quadratwurzel aus einer negativen Zahl, was uns über den Rahmen des Schullehrplans hinausführt. Bei einer negativen Diskriminante hat die quadratische Gleichung keine echten Wurzeln, sondern ein Paar Komplex konjugiert Wurzeln, die mit den gleichen Wurzelformeln gefunden werden können, die wir erhalten haben.

Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen mit Wurzelformeln

In der Praxis können Sie beim Lösen einer quadratischen Gleichung sofort die Wurzelformel verwenden, mit der ihre Werte berechnet werden. Aber hier geht es mehr darum, komplexe Wurzeln zu finden.

In einem Schulalgebrakurs sprechen wir jedoch normalerweise nicht über komplexe, sondern über echte Wurzeln einer quadratischen Gleichung. In diesem Fall ist es ratsam, zuerst die Diskriminante zu finden, bevor Sie die Formeln für die Wurzeln der quadratischen Gleichung verwenden, sicherstellen, dass sie nicht negativ ist (andernfalls können wir schlussfolgern, dass die Gleichung keine echten Wurzeln hat), und danach Berechnen Sie die Werte der Wurzeln.

Die obige Argumentation erlaubt uns zu schreiben Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung. Um die quadratische Gleichung a x 2 + b x + c \u003d 0 zu lösen, benötigen Sie:

unter Verwendung der Diskriminanzformel D=b 2 –4 a c ihren Wert berechnen;
schließen Sie, dass die quadratische Gleichung keine echten Wurzeln hat, wenn die Diskriminante negativ ist;
Berechnen Sie die einzige Wurzel der Gleichung mit der Formel, wenn D=0 ;
Finden Sie zwei reelle Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit der Wurzelformel, wenn die Diskriminante positiv ist.

Hier bemerken wir nur, dass, wenn die Diskriminante gleich Null ist, die Formel auch verwendet werden kann, sie ergibt den gleichen Wert wie .

Sie können mit Beispielen für die Anwendung des Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen fortfahren.

Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen

Betrachten Sie Lösungen von drei quadratischen Gleichungen mit positiver, negativer und Null-Diskriminante. Nachdem wir uns mit ihrer Lösung befasst haben, wird es analog möglich sein, jede andere quadratische Gleichung zu lösen. Lasst uns beginnen.

Beispiel.

Finden Sie die Nullstellen der Gleichung x 2 +2 x−6=0 .

Lösung.

In diesem Fall haben wir die folgenden Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a=1 , b=2 und c=−6 . Gemäß dem Algorithmus müssen Sie zuerst die Diskriminante berechnen, dazu ersetzen wir die angegebenen a, b und c in die Diskriminanzformel, die wir haben D=b 2 −4 ein c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Da 28 > 0, also die Diskriminante größer Null ist, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Wurzeln. Lassen Sie uns sie durch die Formel der Wurzeln finden, wir bekommen , hier können wir die erhaltenen Ausdrücke vereinfachen das Vorzeichen der Wurzel ausklammern gefolgt von Fraktionsreduktion:

Antworten:

Kommen wir zum nächsten typischen Beispiel.

Beispiel.

Lösen Sie die quadratische Gleichung −4 x 2 +28 x−49=0 .

Lösung.

Wir beginnen mit der Bestimmung der Diskriminante: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Daher hat diese quadratische Gleichung eine einzelne Wurzel, die wir finden als , das heißt,

Antworten:

x=3,5 .

Es bleibt die Lösung quadratischer Gleichungen mit negativer Diskriminante zu betrachten.

Beispiel.

Lösen Sie die Gleichung 5 y 2 +6 y+2=0 .

Lösung.

Hier sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a=5 , b=6 und c=2 . Wenn wir diese Werte in die Diskriminanzformel einsetzen, haben wir D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Die Diskriminante ist negativ, daher hat diese quadratische Gleichung keine echten Wurzeln.

Wenn Sie komplexe Wurzeln angeben müssen, verwenden wir die bekannte Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung und führen sie aus Operationen mit komplexen Zahlen:

Antworten:

Es gibt keine wirklichen Wurzeln, die komplexen Wurzeln sind: .

Wir stellen noch einmal fest, dass die Schule, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung negativ ist, normalerweise sofort die Antwort aufschreibt, in der sie angibt, dass es keine echten Wurzeln gibt und sie keine komplexen Wurzeln findet.

Wurzelformel für gerade zweite Koeffizienten

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung , wobei D=b 2 −4 ac ist, ermöglicht es Ihnen, eine kompaktere Formel zu erhalten, mit der Sie quadratische Gleichungen mit einem geraden Koeffizienten bei x lösen können (oder einfach mit einem Koeffizienten, der wie 2 n aussieht , oder 14 ln5=2 7 ln5 ). Bringen wir sie raus.

Nehmen wir an, wir müssen eine quadratische Gleichung der Form a x 2 +2 n x + c=0 lösen. Finden wir seine Wurzeln mit der uns bekannten Formel. Dazu berechnen wir die Diskriminante D=(2 n) 2 −4 ein c=4 n 2 −4 ein c=4 (n 2 − ein c), und dann verwenden wir die Wurzelformel:

Bezeichnen Sie den Ausdruck n 2 − a c als D 1 (manchmal wird er als D " bezeichnet). Dann nimmt die Formel für die Wurzeln der betrachteten quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 n die Form an , wobei D 1 = n 2 – a c .

Es ist leicht zu sehen, dass D = 4·D 1 oder D 1 = D/4 ist. Mit anderen Worten, D 1 ist der vierte Teil der Diskriminante. Es ist klar, dass das Vorzeichen von D 1 dasselbe ist wie das Vorzeichen von D . Das heißt, das Zeichen D 1 ist auch ein Indikator für das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der quadratischen Gleichung.

Um also eine quadratische Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 n zu lösen, benötigen Sie

Berechnen D 1 =n 2 −a·c ;
Wenn D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Wenn D 1 = 0, dann berechne die einzige Wurzel der Gleichung unter Verwendung der Formel;
Wenn D 1 > 0, dann finden Sie zwei reelle Wurzeln unter Verwendung der Formel.

Betrachten Sie die Lösung des Beispiels unter Verwendung der in diesem Absatz erhaltenen Wurzelformel.

Beispiel.

Lösen Sie die quadratische Gleichung 5 x 2 −6 x−32=0 .

Lösung.

Der zweite Koeffizient dieser Gleichung kann als 2·(–3) dargestellt werden. Das heißt, Sie können die ursprüngliche quadratische Gleichung in die Form 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 umschreiben, hier a=5 , n=−3 und c=−32 , und den vierten Teil von berechnen Diskriminant: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Da ihr Wert positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln. Wir finden sie mit der entsprechenden Wurzelformel:

Beachten Sie, dass es möglich war, die übliche Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu verwenden, aber in diesem Fall müsste mehr Rechenarbeit geleistet werden.

Antworten:

Vereinfachung der Form quadratischer Gleichungen

Bevor Sie mit der Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung mithilfe von Formeln beginnen, schadet es manchmal nicht, die Frage zu stellen: „Ist es möglich, die Form dieser Gleichung zu vereinfachen“? Stimmen Sie zu, dass es rechnerisch einfacher ist, die quadratische Gleichung 11 x 2 −4 x −6=0 zu lösen als 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Normalerweise wird eine Vereinfachung der Form einer quadratischen Gleichung erreicht, indem beide Seiten mit einer Zahl multipliziert oder dividiert werden. Zum Beispiel haben wir im vorherigen Absatz eine Vereinfachung der Gleichung 1100 x 2 −400 x −600=0 erreicht, indem wir beide Seiten durch 100 geteilt haben.

Eine ähnliche Transformation wird mit quadratischen Gleichungen durchgeführt, deren Koeffizienten nicht sind. In diesem Fall werden beide Teile der Gleichung normalerweise durch die absoluten Werte ihrer Koeffizienten dividiert. Nehmen wir zum Beispiel die quadratische Gleichung 12 x 2 −42 x+48=0. Absolutwerte seiner Koeffizienten: ggT(12, 42, 48)= ggT(ggT(12, 42), 48)= ggT(6, 48)=6 . Teilen wir beide Teile der ursprünglichen quadratischen Gleichung durch 6 , erhalten wir die äquivalente quadratische Gleichung 2 x 2 −7 x+8=0 .

Und die Multiplikation beider Teile der quadratischen Gleichung wird normalerweise durchgeführt, um Bruchkoeffizienten loszuwerden. In diesem Fall wird die Multiplikation mit den Nennern ihrer Koeffizienten durchgeführt. Wenn beispielsweise beide Teile einer quadratischen Gleichung mit LCM(6, 3, 1)=6 multipliziert werden, dann nimmt sie eine einfachere Form x 2 +4 x−18=0 an.

Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass wir das Minus beim höchsten Koeffizienten der quadratischen Gleichung fast immer loswerden, indem wir die Vorzeichen aller Terme ändern, was einer Multiplikation (oder Division) beider Teile mit −1 entspricht. Zum Beispiel gehen Sie normalerweise von der quadratischen Gleichung −2·x 2 −3·x+7=0 zur Lösung 2·x 2 +3·x−7=0 .

Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung drückt die Wurzeln einer Gleichung durch ihre Koeffizienten aus. Basierend auf der Formel der Wurzeln können Sie andere Beziehungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten erhalten.

Die bekanntesten und anwendbarsten Formeln aus dem Vieta-Theorem der Form und . Insbesondere ist für die gegebene quadratische Gleichung die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist der freie Term. Zum Beispiel können Sie durch die Form der quadratischen Gleichung 3 x 2 −7 x+22=0 sofort sagen, dass die Summe ihrer Wurzeln 7/3 und das Produkt der Wurzeln 22/3 ist.

Mit den bereits geschriebenen Formeln können Sie eine Reihe anderer Beziehungen zwischen den Wurzeln und Koeffizienten der quadratischen Gleichung erhalten. Beispielsweise können Sie die Summe der Quadrate der Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch ihre Koeffizienten ausdrücken: .

Referenzliste.

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Quadratische Gleichungen treten oft beim Lösen verschiedener Probleme in Physik und Mathematik auf. In diesem Artikel werden wir überlegen, wie diese Gleichheiten auf universelle Weise "durch die Diskriminante" gelöst werden können. Der Artikel enthält auch Beispiele für die Verwendung des erworbenen Wissens.

Von welchen Gleichungen sprechen wir?

Die folgende Abbildung zeigt eine Formel, in der x eine unbekannte Variable ist und die lateinischen Buchstaben a, b, c einige bekannte Zahlen darstellen.

Jedes dieser Symbole wird Koeffizient genannt. Wie Sie sehen können, steht die Zahl "a" vor der quadrierten Variablen x. Dies ist die maximale Potenz des dargestellten Ausdrucks, weshalb sie als quadratische Gleichung bezeichnet wird. Oft wird auch ein anderer Name verwendet: eine Gleichung zweiter Ordnung. Der Wert a selbst ist ein quadratischer Koeffizient (Quadrieren der Variablen), b ist ein linearer Koeffizient (er steht neben der zur ersten Potenz erhobenen Variablen), und schließlich ist die Zahl c ein freier Term.

Beachten Sie, dass die in der obigen Abbildung gezeigte Form der Gleichung ein allgemeiner klassischer quadratischer Ausdruck ist. Daneben gibt es noch weitere Gleichungen zweiter Ordnung, bei denen die Koeffizienten b, c Null sein können.

Wenn die Aufgabe gestellt wird, die betrachtete Gleichheit zu lösen, bedeutet dies, dass solche Werte der Variablen x gefunden werden müssen, die sie erfüllen würden. Das erste, woran Sie sich erinnern sollten, ist Folgendes: Da die maximale Potenz von x 2 ist, kann diese Art von Ausdruck nicht mehr als 2 Lösungen haben. Dies bedeutet, dass, wenn beim Lösen der Gleichung 2 x-Werte gefunden wurden, die diese erfüllen, Sie sicher sein können, dass es keine 3. Zahl gibt, durch deren Ersetzung anstelle von x die Gleichheit ebenfalls wahr wäre. Lösungen einer Gleichung in der Mathematik werden ihre Wurzeln genannt.

Methoden zum Lösen von Gleichungen zweiter Ordnung

Das Lösen von Gleichungen dieser Art erfordert die Kenntnis einiger Theorien über sie. Im Schulkurs Algebra werden 4 verschiedene Lösungsverfahren betrachtet. Lassen Sie uns sie auflisten:

mit Faktorisierung;
Verwenden der Formel für das perfekte Quadrat;
Anwenden des Graphen der entsprechenden quadratischen Funktion;
unter Verwendung der Diskriminanzgleichung.

Der Vorteil der ersten Methode ist ihre Einfachheit, sie kann jedoch nicht auf alle Gleichungen angewendet werden. Die zweite Methode ist universell, aber etwas umständlich. Die dritte Methode zeichnet sich durch ihre Klarheit aus, ist jedoch nicht immer bequem und anwendbar. Und schließlich ist die Verwendung der Diskriminanzgleichung eine universelle und ziemlich einfache Möglichkeit, die Wurzeln von absolut jeder Gleichung zweiter Ordnung zu finden. Daher werden wir in dem Artikel nur darauf eingehen.

Formel zum Erhalten der Wurzeln der Gleichung

Wenden wir uns der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung zu. Schreiben wir es auf: a*x²+ b*x + c =0. Vor der Anwendung der Lösungsmethode "durch die Diskriminante" sollte die Gleichheit immer auf die schriftliche Form reduziert werden. Das heißt, es muss aus drei Termen bestehen (oder weniger, wenn b oder c 0 ist).

Wenn es zum Beispiel einen Ausdruck gibt: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², dann sollten Sie zuerst alle seine Mitglieder auf eine Seite der Gleichheit übertragen und die Terme hinzufügen, die die Variable x enthalten Kräfte.

In diesem Fall führt diese Operation zu folgendem Ausdruck: -6*x²-4*x+8=0, was der Gleichung 6*x²+4*x-8=0 entspricht (hier haben wir mit links multipliziert und rechte Seiten der Gleichung durch -1) .

Im obigen Beispiel a = 6, b = 4, c = -8. Beachten Sie, dass alle Terme der betrachteten Gleichheit immer untereinander summiert werden. Wenn also das Zeichen „-“ erscheint, bedeutet dies, dass der entsprechende Koeffizient negativ ist, wie in diesem Fall die Zahl c.

Nachdem wir diesen Punkt analysiert haben, wenden wir uns nun der Formel selbst zu, die es ermöglicht, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu erhalten. Es sieht aus wie auf dem Foto unten.

Wie aus diesem Ausdruck ersichtlich ist, können Sie damit zwei Wurzeln ziehen (Sie sollten auf das „±“-Zeichen achten). Dazu genügt es, die Koeffizienten b, c und a einzusetzen.

Der Begriff der Diskriminanz

Im vorherigen Absatz wurde eine Formel angegeben, mit der Sie jede Gleichung zweiter Ordnung schnell lösen können. Darin wird der radikale Ausdruck als Diskriminante bezeichnet, dh D \u003d b²-4 * a * c.

Warum wird dieser Teil der Formel herausgegriffen und hat er sogar einen eigenen Namen? Tatsache ist, dass die Diskriminante alle drei Koeffizienten der Gleichung zu einem einzigen Ausdruck verbindet. Die letzte Tatsache bedeutet, dass es vollständig Informationen über die Wurzeln enthält, was durch die folgende Liste ausgedrückt werden kann:

D>0: Die Gleichheit hat 2 verschiedene Lösungen, die beide reelle Zahlen sind.
D=0: Die Gleichung hat nur eine Wurzel und ist eine reelle Zahl.

Die Aufgabe, die Diskriminante zu bestimmen

Hier ist ein einfaches Beispiel, wie man die Diskriminante findet. Gegeben sei folgende Gleichheit: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Bringen wir es auf die Standardform, wir bekommen: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, woraus wir auf Gleichheit kommen : -2*x² +2*x-11 = 0. Hier a=-2, b=2, c=-11.

Jetzt können Sie die genannte Formel für die Diskriminante verwenden: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Die resultierende Zahl ist die Antwort auf die Aufgabe. Da die Diskriminante im Beispiel kleiner als Null ist, können wir sagen, dass diese quadratische Gleichung keine echten Wurzeln hat. Seine Lösung wird nur aus Zahlen vom komplexen Typ bestehen.

Ein Beispiel für Ungleichheit durch die Diskriminante

Lösen wir Probleme etwas anderer Art: Gegeben ist die Gleichheit -3*x²-6*x+c = 0. Es ist notwendig, solche Werte von c zu finden, für die D>0 ist.

In diesem Fall sind nur 2 von 3 Koeffizienten bekannt, sodass es nicht möglich ist, den genauen Wert der Diskriminante zu berechnen, aber es ist bekannt, dass sie positiv ist. Den letzten Fakt verwenden wir beim Aufstellen der Ungleichung: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Die Lösung der erhaltenen Ungleichung führt zum Ergebnis: c>-3.

Lassen Sie uns die resultierende Zahl überprüfen. Dazu berechnen wir D für 2 Fälle: c=-2 und c=-4. Die Zahl -2 erfüllt das Ergebnis (-2>-3), die entsprechende Diskriminante hat den Wert: D = 12>0. Die Zahl -4 wiederum erfüllt die Ungleichung nicht (-4Somit erfüllen alle Zahlen c, die größer als -3 sind, die Bedingung.

Ein Beispiel für das Lösen einer Gleichung

Hier ist ein Problem, das nicht nur darin besteht, die Diskriminante zu finden, sondern auch darin, die Gleichung zu lösen. Es ist notwendig, die Wurzeln für die Gleichheit -2*x²+7-9*x = 0 zu finden.

In diesem Beispiel ist die Diskriminante gleich dem folgenden Wert: D = 81-4*(-2)*7= 137. Dann werden die Wurzeln der Gleichung wie folgt bestimmt: x = (9±√137)/(- 4). Dies sind die genauen Werte der Wurzeln. Wenn Sie die Wurzel ungefähr berechnen, erhalten Sie die Zahlen: x \u003d -5,176 und x \u003d 0,676.

geometrisches Problem

Lassen Sie uns ein Problem lösen, das nicht nur die Fähigkeit erfordert, die Diskriminante zu berechnen, sondern auch die Fähigkeit zum abstrakten Denken und das Wissen, wie man quadratische Gleichungen schreibt.

Bob hatte eine 5 x 4 Meter große Bettdecke. Der Junge wollte einen durchgehenden Streifen aus schönem Stoff um den gesamten Umfang nähen. Wie dick wird dieser Streifen sein, wenn bekannt ist, dass Bob 10 m² Stoff hat?

Lassen Sie den Streifen eine Dicke von xm haben, dann ist die Fläche des Stoffes entlang der langen Seite der Decke (5 + 2 * x) * x, und da es 2 lange Seiten gibt, haben wir: 2 * x * (5 + 2 * x). Auf der kurzen Seite wird die Fläche des genähten Stoffes 4*x sein, da es 2 dieser Seiten gibt, erhalten wir den Wert 8*x. Beachten Sie, dass 2*x an der langen Seite hinzugefügt wurde, da sich die Länge des Quilts um diese Zahl erhöht hat. Die Gesamtfläche des mit der Decke vernähten Stoffes beträgt 10 m². Daher erhalten wir die Gleichheit: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Für dieses Beispiel ist die Diskriminante: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Ihre Wurzel ist 22. Unter Verwendung der Formel finden wir die gewünschten Wurzeln: x = (-18±22)/(2* 4) = (- 5; 0,5). Offensichtlich ist von den beiden Wurzeln nur die Zahl 0,5 für die Bedingung des Problems geeignet.

Der Stoffstreifen, den Bob an seine Decke näht, ist also 50 cm breit.

Arbeiten wir mit quadratische Gleichungen. Dies sind sehr beliebte Gleichungen! In ihrer allgemeinsten Form sieht die quadratische Gleichung so aus:

Zum Beispiel:

Hier ein =1; B = 3; C = -4

Hier ein =2; B = -0,5; C = 2,2

Hier ein =-3; B = 6; C = -18

Nun, Sie haben die Idee ...

Wie löst man quadratische Gleichungen? Wenn Sie eine quadratische Gleichung in dieser Form haben, ist alles einfach. Denken Sie an das Zauberwort diskriminierend . Ein seltener Gymnasiast hat dieses Wort noch nicht gehört! Der Satz „durch die Diskriminante entscheiden“ ist beruhigend und beruhigend. Denn auf Tricks der Diskriminanten muss nicht gewartet werden! Es ist einfach und problemlos zu bedienen. Die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung sieht also so aus:

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist derselbe diskriminierend. Wie Sie sehen können, verwenden wir, um x zu finden nur a, b und c. Jene. Koeffizienten aus der quadratischen Gleichung. Ersetzen Sie die Werte einfach sorgfältig a, b und c in diese Formel ein und betrachte. Ersatz mit deinen Zeichen! Zum Beispiel für die erste Gleichung ein =1; B = 3; C= -4. Hier schreiben wir:

Beispiel fast gelöst:

Das ist alles.

Welche Fälle sind bei Verwendung dieser Formel möglich? Es gibt nur drei Fälle.

1. Die Diskriminante ist positiv. Dies bedeutet, dass Sie die Wurzel daraus extrahieren können. Ob die Wurzel gut oder schlecht gezogen wird, ist eine andere Frage. Es ist wichtig, was im Prinzip extrahiert wird. Dann hat deine quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Zwei verschiedene Lösungen.

2. Die Diskriminante ist Null. Dann haben Sie eine Lösung. Genau genommen ist dies keine einzelne Wurzel, sondern zwei identisch. Dies spielt jedoch bei Ungleichheiten eine Rolle, wo wir uns näher mit dem Thema befassen werden.

3. Die Diskriminante ist negativ. Eine negative Zahl zieht nicht die Quadratwurzel. Na ja, okay. Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Alles ist sehr einfach. Und was denkst du, du kannst nichts falsch machen? Nun ja, wie...
Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit den Vorzeichen von Werten a, b und c. Oder besser gesagt nicht mit ihren Vorzeichen (wo soll da verwechselt werden?), Sondern mit dem Einsetzen negativer Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln. Hier wird eine detaillierte Aufzeichnung der Formel mit konkreten Nummern gespeichert. Bei Rechenproblemen also mach es!

Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:

Hier a = -6; b = -5; c=-1

Nehmen wir an, Sie wissen, dass Sie beim ersten Mal selten Antworten erhalten.

Nun, sei nicht faul. Es dauert 30 Sekunden, um eine zusätzliche Zeile zu schreiben, und die Anzahl der Fehler wird stark abfallen. Also schreiben wir ausführlich, mit allen Klammern und Zeichen:

Es scheint unglaublich schwierig, so sorgfältig zu malen. Aber es scheint nur. Versuch es. Nun, oder wählen Sie. Was ist besser, schnell oder richtig? Außerdem werde ich dich glücklich machen. Nach einer Weile müssen Sie nicht mehr alles so sorgfältig streichen. Es wird sich einfach als richtig herausstellen. Vor allem, wenn Sie praktische Techniken anwenden, die unten beschrieben werden. Dieses böse Beispiel mit vielen Minuspunkten wird einfach und fehlerfrei gelöst!

So, wie man quadratische gleichungen löst durch die Diskriminante, an die wir uns erinnerten. Oder gelernt, was auch gut ist. Kannst du richtig erkennen a, b und c. Weißt du wie sorgsam Ersetzen Sie sie in die Wurzelformel und sorgsam zählen das Ergebnis. Hast du verstanden, dass das Schlüsselwort hier ist - sorgsam?

Quadratische Gleichungen sehen jedoch oft etwas anders aus. Zum Beispiel so:

Das Unvollständige quadratische Gleichungen . Sie können auch durch die Diskriminante gelöst werden. Sie müssen nur richtig herausfinden, was hier gleich ist a, b und c.

Erkannte? Im ersten Beispiel a = 1; b = -4; ein C? Es existiert überhaupt nicht! Nun ja, das stimmt. In der Mathematik bedeutet dies das c = 0 ! Das ist alles. Setzen Sie stattdessen Null in die Formel ein C, und alles wird für uns klappen. Ähnlich beim zweiten Beispiel. Nur Null haben wir hier nicht Mit, ein B !

Aber unvollständige quadratische Gleichungen lassen sich viel einfacher lösen. Ohne jede Diskriminierung. Betrachten Sie die erste unvollständige Gleichung. Was kann man auf der linken Seite tun? Du kannst das X aus Klammern nehmen! Nehmen wir es heraus.

Und was ist damit? Und die Tatsache, dass das Produkt genau dann gleich Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist! Glauben Sie nicht? Nun, dann denken Sie sich zwei Zahlen ungleich Null aus, die, wenn sie multipliziert werden, Null ergeben!
Klappt nicht? Etwas...
Daher können wir getrost schreiben: x = 0, oder x = 4

Alles. Dies werden die Wurzeln unserer Gleichung sein. Beide passen. Wenn wir eine davon in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte Identität 0 = 0. Wie Sie sehen können, ist die Lösung viel einfacher als durch die Diskriminante.

Auch die zweite Gleichung lässt sich leicht lösen. Wir verschieben 9 auf die rechte Seite. Wir bekommen:

Es bleibt, die Wurzel aus 9 zu ziehen, und das war's. Werden:

auch zwei Wurzeln . x = +3 und x = -3.

So werden alle unvollständigen quadratischen Gleichungen gelöst. Entweder durch Entfernen von X aus Klammern oder durch einfaches Übertragen der Zahl nach rechts und anschließendem Wurzelziehen.
Es ist äußerst schwierig, diese Methoden zu verwechseln. Einfach, weil Sie im ersten Fall die Wurzel aus X ziehen müssen, was irgendwie unverständlich ist, und im zweiten Fall gibt es nichts aus Klammern zu nehmen ...

Beachten Sie nun die praktischen Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren. Gerade die, die auf Unaufmerksamkeit zurückzuführen sind ... Für die es dann schmerzhaft und beleidigend ist ...

Erster Empfang. Seien Sie nicht faul, bevor Sie eine quadratische Gleichung lösen, um sie in eine Standardform zu bringen. Was bedeutet das?
Angenommen, Sie erhalten nach allen Transformationen die folgende Gleichung:

Beeilen Sie sich nicht, die Formel der Wurzeln zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen verwechseln a, b und c. Baue das Beispiel richtig auf. Zuerst x im Quadrat, dann ohne Quadrat, dann ein freies Mitglied. So:

Und noch einmal: keine Eile! Das Minus vor dem x zum Quadrat kann Sie sehr verärgern. Es zu vergessen ist leicht ... Werde das Minus los. Wie? Ja, wie im vorherigen Thema gelehrt! Wir müssen die ganze Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:

Und jetzt können Sie die Formel für die Wurzeln sicher aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel vervollständigen. Entscheiden Sie selbst. Sie sollten mit den Wurzeln 2 und -1 enden.

Zweiter Empfang.Überprüfen Sie Ihre Wurzeln! Nach dem Satz von Vieta. Keine Sorge, ich erkläre dir alles! Überprüfung letztes Ding Die gleichung. Jene. diejenige, mit der wir die Formel der Wurzeln niedergeschrieben haben. Wenn (wie in diesem Beispiel) der Koeffizient a = 1, überprüfen Sie die Wurzeln leicht. Es reicht aus, sie zu multiplizieren. Sie sollten eine freie Amtszeit bekommen, d.h. in unserem Fall -2. Achtung, nicht 2, sondern -2! Freies Mitglied mit deinem Zeichen . Wenn es nicht geklappt hat, bedeutet das, dass sie bereits irgendwo Mist gebaut haben. Suchen Sie nach einem Fehler. Wenn es geklappt hat, müssen Sie die Wurzeln falten. Letzte und letzte Kontrolle. Sollte ein Verhältnis sein B Mit Gegenteil Unterschrift. In unserem Fall -1+2 = +1. Ein Koeffizient B, das vor dem x steht, ist gleich -1. Also alles richtig!
Schade, dass es nur für Beispiele so einfach ist, wo x zum Quadrat rein ist, mit einem Koeffizienten a = 1. Aber überprüfen Sie wenigstens solche Gleichungen! Es werden weniger Fehler passieren.

Rezeption dritte. Wenn Ihre Gleichung Bruchkoeffizienten hat, werden Sie die Brüche los! Multiplizieren Sie die Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner, wie im vorherigen Abschnitt beschrieben. Bei der Arbeit mit Brüchen steigen Fehler aus irgendeinem Grund ...

Übrigens habe ich zur Vereinfachung ein böses Beispiel mit ein paar Minuspunkten versprochen. Gern geschehen! Da ist er.

Um bei den Minuszeichen nicht durcheinander zu kommen, multiplizieren wir die Gleichung mit -1. Wir bekommen:

Das ist alles! Entscheiden macht Spaß!

Fassen wir das Thema also nochmal zusammen.

Praktische Tipps:

1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.

2. Wenn vor dem x im Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren.

3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.

4. Wenn x zum Quadrat rein ist, der Koeffizient dafür gleich eins ist, kann die Lösung leicht mit dem Satz von Vieta überprüft werden. Tu es!

Bruchgleichungen. ODZ.

Wir beherrschen weiterhin die Gleichungen. Wir wissen bereits, wie man mit linearen und quadratischen Gleichungen arbeitet. Die letzte Ansicht bleibt Bruchgleichungen. Oder sie werden auch viel solider genannt - gebrochene rationale Gleichungen. Das ist das gleiche.

Bruchgleichungen.

Wie der Name schon sagt, enthalten diese Gleichungen zwangsläufig Brüche. Aber nicht nur Brüche, sondern Brüche, die haben unbekannt im Nenner. Zumindest in einem. Zum Beispiel:

Ich möchte Sie daran erinnern, wenn auch nur in den Nennern Zahlen, das sind lineare Gleichungen.

Wie entscheiden Bruchgleichungen? Zuerst die Brüche loswerden! Danach verwandelt sich die Gleichung meistens in eine lineare oder quadratische. Und dann wissen wir, was zu tun ist... In manchen Fällen kann es zu einer Identität werden, wie 5=5, oder zu einem falschen Ausdruck, wie 7=2. Aber das passiert selten. Unten werde ich es erwähnen.

Aber wie wird man Brüche los!? Sehr einfach. Anwenden der gleichen identischen Transformationen.

Wir müssen die gesamte Gleichung mit demselben Ausdruck multiplizieren. Damit alle Nenner kleiner werden! Alles wird sofort einfacher. Ich erkläre es an einem Beispiel. Nehmen wir an, wir müssen die Gleichung lösen:

Wie wurden sie in der Grundschule unterrichtet? Wir übertragen alles in eine Richtung, bringen es auf einen gemeinsamen Nenner usw. Vergessen Sie, wie schlecht träumen! Dies müssen Sie tun, wenn Sie Bruchausdrücke addieren oder subtrahieren. Oder mit Ungleichheiten arbeiten. Und in Gleichungen multiplizieren wir beide Teile sofort mit einem Ausdruck, der uns die Möglichkeit gibt, alle Nenner zu kürzen (dh im Wesentlichen auf einen gemeinsamen Nenner). Und was ist dieser Ausdruck?

Auf der linken Seite musst du mit multiplizieren, um den Nenner zu reduzieren x+2. Und rechts ist eine Multiplikation mit 2 erforderlich, also muss die Gleichung mit multipliziert werden 2(x+2). Wir multiplizieren:

Dies ist die übliche Multiplikation von Brüchen, aber ich werde im Detail schreiben:

Bitte beachten Sie, dass ich die Klammer noch nicht öffne. (x + 2)! Also schreibe ich es in seiner Gesamtheit:

Auf der linken Seite ist es vollständig reduziert (x+2), und rechts 2. Nach Bedarf! Nach Reduktion erhalten wir linear Die gleichung:

Jeder kann diese Gleichung lösen! x = 2.

Lösen wir ein weiteres Beispiel, etwas komplizierter:

Wenn wir uns daran erinnern, dass 3 = 3/1, und 2x = 2x/ 1 kann geschrieben werden:

Und wieder werden wir das los, was uns nicht wirklich gefällt - von Brüchen.

Wir sehen, dass es notwendig ist, den Bruch mit zu multiplizieren, um den Nenner mit x zu kürzen (x - 2). Und Einheiten sind für uns kein Hindernis. Nun, lass uns multiplizieren. Alle linke Seite u alle rechte Seite:

Nochmal Klammern (x - 2) Ich verrate es nicht. Ich arbeite mit der Klammer als Ganzes, als wäre es eine Zahl! Dies muss immer gemacht werden, sonst wird nichts gekürzt.

Mit einem Gefühl tiefer Zufriedenheit schneiden wir (x - 2) und wir erhalten die Gleichung ohne Brüche in einem Lineal!

Und jetzt öffnen wir die Klammern:

Wir geben ähnliche, übertragen alles auf die linke Seite und erhalten:

Klassische quadratische Gleichung. Aber das Minus vorn ist nicht gut. Sie können es immer loswerden, indem Sie mit -1 multiplizieren oder dividieren. Aber wenn Sie sich das Beispiel genau ansehen, werden Sie feststellen, dass es am besten ist, diese Gleichung durch -2 zu teilen! Auf einen Schlag verschwindet das Minus und die Koeffizienten werden schöner! Wir dividieren durch -2. Auf der linken Seite - Term für Term und auf der rechten Seite - teilen Sie einfach Null durch -2, Null und erhalten Sie:

Wir lösen durch die Diskriminante und prüfen nach dem Satz von Vieta. Wir bekommen x=1 und x=3. Zwei Wurzeln.

Wie Sie sehen können, wurde die Gleichung im ersten Fall nach der Transformation linear, und hier ist sie quadratisch. Es kommt vor, dass nach dem Entfernen von Brüchen alle x reduziert werden. Es bleibt etwas übrig, wie 5=5. Das bedeutet es x kann alles sein. Was auch immer es ist, es wird immer noch reduziert. Und erhalten Sie die reine Wahrheit, 5=5. Aber nach dem Entfernen von Brüchen kann es sich als völlig falsch herausstellen, wie z. B. 2 = 7. Und das bedeutet das keine Lösungen! Bei jedem x erweist es sich als falsch.

Realisiert den Hauptweg zur Lösung Bruchgleichungen? Es ist einfach und logisch. Wir ändern den ursprünglichen Ausdruck, damit alles, was uns nicht gefällt, verschwindet. Oder sich einmischen. In diesem Fall sind es Brüche. Wir werden dasselbe mit allen möglichen komplexen Beispielen mit Logarithmen, Sinus und anderen Schrecken tun. Wir stets wir werden das alles los.

Wir müssen jedoch den ursprünglichen Ausdruck in die gewünschte Richtung ändern nach den Regeln, ja ... Die Entwicklung davon ist die Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik. Hier lernen wir.

Jetzt werden wir lernen, wie man einen der umgeht die wichtigsten Hinterhalte bei der Prüfung! Aber zuerst wollen wir sehen, ob Sie darauf hereinfallen oder nicht?

Nehmen wir ein einfaches Beispiel:

Die Materie ist bereits bekannt, wir multiplizieren beide Teile mit (x - 2), wir bekommen:

Denken Sie daran, mit Klammern (x - 2) wir arbeiten wie mit einem, integralen Ausdruck!

Hier habe ich den einen nicht mehr in die Nenner geschrieben, er ist würdelos ... Und ich habe keine Klammern in die Nenner gezeichnet, außer x-2 es gibt nichts, was man nicht zeichnen kann. Wir kürzen:

Wir öffnen die Klammern, verschieben alles nach links, wir geben ähnliche:

Wir lösen, prüfen, wir bekommen zwei Wurzeln. x = 2 und x = 3. Bußgeld.

Angenommen, die Aufgabe lautet, die Wurzel oder ihre Summe aufzuschreiben, wenn es mehr als eine Wurzel gibt. Was werden wir schreiben?

Wenn Sie entscheiden, dass die Antwort 5 ist, Sie wurden überfallen. Und die Aufgabe wird nicht für Sie gezählt. Sie haben vergebens gearbeitet ... Die richtige Antwort ist 3.

Was ist los?! Und Sie versuchen zu überprüfen. Ersetzen Sie die Werte des Unbekannten durch Original Beispiel. Und wenn bei x = 3 alles wächst wunderbar zusammen, wir bekommen 9 = 9, dann mit x = 2 geteilt durch Null! Was absolut nicht geht. Bedeutet x = 2 ist keine Lösung und wird in der Antwort nicht berücksichtigt. Dies ist die sogenannte Fremd- oder Extrawurzel. Wir verwerfen es einfach. Es gibt nur eine letzte Wurzel. x = 3.

Wieso das?! Ich höre empörte Ausrufe. Uns wurde beigebracht, dass eine Gleichung mit einem Ausdruck multipliziert werden kann! Dies ist die gleiche Transformation!

Ja, identisch. Unter einer kleinen Bedingung - dem Ausdruck, mit dem wir multiplizieren (dividieren) - von Null verschieden. EIN x-2 beim x = 2 gleich Null! Also alles fair.

Und was kann ich jetzt tun?! Nicht durch Ausdruck multiplizieren? Kontrollierst du jedes Mal? Wieder unklar!

Ruhig! Keine Panik!

In dieser schwierigen Situation werden uns drei magische Buchstaben retten. Ich weiß, was du dachtest. Richtig! Das ODZ . Bereich gültiger Werte.